（基础数学专业论文）第二基本形式全长泛函的变分问题及其应用.pdf

云南师范大学硕士学位论文 1 1 1 摘要 设$ ：m n n ”，( c ) 为等距浸入，n + p ( c ) 是截曲率为c 的空间形 式b 为。在n 押中的第二基本形式，本文考虑泛函 w ( 。) 2 厶唧d m ( o - 1 ) 的变分问题，并得到e u l e r l a g r a n g e 方程， i b i “一2 陋鑫 岛7 曝+ n 日4 c + n a h 4 一l b l 2 h 4 】+ ( i b r 一2 ) ，玎碍+ 2 n 弼( i b i “一2 ) j = 0 ( 0 2 ) 称满足此e u l e r l a g r a n g e 方程的子流形是肌极小的子流形其中豫 是第二基本形式，旧。是第二基本形式向量模长的平方，日4 是平均曲 率向量的分量，是l a p l a c e 算子 作为应用我们找到了一类w 极小的旋转曲面，得到了本文的一 个重要定理该定理找到了我们所考虑的此类w 极小的旋转曲面的 几个例子 关键词：w 极小，旋转曲面，极小子流形 云南师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t s u p p o s e ：d 护_ 胪却( c ) i sa ni s o m e t r i ci m m e r s i o n ，n “押( c ) i sas p a c e f o r mw i t ht h ec o n s t a n ts e c t i o n a lc u r v a t u r ec bi st h es e c o n df o u n d a m e n t a l f o r mo fzi nn ”却i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h ev a r i a t i o n a lp r o b l e m so ft h e f u n c t i o n a l ： ( 。) = 厶吲“d m a n do b t a i nt h ee u l e r l a g r a n g ee q u a t i o n ： l b l ”一2 【 鑫垛+ n 眉田c + 忆丑。口一i b l 2 丑1 + ( 1 b r 一2 ) 巧呜+ 2 n 且0 ( i s l ”一2 ) j = 0 w ec a l lt h es u b m a n i f o l dw h i c hs a t i s f i e st h ee u l e r l a g r a n g ee q u a t i o ni s w - m i n i m a ls u b m a n i f o l d i st h es e c o n df o u n d a m e n t a lf o r m ，吲2i st h e s q u a r eo ft h el e n g t ho ft h ev e c t o ro ft h es e c o n df o u n d a m e n t a lf o r m 日口i st h e c o m p o n e n to ft h ev e c t o ro ft h en ”c u r v a t u r e i sl a p l a c eo p e r a t o r a sa na p p l i c a t i o n ，w ef i n do n ek i n do fw - m i n i m a lr o t a t i o ns u r f a c e ，a n d g e to n eo ft h ei m p o r t a n tt h e o r e mi nt h i sp a p e r t h et h e o r e ms h o w ss o m e e x a m p l e so ft h i sk i n do f 矸，m i d j i n a lr o t a t i o ns u r f a c ew em e r i t i o n e da b o v e k e yw o r d s ：w m i n i m a l ，r o t a t i o ns u r f a c e ，m i n i m a ls u b m a n i f o l d 独创性声明 v9 7 5 3 3 上 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标 明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：马文芒 年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权云 南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名：马灾县 年月 日 指导教师签名：钾霞 l d 口6 年f 月 日 云南师范大学硕士学位论文 1 1 引言 本文考虑的映射。