（计算机软件与理论专业论文）基于非高斯分布和上下文模型的小波去噪算法.pdf

v7 7 9 0 7 7 基于非高斯分布和上下文模型的小波去噪算法 计算机软件专业 研究生杨黎指导教师庄成三 作者从事于图像去噪技术的研究有一年半左右的时间，其间参与了医学核 磁共振m r 图像分割项目的图像去嗓处理，同时针对m r 图像分割做过相应 的研究工作。本文提出了种新的空间自适应小波阀值去噪算法，该算法是基 于非高斯二元分布的贝叶斯统计模型和上下文模型，并将该算法应用于勰图 像的去噪处理。 本文的应用背景是医学核磁共振分割项目，图像去噪处理是分割项目的重 要的预处理步骤之一。由躲i 得到的图像复数数据常受到高斯白噪声的干扰， 该噪声部分来源于图像数据采样硬件系统，其他来源于生理学原因。为了更好 地进行m r i 图像分割处理，我们需要更加精细准确的图像去噪算法。通常，图 像去噪会影响原有图像包含的数据信息，因而图像算法会折中平衡图像去噪和 图像质量的关系。为了很好平衡二者关系，要求图像去噪算法能够适应图像数 据的非连续性。小波表示( w a v e l e tr e p r e s e n t a t i o n ) 熊够构造出这种具有空间 自适应性的图像去噪算法。它能将基本数据信息压缩在数量较少，但数值较大 的小波系数( w a v e l e tc o e f f i c i e n t s ) 当中，这些小波系数能完全体现图像数据 的细节。 为了更好地进行m r 图像分割处理，本文提出了一种新的空间自适应小波 阀值去噪算法，该算法是基于非高斯二元分布的贝叶斯统计模型和上下文模 型。非高斯二元分布由两个变元和一个参数组成，能够完全体现小波系数之间 相关性，这是广义高斯分布所不能体现的特性。上下文模型是图像编码技术， 用来求取小波系数的方差。试验数据显示该算法不仅在直观视觉上去噪效果明 显，而且在信噪比方面也要优于s u r e s h r i n k , b a y e s s h r i n k , w i e n e r 2 等方法。 本文的工作主要集中在： ( 1 ) 介绍小波算子在图像去噪算法中的应用。 ( 2 ) 介绍基于贝叶斯统计模型的图像去噪算法。 ( 3 ) 重点介绍本文提出的基于非高斯分布和上下文模型的小波图像去噪算 法。具体介绍由两个变元和一个参数组成的非高斯二元分布，以及这种分布和 通常使用的高斯分布的差别和优点；详细介绍图像编码经常使用的上下文模 型，以及怎样使用该模型来求取小波系数的方差。 ( 4 ) 介绍本文提出的算法在m r i 图像去噪处理中的应用。 本文组织如下：第一章为绪论，介绍本课题的理论意义和应用价值，以及 国内外研究及发展趋势；第二章简单介绍小波表示、离散小波变换、小波域的 图像去噪、小波阀值去噪原理：第三章简单介绍贝叶斯统计原理和基于贝叶斯 统计模型的图像去噪算法；第四章重点介绍本文提出的基于非高斯分布和上下 文模型的小波图像去噪算法；第五章介绍本文提出的算法在m r i 图像去噪处理 中的应用。第六章总结全文。 关键词：离散小波变换；小波阀值：贝叶斯统计模型；上下文模型；非高 斯二元分布；图像去噪 w a v e l e tt h r e s h o l d i n gv i an o n - g a u s s i a n d i s t r i b u t i o na n dc o n t e x tm o d e l i n g m a j o r ：c o m p u t e rs o f t w a r e & t h e o r y p o s t g r a d u a t e ：l iy a n g s u p e r v i s o r ：c h e n g s a nz h u a n g ih a v ee n g a g e di ni m a g ed e n o i s i n gr e s e a r c hf o rah a l fa n do n ey e a r s ，d u r i n g w h i c hia l s o p a r t i c i p a t e di n t h ed e v e l o p m e n to f s e g m e n t a t i o n o f m a g n e t i c r e s o n a n c eb r a i ni m a g e sp r o j e c t ，a n dm e a n w h i l e ，ia l s om a d es o m ec o r r e s p o n d i n g r e s e a r c hw o r k ，a i m i n ga t i m a g ed e n o i s i n g an e ws p a t i a la d a p t i v ew a v e l e t t h r e s h o l d i n gm e