（天体物理专业论文）多标量场宇宙动力学.pdf

上海师范大学硕士学位沦文审文摘要 摘要 本文以广义相对论为基本框架，使用微分方程及其定性理论，研究了宇宙演化中的两个 问题。包括暗能量和宇宙极早期的暴涨 本文包括五章内容第一一章简单介绍了标准宇宙学、热大爆炸宇宙学及暴涨模型等宇 宙学基础知识，为后续讨论做好理论上的准备 第二章介绍了宇宙学观测及理论上的最新进展，着重讨论了暗能量的两个最受关注的 候选者。宇宙学常数和动力学场( q u i n t e s s e n c e ) ，引出后续章节 通过指数势的吸引子解可以建立q u i n t e s s e n c e 模型，并且指数势可以从弦理论或 者m 理论中导出在第三章中，考虑了在包含正压流体( b a r o t r o p i cf l u i d ) 的f r w 宇宙中具有 双重指数势的标量场动力学演化，研究发现其渐近行为并不总是对应于单重指数势情形 通过引进动力学吸引子，使得模型的后期行为对初始条件不敏感，从而在一定程度上避免 了精调问题利用相空间分析研究这类双重指数势模型，结合数值计算，能够揭示这类宇宙 模型的大多数性质 第四章中首先引进了o ( n ) q u i n t e s s e n c e ，同时将第三章的讨论推广到o ( n 1 q u i n t e s s e n c e 模型 第五章中研究了用复标量场来解释暴涨和宇宙当前加速膨胀的可能性 复标量场的对称性破缺被用来解释宇宙的极早期暴涨( i n f l a t i o n ) 和现今的加速膨胀 选择可以重正化的势能项，并且考虑了辐射和物质，同样利用相空间分析和数值计算，分 析复标量场的演化研究发现，复标量场的模部分对应于i n f l a t o n 场，而角向部分对应于 q u i n t e s s e n c e 场，从而构建了一个更加自然的q u i n t e s s e n t i a li n f l a t i o n 模型 关键词：q u i n t e s s e n c e ，d e s i t t e r 吸引子，异宿轨线，o ( n ) 对称性，轴子，q u i n t e s s e n t i a li n f l a t i o n 圭童堡薹奎兰翼圭兰堡兰圣：墨圣塑矍 a b s t r a c t i nt h i sm a s t e rd i s s e r t a t i o n ，u n d e rt h ef u n d a m e n t a lf r a m eo fg e n e r a lr e l a t i v i t y , w es t u d yt h e d a r ke n e r g ya n di n f l a t i o ni nt h ee a r l yu n i v e r s e t h e t h e s i s i sc o n s i s t e d o f f i v e c h a p t e r s i n c h a p t e r l ，i n o r d e r t o m a k ea t h e o r e t i c a l p r e p a r a t i o n f o rt h ef o l l o w i n gd i s c u s s i o n ，w eb r i e f l yr e v i e wt h eb a s i ct h e o r yo fc o s m o l o g yw h i c hi n c l u d e st h e s t a n d a r dc o s m o l o g y , t h eh o tb i gb a n gc o s m o l o g ya n dt h ec o s m o l o g i c a li n f l a t i o n i nc h a p t e r2 ，w er e p o r tt h er e c e n tc o s m o l o g i c a lo b s e r v a t i o n a lr e s u l t sa n dt h ed e v e l o p m e n t o ft h e o r y t h et w ol o g i c a lp o s s i b i l i t i e sf o rd a r ke n e r g ya r et h ec o s m o l o g i c a lc o n s t a n ta n d q u i n t e s s e n c e ，w h i c hh a sc a u g h tm u c ha t t e n t i o ne v e rs i n c ei t si n v e n t i o na n db e e nm a i n l yd i s c u s s e d t h ep r o p e r t i e so ft h ea t t r a c t o rs o l u t i o n so fe x p o n e n t i a lp