（理论物理专业论文）高阶lambdicke近似下单个囚禁离子的宏观量子态工程.pdf

西南交通大学硕士学位论文第1 页 摘要 囚禁冷却离子是将来建立量子计算机的重要侯选者，并且它为检验量子力 学的非定域性等基本定律提供了有吸引力的平台。特别地，一个被经典激光束 驱动的囚禁离子能够提供各种物理上可以实现的相互作用。 奇偶相干态是典型的宏观量子态，它们由两个相干态l n ) 和i _ 4 ) 的叠加而形 成。对于确定的系数4 ，例如：当1 4 k 0 5 的时候，奇偶相干态显示出非常不同 的量子统计性质：偶相干态显示出具有压缩效应但不具有反聚束效应，而奇相 干态具有反聚束效应却不具有压缩效应。因此，在各种量子态的实验工程中一 直对产生和控制这些量子态给予了极大的关注。大多数制备单个囚禁冷却离子 量子态的途径都是在l a m b - d i c k e 近似( l d a ) 的条件下进行的。在这个限制下， 只有l a m b d i c k e 系数，7 的一次项被考虑。但是，l d a 并不是一直都被严格地满 足，例如：在最近的实验中相应的l a m b d i c k e 系数大约是0 2 5 ，所以，在精 确的量子态工程中，灯的高次项应该被考虑进去。尤其是，在原则上，单个囚 禁离子的参数能通过调节所施加的激光束来进一步提高。并且，超出l a m b - d i c k e 限制强激光一离子相互作用已经能够达到。 在这篇论文中，我们通过相应物理模型的哈密顿量，推导出系统的时间演 化算符，并由此得出系统在l d a 和n l d a 情况下的状态演化方程。在此基础上根 据状态演化方程分别推导出系统在l d a 和n l d a 两种情况下所测得的奇相干态和 偶相干态的压缩效应、反群聚效应、保真度的表达式。 通过数值计算我们发现：如果l a m b - d i c k e 系数叶相对较小，那么通常的奇 偶相干态能够被很好地接近。但是，当l d 系数相对比较大的时候，例如：玎 0 2 的时候，高阶l d 近似就变的很重要，并且矿( kz2 ) 对所产生叠加态的量子 统计性质的影响能更明显地显示出。 关键字：囚禁冷却离子；奇偶相干态；l a m b d i c k e 近似( l d a ) ；l d 系数( 叼) 西南交通大学硕士学位论文第n 页 a b s t r a c t t r a p p e dc o l di o n sa r ei m p o r t a n tc a n d i d a t e sf o rb u il d i n gq u a n t u m c o m p u t e r si nt h ef u t u r ea n dp r o v i d ea t t r a c t i v ep l a t f o r m st ot e s tc e r t a i n f u n d a m e n t a ll a w ss u c ha sq u a n t u mn o n l o c a l i t yi nq u a n t u mm e c h a n i c s i n p a r t i c u l a r ，at r a p p e di o nd r i v e nb yc l a s s i c a ll a s e rb e a m sc a np r o v i d e v a r i o u sp h y s i c a l l yr e a l i z a b l ei n t e r a c t i o n s e v e na n do d dc o h e r e n ts t a t e sa r et y p i c a l l ym a c r o s c o p i cq u a n t u ms t a t e s ： t h e ya r ef o r m e db ys u p e r p o s i n gt w oc o h e r e n ts t a t e sl 拄) a n d i - a ) f o r c e r t a i nap a r a m e t e r s ，e 。g iak 0 5 ，e v e na n do d dc o h e r e n ts t a t e ss h o w v e r yd i f f e r e n tq u a n t u ms t a t i s t i c a lp r o p e r t i e s ：e v e nc o h e r e n ts t a t e ss h o w s q u e e z e db u tn o ta n t i b u n c h i n ge f f e c t s ，w h i l et h eo d dc o h e r e n ts t a t e s s h o wa n t i b u n c h i n gb u tn o ts q u e e z e de f f e c t s t h u s ，g e n e r a t i n ga n d c o n t r o