t h o di sp r e s e n t e d ，w h i c hi sb a s e do nan o n g a u s s i a nb i v a r i a t e d i s t r i b u t i o na n dc o n t e x tm o d e l i n gf o ri m a g ed e n o i s i n gt h a ti si n s p i r e db yi m a g e c o d i n g t h i sd e n o i s i n ga l g o r i t h mi sa l s oa p p l i e di nt h ei m a g ep r e p r o c e s s i n gf o r m a g n e t i cr e s o n a n c ei m a g i n gp r o j e c ta n dh a v ea c h i e v e de x c e l l e n tr e s u l t t h i st h e s i sh a ss t a r t e dw i t h i nt h ec o n t e x to fap r o j e c to nm a g n e t i cr e s o n a n c e i m a g i n g ，i nw h i c hi m a g ed e n o i s i n gi so n eo ft h ef u n d a m e n t a lp r e p r o c e s s i n gs t e p s a m i m a g em i g h tb ed e g r a d e db yw h i t en o i s el e a d i n gt 0as i g n i f i c a n tr e d u c t i o n o fi t sq u a l i t y s o m eo ft h en o i s eo r i g i n a t e si nt h ea c q u i s i t i o nh a r d w a r e ，o t h e r sa r eo f p h y s i o l o g i c a lo r i g i n i no r d e rt oa c h i e v eag o o dp e r f o r m a n c ei ns e g m e n t a t i o no f m a g n e t i cr e s o n a n c eb r a i ni m a g e s ，am o r ep r e c i s ea n de f f i c i e n ti m a g ed e n o i s i n g a l g o r i t h mi sn e e d e d i ng e n e r a l ，i m a g ed e n o i s i n gi m p o s e sac o m p r o m i s eb e t w e e n n o i s er e d u c t i o na n dp r e s e r v i n gs i g n i f i c a n ti m a g ed e t a i l s s oi no r d e rt ob a l a n c e t h e mw e l l ，d e n o i s i n ga l g o r i t h mh a st oa d a p tt oi m a g ed i s c o n t i n u i t i e s t h ew a v e l e t r e p r e s e n t a t i o nn a t u r a l l y f a c i l i t a t e st h ec o n s t r u c t i o no fs u c hs p a t i a l l ya d a p t i v e a l g o r i t h m s i tc o m p r e s s e st h ee s s e n t i a li n f o r m a t i o ni nas i g n a li n t or e l a t i v e l yf e w ， l a r g ec o e f f i c i e n t s ，w h i c hr e p r e s e n ti m a g ed e t a i l sa td i f f e r e n tr e s o l u t i o ns c a l e s t h e r e f o r ean e ws p a t i a la d a p t i v ew a v e l e tt h r e s h o l d i n gm e t h o di sp r e s e n t e d ， w