（应用数学专业论文）一类三维微分系统非振动解的渐近性.pdf

中文摘要 微分方程在实际中有广泛的应用，关于微分方程振动与非振动解的相关问 题在天体物理与原子物理和工程建筑等方面均有重要的应用这篇论文主要研究 的是三维非线性微分系统； 雕u i = a 2 ( t ) 豪j u s l 圯s g nusi,， 其中 o ( i = 1 ，2 ，3 ) ，a i ( t ) o ( i = 1 给出系统满足条件a i ( ) d t = o 。， j 0 件。 系统 2 ，3 ) 且函数a i ( t ) 在区间【0 ，o o ) 上连续 i = 1 ，2 时的特殊正值解存在的充要条 关键词：渐近性；非振动解；s c h a u d e r t y c h o n o f f 不动点定理；三维微分 1 1 a b s t r a c t t h et h r e e d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m 陛 罴 i sc o n s i d e r e du n d e rt h ea s s u m p t i o n st h a t 九“；1 ，2 ，3 ) a r ep o s i t i v ec o n s t a n t s a n d 啦( t ) ( i = l ，2 ，3 ) a r ep o s i t i v ec o n t i n u o u sf u n c t i o n so n 【0 ，c o ) ，a n dt h en e s s a r y a n ds u f f i c i e n ti n t e g r a lc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fe v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n o f ( s ) h a 咖g 印e c 徂c ，磐”p t o t i cg r 0 w t h 8 a st _ o 。a r ee s t a b l i s h e d t h es y s t e m s a t i s f i e s 五啦( ) 出= o o ，i = 1 ，2 k e y w o r d s ：a s y m p t o t i cb e h a v i o r ；n o n o s e i u a t o r y ；s e h a u d e r - 孙j e h o n o f ff i x e dp o i n t t h e o r e m ；t h et h r e e - d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m 独创性声明 本人声明；所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表的研究成果，也不包含他人为获得东北师范大学或其它教学机构的学位或 证书面取得的研究成果与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示谢意 作者签名；硅丕耋蒸 日瓤星理z 苎，兰圣日 指导教师签名 期；星旦! 壅：至塾 学位论文版权使用授权书 本人了解并遵守东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即t 学校 有权保留、向国家有关部门送交学位论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印，缩印或其它复印手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名；生勉丕 日期：越墨丝日 指导教师签名 学位论文作者毕业后去向； 工作单位；生圭触鐾也电话； 通讯地址：生坚立兰盛豳邮编； 1 i n t r o d u c t i o n i nt h i sc h a p t e rw ec o n s i d e rt h ef i r s to r d e r3 - d i m e u s i o n a le m d e n - f o w l e r d i f f e r e n t i a ls y s t e m ( s ) 暖罴 w h e r e a r ep o s i t i v ec o n s t a n t s ，a n d 啦( t ) a r ec o n t i n u o u sf u n c t i o n so n 【0 ，o o ) a n d 啦( t ) 0 f o r t 0 ，i = 1 ，2 ，3 ar e a l - v a l u e dc o n t i n u o u sf u n c t i o nz ( t ) d e f i n e do na r li n f i n i t ei n t e r v a lo f t h ef o r mi t , o o ) i ss a i dt ob eo s c i l l a t o r yi ft h e r ei sas e q u e n c e 亿) 墨ls u c ht h a t 岛- a 8l _ o oa n d t z ( t ) = 00 = 1 ，2 ，) s u c ha f u n c t i o nz ( t ) i ss a i d t o b e n o n o s c i u a t o r y i f t h e r e i s 丑ts u c ht h a tx ( t ) 0 f o r t 蜀o rx ( t ) 0 ，“l ( t ) 地( t ) 0 ； u 1 ( t ) u 2 ( t ) 0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) p r o o f w em a ya 8 8 u n l et h a tu l ( t ) i se v e n t u a l l yp o s i t i v e t h e nt h e