l l i n gt h e s es t a t e sa r ea l w a y sp a i dm u c ha t t e n t i o ni nv a r i o u s e x p e r i m e n t a lq u a n t a m - s t a t ee n g i n e e r i n g s i n d e e d ，m o s to ft h ea p p r o a c h e s t op r e p a r em o t i o n a lq u a n t u ms t a t e so fas i n g l et r a p p e dc o l di o no p e r a t e d u n d e rt h el a m b - d i c k ea p p r o x i m a t i o n ( l d a ) ，o n l yt h ee f f e c t so ft h ef i r s t o r d e ro f l dp a r a m e t e r 叩a r ei m p o r t a n t l d ai sn o ta l w a y ss a t i s f i e d s t r i c t l y ，e g ，t h ec o r r e s p o n d i n gl dp a r a m e t e ri sa b o u t0 2 5i nar e c e n t e x p e r i m e n t ，t h eh i g h e r o r d e rt e r mo f 理s h o u l db et a k e ni n t oa c c o u n tf o r t h ep r e c i s eq u a n t u me n g i n e e r i n g s p e c i a l l y ，f o ras i n g l et r a p p e di o nt h i s p a r a m e t e rc o u l d ，i np r i n c i p l e ，b ef u r t h e re n h a n c e db ya d j u s t i n gt h e a p p l i e dl a s e rb e a m s s e q u e n t i a l l y ，s t r o n gl a s e r i o ni n t e r a c t i o n so u t s i d e t h el dr e g i m ec o u l db ea c h i e y e d i nt h isp a p e rw ed e d u c t e dt h et i m ee v o l v e m e n tf u n c t o ro ft h es y s t e m b yt h eh a m i l t o n i a n a n do b t a i nt h es t a t ee v o l v e m e n te q u a t i o no ft h es y s t e m i nt h el d aa n dn l d a a n dc a l c u l a t e ds q u e e z e d ，a n t i b u n c h i n ge f f e c t sa n d f i d e l i t yi nt h el d aa n dn l d aa c c o r d i n gt ot h es t a t ee v o l v e m e n te q u a t i o n o ft h es y s t e m b yt h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o nw e r e l a t i v e l ys m a l l ，t h e nt h eu s u a l f i n dt h a ti ft h el dp a r a m e t e r 叩i s e v e n o d dc o h e r e n ts t a t e sc o u l db e 西南交通大学硕士学位论文第i 页 a p p r o a c h e dw e l l w h il e ，f o rar e l a t i v e l yl a r g el dp a r a m e t e r s ，e g ， 柙 o 2 ，t h eh i g h o r d e rl da p p r o x i m a t i o n sa r es i g n i f i c a n ta n dt h ee f f e c t s o f 矿w i t hk 乏2c o u l d b er e v e a l e dm o r e o b v i o u s l y i nt h eq u a n t u m s t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so