（应用数学专业论文）具有多项式衰减面具的细分格式.pdf

摘要 细分方程是小波分析中的核心方程，多尺度分析在小波分析中举足轻重，通 过多尺度分析可以构造好的小波，而细分方程的解如果有好的性质并再加上其他 的条件就可以构造多尺度分析，从而构造了小波，对研究起着至关重要的作用因 此，细分方程既然具有如此重要的地位，那么对它的工作则是不容忽视的本文的 主要研究成果也就是围绕这细分方程来展开的 本文主要研究如下形式的向量细分方程： 妒( z ) = ：a ( a ) 咖( m z q ) ，z 珏r ， a z 其中向量函数咖= ( ，办) r 属于( l 2 ( r 8 ) ) ”，a ：= ( o ( q ) ) 口即是一个多项式 衰减的r r 矩阵序列，称为细分面具，m 是一个sxs 整数矩阵，并且满足 l i mm 哪= 0 ，称为整数扩张矩阵 与面具a 相关的c a s c a d e 算子如下定义： q 。，( z ) ：= 芝：a ( a ) f ( m x a ) ，z r ，= ( ，r ) t ( l 2 ( ) ) 7 n z 迭代格式( q ：，) 惰1 , 2 ，被称为向量c a s c a d e 算法面具是紧支集的细分格式收敛 性的研究的理论体系至今已经很完美，它在证明的过程中主要依靠了算予的联合 谱半径；而在面具是非紧支集的细分格式收敛性的研究上，却只能采用泛函分析 理论中紧算子的性质本文的主要研究成果包括以下几个方面： ( 1 ) 在提出的限定的b a n a c h 空间上，当空间是一维和高维时，分别讨论了转 移算子瓦的性质：是有界的且是紧的算子，并且死限制在此空间上的谱半径是大 于等于1 ( 2 ) 当面具是多项式衰减时，分别讨论了一维和高维向量细分格式三2 收敛的 充要条件；并且当r = 1 时，从初始函数的平移稳定性方面给出了细分格式上，2 收 敛的充分条件 ( 3 ) 当面具是多项式衰减时，对于非向量r = l 的情形，分别刻画了一维和高 维时细分方程解的光滑性，细分函数是属于某个s o b o l e v 空间 关键词：细分格式，非紧支集面具，细分方程，转移算子 a b s t r a c t r e f i n e m e n te q u a t i o ni st h ek e r n e lf u n c t i o ni nw a v e l e ta n a l y s i s ，a n dm r ap l a y s i m p o r t a n tr o l e si nw a v e l e t i ft h es o l u t i o no ft h er e f i n e m e n te q u a t i o nh a sg o o d p r o p e r t i e sa n dw i t ho t h e rc o n d i t i o n s ，w ec a l lc o n s t r u c tm r a s i n c ew a v e l e tc a nb e c o n s t r u c t e dv i am r a ，t h e nw ec o n s t r u c t e dw a v e l e t t h e r e f o r e ，r e f i n e m e n te q u a t i o n i ss oi m p o r t a n tt h a tc a p r i tb ei g n o r e d t l l em a i nc o n t r i b u t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o n a r eb a s e do nt h er e f i n e m e n te q u a t i o n i nt h i sp a p e rw ei n v e s t i g a t et h em u l t i p l ev e c t o rr e f i n e m e n te q u a t i o n so ft h e f o r m ： 妒( z ) = o ( q ) 妒( m z 一口) ，z ， a z 。 