h i c hi sb a s e do nan o n g a u s s i a nb i v a r i a t ed i s t r i b u t i o na n dc o n t e x tm o d e l i n gf o r i m a g ed e n o i s i n gt h a t i s i n s p i r e db yi m a g ec o d i n g t h ed e p e n d e n c yb e t w e e n c o e f f i c i e n t sa n dt h e i rp a r e n t si sc a r e f u l l ys t u d i e da n dan e wd i s t r i b u t i o nm o d e li s p r o p o s e d ，w h i c hi sc o m p o s e do ft w o v a r i a b l e sa n daf r e ep a r a m e t e r c o n t e x t m o d e l i n gi st h ec o r em e t h o di ni m a g ec o d i n ga n di sa p p l i e di n t h i sp r o j e c tf o r c h o o s i n gt h es p a t i a la d a p t i v et h r e s h o l dt h a ti sd e r i v e di nab a y e s i a nf r a m e w o r k e x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a t t h i sn e wm e t h o do u t p e r f o r m st h eb e s tr e c e n t l y p u b l i s h e dm e t h o d s ，s u c ha ss u r e s h r i n k ，w i e n e r 2 ，a n db a y e s s h r i n k t h i st h e s i sf o c u s e so nf o l l o w i n gi t e m s ： ( 1 ) i n t r o d u c et ow a v e l e ti ni m a g ed e n o i s i n g ( 2 ) r e v i e wo ni m a g ed e n o i s i n ga l g o r i t h m sb a s e do nb a y e s i a ns t a t i s t i c a l m o d e l s ( 3 ) p r e s e n t o u rm a i nc o n t r i b u t i o n st ow a v e l e t d e n o i s i n gb a s e do n n o n - g a u s s i a nd i s t r i b u t i o na n dc o n t e x tm o d e l i n g w es h o wt h ed i f f e r e n c eb e t w e e n o u rd i s t r i b u t i o na n dg e n e r a l i z e dg a u s s i a nd i s t r i b u t i o na n dt h ea d v a n t a g e so v e ri t a n dc o n t e x tm o d e l i n gm e t h o di sa l s oi n t r o d u c e da n ds h o w nh o wt ol l s ei tt 0o b t a i n t h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t s e s t i m a t e ( 4 ) s h o wt h ea p p l i c a t i o no fo u ra l g o r i t h mt om a g n e t i cr e s o n a n c ei m a g i n g p r o j e c t t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w es h o wt h es i t u a t i o n ， t o p i c a lo u t l i n eo fi m a g ed e n o i s i n ga n di t sc u r r e n tr e s e a r c ht r e n d