（水利水电工程专业论文）水轮机特性曲线的数据拟合及其软件系统.pdf

西华大学硕士研究生学位论文 水轮机特性曲线的数据拟合及其软件系统 水利水电工程专业 研究生：任律指导教师：刘小兵 我国蕴藏有丰富的水能资源，因此，水电是我国能源建设的重要组成部 分伴随着我国水电事业的发展，其对水力机械技术的要求也越来越高，其 中水轮机模型综合特性曲线是水轮机优化设计、经济运行和过渡过程数值仿 真计算等工作的重要依据。以往特性曲线的绘制及其数据管理等这类工作均 是以人工进行，不仅工作量大，而且误差也大，同时读取的误差也大，给设 计带来很大影响。 本研究主要给出了水轮机主要参数计算的数学模型及特性曲线的绘制 方法，阐述了水轮机特性曲线拟合的数学原理，包括各种插值和拟合方法， 以在数据库开发方面具有强大优势且使用简单灵活的s q ls e r v e r 为开发 工具，对测量的数据进行统计管理，运用在数值计算方面具有强大功能的 m a t l a b 软件对测量的数据进行计算、分析。绘制水轮机特性曲线，并对 曲线拟合的误差进行了分析，最后建立了水轮机特性曲线拟合软件系统。 本软件紧密结合工程设计，采用了面向对象的软件开发方法和模块化结 构，便于软件的开发和后期维护。本软件人机界面友好，便于使用者掌握， 该软件曲线绘制速度快、精度高，能够使工作人员从繁重的劳动中解放出来。 关键词：水轮机特性曲线、数据拟合、软件系统 西华大学硕士研究生学位论文 d a t af i t t i n go nc h a r a c t e r i s t i cc u r v eo f t u r b i n e a n di t ss o f t w a r es y s t e m m a j o r ：w a t e rc o n s e r v a n c ya n dh y d r o p o w e re n g i n e e r i n g m d c a n d i d a t e ：r e nl v s u p e r v i s o r ：p r o f l i ux i a o b i n g s i n c ec h i n ai sr i c hf o rh e rw a t e rr e s o u r c e s h y d r o e l e c t r i c i t ym a k e su pa v e r yi m p o r t a n tp a r ti nt h ec o n s t r u c t i o no fo u re n e r g yr e s o i l r c 鹳w i t l lt h er a p i d d e v e l o p m e n to f t h eh y d r o e l e c t r i ci n d u s t r yi no u rc o u n t r y , i t sr e q u i r e m e n t sf o rt h e t e c h n i q u e o f h y d r a u l i cm a c h i n e r yb l _ ? , o m e sh i g h e ra n dh i g h e r s y n t h e t i c c h a r a c t e r i s t i cc u r v eo ft u r b i n em o d e li so n eo ft h ei m p o r t a n tb a s e si no p t i m u m d e s i g n , e c o n o m i c a lo p e r a t i o n , t r a n s i e n tn u m e r i c a ls i m u l a t i o no ft u r b i n e i n e a r l i e rd a y s ，d a t am a n a g e m e n ta n dd r a w i n go fc h a r a c t e r i s t i cc b i t v ea r ed o n eb y h a n d sw h i c hh a v ea g r e a ta m o u n to fw o r k s ，g r e a t 髓t o i s ，a sw e l la sg r e a tr e a d i n g 臼r o l - s s oi ti sh a r dt os a t i s f yt h em o d e r nd e s i g nr e q u i r e m e n t s m a t h e m a t i c a lm o d e lf o rc a l c u l a t i n gm a i np a r a m e t e r sa n dd r a w i n gm e t h o d o f c h a r a c t e r i s t i cc u r v ea r eb r i e f l yi n t r o d u c e di nt h i sd i s 删。