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复习提纲 陈文家一 位姿描述和齐次变换1齐次变换矩阵T及其物理解释（1）齐次变换矩阵的形式（2）齐次变换矩阵的物理解释 a坐标系（刚体）的位姿描述：描述坐标系B相当于参考坐标系A的位姿，其中的各列分别描述B的3个坐标主轴的方向；描述B的坐标原点的位置。b坐标映射：代表同一点P在两个坐标系A和B中描述之间的映射关系， 将印射为。其中称为旋转映射，称为平移映射。c运动算子：T表示在同一坐标系中点P（刚体）运动前后的算子关系，算子T作用于得出。任一算子也可分解为平移算子与旋转算子的复合。2变换矩阵的运算（1）相乘-复合变换注：（a）变换顺序从右到左时，运动是相对与固定参考系而言的；（b）变换顺序从左到右时，运动是相对与运动参考系而言的。（2）求逆3方位描述的简洁方法-欧拉角与RPY角（1）给定，-求R（2）给定R-求，4旋转（齐次）变换通式-等效转轴与等效转角（1）根据转轴K和转角建立相应的旋转变换矩阵（2）根据旋转变换矩阵求其等效转轴与等效转角（K和）二机器人运动学方程及其求解1 连杆（关节）参数与连杆坐标系（1） 连杆坐标系的建立（在杆的前关节-靠近手端-建立连杆坐标系）a. 找出各关节轴线，取与关节i+1轴重合；b. 作出相邻两轴线i和i+1的公垂线（或两轴线的交点），取与i+1轴线的交点（或i与i+1的交点）为坐标系i的原点;c. 规定轴与公垂线重合。若与相交，则规定是和所张成平面的法线；d. 按右手法则决定 。（2） 用连杆坐标系规定连杆参数：连杆i 的长度-从 到 沿测量的距离；：连杆i 的扭角-从 到 绕旋转的角度；：关节i 处连杆i 相对于连杆i-1的偏置从到沿 测量的距离；：关节i 处连杆i 相对于连杆i-1的关节角从到绕 旋转的角度。2 连杆变换矩阵与运动学方程（1） 连杆变换矩阵的推导由以下4个子变换构成：a. 绕轴旋转 角，使 轴转到与 同一平面内；b. 沿轴平移一距离，把 移到与 同一直线上；c. 沿 轴平移一距离 ，把连杆 i - 1的坐标系移到使其原点与连杆i 的坐标系原点重合的地方；d. 绕 轴旋转 角度，使轴转到与 同一直线上。因此有 即得 （2） 运动学方程的建立运动学方程表示了末端连杆的位置与关节变量之间的关系，其形式如下：若: B代表基底坐标系(或表示为0); S代表工作站坐标系 W代表腕坐标系; T代表工具坐标系; G代表目标坐标系;则有变换方程:3. 运动学方程的求解 (正解, 反解) (1) 运动学方程的正解a.建立各个连杆坐标系,列出相应的连杆参数;b.写出各个连杆变换矩阵c.写出手臂变换矩阵得到末端连杆的位姿与关节变量之间的关系;d.利用运动学方程计算出手臂变换矩阵的各个元素,得出手爪相对基础(或工作站)的位姿.注:正向运动学的解是唯一确定的. (2) 运动学方程的反解a.利用变换方程求出手臂变换矩阵b.由方程式解出相应的关节变量.注 :运动学方程的反解往往具有多重解,也可能不存在解.三. 微分运动和雅克比矩阵1. 微分运动矢量D()与微分算子()(1) 相对基坐标系给定相对基坐标的微分运动运动矢量相应的微变换算子为坐标系T的微分(2) 由相对基坐标系的D(或)求相对连杆坐标系T的(或)给定 或则有式中或也可表示为式中连杆坐标系T相应的微分运动为 （3） 任意两个连杆坐标系A和B的微分运动矢量与之间的变换关系 或 反之 （4） 任意两个连杆坐标系A和B的广义速度之间的关系 2. 雅克比矩阵J及其求解(1) J的含义及其形式 a. J的含义:从关节空间向操作空间运动速度传送的广义传动比.速度关系:也可看成从关节空间向操作空间的微分运动之间的转换矩阵.微分运动关系:b. J的(分块)形式:J为阶的矩阵,其中钱3行代表对抓手的速度v的传送.后3行与抓手的角速度有关,第i列代表相应的关节速度对抓手线速度和角速度的影响.(2) J的计算a. 矢量积方法-求J(q)雅克比矩阵的第i列: ( 移动关节i ) ( 移动关节i )式中:是坐标系 i 的z轴单位向量, 它是用基坐标系表示的;= 是末端抓手坐标系的原点相对于坐标系i-1的位置在基标系0的表式.b. 微分变换方法-求(a) 计算各连杆变换矩阵(b) 计算各连杆到末端连杆的变换矩阵(c) 雅克比矩阵J有n列,第 i 列元素由决定:当关节i为移