（电力电子与电力传动专业论文）精密机床直线伺服系统摩擦引起的混沌研究.pdf

沈阳工业大学硕士学位论文 t h ec h a o t i c s t u d y o np r e c i s i o nm a c h i n el i n e a rs e r v o s y s t e m w i t hf r i c t i o n a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h et r e n do f h i 曲e rp r e c i s i o nm a c h i n e r y h a si m p o s e d ，a ne v e r - i n c r e a s i n g p r e c i s i o nm a c h i n el i n e a rs e r v os y s t e mi sr e q u e s ta ti t sp o s i t i o n i n ga n dt r a c k i n g b u tt h e f r i c t i o np r e s e n t e di np r e c i s i o nm a c h i n el i n e a rs e r v os y s t e mh a sb e c o m ea ni m p e d i m e n tt o i m p r o v e t h ep e r f o r m a n c e t oo v e r c o m et h i si m p e d i m e n t ，s t i c k - s l i pa n dc h a o so s c i l l a t i o n i n d u c e db yf r i c t i o na n a l y z e da n df i n dr e l a t i o ns h i pi nl o ws p e e d ，t h e nc m a c m e t h o d sa r e p u t f o r w a r dt oc o n t r o lc h a o s ， t h el i t e r a t u r er e l e v a n tt of r i c t i o n m o d e l i n g 、n o n l i n e a r t r a n s f u n c t i o nf o r a n a l y i n g s t i c k s l i p ，t h i sm e t h o di sa l la n a l y t i cw a y ，i t a l s oa p p l i c a b l ef o ra n a l y i n gt h eh i g h o r d e r s y s t e m s u s i n gl u g r em o d e l ，c h a o sp r e s e n t e d i n p r e c i s i o n m a c h i n el i n e a rs e r v o s y s t e m i n d u c e db yf r i c t i o ni ss t u d i e d t h ei m p a c to fs y s t e mp a r a m e t e r so nd y n a m i c so f t h es y s t e m a n dt h er o u t et oc h a o sa r ea n a l y z e d s ot h i ss t u d yp r o v i d e sab a s i sf o rs y s t e md e s i g n i n g a n ds y n t h e s i s b a s e do ni t ，t h ec h a o t i co s c i l l a t i o no fah a r m o n i c a l l yf o r c e ds p r i n g - m a s s s y s t e mw i t hf r i c t i o n i s s t u d i e d t h