也a n dt h er e s e a r c h s e t sf o n ht h em a t h e m a t i c a lp r i n c i p l eo ff i a i n gc h a r a c t e r i s t i cc n r v eo ft u r b i n e i n c l u d i n gv a r i o u si n t e r p o l a t i n ga n df i t t i n gm e t h o d s c h o o s e ss q ls e r v e ra s d e v e l o p i n gt o o lw h i c hh a sg r e a ta d v a n t a g e sa n ds i m p l ea n df l e x i b l ei nu s et o c o u n ta n dm a n a g et h em e a s u r e dd a t a , u s e sm a t l a bs o f t w a r ew h i c hh a s p o w e r f u lf u n c t i o n sa n de a s yt ol e a r nt oc a l c u l a t ea n da n a l y z et h em e a s u r e dd a t a a n dd r a wt h et u r b i n ec h a r a c t e r i s t i cc u r v e t h ec i t o ro fd a t a 五t t i r l gw a sa n a l y z e d f i m l l y ，t h es o l c t w a r es y s t e mo f c h a r a c t e r i s t i cg u r v eo f t u r b i n ew a sb u i r t i g h t l yc o m b i n i n g 谢t he n g i n e e r i n gd e s i g n t h i s s o f t w a r e a d o p t s o b j e c t - o r i e n t e ds o t h v a r ed e v e l o p i n gm e t h o da n dm o d u l a rs t r u c t u r ew h i c hw i l l f a c i l i t a t es o t t w a r ed e v e l o p m e n ta n da n a p h a s em a i n t e n a n c e t h em a n - m a c h i n e i n t e r f a c eo f t h i ss o t t w a r ei sf r i e n d l ya n di ti sc o n v e n i e n tf o ru s e r st om a s t e r w i t h i t sf a s td r a w i n gs p e e da n dh i g l lp r e c i s i o n , t h i ss o r w a r ec a nl i b e r a t ed e s i g n e r s f r o m , - l x e n u o u sw o r k s k e y w o r d s ：c h a r a c t e r i s t i cc u co f t u r b i n e 、d a t af i t t i n g 、s o f t w a r es y s t e m 西华大学硕士研究生学位论文 声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西华大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中做出了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在西华大学读书期间在导师指导下取得的，论文 成果归西华大学所有，特此声明。 作者签名 一 导师签名：反夕 1 年婚s 日 庐c 赔 西华大学硕士研究生学位论文 第一章概述 1 1 课题来源 本课题来源于四川省重点学科建设项目( 项目编号：s z d 0 4 1 2 - 2 ) 。 1 2 课题研究的目的、意义 水电是清洁的可再生能源，从电源开发的综合经济性来看，水电开 发不受燃料及其运输价格的影响，有利于提高电力建设的综合经济性：从 最大限度节约能源来看，由于水电资源的可再生性，开发得越早节约越 多。因此加快水电开发，充分有效地利用水电资源就是节约不可再生的 煤炭资源。 我国的水能资源丰富，理论蕴藏装机容量( 不包括台湾省) 6 7 6 亿k w ， 年发电量5 9 2 万亿k w h ，可开发利用的装机容量3 7 8 亿k w ，年发电量1 9 2 万亿k w h ，居世界首位。