s i nc h a p t e r2 ，w e i n t r o d u c et h eb a c k g r o u n dk n o w l e d g eo nw a v e l e tt h e o r yt oy o u i nc h a p t e r3 ，w e b r i e f l yr e v i e wo nb a y e s i a ns t a t i s t i c sa n di m a g ed e n o i s i n ga l g o r i t h m sb a s e do n b a y e s i a ns t a t i s t i c a lm o d e l s i nc h a p t e r4 ，w ep r e s e n to u rm a i nc o n t r i b u t i o n st o w a v e l e td e n o i s i n gb a s e do nn o n g a u s s i a nd i s t r i b u t i o na n dc o n t e x tm o d e l i n g c h a p t e r5i s d e v o t e ds p e c i f i c a l l yt o i m a g ed e n o i s i n gi nm a g n e t i cr e s o n a n c e i m a g i n gp r o j e c t c h a p t e r6g i v e st h es u m m a r yo ft h ew h o l em e s i s k e y w o r d s ：d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ；w a v e l e tt h r e s h o l d i n g ；b a y e s i a n s t a t i s t i c a lm o d e l ；c o n t e x tm o d e l i n g ；n o n g a u s s i a nd i s t r i b u t i o n ；i m a g ed e n o i s i n g 四川大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 引言 1 1 1 本课题的理论意义和应用价值 随着当前大量数字图像和影映文件的出现，人们对数字图像的质量要求 越来越高，如何获取高质量清晰的图像变得越来越重要。由于在图像采集和传 输过程中各种因素的影响，一副完整的图像往往会受到各种噪声的影响，导致 图像质量下降，数据信息丢失。无论图像采集设备如何精确，采集得到的图像 也会或多或少地受到噪声的影响，因此也同样需要采用图像去噪技术以获取更 为清晰的数字图像。而且在当前数字图像工程中，图像去噪都是必不可少的一 个预处理步骤。例如在医学核磁共振m r i 图像分割项目中，在进行正式分割 处理之前的最为重要的预处理步骤便是图像去噪。由此可见，图像去噪不仅对 图像理论研究有推动作用，而且在图像工程应用发面也有着至关重要的作用。 本文就是在理论上提出一种新的图像去噪算法，并将其应用在实际的慷i 医学 图像工程中，取得了较好的试验和应用效果。 1 1 2 国内外研究及发屣趋势 一个合适、优化的统计模型对于信号和图像去噪来说非常重要。当前统计 去噪模型主要从四个方面来处理图像去噪问题。一是从非参数统计的观点来处 理，建立一个特定的估计量，并将它应用至4 大量的信号和图像当中去。d o n o h o 和j o h n s t o n e 于1 9 9 4 提出了非常经典的v i s u s h d n k 和s u r e s h r i n k 方法【3 】。虽 然这些非线性阀值方法对于相当数量的风险函数取得近似最优的结果，但在实 际图像处理方面，其结果不能令人满意。原因在于该类算法主要基于渐进分析， 然而实际图像复杂度并不能完全由样本来体现。二是从贝叶斯统计观点来处 理，假设一个先验模型，然后计算贝叶斯估计。目前大量的研究文章集中在图 像的先验模型的选定上，例如广义高斯分布、s t u d e n tl a w 分布等，其中广义 高斯分布是当前大多数贝叶斯统计去噪模型( 【1 0 l 【1 1 】) 采用的先验模型。 不管采用什么模型最为其先验分布，目前大多数文章都假定经过离散小波变换 后的图像系数都是独立同分布，完全忽略了小波系数层之间的相关性，所以我 四川大学硕士学位论文 们提出了二元非高斯统计模型，该模型由两个变元和一个实参所构成，能很好 地体现小波系数层与层之间的相关性。三是从信息理论的角度来处理图像去噪 问题。