r o u g ht h ep h a s e - p l a n ep l o t s ，t i m es e r i e s a n dp o w e r s p e c t r a ld e n s i t y , t h ei m p a c t o f f r i c t i o no nt h ec h a o t i co s d l l a t i o no f t h i ss y s t e mi sa n a l y z e d t of i n dt h er e l a t i o ns h i pw i ms t i c k s l i pa n dc h a o si nl o ws p e e d t h em e t h o do fc m a c a y ep u tf o r w a r d e d g r e a te f f e c t i v e n e s so ft h i sm e t l o di sd e m o n s t r a t e db yas e r i e so f s i m u l a t i o n k e y w o r d s ：l i n e a rs e r v os y s t e m ，s t i c k - s l i p ，n o n l i n e a rt r a n s f e rf u n c t i o n ，c h a o s 2 独创性说明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 沈阳工业大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做r 明确的说明并表 示了谢意。 签名：趟日期：堡笙二堑二1 2 关于论文使用授权的说明 本人完全了解沈阳工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的论文在解密后应遵循此规定) 虢丝翮躲避隔壁生t 之丝 沈阳工业大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 问题的提出 1 1 1 研究动机 在许多工、领域中，被控对象的运动路径往往是直线形式。但遗憾的是，过去由 于直线驱动器没有得到充分的发展，长期以来不得不借助于旋转电动机的旋转运动， 加上机械变换环节而获得最终的直线运动，或是单向位移或是双向往复位移。显然， 这种获得直线运动的方式具有“间接”的性质。如果驱动器能给被控对象提供直线运 动形式的推力，以获得单向或双向的有限可控位移，那么两者在运动形式卜就直接匹 配一致了，省去了中间的变换环节，这就具有天然的合理性了。以电磁原理工作的各 种形式的直线电动机是提供大功率、高推力的主要执行元件。由于它能真接产生连续 单向或往复短行程的直线机械运动，而不需要机械传动变换装置，因而在国民经济各 个部门都获得了应用，而且应用的前景越来越广阔。从目前的发展趋势来看，可能形 成具有巨大市场的“直线运动的工业”。 长期以来，基本的传动形式仍然是“旋转电动机+ 滚珠丝杠”。近年来，随着技术 的进步与加工质量和效率要求的提高，打破了传统的进给驱动方式，出现了新型的直 线电动机驱动方式。精密机床是直线电动机最典型的一个应用例子。为了提高生产效 率和改善零件的加工质量而发展起来的高精度微进给加工，小但要求精密机床具有稳 定运转的大功率主轴驱动系统，而且要有一个反应快速灵敏、微进给轻便的驱动系统。 现在进给加、减速度也已从3 m s 2 提高到2 5 5 0m s 2 ，这对精密机床进给系统的动 态特性提出了十分苛刻的要求，为了满足加工精度及快速性的需要，必须革除传统传 动形式的中间传动及变换环节，这就使得一种新的进给控制方式，直线伺服系统应运 而生。但必须清醒的看到，精密机床采用直线电动机直接驱动，即所谓的零传动之后， 系统参数摄动、摩擦等不确定因素的影响将直接反映到直线电动机的运动控制中，没 有任何中间的缓冲过程，因此增加了控制上的难度。也就是说，在传动链上机械方面 的简化，必定导致电气控制上的困难，也提高了对传感器分辨率和反应能力的要求。 