（计算机软件与理论专业论文）三元信号偶及最佳四元互补阵列理论研究.pdf

摘要 摘要 最佳离散信号及其设计在现代通信、雷达、声纳、制导、空间测控， 以及电子对抗等有线和无线系统的优化设计中，扮演着越来越重要的角色。 结构优良的信号可以提高系统的抗干扰、抗噪声、抗截获、抗衰落等性能， 可以增加系统的数据保密性，可以实现码分多址通信和实现通信中的同步 与捕捉等。因此，深入研究各种最佳离散信号，在理论上和应用上都有非 常重要的意义。 最佳离散信号的研究主要包括循环相关、非循环相关、基于偶的相关 信号等几方面。本文主要对最佳三元阵列偶、三元互补序列偶、三元周期 互补序列和最佳四元互补二维阵列进行了研究。 在信号偶的研究方面，本文提出了一类新的离散信号，即最佳三元阵 列偶和三元互补序列偶。定义了最佳三元阵列偶和三元互补序列偶；讨论 了最佳三元阵列偶和三元互补序列偶存在的性质，建立了最佳三元阵列偶 与特征多项式的等价关系；提出了用阵列变换、k r o n e c k e r 乘积、周期乘积、 折叠变换和递归构造等多种方法来构造最佳三元阵列偶；提出了用序列多 项式构造等长、2 n 长和2 州长的多种构造三元互补序列偶的方法。 在三元周期互补序列的研究方面，讨论了三元周期互补序列存在的性 质，建立了三元周期互补序列与特征多项式的等价关系，提出了用序列变 换，周期乘积和互补侣等多种方法构造三元周期互补序列。 在最佳四元互补二维阵列的研究方面，给出了准最佳四元互补二维阵 列的定义及其特征多项式性质，利用准最佳四元互补二维阵列提出了一种 构造最佳四元互补二维阵列的新方法。 关键词最佳离散信号；序列偶；阵列偶；三元阵列偶；三元互补序列偶； 三元周期互补序列；四元互补阵列 燕山大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep e r f e c td i s c r e t es i g n a la n di t sd e s i g np l a y sa ni n c r e a s i n g l yi m p o r t a n t r o l ei nm o d e mc o m m u n i c a t i o n s ，r a d a r , s o n a r , n a v i g a t i o n , s p a c er a n g i n ga n d c o n t r o l l i n g ，a n de l e c t r o n i c a l l yc o u n t e r m e a s u r e sd e s i g no p t i m i z a t i o no fo t h e r w i r e da n dw i r e l e s ss y s t e m s w e l l s t r u c t u r e ds i g n a l sc a ne n l m n c es y s t e m s p r o p e r t i e so fa n t i _ i n t e r f e r e n c e ，a n t i - n o i s e ，a n t i - d o u b t s ，t h ed e c l i n eo fp e r f o r m - a n c es u c ha sr e s i s t a n e et ot h es y s t e m , a n di n c r e a s ed a t ac o n f i d e n t i a l i t ya n d c d m ac o m m u n i c a t i o n sa n ds y n c h r o n o u sc o m m u n i c a t i o na n dr a p t u r ec a l lb e a c h i e v e d t h e r e f o r e ，a ni n - d e p t hs t u d yo f t h ep e r f e c td i s c r e t es i g n a l si so f v i t a l i m p o r t a n c eb o m i nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s o v e rt h ep a s td e c a d e s t h er e s e a r c h h a sm a d eg r e a ta c h i e v e m e n t sa n df u r t h e ri n d e p t hs t u d yi su n d e r w a ya tp r e s e n t p e r f e c td i s c r e t es i g n a lr e s e a r c hi n c l u d e sp e r i o d - r e l a t e ds i g n a l , a p e r i o d - r e l a t