ft h eg e n e r a t e ds t a t e ss u p e r p o s e db yt h ei n f i n i t e e v e n o d dn u m b e rs t a t e sw i t hd i f f e r e n tw e i g h t s k e yw o r d s ：t r a p p e dc o l di o n s ，e v e na n do d dc o h e r e n ts t a t e s ，l a m b d i c k e a p p r o x i m a t i o n ( l d a ) ，l dp a r a m e t e r ( 叩) 西南交通大学硕士学位论文第1 页 第1 章引言 囚禁冷却离子是将来建立量子计算机1 1 1 的重要侯选者1 2 i ，并且它为检验量 子力学的非定域性1 3 i 等基本定律提供了有吸引力的平台。特别地，一个被经典 激光束驱动的囚禁离子1 4 1 能够提供各种物理上可以实现的相互作用1 5 , 6 7 s l ，例如 j _ c 模式和反j - c 模式。因此，各种单个囚禁离子的典型的运动量子态，例如： 热态、福克态、相干态、和压缩态等等，都能用这些可以被观察到的相互作用 在目前的囚禁离子实验【9 “1 中方便地制备。 奇偶相干态分别被定义为1 1 2 , 1 3 1 4 1 ： 。南荟而a 2 j 协) 钏咖) ， 0 2 的时候，高阶l d 近似就交的很重要，并且矿( kz2 ) 的影响在无限奇偶数态产生的态的叠加 中，量子统计性质能更明显地显示出。 本文的技术路线如下： 1 建立相应的物理模型，即考虑一个离子被囚禁在谐振势中并被两束分别 调节到第一低能级和高能级振动边带的激光驱动。通过旋波近似，得出系统的 哈密顿量。 2 用级数展开的方法推导出系统的时间演化算符，并由此得到系统在l d a 和n l d a 情况下的状态演化方程。 3 根据状态演化方程分别推导出系统在l d a 和n l d a 两种情况下所测得的 奇相干态和偶相干态的保真度、压缩效应、反聚束效应的表达式。 4 通过数值计算做出图。 5 进行相关分析。 本文的第一章为引言部分，第二章介绍了量子光学及辐射与原子相互作用 模型，第三章是囚禁离子系统的状态演化，第四章是压缩效应、反聚束效应、 保真度，第五章是计算结果和讨论。 西南交通大学硕士学位论文第3 页 第2 章量子光学及辐射与原子相互作用模型 2 1 量子光学基本知识 量子光学是用辐射的量子理论来研究光的产生、检测、传输以及光与物质 的相互作用。光的电磁理论建立后，人们在解释光的反射、折射、干涉、衍射 和偏振等与光的传播有关的现象时，光的波动理论取得了完全的成功。但是， 在解释黑体辐射规律和光电效应等涉及光的产生及光与物质相互作用的现象 时，旧的波动理论遇到了无法克服的困难。1 9 0 0 年，m 普朗克在解决黑体辐射 规律问题时，为了从理论上推导出与实际相符甚好的经验公式，他大胆地提出 了与经典概念迥然不同的假设，得到了黑体辐射的普朗克公式，很好地解释了 黑体辐射规律。1 9 0 5 年，a 阿尔伯特爱因斯坦提出了光予假设，成功地解释 了光电效应。阿尔伯特爱因斯坦认为：光子不仅具有能量，而且与普通实物粒 子一样具有质量和动量。1 9 2 3 年，a h 康普顿利用光子与自由电子的弹性碰撞 过程解释了x 射线的散射实验。与此同时，各种光谱仪的普遍使用促进了光谱 学的发展，通过原子光谱来探索原子内部的结构及其发光机制导致了量子力学 的建立。所有这一切为量子光学奠定了基础。2 0 世纪6 0 年代激光的问世大大地 推动了量子光学的发展，在激光理论中建立了半经典理论和全量子理论。半经 典理论把物质看成是遵守量子力学规律的粒子集合体，而激光光场则遵守经典 的麦克斯韦电磁方程组。此理论能较好地解决有关激光与物质相互作用的许多 问题，但不能解释与辐射场量子化有关的现象，例如激光的相干统计性和物质 的自发辐射行为等。在全量子理论中，激光场被看成是量子化的光子群，这种 理论体系能对辐射场的量子涨落现象以及涉及激光与物质相互作用的各种现象 给予严格而全面的描述。对激光的产生机理，包括对自发辐射和受激辐射更详 细的研究，以及对激光的传输、检测和统计性等的研究是目前量子光学的主要 研究课题。 西南交通大学硕士学位论文第4 页 2 1 1 离子阱 图2 1 离子阱 离子阱是各种类型量子计算机方案的重要候选者如图2 一l 所示的四柱电极 构成的电磁阱中( 未按照比例) 画出了四个被束缚的离子处于四根柱形电极产 生的势场的中心。该设备通常被置于高度真空中( 约为1 0 4 用) ，离子是从附近 的炉中载入的。电极的末端施加与中部不同的偏置电压虬，使得在轴向被沿着 z 轴的静电势丸- k u 0 【z 2 一0 2 + y 2 ) 1 2 】所约束( k 是几何参数) 。为实现对离子 的约束，四个电极中的两个接地，而另外的两个电极则由产生射频( r f ) 办一( k c o s q ，+ 【，) 【1 + 0 2 - y 2 ) r 2 a 的高频振荡电压驱动( r 是几何参数) ， 电极各段之间的耦合是电容性的，所以r f 位势在各段上保持相同。