3 沈阳工业大学硕士学位论文 同前直线伺服系统是典型机电一体化产品的重要组成部分，已在精密机械加工；半导 体工业等追求高精度的工业领域中扮演关键性角色，虽然国内外有关精密机床直线伺 服系统的研究相当多，但由于精度和快速性的要求不断提高，该方面的研究1 二作直 未曾问断，有许多问题仍没有妥善的解决办法，其中最主要的问题之一便是精密机床 直线伺服系统中的非线性摩擦力。由于非线性摩擦力的存在造成系统控制上的困难。 因此在许多精密机床直线伺服控制场合中，往往必须采用如空气轴承、磁浮轴承或压 电致动平台等昂贵的设备。而传统的控制方法是使用线性的控制器配合闭路结构做补 偿，这种控制补偿没有针对摩擦力建立完整的模型，来预测摩擦力的行为，因此其补 偿效果并不理想。最明显的例子就是当直线伺服系统做低速直线运动时，会因为摩擦 力的影响产生混沌现象，造成系统的低速爬行，通过传统的控制补偿却不能消除。因 此，长期以来，精密机床直线伺服系统的摩擦困扰着许多工程技术人员，摩擦力的存 在降低了直线交流伺服系统的性能，摩擦不仪使系统产生稳态误差，甚至出现更复杂 的动力学行为一混沌，造成系统低速爬行。 关于摩擦产生稳态误差的研究已有很多成果，传统的控制方法也比较成熟；摩擦 是否导致混沌还未见报到。因此深入分析精密机床直线伺服系统的摩擦，通过数值计 算、相图、功率谱、时间历程和m a t l a b 仿真途径，找出在摩擦作用下该系统通向混 沌的道路，通过非线性传递函数理论计算找出混沌的影响下的爬行现象，根据混沌的 参数条件和摩擦模型，找出相应的控制策略。传统的控制策略是在对象模型确定、彳i 变化且为线性，以及运行条件、运行环境不变的的条件进行的。在理想情况下，输出 能无延迟、无超调地跟踪输入指令的变化。但在高精度微进给的高性能场合，就必须 考虑对象的结构与参数变化以及各种非线性的影响；运行环境的改变及干扰等时变和 不确定因素，才能达到满意的效果。因此智能控制策略在精密机床直线伺服系统的控 制研究中引起很大重视。模糊逻辑控制、专家控制和神经网络是当前三种比较典型的 智能控制策略。本文提出了基于c m a c 网络自适应摩擦控制补偿方法。根掘这种方法 c m a c 网络可以通过在线学习感知系统的摩擦力矩的变化情况，从而同一般自适应补 偿方法相比，它具有实现简单、算法效率高的优点，因此非常适合于工程应用。此外， 4 沈阳工业大学硕士学位论文 这种方法也适应于其他类型的扰动力矩( 如负载偏心力矩) 的动念补偿。冈此，通过 c m a c 控制系统混沌是解决精密定位控制一种途径。通过对精密机床直线伺服系统混 沌现象深入研究，为揭示出在定条件下，系统参数、环境条件或润滑条件的改变都 可能使系统进入貌似随机的混沌振荡状态，并找到混沌振荡的低速爬行结果，为系统 的设计和综合提供了精确的理论依据。 1 1 2 研究内容 ( 1 ) 分析精密机床直线伺服系统的摩擦力特性； ( 2 ) 建立符合精密机床直线伺服系统摩擦特性的动念摩擦力模型； ( 3 ) 找出精密机床直线伺服系统在摩擦作用下通向混沌的道路： ( 4 ) 研究混沌影响下使系统爬行的结果； ( 5 ) 采用c m a c ( 小脑关联控制器) 抑制混沌。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 摩擦建模发展历程 为了克服摩擦给精密机床直线伺服系统带来的危害，提高其性能，人们希望从控 制角度出发能建立一个比较完善反映摩擦现象的模型，为此，很多学者进行了大量的 研究。关于摩擦建模的研究可以追溯至十六世纪早期，那时，l e o n a r d od av i n c i 就 提出了经典的模型：“摩擦力币比于负载，与运动方向相反且不依赖于接触面积”，此 模型经c o u l o m b 发展后被称为c o u l o m b 模型。1 8 3 3 年，m o r i n 引入了静摩擦的概念， 1 8 6 6 年，r e y n o l d s 引入粘滞摩擦的概念，从而形成了至今仍广泛使用的“静摩擦 + c o u l o m b 摩擦+ 粘滞摩擦”的模型。这一模型不但没有反映出增加的静摩擦力和摩擦 记忆现象，也不能很好的描述s t r i b e c k 曲线”“7 、。直到1 9 5 8 年，r a b i n o w je z 发 表了理程碑式的论文，首次将增加的静摩擦力和摩擦记忆现象纳入模型中。