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关于随机序的研究 0 2 1 2 0 2 5 0 2 5 摘要 随机序研究是目前概率统计领域中的一个热点问题。研究的主要内容是比较 两个随机变量之间关于某个函数类的数学期望的大小。无论是在理论还是在应用 方面，有关随机序的研究都占据了重要的位置。 本文的主要研究成果就是得出了一系列关于随机序的充分条件，并分别对不 同类型的分布的随机序进行讨论。 在前言中，我们主要阐述了有关随机序的基本概念以及随机序研究的重要意 义，回顾了历史上一些相关的理论研究的文献，并简单介绍了本文的主要研究成 果。 在第二章中，作者引入参数a ，将高维椭球分布的参数线性化，给出了高维 椭球分布的一个重要公式，并基于这一结果，得出判断高维椭球分布的随机序关 系的充分条件。 在第三章中，作者借助参数a ，将r 分布的位置参数及尺度参数线性化，对 于较难处理的形状参数，我们引入l a p l a c e 变换来进行讨论，并得到了关于递 减凸序的充分条件。 在第四章中，作者将转移半群的分部积分公式与随机序相联系，给出了关于 随机序比较的充分条件，并针对具有某种特殊形式密度函数的随机变量的随机序 比较问题进行了讨论 关键字： 随机序，高维椭球分布，r 分布的随机序，l a p l a c e 变换，转移半群 关于随机序的研究 0 3 2 0 2 5 0 2 5 a b s t r a c t s t o c h a s t i co r d e ri sah o tr e s e a r c ht o p i ci nt h ef i e l do fp r o b a b i l n ya n ds t a t i s t i c s w h i c hm a i n l yc o m p a r e st h ee x p e c t a t i o n so ft w or a n d o mv a i l a b l e sa b o u tf u n c t i o n g r o u p s t h e r e f o r e ，i tp l a y s a l li m p o r t a n tr o l ei nb o t ht h e o r e t i c a la n da p p l i e df i e l d s t h em a i na c h i e v e m e n to f t h i sd i s s e r t a t i o ni st oh a v eo b t a i n e das e r i e so f s u f f i c i e n t a n d o rn c c c s s s r yc o n d i t i o n so fs t o c h a s t i co r d e r s t h i sd i s s e r t a t i o na l s oh a sd i s c u s s e d a b o u t d i f f e r e n t t y p e o f s t o c h a s t i c o r d e r s a b o u t d i f f e r e n t d i s t r i b u t i o n s r e s p e c t i v e l y t h ei n t r o d u c t i o ng i v e st h ed e f i n i t i o na n ds i g n i f i c a n c eo fs t o c h a s t i co r d e r s r r e v i e w st h er e l a t i v el i t e m m r ed o c u m e n t , a n dl i s t st h em a i nr e s u l t si nt h i sd i s s e r t a t i o n i n t r o d u c i n gt h ep a r a m e t e r 五a n dl i n i n ge a c ho ft h ep a r a m e t e r so fh i g ho r d e r e l l i p t i c a ls y m m e t r i cd i s t r i b u t i o n s , t h es e c o n dc h a p t * rg i v e s 舭i m p o r t a n ti d e n t i t yf o r h i g ho r d e re l l i p t i c a ls y m m e t r i