w h e r et h ev e c t o ro ff u n c t i o n s = ( 咖l ，拆) ti si n ( l 2 ( 瞅) ) ，a ：= ( o ( q ) ) a z i sa p o l y n o m i a l l yd e c a y i n gs e q u e n c eo f rxrm a t r i c e sc a l l e dr e f i n e m e n tm a s ka n dmi s a n8xsi n t e g e rm a t r i xs u c ht h a tl i i n n m n = 0 a s s o c i a t e dw i t ht h em a s kai sac a s c a d eo p e r a t o ro n ( l 2 ( r 8 ) ) g i v e nb y q 。，( z ) ：= a ( a ) f ( m x a ) ，z r 8 ，= ( ， ) t ( l 2 ( 群) ) 7 a e z 。 t h ei t e r a t i v es c h e m e ( q a f ) 佶：l 2 ，i sc a l l e dv e c t o rc a s c a d ea l g o r i t h m t h et h e o r e t i c a ls y s t e mo ft h ec o n v e r g e n c eo ft h es u b d i v i s i o ns c h e m e sw i t ht h e f i n i t e l ys u p p o r t e dm a s ki sv e r yp e r f e c ts of a r ，i nt h ep r o c e s so ft h ep r o o f ，i tm a i n l y u t i l i z et h ej o i n ts p e c t r a lr a d i u so ft h eo p e r a t o r s b u ti nt h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h e c o n v e r g e n c eo ft h es u b d i v i s i o ns c h e m e sw i t ht h ei n f i n i t e l ys u p p o r t e dm a s k ，w ec a n o n l yu s et h ep r o p e r t i e so ft h ec o m p a c to p e r a t o r t h em a i nc o n t r i b u t i o no ft h i s d i s s e r t a t i o na r es u m m a x i z e da sf o l l o w s ： f i r s t l y , s o m ep r o p e r t i e so ft h et r a n s i t i o no p e r a t o rr e s t r i c t e dt oac e r t a i nb a n a c h s p a c ea r ed i s c u s s e d ，i t sab o u n d e da n dc o m p a c to p e r a t o r ，a n dt h es p e c t r a lr a d i u s o ft h et r a n s i t i o no p e r a t o rr e s t r i c t e dt ot h es p a c ei sn ol e s st h a n1 s e c o n d l y , w h e nt h em a s ki sap o l y n o m i a l l yd e c a y i n gs e q u e n c eo fr rn m t r i c e s w ec h a r a c t e r i z et h el 2 一c o n v e r g e n c eo fav e c t o rs u b d i v i s i o ns c h e m ew i