：m n 一n 押是1 3 维黎曼流形m ”到n + p 维黎曼 流形 p 却的等距浸入，b 为肘n 在“却中的第二基本形式，日、耳 分别是茁的平均曲率和高斯曲率。 自从w i u m o r e 猜想提出以后，很多几何学、拓扑学工作者对它发 生了很大的兴趣，并取得了许多进展，但是迄今为止还没有得到完全 解决 在这个过程中，数学工作者对子流形的各种泛函进行了深入研究， 得到了一些有用的变分公式( 【4 f 6 】【1 1 ) ，其中对w i l l m o r e 泛函 w ( ) = 厶( i b l 2 一n i 驯2 ) 2 d m 的研究尤为引入注目，王长平教授首先给出它的e u l e r - l a g r a a g e 方程， 特别在n = 2 ，p = 1 时此方程为： 日+ 2 h ( h 2 一k ) = 0( 1 3 ) 随后郭震教授，李海中教授以及王长平教授又给出了该泛函的第二变 分( 【1 4 】) ，并得到了w i l l m o r e 超曲面即 睇- 胪( 1 等) 旷( 扣s m l ( 1 4 ) 该文作者把它命名为w i l l m o r e 环郭震教授还对此做了进一步的工作， 并得到了子流形的拼挤定理( 【1 3 】) 。 与此同时，李安民教授对泛函w ( x ) = 1 日r d m 的变分作了研究， 证明了一个联系它的解和球面上极小子流形的定理 我们的工作是考虑第二基本形式全长w ( x ) = 矗j b l “d m 的变分， 上述泛函是在外围空间n n + p ( c ) 中的等距群下的不变量，它刻画了a p 离开全测地的程度特别，当n = 2 时，w ( 。) 为高斯影射象的面积 ( 注：当胪+ p = 酽却为欧氏空间且 。极小时，j b l 2 = 一r ，称w ( x ) 为极 小子流形z 的全纯量曲率) 沈一兵教授前面也对这个泛函作了研究并 且得到了一个很好的结论： 云南师范大学硕士学位论文 2 “若全纯量曲率有限，且z ：m ”一酽“完备极小，则。为超曲面” 该定理是用全纯量曲率刻画子流形的一个很好的结果。 本文研究该泛函的变分，得到了它的e u l e r l a g r a n g e 方程作为 该理论的应用，本文得到了如下的几个主要结果： 定理2 3 1 ：对于下面的子流形 z ：s k ( 口) s m 一2 ( 6 ) ，s ( “+ 1 ( 1 5 ) 。2 十6 2 = 1 ，g 2 和b 2 是有理数，如果z 是w 一极小，则只有o = b = ；一 种情况 定理2 3 4 ( 例四) ：设m = s “z ( a 1 ) s 一( 郇) 是嵌入在s “+ 1 中 的一个子流形，满足： 帕= m ，霹= 1 = l i ；l 则当 帆：一? t t ，霹：= 1 ，i = l ， 帆2 一t ，町。= ， 2 l ，7 t 时m 是一个极小的子流形 然后本文又考虑了旋转曲面的情况，得到了本文的一个很好的结 果： 定理3 3 1 ；令妒是w 极小的旋转曲面，它的母线是： 7 ：j 一譬，7 ( t ) ；( 口( t ) ，卢( t ) ) s - cr 2 是单位球，且该旋转曲面为： 妒：j s 1 ，r 3 ，妒o ，。) = ( a ( t ) 。，卢o ) ) 斧 ( 是绕最后一个坐标轴旋转得到的旋转面) 其中参数t 的选取使得 m 2 = a 2 z ：s 1 一舻是位置向量引入双曲函数有 q = a s e c h y ，= a t a n h y 云南师范大学硕士学位论文 3 则母线方程的形如! ，= a s i n h y + b c o s h y 的解只有下面的几种情况： ( i ) 口= i ，b = 0 ，对应的是球， ( i i ) a = 一1 ，b = 0 ，对应的是悬链面， ( i i i ) a = o ，b = 士以，对应的是环 本文是这样安排的：在第一节，我们计算第一变分得到e u l e r l a g r a n g e 方程，称满足e u l e r l a g r a n g e 方程的子流形是w 一极小的子 流形特别地在帮中佴，- 极小的曲面方程为 2 z i h f b f 2 h + t r b 3 = 0( 1 6 ) 第二节中我们考虑了旋转w - 极小的旋转曲面，证明了球，悬链面以及 圆环都是w 极小的旋转曲面 2 第二基本形式全长泛函的变分 2 1 ( z ) 的变分公式 令z 为n 维微分流形到m + p ) 维黎曼流形的等距浸入，取 e l 渤，e i + p 为的局部单位正交标架场，u - ，u 。