目前，我国常规能源已探明可开采总储量中水 能资源可开发量占全国常规能源资源探明可开采总储量的4 0 强，水能资 源是我国能源的重要组成部分。因此，充分利用我国的水能资源，可以 缓解我国能源短缺的局面，对我国的国民经济的发展具有重要意义。 建国以来，我国的水电事业建设取得了巨大的成就各种类型的大 中小型水电站如雨后春笋般的建立起来，源源不断地为我国的社会主义 事业提供着宝贵的电力资源。伴随着水电建设事业的发展，水力机械技 术也逐步发起来。 在水电站设计过程中，选择水轮机的型号、确定其基本参数以及在运行 过程中确定合理的运行条件，都必须要分析水轮机特性，这些特性应能全面 反映水轮机在不同工作条件下，各种参数之间的关系。 表示水轮机几何特性的参数有转轮直径d 、导叶( 喷针) 开度口o 、转桨 式水轮机还有叶片转角。表示水轮机工作情况的参数有转速n 、流量q 、 水头h 、出力p 、和效率r 。水轮机的工作参数也常用单位参数表示，例如， 水轮机的工况常用单位转速, ：和单位流量研表达。表示水轮机各参数之间 关系的曲线就是水轮机的特性曲线。以单位参数叫、g ，为纵横坐标轴的 曲线称为模型综合特性曲线；以工作参数h 、p 为纵横坐标轴的特性曲线称为 运转特性曲线“棚。 西华大学硕士研究生学位论文 水轮机的特性曲线有着广泛的用途，可以用它来分析水轮机的性能和在 水电站设计中选择水轮机的基本参数以及确定其合理的运行方式。 1 3 水轮机特性曲线的c a d 处理 在计算机技术高速发展的很长一段时间里，水轮机特性曲线的处理还是 通过工作人员手工计算完成的。工作人员根据模型综合特性曲线采用试凑的 方法来确定水轮机的运行区域，往往须经过大量的计算才能得出一个较佳的 工况点。然而用户一般要求提供多个运行工况点，并且，适合于一个设计水 头的模型转轮常常有多个甚至是十几个，要从中选择一个最优方案的转轮， 设计人员常常要重复几十遍甚至是几百遍的手工试凑过程。工作效率非常 低，结果精度也较差。 在计算机软件和硬件技术飞速发展的今天，如果还沿袭这样的处理方 式，显然是不合时宜的。低效率的工作方式注定会被市场淘汰。当今时代， 计算机技术的发展使计算机辅助设计( c a d ) 渗透到了几乎所有的工程领域。 由于人工计算模型综合特性曲线的繁琐、低效，以及计算机技术在我国 的快速发展，国内也早在上世纪，k 十年代就开展了水轮机选型的计算机辅助 设计的研究，直到近年仍时有研究成果发表o “。喇主要集中在水轮机模 型综合特性曲线的数字化处理和运转特性曲线的生成以及数据库系统的研 究。但仍存在以下几方面的不足之处： 1 ) 特性曲线的数字化处理和文件系统的存储数据 在模型综合特性曲线的数字化处理中首先采用人工离散( 直接离散、正 交网格离散或者非正交网格离散) ，然后人工读数，最后以文件的形式输入 计算机并存储嘲。用这样的方法处理一幅模型综合特性曲线图，要付出很大 的劳动量，效率很低。并且有的文件系统的管理数据存在以下的缺点： ( a ) 数据呈现无结构的信息集合在计算机处理中，一方面，每个用户都 根据自身程序的需要，建立相应的数据文件。而每个应用程序又都需设有自 身的专用数据。另一方面，有关原始资料呈现为无组织、无结构的一堆数据 文件存入计算机。这样，数据成为无结构的信息集合，不具备通用性，从而 造成大量的重复劳动 ( b ) 应用程序及数据缺乏独立性数据和程序的执行相互交织在一起互相 依赖，一旦数据结构改变，与这些数据有关的程序也就必须重新编写或调试， 2 西华大学硕士研究生学位论文 这无形中增加了劳动量。 ( c ) 数据无集中管理各个数据文件没有统一的管理机构，数据的建立、 修改、检查都很不方便。 2 ) 数据的准确性 模型综合特性曲线的计算机处理就是要尽可能精确的把特性曲线数字 化，然后存储以供下一步的选型使用。但是离散输入数据，难免会出现一些 误差而使数据采集的准确性降低。这将会极大的影响到整个工作的正确与 否。因此，为了保证精度以及处理的正确性，需要给软件使用者和工程设计 者提供一个判断数据采集及拟合是否达到所需的要求。这个问题还没有得到 很好的解决，也是利用计算机辅助水轮机选型的瓶颈问题，它将也是本文， 研究的问题之一。 1 4 本文主要研究内容 本文主要研究内容为给出水轮机主要参数计算的数学模型及特性曲线 的绘制方法，阐述水轮机特性曲线拟合的数学原理，包括各种插值和拟合方 法，以在数据库开发方面具有强大优势且使用简单灵活的s q ls e r v e r 为 开发工具，对测量的数据进行统计，管理，运用在数值计算方面具有强大功 能的m a t l a b 软件对测量的数据进行计算、分析，绘制水轮机特性曲线， 并对曲线拟合的误差进行分析，最后建立水轮机特性曲线拟合软件系统。要 求软件系统中所建立数据库具有自动识别和构建功能，可以随时针对在新的 模型综合特性曲线进行采集时自动地生成更新过的数据表，而不需要用户自 己来建立，并且可对各种选型结果( 数据、运行区域图和运转特性曲线) 通过 数据库管理菜单进行查阅、删除等操作。另外，具有通用性，能够为水轮机 试验的多种用户程序提供数据源。 