cd i s t r i b u t i o n s , b a s e do nw h i c hs u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f s t o c h a s t i co r d e r sa b o u th i g l lo r d e re l l i p t i c a ls y m m e t r i cd i s t r i b u t i o n sw e r eo b t a i n e d i nt h et h i r dc h a p t e r , t h el o c a t i o np a r a m e t e r sa n ds c a l e p a r a m e t e r so ff d i s t r i b u t i o n sa r cl i n e dw i t hp a r a m e t e r 2 t od e a lw i t ht h ed i f f i c u l tp a r ta b o u ts h a p o p a r a m e t e r s ，w ei n t r o d u c et h el a p l a c et r a n s f o r mt or e s o l v et h ep r o b l e m , a n df m a l l y g i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f d e c r e a s i n gc o n v e xo r d e r so ffd i s t r i b u t i o n s i nt h ef o r t hc h a p t e r , t r a n s i t i o ns e m i g r o u p si ns t o c h a s t i cp r o c e s sa r cc o n n e c t e dw i t h s t o c h a s t i co r d e r s a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw 啪g i v e nf r o mt h i sr e l a t i o n s h i p m o r e o v e r , s t o c h a s t i co r d e rc o m p a r i s o n sa b o u tr a n d o mv a i l a b l e sw i ms o m es p e c i a l d e n s i t yf u n c t i o n sw e r ed i s c u s s e d k e y w o r d s ： s t o c h a s t i co r d e r s , h i g i lo r d e re l l i p t i c a ls y m m e t r i cd i s t r i b u t i o n s , f d i s t r i b u t i o n s , l a p l a c et r a n s f o r m ，t r a n s i t i o ns e m i g r o u p s 关于随机序的研究 0 3 2 0 2 5 0 2 5 1 1 引言 第一章绪论 随机排序讨论的是随机变量之间的一种序关系，和随机序概念有关的最早的 研究工作始于h a t d y ，l i t t l e w o o d 与p o l y a 于1 9 3 4 年发表的关于不等式的名 著他们在两个非负向量之间引入的优势关系，即一阶停止损失序 随机序5 可以定义为： 设，是一组函数的集合，x ，r 是两个随机变量。若对f 中的任意函数， 都有e f ( x ) s e f ( y ) ，则称x 5 y 随机序在理论方面和应用方面都有着重要的意义。例如，风险决策理论由 于风险决策问题关系到决策者如何对不同的风险做出取舍，因此，这个取舍过程 实际上就是一个比较随机事件发生可能性大小的过程。这时最常用的就是效用理 论。这一理论认为，决策者可以根据已掌握的效用函数“( u t i l i t yf u n c t i o n ) 来 取舍，即认为随机收益变量y 优于随机收益变量x ，当且仅当e i t ( x ) s e i t ( d 而事实上这一理论在实践中很难操作，原因就在于难以全面准确地刻画效用函 数。但是，如果我们能够掌握效用函数的部分特征，那么就可以将具有这些特征 的效用函数归为一组函数的集合f ，从而根据随机序的定义来比较e f ( x ) 和 点r ( y ) ，其中f e f ，并做出相应的判断。