e ds i g n a l ，r e l a t e ds i g n a lb a s e do np a k sa n do t h e rs u c ha s p e c t s p e r f e c t t e r n a r ys e q u e n c ep a k s ，t e r n a r yc o m p l e m e n t a r ys e q u e n c ep a k s ，p e r i o d i c c o m p l e m e m a r yt e r n a r ys e q u e n c e s ，p e r f e c tc o m p l e m e n t a r yq u a t e r n a r ya r r a y s a l ed i s c u s s e di nt h i st h e s i s t h i st h e s i so n l ys t u d i e dt h et h e o r e t i c a li s s u e sr a t h e r t h a ni t se n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s i nt h er e s e a r c ho f s i g n a lp a i r s ，an e wk i n do f d i s c r e t es i g n a li sp r e s e n t e di n t h i sp a p e r , w h i c hi sp e r f e c tt e r n a r ys e q u e n c ep a i r sa n dt e r n a r yc o m p l e m e n t a r y s e q u e n c ep a i r s t h ed e f m i t i o na n di t se x i t i n gn e c e s s a r yc o n d i t i o n so fp e r f e c t t e r n a r ys e q u e n c ep a i t sa n dt e r n a r yc o m p l e m e m a l ys e q u e n c ep a i r s w e r e p r e s e n t e d ；p o l y n o m i a lc h a r a c t e ro fp e r f e c tt e r n a r ys e q u e n c ep a i r sw a sg i v e n ； t h ec o n s t r u c t i o no fp e r f e c tt e m a r ys e q u e n c ep a i r sb yu s i n ga r r a yt r a n s f o r m , k r o n e c k e rp r o d u c t ，p e r i o dp r o d u c t ，f o l e dt r a n s f o r m , b yr e c u r s i o na n do t h e r m e t h o d sw e r ep r e s e n t e d ；w ea l s od e d u c e dt h es a m e ，2 na n d2 m nl e n g t h t e r n a r yc o m p l e m e n t a r ys e q u e n c ep a i r sb yu s i n gi t sp o l y n o m i a lc h a r a c t e r a b s t r a c t i nt h er e s e a r c ho fp e r i o d i cc o m p l e m e n t a r yt e r n a r ys e q u e n c e s ，t h ee x i t i n g n e c e s s a r yc o n d i t i o n so fp e r i o d i cc o m p l e m e n t a r yt e r n a r ys e q u e n c e sw e r e d i s c u s s e d ；p o l y n o m i a lc h a r a c t e ro fp e r i o d i cc o m p l e m e n t a r yt e m a r ys e q u e n c e s w a sg i v e n ；t h ec o n s t r u c t i o no fp e r i o d i cc o m p l e m e n t a r yt e m a r ys e q u e n c e sb y u s i n gp e r i o dp r o d u c ta n dp e r i o dp r o d u c tc