3 西华大学硕士研究生学位论文 第二章水轮机主要参数计算的数学模型 及特性曲线的绘制方法 2 1 水轮机参数的测量和计算 i 、水头的测量及计算胁4 埘 采用压差传感器测量水轮机进出1 2 1 压力，由下式计算得试验水头： h = 1 0 0 x ( p 。一p 2 ) 式中，p l 水轮机进口压力，m p a ；仍水轮机出口压力，m p a 。 2 、流量的测量 采用电磁流量计直接测量通过水轮机的流量。 3 、水轮机转速和出力的测量 采用转矩转速传感器直接测量水轮机的出力和转速。 4 、单位流量的计算 o ；- - 彘 式中，q 流量，厶；b 转轮直径。m ；冰_ 水头，m 。 5 、单位转速的计算 露：萼 0 h 式中，n 一转速，r r a i n ；叫转轮直径，m ；矾- 水头，m 。 6 、单位功率的计算 研：_ d ：h h 或者 州= 9 8 1 9 ；刁 式中，d l 转轮直径，m ；缮水头，m ：n 动率，w ； 叩效率；纠流量，历3 厶。 7 、水轮机输入功率的计算 n w = 9 8 1 q h 4 西华大学硕士研究生学位论文 式中，q 流量，m 3 厶；五- 一水头，m 。 8 、水轮机输出功率( 水轮机出力) 的计算 n = 9 8 1 妒，7 或者 n ：m 2 m r 6 0 式中，肛一水头，m ；，7 微率；n _ 转速，r m i n ；q 流量，m 3 厶； m 一转矩，n m 。 9 、效率的计算 nn 打一一 j n r h q 式中，水的比重；q 流量，m 3 知；缮水头，m 。 2 2 水轮机特性曲线的数学模型 水轮机特性曲线分为模型综合特性曲线和原型的运转综合特性曲线。在 具体应用时，需要把模型水轮机综合特性曲线换算为原型水轮机的运行特性 曲线。这里着重讨论的内容是模型水轮机综合特性和原型水轮机的运转特性 曲线的数学模型，以及如何将模型水轮机的特性曲线换算为原型水轮机的特 性曲线。 2 2 1 水轮机综合特性曲线的数学模型 模型水轮机特性的数学模型是由模型试验实测数据经过处理后得到的。 模型水轮机特性数学模型通常有三种表示方法p i ： 1 ) 实验数据曲线表示法 这种方法就是用几何曲线将实验数据表示出来，用曲线来描述水轮机特 性。例如，模型综合特性曲线和其它一些特性曲线。 2 ) 实验数据的表格表示法脚 这种方法就是将实验数据中的自变量和因变量的各个数值，按照一定的 形式和顺序对应地列出来，用表格函数( 列表) 的形式来描述水轮机特性。此 方法常常应用在利用计算机进行辅助设计的时候。本课题中所采用的就是这 种方法，将实验数据以表格的形式存储在数据库中，即综合特性曲线的数字 s 西华大学硕士研究生学位论文 化过程。 3 实验数据的方程表示法 这种方法是利用回归分析的方法，根据实验数据建立拟合方程，用方程 来描述水轮机的特性。例如，用拟合多项式的形式来描述水轮机特性。在本 课题的开发过程中同样也用到了这种描述方法。 ( 1 ) 特性曲线描述的数学模型 用实验数据通过描点的办法作出模型综合特性曲线是传统的处理水轮 机数据的方法。由于同一型一号的水轮机在相似工况下工作时，其单位转速 和单位流量保持不变，并且工作特性如能量特性、气蚀特性等相同，而单位 转速和单位流量又表示若与其他工作参数之间的变化关系。因此，可以用单 位转速和单位流量为参数来表示每一种工况下效率、气蚀系数和开度的变化 关系。其表示方法是以单位转速为纵坐标，以单位流量为横坐标的曲线图。 这种方法的优点是形式简明直观，便于比较，容易显示出数据的变化规律和 数据的特征点。此外，如果作图的精度足够高的话，则不必知道变量间的数 学关系式，就能够进行一定的数学运算。因此，在进行水轮机选型设计的时 候仍然不能离开模型综合特性曲线。传统的手工方法绘制出的模型综合特性 曲线误差较大，而且不便于计算机从图中读取数据。因此，为了便于计算机 处理，需要将此曲线转换成用计算机绘制的曲线，或根据模型试验数据直接 用计算机绘制出来。 ( 2 ) 用表格形式描述的数学模型 随着计算机在水轮机数字仿真和辅助设计中的应用，用表格函数描述的 水轮机特性的数学模型取得了广泛的应用。 按表格函数的定义，将水轮机模型实验一记录表中的计算结果耐、g 、 i 等各项数据对应地列成表格，所得的表就是用表格函数描述的水轮机模型 特性的数学模型。但是，由实验测得的数据，自变量和因变量的变化，一般 是不够规则的，应用起来很不方便。因此，要将表中所列数据有规则地排列 起来，即当自变量作等间距顺序变化时，因变量也随着顺序渐变，这样作出 的表应用起来就很方便。我们把这个过程称为水轮机特性曲线的数字化过 程。本文中应用分段线性插值的方法将实验所得的特性数据进行数字化，将 数字化后的数据存储到数据库中以便在后面的程序中使用。 6 西华大学硕士研究生学位论文 ( 3 ) 用拟合多项式描述的数学模型 水轮机特性除了应用上述的特性凿线和表格函数两种方法来描述外，还 可以采用最小二乘法原理，根据模型试验的实测数据，直接对数据进行拟合， 用多项式来描述水轮机的稳态特性。这种方法既可以节省大量的人工计算 量，同时也能提高计算精度。但是，这种方法实际应用起来存在一些弊端， 主要是工作量大、速度慢。