o t e n t i a l sc a nl e a dt om o d e l so f q u i n t e s s e n c e a n de x p o n e n t i a lp o t e n t i a l sc a na r i s ef r o mmt h e o r y i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h e c o s m o l o g i c a ld y n a m i c so fb a r o t r o p i cf l u i da n ds c a l a rf i e l dw i t had o u b l ee x p o n e n t i a lp o t e n t i a l a n dp o i n to u tt h a tt h el a t e t i m ea s y m p t o t i cb e h a v i o rd o e sn o ta l w a y sc o r r e s p o n d i n gt ot h es i n g l e e x p o n e n t i a lc a s e t h ed y n a m i c a la t t r a c t o ro ft h ec o s m o l o g i c a ls y s t e mh a sb e e ne m p l o y e dt om a k e t h el a t et i m eb e h a v i o r so ft h em o d e li n s e n s i t i v et ot l l ei n i t i a lc o n d i t i o no ft h ef i e l da n dt h u sa l l e v i a t e st h ef i n et u n i n gp r o b l e m c o m b i n i n gt h ei n f o r m a t i o nf r o mt h ec r i t i c a lp o i n t sa n a l y s i sw i t h n u m e r i c a ls o l u t i o n s ，w ec a nr e v e a lm o s to f t h e i r p r o p e r t i e s i nc h a p t e r4 ，f i r s t l y ，w ei n t r o d u c et h eo ( n ) q u i n t e s s e n c ea n dm a k ean e wg e n e r a l i z a t i o nt o t h ed i s c u s s i o ni nc h a p t e r3f o rt h i sm o d e l i nc h a p t e r5 ，w ew i s ht op o i n to u tt h ep o s s i b i l i t yo fu s i n gac o m p l e xs c a l a rf i e l dt oa c c o u n t f o rt h ei n f l a t i o n a r ys t a g ea n dt h ec u r r e n ta c c e l e r a t i o n ， ar e n o r m a l i z a b l ec o m p l e xs c a l a rf i e l d 圣d e s c r i b e db yal a g r a n g i a nw i t hau ( 1 、s y m m e t r y s p o n t a n e o u s l yb r o k e na tah i g he n e r g ys c a l ea n de x p l i c i t l yb r o k e nb yi n s t a n t o ne f f e c t sa tam u c h l o w e re n e r g yc a na c c o u n tf o rb o t ht h ee a r l yi n f l a t i o n a r yp h a s ea n dt h er e c e n ta c c e l e r a t e de x p a n s i o no ft h eu n i v e r s e w es t u d yar e a l i s t i cm o d e lo fq u i n t e s s e n t i a li n f l a t i o nw i t hr a d i a t i o na n d m a t t e r b yt h ea n a l y s i so ft h ed y n a m i c a ls y s t e ma n dn u m e r i c a lw o r ka b o u tt h ee v o