t hm a s ka v v l b e i n gap o l y n o m i a l l yd e c a y i n gs e q u e n c ea n dag e n e r a ld i l a t i o nm a t r i xm f o rt h e c a s er = 1 w eg i v et h es u f f i c i e n c yc o n d i t i o no ft h el 2 - c o n v e r g e n c eo ft h es u b d i v i s i o n s c h e m ew h e nt h es h i r so ft h ei n i t i a lf u n c t i o na r es t a b l e t h i r d l y , f o rt h ec a s er = 1 - w ec h a r a c t e r i z et h es m o o t h n e s so fs o l u t i o n so f r e f i n e m e n te q u a t i o n ，i tl i e si ns o m es o b o l e vs p a c e k e y w o r d s s u b d i v i s i o ns c h e m e s ，i n f i n i t er e f i n e m e n tm a s k ，r e f i n a b l ef u n c t i o n ， t r a n s i t i o no p e r a t o r 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得逝姿盘堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：j 裔雅石j a 签字同期： 叩年6 月争1 ：t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解澎姿盘堂有权保留并向国家有关部门或机构送交本 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权逝鎏盘堂可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 掩劫a 签字日期： 汐q c 7 年6 月垆1 ：4 f 导师签名： 蓼秀? 签字日期：z 唧年6 月z - e t 致谢 值此论文完成之际，谨在此向多年来给予我关心和帮助的老师，同学，朋友和 家人表示衷心的感谢! 我衷心地感谢导师李松教授，他有着严谨的治学态度，为人正直，知识渊博， 在学习上给了我很大的帮助，悉心的指导我，使我在读研的学习期间有了非常大 的进步，受益匪浅。除此之外，他还在生活上非常的关心我，在我有困难的时候支 持我帮助我，尤其是在我找工作的时候给了我大力的支持李老师对我的影响和 帮助是我一生中巨大的财富 感谢浙江大学的莫群老师在各方面对我给的帮助 感谢浙江大学小波分析方向同学刘志松，王国卵，沈益、苑瑞玲、杨建斌、李 娜、倪凯，孙娟娟、陈伟，康风代、郑榆等，他们在我学习和生活上都给予我很大 的帮助 此外我还要特别感谢我的父母，是他们在精神和物质上，尤其是找工作时给 了我最大的支持，让我没有后顾之忧，可以勇往直前 第一章绪论 1 1引言 小波分析及其应用是在应用数学基础上发展起来的一门新兴学科它的诞生 虽与上世纪前半叶的某些数学发展，例如h a a r 分析与l i t t l e w o o d p a l e y 分析有关， 但直接地，却只能追溯到七十年代。