，+ ，是它们 的对偶形式，限制在m 上时，eh - ，e n 切于m ，剩下的向量e r l ，+ ， 法于m ，我们使用下面的指标约定： 1s t ，j ，k ，s m ； n + 1 口，p ，s n + p ； 1s a ，b ，c ，曼m ， 并且相同的指标表示对它在自己的变化范围内求和 设娩： p 一胛“，为z 的变分 = z ( 亡，) ：m “，叽却，一墨t s 忙 0 ) 且知= z 取变分向量场为如( 袅) = 口。e 。( 容许法变分) ，h = 嚣岫。畸 为观的第二基本形式 墨壹墅垫盔堂塑堂垒鱼圭 4 定义惕的协变导数h 甜a ， 嚣，“如下： 蝎，= d 蝎一h i l w j 一 0 u + 碍嵋， ( 2 7 ) 蝎削u f = d 蝎，。一 嚣，。“一h 3 t 嵋一 ；，f u 2 + g ，。u ； ( 2 8 ) 下面考察j 彤( 。) = 如吲“d m 的e u l e r l a g r a n g e 方程已经知道： 警：口嚣+ 啄镌口口+ 魂扩， ( 2 9 ) a ，t j u “ 口，t ja ，卢，i , j ，口，卢， j 丕k 。d 疋2 莓一n 日4 扩d m - ( 2 1 0 ) 其中直是外丽空间的曲率 经计算有： 警= 譬= 抑2 掣= 到卵。警 将( 2 9 ) 代入( 2 1 1 ) 可以得到 百o l b l = 州b p u a ，玎+ 椎垛扩+ 黾。4 1 ， ( 2 1 2 ) 6 i 矿( 。) = 熹i - 。j ki b r 删； = j k ( 袅i b 。( i b i ”) g m + i b r 岳i t ：。d m ) = n j k 。，反钮( i b i “一2 ( 嚣口备+ 毳 备叫：扩+ 嚣硫扩) 一l b i “h 口扩) ( 2 1 3 ) 进一步地有 而 b i “一2 o = ( i b i “- 2 蝎o ：) j 一( i b i “- 2 ) j 嚣口；一i b i “。( ) j = ( b r 一2 嚣口；) j 一( ( i b | n - 2 ) j 蜴口口) i + ( i b l ”2 ) o 。 + ( i s l ”2 ) j ( 嚣) j a 。一( i b r 一2 ( 嚣) j o 。) ， + ( 1 b i “一2 ) l ( 嚣) j a 。 + i b i “一2 ( 嚣) j o 。， ( 2 1 4 ) ( 嚣) j 产( 殇) ，“= n 瑶= n a h 4 ， ( 2 1 5 ) 云南师范大学硕士学位论文 从而 6 w 7 ( 。) = nf , , , c i b i “一2 【嗡曝+ a a n - - i a 毋 + n 日口一i b j 2 日1 + ( i b i “一2 ) ，嵇碡+ 2 n h 5 ( i b i ”一2 ) j ) a 口d m 外围空间是常截曲率c 的，所以有； = 哦 5 邙 代入上式得： 6 w ( z ) = n m ( i b r 2 【 磊峭垛+ n 日4 。 ( 2 1 6 ) + n a h 口一f b f 2 日1 + ( 1 占f “一2 ) ，i j h i 3 + 2 n h s ( i b i “一2 ) j ) a 口d m ， 定义2 1 1 子流形z ：m n 一、卜+ p 称为是w 一极小的，如果有 d w ( z ) = 未k 。i b i ”d = o ( 2 1 7 ) 于是有下面的定理： 定理2 1 2 子流形是w 一极小的充分且必要条件是 i b l “一2 【 象垛+ n i l 4 c + n a h 4 一i b l 2 h 4 】+ “b i “一2 ) ，舒，吃+ 2 n h 3 ( b i “一2 ) j = 0 ( 2 1 8 ) 2 2 分情况讨论 ( 一当n = 2 时 这时，( 2 1 8 ) 可以简化为 2 a h 4 + ( 2 c i b l 2 ) 日4 + 象 嚣，缘= 0 ( 2 1 9 ) 可以得到下面的命题： 命题2 2 ，1 ：2 却( c ) 中任意2 维极小子流形m 一定是w 一极小的。 证明：m 是2 维子流形： 嘞= k 扁幻k = 足1 j 1 + 足2 ， 云南师范大学硕士学位论文 由曲率张量性质知道 r 1 1 = r 1 2 1 2 = k = ，r 1 2 = 0 ( 这里k 是g a u s s 曲率) 即有= k 如 另一方面又有； = k 且坷 = n h 。 ；一h t k h k j + c 6 1 j ， 结合极小条件有 喙= ( c k ) 如 所以： 曩垛= ( c k ) n h 4 = 0 代入( 2 1 9 ) 并结合极小条件可以容易得到该等式成立，即m 是w - 极小 的子流形证毕 若n = 2 ，p = l 则有： 2 a h + ( 2 c i b l 2 ) 日+ t r b 3 = 0 ， ( 2 2 0 ) 2 a h + 【2 c 一( 碍+ 碍) 】日+ ( 碍+ 入；) = 0 ， 2 日+ 【2 c 一( a + a ；) 】查l 喜土+ d l + a 2 ) ( a ：一a 。