l u t i o no ft h e e q u a t i o no fs t a t ea n dc o s m i cd e n s i t yp a r a m e t e r , w es h o wt h a tt h i sm o d e li sag o o dm a t c hf o rt h e c u r r e n ta s t r o n o m i c a lo b s e r v a t i o n t h e r e f o r e ，t h i sm o d e li sm o r en a t u r a lt oe x p l a i nt h et w os t a g e s o fa c c e l e r a t i o n ， k e yw o r d s ： q u i n t e s s e n c e ，d e - s i t t e ra t t r a c t o r ，h e t e r o c l i n i co r b i t , o ( n ) s y m m e t r y , a x i o n ， q u i n t e s s e n t i a li n f l a t i o n n 论文使用授权说明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。保密的论文在解密后应遵守此规定。 作者签名： 日期： 鱼二圭蚨 俨g 。s1 ； 导师签名 日期 圭堡些曼查兰竺圭兰竺耋圣叁堡垒皇塑 论文独创l ：生声明， 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 签名：盘= = 叁垫日期：至：! ! 立一 4 5 上海师范大学硕士学位论文 第一一章宇宙学概要 第一章宇宙学概要 宇宙是指物质世界的切，除了“宇宙”之外，没有别的东西，它是人类所面对的最大客 体，宇宙学家把它当作一个普通的物理对象来研究面宇宙学就是一门研究宇宙大尺度结 构及其演化的学科 现代宇宙学的发展，大致可以分为三个阶段：1 9 1 7 年至1 9 2 7 年是现代宇宙学的创建阶 段；1 9 2 9 年至1 9 6 5 年是各种宇宙学模型不断涌现的阶段；1 9 6 5 年以后。建立在广义相对 论和高能物理基础上的大爆炸宇宙学取得了巨大成功，被称为宇宙学标准模型1 9 1 7 年 爱因斯坦发表了论文根据广义相对论对宇宙学所作的考查，提出了一个崭新的宇宙 观，指出我们可能生活在一个有限无边界的空间中，描述这个空间的几何不是欧氏几何，而 是黎曼几何1 9 2 2 年原苏联数学家弗里德曼( f r i e d m a n n ) 得到了场方程的一个动态时空解 1 9 2 7 年比利时科学家勒梅特( l e m a i t r e ) 提出了大尺度空间随时间膨胀的思想1 9 2 9 年哈 勃( h u b b l e ) 发现星系的视向退行速度与距离成正比，这成了宇宙膨胀的有力证据 1 1 标准宇宙模型 现代宇宙学是建立在宇宙学原理和广义相对论基础上的宇宙学原理就是假设：在宇 观尺度上，任何时刻三维宇宙空间是均匀的和各向同性的c o b e 卫星测定来自各个方向 的微波背景辐射之差异仅为十万分之一，强有力地支持了宇宙学原理根据这一原理，宇宙 中一切位置都是同等的。没有优越的位置和优越的方向，不仅在可观测范围内宇宙是均匀 各向同性的，而且观测范围之外的整个空间都符合均匀各向同性的要求这个原理用几何 术语表述为：三维空间应是具有最大对称性的空间，即一个具有常曲率但曲率可以随时间 变化的空间 因为影响宇宙的作用力只有引力，所以根据广义相对论，可以证明【1 】，满足宇宙学原理 的空时背景度规一定可以化为f r i e d m a n n r o b e r t s o n - w a l k e r ( f r w ) 度规： d s 2 = d t 2 - a 2 ( t ) ( 一d r ，2 + r 2 d 0 2 + r 2 s i n 2 d 妒2 ) ， ( 1 - 1 ) 其中r 、口、妒为共动坐标，不随宇宙膨胀而改变如果宇宙是均匀各向同性的，那么两个共 动点( 随宇宙膨胀，测到零动量密度的观测者所在位置即共动点) 之间的距离正比于宇宙标 度因子n ( t ) ，也就是说宇宙的膨胀由a ( t ) 来反映，t 为宇宙时，它是在共动坐标系中静止的 l 上海师范大学硕士学位论文 第一章宇宙学慨要 观测者测到的原时k 是1 一个常数，适当选取r 的单位，可以使k 取十1 、0 、- 1 ，分别对应 于闭宇宙( 女= + 1 ) 、平坦宇宙( = 0 ) 和开宇宙( k = - 1 ) 要确定宇宙的演化，就必须确定f r w 度规中宇宙标度因子。( t ) 和标志宇宙空间曲率 的参量k 其中宇宙的动力学就由a ( t ) 来描述 若一流体中每点有速度v ，而以此速度运动的观测者看见他周围的流体是各向同性的， 则我们定义这样的流体为理想流体均匀各向同性的宇宙介质其能动张量必取和理想流体 相同的形式： = ( p + p ) 巩一嘶， ( 1 - 2 ) 在共动坐标系中= 醒，能量密度p 和压强p 都是时间的函数再由爱因斯坦场方程 1 吼。