还有一种殊途同归的提法，即假设在 一组决策者中，其中的每个决策者都有自己的效用函数“，如果f 表示这一组决 策者的效用函数的集合，那么所有的组内成为都将认为随机收益变量y 优于随机 收益变量z ，当且仅当五h ( x ) s e u ( y ) 再如，利用函数的凸凹性在最优化理论 中占有重要地位它不仅能够改善算法的效率来得到最优化设计，而且有助于各 种概率量化的数值近似。此外，随机序在排队论，可靠性分析，保险精算中的应 用也相当广泛。 1 2 基本概念及历史研究成果 关于随机序的研究2 0 2 5 0 ” 重要的随机序有以下几种： 通常意义下的随机序( u s u a ls t o c h a s t i co r d e r ) ： 如果对于所有的递增函数，：科斗r ，均有e f ( x ) s 矽( y ) ，则称随机变量 石和】，满足通常意义下的随机序，记作x 。y 凸序( c o n v e xo r d e r ) ： 如果对于所有的凸函数，：彤_ r ，均有e l ( x ) z 矿( r ) ，则称随机变量 x 和y 满足通常意义下的凸序，记作x s 。y 递增凸序( i n c r e a s i n gc o n v e xo r d e r ) ： 如果对于所有的递增凸函数，：r ”一r ，均有e l ( x ) e ( d ，则称随机变量 工和】，满足通常意义下的递增凸序，记作z 。r 递减凸序( d e c r e a s i n gc o n v e xo r d e r ) ： 如果对于所有的递减凸函数f ：r “寸r ，均有e l ( x ) s l 矿( y ) ，则称随机变量 石和y 满足通常意义下的递减凸序，记作工s 。】， 近年来，随机序( s t o c h a s t i co r d e r ) 发展成为研究概率统计问题的重要工 具。w h i t t ( 1 9 8 6 ) 引入了积分随机序在6 r a s s m a n ( 1 9 8 3 ) ，h a r e la n d z i p k i n ( 1 9 8 7 ) ，j a g e r sa n dv a nd o o m ( 1 9 8 6 ) ，l e ea n dc o h e n ( 1 9 8 3 ) 。r o l f e ( 1 9 7 1 ) ，s c h w e d e r ( 1 9 8 2 ) ，t ua n dk u m i n ( 1 9 8 3 ) ，w e b e r ( 1 9 8 0 ) ，( 1 9 8 3 ) 等文献中都 涉及到有关随机凸( 凹) 序的研究另外，s t o y a n ( 1 9 8 3 ) ，s h a k e da n d s h a n t h i k u m r ( 1 9 9 4 ) ，s z e k l i ( 1 9 9 5 ) m o i l e ra n ds t o y a n ( 2 0 0 2 ) 都对随机序作了 专门的讨论 m f l l l e r ( 2 0 0 1 ) 借助参数五，将正态分布的这个参数线形化，给出了以下这样 一个关于玎维正态分布随机序的公式，并且给出了一个较为直观的比较正态分布 随机序的充分条件 定理1 1 设x 服从正态分布o ，) ，】，服从正态分布 ，f ) ，其中z ，f 均为 正定矩阵。令z 服从正态分布n ( x p + ( 1 一旯) ，腥+ ( 卜a ) d ，办是z 的密度函 数，其中o 五1 。并且，假设f ：r ”- r 是二次连续可导的函数，并且满足如 下条件： 1 i 。m 厂 ) 办= 0 f “ 艘厂( 功丢办= 。 垤豫。，0 s 五l ，l s j 一 v x e r “，0 s 五s l ，1 ，蔓栉 2 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 关于随机序的研究 0 3 2 0 2 5 0 2 5 鼯办( 功丢 ) = 。 搬r ”，。旯乳s ，一 ( - 3 ) 那么， 互犷( y ) 一e f ( x ) = f 肛刊7 盯+ 三扩( ( ，- 胤) 卜础 m 妨 这里对符号作以简要说明和定义并将在文中沿用这些符号： 1 夥( 力和日j ( 功分别表示二阶连续可导函数，( 力的梯度( 云，( x ) ) = d a 2 和h e s s e n 矩阵( ，( 瑚? ，l l 。 