o m p l e m e n t a r yc o m p a n i o ns e q u e n c e s i nt h er e s e a r c ho f t w o d i m e n s i o n a lp e r f e c ts u p p l e m e n t a r yq u a t e r n a r ya r r a y ， p o l y n o m i a lc h a r a c t e ro ft w o d i m e n s i o n a lq u a s i p e r f e c ts u p p l e m e n t a r yq u a t e m - a r ya r r a yw a sg i v e n ；an e wm e t h o df o rc o n s t r u c t i n gt w o d i m e n s i o n a lp e r f e c t s u p p l e m e n t a r yq u a t e r n a r ya r r a yb yu s i n go ft h ep r o p e r t i e so ft h e t w o 。 d i m e n s i o n a lp e r f e c t s u p p l e m e n t a r yq u a t e r n a r ya r r a ya n dt w o d i m e n s i o n a l q u a s i p e r f e c ts u p p l e m e n t a r yq u a t e r n a r ya r r a y - k e y w o r d sp e r f e c td i s c r e t es i g n a l ；s e q u e n c ep a i r s ；a r r a yp a i r s ；t e r n a r ya r r a y p a i r s ；t e r n a r yc o m p l e m e n t a r ys e q u e n c ep a i r s ；p e r i o d i cc o m p l e - m e n t a r yt e m a r ys e q u e n c e s ；s u p p l e m e n t a r yq u m e m a r ya r r a y 燕山大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文三元信号偶及最佳四元 互补阵列理沦研究足本人在导师指导f ，在燕山大学攻读硕士学位期| h j 独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不 包含他人己发表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本 人承担。 作者签字 同期：枷g 年，胡，日 燕山大学硕士学位论文使用授权书 三元信号偶及最佳四元互补阵列理论研究系本人在燕山大学攻读 硕士学位期问在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归燕 山大学所有，本人如需发表将署名燕山大学为第一完成单位及相关人员。 本人完全了解燕山大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人 授权燕山大学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布 论文的全部或部分内容。 保密口，在 本学位论文属于 不保密囱。 ( 请在以上相应方框内打“” 作者签名 导师签名 年解密后适用本授权书。 ) 易 绝 、邳 忻 邝 胡 明 射 射 “蹦 嗍 嗍 匀目 馇南却唆 第1 章绪论 1 1 引言 第1 章绪论 最佳离散信号及其设计在现代通信、雷达、声纳、空间测控，以及电 子对抗等有线和无线系统的优化设计中，扮演着越来越重要的角色【卜引。结 构优良的信号可以提高系统的抗干扰、抗噪声、抗截获、抗衰落等性能， 可以增加系统的数据保密性，可以实现码分多址通信和实现通信中的同步 与捕捉等。因此，深入研究各种序列( 或阵列) 的性质，在理论上和应用 上都有非常重要的意义。 最佳离散信号设计问题不仅对通信、电子工程的设计起着极其重要的 作用，而且该问题还与许多的数学学科有着密切的联系。由于最佳离散信 号设计的需要，已经提出了许多的新的数学问题，对这些数学问题的研究 也推动了某些数学分支的发展；反过来，数学的发展极大地促进了最佳离 散信号设计理论的发展。 但是，最佳离散信号本身并无严格的数学定义，在各种不同的工程领 域中，由于实用背景的千差万别，对所用信号的需求标准也有差别。一般 说来，能满足某项工程的需求并使系统性能处于最优状态的信号，统称为 最佳离散信号( 或称为最佳信号) 。由此可见，某个信号是否最佳，仅是相 对的，不是绝对的。