一言跏r = 8 7 r g t ， ( 1 - 3 ) 可以得到以下两个演化方程 3 5 = 一4 r g ( p + 3 pa ， n a + 2 a 2 + 2 k = 4 1 r g ( p p ) 0 2 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 方程( 1 4 ) ( 1 - 5 ) 联立消去5 ，得到 “= 等矿 ( 1 - 6 ) 我们称方程( 1 6 ) 为弗里德曼方程将( 1 2 ) 及= 罐代入z ，；0 可得守恒方程的具体形 式 p=一3a(p+p)(1-7) 在( 1 5 ) ( 1 7 ) 三个方程中，只有两个方程是独立的当给定物态方程 p = p ( p ) ， ( 1 - 8 ) 由( 1 7 ) 可以确定函数p = p ( a ) ，再由( 1 6 ) 积分定出o ( t ) 所以，宇宙动力学的基本方程是弗 里德曼方程( 1 6 ) 、能量守恒方程( 1 7 ) 和物态方程( 1 - 8 ) 以f r w 度规为基础，按上述程序确 定o ( t ) 的宇宙模型称为弗里德曼模型，或称为标准宇宙模型 2 上海师范大学硕士学位论文 第一章宇宙学概要 1 2 大爆炸宇宙学 2 0 世纪2 0 年代，美国天文学家斯莱弗( s l i p h e r ) 在研究远处的旋涡星云发出的光谱时， 首先发现了光谱的红移，认识到了旋涡星云正快速远离人们而去1 9 2 9 年哈勃把红移的测 量与星系距离的测量结合起来，总结出了著名的定律：河外星系的视向退行速度 ( u = c 。， c 为光速，2 为红移) 与距离d 成正比 = h d ( 1 - 9 ) 其中比例常数h 被称为哈勃参数，现时值王七约为6 5 7 0 k m s m p c 根据哈勃定律和后来更多天体红移的测定，人们相信宇宙在长时间内一直在膨胀，物质 密度一直在变稀由此反推，宇宙的结构在某一时刻前是不存在的，它只能是演化的产物 2 0 世纪4 0 年代末，伽莫夫( g a m o w ) i j l 申宇宙膨胀的图景，研究了宇宙演化的早期1 9 4 8 年， 他在美国物理评论杂志上发表了关于大爆炸宇宙学模型的文章，提出宇宙是由甚早期 温度极高密度极大的“原始火球”迅速膨胀形成的按照热大爆炸宇宙论，宇宙的演化大致 如下【2 】：热大爆炸大致是在1 0 1 8 + 6 秒开始的，这个时候宇宙中充满了相对论性粒子，宇宙 的温度大约是1 0 6 “g e v 到了1 0 - 1 0 秒的时候，温度下降到了1 0 0g e v , 这时发生了电弱相 变到1 0 2 秒的时候，温度下降为1 0 m e v , 此时光子、中微子、正负电子、质子、中子处 于热平衡状态到1 秒钟的时候，温度为1m e v , 中微子退耦，正负电子湮灭直到1 0 2 秒的 时候，温度下降到了0 1m e v , 中子和质子结合在一起形成原子核( 核合成) 这很好地解释了 我们现在所观测到的宇宙轻元素丰度，为热大爆炸宇宙学提供了强有力的支持到了1 0 4 年 的时候，宇宙温度下降到了1c v , 宇宙中辐射和物质的能量密度基本相同( 均分时期) ，之后 宇宙进入物质为主的时期到了1 0 5 年的时候，宇宙温度下降到了0 1e v , 原子形成，光子退 耦，宇宙变得透明了这些光子就是我们今天观测到的宇宙微波背景辐射大约到了1 0 9 年， 宇宙中第一批恒星形成而现在，宇宙的温度只有2 7 3 8k ，并将继续下降 哈勃红移、微波背景辐射以及轻元素的合成被认为是现代宇宙学的三大基石有了这 些坚实的天文观测基础，大爆炸宇宙学成为了天体物理学中最成熟的理论体系之一 1 、从哈勃定律得到启示建立的大爆炸宇宙模型反过来可以导出这一定律如果用星系 谱线的红移来解释，那么哈勃红移就是宇宙膨胀的反映对2 8 0 0 0 个星系红移和距离的再次 观测证实了哈勃定律 2 、1 9 5 9 年伽莫夫预言在整个宇宙中存在着背景辐射，这些辐射高度各向同性并接 近于普朗克( p l a n c k ) 黑体辐射，到今天的温度约为1 0k 1 9 6 5 年，彭齐亚斯( p e n z i a s ) 和威尔 3 上海师范大学硕士学位论文 第章宇宙学慨要 逊( w i l s o n ) 在微波波段探测到了背景辐射，温度约为3 5k c o b e 卫星于1 9 9 6 年观测的宇 宙背景辐射相当于黑体的温度为( 2 7 2 8 士o 0 0 4 ) k 3 、伽莫夫及其合作者在提出宇宙大爆炸起源时，除预言了微波背景辐射的存在外，还 预言了宇宙早期核合成应产牛丰度( 占总重子质量的比例) 约为1 4 的氦核用恒星内部热 核反应机制不足以说明为什么会有这么多氦伽莫夫就用原初核合成解释了这氦丰度的 来源宇宙早期温度很高，产生氮的效率也很高实测结果表明，今天宇宙中的氦大部 分确实来自宇宙早期，而恒星产生的仅占- d , 部分，并且大爆炸宇宙学的核合成所得到的 轻元素丰度与地点无关，故而自然地解释了为什么对各种天体氦丰度的测量都显示其值 在2 5 左右 近些年。