m 扣i 2 护( = z t , ( a d ，其中彳= ( 嘞x ，- l 推论1 1 设x 服从正态分布，) ，r 服从正态分布( ，z ) ，再甲z 均为 正定矩阵假设，：r ”_ r 满足定理i 1 的条件，那么如果下列条件成立： ( a ) 喜( 棚) 等加椭撇倒 砉( 吒飞) 鬻卸一辄删 那么， ( n 一可( 朋0 1 3 本文内容简介 在最近二十年中，有关高维椭球分布的研究有了长足的发展。众所周知，正 态分布在理论和应用统计学中占据着核心地位而作为正态分布的一个直接推 广，高维椭球分布保持了高维正态分布的大量属性。f a n ge ta 1 在1 9 9 0 年所著 的( s y m m e t r i cm u l t i v a r i a t ea n dr e l a t e dd i s t r i b u t i o n s 一书中详细论述了 高维椭球分布的大量性质。 高位椭球分布定义为： 关于随机序的研究 0 3 2 0 2 5 0 2 ， 栉维随机向量z = ( z l ，z 2 ，乙) 服从椭球对称分布，若它的密度函数函数具 有如下的形式： s ( o = c m 刈2 9 ( ( z - 1 0 7 一1 0 一) ) 其中g ( ) 是密度生成函数( d e n s i t y g e n e r a t o r ) ，是一x l 阶向量，是玎玎阶 正定矩阵，r z = x a 7 ，a ：是n x l 阶向量，e 是标准化常数 受到m f l l l e r 的启发，在第二章中，作者同样借助参数a ，对高维椭球分布 的随机序做了研究。通过引入特征因子的概念，并对特征因子的性质加以特殊的 限定条件，在函数，( 曲满足一定条件的情况下，本文得到了一个更为一般性的 公式即： 髟( y ) 一可( 彳) = f 虻( 段一朋) 7 v 厂( x ) n ( x ) + c 分( ( 。一。) 乃( x ) 办( x ) ) p a 其中，x e ( h ，z 。，矿) ，y - e ( 鸬，z 2 ，妒) ， 办( 力是e ( 五鹧+ ( 1 一五) h ，屁：+ o - x ) z 。，矿) 的密度函数， 芦。是e ( 心+ ( 1 一a ) 一，；医：+ ( 1 一a ) z 。，矿c ) x ， 0 旯s l ，为妒的导函数，c = 一( o ) 由这一公式，本文在随后的推论中很直观地给出了一个关于高维椭球分布的 随机序的充分条件，并利用了这一条件对一些具体的随机序关系进行了讨论。 r 分布作为概率及统计理论中的核心分布之一，有着特殊的理论及应用意 义，尤其在可靠性理论及排队论中应用最为广泛。在第三章的前半部分，作者同 样的引入了参数a ，主要针对位置参数和尺度参数对r 分布的随机序进行了讨 论，得勇l - r - - 个关于比较服从具有相同形状参数的r 分布的随机变量的随机序的 公式，即： e f ( y ) - e l ( x ) = 舭刊膨州出+ 等弦沁) 刷斗p 4 关于随机序的研究 0 3 2 0 2 5 0 2 5 其中。x r ( h ，a ，r ) ，l ，r ( 鸬，五，r ) ，彬= 尼坞+ ( 1 一力“，乃= p 乞+ ( 1 一力 ， 令杉和矿1 分别是r ( 易，乃，r ) ，r k 乃，r + 1 ) 的密度函数，o s p s l 在第三章的后半部分，为了解决利用特征函数讨论尺度参数过程中遇到的困 难，作者引入了l a p l a c e 变换来讨论关于不同形状参数的r 分布的随机序问题， 得到对于z - r ( a ， ，i ) 和y r ( 鸬，如，吒) ，当“飓， s 五，i 一吒= 2 k ，v k g n 时，有x 毛】，。 随机过程作为统计学的一个重要分支，在股票和汇率的波动，语音信号，视 频信号，体温变化等许多研究领域有着重要地位。在第四章中，作者将随机过程 中的转移半群概念引入随机序的比较，利用转移半群的分部积分公式得到另外一 个关于随机序比较的重要公式，即： 可( x ) 一点矿( n = l i r a l z 。f s , 。( v l o g x 。( x ) 一v l o g ，r 2 ( x ) ) v i m ) 凼 其中，x ，y 是两个d 维随即变量，其密度函数吒o 玲o 和乃( 曲 0 ，五和r 的 转移半群分别为s 和王。 利用这一公式，文中给出了又一关于随机序比较的充分条件，并且针对具有 某些特殊密度函数的随机变量作了进一步讨论。 关于随机序的研究 2 0 2 5 0 2 5 第二章高维椭球分布的随机序 2 1 关于高维椭球分布的一个等式 定义2 1 1 是( 栉拧) 阶半正定矩阵，n 维向量x 服从n 维椭球分布，若其中特征 函数形如： 甲x o ) = p 以痧x t ) ( 2 1 1 ) 其中妒( 曲称为特征因子。 如果是正定的，则可逆，那么x 有密度， 厶阱冬岛 ( 州) r 一( w ) 亿m ， i | - 。 