实际上，当用一种工程标准去衡量某类信号时，它可 能是最佳的，但当用另一种工程标准去衡量时，该一类信号可能就变成差 的了。因为有些工程要求彼此之间本身就是相互抵触的，所以可以断言： 当前不存在、今后也几乎不可能找到一类信号在所有工程要求标准下都是 最佳的。 随着电子技术、通信技术和计算机技术的飞速发展，电子设备处理信 号的能力大幅度增加，各种电子系统功能愈来愈多，结构愈来愈复杂，对 系统的各项性能指标的要求愈来愈高，对所用信号也就提出了更高的要求。 燕山大学工学硕士学位论文 特别是计算机技术在通信系统中的广泛应用，至使在通信中信号的处理不 仅可以采用电路方式处理，而且可以采用各种计算机用数字方式( 程序) 处理，处理信号的手段更加灵活。这就促使人们可以选用更为复杂的信号 形式( 特别是新的序列相关方式以及新的最佳信号形式) ，以提高系统的性 能。 综上所述，研究最佳信号设计理论不仅有重要的理论价值，而且有广 泛的工程应用前景。 最佳离散信号的分类如按信号元素类型可分为二元( 二进) 、三元、四 元、多元等信号；目前最普遍的工程要求大约可分为：伪随机性、循环相 关性( 周期相关性) 、非循环相关性( 非周期相关性) 、汉明相关性和线性 复杂度等。在这些工程标准要求下，已取得大量的、有重要理论价值和应 用前景的成果。 1 2 循环相关信号的研究现状和发展趋势 1 2 1 循环相关信号理论研究进展 循环相关是目前应用最广泛、研究最深入的最佳信号准则，它之所以 成为判定最佳信号的一个标准，是因为在通信工程问题中常常要求所处理 的信号集至少具有如下两个条件或其中之一 1 l 8 - 9 ： ( 1 ) 信号集里的每一个信号都很容易与其自身的移位信号区分开来： ( 2 ) 信号集里的每一个信号都很容易与此信号集的其他信号以及它们 的时延信号区分开来。 条件( 1 ) 对诸如遥测系统、雷达系统和扩频通信系统来说是十分重要 的；而对同时遥测多个目标、多个终端系统识别和码分多址通信系统来说， 条件( 2 ) 则更为重要。在实用中，为了简化有关工程系统具体的实现过程， 经常要求信号是周期性的。区分信号的一个最常用和最有用的测度是所谓 的最小均方差，郎当两个信号之间的均方差很大时，这两个信号就很容易 彼此区分开来。从理论上已经严格k 正昨jr 4 , 5 1 ：当信号的采样序列具有良好的 第1 苹绪论 循环相关特性时，信号与信号之间以及与其时延信号的之间的均方差就较 大，从而可以利用带有相关接收机或匹配滤波器的导航和雷达系统等接收 设备准确地提取出所需要的信号或时延。这便是循环相关为什么可以作为 判别最佳信号的一个标准的工程背景。 循环相关函数定义如下【6 】： 设x = ( 而，x 2 ，x n ) 和y = ( y t ，y 2 ，_ ) ，) 是两个长有限序列，称函数 型 丑，( r ) = x j y j + ，0 r n 一1 ( 1 - 1 ) j - o 为信号x 和y 之间的循环互相关函数，其中痒+ r = ( 撵+ ，) m o d n ( 循环的含 义就在于此) 。当x = y 时，又称此函数为循环自相关函数。 当然，上述的循环相关的定义也可以推广到阵列的形式。 由定义式( 1 1 ) 可见，两个信号之间的循环相关函数值实际上就是一个 信号与另一个信号循环移位的复数共轭之间的内积。这样，设计具有良好 循环相关特性的信号集的任务就变为找出由若干个周期序列组成的信号 集，而这些序列要同时满足以下两个条件或者满足其一： ( 1 ) 对集合中的每个序列x = x 。 ，当0 ，一l 时，异相自相关函数 值l ( r ) l 要尽可能地小，即自相关函数要尽可能地接近于一个6 函数； ( 2 ) 集合中两个不同信号之间的互相关函数的绝对值要尽可能地小，即 x 忏- - e j j l r n ，x y ，信号x 和y 的互相关值l ( ，) i 要尽可能地小。 在过去的几十年中，国内外学者经过不断地努力，在这方面取得了不 少突破性成就，成功地设计出许多类同时具有良好循环自相关和互相关特 性的序列和阵列【卜1 0 1 ，这对于进一步研究具有良好循环自相关和互相关特 性的序列和阵列有重要的指导意义。同时，由于具有良好循环相关特性的 最佳信号序列或序列族往往与一些著名的区组设计等价t 3 , 6 1 ，致使对于最佳 信号序列的研究不但有重要的实际意义，而且还有重要的理论意义。 按照信号元素的取值，已有的循环相关离散信号可以分为两大类。 一类是复值或实值序列和阵列，这种序列的特点是它的元素取自复数 燕山大学工学硕士学位论文 域或实数域中的任何一个部分。由于此类序列取值的复杂性，他们更常用 于模拟通信系统中。 另一类是整数序列或阵列，其特点是元素取值简单，例如，仅取+ 1 和 一l ；或仅取0 和1 ；或仅从某个有限域中取值( 即多元情形) 等。这一类 信号的主要成果有：移位寄存器序类1 1 、m 序列、g l o d 序列【1 1 、k a s a m i 序列口4 1 、m 序y d t ：, 4 1 、b e n t 序列【2 ，4 1 、g m w 序歹d t s , 9 j 、最佳二元阵列和几乎 最佳二元阵列【4 6 ，1 即、最佳三元阵列和几乎最佳多元阵列t 1 6 也9 1 。