各种天体物理测量从不同角度、利用小同方法对大爆炸宇宙学做了全方位的 检验，其中关于宇宙年龄的测量已被列为第四大基石大爆炸理论主张所有结构都是在宇 宙温度下降后逐渐演化产生的，因而任何天体的年龄都应比温度下降至今天( 2 7k ) 这一段 时间来得短对宇宙中最古老天体的年龄测量证实了这一点 按照热大爆炸宇宙学，宇宙早期经历了一个以辐射( 相对论性粒子) 为主的时期，辐射的 能量密度和压强有以下关系 1 肼= 三肼，( 1 1 0 ) o 考虑平坦宇宙k = 0 的情形，由( 1 6 ) 和( 1 7 ) 可以得到 p ro ( o 一4 ，n ( 3 ct x 2 ( 1 1 1 ) 辐射优势时期过后，宇宙进入物质( 非相对论性) 优势时期，由于物质的压强p m = 0 ，同样可 以得到 p r 。co ，o o ( t 2 3 ( 1 1 2 ) 1 3 宇宙甚早期暴涨 大爆炸宇宙模型已成功说明了从t = 1 0 2s 到现在t = 3 1 0 1 7s 宇宙的演化，它能 否说明t = l o _ 2s 以前宇宙的演化呢? 研究发现，这个模型要遇到很多疑难，比如平坦性 问题、视界问题、残留物问题、均匀各向同性等问题为解决这些困难，g u t h 【3 】、l i n d e 【4 】、a l b r e c h t 和s t e i n h a r d t1 5 、h a w k i n g 和m o s s1 6 1 等先后提出：宇宙在极早期曾经历了一 个指数膨胀阶段暴涨此后，科学家对暴涨模型进行了广泛深入的研究 d 上海师范大学硕士学位论文 第一章宇宙学概要 1 3 1 暴涨理论动机 以现在的观点来看，暴涨模型最重要最成功的一点在于它解决了宇宙中结构形成的问 题但在历史上暴涨模型提出的动机却截然不同，主要是为了解决热大爆炸起源的初始条 件问题以下简单讨论一下提出暴涨理论的历史动机 1 、平坦性问题 在任何时期，宁宙膨胀的速度都可以由哈勃参数h 三a a 确定，引入临界能量密 度p 。= 丽3 1 0 ，再定义无量纲密度参数q = p m ，( 1 - 6 ) 可改写为 n 一1 2 赤( 1 - 1 3 ) 如果宇宙是平坦的( k = 0 ) ，那么q = l 将始终成立如果宇宙不是平坦的，那么密度参数 将会演化在辐射或者物质优势时期，由于组合a h 是时间的递减函数，早期宇宙的非平坦 性会被宇宙演化放大例如，在一个近似平坦的、物质占优的宇宙中，有1 1 一q i 。( t 2 3 ；在 一个近似平坦、辐射占优的宇宙中有1 1 一q io ( t 通过观测，我们知道，目前q o 接近1 ，这 意味着在更早以前，n o 一定更加接近1 ，为了得到我们现在的宇宙，那么在核合成时期，比 如宇宙年龄在一秒钟左右时，我们要求 i a ( t ) 一1 ls1 0 _ 1 6 ( 1 - 1 4 ) 可见在宇宙早期，n 一定十分接近1 大爆炸模型只能把这一平坦性初始条件当作给定的， 而无法进一步作出解释 平坦性问题可以表述为：这样精确调整的初始条件看起来是非常不可能的几乎所有 的初始条件不是导致一个几乎立刻就开始塌缩的闭宇宙，就是导致一个在几秒钟内就快速 进入曲率主导时期的开宇宙，并且温度迅速冷却至3k 以下由于这个原因，平坦性问题有 时也被称为宇宙年龄问题我们的宇宙为什么会这么古老呢? 2 、视界问题 在热大爆炸模型中，我们知道观测到的背景辐射来自最后散射面，在微波背景被释放 以前，能够发生因果关系的共动距离( 1 8 0 啄1 2 h 一1 m i x ：) 远比退耦之后辐射走过的共动距 离短( 5 8 2 0 h _ 1 m p c ) 这意味着微波来自于散射面上比视界尺度大的区域光子退耦的时间 是t = 1 0 5 年，不难计算出那时的视界大小，并把这样大小的区域放在最后散射面上，它对 我们的张角只有1 度也就是说，整个最后散射面的面积比视界区的截面积大几万倍热大 s 上海师范大学硕士学位论文 第一章宇宙学概要 爆炸模型无法解释为什么来自于不可能有因果联系区域的微波，却有着几乎相同的温度 均匀性一定是初始条件的一部分 3 、残留物问题 如果大爆炸开始时温度极高，那么有些粒子应该存留到今天，可是我们却没有观测 到从现代的观点来看，这当中最有疑问的也许就是引力微子( g r a v i t i n o ) 这种粒子作为引 力：子( g r a v i t o n ) 的自旋为；的伙伴出现在超引力中，它只有引力强度的相互作用在超引 力的大多数版本中，引力微子的质量在1 0 0g e v 数量级，在这种情况下，如果热大爆炸是 在t 乏1 0 9g e v 前开始的，核合成就不能进行【7 】 另一类棘手的残留物由超弦理论中的模( m o d u l i ) 构成【8 ，9 】这些是自旋为0 的粒子，对 应于没有超对称破缺时参数化真空的场但是它们的质量和寿命有与引力微子相同的数量 级甚至更有可能在早期宇宙中大景产生 除此之外，还可能存在一些多余的拓扑缺陷u 0 ，11 】当大统一理论的对称性在宇宙早 期自发破缺时，磁单极就会产生它们的丰度应该高于观测所允许的范围历史上，除去多 