虹和办， 经过平均时间( 在q ，) 之后，产生x , y , z 方向的谐振势能。典型的情况是使 西南交通大学硕士学位论文第5 页 q ，q ，) 哆，以保证离子都沿着z 轴排列。当离子的数量很多的时候，离子的 几何配置会相当复杂，可能会排成折线或者其它的形式。但是，我们只关心排 成线状的几个被束缚离子的简单情形。 2 1 2 边带冷却 为了使离子冷却到运动的基态，可以使用边带冷却的方法。我们假设0 和1 是两个电子能级，n 和m 是表示离子运动状态的声子能级，激光被调整到具有比 电子跃迁少一个声子的能量，比如从i o ，3 ) 状态跃迁至u i l 2 ) 状态。然后原子白发 地衰变为较低能量的。状态，随机地( 以基本相同的概率) 进入1 0 ，1 ) 、1 0 ，2 ) 或 io ，3 ) 状态。注意激光实际上引起所有i o ，以) 到1 1 , n 一1 ) 的跃迁，因为这些跃迁的 能量相同，然而，这个过程不影响f o ，0 ) 态，并且原子最终会停留在这个状态嘲。 2 1 3 量子计算机 量子计算机是遵循量子力学规律进行高速数学和逻辑运算、存储及处理量 子信息的物理装置。当某个装置处理和计算的是量子信息，运行的是量子算法 时，它就是量子计算机。量子计算机的概念源于对可逆计算机的研究。而研究 可逆计算机的目的是为了解决计算机中的能耗问题。 2 0 世纪6 0 年代至7 0 年代，人们发现能耗会导致经典计算机中的芯片发热， 极大地影响了芯片的集成度，从而限制了计算机的运行速度。能耗来源于计算 过程中的不可逆操作。那么，是否计算过程必须要用不可逆操作才能完成呢? 问题的答案是：所有经典计算机都可以找到一种对应的可逆计算机，而且不影 响运算能力。与经典计算机不同，量子计算机可以做任意的幺正变换，在得到 输出态后，进行测量得出计算结果。因此，量子计算对经典计算作了极大的扩 充，在数学形式上，经典计算可看作是一类特殊的量子计算。量子计算机对每 一个叠加分量进行变换，所有这些变换同时完成，并按一定的概率幅叠加起来， 给出结果，这种计算称作量子并行计算。除了进行并行计算外，量子计算机的 另一重要用途是模拟量子系统，这项工作是经典计算机无法胜任的。无论是量 子并行计算还是量子模拟计算，本质上都是利用了量子相干性。遗憾的是，在 西南交通大学硕士学位论文第6 页 实际系统中量子相干性很难保持。在量子计算机中，量子比特不是一个孤立的 系统，它会与外部环境发生相互作用，导致量子相干性的衰减，即退相干。因 此，要使量子计算成为现实，一个核心问题就是克服退相干。而量子编码是迄 今发现的克服退相干最有效的方法。主要的几种量子编码方案是：量子纠错码、 量子避错码和量子防错码。量子纠错码是经典纠错码的类比，是目前研究的最 多的一类编码，其优点为适用范围广， 没有真正意义上的量子计算机。但是， 缺点是效率不高。迄今为止，世界上还 世界各地的许多实验室正在以巨大的热 情追寻着这个梦想。如何实现量子计算，方案并不少，问题是在实验上实现对 微观量子态的操纵确实太困难了。目前已经提出的方案主要利用了原子和光腔 相互作用、冷阱束缚离子、电子或核自旋共振、量子点操纵、超导量子干涉等。 现在还很难说哪一种方案更有前景，只是量子点方案和超导约瑟夫森结方案更 适合集成化和小型化。将来也许现有的方案都派不上用场，最后脱颖而出的是 一种全新的设计，而这种新设计又是以某种新材料为基础，就像半导体材料对 于电子计算机一样。研究量子计算机的目的不是要用它来取代现有的计算机。 量子计算机使计算的概念焕然一新，这是量子计算机与其他计算机如光计算机 和生物计算机等的不同之处。量子计算机的作用远不止是解决一些经典计算机 无法解决的问题。 2 2 辐射与原子的相互作用模型 2 2 1 二能级原子 实际原子的能谱结构都是比较复杂的，例如自然界最简单的氢原子，它的 本征频谱就是由一组束缚分离谱和一连续谱组成，其大部分能级都是简并的。 所以，精确讨论多原子系与光场的相互作用是不可能的，即使讨论一个原子与 光场的相互作用也难于给出精确的解释，通常需要借助某些假设。电磁场能够 诱导原子不同本征态之间的许多跃迁，然而，最可能的跃迁是原子本征频率与 光场频率近似相等的跃迁，所以最自然的假设是令原子只具有两个非简并的能 级e 和t ，称之为二能级原子。二能级原子的本征跃迁频率为， w o ；( e e ) h ，当他们与频率为一的单模辐射场发生作用的时候就导致 西南交通大学硕士学位论文第7 页 共振跃迁。显然，二能级原子是一个实际原子的理想模型，如同质点的假设在 经典力学中具有的重要性一样，宅在研究光与物质相互作用的理论中起着很重 要的作用。从概念上说，二能级原子与磁场中的自旋为1 2 的粒子属于同一类 粒子，所以我们有时也称他们为自旋为1 2 的赝自旋粒子m 。 2 2 2 狄克模型 在d i r a c 的辐射理论中，把一个原子以及与这个原子相互作用的辐射场合 在一起看成一个系统。