这一部分的 研究成果非常丰富，在此不一一叙述。 1 2 2 最佳二元阵列的理论研究进展 最佳二元阵列是一种相关性能很好的伪噪声阵列，由于其具有良好的 相关特性，这种最佳阵列已应用于信道编码、同步信号处理、图像编码、 数据压缩、模式识别、密码学及组合分析中。它是d o m e n i c kc a l a b r o 和j a c k k w o l f 在考虑二维同步时，于1 9 6 8 年引入的【1 6 1 ，其中有关定义如下： 设s = i s ( x , ，x 2 ，h ) 】是一个疗维l 2 m 阶的矩阵，其中 1 ts m ，( 1 s i n ) ，如果高维矩阵s 满足： ( 1 ) 元素为1 ，即s ( x l ，x 2 ，x 。) = l ； ( 2 ) 异相自相关函数为0 ，即 s ( x l ，x 2 ，x o ) s ( x l + ，x 2 + 吃，+ ，；1 ) = 氆篆鬻怒弼(1-2)0 r 2 00 i ，( ，) ( o ，u ，一，) 则称s 是l ：n 。阶最佳二元阵列。其中一十= ( + ) m o d f 。 最佳二元阵列s = p b 。，x ：，x 。) 】的体积e 和平衡性，定义为： ，) ( 1 3 ) ( 1 - 4 ) 在6 0 年代末期最佳二元阵列刚刚出现时，由于他的良好相关特性，得 到通信与电子领域内众多学者的广泛重视。但是由于当时缺乏计算机的帮 4 虬 文 吼_ i 。l 一 阽删删 = 第l 章绪论 助，很快发现最佳二元阵列虽然性能特别好，但是却难以寻找。在6 0 年代 仅找到一个一维4 阶最佳二元阵列、两个二维2 x 2 阶和4 x 4 阶最佳二元阵 列 4 0 j ，在此后的十几年间没有取得多少进展。直到1 9 7 9 年才又发现6 x 6 ( 非 对称结构) 和3 1 2 阶两个二维最佳二元阵列 ”j 。总的来说，从7 0 年代初 到8 0 年代中期，各国学者就没有再认真研究过最佳二元阵列。到了8 0 年 代末期，由于实际工程的需要，并借助于计算机，找到了若干体积较小的 最佳二元阵列，更由于发现了许多十分有效的构造最佳二元阵列的新方法， 从1 9 8 7 年开始最佳二元阵列又成了国际学术界的一个热点研究对象，在此 后短短的几年时间里就取得了丰富的研究成果【1 8 埘1 。 1 2 3 循环相关信号构造方法研究进展 循环相关信号研究的目的就是为工程应用提供更多的最佳的循环相关 信号，因此，在对循环相关信号进行理论研究的同时，必然会涉及到循环 信号的研究，它们是相互依存的。从最佳离散信号的设计方法来看，目前 所有的主要方法有： ( 1 ) 移位寄存器方法利用线性移位寄存器方法和非线性移位寄存器方 法，这是工程中用得最多的方法。它的优点是结构简单、速度快、成本低、 普适性强等。这部分主的主要成果有：m 序列、g o l d 序列、k a s a m i 序列、 m 序列、b e n t 序列等。 ( 2 ) 有限域方法这是一种很先进的效果很好的设计方法，其唯一的缺 点是它需要有较深的数学基础，一般工程技术人员难以掌握和灵活使用。 但随着有限域理论知识的逐步普及，今后有限域方法将会在最佳信号设计 理论中发挥越来越大的作用。 ( 3 ) 布尔函数方法布尔函数是科研人员都很熟知的一种数学工具，所 以，这一方法的实用价值很大。采用布尔函数方法设计出的有良好循环相 关序列的代表是著名的b e n t 序列【6 1 ；运用布尔函数方法解决存疑多年的高 维h a d a m a r d 矩阵猜想问题【6 】，也充分说明布尔函数在最佳信号设计领域有 着广阔的应用前景。 ( 4 ) 多项式方法最近发现利用多项式，特别是一些低阶多项式，可以 燕山大学工学硕士学位论文 设计出一批能使循环自相关和互相关同时达到最佳状态的序列集。 ( 5 ) 组合数学方法许多最佳信号已经与组合数学中的区组设计及差集 理论建立了等价关系，例如：最佳二元阵列与差集、最佳四元阵列与相对 差集、最佳互补阵列与差族等，这些等价关系使组合数学的发展与最佳信 号理论的发展相辅相成。 除了上述几种主要的最佳信号的构造方法外，常用的设计方法还有三 角函数方法、数论方法、矩阵方法、以及其他多种混合方法【2 6 卅。 1 3 非循环相关信号的研究现状和发展趋势 1 3 1 非循环相关信号理论研究进展 非循环相关的主要工程背景是脉冲压缩雷达、声纳、通信同步等问 题非循环相关准则与循环相关准则的唯一区别在于它的信号己不再是周 期性的了。相应地，此时仅考虑非循环移位，即在定义非循环相关函数时 用非循环移位代替循环相关中的循环移位。从工程角度来说，非循环相关 更加接近实际，但因研究难度太大又缺乏有效的研究工具，使得非循环相 关信号设计难度很大，正处于等待突破的阶段。 非循环相关函数定义如下i ”l ： 设工= ( 气，x 2 ，h ) 和y = ( y l ，y 2 ，y d 是两个长有限序列，称 c w ( r ) = _ 乃+ ，l r - n j = 1 n - r _ 一， ，- n 0 为整数) 。