1 9 7 2 年， k a t o 对静摩擦力和时滞关系进行了研究，并提出了增加的静摩擦力的实验模型。1 9 9 0 年，h e s s 和s o o m 提出了纯时滞模型，近年来，为了更精确的描述摩擦的动力学行 为，一些学者提出了多种摩擦模型，力图全面的反映摩擦的动态特性。较有影响的模 型有状态变量模型( s t a t ev a r f a b l em o d e l ) 、集成模型( i n t e g a t e df r i c t i o nm o d e l ) 一5 一 沈阳工业大学硕士学位论文 和鬃毛模型( b r is t l em o d e l ) 等。 状态变量模型来源于岩石摩擦实验，然而近年来，人们发现这一模犁也适用于包 括钢铁在内的很多工程材料。如设接触表面间的相对速度为v ，摩擦力为f ，( f ) ，那 么，n 阶状态变量模型有如下形式 一e ) = ，( v ，岛，吼) 扫，= 毋0 ，舅包l 上式中，只为状态变量，在状态变量模型中，d a m 模型得到了广泛应用，它是一阶 状态变量模型，它能反映摩擦记忆现象，但却无法描述s t r i b e c k 衄线。b l i m e n 、s o r i n e 等人将d a m 模型推广至二阶系统，便可以描述s t r i b e c k 曲线，但无疑增加了模型的 复杂程度。1 9 9 5 年，c c a n a d u s 等人提出了鬃毛模型( b r i s t l em o d e l ) ，在鬃毛模 型( b r i s t l em o d e l ) 中l u g r em o d e l 得到了广泛应用，它虽然仍是来源于一阶状态 变量模型，不过将状态变量赋予了确切的物理含义，且适当地选择了函数f 和g 的表 达式，使这一模型不但可以描述增加的静摩擦力及摩擦记忆现象，而且可以描述 s t r i b e c k 曲线，是目前较为完善的一个模型，a r m s t r o n g 于1 9 9 4 年提出了7 参数集 成模型1 ，它实际上是将摩擦在四个阶段所表现的不同特性与时间依赖性( 增加的静 摩擦力和摩擦记忆现象) 集成在一起，综合描述摩擦的特性，这也是一种比较完善的 模型，只是构造复杂。 值得一提的是，为了简化复杂的摩擦模型，一些文献中也出现了若干近似的简化 模型，他们通常可以近似的反映s t r i b e c k 曲线，但无法描述时间依赖性。k a r n o p p 模型是这类模型的典型“1 。 1 2 2 摩擦对系统的影响 在伺服系统中，扰动是造成系统性能下降的主要因素，特别是在要求作微进给、 精加工的机床中，一个微小的扰动往往会导致产品表面出现明显的划痕，从而降低产 品质量，甚至报废，因此，对精密机床直线伺服系统，要使其具有优良的工作品质必 须对扰动分析要精确，然后对其进行抑制。抑制的好坏取决于对扰动的补偿程度。影 6 沈阳工业大学硕士学位论文 响精密机床直线伺服系统的扰动因素多种多样，如负载阻力扰动、风阻阻力扰动、纹 波推力扰动、摩擦扰动等。其中摩擦扰动包括静摩擦力扰动、滑动摩擦扰动、粘滞摩 擦扰动等等。当精密机床直线伺服系统低速运行时非线性摩擦尤为明显，若对摩擦力 的分析不当就会造成补偿不适当，从而降低精密机床直线伺服系统的性能。摩擦是- 种难以避免的、复杂的物理现象，它的存在主要给系统带来了以下影响。 ( 1 ) 使伺服定位系统产生难以消除的稳态误差，从而使定位精度降低。 ( 2 ) 使双向运行的精密机床直线伺服系统产生不连续运动，从而引起抖动。 ( 3 ) 使高速运行的精密机床直线伺服系统产生较大的跟随误差，降低了跟踪精 度 ( 4 ) 使低速运行的精密机床直线伺服系统产生复杂的动力学行为。 关于摩擦是否导致混沌，一些学者进行了研究，其中b f o e n y 等人利用数值和符 号动力学方法，采用经典的c o u l o m b 模型，分析了系统通过倍周期分岔进入混沌的道 路。但却不能反映动态摩擦力的特性。 为了克服摩擦给系统带来的危害，最直接的办法就是尽量减小系统中存在的摩擦 力和摩擦力矩。例如采用高性能轴承等等。然而纯机械的方法往往造价比较昂贵，甚 至不可能做到的。