那个时候，a c a l d e r o n 表示定理的发现与对 h a r d y 空间的原子分解与无条件基的大量研究为小波分析的诞生作了理论上的准 备1 9 8 2 年，j o s t r 6 i n b e r g 首先构造出了一个很接近现在称之为小波基的基八 十年代初，许多搞信号分析的工程师们也为小波分析的诞生作出了积极的贡献，例 如j m o r l e t 就在八十年代初最早使用了小波这一名称直到1 9 8 6 年y m e y e r 构造 出了现在称之为m e y e r 基的真正的小波基，以及随后不久s m a l l a t 与y m e y e r 建 立了构造小波基的通用方法即多尺度分析以后，小波分析才形成为一门学科1 9 8 8 年，i d a u b e c h i e s 构造了具有紧支集的光滑小波函数，这是目前全世界应用最广 泛的小波函数；1 9 9 0 年，崔锦泰和王建中构造了基于样条函数的小波函数 小波分析在其诞生后的二十年来得到了飞速的发展它的涉及面之宽广影 响之深远、发展之迅速都是空前的无论在纯数学领域，还是在工程中，它所取得 的成就也令人瞩目由于小波的“自适应性质”和“数学显微镜性质”，使其广泛应 用于基础科学、应用科学尤其是信息科学信号分析的方方面面，比如小波在数学 领域被应用于s o b o l e v 空间，h a r d y 空间和h 6 1 d e r 空间的刻画及某些函数性质的 研究，小波分析在数值分析方向被用来求解微分方程和积分方程特别是在信号 分析中，由于它的局部分析性能优越，因而在数据压缩与边缘检测方面它比现有 的手段更为有效。小波分析凭借其广泛的应用，引起了越来越多科学家的兴趣，现 在也已经有了几本不错的小波专著：例如y m e y e r 出版第一部小波分析系统性专 著小波与算子；崔锦泰出版了小波导论；i d a u b e c h i e s 著有( t e nl e c t u r e s o i lw a v e l e t s ，该著作讲得很详细，既有数学理论又有算法及具体数据，因而这是 一本深受数学工作者与工程技术人员欢迎的小波巨著；s m a l l a t ，提出了多尺度分 析和快速小波算法，著有信号处理的小波导引 为小波分析的发展做出原创性贡献的有五位重量级科学家，他们是m o r l e t ( 提出了小波分析的基本概念) ，g r o s s m a n n ( 建立了伸缩和平移公式，并从物理 l 21 1 引言 上解释了小波概念) m e y e r ( 从数学上建立了小波分析的基本理论体系) m a l l a t ( 提出了多尺度分析和快速小波算法) d a u b e c h i e s ( 建立了f i r 共轭滤波器，给 出了世界上第一个应用效果很佳的小波基) 另外，在小波分析方面做出突出贡 献的国内外学者还有a c o h e n ，r r c o i f m a n ，r d e v o r e ，k g r s c h e n i g ，w l a w t o n ，c a m i c c h e l l i ，a r o n ，l f v i l l e m o e s ，r q j i a ，龙瑞麟( 著有高 维小波分析) ，j z w a n g ，x l s h i ，y w a n g ，b h a n ，d x z h o u ，z w s h e n ，m j l a i ，黄达人，李松，刘和平，彭立中，陈迪荣等。 小波是这样一种函数，满足条件 ，i + i 妒( f ) 1 2 i i - 1 必 ：o ( a ) 咖( 2 z q ) ，z r ，砂l p ( r ) ( 1 1 1 ) o r e z 浙江大学博士学位论文3 显然q 。是如( r ) 上的有界算子。如果，是q 口的不动点，即q 口妒= ，那么妒 满足细分方程 妒( z ) = ：a ( 0 0 ( 2 x 一口) ( 1 1 2 ) 口z 相应地，序列a 被称为细分面具。任意函数满足细分方程就被称为细分函数 如果。是面具满足j z n ( 歹) = 2 ，那么由文献 1 1 ，【1 2 】知，存在唯一的紧支集 分布满足( 0 ) = 1 和( 1 2 ) 。此分布被称为与面具a 有关的细分方程的标准解 细分格式的收敛性是小波理论的基础，在b a n a c h 空间中，细分格式的收敛 在小波分析中是非常重要的内容当细分面具a 是紧支集时，已经构建了几近 完美的理论体系细分格式的l 2 与l p ( 1 p 。o ) 收敛性的研究主要参见文献 ( 4 0 】， 4 4 1 ，【4 7 1 ，【9 0 当非向量时，s t r a n g 和n g u y e n 8 7 】研究了细分格式的三2 收 敛性；l p c o 时，j i a ( 贾荣庆) 4 0 1 ， 5 2 】给出了对细分格式k 收敛性的描 述。