a 2 + a ；) = o ， 2 a h = 【一( a l a 2 ) 2 2 c h 这就得到r e i l l y 文章( 【1 1 】) 中的定理g ： 命题2 2 2 ：令舻一s 3 ( 1 ) 是紧致旷极小的，且满足； o = 一厶一a 2 ) 。+ 2 h d m 如果日不变号令h = 0 ( = ) 当 p 为e i n s t e i n 极小子流形时 这时m n 既是e i n s t e i n 的又是极小的即r j = p 如，机23 ) ，p = c o n s t 冗玎“= 危毳吩一蟠啄+ c ( 盈 毛i 一如岛) ， 云南师范大学硕士学位论文 r j = r 蛳 = n h 。 嚣一危氛 岛+ ( 礼一1 ) c 如， 有 鑫 岛= 协一1 ) c 一纠如， 注：因m “是极小的，所以上式中的项n h 。为零所以： 毳 嚣垛= 【( 竹一i ) c p n h 口= 0 ， ( 2 2 1 ) r = t 忍 = 4 2 i h l 2 一i b l 2 + n ( n 一1 ) c ， l b l 2 = 一r + i b l 2 竹( n 1 ) c = c o n s t 将上面结论都代入方程( 2 1 8 ) 中，很容易可以得到左边为零，即该方程 成立这样就得到了下面的命题： 命题2 2 3 ：m “为胪押( c ) 中的e i n s t e i n 极小子流形，则m n 是极小的 2 3 例子 例一：( c l i f f o r d 环) 例二：( v e r o n e s e 曲面) 其中 。：s 1 ( 击) 艚( 击) 一s 3 u ：s 2 ( 狐) c 帮一s 4 ( 1 ) cr 5 ，z = ( 。，y ，z ) 一( p ，铲，t 3 ，铲，u 5 ) u l = 击列= - - 去x z ) 1 1 , 3 丽1 ，z 缸4 = 丽1 ( z 2 一n u 5 习1 。2 + f 2 2 ) 7 云南师范大学硕士学位论文 可以判断上面两个例子都是等距浸入，且都是极小的，由命题2 2 ，1 知 道它们是极小的 例三：子流形 z ：驴( 壶) 驴( 丧) _ s ( - v + 1 、， 是w - 极小的 该例子的证明包含在下面的定理证明中 定理2 3 1 ；对于下面的子流形 $ ：s 七( a ) s m 一。( 6 ) + s 如+ 1 ( 2 2 2 ) 。2 + 6 2 = 1 ，0 2 和b 2 是有理数，如果z 是w 一极小，则只有a = b = 一 种情况。 我们首先给出要用到的一个的引理： 引理2 3 2 ：令： z ：s ( 口) xs ( “一。) ( + s m + 1 ) 且口2 + 垆= 1 ，则z 的第二基本形式是： h q 2 ：幻， 1 t ，j ， 一 如，+ 1 s i ，j n ， ( 2 2 3 ) 0 ， 1s is 七，k + 1s js 礼 证明：令 6 ：s o ) r + 1 ，巳：s 加一) 斗r “一。+ 1 是标准嵌入则 卫芎i + 五如：s ( 口) x s _ 一。) ( 6 ) s 扣+ 1 ) ( 因为 = a 2 + 护= 1 ) 令e ”，e 为s k ( a ) 的单位正交局部切标架场；e m ，e n 为铲“( 6 ) 的单位正交局部切标架场则 8 云南师范大学硕士学位论文 为s 。( o ) s ( ”( 6 ) 的单位正交局部切标架场令 9 为5 , k ( o ) s ( n 一砷( 6 ) 的对应单位正交余切标架场则有： 瞄毁 亿z t ， 所以岛+ l 是伊( 口) s ( n 一舫( 6 ) 在s 1 ) 中的单位法向量x 的第二基本形 。；b 一2 ( 2 2 5 ) = ：叁i ( u ) 2 一 ； + i ( ) 2 该定理的证明还用到一个高等代数方面的引理( 1 5 】p ”) ： 是一个整系数多项式若有理数：是，( 。) 的一个根，这里u 和”是互 ( a ) 。整除，( z ) 的最高次项系数o o ，而u 整除f ( x ) 的常数项a n ， ( b ) ，( z ) = 一i ) q ( ) 云南师范大学硕士学位论文 这里g ( z ) 是一个整系数多项式 ( 证明略) 定理2 3 1 的证明： 由引理( 2 3 2 ) 知道： 这时可以得到 = ：， 1 t ，j sk ， 一 如，自+ 1 t ，j n ， 0 ，1 i k ，k + 1 j n ：日= k ：一m 叫弘1 2 _ ( ：) 2 小叫( 护c = l 代入( 2 1 8 ) 式可得： t r b 3 + n h i b p h = 0 ， 礼2 3 ( n 2 + n k ) v 2 + ( 2 k 。一n k ) y + ( n k k 2 ) = 0 其中y = 0 2 根据上面的引理，知道上式的可能有理根可能是：，譬，代 入验证知在n = 2 k 情况下他们是上式的根，即y = i 1 ，。