利用这个数学模型编制水轮机特性曲线处理软件 时，特性曲线的显示速度很慢，几乎不能够实现屏幕的实时取点，这样就会 给曲线的读数造成困难。在图形的绘制过程中除了有图形的显示工作之外， 还需要进行大量的数值计算，这样将会花费大量的计算时阁，导致图形的显 示速度和屏幕实时取点速度变慢。 在计算机辅助设计中同样也离不开模型综合特性曲线，主要区别是曲线 的出现形式有区别，应用计算机绘制特性曲线的原理与手工绘制的原理相同 3 1 ，因此，首先要介绍一下手工绘制模型综合特性曲线的方法。 2 2 2 水轮机运转特性曲线的数学模型 依据相似理论很容易将模型水轮机的综合特性曲线换算成原型水轮机 的运转特性曲线，即将模型水轮机的数学模型换算成原型水轮机的数学模 型。因此，原型水轮机的数学模型同样也可用特性曲线、表格函数和拟合多 项式来描述。这里着重介绍表格函数的数学模型。同水轮机模型特性一样， 在水轮机的计算机辅助设计中，用表格函数描述的水轮机原型特性的数学模 型也得到了广泛的应用。按照表格函数的定义，首先将模型特性表格中的数 据通过相似变换即可得到原型水轮机的特性数据，然后将相似变换后所得到 的计算结果n ，h ，刁对应地列成表格，该表就是用表格函数描述的水轮机 原型特性的数学模型。 进行水轮机计算机数字仿真或选型设计时，原型水轮机的数学模型一般 采用表格函数或拟合多项式的形式，这样应用起来较为方便。而在技术文件 及生产现场中，采用特性曲线形式较为方便“。 2 3 水轮机模型特征曲线的绘制 1 等开度线： 依据试验结果，将同一开度下的各工况点的厅：和研绘制在雄：研坐标 7 西华大学硕士研究生学位论文 内，把这些点连成曲线，即得到等开度线。 2 ，等效率线： 依据试验结果，等效率线是把不同开度下效率相同的各点连接起来所得 的曲线。绘制等效率线需要先算出不同工矿点的效率，然后将同一开度下对 应的r l 和叫值绘制在叩n ：坐标平面内，将所画的各点连接起来即为该开度 下的r l = 协：) 曲线。然后选择一个效率值，将这个值代表的直线绘制到r l 叫坐标平面内，这条直线与各r l = 八刀：) 线相交，将交点按相应开度绘制到 珥纠坐标内，因这些点对应于同一效率，所以将它们连接起来即为等效 率线。 3 ，功率限制线： 依据试验结果，把不同单位转速下的单位功率按照上述的公式将相应的 数值带入其中，计算出单位功率州。然后将同一单位转速下对应的川和g 值绘制到州g 坐标平面内，将所画的各点连接起来即为该单位转速下的 州= 厂( 研) 曲线。在此曲线中找出川为最大值的9 5 的点，将其绘制到啊 g 坐标内。再将不同的嵋常数下的该点连接起来，所得的曲线就是功率限 制线。 4 ，等气蚀系数线： 依据试验结果，把不同开度下同一叫值的各仃值按纠大小顺序在仃 g 坐标平面内，将这些点连接起来，即为某一耐下的盯= 八g ) 曲线。将各 叫下的仃= 八纠) 曲线都绘制出来。然后选择一个气蚀系数值，将这个值代 表的直线绘制到盯纠坐标平面内，这条直线与各盯= 八饼) 线相交于若干 点，将各交点对应的叫和g 值画在叫纠坐标平面内，再把这些点连接起 来，即为等气蚀系数线。 2 4 水轮机运转特性曲线的绘制 原型水轮机的特性曲线的形式虽然很多，但各种特性曲线的绘制原理相 同，绘制方法也是大同小异的。这里先主要介绍原型水轮机运转特性曲线 r = f ( h ，n ) 的换算于绘制方法 一、混流式水轮机运转特性的曲线的换算步骤如下3 i i ”i 8 西华大学硕士研究生学位论文 1 绘制等效率曲线，7 = 八h ，n ) ( 1 ) 计算效率修正值 最优工况下原型机的效率可按国际电工委员会推荐的近似公式换算： 7 。_ l - 一口v 阻d , 一鲁 1 ) 式中，当h 1 5 0 m 时，a = 5 ，f l ：2 0 ；当h 1 5 0 m 时，a = 5 ，口= 。 原型与模型水轮机在最优工况下的效率差为 a t = ，7 。一钆一 ( 2 2 ) 为了简化计算，一般都近似地认为在其他相似工况下，模型与原型水轮 机的总效率差值是相同的。故有 叩= + a t ( 2 3 ) ( 2 ) 换算单位转速和单位流量 由于模型和原型水轮机效率不同，单位工作量也不同，因此，对单位工 作量必须加以修正。 研= ( j 羔- 1 ) ( 2 - 5 ) 式中，下标。o ”指最优工况下的单位转速和单位流量。 同效率修正一样，上式中各参数取最高效率时的数值，并认为在所有其 他相似工况下，模型与原型单位转速和单位流量的差值都相同，都按下式进 行计算 叫= 叱+ 血： ( 2 6 ) g = ( + 研 ( 2 7 ) 一般认为当掣 3 时，效率对单位转速的影响不大，可以不做修正。 刀i o ， 由于纠值占一单位流量中的比例极小，故通常可不必对单位流量进行修 正。 ( 3 ) 原型与模型水轮机之间参数与特性的换算 9 西华大学硕士研究生学位论文 在最大和最小水头范围内选取若干个水头值，然后按硝= n f z 一, 1 计算出相 嚣 应的啊，代入公式( 2 6 ) 可得到修正后的h 0 值。在模型综合特性曲线上， 按照各刀0 值分别作水平线，查得各个水平线与等效率线交点上的效率 和单位流量值。