凶此必须寻找其它更经济的方法来减小或消除误差对系统性能的不 利影响，这些方法一般称为摩擦补偿方法，近年来摩擦补偿已成为研究的热点，i e e e 、 a s m e 、a u t o 姐t i c a 等杂志上发表了很多关于摩擦补偿的论文。 2 摩擦引起的混沌研究 2 1 1 混沌的起源与发展 早在公元前5 6 0 年左右，中国古代思想家老予就有了关于“道，可道，非常道” 之说，并初步提出了宇宙混沌的哲学思想。公元前4 5 0 年左右，中国古代哲学家庄子 7 沈阳工业大学硕士学位论文 也说过“南海之帝为倏。北海之帝为忽。中央之帝为混沌”。庄子所说的倏、忽就是 迅速灵敏，混沌有无知愚昧的意思，分别代表三个阜帝。而混沌竟在中央。应当说， 庄子说的是政治，隐喻哲学。他的“中央之帝为混沌”的思想则是对人类行为的混沌 性态的最早的哲学观点。卜- 世纪初的1 9 0 3 年，法国数学家庞加莱在科学与方法 一书中提出了他的猜想。他把动力学系统和拓扑学两大领域结合起来，指出了混沌存 在的可能性，从而成为世界上最先了解存在混沌可能性的人，1 9 5 4 年，前苏联概率 论火师a n k oj m o g o r o v 在探索概率起源过程中注意到了哈密顿函数中条件微小变化 时周期运动的保持。该思想为如下结论奠定了基础，即不仅耗散系统有混沌，保守系 统也有混沌。 从6 0 年代起，人们开始探索科学上的那砦莫测之迷，使混沌科学得到了b 速发 展。美国，象学家e l o r e n z 取得了很大成功。他用。台原始计算机研究气候的变化。 1 9 6 3 年，l o r e n z 在大气科学杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，揭示了 非周期性与不可预见之间的联系；他还认为串事件可能有一个临界点，在这一点上， 小的变化可以放大为大的变化。而混沌的意思就是这些点无处不在。这些研究清楚的 描述了“对初始条件的敏感性”这一混沌的基本特性，这就是著名的蝴蝶效应。凶此， 可以说，天气预报和气象学的研究叩开了混沌科学的大门。 7 0 年代是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代。在这一时期，作为一门新的科学 一混沌学正式诞生。科学家们对混沌作了大量的研究。1 9 7 0 年，美国科学家t s k u h n 的科学革命结构一书出版，对混沌理论的发展起到了推波助澜的作用。1 9 7 1 年 r u e l l e 和t a k e n s 提出了奇怪吸引子( s t r a n g ea t t r a c t o r ) ；1 9 7 5 年，中国学者李天 岩和美国数学家j y o r k e 在( ( a m e r i c a m a t h e m a t i c s ) ) 杂志上发表了“周期三意味着混 沌”的著名文章，深刻揭示了从有序到混沌的演变过程。同年l i 和y o k e 首先使用 “c h a o s ”这个术语，并为以后的学者普遍接受。1 9 7 6 年，美国生物学家r m a y 在自 然杂志上发表了“具有极复杂的动力学的简单数学模型”一文，他向人们表明了混 沌理论的惊人信息：简单的确定论数学模型竟然也可以产生貌似随机的行为。1 9 7 7 年，第一次国际混沌会议在意大利召丌，标志混沌科学的诞生。1 9 7 8 年，美国物理 8 沈阳工业大学硕士学位论文 学家m j f e i g e n b a u m 在统计物理杂志上发表了关于普适性的文章“一类非线性 变换的定量的普适性”，轰动世界。正是普适性的研究使混沌科学确立起自己坚固的 地位。在这个基础上f e i g e n b a u m 又发现了在由倍周期分衍到达完全无序状态的过程 中存在一个普适的物理常数- - f e i g e n b a u m 常数，并在系统的动力分析中引入重整化 群的思想。这一重大发现具有里程碑的意义。同年，! g a n d e b o rl 发现自然界很多现 象都是不规整而破碎的，并具有自相似结构，维数为分数，这就是分形( f r a c t a l ) 。 进一步研究表明，混沌吸引子也具有分彤的特征，从而使混沌理论与分形学有机的结 合起来，成为非线性科学的重要组成部分。 