= 从而说明此c l i f f o r d 环是肌极小的 定理2 3 ，4 ( 例四) ：设m = s m - ( 口1 ) x 个子流形，满足： r 帆= m i = l s m r ) 是嵌入在s ”+ r 一中的一 r 口b 1 ( 2 2 6 ) b 1 则当 m ；= 罟一2 = ；，t - 1 ，r ( 2 2 7 ) ”t 2 了，。2 i ， 。1 ，7 ( 2 2 7 j 时m 是一个w 极小的子流形 证明：首先要说明的是这里指标问题比较复杂，我们规定用到的指标 及它们的变化范围如下： 1 6 ，c ，d m ，1 ，正k r ，r + 1 口，口m 十r 一1 ，1 a ，卢r 一1 1 0 圣南师范大学硕士学位论文 设：s t r i ( 1 ) 一r m + 10 = 1 ，r ) 是标准嵌入，于是有”：1 ，则 可以记 令 z = ( 1 3 1 2 1 ，如瓤) ：m = s m l ( d 1 ) s 帆( 0 r ) + s m + r 一1 e m + = ( o 址嚣l ，一，口打) ， = 1 ，一，r i 是m 的标准正交法向量即 也就是下面的矩阵 是正交矩阵因此有 rr 吨口“= 0 ，口“b m = 以p ( 2 2 s ) l 穹1 i = 1 a = 因此m 的第一基本形式和第二基本形式为 ，= 出出= ( 口1 ) 2 如1 出1 + + k ) 2 嘶如， i i = 一 b l t i 2 、，( a l a m 出i 缸l + + 坼口扣d 耳d 研) 这样就得刭了第二基本形式分量如下： ( 嚣“) =r 一警e r ( 2 2 9 ) a = 1 ，r 一1 ， ( 2 3 0 ) 墨壹堑垫盎堂塑堂堡垒塞 1 2 目是一个m ；阶单位矩阵 经过一些必要的计算可以得到下面盼一些结论： 日m + 一击耋等m t ，5 x s r 一，| 卵= 砉帆与笋 一叼+ - 垛蠕= 筹( 1 一。；) p ，l ，j ，k i 吨 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 我们的思路是从命题2 2 3 出发来找w 一极小的子流形，即找满足 e i n s t e i n 极小的子流形首先来看当_ l f f gm 是极小时满足什么条件此 时 驴= 一去耋等一。， 由公式( 2 2 8 ) 知道： 警= 地兮瓤2 = 警， 啦 厅 其中k 是一个常数，代入( 2 2 6 ) 知道k = m ，所以有： q 2 = 票 ( 2 3 3 ) 另一方面，当m 是e i n s t e i n 极小的子流形时，有 = 风d c d k = n h 。喂一 岛 美+ 一1 ) c k = 一 品 墨+ ( n z l i 晚 = p ， 其中p 是常数，所以我们只用说明 嚣+ ” 亨“= p 岛即可其中p 是常 数， 莓垤却嚼= 莓礤却铲”幻2 毒一1 2 p ， “kp 所以： 碡1 一= 去一一= 虿1 一 可以解出= 口；一一晖2 ，结合前面( 2 2 6 ) 就有： = 一= o ；= 妄 云南师范大学硕士学位论文 结合极小条件得 佻；罟一2 ：，t - 1 ， 佻。了，2 ；， 。5l ， ，7 即结论成立证明结束 3 w 极小的旋转曲面 3 1 一类旋转曲面的结构方程 设旋转曲面的母线是： 1 ：f 一砰，吖( t ) = ( a ( t ) ，卢( t ) ) ，( 3 3 4 ) 舒。cr r i ，是单位球，设旋转曲面( 绕最后一个坐标轴旋转) 为 妒：，x 铲一1 _ 毋“， l p 0 ，动= ( a ( t ) 。，卢( t ) ) r “+ 1 其中z ：p 1 一研为s n 。在衍中的位置向量 则- 1 在舻中诱导的度量是舻，设妒在印+ ，中诱导的度量是g ，则 d 妒= ( 口，( t ) 疵z + a ( t ) 出，0 ) 出) ，( 3 3 5 ) g = ( 如) 2 = ( ( ) 2 + ( ) 2 ) d r 2 + o t 2 如2 ( 3 3 6 ) = ( 1 1 i d t ) 2 + a 2 4 = 2 切向量是忱= ( a 乞，) ，令 e 1 。丽j l a t 。，) ，( 3 3 7 ) 5 南( 一霉，) ( 3 3 8 ) 设黾，( 2s s 呐为铲“中的单位正交切向量，- i 为其对偶。令 氐= 慨，o ) ，( 2s t n ) ，则e k , ( i k n + 1 ) 构成了舻+ 1 的一个单位正交标 架场，峨为其对偶( 1 s s 几+ 1 ) 。 