系统的能量由如下三部分组成：( a ) 原子单独存在时的 能量；( b ) 辐射场单独存在时的能量；( c ) 原子和辐射场之间的小的耦合能量。 显然，要使原子和辐射场互相影响必须有相互作用项。f e r m i 曾经提出过一 个非常简单的，但是可以说明这种相互作用的模型。我们知道共振频率为的 摆和共振频率为崛振动着的弦。在这里，摆相当于原子，而弦相当于辐射场。 当他们之间没有耦合的时候，他们就独立运动，其能量等于摆的能量与弦的能 量之和。如果我们用无质量的弹性细线把二者连接起来，能量就可以在这两个 系统之间传递。如果t = 0 时弦在振动而摆是静止的，那么经过时间t 后，有一 些能量会传递给摆。如果二者的频率相同，就会出现能量的完全传递。这相当 于原子把辐射吸收了。 在相反的过程中，即开始时摆处于激发状态，而弦处于静止状态，如果弦 和摆的共振频率相同，就会发生摆的能量完全传递给弦的情况，这相当于原子 发出辐射。 下面，我们将给出符合上述机械模型的在辐射场中的单电子原子的非相对 论哈密顿量瞄l 。 由文献 3 3 3 4 可知，假设原子仅有一个处于中心位势以r ) 中，而且质量 为m 、电荷为e 的电子( 如氢原子) ，电子的动量p 。如果这个原子与由矢势4 ( ，f ) 描述的辐射场相互作用，那么描述系统的哈密顿量可以写为： 1 h - ( p 一已4 c ) 2 + y ( r ) + 日，1 h - + h ，+ 月j ， ( 2 1 ) j n 其中原子的哈密顿量为： ( 2 2 ) 西南交通大学硕士学位论文第8 页 也= q 印 ( 2 3 ) j 而原子与场相互作用的哈密顿量为： h i ；一+ 硒+ 去c ) 2 ( 2 4 ) ；一：( j m + + ：l ( 鲥c ) 2 ( 2 4 ) 拥cg n 上面公式中的第二项含有e 2 ，与前面的一项相比非常小，而且它表征的是 不同辐射振子之间通过电子与场的耦合而发生的相互作用，这导致双光子跃迁 过程，作为近似可以略去这一相对微弱的项，于是： h i 一一= 二一( p 4 + 彳p ) ， ( 2 5 ) 算符： - 善屯， j j e a + a ：，e 4 ) 在偶极近似( 即在处理原子与场相互作用的时候， 况下，原子与场相互作用的哈密顿量简化为： 西，一一三- ( o ) 户， m c 此时， ( 2 - 6 ) 略去原子的线度) 的情 ( 2 - 7 ) 五( 0 ) 。善 ，吒+ 五：) ， 2 8 一簧) l ，2 气 ( 2 - 。) 在薛定谔方程中，原子系统的能量本征方程为： 疗。i 以) 一e i 一) e 的本征态 i n ) 构成一组完备的基矢， 也一e 州n i 如果我们引进一组广义的原子算符： 仃肺= l n ) ( 槐i ， ( 2 - 1 0 ) 因此原子的哈密顿算符可以表示为： ( 2 一1 1 ) ( 2 1 2 ) 西南交通大学硕士学位论文第9 页 则： h a t e ， 口k 满足下面的对易关系： 【，】。6 皿一屯 对于二能级原子，原子算符具有以下形式： 。h 一( ：) ，。b 。( ：) ，吒- 2 ( ：) ，口z 。( ：) 如果引进二能级原子的赝自旋算符： - 忆一吼。) 2 ， 只一吒。， s 一- o 1 2 它们遵循下面的对易关系： 【芝，& 】- - s , ，【s + ，卜2 s ， 【，& 】一，【s + ，】+ 一叉+ 只一i 那么，我们可以将二能级原子的哈密顿量表示为： ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) 曹一e q l + e + 0 2 2 一壳( o 毫一q 1 ) 2 = h c 0 0 s z ， ( 2 2 1 ) 其中， e + e 一0 氟一e 。一e 二能级原子核外电子的动量算符可以写为： p 一( + l e i - s + + ( - l e i + ) s 一 注意到在海森伯表象中： 丢，一磊1 【r ，日。】= 去( 坍。一日。r ) 一p ，脚， 所以，我们有： ( + i p 卜) ；i l m ( t 一丘) ( + i r i 一) 一气t m 一o o “l e r i - ， 疗，把 ( 一i p i + ) ：t m = 一m o ( 一i e r i + ) ( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) ( 2 - 2 6 ) ( 2 2 7 ) 显然，“l e r | - ) 是原子的偶矩阵元，一般说来，它是复量，如果令其满足： 西南交通大学硕士学位论文第1 0 页 ( + i e r l 一) t i d ， ( 2 2 8 ) d 为实矢量，则二能级原子核外电子的动量算符由原子赝自旋算符表示的形式 是： 声。一r a m 。d ( s + + s 一) ， ( 2 2 9 ) 从而，二能级原子与辐射场相互作用的总的哈密顿量可以写为： 曹z 乏 q d ：五。+ h e o o s , + ；气 。