信息理论是在图像编码和图像压缩方面应用的非常成熟的技术，例如最 小描述长度t s l 和上下文模型( 【1 2 】【1 3 1 【1 4 】) ，西是从应角物理学中的场 论出发构造偏微分方程，并用多种不同的数字计算方法( 如有限差分法，有限 元法) 来求解该方程，从而达到图像去噪的目的。m a r i u s 和t a i 于2 0 0 1 提出 了经典的四阶的偏微分方程图像去噪算法【1 5 。此类方法的计算精度比较高， 但是算法的时间和空闯复杂度都比较高，因此计算代价太大，在要求实时快速 的图像工程中应用前景不太大。本文是从第二和第三种观点出发，综合采用两 种技术来处理图像去噪问题。 1 2 本文贡献 小波技术在计算机领域有着广泛的应用，特别是在图像处理发面更是有着 不可替代的作用。d o n o h o 和j o h n s t o n e 自1 9 9 4 年将小波技术引入了图像处理 领域，而后结合贝叶斯统计理论，提出了基于贝叶斯统计模型的小波去噪算法。 随后又出现很多基于此理论的改进算法，然而他们大多采用经典的高斯分布来 作为他们的先验模型，可是该模型完全忽略了小波系数层之间的相关性，所以 本文的贡献之一便是提出了二元非高斯统计模型，该模型由两个变元和一个实 参所构成，能很好地体现小波系数层与层之间的相关性；同时本文又采用了非 常成熟的图像编码技术，上下文模型，来求取小波系数的方差。本文的贡献之 二便是将该算法很好应用在医学核磁荚振m r i 图像分割项目中，是该项目必 不可少的预处理工作之一，并完成了该部分的所有的算法设计和编写代码工 作。 四川大学硕士学位论文 2 图像去噪的小波技术 这章主要先是简单介绍关于小波的基本概念。这些知识可以在不同深度类 型的参考书和文献中找到。经典的小波书籍有：c h u i1 2 0 1 、d a u b e c h i e s1 2 1 】、 m a l l a t1 2 2 、m e y e r1 2 3 】：具体技术型的资料有：c o h e n 【2 4 】、m a l l a t 【2 5 】、 s t r a n g1 2 6 1 。这章余下部分将介绍一些基于小波的不同的图像去噪技术。 2 1 小波导论 2 1 1 小波的由来和定义 长期以来，在各种信号数据的处理方面，特别是在频谱分所和各种滤波方 法中，最基本的数学工具就是f o u r i e r 分析。在数学上我们常用函数来刻划信 号，通常总是把时间或空间作为自变量，而把反映某一信号的物理量作为函数。 对于以时间t 为自变量的信号我们称之为时间信号，记为f ( t ) 。对于以空间为 自变量的信号则称为空间信号，最常见的如平面( 黑白) 图像可以用两元函数 f ( x ，y ) 来表示，这里( x ，y ) 是平面上点的坐标，而f ( x ，y ) 则表示点( x ，y ) 图像 的灰度。当然，也可以考虑既依赖于时间又依赖于空间的信号f ( x ，弘t ) ( 如电 视图像等) 。信号，( f ) 的一个重要特征既是它的频率特性( 或谱) ，在数学上也 就是，( r ) 的f o u r i e r 变换，( 动： ，( 卯) = l ，( f 弦一s 。, d t ( 2 1 ) 由f o u r i e r 逆变换公式： 1 f ( t ) = 圭l 。- o s 弦“d o s ( 2 2 ) 一 知道由一个信号的谱可以完全确定这个信号。所谓频谱分桥、滤波等信号数据 处理的方法，简单的说来就是对，( 铆的分析、加工的种种技巧。长期以来， 这方面已发展了一套内容非常丰富，并在许多实际问惩中行之有效的方法。但 是，由于f o u r i e r 变换，( 妫是将函数厂( f ) 按照函数系f 扩 的展开，而i b l ， 所以，( 动只能刻划，( f ) 在整个时间域( 。0 ，如o ) 上的频谱特征，而不能反映出 信号在时间的局部区域上的频率特征。在不少实际问题中，我们所关心的恰 恰是信号在局部时间范围中的特征。例如对地震信号，人们关心的是在什么位 一 旦型茎堂堡圭兰焦堡奎 置出现什么样的反射波，对这类问题用f o u r i e r 变换的方法往往不是很有效的。 为了研究信号在局部范围的频率特性，引入了小波的概念。我们称满足条 件：j i 氟神1 2 i i 。1d 国 * 平方可积函数妒( 劫为一个基本小波或小波母函 数。令： 嘣曲2 击妒( 孚) ，砌r ，蝉0 ( 2 3 ) 称为由母函数妒生成的依赖于参数a ，b 的连续小波。在图( 2 1 ) 中，显示几个 由母函数烈z ) = ( 1 一h 2 ) p 1 2 生产的小波。这个小波是高斯函数的二阶倒数，被 称为m e x i c a nh a t 。 小波的研究可以追述到1 9 0 9 的h a a r 小波，具体研究可以参看1 2 3 。小 波这个名字的由来是从g l o s m a r l 和m o r l e t 的地球物理信号处理研究中来的。 随着小波的不断发展，它不断被应用在不同的学科领域( 图像压缩和计算机视 觉) 上。关于小波的发展可参考【2 7 】。 