1 3 云南师范大学硕士学位论文 下面考察妒的结构方程对于标架场e - 有 d z = 砚瓦， 另一方面 所以就有 再来考察 另一方面又有： 所以有 旗= 岛一口弘，( ( 2 t 5n ) ) n 如= 咄e 产u l e l + 咄e i = 2 ( 3 3 9 ) ( 3 4 0 ) ( 3 4 1 ) d 妒= ( a z ，) d t + ( a d z ，0 ) = i y l d 亡e 】+ a ( 再，0 ) 砚 ( 3 , 4 2 ) = 1 1 i d t e l + 嘧i 岛， u 1 = 1 7 j 出咄= 面i ，i 2 ( 3 4 3 ) 幽= ( 觑，o ) ( 3 “) = ( 弓一矾$ ，0 ) ， 氓= c d i l e l + 譬2w , j e j + c d 讯+ l e n + 1 = 蝴( 南z ，南) + 芝朵2 ( 写，o ) + u i n + ( 箭，南) ( 3 4 5 ) = 似t 薷z + 。塞写一“m + ，南z ，岫南+ u m + - 鬲) ， 姊t 薷。+ 妻百一+ t 南。 ( 3 4 6 ) = 弓一砚o ， 和 罱+ + z 高= 。， c 蹦砷 同时成立上面两式联立可得下面关系式： = 鼢= 南一嘞 ( 3 1 4 墨壹竖堇盘堂塑主堂堡整塞 1 5 所以有： h 5 南如 ( 3 4 9 ) 【k = 鼎，l ，j 2 ， 下面再考虑； d e l= u l 主e t + 1 “+ 1 e “+ 1 侣5 0 1 = ( w l 衢，o ) + w l 。+ l ( 鬲z ，而) ， 另一方面又有； 所以有 d e t 2 4 ( 融岛) ( 3 5 1 ) = ( d ( 薷) 露) + ( 薷酝，d ( 南) ) ， 高= d 南，”1 丽刮丽 l = x 。l d f 7 4 l i = 帮u - 。d 擘t 一昏d t m 1 = 下f 一 如果f 为i 上的光滑函数，则： 2 南。1 = t l u l + i 1 | 所以有： 羔急。i ( 3 5 2 ) ( 3 5 3 ) ( 3 5 4 ) ( 3 5 5 ) ( 3 5 6 ) 墨壹塑垫盘堂塑主堂堡堂皇1 6 ，。的协变微分为： f = a i + l o 吣 =d(南)(3 5 7 、 = ( 南) d t = ( 南) 7 ( 丽1 ) 可得： j n = ( 翮南) ( 3 _ 5 8 ) 【f , l j = 0 0 2 ) 另一方面， ( i 2 ) 的协变微分为： 可得 所以有 在n = 2 时就是 所以 此时，我们令 知= 封 七f 一 t = 6 如+ f , 1 w 1 4 + ， k u “ = ，l u l i ( 3 5 9 ) = 南南咄 = 毒皋咄， f , l i 慧2 ) ( 3 6 0 ) ，= 丽1 ( 南t ) + ( n - 1 ) 崭 ( 3 6 1 ) ，= 丽1 丽f ) ，+ 崭， ( 3 6 2 ) 日= 南c 静+ 器 c s e s ， - - = 产， c s s t ， 室壹堑整盘堂塑主堂垡垒塞 1 7 p = k = 南 ( 3 6 5 ) 我们可以看到a 恰好是曲线7 的斜率( 1 9 1 ，p ，2 8 ) 则我们有： h ：半， ( 3 6 6 ) 吲2 = 妒+ 矿，( 3 6 7 ) 打b 3 = 舻+ “3 ( 3 6 8 ) 把上面的结果代入方程( 2 2 0 ) ，则原方程可以化为： 半+ ；( 舻一卵# - a z 2 _ o ( 3 6 9 ) 这个方程如果直接代入求解将化为一个非常复杂的非线形常微分 方程，下面我们考虑引入一个变换将方程求解简化，求其一些特解 ( 这个变换是本人的导师郭震教授提出的，有很大的应用空间) 3 2 一类参数变换 命题3 2 1 对曲线1 ：卜- r 2 ，存在参数t ，使1 丫1 2 = a 2 证明：设s 为1 的自然参数，i 鲁i = 1 ，取t 满足： t = r 扛 则 l 面a - r i = d 7i r i s = 吲d s = 亦即 1 7 1 2 = ( q ) 2 + ( 卢) 2 ；q 2 证毕 由上面证明可得： ( 等) 2 + ( 譬) 2 - 引入双曲函数有 o = c t s e c h y ，= 口t a a a h 口， ( 3 7 0 ) ( 3 7 1 ) ( 3 7 2 ) 墨壹塑整盘堂塑堂堡堡圭 1 8 代入前面表达式中有： a = 宰7 ，p = 了t a n h y ( 3 7 3 ) aa 通过求导计算可以得到： = 警 y , t - - ( 矿) 2 t a n h y - y t s e c h y 】， ( 3 7 4 ) = 警旷一3 9 矿址g 一( 州s e c h 2 y - t a n h 2 v ) 一2 蜘出9 ( 3 7 5 ) + 3 ( ，) 2 s e c h y t a n h y + y s e c h 2 乩 ：业( s e c h ，t a n h y ) ，( 3 7 6 ) q = b ”s e c h y 一2 ( 9 7 ) 2 s e c h y t a u hy y ( 2 s e c h 2 v t a a h 2y ) + s e c h yt a a hy ( 3 7 7 ) 将上面的结果代入方程( 3 6 9 ) ，就得到了下面的定理： 定理3 2 2 令妒是一极小的旋转曲面，它的母线是： 7 ：j 一舒，7 ( t ) = ( a ( t ) ，卢( t ) ) s ，c 砰是单位球，且该旋转曲面为： p ：jx s l - r 3 ，妒( t ，z ) = ( 口( t ) z ，卢( t ) ) 。