8 0 年代美国数学家b m a n d e i d r o t 用计算机绘出了第一张b m a n d e l d r o t 集的图 象。1 9 8 4 年，中国著名的混沌科学家郝柏林编辑的混沌一书在新加坡出版。1 9 8 6 年，中国第一届混沌会议在桂林召开。 到了9 0 年代，混沌科学与其他科学相互渗透。无论是在生物学、物理学、心理 学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学，还是天文学、气象学、经济学，甚至 在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。混沌在现代科学技术中起着十分重 要的作用，正如混沌科学的倡导者之。，美国人m s h l e s i n g e r 所说，“2 0 世纪科学 家将永远铭记的只有三件事，那就是相对论，量子力学与混沌”混沌学的研究涉及到 对确定论与随机性，有序与无序，简单性与复杂性，量变与质变，整体与局部等范畴 和概念认识上的深化，对整个自然界科学的发展有着重大的影响。目前，对混沌的研 究已遍及自然科学的各个领域，这些研究的关键是应用混沌理论的新概念、新方法来 研究各个学科领域中具体的非线性模型及其演化过程，从而不断丰富混沌动力学的内 容。 2 1 2 混沌定义和特征 2 1 2 1 混沌的定义 什么是混沌? 自然科学界、哲学社会科学界等都具有自己学科色彩的解释。如： 混沌是非周期的有序性；混沌是蕴含着有序的无序运动状态，是有序和无序的对立统 一，是从有序中产生的无序状态，一般地混沌可这样来描述：它是从有序中产生的无 9 一 沈阳工业大学硕士学位论文 序运动状态，无序来自有序，无序中蕴含着有序，有序和无序足对立统一的，高一层次 上是有序的，而低一层次上是无序的。人们知道，作为数学概念不能停留在直观的描述 上f 面我们按时问顺序介绍“混沌”作为数学概念的定义。 1 9 8 3 年s i n g b e r g 。1 依据李天岩和约克的定理提出了如下定义： 定义l 设，= 每b ，假定从x 斤到，的映射f j a ) + f “ x i ，a rc 、2 、1 ) x ，t + l = f ( x ，x ) x ，i rq 、l b ( 2 1 1 ) 或( 2 1 2 ) 是连续的，其中x 为单参数。映射f 称为是混沌的，若 ( i ) 存在一切周期的周期点： ( i i ) 存在不可数的非周期点集s sc ，且， l i m i n f f n t x ? x ) 一f n ( y x ) = o ? x y s x y ： l i ms u p f n ( x ，a ) 一f n ( y a ) 0 x y es x y ： l i ms u p f n t x ? x ) 一f n ( p a ) o x c ：s t 9 为商獭点 成立，这里p 是f 的第1 7 次迭代。这个定义一般只适用于一维的情形 1 9 8 6 年d e v a n e y “1 给出了较般的定义： 定义2 设v 为一个集合，映射，jp y 称为在r 上是混沌的，若下列条件成立： ( i ) f 是拓扑传递的； ( i i ) 周期点在v 中稠密； ( i i i ) f 对初始条件的依赖是敏感的。 关于这个定义，一些学者发现其中的一些条件是多余的。b a n k s 等人。首先证明， 在任一度量空间v 中，( i ) 和( i i ) 可导出( 1 i d 。而a s s a f 和g a d b o i s ”3 又指 出，对一般的映射，此为仅有的多余，即( i ) 和( i i i ) 导不出( i i ) ；( i i ) 和( i ) 导不出( 1 ) 。1 9 9 4 年v e l l e k o o p 和b e r g l u n d 证明，若考虑区间上的映射，仅( i ) 就可以了，即拓扑传递性等于混沌。1 9 9 5 年c r a n n e l l 又作了进一步讨论。 1 9 8 7 年周作领。