由公式( 2 3 ) 和( 2 7 ) 得修正后的原型水轮机的效率 町和单位流量纠。最后，按照下式可以计算出各点的出力。 n = 9 8 1 研d i h 4 h r l ( 2 8 ) 即可绘出各种水头下原型水轮机的工作特性曲线。 ( 4 ) 绘制等效率曲线 在上述作出的工作特性曲线图上，取若干个r ，作一系列水平线。将这 些水平线与各工作特性曲线交点对应的h 和n 值描在此坐标图上，连接效率 值相同的点可得等效率曲线。 2 绘制出力限制线( 即功率限制线) 出力限制线由两部分组成，当水头日珥时，水轮发电机组出力受发 电机容量的限制，即发电机只能在额定出力内工作，因此出力与水头无关是 垂直于x 轴的直线。当水头日s 王l 时，水轮发电机组出力受水轮机本身的 出力限制线的限制。根据5 出力限制线的计算结果可以绘出该水头段的出 力限制线 二、转桨式水轮机运转特性曲线的绘制 转桨式水轮机运转综合特性曲线的绘制原理与混流式水轮机基本相 同，但由于转桨式水轮机具有双重调节机构可在协联方式下运行，水轮机的 效率修正采用非等值修正法。一般同一叶片转角取同一个修正值。因此绘制 运转特性曲线中的某些方面与混流式水轮机有所差别。 1 等效率曲线的绘制 1 ) 对转轮叶片的每一个安放角妒求出一个效率修正值，7 ( 力。若各妒角 下模型水轮机的最高效率为钆。( 力，原型水轮机各妒角下的最高效率为 ，7 ，o ( 力，则： 删斗m 一例剐，压c 静毛 ( 2 9 ) l o 西华大学硕士研究生学位论文 叩( 妒) = 叩r o ( 力一，7 ，o ( 妒) ( 2 1 0 ) 2 ) 在胃。嚣。问取若干个水头，计算出各水头所对应的栉0 过各 一0 作水平线与转桨式水轮机模型综合特性曲线的各等伊线相交，找出各交 点的骈、叩。其中吁。由插值确定。计算各点的真机效率与出力。 r b = 巩，一秭o ( 咖 ( 2 - 1 1 ) p = 9 8 1 研h 1 。5 q 坼 ( 2 - 1 2 ) 根据计算结果绘出各水头下的珊= f ( p ) 曲线，同时绘出各水头下的 纠p 辅助曲线。 3 ) 在各水头下的q r = f ( p ) 曲线的基础上可绘出等效率线，方法和混流式 水轮机等效率线的绘制相同。 2 出力限制线的绘制 转桨式水轮机模型综合特性曲线上不标5 出力限制线，但其最大出力 受空化条件的限制。在确定了水轮机的额定工况之后，通常把额定工况点的 等开度线作为水轮机的出力限制线。在确定为出力限制线的等开度线上取一 系列工况点，记下各工况点的、研、，由相似换算公式计算出各点对 应的水头h 及出力p ，将这些点绘制在p h 坐标系中，连接各点即得到原 型水轮机的出力限制线。 转桨式水轮机的出力限制线也可以采用简化绘制方法，其原理与混流 式永轮机出力限制线绘制一样。 西华大学硕士研究生学位论文 第三章水轮机特性曲线拟合的数学原理 样条曲线在工程实践与科学应用中有着广泛的应用。例如，试验、统计 数据如何用曲线表示，设计、分析、优化的结果如何用曲线表示等，几乎各 个领域都要用到样条曲线对数据进行处理。 。 一般来说，在工程实践与科学应用中常常遇到的绘制样条曲线的要求有 以下几种： ( 1 ) 由试验或观测到一批数据点，要求用一个函数近似地表明数据点 间的函数关系，并画出函数的样条曲线，这类问题称为样条曲线拟合问题。 ( 2 ) 由试验、观测或计算得到若干离散点组成的点列，要求用光滑的 样条曲线把这些离散点连接起来，这类问题称为样条曲线插值问题。 ( 3 ) 在样条曲线形状设计中，给定了折线轮廓，要求用样条曲线逼近 这个折线轮廓，这类问题称为样条曲线逼近问题。 上述各类问题都要求画出样条曲线，它们都要求首先找出或构造出样条 曲线方程，再根据曲线方程画出样条曲线。根据方程画样条曲线一般是先计 算出样条曲线上的一系列适当靠近的点，然后依次将这些点用直线连起来， 得到一条由折线表示的近似曲线。只要这些点靠得足够近，看起来就是一条 光滑的样条曲线。 3 1 基于最小二乘法的数据拟合原理 我们假设有一组数据 ( 薯，弗) ：。 设( 曲，纯( 力，纯( 曲是区间( a ，b ) 中一切实函数构成的线性空间的 一个函数系，若存在n + 1 个不全为零的实数c o ，c ，c 。使得对一切x ( 口，6 ) 有 c 竹( 功= o j , l o 则说函数系( x ) ，仍( x ) ，( 是线性相关的，否则说它是线性无关的。例 如，在( 一c o 。佃) 中函数系 b ，) ：，。， c o s b ) ：。，铀h 西华大学硕士研究生学位论文 以及 l ，c o s x ，s i n x ，c o s 2 x ，c o s p x ，s i n ，球 都是线性无关的。 对于给定的一组数据 ( _ ，只) ：。( x ，) 【：，湛互不相同) ，假设拟合函数 的形式为 妒( 工) = a o ( 力+ a l 纯( 力+ + 口。( 曲 ( 3 - 1 ) 其中 奴( 曲羟k 1 0 ( n ，i n ) 为已知的线性无关函数系。求系数a i , a ：，a n 使 蜀，q ，) = ( 妒瓴) 一乃】2 m = 【口妒“) 一只】2 ( 3 - 2 ) 1 1 1j 椰 为极小的问题为线性最小二乘问题。