f r + 1 ( 是绕最后一个坐标轴旋转得到的旋转硅酌其中参数t 的选取使得 m 2 = q 2 。：s 1 一r 。是位置向量引入双曲函数有 d = a s e c h y 8 = & t a a h y 则母线方程是： 2 一圹( 6 矿t a n h y + 2 s e c h y ) + ( 矿) 3 ( 2 t 8 n h 2f s e c h 2 y ) + ( 矿) 2 s e c h y t a n h y + 矿( t 8 n h 2 9 一2 s e c h 2 v ) + 2 s e c h y t a n h y + s i n h y t a u h 2 口= 0 ( 3 7 8 ) 云南师范大学硕士学位论文 1 9 3 3 w 极小的旋转曲面方程求解 郭老师证明了超悬链面是极小的旋转曲面，在n = 2 时，它是悬链 面，由前面的命题2 2 1 知道它是w 一极小的旋转曲面它的母线方程 是： 7 ：j 一砰，y ( t ) = ( 。( t ) ，卢( t ) ) ， a ( t ) = c o s h t ，p ( t ) = t ( 3 7 9 ) 该瞌线对应的g ；一s i n h y ，事实上： 卢( t ) = t 号= a t a n h y = i ： 一1 ：t a n h y 代入下面的式子有： a n h 7 y 2 s 如2 = 一壶“ ( 3 8 0 ) = - 丢s e c h y = 一s i n hy s e c h 2 y 辛口= - s i n h y ( 3 8 1 ) 同样我们可以得到球对应的是：y 7s i n h y ， 事实上，在前面有如下的结果： a = 警v ，肛；t t a n h y aa 因为球是全脐的，所以a = 弘代入经简单计算可以得到上面结论 我们对它进行变易，令7 = a s i n h y 看能否找到a 的新的值， 此时y 的高阶导数分别为： 矿= a 2s i n h y c o s h y ，( 3 8 2 ) = a s s i n h 3 y + a ss i n h y c o s h 2 v ( 3 8 3 ) 代入方程( 3 7 8 ) 运算整理可得： 如+ 1 ) 2 ( 1 一a ) s i n h 3 可+ 2 ( 口一1 ) 2 ( 口+ 1 ) s t n h g = 0 ( 3 8 4 ) 云南师范大学硕士学位论文 由函数组线形无关的知识知道，s i n h 3v 和s i n h y 在它们的定义域上 是形无关的，即它们的系数为零由上面的方程知道，o = 士1 ，而。= 1 代表的是球( 口= s i n h y ) ，于是我们知道悬链面和球都是w 一极小的 旋转曲面 上面的结论启发我们看能否把形如 f = a s i n h y + b c o s h y( 3 8 5 ) 的一切解都找到，本文作者就作了努力的尝试，得到了下面的定理： 定理3 3 1 ：令妒是w 一极小的旋转曲面，它的母线是： 7 ：j + 形，1 ( t ) = ( 口o ) ，卢( t ) ) s 1cr 2 是单位球，且该旋转曲面为： 妒：，s 1 - 舻，妒( 亡，z ) = ( a 0 ) 茁，卢0 ) ) r s ( 是绕最后一个坐标轴旋转得到的旋转面) 其中参数t 的选取使得 m 2 = n 2 。：s 1 一帮是位置向量引入双曲函数有 = a s e c h y ，= a t a n h y 则母线方程的形如7 = a s i n h yd - b c o s h y 的解只有下面的几种情况： ( i ) 口= 1 ，b = 0 ，对应的是球， ( i i ) o = 一1 ，b = 0 ，对应的是悬链面， ( 1 1 1 ) a = 0 ，b = 士以对应的是环 证明：对g = a s i n h y + b c o s h y 求导，可得它的高阶导数： 口”= a b s i n ：2 y + ( a 2 + b 2 ) s i n h y c o s h y + a b c o s h 2 ，( 3 8 6 ) = ( a 3 + 口6 2 ) s i n h 3 掣+ ( 5 。