其中g ( ) 是密度生成函数( d e n s i t yg e n e r a t o r ) ，e 是标准化常数 记作x e c u , ，扔 引理2 1 1 若z 正定，则特征函数甲，和密度函数z 有如下关系： 厶( x ) 2 两1 胪甲j ( r p 2 南e x p ( ( 叫) ) 九( 忍f p 亿， 引理2 1 2f ( t ) 握z r ”上的实值连续球对称函数， 征函数，当且仅当： ( a ) 厂( o ) = 1 ，( f ) 为疗维椭球对称分布的特 ( 2 1 4 ) ( b ) ( ，) 是非负定的，即厂( f ) 连续，且对于v e n ，任意的复数螽，磊，知，任 意 抟j t i ，f 2 ，e r ”，都有 nr ，q 一气) 白磊o ( 2 1 5 ) j = lk = l 6 关于髓机宁的研究 0 3 2 0 2 5 0 2 5 引理2 1 3 令_ ，( f ) 是r 4 上的实值连续球对称函数，若 ( a ) f ( o ) = 1 ( b ) 对任意的单位向量p ，z ( ，) = ，( 据) 是t = 【州2 】次可导的， 函数，并且( - 1 ) ”( d 是凸函数，对于f 0 ( c ) 忡l i m 厂( f ) = o 那么，( f ) 某一肼维球对称分布的特征函数。 ( 2 1 6 ) 这里【】表示取整 显然，若( ，) 满足引理2 1 3 的条件，则必定满足引理2 1 2 的条件 ( 2 i 7 ) 沿用( 1 4 ) 中的符号，若f ：r ”哼r 是二次连续可导微的，将的梯度和h e s s e n 矩阵，表示为v ，( 曲和以( 力 定理2 1 1i i x - e ( h ，邑，) ，r e ( 胁，：，声) ，其中s , = ( 詹，正詹砖) 和 段= ( 彳，店彳正) 是疗l 阶向量写= ( 以) ：，和z ：= ( 吒k ，。是正定矩阵， p ( 功，甲 ( 功是e ( x a + ( 1 一a ) h ，彳z ：+ ( 1 一名) i ，庐) 的密度函数和特征函数， 氟( 力，圣j ( 曲是e ( 五鸬+ ( 1 一a ) “，五z ：+ o - , o x l ，妒，c ) 的密度函数和特征函数， 0 a s l ，妒为妒的导函数，c = 妒( o ) 假设； ( i ) 厂：r ”一r 二次可微，满足以下条件： 删蛔( 习= o l i mf ( x ) 丢觑( x ) = 。 v x r 4 ，0 a l l s - ， ( 2 1 8 ) v x e r ”，0 a 1 ，1 i , j s 疗 ( 2 1 9 ) 鼯色( x ) 丢m ) = 。坛倒，o o ，对于所有的 并r 一，( 2 1 1 8 ) 式成立。与定理2 2 3 方法相同，( 2 1 - 1 9 ) 也成立。利用引 理2 1 1 ，可知五毛五。证毕 倒2 1 设五，五是分别服从正态分布( “，。) ，( 鸬，：) 的一维随机变量，假 设，：彤哼r 矿满足定理2 1 1 的条件，那么， ( a ) 如果 o ，随机变量x 如果有如下的特征函数， 、y 工( f ) = “= e 蛐( 1 一马1( 3 1 1 ) 或具有密度函数， 九( 功= f l 南恤旷1 副州篇m ， 0 则称x 服从参数为( 肚 r ) 的r 分布，记作x r ( ，j 1 , r ) 定理3 1 1 设z 和y 是分别服从r 以，五，r ) 希l r ( 鸬，五，r ) 的随机变量， 这里 h ，鸬e r ，丑，五，r o ，令作= p z 2 + ( 1 一p ) h ，乃= 鹏+ ( 1 一力 ，令彤和 分别是r ( 埤，乃，r ) ，r ( ，_ 以，r + 1 ) 的密度函数，甲；和哕分别是r ( 作，乃，r ) ， r ( 以乃，r + 1 ) 的特征函数，其中o s p s l 。 假设：f ：r r 一次连续可导，并且满足以下条件： 那么， ，1 i r a 。f ：x ) 形( z ) = 0 觐厂( x ) 杉( x ) = 0 曼恐厂( x ) 1 ( x ) = o 娩厂( z ) 1 ( x ) = 0 v i e r ，0 s p l v x 胄，0 s p l ， 坛e r ，o s p i ， 垤e 置，0 s 7 0 假 设：f ：r 斗r 一次连续可导，并且满足条件( 3 1 3 ) 一( 3 1 6 ) ，若下列两个条件 成立， ( i ) ( x 2 一m ) 厂( 力0 ( ) 掣厂，( x ) o f j 。工z u 那么， 对于所有的x e r 成立 ( 3 1 8 ) 对于所有的x r 成立 ( 3 1 9 ) e f ( x ) e l ( r ) 3 2 关于r 分布的一些序关系 下面我们将具体讨论r 分布的递减凸序关系。