r ee x i s t s t o 0s u c h t h a tu l ( t ) 0 f o r t t o n o m ( s - 3 ) ，w es e e t h a tu ；( t ) 0 ( t t o ) s u p p o s e t h a tt h e r ei st l2 t 0s u c ht h a tu 3 ( t ) 0w h i c h s a t i s f i e su s ( t ) s c 3f o rt t l ，i n t e g r a t i n g ( s 一2 ) a n dn o t i n gt h ea s s u m p t i o n o 2 圣l ( 0 ，) ，w e f i n d t h a t t h e r ee x i s tc 2 0a n d t 2 t ls u c h t h a t t 幻( f ) s 一勿d 2 ( s ) d s ，t t 2 o br v e ( h )印( t ) ( f 0 2 ( s ) 如) 如隹l ( 0 ，o o ) h e ni tf ollowsobset h a t i m p l i e sl ( 0 t h f o l l o w sf r o m r v e ( h ) 印( t ) ( 上a ：( s ) 如) “2 隹 ，o o ) ( s - 1 ) t h a tt h e r ee x i s tc l 0a n dt a t 2s u c ht h a t 牡，( 亡) 一c t z n - ( s ) ( f 眈( r ) d r ) h d s ， t2 虹 t h e nf r o m ( h ) ，w eh a v e 舰u l ( t ) 2 一o o ，w h i c hi sac o n t r a d i c t i o nt ot h ec o n d i - t i o n t h a t m ( t ) 0 f o r t 岛t h u s w eh a v eu 3 ( t ) 0 f o r t t o n e x tw ec o n s i d e rt h ec o m p o n e n tu 2 ( t ) w eh a v et h et w op o s s i b i l i t i e s ：t 1 2 ( f ) i se v e n t u a l l yp o s i t i v eo re v e n t u a l l yn e g a t i v e t h e nw eh a v et h ec a s e ( 2 1 ) a n dt h e c a s e ( 2 2 ) t h ep r o o fo fl e m m a 2 1i sc o m p l e t e n o ww ei n v e s t i g a t et h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ra st _ o fn o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n su = ( t l ，u 2 ，) o f ( s ) b yi _ e m m a2 1 ，an o n 0 6 c f f i a t o r ys o l u t i o nu = ( 缸l ，t 2 ，t 3 ) s a t i s f i e se i t h e r ( 2 1 ) o r ( 2 ，2 ) l e t 1 1 8b e g i nw i t ht h ec a 8 ew h e r eu 4 s a t i s f i e sc 2 1 ) w em a y8 , s s i ：l l n et h a t 缸l ( t ) i se v e n t u a l l yp o s i t i v e t h e n l ( t ) 0 ，t 2 ( t ) 0 ， u 3 ( t ) 0 f o r t r( 2 3 ) h e r e ，ti sc h o s e ns u f f i c i e n t l yl a r g e i n t e g r a t i n g ( s ) ，w eg e t u - ( t ) = u - ( t ) + f 。- ( s ) 瞰s ) 毛 u 2 ( t ) ：+ 厂0 2 ( s ) 【u 3 ( s ) 】 a 。d s ， ( 24u2(t)ds：) u 2 ( t ) = + 厶0 2 ( s ) 瞰s ) 】， ( 2 ：) ( r ) = 锄( t ) 一厂。a ( s ) 阻t ( s ) 】抽出， r t l e tr _ o o w eg e t 让- 。) = - 口) + a l ( s ) k ( s ) 】1 1 如， 坳( t ) = 忱( + f 舰( s ) ( s ) 1 乜幽， ( 2 5 ) ， u 3 ( t ) = u 3 ( c c ) + 0 3 ( s ) f 口1 ( s ) j “d s ，t 正 w 妇u 3 ( c x ) ) 窖墨恐让3 0 ) 0 一f o r at 0 ，w ed e f i n et h ef u n c t i o n sa i ( t ，r ) ，t = 1 ，2 ，3 ，b y 也( t ，t ) = 1 ， ，t a 2 ( t ，t ) 2 二0 2 ( s ) 幽， ai：t)：。l(8)ia2(s，t)ial(t t ) 1 1 ，d s ，t ) 2 上。l ( 8 2 ( s ， 加8 s i ft = 0 ，t h e nw ep u ta ( ) = a i ( t ，0 ) ，i = 1 ，2 ，3 f u n c t i o n sb ( t ，t ) ，i = 1 ，2 ，3 ，b y ( 2 6 ) t r s i m i l a r l y , w ed e f i n et h e 岛( t ， = 1 ， b i ( 归) = r 。，( s ) 氓 ( 2 ，7 ) ，o 。 