2 6 + 6 3 ) s 讪2 可c o s h 掣 ( 3 8 7 ) + ( 一+ 5 a 6 2 ) s i n h y c a s h 2 9 + ( a 2 b + b s ) c o s h 3 口 云南师范大学硕士学位论文 2 1 把上面两个式子代入方程( 3 7 8 ) ，计算化筒后可以得到下面方程 a + b = 0 其中： a = 2 a 3 s i n h 3 y t a u h 2 一( 4 a s + 4 a b 2 ) s i a h 3 口 + ( 2 一+ 4 a b 2 ) s i n h y c o s h y 一( 2 a 2 + 3 a b 2 + b 2 ) s i n h y ( 3 8 8 ) + ( 铲+ 口+ 1 一口3 ) s i n h y t a n h 2 y + ( 2 2 a ) t a n h y s e c h y ， b = 一( 2 b s + 2 a 2 b ) s i n h 2 y c o s h y 一( 2 a b + 6 3 ) c o s h y + ( 2 b 3 + 2 a 2 b ) c o s h 3 + ( 6 3 a 2 b ) s i a h y t a n h y 一2 6 s e c h y ( 3 8 9 ) 对它们进行简化得： a 2 蕊1 ”( 1 + 。+ 6 ) ( 1 + 。“) s i n h 3 ( 3 9 0 ) + ( o 一1 ) ( 2 矿+ 6 2 2 ) s i n h 鲥， b = _ c o s h v 【( 3 a 2 b - - 6 ) a n h 2 9 + 2 6 s e c h 2 9 ( 3 9 1 ) + 2 a b 一2 6 3 2 a 2 6 此时将可以看出来a 和b 函数无关，所以要有a + b = 0 ，必须有a ， b 同时为零， 通过计算和观察可以知道： a = 0 有三组解： 口= 0 ；口= - 1 ，6 = 0 ；口= ，b = 一 或口= ，6 = 4 代入b = 0 中知道，只有前两组是它的解其中第一组对应的有两组 解： a = 1 ，b = 0 ；a = 1 ，b = 4 - 2 所以原方程对应的有三组解： 口= 1 ，6 = 0 ；口= 1 ，6 = 4 - 2 ；8 = - 1 ，b = 0 ( i ) 、( i i ) 对应的几何性状和意义前面已经讨论过了，( i i i ) 对应的几何 意义在下面的命题当中专门来讨论所以定理得证 云南师范大学硕士学位论文 2 2 下面我们仅就7 = s i n h y + 以c o s h y 一种情况讨论把它代入式子 ( 3 7 4 ) ，知道a 7 = o ，所以a 是非零常数，即曲线，r 的斜率为非零常 数。即它是圆环，所以圆环也是一种w 极小的旋转曲面。下面我们以 f 7 = s i n h y + 、i c o s h y 为例来具体说明该类圆环的几何性质 命题3 3 2 ，= s i n h y + 以c o s h y 对应的圆环内外半径比是击。 证明：不妨设该环的方程是： ( a 一口) 2 + 口2 = r 2 ( 3 9 2 ) 其中a 是此环面的外半径，r 是此环的内半径 是7 的曲率，所以 有： = 我们只需证明i = 矾= 以即可 对( 3 9 2 ) 求导有： 一d ) + 口= 0 将前面的结论a = a s e c h y ，= a t a n h y ，代入上面的式子可以得： ( a a ) s e c h y + 卢t a n h = 0 ， 移项后两边平方； ( 口一口) 2 s e c h 2 y ；卢2t a n hy 2 结合环面方程有： ( r 2 一f 1 2 ) s e c h 2 9 = 矿t a n h y 2 ， 矿= r 2 s e c h 2 f lt 嘉s 础2 另一方面： a = 挈矿 = ( s i a h u + 以c o s h y ) = 三( t a n h ，4 - 铜， 口= ( t 8 丑h y 4 - 以) 把( 3 9 3 ) 和( 3 9 4 ) 代入( 3 9 2 ) ，可以得到： f 氧h 可+ 以) 叫2 + 嘉s e c h 2 ，= 嘉郦可+ 以) 一n j 2 + 嘉s2 口。素 ( 3 9 3 ) ( 3 9 4 ) 云南师范大学硕士学位论文 整理得： 【t 8 n h 9 + 互一 司2 = t a n b 2 y 外半径与内半径之比为： ! ：出：以 r 证毕 4 后继工作的展望 前面我们已经取得了一些阶段性的成果，但是还有下面一些更重 要的工作要做第一，文中碰到的常微分方程都比较复杂，我们只求 得了少数特解，可以考虑用微分方程的知识找到它的别的解第二， 我们可以进一步把任意维的旋转超曲面找到 云南师范大学硕士学位论文 参考文献 c 1 】陈维桓，微分流形高等教育出版社，北京，2 0 0 1 【2 】陈维桓，李兴校黎曼几何引论( 上册) ，高等教育出版社，北京， 2 0 0 2 【3 】陈维桓，李兴校黎曼几何引论( 下册) ，高等教育出版社，北京， 2 0 0 2 4 1c c i 强i u n g ，s o m ei n t e g r a lf o r m u l a sf o rc l o s e dh y p e r s u r f a c e s m a t hs c a n d ，2 ( 1 9 5 4