f i 9 2 1 不同参数的m e x i c a nh a t 小波 2 1 2 连续小波和二进小波变换 对于信号，( 工) 的连续小波变换( c w t ) 定义为： 4 四川大学硕士学位论文 w ，似，6 ) 2 去仁，( j 矿( 孚) d x = ( ，见，) ( 2 4 ) 其中妒8 ( x ) 为妒( x ) 的复数共轭，参数b 起着平移的作用，本质不同的是参数a ， 它的变化不仅能改变连续小波的频谱结构，而且能改变“窗口” 眈 = 烈。一b ) a ) 的大小与形状。这是因为由f o u r i e r 变换的基本关系式( 2 。1 ) 可见，随着i a | 的减小，见，。的频谱就向高频方向移动，而纯。的宽度则愈来愈 狭小。这就满足了信号频率高相应的窗口应该小，因而它在时间( 或空间) 域上 的分辨串亦高的要求。 如果满足仁i 钗神1 2 1 w k l wa - c , + * ，那么小波的逆变换是存在的。 这被称为小波的a d m i s s i l i t y 条件 2 2 1 。显然，连续小波变换有着相当广泛的 小波选择余地。小波的逆变换定义为： ，( x ) = ( j 二j 二w i ( a ，6 概( x ) d a d b l a 2 ) c p ( 2 5 ) 及p a r s e v a l 等式成立 j 二l w i ( a ，b ) w r ( a ，6 ) 识 ( x ) d a d b l a z ) = c ，( ，g ) ( 2 6 ) 在小波的具体应用当中，为了节省空间资源，我们经常使用尺度二阶 口= 2 i j z ，相应的坼( 2 ，6 ) 被称为二进小波变换。 例如在图像处理中，我们可以使用空间方向上的小波 硝。，= 矿( 2 - j ( x h ，y v ) ) ，l n n ( 2 7 ) 其中n 是大于1 的任意正整数，相对应的nc o m p o n e t 小波变换是 呷；( ，距，p ) ，w 夕( ，口，v ) ) w 7 ( 2 j ，酬) = 去仁，( 圳矿( 等，等胁咖 = ( ，嵋。) ( 2 固 ( 2 9 ) 其中呜。( x ，y ) ，1 n n 必须是原图像的完全和稳定的表示，具体可见1 2 2 1 。 这种二阶小波变换被广泛的应用在图像纹理处理等领域【1 6 1 。 一5 一 四川大学硕士学位论文 2 1 3 小波在信号处理方面的优点 在信号处理里，信号的表示( r e p r e s e n t a t i o n ) 的好坏在很大程度上决定了 信号处理的效栗的好坏。d a v i dm a r t 在其1 2 8 1 有详尽阐述。例如，在数字表 达里，十进制表达能够让我们很容易发现1 0 的阶数，但是却不能一眼看出2 的阶数。当然，如果是用二进制表示，则结果刚刚相反。m e y e r1 2 3 】在其书 中写道，“a n yp a r t i c u l a rr e p r e s e n t a t i o nm a k e sc e r t a i ni n f o r m a t i o ne x p l i c i ta tt h e e x p e n s eo fi n f o r r a a t i o nt h a ti sp u s h e di n t ot h eb a c k g r o u n da n dm a yb eq u i t eh a r dt o r e c o v e r ”。f o u r i e rr e p r e s e n t a t i o n 能够揭示信号的频率( 或谱) 信息，但是它却 不能敏感地察觉信号在某个空间局部上突然发生的小变化。这便使得f o u r i e r r e p r e s e n t a t i o n 在分析瞬态信号( t r a n s i e n ts i g n a l ) 时显得不足。而在信号和图 像处理里，瞬态信号( 例如，图像里的不连续信号) 能够很好地帮助我们分析 信号本身的重要信息，可以不用再从大量的冗余数据里提取信息了。当然为了 便于分析瞬态信号，便要求能够很好她截取到信号在空阕域、频域的局部信息。 于是便提出了大量的变换和函数基 2 2 】 2 7 】，在这里面，小波变换和“窗口” f o u r i e r 变换( w i n d o wf o u r i e rt r a n s f o r m ) 是其中较为经典的变换，在此简单 比较一下二者区别，看看小波变换在信号处理里的优点所在。 d g a b o r 于1 9 4 4 年引进了“窗口”f o u r i e r 变换的概念，他的做法是，取 一个光滑的函数g ( t ) ，称为窗口函数，它在有限区间外恒等于0 或很快地趋于0 ， 将它和原信号相乘，然后再进行f o u r i e r 变换： s ( 岛神= if ( x ) g ( 工一f ) p 0 4 ”巩( 2 1 0 ) 由上面的定义可见，f ( x ) 的“窗口”变换s ( r ，妫反映了f ( x ) 在t = f 附近的 频谱特征，由其逆变换可知： 1 。 