对于形状参数r 不同的r 分布，如 果采用与上一节的思路，由于r 分布特征函数的特殊形式，无法实现由密度函数 到特征函数，经过对参数p 求偏导，再由特征函数变换到密度函数的过程。因此 在下面的证明过程中，我们将引入l a p l a c e 变换来解决这一问题，同时结合上一 节的结果来讨论r 分布的序关系。 关于随机序的研究0 3 2 0 2 5 0 2 5 在此之前，我们将首先给出l a p l a c e 变换的定义及一些性质。 定义3 2 1 对于任意的实函数，( 力，x 0 f ( j ) 2j ：e - s a f ( x ) d x 称为厂( 功的l a p l a c e 变换，记作f ( j ) = 三 b ) ) ，f 定义在使上式中的积分收 敛的范围内 定义3 2 2 对于给定的，( j ) ，如果我们可以找到函数，( 力，使得 ，( s ) = j c 0 8 “m ) 出 称，( 功为f o ) 的l a p l a c e 逆变换，记作j r ( 功f ir e - 1 f ( 咖 引理3 2 1 如果上 ，( 砩= ，( s ) ，l g f x ) ) - = g ( s ) ，那么，对于任意的常数4 和6 下式成立， t a f ( x ) + b g ( x ) ) = 卵0 ) + 6 g ( j ) 引理3 2 2 如果函数f ( x x x 0 ) 厅次连续可导，且当z 专时，有f ( x ) e - h _ 0 ， 那么，我们有 三 ”( x ) ) = s ”f ( s ) - s f ( o ) - - s f 删( o ) - f ”1 ( o ) 表2 1l a p l a c e 变换 厂= f 1 f ( s ) )f ( s ) = l f i x ) ) l! ( s o ) s z 与o o ) s 矿o o ) 暑o ) r - i ) r ( a + 1 ) r 、j 0 ) s a + l 、， 矿- l 0 o ) b - a ) 、 7 关于随机序的研究 0 3 2 0 2 5 0 2 5 s i n ( i b c )击( s o ) j 2 + 七2 、”7 c o s ( j b 哆 了o o ) s 2 + 七2 。7 s i l l h ( 妫 j 2 一七2 、 c o s h ( 睇) s 2 一j j 2 、h 7 ，( 功f ( s - a ) f ( a x x a o )三f ( 三) 口口 足理3 2 1 如果买曲数_ ，( 功，x 0 县碉以r 明彤式， 八功2 南，一产其协吣o r o 则，( 功的l a p l a c e 变换f 具有以下的形式， f o ) = ( 1 + 书一 其中a o ， o( 3 2 1 ) l 。 证明根据表3 1 令z ( ：x , - i ， o ，贝l j e ( s ) ：掣 工一) = 石( 触) ) = 知印= 半睁 令正：五一x 一，r o ，s j j f 2 ( s ) ：掣( 今， l e 啸( 旯x ) “) = l e - 知五( x ) ) 咧州，= 半c 南7 = 半c + 扩j t 以 在根据引理3 2 1 旯rx r - l e - a x ) = ( 1 + j 、 z 7 证毕 茎三堕垫壁塑至塞丝罂! ! ! 堡 定理3 2 2 设石和r 是分别服从r ( o ，无) 和r ( o ，尢吃) 的随机变量，这里丑 o ， ，吃 o ，磊，珐分别是r ( o ， ，) 和r ( o ，a ，恐) 的密度函数 假设，：r 专豫二次连续可导，满足以下条件， 墨恐，( x ) 西( x ) = 0 蚴厂( x ) 谚( 石) 2 0 l i n l 厂( x ) 谚( x ) = o x - - h - f o o 蛳厂7 ( x ) 谚( x ) = o ，1 i m 。厂( 工) ( 工) = o 蚴厂( x ) ( x ) 2 0 v x e r ，i = 1 ，2 垤e r ，= 1 ，2 v x e r 。