余的单极子是暴涨理论的主要动机之一宇宙弦、纹理和畴壁这样的拓扑缺陷也有类似的 问题，但是有更多的模型可以依赖 4 、均匀各向同性 视界问题告诉我们宇宙大尺度上的均匀性和各向同性一定是初始条件的一部分然而， 实际上我们知道宇宙并不完全是均匀的，只有在大尺度上才接近是均匀的于是一个重大 的问题就是我们是否能够发展出一种不均匀性起源的理论，或者还是把问题交给初始条件 的研究领域 在大爆炸模型的范围内，形势尚不完全明朗对c o b e 卫星观测到的宇宙微波背景各 向异性做一个最简单解释，就是它们对应于最后散射面上的不规则性，但是这种扰动不会 无缘无故产生，或许也是初始条件的一部分由引力效应而不是由最后散射面产生大角度 各向异性，这种可能性仍然存在，比如结构形成中的拓扑缺陷理论 因此，热大爆炸理论不能解释宇宙大尺度上的均匀性或许它可以说明不规则性的产 生，但是最引人注目的产生不规则性的途径已经超越了标准热大爆炸模型 1 3 2 标量场暴涨理论 暴涨宇宙学并不是对热大爆炸模型的否定，而是对该模型在极早期的一个补充，它完全 保留了大爆炸宇宙学的成功之处 6 上海师范大学硕士学位论文 第一章宇宙学概要 暴涨宇宙的核心内容是说在宇宙的早期，有段高速膨胀时期，这个膨胀是由 种被称 为暴涨f f 场的势能推动的在极短的时间内，宇宙的一小部分突然涨大到可以包容今天我 们所看到的一切以及更多我们看不到而存在的东西的尺度空间的弯曲被抹平了，暴涨子 场中的量子涨落也从亚原子尺度被放大到天体物理尺度暴涨子的衰变产生了大爆炸的热， 而其中的那些量子涨落则导致了物质的不均匀性，为宇宙中的各种结构( 从星系到星系团， 再到更大尺度的结构) 的形成提供了种子 暴涨的准确定义就是宇宙标度因子加速的时期： 暴涨 争a 0( 1 - 1 5 ) 如前文所述暴涨有时也仅仅被描述为一段高速膨胀时期，尽管当中并没有说明怎样的膨 胀算是高速的 一个等价的更具有物理意义的暴涨条件是： 暴涨甘i d h - i 0 ( 1 - 1 6 ) 日。o 是共动哈勃距离，它是膨胀宇宙最重要的标志性尺度，暴涨的条件就是这个尺度随 时间减小也就是说，在随宇宙一起膨胀的坐标系中，暴涨期间的可观测宇宙实际上变得越 来越小 如果发生暴涨，那么前而所说的大爆炸宇宙学遇到的种种问题都可以迎刃而解最容易 看出来的是平坦性问题根据( 1 一1 3 ) ，暴涨发生的条件( 1 一1 6 ) 正好等价于q 趋向于1 而不是 远离1 暴涨期间的膨胀能够把残留物丰度降低到一个令人满意的程度，假设它们是在暴 涨开始前产生的视界问题也可以解决，在暴涨期间共动哈勃距离急剧减小，因而允许我们 现在观测到的宇宙起源于极早期宇宙一块很小的区域，这块区域完全可以在哈勃半径内 采用广义相对论的框架，暴涨产生的条件可以改写为要求某种物质驱动膨胀从加速度 方程( 1 4 ) 中我们可以直接得到 暴涨营p + 3 p 0 ( 1 - 1 7 ) 由于我们总是假定p 是正的，因此有必要让p 为负以满足上述条件，而这与宇宙的曲率无 关 为了获得暴涨，我们需要一种具有负压强的物质这样一种物质就是描述标量( 自旋 为0 ) 粒子的标量场尽管目前还没有直接观测到基本标量粒子( 比如h i g g s 粒子) ，但是在 现代粒子理论中，这种粒子正变得越来越多在基本作用力之间的对称性破缺中，它们起 7 上海师范大学硕士学位论文 第一章字宙学概要 到了至关重要的作用在粒子宇宙学成为门学科前，标量场就已经由粒子物理学家引 进，但很快就被宇宙学家们用来解释新的现象暴涨宇宙学为标量粒子提供了一个舞台，让 它们扮演了个生动的角色标量场的势能随着宇宙的膨胀缓慢演化，这对应于一个具有 负压强的等效状态方程，而这正是暴涨所需要的驱动暴涨的标量场通常也被称为暴涨 子( i n f l a t o n ) 具体研究一种粒子理论的标准方法是通过它的拉氏量导出运动方程我们将在第二章 中讨论一个标量场的细节问题一个均匀标量场e 西( t ) 的能量密度和压强分别为 p 庐= ；$ 。+ y ( 砂) 孙= ；函2 一y ( 咖 ( 1 - 1 8 ) ( 1 - 1 9 ) 其中y ( 纠是标量场的势能，可以从粒子物理中导出一般我们或多或少把它当作一个自由 函数，对于不同暴涨模型，势能函数有不同的选择 尽管标量场作为一种理想流体，但它并没有一个联系p 女和m 的状态方程，因为相同的 能量密度可以对应不同的压强，这取决于势能和动能之间的分布 把( 1 1 8 ) 和( 1 1 9 ) 代入弗里德曼方程( 1 6 ) 和( 1 7 ) ，我们可以直接得至( 假设在个平坦宇 宙中) 肚擎m + 别 m z 。