f ( x ) = 乏ii g ( x r ) e 肼d 脚f ( 2 1 1 ) 月一 可见确实包含了的“x ) 全部信息，而且“窗口”变换的窗口位置随t 而变( 平移) ， 符合研究信号不同的位置局部性质的要求。这是它比f o u r i e r 变换优越之处。 因此在通信理论中发挥过一一定作用但是，“窗口”变换的窗口的形状和大小 保持不变，与频率无关，熟知在研究高频信导的局部性质时，窗口应开得小一 四川大学硕士学位论文 些，而在研究低频信号的局部性质时，窗口应开得大一些，也就是说，窗口的 大小应随频率而变。频率愈高则窗口应愈小。这才符合在实际问题中高频信号 的分辨率应比低频信号高。因此窗口形状、大小不随频率而变是“窗口”变换 的一个严重缺点。此外，在数值计算时，必须将连续依赖于参数的变换离散 化。熟知，将f o u r i e r 变换离散化后即得校正交函数展开的f o u r i e r 级数。这在 理论上或数值计算中部是非常重要的但是，对“窗1 3 ”变换而言，可以证明： 不论怎样离散化，均不可能使它成为一组正交基。由于“窗口”变换的种种较 严重的缺点，使它未能得到广泛应用与进一步发展。而小波变换不仅继承和发 展了“窗口”变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化、缺乏 离散正交基等缺点，是比较理想的对信号进行局部频域分析、处理非卷积型线 性算子、变系数线性微分算子等的数学工具。 _ 八死 7 、一 f i 9 2 2f o u r i o r “窗口”变换和小波变换的基荫数和时简一频率图 2 2 离散小波变换 离散小波变换( d w t ) 往往是和信号在正交小波基( o r t h o g o n a lw a v e l e t b a s e s ) 的展开( s i g n a le x p a n s i o n ) 相关的。在后面文章里将简单介绍小波框 架和小波基。与连续小波变换( c w t ) 的冗余性形成鲜明对比的是，信号的 离散小波变换几乎没有其他多余的冗余信息。离散小波变换也不能被简单看作 一 一 小卅 四川大学硕士学位论文 是连续小波变换的简单采样。首先，小波的选择便是非常严格的：如果我们处 理的是具有有限能量的数字信号，( 石) 厶( r ) ，那么小波妒( 工) 必须满足 f 妒( 2 。o 一2 j 女) ) r 。，是r ( 尺) 的基。a l f r e d h a a r 于1 9 0 9 年最早提出来满足此 条件的小波基，而后出现其他更好的满足此条件的小波基，具体参见1 2 9 。 多尺度分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 被广泛地用在小波基的构造上， 2 0 1 、 1 2 1 】、1 3 0 1 进行了非常详细的介绍。正交小波基很少有非常简练的数学表达 式，但却能通过离散滤波器非常容易计算得到。了解小波基和这类离散滤波器 之间的关系对我们来说非常重要。能够让我们更好地理解m a l l a t 的快速离散 小波算法( f a s td w t ) 。在余下的章节还会介绍与具体图像处理有关的小波知 识。 2 2 1 简要介绍小波框架和小波基 对一信号f 的级数展开是： ，= q 孵 其中识为空间s 的函数基。如果集合娩1 凫：对空间s 来说是完备的，那么其 对偶集合 谚) 。：存在，并且( 2 1 2 ) 中的系数q 可由f 和磊的内积得到，即 c = ，磊) 。一个完备、线性无关的集台娩 扛。构成了空间s 的一个基；它的 对偶集合 识 胄：同样也是空间s 的一个基，并且二者相互正交： 渤，磊) = 艿( f 一力。当集合f 识) 胄：和其对偶集合 谚 胄。相等时，( 仍 庠：被称为空 间s 的标准正交基( o r t h o n o r m a lb a s i s ) ，满足( 仍，仍) = a ( i j ) 。如果 嚷 是完 备的，但并不满足线性无关，那么( 识) 是空间s 的一个框架，而不是一个基。 空间r ( r ) 的常用小波基是： = 专妒c 号 封 任何一个具有有限能量的信号f ( x ) 可以按( 2 1 3 ) 基展开为： f ( x ) - - - - ( 2 1 4 ) 四川大学硕士学位论文 其中q 。为小波系数，可由“x ) 和哆。( x ) 的内积得到 = ( ，秀，。) = 二，“域；( x ) d x ( 2 1 5 ) 最早提出的小波基是1 9 0 9 年的h a a r 基： 1 0 s z s l 2 妒( 工) = - 1 ，1 2 s x 1( 2 1 6 ) 0 ，o t h e r w i s e h a a