b 3 ( t ，t ) = fa a ( s ) 【b 1 ( s ，r ) 】抽d s ，t r i f t = 0 ，t h e n w e p u t b t ( t ) = b i ( t ，o ) ，t = 1 ，2 ，3 w eh 撕 恕筹= ，a n a 熙鬻= = 1 i 。 3 ) a n d 觇锱= o o ( ，2 3 ) 5 p r o p o s i t i o n2 ，1 。( i ) l e tu = ( “l ，地，? a 3 ) 耗an o n o s c i t l a t o r ys o l u t i o n 万 ( s ) s a t i s f y i n g ( 2 3 ) t h e nw eh a v e 舰器e 蜥如a n d i s 删渤1 1 2 3 )( 2 8 ) 舰糕= 岬= 1 ，2 ，3 ) ( 2 9 ) ( i i ) l e tu = ( “l ，u 2 ，蛳) b ean o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n 巧( s ) s a t 劬i n g ( 2 3 ) t h e n ，t h ef u n c t i o nb 3 ( t ) i sa l w a y sw e l l d e f i n e d w eh a v e 熙器= m ( 誓3 ) ( 2 1 0 ) 恕豁e x i s t s a n d i s 删蜘洲- 1 ，2 ，3 ) ( 2 1 1 ) i ，n = ( u l ，地，u 3 ) h a st h ea d d i t i o n a lp r o p e r t yt h a t 2 i mu 2 ( t ) e x i s t sa n di sp o s i t i v e ( 2 1 2 ) t h e ny o ra n yn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nv = ( v l ，v 2 ，v 3 ) d ，( s ) s a t i s f y i n g ( 2 3 ) ，t h e l i m i t 熙器 e x i s t sa n d 妇f i n i t e ( i = 1 ，2 ，3 ) p r o o f ( i ) u s eo f ( 2 5 ) i m p l i e st h a t ，f o re a c hi = 1 ，2 ，3 ，t h el i m i t t 兰蝇器 e x i s t sa san o n n e g a t i v ef i n i t en u m b e ro ri se q u a lt oo 。a st _ o 。a n dt h a t 2 3 = 1 5 3 ( o 。) = 熙u s ( t ) ，1 2 = 啦! l = f 1 s i n c e0s 2 3 0 ，a n d t h a t r n 2 = 2 骢也( t ) = v ac t ) + 上啦( s ) 旧( s ) 产d s ， ( 2 1 3 ) ， a n d m l = 耐1f o r t h ec a s e w h e r e ( h ) h o l d s o b s e r v e t h a t0 m ts 。0 0 = 1 ，2 ) f o raf n i t ec o n s t a n tm is a t i s f y i n g0 嵋 m l ，w eh a v em ( t ) 嵋b l ( t ) f o ra t l a r g et t h e ni tf o l l o w sf r o mt h et h i r de q u a l i t yo f ( 2 5 ) t h a t 厂幻( s ) m ) 】1 3 d s 0 ，t h e n 忱= o o f o rt h e c a s ew h e r e ( h ) h o l d s ，i ti se a s yt o8 t h a te i t h e r ( 2 1 0 ) o r ( 2 1 1 ) i ss a t i s f e d s u p p o s et h a tu = l ，地，锄) i san o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o no f ( s ) w i t ht h e p r o p e r t i e s ( 2 3 ) a n d ( 2 1 2 ) ，a n dt h a tv ；( v l ，t j 2 ，蜘) i san o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n o f ( s ) s a t i s f y i n g ( 2 3 ) t h el i m i t 惦舰器 i sg i v e nb y ， u 2 ( r ) + 厶0 2 ( s ) ( s ) 】b 幽 8 25 2 知r 一， t j 2 ( ? ) + 厶n 2 ( s ) b ( s ) 】沁d s f o rw h i c ht h en u m e r a t o ri sf i n i t e ，a n d t h ed e n 伽血l a t o ri 8p o s i t i v ea n d 矗n i t eo ri 8 e q u a l t oo o ，t h u s ，0 8 2 o o s 2 = 0 i f v 2 ( c o ) = c o ； 悲= 觐面u 2 ( 可c o ) i f0 v 2 ( o o ) 0 ，u 2 ( t ) 0 f o rt2z ( 2 1 4 ) w h e r eti st a k e ns u f f i c i e n t l yl a r g e i nt h i se a s e ，t h ef i r s te q u a t i o na n dt h es e c o n d e q u a t i o no f ( s ) c a l lb er e w r i t t e ni nt h ef o r m so f u i ( t ) = 一a l ( t ) l u 2 ( t ) 1 1 a n d l “2 ( t ) i = 0 2 ( f ) 皿3 ( t ) 】1 z r e s p e c t i v e l y t h e n ，i n t e g r a t i n g ( s ) ，w ec a l lg e t r u l ( t ) = u l ( o o ) + l ( 圳乱2 ( s ) j h d s j l u 2 ( t ) l = l u g ( o 。) l + ，”n 2 ( 8 ) m 。