， 和 瑚函= 一尝 ( 1 _ 2 1 ) 根据等效能量密度( 1 1 8 ) 和( 1 - 1 9 ) ，如果审2 0 且足够大，一般物质的引力吸引作用会被宇宙学常数克服，进而驱动宇宙加速 膨胀因此宇宙学常数是对暗能量根源的最简单解释 在牛顿力学中，一个物体的引力强度只与其质量有关，引力总是吸引的而爱因斯坦的 理论允许存在排斥的引力，它使宇宙加速膨胀，因为在广义相对论中引力源也与压强p 有 关一些非常有弹性的物质( 即负压强p 一p 3 ) 可以产生排斥的引力，而不是吸引的引力 然而压强与能量密度相当的物质是非常奇特的，即使是在太阳中心，物质的压强也比它 的能量密度小好几个量级，因为压强与能量密度之比取决于物质内部速度的平方除以光速， 所以暗能量本质上必须是相对论性的，而且更像能量而不是物质 量子力学为非常具有弹性的物质提供了一个候选者：填补在真空中的虚粒子对具有 负压强，量子真空能是排斥的从数学上讲，量子真空能等效于爱因斯坦的宇宙学常数， 即p = 一p 。= i 菥a 但是所有的量予理论都没有能够合理预言a 的大小零点能之和 是发散的，而人为的在一个能标上截断求和，则会更清楚地揭示这个问题地复杂性：对于一 个1 0 0 g e v 的截断，会有f 2 a = 1 0 5 5 ；对于普朗克标度的截断，则会有n a = 1 0 ”在超对称 理论中，费米子和玻色子对真空能的贡献相互抵消然而现实的超对称理论是自发破缺的， 如果假设破缺标度为1 0 ”g e v , 则会有q a = 1 0 6 0 所以理论值与观测值之间存在巨大差异 除了上述困难之外，a c d m 模型另外一个理论上的不足是所谓巧合问题暗能量可 以用它的状态方程即压强与能量密度的比值w = p i p 来表征如果暗能量是真空能，那 么w = 一1 ( 作为比较，非相对论性物质：w = 0 ，辐射：w = 一1 3 ) 这个比值决定了暗能 量的能量密度在宇宙膨胀时的演化：pdi a 3 ( 1 + 负压强( w 0 ) 导致了一个比物质密度 减小速度( p mo c1 a 3 ) 更慢的能量密度正因为这一事实，暗能量在过去相对次要，而会在 未来变得越来越重要然而，为什么暗能量在今天变得如此重要还尚待解释，这个问题就是 巧合问题( c o s m i cc o i n c i d e n c e ) ，有时也被称为柯里甘( k e r r i g a n ) i n 题，即为什么是我? 为什么 是现在? 实际上不只对于宇宙学常数，任何暗能量的选择都必须能够合理解释这一问题 暗能量在过去不重要，这一点与观测符合得很好：这个事实意味着暗能量的排斥性引力 不会干扰暗物质的吸引性引力，而后者推动了宇宙结构的形成此外，暗能量在过去不重要 这一点也是宇宙加速膨胀的另外一个独立论据的基石通过对c m b 的测量，得到宇宙是平 坦的而这要求有一些“缺失”的能量作为物质的补充，而且这种能量在过去的影响并不重 要若非如此，在宇宙早期，均匀分布的暗能量会阻止引力塌缩，干扰结构的形成为了让这 部分“缺失”的能量在过去不重要，需要 t o 一1 2 ，而这又意味着它具有排斥的引力 1 3 圭生壁翌奎兰翌主兰竺丝奎苎：兰主宣兰堑生墨 2 2 2 动力学场 古希腊人认为世界是由气、土、火、水以及第五元素( q u i n t e s s e n c e ) 组成，其 中q u i n t e s s e n c e 用来描述一种纯化的、理想的物质一些理论家将暗能量想像成一 种q u i n t e s s e n c e 场这足一个新的标量场，当它朝着基态滚动时。宇宙就会经历一段加速膨 胀皮布尔斯( p | j e p e e b l e s ) 和拉特勒( b h a r a tr a t r a ) 首先研究了单个标量场作为暗能量的性 质关键问题在于势的选择，各种不同的势，决定了标量场不同的滚动过程，也就决定了宇 宙各种不同的膨胀方式 我们考虑平直空间中的单个实标量场咖，假定这个场均匀分布于全空间( 岛曲= 0 ) ，它 的拉氏量c 为 c = 、二五l 口= 、二百l 去9 “”钆乱y ( 咖) 1 ( 2 8 ) 在上式中，y ( 曲) 为势能，i 矿”钆乱则称为动能项将( 2 - 8 ) 代入欧拉一拉格朗e l ( e u l e r - l a g - r a n g e ) 方程 杀 o ( o l o z ) 】- 嚣_ o i ( 2 _ 。) a 。“【ja 。、- 。7 就可以得到标量场的运动方程 c ；+ 3 h 曲+ v ( ) = 0 由标量场的拉氏量可以导出能动张量的定义 再由理想流体能动张量 ( 2 一1 0 ) ，= 钆妒乱咖一乳， ；g 叩如咖如咖一y ( 砂) ， ( 2 一1 1 ) 以，= ( p + p ) 乩巩一p ， 就可以得到标量场的能量密度p 和压强p 分别为 肿= ；毒2 + y ( 庐) 脚= ；扩一y ( 曲) ( 2 1 2 ) ( 2 一1 3 ) ( 2 - 1 4 ) 其中钆，是对角线元为( 1 ，一1 ，一l ，一1 ) 的度规张量这样q u i n t e s s e n c e 的状态方程就可以表 示为 ”= ；= 舞器v 陆 p ；+ ( 毋) 1 4 上海师范大学硕士学位论文 第= 章宇宙学新发现 根据y ( 咖) 的不同选择，状态参数w 可以在0 到一1 之间变化对于大多数势能，w 会随着 时间缓慢演化 在对宇宙膨胀的作用上，q u i n t e s s e n c e 与宇宙学常数非常相似，之所以引进q u i n t e s s e n c e ， 根本原因在于： q u i n t e s s e n c e 对于基础物理学有着不同的含义在基本粒子理论中有不少标景粒子可 以作为q u i n t e s s e n c e 的候选者： 。