p 2 为第i 维采样变换算子，且有： 只佧【0 1 ，j 2 ，s ”，s 。) 】= x ( s l ，s 2 ，缸，s n ) 将上述的6 种变换组合运用于阵列偶后，可以获得许多新的阵列偶， 在此就不一一列出了。在阵列偶的定义和阵列变换的基础上，阵列偶( x ，j r ) 经变换后的自相关函数具有以下性质： 性质2 4 ：阵列偶( ，y ) 经过互易变换为( 1 r ，x ) ，有： & r j ) ( 1 ，r 2 ，) = & x 朋( - ，1 ，一屹，一) 性质2 5 ：阵列偶( x ，即的负元变换为( 工，一y ) ，有： 置x ，“，r 2 ，0 ) = 一& r r ) ( ，1 ，r 2 ，) 性质2 6 ：阵列偶( x ，i ，) 经过移位变换为( z j ，z l r ) ，( 1 i s 珂) ，有： 足耻， ( ，l ，r 2 ，匕) = r ( x y ) “，r 2 ，) 性质2 7 ：阵列倡( x ，y ) 经过逆序变换为( r 。x ，r ，y ) ，( 1 i s 栉) ，有： r ( 碍f ，焉r ) ( ，r 2 ，r ，) = r ( x x ) ( ，r 2 ，一，) 性质2 8 ：阵列偶( x ，y ) 经过线性相位变换为( 。x ，上，y ) ，( 1 i 甩，m 是偶数) ，有： & 厶工，厶r ) ( ，r 2 ，) = ( 一1 ) 胄( j ，r ) ( ，1 ，r 2 ，f ，) 性质2 9 ：阵列偶( z ，j r ) 经对称变换为( s 。x ，s 。y ) ，( 1 i ，玎) ，有： 胄( 品x 岛r ) ( 1 ，r 2 ，0 ，。，) = r ( j t r ) ( ，l ，r 2 ，。一，0 ，) 1 4 第2 章阵列偶和阵列偶的一般性质 性质2 1 0 ：阵列偶( x ，y ) 经过采样变换为( 只。1 x ，只y ) ，( 1 - 0 为整数、，若k - 与n , 互素，有： 墨片，j ：f t l r ) ( ，吃，) = 足上r ) ( ，吃，m ，：i ) 肌= 红m o d n , 2 3 阵列偶的非周期循环相关函数 由于本文第4 章主要研究互补序列偶理论，为了讨论问题方便，下面 仅给出序列偶( 即一维阵列偶) 的非周期相关函数及基本性质。 设阵列x 和y 是2 个长一维序列，且记为： x = x o ，h - 1 ，y = y o ，y l ，y u l 类似阵列偶的定义，给出序列偶的定义如下： 定义2 1 1 ；设x 和 ，是两个长一维序列，称序列x 和序列y 为一个 长序列偶，记为( x ，】，) 。 由上述定义可知，序列偶( 工，y ) 的非周期自相关函数其实就是通常意 义下序列x 和y 之间非周期互相关函数。 定义2 1 2 ：长序列偶( 石，】，) 的非周期自相关函数c ( 舢1 ( _ ，) 为： c ( 彬) ( _ ，) = ，j = o ，o ，n - 1 ，j = 一n + 1 , - n + 2 ，一1 称c 肼) ( o ) = 只为自相关函数的主峰，称c ( ) ( ，) ，( ，o ) 为自相关函 - 1 0 数的副峰。 定义2 1 3 ：设z = z o ，z i ，z - l 是一个长序列，定义下面三种变换： ( 1 ) 序列z 的负元变换，记为z 。其中： z 2 z o ，z l ，7 n - 12 一z o ，一毛c , - - z - l ( 2 ) 序列z 相间码元负变换，记为z 。其中： z = z t o ，z f l ，z - l = ( 一1 ) “2 _ _ l ( 3 ) 序列z 的逆序交换，记为z 。其中： 燕山大学工学硕士学位论文 z = z o ，a ，2 一i = 2 n 一1 ，2 一2 ，7 o 在序列偶的定义和序列变换的基础上，序列偶( x ，y ) 经变换后的自相 关函数具有以下性质： 性质2 1 4 ：序列偶( x ，y ) 的互易变换为( 】，x ) ，有： c ( r ( _ ，) = c ( ) ( 一，) 性质2 1 5 ：序列偶( 工，y ) 的相问码元负变换为( x ，j ， ，有： g j ? ，( ) = ( 一1 ) 7c ( 删) 性质2 1 6 ：序列偶( 彳，y ) 的逆序变换为( 趸，两，有： c ( 膏。f 1 u ) = c ( ) ( - j ) 2 4 阵列偶( 序列偶) 的工程应用背景 在通信和雷达系统中的应用传统的相关检测是用与发送序列相同的 本地序列作为相关检测信号，并要求所选的信号序列有优良的自相关特性， 而用偶的理论：发送序列为x ，本地序列为i ，将看成是一个序列偶( 置i ，) ， 只需要序列偶( x ，】，) 的自相关函数满足一定的条件，就可用序列i ，来检测 序列x 。此时，若用序列x ( 即将x 作为本地序列) 来检测接受序列x ，由 于序列彳的自相关特性不一定优良，故不一定能有效地检测出x 来，如下： 已知石= 一一一一一+ + + + + + + 和y = 一+ 一+ 一+ + 一+ 一+ + ，组成一个 周期为1 2 的最佳二元序列偶( 工，y ) 。