1 从另一角度给出了如下定义： 1 0 沈阳工业大学硕士学位论文 定义： 对于度量空间矽中的连续映射，若存在f 的不可数f 集s 含j i ， 的非游荡集，且对任意卫y s 当有 l i m i n f d i t n t x ) ? f n t v ) ) = 00 2 、3 1 另外当x r 时还有 l i m s u pd ( f n ( x ) f n ( y ) ) 0 t 2 、4 ) 则称，是混沌的。 周作领依据这个定义证明了有正的拓扑熵的系统以及存在位移自同构或横截同 宿点或斯梅尔马蹄的系统都是混沌的。 从这些定义中可以发现：混沌系统( 存在混沌的系统) 是由确定性的方程描述的 不含随机项；系统具有拓扑传递性。 21 2 2 混沌的特征 混沌现象只出现在非线性动力系统中，是一种极其复杂的现象，它是一种始终限 于有限区域且轨道永不重复的、性态复杂的运动，它有时被描述为具有无穷大周期的 周期运动或貌似随机的运动，微小的扰动被加强到足够影响宏观行为的程度，临近轨 道以指数形式迅速散开。 首先被发现的混沌的基本的、最明显的特征是对初始条件的敏感性，或者称为“蝴 蝶效应”为了说明这一特征，我们举出如下的极为简单的例子考虑一维映射映射： k ，：2 x n 剀麓引他时 ( 2 1 5 ) “一1 2 _ 一1 ，当1 2 蔓_ s l 时 “ 这是一个混沌系统且对初始条件具有敏感性。事实上，我们有序列 x ox 1 ，。2 一，x 。，+ 一， ( 2 1 6 ) 这晕x 0 是初始状态。序列演化依据初始条件的不同会出现3 种形态 ( 1 ) 勘是分母为2 ”的有理数( n 是整数) 时，x 。一0 ( n o 。) 。例如，耿 沈阳工业大学硕士学位论文 x o - x o 。= 抖刍 - 堂蔷剑测b 旷。 ( 2 ) 当x 。是分母不为2 ”的有理数时，序列有周期解。例如，取x 。2 x 矿西1 3 则有 1 31 365 而2 瓦一t2 雨。z2 了屯2 了。： 当n 充分大以后，序列在在了6 ，j 5 期3 。 653 ，。s 。了。s2 了。，2 了。 之间来回跳动，这就是李天岩和约克所说的周 ( 3 ) 当是无理数时，不难发现序列( 2 1 6 ) 既不趋向于零也不趋向于岗期解，这 种状态f 是混沌状态不难看出。，x 0 2x 。作为初始值相差极小，但到x 。以后 ，对应于0 ，j 。：对应于周期3 ，而x 0 3 对应于混沌的序列。这种敏感性是许多非 线性系统所特有的性质。从微分方程解的性态上首先发现这种特征的是庞加莱。 第二个特征是所谓“普适性”。世界的本质只有通过非线性数学模型才能较准确 地进行描述。人们知道，任何个系统与另一个系统的相互作用都是双向的，从而会 出现非线性项。但古典力学中，常常采取忽略的办法。随着研究的深入和精细，人们 开始重视探索不可避免遇到的非线性现象。非线性现象的普适性是结构性特征。按照 哈密尔顿的数学形式，非线性动力系统划分为可积和不可积两类。力学系统、生态系 统、生命系统等一般是不可积系统。另外有一些系统则是可积系统。例如孤立子波， 它代表一种能量比较集中的波，在传播中具有相当稳定的形态，即使有两个孤立子波 相互作用，过一段时间后，它们还会分开来并保持原来的形态。再一个普适类是数量 化的，即存在普适常数，称为测度普适类。同一映射或迭代在不同测度层次之间结构 性态只依赖于非线性函数的性质如 x = 。( 1 一x 。) ( 2 1 7 ) ( 2 1 7 ) 式是- 个确定性系统，在 0 ，4 上取值，x 。在 0 ，1 上取值现已证明， 1 2 沈阳工业大学硕士学位论文 当= 2 时x 。一0 5 ，叫周期1 解i 当= 3 时，解的图像发生叉型分枝 当爿= 3 2 时，z 。在0 5 1 3 和0 7 9 9 两个值上跳动，叫周期2 解；当= 3 5 时 x 。在o 1 5 2 ，0 8 7 9 ，0 3 7 3 ，0 8 23 四个值上来回跳动，叫周期4 的解； 一 是分 布在 0 ，1 上的随机数系统虽有随机性，但却有两个常数： 个是 万= 4 6 6 9 2 0 1 6 6 0 9 1 0 2 9 9 ： 另一个是 口= 2 5 0 2 9 0 7 8 9 5 8 9 2 5 4 8 。 这两个常数称为混沌学奠基性常数，是由费根鲍姆( f e i g e n b a u m ) 于1 9 7 8 年发现的， 也称为费根鲍姆常数。费根鲍姆是在研究( 2 1 7 ) 时，发现倍周期分枝过程以及分枝值 所遵守的个规律，从而得到6 的。