q u i n t e s s e n c e 至少可以在一定程度上解释巧合问题斯坦哈特( p j s t e i n h a r d t ) 等人提出 了一类称作“追踪者势”的q u i n t e s s e n c e 模型，这类模型可以解释巧合问题，并且所预言的暗 能量态方程参数与观测值比较接近 q u i n t e s s e n c e 可以比宇宙学常数更加符合各种观测数据： q u i n t e s s e n c e 可以给整个宇宙历史提供个新的基本图像在上一章中，已经提到采用 标量场来驱动宇宙暴涨，因此q u i n t e s s e n c e 和暴涨子都涉及到宇宙加速膨胀，且两者内在本 性均远未被了解。不少物理学家猜测它们之间可能存在密切联系，我们将在第五章中讨论 这一点 1 5 上海师范大学硕士学位论文 第三章具有双重指敬势的q u i n t e s s e n c e 模型 第三章具有双重指数势的q u i n t e s s e n c e 模型 暗能量模型最重要的问题之一是精调问题( f i n e t u n i n gp r o b l e m ) 一个好的模型应该尽 可能限制精调宇宙动力学系统的吸引子可以使得模型的晚期行为对初始条件不敏感，也 就是说，在一个很大的初值范围内q u i n t e s s e n c e 都会演化到现在的状态，这就在一定程度上 缓解了精调问题在q u i n t e s s e n c e 模型1 2 5 】中，动力学系统有追踪吸引子( t r a c k i n ga t t r a c t o r ) ， 使得q u i n t e s s e n c e 随着宇宙背景流体状态参数演化，从而缓解了精调问题通过指数势的吸 引子解可以建立q u i n t e s s e n c e 模型1 2 6 1 ，并且指数势可以从弦理论或者m 理论中导出。 在 2 7 】中，首先提出了一个双重指数势( 指数互为相反数) q u i n t e s s e n c e 的精确解这一章我 们将研究在包含正压流体( b a r o t r o p i cf l u i d ) 的f r w 宇宙中，具有双重指数势的标量场动力 学演化研究发现其渐近行为并不总是对应于单指数势的情形【2 8 ，模型中不仅有追踪解， 而且存在d e s i d e r 解同时发现，该体系存在异宿轨线( h e t e r o c l i n i co r b i t ) 解，它将不同的临 界点连接在一起 3 1 相空间和临界点 目前的观测支持平坦宇宙，我们考虑在一个包含正压流体的空间平坦的f r w 宇宙中演 化的标量场( t ) ，它具有势能 y ( 咖) = a 1 e 一。1 曲+ 2 e 一。2 币( 3 1 ) 则相应的运动方程和爱因斯坦；h - 程可以写成 矗= 一萼( n + n + 扩) “= 一3 日( 一+ n ) ， ( ；+ 3 2 6 + ( 妒) = 0 ， 铲= 等( n + 肿) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 _ 4 ) ( 3 5 ) 其中k 2 = 8 7 r g ，m 是具有状态方程巩= h 一1 ) p 7 流体的密度，其中0 ，y 2 ，它和状态 方程参数的联系为 = 1 1 记号“”表示对宇宙时t 求导，记号“”表示对标量场曲求 导m = ；护+ y ( 咖) 和p = i 护一y ( ) 分别是毋场的能量密度和压强，h 是哈勃参数。 由于正压密度的出现，运动方程很难求得解析解，这时候相空间分析就显得非常有用事实 1 6 上海师范大学硕士学位论文 第2 - 章具有双重指数势的q u i n t e s s e n c e 模型 上。采用随机初始条件的数值解和临界点分析结合在起，能够揭示模型的大多数重要性 质，并根据解的晚期行为对它们进行完整的分类与文献 2 8 1 类似，我们引入以下无量纲变 量。= 南函，可= 呼，。= 譬以及= l o g 口然后，7 了n ( 3 2 ) _ ( 3 5 ) 可以重 新表达成以下方程组： 丽d ：c 可3 【3 ( 1 - - x 2 - - y 2 - - z 2 ) q _ 2 x 2 卟一播讹a 嘉= 洳( 1 - x 2 - y 2 _ z 2 ) + 2 扎1 ：居倒， 嘉= ( 1 - - x 2 - - y 2 - - z 2 ) + 2 胡一：以。乩 i - j 时，还有约束方程 q + 器_ l ， ( 3 7 ) 其中 吼= 器w 杉 ( 3 - 8 ) 标量场的状态方程可以由新变量重新表示为 驴老= 笔x 善y 善 p 。， m+ + 根据( 3 6 ) 我们可以得到系统的临界点，并且研究这些点的稳定性( 见附录) 结论如 表3 1 所示 类型( i ) 和( i i ) = 这些