+ x s + s 一) ， ( 2 3 0 ) 为耦合常数： & - 胃2 z h 1 ，2 m o o e k , ( 1 1 2 ) ( 2 - 3 1 ) 在旋波近似( 即略去不保持系统能量守恒的项) 的情况下，系统的哈密顿 量成为： 叠= 壳是+ 摹6 五：存。+ ；气q 。+ 五：x 墨+ s 一) ( 2 - 3 2 ) 2 2 3j - c 模型 由文献 3 5 3 6 可知，在旋波近似的情况下，系统的哈密顿量公式( 2 3 2 ) 是经常应用的典型的哈密顿量，也被称为描述原予与辐射场相互作用的狄克哈 密顿量。但是它所描写的二能级原子与多模辐射场相互作用系统，其随时间变 化的规律不易精确求出。下面我们介绍一种更为简单而且易于求解的模型，即 j - c 模型1 3 7 1 ，它是由j a y n e s 和c u m m i n g s 在讨论微波激射器( m a s e r ) 时提出的， 由单个二能级原子( 或分子) 与一个单模量子化的光场组成的相互作用系统的 理想模型。由于它只需作旋波近似就可以精确求解，因此不仅在量子光学中， 两且在激光物理、核磁共振和量子场论等许多问题中都常常被采用。由( 2 - 3 2 ) 式可以得到j c 模型在旋波近似下的哈密顿量为： 疗一是+ 吐城+ 五+ s ( 五+ 蔓+ a s + ) ， ( 2 3 3 ) a + 、五分别为频率为的单模光场的产生算符和湮灭算符，s z 和蔓是描述本征 跃迁频率为的二能级原子行为的赝自旋算符，f 为原子一光场的耦合常数，它 西南交通大学硕士学位论文第1 1 页 反映原子与光场相互作用的强度。而且，为了简单起见这里取自然单位 一1 。 显然，上式右面的第一项对应裸原子的能量，第二项对应光场的能量，第三项 表征光场与原子的相互作用能量v ： v t ( a + s 一+ a s + ) ( 2 - 3 4 ) 这种相互作用的过程体现为原子跃迁时伴随发射和吸收光子的过程，把( 2 3 3 ) 式分解为： 疗一吃+ y ， ( 2 3 5 ) 式中吃为裸原子与光场耦合情况的能量算符：一 疗一啦+ w a + a ( 2 3 6 ) 由上面的推导可以看出，吃和v 之间满足： 【虎，v - o ， ( 2 3 7 ) 因此吃和v 之间可以任意改变顺序。 当原子和光场之间没有耦合时，我们有完备的基矢集，它是辐射场粒子数 态矢集 i 忍) 和原子能量本征矢 i + ) ，卜) ( 或 | 2 ) ，i 聃) 的直积，利用此完备的 基矢集可以把原子一光场偶合系统的任意态矢展开。我们看到： 庙j i ， ) 一( 是+ 硝+ 五) i ，弹) 一( 绷- - - 1 2 ) i ，厅) ( 2 3 8 ) 式中l ，玎) 描述辐射场具有n 个光子而且处于本征态i ) 。显然，对应于本正态 矢l t ，行) ，h o 有本征值( 硼2 ) 。因此，雷。在此表象中是对角化的。而且还 可以看到，一时，反除了基态能级卜，0 ) 是单层以外，其它的能级均为双 层简并。但是，当a w t 甜一，e 0 的时候，基态能级| - ，0 ) 仍然是单层，其它能 级则为相距m 的双层能级，此时简并被解除。我们可以看出l t i n ) 不是相互作 用哈密顿量v 的本征态，但因为吃和v 对易，我们可以通过选择也的本征态 西南交通大学硕士学位论文第1 2 页 矢的线性组合而找到二者都对角化的表象。 为此，先把疗在基矢集 i t ，”) 构成的表象中的矩阵表示写出来，然后再对 其进行对角化。由矩阵元( + 甩i 詹i + ，r ) 一o , l 2 , 。) 可以知道，在每一个不 为零的子空间 i 一，n + 1 ) ，i + ，厅) 中，疗的矩阵表示为： 露。f 嬲型2 i f + 1 其本征矢可以由卜，押+ 1 ) 和i + ，撑) 的线性叠加为： l “) - s i n o , + l l 一，捍+ 1 ) + c o s o + l i + ，厅) i s m 吃“i 一+ ， ：】+ a 搭吃“i n ，【：】 其归一化条件是吃+ ，满足： 由本征值方程 可以得到： 其解为： s i n 2 吃+ l + c o s 2 - 1 露i “。) = 玩+ 。l u n 。 ， ( 2 3 9 ) ( 2 - 4 0 ) ( 2 - 4 1 ) ( 2 - 4 2 ) i 棚+ 。厮1 2 - + 1 ) - 8 4 z 7 i 1 2 - e , , 。| l o 浯4 3 ) i 甩+ 1 n h + 1 ) 一 “l e ：li 棚+ 1 2 “ 相应的本征态为： 其中： ( 2 - 4 4 ) 二1 ) 一s 吃+ 1i + ，h ) - + s i n s 。+ li 一， + 1 ) ， ( 2 4 5 ) 盘 西南交通大学硕士学位论文第1 3 页 这里吃。满足： a + l 一 w i - w o + a 培吃1 - 寿 ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) 对于基态，疗的本征能量为： g o - w o 2 ， ( 2 4 8 ) 与之相应的本征态矢为： k ) - i 一，0 ) ( 2 4 9 ) 这样，我们就完全确定了哈密顿量日的本征能量和本征态矢，从而实现了将疗 对角化。 