他还发现刻划标度率的常数n 。不过这两个常数 的严格的数学证明是由兰福德( l a n f o r d ) 作出的。 自相似性是混沌系统的第三个特征。有一类混沌系统的部分与整体具有某种相似 性。这是混沌系统的无序中蕴含有序的几何特征，也是混沌与混乱的本质区别之。 混沌系统是十分复杂的系统，但这种复杂性是由简单性演化而来的。简单性对应着确 定性。混沌系统有无穷的内部几何结构，呈现着高度有序的微观结构，是无穷嵌套的 自相似。 第四个特征是拓扑可传递性。这是最本质的特征。所谓一个系统是拓扑可传递的， 若和y 是度量空间x , ，中的两个丌子集，且存正整数7 。使u n f ”缈) 中例 如拓复杂的扑可传递系统存在 o ，1 ，s ( x ) = m i n 2 x ，2 2 x 是拓扑可传递的。 ，( = 1 2 2 x 一, 0 2 z 1 一j u j ，亦即 厂”一) n u 巾 ( 2 1 1 1 ) 这就证明了所给系统是拓扑可传递的，从而也证明了该系统是混沌系统 另外，混沌具有通常确定性系统所没有的的几何和统计特征，如局部的不稳定而 整体稳定、无限自相似、连续的功率谱、分数维以及正的l y a p u n o v 指数等特征。与 随机运动干h 比较，混沌运动具有确定性的特征：无周期而有序以及强的对初始条件的 敏感性等，混沌运动的三要素：不可预测性、不可分解性和规则性成分。由于对初始 条件的敏感性而导致了长期行为的不可预测性，但混沌行为仍是具有规律性成分，即 稠密的周期点。 2 1 _ 3 研究系统中混沌的方法 2 1 3 1 解析方法 其核心思想是把所讨论的系统归结为一个二维映射系统，然后推导该二维映射存 在横截同宿点的数学条件，从而证实此映射具有s m a l e 马蹄意义下的混沌性质，优点 在于可卣接通过分析计算来进行系统分析。但这种方法只能晓明存在不变集a ，使得 动力系统在a 上的动力行为是混沌的。对于实际系统，混沌运动要求有混沌吸引子存 1 4 沈阳工业大学硕士学位论文 在，通过这种方法判定的不变集a 不等于实际观察到的混沌吸引子。 2 1 3 2 数值方法 到目前为止，解析方法还很不完善，因此在实际系统中普遍采用的是实验和数 值方法。这种方法是通过研究系统的数字特征来分析系统，系统的数字特征主要包括 以下几种： ( 1 ) 功率谱 混沌动力学关心的主要是运动轨道的同归行为。纯随机的运动包含一切可能的频 率成分，而一切非随机的运动都具有一定的特征时间尺度或频率结构。对系统的时间 历程进行f o u r i e r 分析便可得到功率谱。信号x ( t ) 的f o u r ie r 变换定义为： x ( ) - l i m 专f x ( r ) p 1 “出 ( 2 1 1 1 2 ) r _ + 7 。o 由此可计算功率谱： c ( u ) = i x ( m ) 1 2 功率谱反映了某一坐标的功率c ( 。) 在频率m 上的分布情况，所取信号时削历程 越长，谱分析的结果越精确。对于周期和拟周期运动的系统，其功率谱是离散的；对 于混沌运动的系统其功率谱是连续衰减的。然而，从物理实验和数值计算角度， 个周期很长的解和一个混沌解是难以区分的。用计算机上的快速f o u r ie r 分析和实时 频谱分析仪柬阐明时间信号的频率结构。 从实际测最或计算机实验中得到的，往往是按等时间间隔t 得到的时间序列 对这个序列人为地加上周期边界条件n 。= n ，v ，然后计算自相关函数，即离散卷积 旷宝c j e x p i = 1f 攀 旺， 1 ， 只代表第膏个频率分量对x i 的贡献，这就是功率谱的本来意义。 时间序列m ，如如“二曲中自然包含了两个“时间常数”，即采样时间碍口总采样 时间n ，。这两个时问常数的倒数，分别决定两个特征频率 1 5 沈阳工业大学硕士学位论文 ，m 。= 万1 ( 2 1 1 4 ) 和 ，m 扩掣1 = 而1 ( 2 1 a 5 ) 这里_ 。是以此种采样数据所能观测的最高频率。为了反映高频成分，就必须缩短采 样间隔。厶。= v 是两个相邻f o u r i e r 系统的频率差。 使用离散采样永远不能单值的确定被研究的系统的频率结构。设想从有限长的 段正弦函数采了1 0 0 个点。总有无穷多种办法来构造频率更高的