对于高维的情况，l a w t o n 等 6 2 】探讨了细分格式在l 2 范数下的收敛性。在 向量情况下，s h e n ( 沈佐伟) 9 0 给出了细分格式收敛性的完全刻画，而j i a ( 贾 荣庆) 【4 4 】则给出了岛时的结论。在s o b o l e v 空间上，h a n ( 韩斌) 【2 0 ，z h o u ( 周定轷) 9 6 和c h e n ( 陈迪荣) 2 】等分另0 研究了细分格式的收敛性同样，细 分函数在s o b o l e v 空间的光滑性也有大量研究具体可参见文献f 2 2 ， 2 4 1 等在 面具是指数衰减或多项式衰减时，细分函数还可以用来构造r i e s z 基( 参考文献 【2 7 】， 2 8 】，【2 9 】) 1 2本文的工作和内容安排 细分格式主要在面具n 为紧支集的情况时做了大量研究但是，在图像处理等 实际应用中，我们就需要找到与非紧支集面具有关的细分方程的解例如，由与非 紧支集面具有关的细分方程生成的带限小波( 参见【3 0 】， 3 2 】，【7 4 1 ，f 7 5 】和【9 1 1 ) 非紧 支集面具在电子工程上又被称为无限脉冲响应滤波器【2 4 1 因为它具有一些好的 特性，所以引起了信号处理和电子工程等方面工作人员的兴趣( f 5 1 ， 7 1 ，【1 1 】， 3 1 1 和 8 0 】) 与非紧支集面具有关的向量细分方程在 8 8 】中由g s t r a n g ，v s t r e a l 和d x z h o u ( 周定轩) 探讨过当面具a 非向量和指数衰减时，c o h e n 和d a u b e c h i e s 5 】5 首次研究了细分方程的解h a n ( 韩斌) 和j i a ( 贾荣庆) 【2 7 1 通过研究非向量 细分格式的收敛性，构造了r i e s z 小波基，j i a ( 贾荣庆) 【3 5 】通过研究向量细分格 式的收敛性构造了紧支集多重双正交小波，其中面具a 是指数衰减多项式衰减 4 1 2 本文的工作和内容安排 的非紧支序列在f 6 4 1 中用来描述有限平移不变空间，这样的序列与特定的b a n a c h 代数密切联系。许多重要的双正交小波也是由具有多项式衰减面具的细分函数构 造的( 2 8 ，2 9 1 ) 本文的主要研究内容是基于已存在的细分方程理论，分别提出了与非紧支集 面具有关的一维和高维向量细分格式在三2 空间收敛的充分必要条件，并给出了证 明：描述了转移算子在特性空间的性质。此外，对于非向量r = 1 的情形，也分别 刻画了一维和高维细分方程解的光滑性比较于理论体系已经基本完美的面具是 紧支集的细分函数的光滑性的研究，面具是非紧支集的细分函数的光滑性的研究 至今还很少。因此，这些理论将会给小波理论和应用提供新的选择。 本文的内容安排如下： 第一章介绍了小波的背景，细分方程的基本概念，背景以及国内外的研究现 状，给出了本文的主要研究内容、创新点 第二章介绍了多尺度分析的概念以及理论并且总结了小波基由多尺度生成的 步骤，具体举例说明了这一步骤，根据已有的理论，描述了与紧支集面具有关的细 分格式在特定b a n a c h 空间的收敛性和光滑性，为后面与非紧支集面具有关的细分 格式的研究奠定了理论基础。 第三章首先介绍了与非紧支集面具有关的细分方程的背景，其次讨论了具有 多项式衰减面具一维向量细分格式的三。空间的收敛性，给出了充要条件及具体证 明，对于非向量的情形，给出了一维时细分格式l 2 空间的收敛性的充分条件，再 次，介绍了非向量时具有多项式衰减面具的一维的细分函数的光滑性，它是属于 某个s o b o l e v 空间 第四章对应于第三章一维时的结论，介绍了具有多项式衰减面具的高维向量 细分格式的l 2 空间的收敛性，给出了充要条件及具体证明，对于非向量的情形， 给出了高维时细分格式l 2 空间的收敛性的充分条件，介绍了非向量时具有多项武 衰减面具的高维的细分函数的光滑性，它也是属于某个s o b o l e v 空间 第二章紧支集细分格式的收敛性和光滑性 2 1多尺度分析的主要理论 我们知道，小波基的构造大都按照一个通用的程序，也就是多尺度分 析( m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s 简记作m r a ) 。