显然，由上面的推导可以知道，在共振的情况 一c o o ) 下，原来的日。中能 量的简并因原子一光场的相互作用被解除。我们把此时由裸原子加相互作用构成 的原子系统称为“修饰原子”，以区别未加相互作用场以前的原子。并且由前面 的推导可以知道，激发态中被拉开的能级间距只+ 。与原子一光场耦合常数s 有关， 而且随着光子数n 的增加而增加。第一激发态为： i “i ) 一c o s o , i 一，以) 一s i n b i + ，0 ， ( 2 5 0 ) 它的能量为： e i o o 2 - 一般的情况下有e ot 耳，即： - c o o 2 e o 2 - a l ， 即： + c o o 2 a l ， 因而： ( + ) 2 ( 一) 2 + 4 f 2 ， ( 2 - 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 - 5 3 ) 西南交通大学硕士学位论文第1 4 页 即耦合常数的值满足： 2 伽 ( 2 5 5 ) 此时原子一光场的耦合系统的基态能量仍然为磊，基态仍然为卜，o ) 。但是， 如果裸原子与场的耦合极强，即很大，而很小，那么第一激发态将成为耦 合系统的新的基态，新基态的能量耳将小于真空态| - ，0 ) 的能量。而且，在n 大于1 ，s 非常大的情况下，甚至还可能出现鬈小于真空态能量毛的情况。可 见，在强光场和强耦合的条件下，基态的能量具有不稳定性。现代的理论研究 表明，这种旧基态能的不稳定性，是形成某些新辐射相位跃迁的原因。 西南交通大学硕士学位论文第1 5 页 第3 章囚禁离子系统的状态演化 3 1 哈密顿量的推导 由文献 1 6 可知，我们可以通过分别调节两束激光到第一低的和高的振动 边带对囚禁的重铬酸盐离子的激发实现囚禁离子运动的猫态1 3 s , “”i 。 一个具有谐振势并被两束激光调节到第一低能级和高的振动边带驱动的囚 禁离子，在旋波近似的情况下系统的h a m i l t o n i a n 为： h - 诺+ 五+ 芝+ 【a 矿 ，t ) s + + h c 】， ( 3 1 ) 式中前二项分别代表外部振动和二能级原子的哈密顿量，第三项是相互作用的 哈密顿量。其中： 。1 ，五+ 、五是振动模式的产生、湮灭算符。雪+ 、j 一、s z 是 上升、下降、反转算符，v 是振动频率，、a 分别是跃迁频率和偶极子矩阵 元。e + 0 ，f ) 是经典驱动场的正频部分。且： + ( x ，f ) l 点；，一h 斗叫，。印+ 1 + e 一“h ，b + 1 ， ( 3 2 ) 局、瞻、毛g - 1 2 ) 分别是峰值、位相、波矢位置算符x 可以写为： 厂- x 。j 五 + 五+ ) ( m 为囚禁离子的质量 ( 3 3 由( 3 1 ) ( 3 - 2 ) 可得： 曹一诺+ 五+ 受+ “( 毛p 4 ”y 却+ 1 + 印娟砷印城1 描+ + 日c ( 3 4 ) 为方便，先取上式中 e + = 印。“1 ”却圳 ( 3 5 ) 把h 变换到旋转坐标系：令w e 2 - v ，那么在旋转坐标系中： - l i m 西南交通大学硕士学位论文第1 6 页 裔。w + 沏一i h w + 一a w o t 一缈+ ( 论+ a + n 拶：) 缈+ + a 即叫q w ，州d h i j + + h c 一访形+ 詈 = 惦? + 詈+ q ，杪+ j + 耽。眠q 1 p h 1 + h c ( q - - a e l ) 撕一压胤。舭利用关弑 可得： 所以， 矿：c r + e ” n 。o + e ( 3 - 6 ) ( 3 - 7 ) 矸7 + + 矸r 。j + e 。 w ，( 3 1 8 ) 毫- 五+ 五+ 心+ + q l j + p 鲫u 卜蚺+ c ( 3 9 ) 再将日，变换到相互作用表象，令： 那么： 囊e 瘟 叠。一叠自。叠一痃o x 硅， i ：1 0 一佰+ 五+ 话+ 因为j 与f l o 对易，而且： 所以； 一澶+ 堡一叠e 。ot ” 丘= 萱+ 【q ，j + p 研州+ 嘲谚 。e 甜j + e 埘+ ( “+ ) 嘲e 删+ 4 q l ( 3 - 1 0 ) ( 3 - 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) 西南交通大学硕士学位论文第1 7 页 因为： e 腑+ j + b m p 。j + ， ( 3 1 5 ) 又由 e 。( 。+ ， ，五+ 弘。p + 。， “，五+ 矿) ， ( 3 1 6 ) 得： 矿西出e 衍忙+ 矿卜啦p 植+ 盘- 矿( ；r 。柚，卜螗( 3 - 1 7 ) 所以： 研- q l 暖+ e ”矽渖+ + 。p 蛐+ 日c 】 ( 3 1 8 ) 由 m ，i a ，口】。【口，m ，口】。o 时，e a + m 。e 。e 。e + 扣朋，得： 矽陋* ，) 。g 喇+ m e 蛳m e 争卸f “硝伊1 ( 3 - 1 9 ) 其中： f 7 4 e 一衍，纫口e 即】暑i t l a e 一6 却五+ e 衍一由7 五+ e 耐由? 