序列偶的自相关函数耳rr ，( r ) 、序列盖 和i ，各自的自相关函数如( r ) 和墨( ，) 如表2 - l ： 表2 - 11 2 长最佳二元序列偶( j ，y ) 以及序列x 和】，的自相关函数 t a b l e2 - lt h ea u t o c o r r e l m i o nf u n c t l o n so f t h ep e r f e c tb i n a r ys e q u e n g ep a i r s ( x ，y ) ，t h e s e q u e n c e xa n dyw i t ht h el e n g t h1 2 0l23456789 1 01 1 k “r ) 4o0o0o0000 00 r x ( r ) 1 2840 4 888 - 4 0 4 8 r “r ) 1 2840 - 4 88 8 - 4 0 48 由此可见，序列偶( 彳，y ) 的自相关函数的异相自相关函数值均为零， 1 6 第2 章阵列偶和阵列偶的一般性质 同相自相关函数值为4 ，而序列x 和】，的自相关函数均不理想，故可用序 列偶( 工，y ) 的优良的自相关特性提取有用信息。同时，若在码分多址通信 中使用序列偶( z y ) 作为地址码，可提供两个地址码( ，r - ) 和( 】，爿) 供两个 用户使用，这样，同一个信号起到了双重作用，大大拓宽了信号的使用范 围，为实际的工程应用提供了更大的方便。 2 5 本章小结 本章介绍了阵列偶和阵列偶的两种相关函数，对于循环相关阵列，文 中还定义了6 种变换形式及其7 个变换性质，这是第3 章研究最佳三元阵 列偶的理论基础。 对于非循环相关阵列( 本文仅讨论一维阵列，即序列) ，文中也定义了 序列的3 种变换形式及其3 个变换性质，这是第4 章研究三元互补序列偶 的理论基础。 本章还对阵列偶的工程应用问题进行了分析。 1 7 燕山大学工学硕士学位论文 3 1 引言 第3 章最佳三元阵列偶的研究 最佳二进阵列【1 6 】是一种性能很好的伪噪声阵列，但最佳二进阵列的存 在空间是非常有限的，仅存在体积为4 t 2 ( f 为整数) ，尽管最佳二进阵列偶具 有良好的相关特性，由于其条件的限制，要寻找大量满足条件的最佳阵列 非常困难。一种解决方法是增加阵列的元素取值，人们提出了最佳三进阵 列】，但在判定阵列的最佳性时使用的自相关函数仍然是阵列与自身时延 阵列的内积来表达的，这还是大大限制了最佳阵列的存在空间；另一种方 法是引入“偶”的概念，人们相继提出了最佳二进阵列偶【5 ”、准最佳二进 阵列偶【6 2 】、最佳屏蔽二迸阵列偶“1 等。阵列偶是新近引入的一类信号阵列， 这种信号阵列由两个相同阶数的阵列组成，这两个阵列的互相关函数定义 为这个阵列偶的自相关函数。这样，传统意义上的阵列是这种阵列偶的特 例( 即两个阵列相同的阵列偶) 。阵列偶在通信、雷达、声纳等系统中可以 作为地址信号来使用。其方法是当系统用阵列偶做地址信号时，任选阵列 偶中的一个阵列作为传输地址信号，而用另一个阵列作为接收机的本地阵 列，通过计算阵列偶的自相关函数( 即这两个阵列的互相关函数) 来达到提 取信息的目的。 本章在最佳三元阵列的基础上，结合阵列偶的思想提出了一种新的最 佳离散信号，即最佳三元阵列偶，给出了最佳三元阵列偶的性质，并建立 了与特征多项式的等价关系。同时，给出了最佳三元阵列偶的几种构造方 法。 3 2 基本概念和性质 定义3 1 ：设x = x ( 置，s 2 ，) 】，y = 【y ( _ ，屯，) 】是两个栉维1 2 茎! 兰墨堡三歪堕型堡塑竺塑 m 阶三元阵列偶，其中0 s m - 1 ，( 1 i 玎) ，称x 和】，为一个疗 维三元阵列偶，记为( x ，j r ) ；称e = l ，2 m 为该阵列偶的体积；此阵列 偶的自相关函数定义为： 置善( 1 ，吃，) = z ( s l ，岛，矗沙( 置+ ，j 2 + r 2 ，& + ) 定义3 2 ：若体积为e 的月维三元阵列偶( x ，y ) 的自相关函数量盯，( ， 吒，：，) 满足： “ 一巾= 熙篡善篡如 则称该阵列偶为最佳三元阵列偶，记作p 7 鼻埘1 ( 1 ，2 ，虬) ，f 称为 p 刚最删) ( 1 ，2 ，m ) 的峰值。 最佳三元阵列偶中元素的取值集合为 - - i ，o ，+ 1 。为了书写方便用“0 ”、 “i ”、“2 ”代替“1 ”、“0 ”、“+ l ”。 例3 3 ：下面给出通过计算机搜索出的p a t p ( 1 , 5 ) ，p a t p ( 2 ，9 ) ： 蚴 ：- 名z 邱他黜装辫医础笼蜘 例中【o 名t ： ，【0 ：，2 ，1 】，医l ，主兰1 ：；嚣l ，臣嚣盖：釜筹意l 都不是最佳三 元阵列，但由它们各自组成的阵列偶都是最佳三元阵列偶，可见最佳三元 阵列偶是最佳三元阵列的推广。 定义3 a ：最佳三元阵列偶( x ，】，) 的平衡度以和定义为： = z ( ，j ：，) = ( 屯一毛) = y ( ，s ：，) = ( 一) t 屯，t 式中：毛，毛和，分别为阵列x 和y 中元素“l ”、“+ l ”的个数。 