它是由s m a l l a t 和y m e y e r 创 造的，下面给出多尺度分析的概念 定y 2 1 ：设 k b z 是空间l 2 ( r ) 的一个闭子空间列， k ) j z 被称为l 2 ( r ) 的一个多尺度分析，如果 巧b z 满足下面四个条件： ( 1 ) 一致单调性c 忙lcy oc c ； ( 2 ) 渐近完全性n 巧= o ) ，uk = 三2 ( r ) ； ( 3 ) 伸缩规则性f ( x ) 巧号，( 2 z ) + 1 ，j z ； ( 4 ) 正交基存在性存在0 ) v o ，使得 妒( z q ) ) 口z 是的标准正交基。 其中妒称为尺度函数，或者称砂生成一个多尺度分析，k 称为逼进空间 下面对定义中的条件说明如下： ( 1 ) - 致单调性说明子空间列 y j b z 是一个嵌套空间序列 ( 2 ) 渐近完全性说明了该嵌套空间列当歹_ 一时，巧一 o ；当歹_ + o o 时，k _ l 2 ( r ) 即随着歹的增大，逼近空间k 可以任意逼近l 2 ( r ) 空问 ( 3 ) 伸缩规则性表明任意逼近空间k 的基底可以由另一逼近空间基底通过 平移和伸缩得到 ( 4 ) 在一般的多尺度分析的定义中，正交基的存在性这一条件可以放宽到r i e s z 基的存在性，因为由r i e s z 基可构造出标准正交基。 关于多尺度分析，有如下结论： 命题2 2 ：设 k 乐z 是一个由尺度函数矽生成的多尺度分析，则对任意j z ， 函数集 奶，a 扛) = 2 ( 2 j x o ) k z 是空间巧的标准正交基 多尺度分析的基本恩想是：当一组闭子空问 k j z 满足定义2 1 的条件时， 存在厶( r ) 上的标准正交基 吻，七；歹，k z ，其中奶，知( z ) = 2 1 妒( 2 j x k ) 对于任 意f l 2 ( r ) ，有 p j + l l = b ，+ 仍，七， ( 2 1 1 ) 5 62 1 多尺度分析的主要理论 弓为f 在 v a 上的正交投影。而且，小波砂有显式的构造。 对于任意j z ，定义为y j 在k + 1 上的正交补，于是有 k + l = y j0 嵋 及 上帆，j k 于是有 l 2 ( r 、= e j e z w j 上式将l 2 ( r ) 分解成一系列相互正交的子空闻w j u z ) ，而且空间w j 继承了 尺度特性，印 ，( z ) w 0 = 争，( 2 z ) i 吗+ 1 ( 2 1 2 ) 式( 2 1 1 ) 可等价地表达为：对于固定的j ， 咖七；k z 构成了嵋上的一组标准 正交基。再根据上面一系列式子可知：整个小波族 奶，k ；j ，k z ) 是l 2 ( 酞) 上的一 个标准正交基。 另外，任意j z ，若 讥，詹；k z ) 是w o 上的一组标准正交基，则式( 2 1 2 ) 保证了 咖，七；k z ，同样也是上的一组标准正交基。因此，仅需构造妒w o ，并使妙( 一k ) 为上的一个标准正交基我们希望妒具有较好的局部性与光滑 性，而这在很大程度上取决于西的局部性与光滑性因此首要的问题在于如何构 造尺度函数西使其具有较好的局部性与光滑性但是有的函数局部性较好但是光 滑性太差，有的函数光滑性较好但是局部性很差，或者取一个局部性和光滑性都 很好的函数又不一定能够满足m r a 定义的要求。所以我们就要提供一个构造尺 度函数较好的方法，此时，细分方程( 又称双尺度方程) 便应运而生 下面由多尺度分析的定义及其性质，我们来研究 托z 以及小波函数 设 y a j z 及咖( z ) y oc ，而 以( 2 z 一口) a z 是的标准正交基，故 有 ( z ) = n ( n ) ( 2 z q ) ( 2 1 3 ) n z 或其f o u r i e r 形式 ( 2 ) = m o ( f ) ( f ) 浙江大学博士学位论文7 其中伽( ) = j 1 。z 口( a ) e 一口，而口f 表示q 和的欧氏内积。我们称此方程 为细分方程( 又称双尺度方程) a 为细分面具。令 矽( z ) = ( 一1 ) ”1 a i l - c r ) 咖( 2 x q ) ( 2 1 。4 ) a z 及奶，。 ) = 2 妒( 汐z q ) ，则 奶，。 