函数系砖( 力乙称为该线性最小二乘 问题的基。易( a o ，q ，) 称为残差的平方和。若 议x ) = 可妒，( d j = o 的系数 o ，玩，瓦使易( a o ，q ，a n ) 达到极小，即有 岛( 玩，磊，瓦) = r a i n 易( a o ，口l ，口。) 则认砖称为数据h ，乃) 把。的 线性) 最小二乘拟合。 关于基函数钆( 的，仍( 力，( 功的选择原则，首先是根据所给数据作出 的曲线图来确定基函数的特征，其次是根据己知数据的准确度和实际经验 等。 b ( a o ，q ，吼)a o ，q ，a n 的多元函数，我们可以根据多元函数极值 存在的必要条件 堡孥掣：o , i ；o , i ，万 ( 3 3 ) f 推得法方程组。但是，我们把数据的线性最小二乘拟合问题化为求线性 方程组的最小二乘解的问题。记 西华大学硕士研究生学位论文 a = 口0 口i ： y 2 乃 北 y 。 ( 3 - 4 ) 以及 a _ kl x ( 。， 其中= 竹( t ) ，i = 1 , - - - , m ，_ ，= o ，l ，厅，则式( 3 2 ) 可以写成 e 2 ( a 。，q ，) = 8 4 口一加 ( 3 - 5 ) 于是，求数据 “，咒) 恐的线性最小二乘拟合的问题便化为求线性方程组 a a = y ( 3 - 6 ) 的最小二乘解。 方程组( 3 6 ) 的法方程组为 彳7 a a = a 7 y ( 3 - 7 ) 记 钆= 仇( 毛) 仇( 屯) 仇( h ) ( 3 8 ) 它是矩阵a 的第k 列，k = o ，l ，l l ，则方程组( 3 7 ) 又可以写成 g a = b ( 3 - 9 ) 此处g 是g r a m 矩阵： 以及 g = ( ，钒) ( 砚，钆) ( ，仍) ( 仍，吼) ( ，)( ，纸) b = ( 弘) ( 弘竹) 以钆) ( w o ，) 瓴，张) 纸，) ( 3 1 0 ) 1 4 西华大学硕士研究生学位论文 ( 纺，仇) = 矿吼 膏 = o j ( x 。概( 而) ， j k = 0 1 ，n l = i t y ，9 j ) = ，9 i = 艺只竹( 而) ， j = o ，l ，n = l 方程组( 3 7 ) 或( 3 9 ) 就是用形如( 3 - 1 ) 的函数拟合数据 ( ，只) ：。的法 方程( 组) 。 假设钆( x ) ，竹( 力，( 工) 0 m ) 线性无关，且( 妒，妒) = 0 的充分必要条件 为妒( 工) = 0 ，烈x ) s p a n q d o ( 功，( x ) ，则向量系，t p l ，r ”线性 无关，此处( 仍力= 眵( 而圩因此，方程组( 3 6 ) 的最小二乘解是唯一 i = l 的，即它是极小最t j 、 - 乘解，并且法方程组( 3 9 ) 的系数矩阵g 是非奇异 的，从而有唯一解。于是，我们可以得到： 假设基函数( 力，仍( 力，q ，( x x n 砷线性无关，且( 鼽力= 0 的充分必 要条件为烈力= 0 ，烈功s p a n 魂( 力，( 曲 ，则 ( 而，咒) ) ：。的形如( 3 一1 ) 的线性最小二乘拟合 痧( 功= 瓦( 力+ 玩讫( 力+ + 瓦 存在、唯一，而且( 力的系数瓦，玩，瓦是法方程组( 3 9 ) 的唯一解通 常数据 ( 一，弘) ：二。的拟合函数( 3 1 ) 中的n 比m 小得多，且n 较小 而多项式是数据线性最小二乘拟合的常用函数。给定数据( x 。，y ，) ， i - l ，m ，我们取基为l ，毛x 2 ，x ”如 2 御m 1 0 ，1 ) ； b ( i , k ) 9 r a l ( j , 2 ) ； k - - k + l ； c n d 蚰d d a b a 为单位转速，每一行存贮一个确定 开度对应的单位转速值组 b 为单位流麓每一行存贮一个确定 开度对啦的单位转速值组 勰 西华大学硕士研究生学位论文 2 、等效率线： c n = d 醴a b a s 实验数据h ，飞等效率线 s e t d b p r e f s ( d a t a r e m m f o r m a t ， n u m e r i c ) ； c u r s = e x e c ( c o n n , s e l e c td i s t i n c t 开度f r o m 实验数据表，； p 孤翟2 f 音t c h l c i i r s ) ； p m f p a r a ，d a t a ；p a r a 找出不同豹开度 p a r a = p a r a ；p a r a l e n l 2 l e n g t h ( p a r a ) ；l e n i s e t a b p r e 双d a t a r e ! t u m f o r m a t ，n u m e r i c ) ； c u b l = 甑e “c o n n ，【s e l e c t 单位转速，单何流盛，水头劢率，开度f r o m 实验数据表1 ) ； p a r a l - - f e t c h ( c m