对于体积为e 的三元阵列偶，则存在有w = 3 2 5 组合，若从这些组合中， 搜索出最佳三元阵列偶，其搜索量是相当大的。计算表明，计算机搜索的 数量随着三元阵列偶的体积的增加成指数增长，为了提高搜索效率，下面 1 9 茎些查兰三兰堡主兰垡丝奎 给出了最佳三元阵列偶中，阵列的平衡度与阵列零元素必须满足的关系； 各项元素的分布必须满足的关系。 性质3 5 ：若存在p t a p ( 船1 ( i ，2 ，m ) ，且阵列彳和，r 的平衡度之 和为偶数，则阵列偶( x ，j ，) 中的零元素个数之和为偶数；反之，阵列x 和 阵列y 的平衡度之和为奇数，则阵列偶( x ，y ) 中的零元素个数之和为奇数。 证明：设阵列x 和y 中的“一1 ”、“0 ”、“+ 1 ，爪数分别为南，k 2 ，岛，t l , t ：，厶， 由阵列x 的平衡度厶的定义可知，= 岛一向，而阵列偶的体积e = 岛+ 如 + 岛，则e + = 岛+ 2 岛；同理可得e + = ，2 + 2 ，3 ，于是心+ t 0 一( + ) = 2 ( e 一颤一厶) 成立，故可证得性质3 5 成立。 证毕。 性质3 6 ：若存在p t a p ( 舢1 ( 1 ，2 ，也) ( 峰值为f ) ，设阵列x 和y 中的“- 1 ”、“0 ”、“+ 1 ”个数分别为毛，如，岛，1 1 , 1 2 ，厶( 南+ 岛+ 岛= e ，+ f 2 + 1 3 = e ) ，则( 屯一畸) ( 厶一) = f 。 证明：设( ，】，) 的自相关函数为墨删) ( ，吃，：，) ，则所有自相关函数 之和为： 些一1 丝一1芭二1 n , - ix z = i 乜一1 丛一1 芭一l 虬- 1 & ) ( ，r 2 ，) = e 艺石( 西，8 2 ，) 1 ；0 屹= 0r - o ；or z = o- - 0 乇= o 屯- - 0= o 】，( 焉+ ，8 2 + ，2 ，矗+ ，：，) = 篁窆窆j ( 丑渤 ) 羔芝艺】，( 为+ ，屯+ ”一，矗+ ) ： = 0r j f f i o= o 芝芝工( 西，屯，) 】 s 1 = 0 屯卸= 0 n i - 1n ，- 1n - 1 【艺y ( 川r 2 一，名) 】= f i - o 吩1 01 0 ( 岛一向) ( 一) = f 证毕。 将性质3 5 和性质3 6 应用在最佳三元阵列偶的计算机搜索算法上， 茎：兰墨堡三垂堕型堡塑婴茎 可以大大地节省搜索时间，得到更多的搜索结果，为实际的工程应用提供 更大的选择范围。 最佳三元阵列偶的特征多项式性质为最佳三元阵列偶的研究提供了 种有效的数学工具。在最佳三元阵列偶的构造方面发挥着十分重要的作用。 下面给出p t a p 的特征多项式性质： 设玎维l 2 x 圯阶阵列j 的特征多项式为： p x ( x ，x 2 ，) = x ( s n ，是，霸增蜉砖 丑= o 屯= 0c o 定理3 7 ：若存在尸以只”，( 1 ，2 ，。) ，其峰值为f ，当且仅当 b ( 而，x 2 ，矗) 0 ( 百1 ，巧1 ，1 ) = f ( m o d 牮- 1 ，蛰一1 ，”一1 ) 式中p a x , ，而9 - - - 吒) 、p r ( x l ，x 2 ，矗) 为彳、y 的特征多项式。 证明：由于存在p t a p c m l ( l ，2 ，m ) ，所以有： x ( s 1 ，s 2 ，矗) r ( 墨，屯，) = ， ( 3 1 ) $ 1 e 03 2 = 0；o 当且仅当( ，r 2 ，) ( 0 ，0 ，0 ) 时 x ( s l ，是，矗) y ( + ，屯+ 吒，+ ，；，) = o ( 3 2 ) 6 = 0 屯卸 知暑。 所以在( r o o d p 一1 ，谚一l ，x 2 一1 ) 条件下，根据( 3 1 ) 并i i ( 3 - 2 ) 式，有： p a x , ，鼍，) o ( 1 ，巧，巧1 ) ；艺艺艺x ( s j ，屯，增磅砖 = o 巳= o如5 0 艺艺y ( m ，啦，w “葛吨“； h i ou 2 = o4 0 窆窆窆篁窆窆x ( 而，) - h = 0 屯= 0知- - - 0 吨2 0 虬| 0h = o h l l ，2 c ) 譬1 譬砰1i 艺x ( s t ，屯，毛，j ：，晶) + ；o $ 2 2 0“4 0 篁窆窆芝窆笙z ( q 而，矗) 2 1 燕山大学工学硕士学位论文 证毕。 3 3p t a p 的构造方法 y ( s t + 1 ，s 2 + r 2 ，s 。+ ，：，) 群霹砑f 目前，还没有找到系统构造原始的最佳三元阵列偶的方法，故主要采 用计算机搜索方法获得小体积的最佳三元阵列偶，为了获得更多更大体积 的最佳三元阵列偶下面给出最佳三元阵列偶的几种构造法。 3 3 1 利用阵列变换构造p 刚p 下面给出通过己知p t a p 的自身阵列变换的方法来构造p t a p 的方法。 定义3 8 ：设工是一个珂维1 u 2 虬阶阵列，其中o - s j m - 1 ， ( 1 i