( s ) 】1 ：d 。 j t “3 ( ) 2 坳( o 。) + z 幻( s ) 阻l ( 8 ) 】“d s ， ， w h e r e “i ( o 。) 2 拦恐地( t ) ，i _ 1 ，2 ，3 s i n c et 2 ( t ) 0 f “2 ( o 。) f 0 ，q ( t ) 0 饥t h ec a s ew h e r e ( h ) h o l d s ，( 2 2 0 ) t h e nt h ef u n c t i o n sg ( t ) ( i = 2 ，3 ) a r ew e l l - d e f i n e da n d 恶霹u d t ) 喇咖删劬硎洳嘶刊 仁。， 恕桊如幽一幽嘲硪一 。 f u r t h e r m o r e ，矿an o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nu = ( u 1 ，地，“3 ) o ，( s ) s a t i s f i e s ( 2 1 4 ) a n d ( 2 2 1 ) ，t h e n ，y o ra n yn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nv = ( v l ，v 2 ，) o y ( s ) s a t i s f y i n g ( 2 1 4 ) a n dv 2 ( o o ) = v 3 ( c l o ) = 0 ，t h el i m i t 熙粼 e x i s t sa n di s f n i t e ( i = 1 ，2 ，3 ) ( i i ) l e tu = ( u l ，地，u 3 ) b ean o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o no ( s ) s a t i s f y i n g ( 2 1 4 ) t h e nt h ef u n c t i o n sd i ( ) ( i = 2 ，3 ) a r ea l w a y sw e l l - d e f t n e d fu= ( 让l ，u 2 ，) s a t i s f i e st h ea d d i t i o n a lc o n d i t i o n 牡1 ( o 。) = o ，e i ( ) 一k i - 1 1 ( 刃转 o ) ， ( 2 2 2 ) t h e nw eh a v ee i t h e r 惩器硎砒删删舭睁1 1 3 ) ( 2 。) 舰丽u 2 ( t ) e 血s t s 删l s 嗍n 龇 。 玎an o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n1 1 = ( 1 1 , 1 ，也，锄) o f ( s ) s a t i s f i e s ( 2 1 4 ) a n d ( 2 2 3 ) t h e n ，如ra n yn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nv = ( 1 ，t 1 2 ，地) 吖( s ) s a t i s f y i n g ( 2 1 4 ) a n d 口1 ( t ) o ( u 1 ( t ) ) ，t h el i m i t 。1 i r a 。面l u , ( 两t ) l 1 0 e x i s t sa n d i s 伽i r e ( i = 1 ，2 ，3 ) p r o o f ( i ) s u p p o s et h a tu = ( u l ，u 2 ，u s ) i san o n o s c i u a t o r ys o l u t i o no f ( s ) w h i c hs a t i s f i e s ( 2 1 4 ) a n d ( 2 2 0 ) s i n c et 1 ( ) = c 0 ，i tf o l l o w sf r o mt h et h i r d e q u a l i t yo f ( 2 4 ) t h a t 坳( r ) 一蜥( t ) = 一厶0 3 ( 8 ) l ( 8 ) 抽d s u s ( t ) z 。岫( s ) “- ( s ) 知d s 七bj ( ”口3 ( s ) d s = k s c s ( t ，t ) ) f 岫( s ) “l ( s ) 3七 a ，口3 ( s ) = ，) f o ra l ll a r g et ，w h e r e 0i sc h o s e ns ot h a t0 o a n dm 3 = m 3 ，r n 2 = m w eh a v e0 0s u c ht h a tj l d l ( t ) su l ( t ) 7 l c l ) f o ra l ll a r g et s i n c eg ( f ) a i ( t ) _ 0a st _ 0 0 ，t h i si 8ac o n t r a d i c t i o n t h u su m u s ts a t i s f y ( 2 3 ) b yp r o p o s i t i o n 2 i ，i ti 8c l e a rt h a tus a t i s f i e s ( 2 8 ) ( t h a ti 8 ，u i 8o ft h et y p e ( i ) ) ，i nas i m i l a rw a y , w ef i n dt h a ti fas o l u t i o nu 一- - - ( u 1 ，啦，“3 ) o f ( s ) s a t i s f i e s 恕器弛s 衄帕p o s i t i v e ， ( 2 2 5 ) t h e nus a t i s f t i e s ( 2 3 ) a n du a ( o v ) = o i so ft h et y p e ( i i ) i ti sm s os h o w nt h a ti fas o l u t i o nu = l ，钍2 ，u 3 ) o f ( s ) s a t i s f i e s 规器幽鼢d i 8p 0 8 i t i v e ， 汹) t h e n ( 2 1 4 ) h o l d s a n d 规阻l ( t ) 肠( t ) 】= k ( o o ) 】 0a n d u i s o f t h e t y p e ( i i i ) s i m i l a r l y , i fas o l u t i o nu = ( u l ，u 2 ，坳) o f ( s ) s a t i s f i e s 熙器鼬趿d i 8 p 0 8 i t i v e ，( 2 2 7 ) t h e n ( 2 1 4 ) h o l d sa n du 2 ( o o ) = 0a n du i so ft h et y p e ( i v ) t h u si ti 8c o n c l u d e dt h a t ，f o rt h ec a s ew h e r e ( h ) h o l d s ，as o l u t i o nu = “l ，地，t 3 ) o f ( s ) i 8o f t h et y p e ( i ) 旧p ( i i ) ，( i i i ) a n d ( i v ) 】i fa n do n l yi f t h e f i r s tc o m p o n e n to fus a t i s f i e s ( 2 2 4 ) 【r e 印( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) a n d ( 2 2 7 ) 】 1 3 3 e x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h es p e c i a lt y p e s i nt h i ss e c t i o nw ed e a lw i t ht h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so f ( s ) o ft h es p e c i a lt y p e s ( i ) ，( i i ) ，( i i i ) a n d ( i v ) t h ed e f i n i t i o n so ft h et y p e s ( i ) ，( ) ， ( i i i ) a n d ( i v ) a r es t a t e di nt h ep r e c e d i n gs e c t i o n t h e o r e m3 1 - s u p p o s e ( h ) h o l d s an e c e s s a r ya n ds t 颇c i e n tc o n d i t i o n 如r ( s ) t oh a v ean o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o no ft h et y p e ( i ) 妇t h a t ( 0 。口3 ( t ) a 1 ( t ) x sd t d t o 。 ( 3 1 ) 上口3 ( t ) a 1 1 【r e s p a i a 2 a 3 0s u f f i c i e n t l ys m a l l 【r e s p s u f f i c i e n t l yl a r g e 】 f o rt h ec a s ea l 2 a 3 = 1 ，w et a k ea na r b i t r a r yn u m b e rq 0a n dc h o o s et 0 s u i 矗c i e n t l yl a r g e l e tucc t , o o ) 3b et h es e to fa l lv e c t o rf u n c t i o n su 。( u i ，撕，均) w h o s e c o m p o n e n t ss a t i s f yt h ef o l l o w i n gi n e q u a l i t i e s ： f o t b ef i x e d w eh a v e i ( f ) ( t ) 一( f u t ) ( ) l ff 口i ( s ) i f + 1 ) 。) ( s ) 知一陬- 删1 - l 幽一o ( n 一刚= 1 ，2 ) ， 【”n s ( s ) i 【( u - 。) ( s ) p a 一二阻- ( s ) 】沁i d s 一+ o ( n - - - - c o ) t o t h u sw eo b t a i n i ( f t 。) ( 亡) 一( f 缸) ( t ) i ，0 ( 札，o o ) u n i f o r m l yo n 正t 1c j w h i c hi m p l i e s 溉f = f ui nt h et o p o l o g yo fa 阢o o ) 3 t h i ss h o w st h a tf i s c o n t i n u o u so nu ( i i i ) f ( u ) i sr e l a t i v e l yc o m p a c ti ng 陬e o ) 3 i n ( i ) w eh a v es h o w e dt h a tu ( t ) i sb o u n d e