s i ) ； p a r a l = p a r a l d a t a ；p a r a l l 2 = s i z e o m l ) ；l e i l 2 l e n 2 = l e n 2 ( i ) ；l e n 2 f o r i - 1 ：l ：l e n l k = l ： f o rp l ：h l e n 2 i f - a l o ，5 产印a r i ) ) a ( i ，i c ) = p a m l g i ) ； b ( i , k ) - - p a r a l ( j , 2 ) ； c ( i , k ) - q m r a 0 ，3 ) ； d ( i ，l 咖锄i ( j 4 ) ； k - - k + l ； e n d e n d a 为单位转速。每一行存贮一个确定 开度对应的电位转速值组 b 为誓位流量每一行存贮一个确定 开度对应的单位转速值组 c 为术头，每一行存贮一个确定开度 对心的水头值 i o o d 为功率，每一行存贮一个确定开度 对应的功率值组 耐a b c d 西华大学硕士研究生学位论文 3 、功率限制线： c o r m = d a t a b a s e ( 实验数据，”，；功率限制线线 s e t d b p r e f s ( d a m r e t u m f o r m a t , n u m e r i c ) ； c x e c ( c o n n , s e l e c td i s t i n c t 单f 夔转速f r o m 实验数据表，； p a r a - - f e t c h ( c u r s ) ； p a r a - - p a r a d a t a ；p a r a技出不同的单位转建 p a r a ：1 m r a ；p a r a f e n i = l e n g t h ( p a r a ) ；l e n il e n l 为币同的单位转速个数 s e t d b p r e f s ( d a t a r e m m f o r m a t , n u m e r i c ) ； c u r s l - = e x e c ( c o a n , s e l e c t 簪位转速，转矩，水头，转轮直径，荦i 位流量f r o m 实验数据表】) ； l m r a l - - f e t c h ( c u x s l ) ； p a r a l = p a r a l d a t a ；p a r a l l e n 2 = s i z e ( p a r a i ) ；t e a 2 l e n 2 = l e n 2 ( 1 ) ；l e n 2 f o ri - - l ：l ：l e n l k = - l ； f o r j = i ：l ：l e n 2 i f ( p a r a l ( j ，l 户2 p a m ( a ( i , k ) - - 湖i ( i 力； b ( i , k ) ：p a r a l ( i ，3 ) ； c a i , k ) 1 m a l ( j , 4 ) ； w ( i , k ) 呵, a r a l o ，5 ) ； k = k + l ： e n d e n d a 为转矩，每一行存贮一个确定肇- 往 转速对应的转矩值组 b 为水头，每一行存贮一个确定尊位 转速对应的单位转速值组 c 为转轮育径每一行存贮一个确定 单位转速对应的水头值纽 w 为单倪流襞，每一行存贮一个确 定单位转速对应的单位流最值组 d 吼a b c w 西华大学硕士研究生学位论文 4 、等气蚀系数线： c o m e a b a s e ( 实验数据，v ) ；等气蚀系数线 s c t d b p r e f s ( d a t a r e t u m f o r m a t ，n u m e r i c 3 ； c u r s = c x e c ( c o n n , s e l e c td i s t i n c t 单f t 转速f r o m 实验数据表。) ； p a r a - - f c t c h ( c u r s ) ； p a r a - - q m r a d a t a ；p a r a找山水回的译位转速 p a r a = i m r a ；p a r a l e n l 2 l e n g t h ( p a r a ) ；l e n i s c t d b p r e f s ( d a t a r e t u m f o r m a t , n u m e r i c 3 ； c u r s l = x e w ( c o n n s e l e c t 气蚀系数，单 ) = 流最，单位转速f i o m 寅验数据表 ) ； p a r a l - - f e t c h ( c u r s l ) ； p a r a l = p a r a l d a t a ；p a r a l i c n 2 = s i z c ( p a m l ) ；1 e n 2 i c a 2 = l c n 2 ( 1 ) ；i o