f = l ，2 e r ，i = l ，2 协e 足i = l ，2 坛e r ，i = l ，2 那么，当，i 一吒= 2 k ，k e n 时，我们有， x 如l ， 1 正珊 当女= l 时， e l ( r ) 一可( x ) = 少( x ) ( 欢( x ) 一旃( x ) ) 出 = 少 f 1 三 ( 办( x ) 一破( x ) ) 出 根据定理3 2 1 e 厂( 】，) 一巧( x ) = f ，f 1 ( 1 + k ( 1 + 出 ：少c x v _ 1 o + 叫 o + 三，“一您) 一t ) 出 ：p c x ，f 1 c + 争一n o + 争2 一 ) 出 ：j c z ，矿 c + 争一n c 2 + 2 c 争 ) 出 下面要证明 工 硝( x ) ) = s ( 1 + 争一1 幻 幻 d d 色 互 & 2 互 幺 o 关于随机序的研究 0 3 2 0 2 5 陀5 工 笊x ) ) = s 2 ( 1 + 护 函数办( 功二次连续可导，并且当x 一时，办( 咖”专o 根据引理3 2 2 工 群( x ) ) = 蜗( s ) 一办( o ) = s ( 1 + 争1 三 粥) ) = s 2 f l ( j ) 一s 磊( o ) 一们) = s 2 ( 1 + 1 即 一卜1 ) 稍曲 f 1 扣+ 争1 ) _ 荆 所以 e f ( y ) - e f ( x ) = 嘉少( x ) 水力出+ j 1l f ( x ) 群( x ) d x 对上式分步积分，并且利用条件( 3 2 2 ) 一( 3 2 7 ) ，可以得到 e l ( d - e f ( x ) = 万1 少) 磊( x ) 出一三少b ) 磊( x ) 出 ( 3 2 8 ) 显然，当，( 力是递减凸函数时， 巧( y ) 一e f ( x ) 0 ，e r 破，杰分别是r ( 肛名，1 ) 和r ( ，五，r 2 ) 的密度函数 假设，：r _ r 二次连续可导，满足以下条件， l i r a 厂( x ) 谚( x ) = 0 z - t - i 帕 l i m 厂( 工) 破( x ) = 0 x - # 1 l i m 厂( x ) ( x ) = 0 x - - h 柚 l h n ，( x ) ( x ) = 0 x - - t # 1 i i i l ，( 刁谚( x ) = 0 x - - i - i m l i i i l ，( 工) 谚( x ) = 0 x - - # j 那么，当一 = 2 k 时，我们有， v x e r ，i = 1 ，2 ( 3 2 9 ) v x e r ，i = l ，2 ( 3 2 1 0 ) v x e r ，f = l 2 垤e 足，= 1 ，2 v x e 足，= l ，2 饥r 。f = 1 ，2 x s 酝y 证明令j - - x - u ，p = r 一。则贾和矿是分别服从r ( o ，五，i ) 和r ( 0 丑，2 ) 的随 机变量，设磊，五分别是r ( o 厄) 和r ( o ，五吒) 的密度函数 设一屹= 2 k v k n 当k = l 时 e i f ) 一e f ( x ) = i 厂( x ) ( 欢( x ) 一磊( x ) ) 出 令) ，= x - l t ，则x = j ，+ j 矿( 】，) 一e f ( x ) = i 厂( y + ) ( 唬( y ) 一办( y ) ) 砂 根据( 3 2 8 ) 式 e l ( r ) - e l ( x ) 2 砉少b + x ) i i ( y ) d y 一去少( y + ) 荔( y ) 砂 2 砉p k ) 识 ) a x 一专少b ) 办( x ) 出 因此，与定理3 2 2 类似，我们可以得到，当一吒- - 2 k ，：r 专r 二次连续可 导，且满足条件( 3 2 9 ) 一( 3 2 1 4 ) 时， x 缸】， 证毕 关于随机序的研究 0 3 2 0 2 5 0 2 5 定理3 2 3 设z 和l r 是分别服从r ( h ，a ，) 和r ( 鸬，五，吒) 的随机变量，这里 h ，如e r ， ，五，巴 o ，西和杰分别是r ( h ， ， ) 和r ( 肫，五，吒) 的密度函数， 令以= 鹏+ ( 1 一砒，乃= 以+ ( 卜p ) ，吆，是r ( 以，乃，) 的密度函数， 0 s p l ，= 吒，吒 假设f ：r r 二次连续可导，满足以下条件， j 岘l ( 4 虹，( 工) = 0 l i m 厂( x ) 办，( z ) = o ，l 。i m 。f x ) 。杉，( x ) = 0 觋厂( x ) 。形，( x ) = o ，1 i r a 。f ( z ) 办，( 工) = 0 娩厂( x ) 幻( x ) = o v x e r ，o p s l ，吒，吒 ( 3 2 1 5 ) v x e 矗，0 s p s l ，= ，i ，吒 ( 3 2 1 6 ) 坛e r ，0 s p l ，= 巧，吃 ( 3 2 1 7 ) v x e k o p s l ，r = ，吒 ( 3 2 1 8 ) 坛毫r , 0 p 0 , n e n ，随机变量x 如果有如下的特征函数， 甲，( f ) = 麻= e 蛐( 1 - 了t ) ( 3 ，2 2 1 ) 或具有密度函数， 九( 功= 称为x 服从参数为( ，五r ) 埃尔郎分布，记作z 西( 胁无f ) x | l z ( 3 2 2 2 ) 定理3 2 4 设z 和r 是分别服从昏( 崩， ，所) 和r ( 鸬，五，一) 的随机变量，这里 鸬，雎e r ， ，五 o ，聊，n e n ，砖和以分别是r ( h ， ，删) 和r ( 鸬，五，曲的密度 函数，令以2 鹏+ ( 1 一力一， l = p 吃+ o - p ) a ，织是r ，力，七) 的密度函数， 0 s p s i ，k = 脚n 。 