占e 砌1 蟹2 【五，占+ 】- - - 叮2 ( 3 2 0 ) 所以： 硅；q 1 【j + e ”嘲e 申p e 蚺“p 1 2 1 2 】 ( 3 2 1 ) 展开为级数形式以后得： 和f 伊一7 秀譬缈，耋警矿门净。， _ q 1 s e c h 。薹- - - - 籍州娩叫一) + h c 】 令： vtm - n w ，( 3 2 3 ) 得： 西南交通大学硕士学位论文第1 8 页 毫咄妒砸 萎曩篙刚川疵1 同理，可以推得e + o ，t ) 的后半部分。所以： 如e 彳，2 羹轰篙脚呜啤啦计1 那+ + 腿 q ，q ：是拉比频率，蛾，晚是激光的相位。 3 。2l d a 下系统状态的演化 3 2 1l d a 下系统的时间演化算符 在l d a 下( 即在吁“l 的情况下) 。我们可以将系统的哈密顿量即上面公式的 f i , 展开到叩的一次项，则疗；可以简化为： 硅- 坶( q ，一吆+ q 尹啦五+ 必+ + c 一 ( 3 2 6 ) 如果取q ，z q 2 一q ，畹- o 晚一石，那么： z t - f g ( a + 一五必+ + 日c - 堙( 五+ 一二x j + + j 一) ， ( 3 2 7 ) 其中： g - r e - ”2 7 2 q ( 3 2 8 ) 定义厄密算符： 6 一- f g + 一五) ，( 3 - 2 9 ) 则： 反。9 6 岱+ + j 一) ，( 3 - 3 0 ) 其中， n ，( 3 - 3 1 ) 0 0 i ) 幻 筋 屯 0 西南交通大学硕士学位论文第1 9 页 “( c s s z ， 假设系统初始处在i o ) i g ) 和l0 ) l e ) 的叠加态，其中i g ) 、i p ) 是原子的基态 和激发态，i o ) 是真空态，且i g ) 。( ：) 、i e ) 。( ：) 。通过求解相互作用表象中的 薛定谔方程可以得到l d a 情况下系统状态的演化算符，相互作用表象中的薛定 谔方程为i 1 1 ： 昙i l 毫1 1 i ，( f ) ) ( 3 - 3 3 ) 今： 一王，c 。) 一r - l 。，i g ，+ r ：i 。，i e ，。n ( 1 昌) + ，：( i 宇) = ( z ：暑) ， c 。一。a ， 可以得到： 所以： l l ，( f ) ) l e l ( t ) l o l g ) + c j o ) l 。 i 。2 ( i c c l = o c o ) i l 。o ， j ， ( 3 3 5 ) r 面o 。( c q = ，i = 0 ，譬) ( 暑嚣；吕) ， c s s 。， f a ( f ) io ) a 9 6 q ( o i o ) ，( 3 - 3 7 ) f c z ( f ) io ) 一g o c 2 ( f ) io ) ( 3 3 8 ) 求解后得到： g q ) l o ) 一r i c o s ( g & ) 一i y 2s i n ( g t g t ) c 2 ( o i o ) 一y 2 c o s ( g b t ) 一i y l s i n ( g o t ) ( 3 3 9 ) 将时间演化算符写成矩阵形式： 扩口) ；fc o s ( g o t ) - is i n ( g o t ) ) ( 3 4 0 ) i - i s i n ( g o t )c o s ( g & ) ， 至此我们求得l d a 下系统随时问的演化算符。 西南交通大学硕士学位论文第2 0 页 3 2 2l d a 下波函数的级数形式 假定系统初始处于状态i o ，lg ，。经过相互作用时间t 以后，系统就会处于 纠缠态： lo ) i g ) 一c o s ( g o t ) i o ) l g ) 一i s i n ( g o t ) l o ) l g ) ( 3 4 1 ) 如果我们此时探测离子的内部态，发现离子处于基态i g ) ，则振动运动就坍缩 到： i 妒，) 。- 以e o s ( g & ) i o ) ， ( 3 4 2 ) 其中，以是归一化系数由三角函数的展开式： 眦。荟( - 驴南( 3 - 4 3 ) 得。 呲- 以薹( 一驴嫂学i o ) ( 3 - 4 4 ) 因为： ( - i ) “一( 一1 ) “【( f ) 2 r = ( 一1 y ， ( 3 4 5 ) 所以偶相干态的级数表示形式可以写为： 帆一也薹避毪笋塑| 0 ) ( 3 - 4 6 ) 令： y 一( 五+ 一a ) ， ( 3 4 7 ) 则由： 矿一拌1 ) ， ( 3 4 8 ) m ) 一南卜1 ) ， ( 3 _ 4 ” 可以得到： y o io ) i i o ) 一风，io ) ， ( 3 5 0 ) 西南交通大学硕士学位论文第2 1 页 y 1 io ) 4 1 ) - 4 。1 1 ) ， y 2 i o ) - b o 。, i l l 2 ) 一玩。i o ) t 易。1 2 ) 一8 。i o ) ， ( 3 5