假设f ：r 辛r 二次连续可导，满足以下条件， ，1 i r a 。f ( 坩x 红( x ) = o l i m 厂( x ) 。( x ) = o 熙厂( 刁绣t ( 刁= 0 娩厂( z ) 。啦( x ) = o ，1 i r a 。f 7 ( 工) 饥( x ) = o 烧厂7 ( x ) 。( 戈) = 0 v k 毫r ，o p l ，k = m ，撑( 3 2 2 3 ) v l r ，0 s p l ，k = m , n( 3 2 2 4 ) v 苇e 置o s p s l 七= m , n( 3 2 2 5 ) v i 足0 p s l ，k = ，( 3 2 2 6 ) v i e r ，0 p - l ，k = 坍，疗 ( 3 2 2 7 ) v 膏e r ，o p l ，k = m ，片 ( 3 2 2 8 ) 那么，当m 鸬， 玉如，n - m = 2 k 时，我们有， x 缸r 证明 由定理3 2 3 ，令，i ，吒e n 。直接可得结论。证毕 关于随机序的研究 0 3 2 0 2 5 0 2 5 第四章转移半群的分部积分公式的一个应用 引理4 1 1 1 l 设s 和z 是b a n a c h 空间e 上的强连续半群，其相应的无穷小算子为a 和口。设，e d “) ，如果对v o j 0 ，五和 z 为d 维扩散过程，其转移半群分别为墨和z ，对w e c 2 相应的无穷小算子为， a f = 丢+ v 1 。g 乃o ) 盯 ( 4 3 ) 矽= a t + v 1 。g 死( x ) w ( 4 4 ) 则对v f e c 7 ( 彬) ，有， e l ( x ) - 髟( 】，) = l i m i 。f s t 一。( v l 。g z r , ( x ) 一v l 。g ，r 2 ( x ) ) v 互m ) 凼( 4 5 ) 证明由扩散过程的基本理论 2 3 ， 扩散过程置和r 的平稳分布密度分别为n r x ) 和n r x ) 可e c = ( r 。) ，根据引理4 2 有， 关于随机序的研究 0 3 2 0 2 5 0 2 5 s 一p ( x ) 万。( x ) 出 r , f - 少( x ) 万：( x ) d x 当t 斗时 当t 专时 那么， e f ( x ) - e f ( y ) = i f ( x ) ；r 。( x ) a x j f ( x ) n - ：( x ) a x = l a m s , f r , f 在根据引理4 1 ， e f ( x ) - e f ( i o = l i m s , f t , f 2 姆j ：既( 彳一b ) r , f a s 再将( 4 3 ) 式和( 4 4 ) 式带入上式，可以得到 e f ( x ) - e f ( y ) = ! 骢告f 墨一，( v l 。g 五( x ) 一v l o g n 2 ( x ) ) v i 厂o ) a s 证毕 引理4 3 脚设z 是d 维随即变量，其密度函数7 r ( x ) 0 ，置为d 维扩散过程，其 转移半群为z 。对w 。e c 2 相应的无穷小算子为， 11 a f = 寺a f + 专v l 0 9 7 r t ( x ) 式 二二 如果v 1 f d ，有：0 一l o g 石( 曲单增，则半群z 保持单调性，即把单调增函数转化 为另一单调增函数。 推论4 1 设z ，y 是两个d 维随即变量，其密度函数而2 0 和码( 力2 0 ，五和 】：为d 维扩散过程，其转移半群分别为墨和l 。如果下列两个条件成立， ( i ) v l o g 啊( 力一v l o g a 2 ( x ) 0 ，对于帆e r 。 ( i i ) 昙l o g 乃( x ) 单增。v l i s d 那么， x 盯y 证明根据引理4 3 ，由条件( i i ) 可得 对于单调增函数，( 力，z ， ) 仍是单调增函数 即，v t f f ( x ) 0 关于随机序的研究 0 3 2 0 2 5 0 2 5 再由条件( i ) 及定理4 1 ，可得 x “y 例4 1 设x 是d 维随即变量，其密度函数a ( 砷具有如下的形式， a ( 功= c e - 5 ” 工 l ，是服从正态分