a z 是l 2 ( r ) 的标准正交小波基。 由砂( z q ) 的标准正交性，我们容易f 4 至, l ，以2 n 为周期的函数咖 ) = ；口zo ( q ) e 一有以下性质： m o ( ) 1 2 + i m 0 ( - 4 - 丌) 1 2 = 1 同样， ( z a ) 。z 是标准正交系# 专i 参 + 2 k n ) 1 2 三1 i d a u b e c h i e s 在( 小波十讲【1 0 0 】中提出，除了极个别的“病态”小波，每一 种特定意义下的正交小波基均可由一个对应的多尺度分析生成下面举几个常见 的例子来说明 锣j 2 3 ：h a m 小波基的多尺度分析生成对于h a a r 多尺度分析，其h a a r 小波 的构造过程如下： ( 1 ) 给出尺度函数： j l ，0 z 1 ， 10 ，其他 ( 2 ) 计算口( q ) ： 巾) = 2 纰) 硐= 髀嚣1 ( 3 ) 构造小波矽： =去，。一击加，=三l， 这就是所构造的h a a r 小波基 例2 垂m e y e r 小波基的多尺度分析生成 0 z ；， z 1 ， 其他 82 1 多尺度分析的主要理论 设v ( x ) 是c 函数，满足 、f 0 ，z 0 ， v c x ) = i - 1 ，z 1 ， $ c 专，= 曙c 嘉矧一圳，塞主蒿警， 移( 毒) = e 一4 2 瓦刀雨丽( f 2 ) = e - 2 1 5 + 2 7 r ( 2 q + 1 ) ) $ ( 2 ) = e - 2 ( 参( 毒+ 2 7 r ) + 参 一2 7 r ) ) ( 5 2 ) 最后化简得 讯，= 仁：黧耄暑二戮冀 m e y e r 基的优点是有c 性质( 因参( ) 快速下降) 同时快速下降，只要 v ( x ) c o o 综上所述，一个标准正交小波基的构造步骤可归纳如下： ( 1 ) 选择并使之满足 ( a ) 和函有足够好的衰减特性； ( b ) 满足( 2 1 3 ) 和式0 口i 函 + 2 k r ) j 2 p + 0 0 n e ； ( c ) 货d p ( x ) d x 0 ( 若以上条件满足，则可以得到构成一个多尺度分析) ( 2 ) 若有必要，应进行正交化处理 秽( ) = 函( 啡丌腓+ 2 k 霄) 1 2 】- 1 2 詹z 浙江大学博士学位论文 9 ( 3 ) 最后，构造正交小波基 移( ) = e - i 毒2 m 3 ( 2 + 7 r ) 秽( 2 ) 其中 m = 仇。( ) 匠i $ ( + 2 k 丌) 1 2 】1 2 i j ( 2 e + 2 尼丌) | 2 】_ 1 胆 知zk e z 细分方程是小波分析中的核心方程，多尺度分析在小波分析中举足轻重，通 过多尺度分析可以构造好的小波，而细分方程的解如果有好的性质并再加上其他 的条件就可以构造多尺度分析，从而构造了小波，对研究起着至关重要的作用。因 此，细分方程既然具有如此重要的地位，那么对它的工作则是不容忽视的为此， 在国内外有非常多的数学同行对于细分函数和细分格式的收敛性，光滑性，消失 矩等方面做了大量的研究工作。贾荣庆在这个方面的工作非常出色见参考文献 2 】，【4 】， 5 】，( 9 】， 17 】一 2 5 】，【3 3 】一 5 6 】， 6 1 ， 6 2 1 ， 6 5 】一【7 7 】， 8 1 】，【8 3 ，【8 4 ，【9 0 ，【9 2 ，【9 4 和【9 6 】本文的主要研究成果也就是围绕这细分方程来展开的，其中面具具有多项 式衰减的特性 对图像进行处理是小波分析的一个重要应用图像显然是二维的，因此，我 们需要的是二维小波这样，就把一维小波推广到二维小波但是，在实际应用 中，有时二维小波也是不能达到要求的，所以我们可以将二维小波再推广到高维 小波 高维多尺度分析的定义和一维的类似，在这里就不重复叙述了更多的内容 参见龙瑞麟著的高维小波分析 1 0 2 】 下面介绍尺度函数是向量的多尺度分析，先给出其概念 定义2 5 ：设 巧b z 是空间l 2 ( r ) 的一个闭子空间列， 巧b z 被称为l 2 ( r ) 的一个r 重多尺度分析，如果 v j b e z 满足下面四个条件： ( 1 ) 巧ck + 1 ，歹z ； ( 2 ) n = o ) ，u 巧= 二z ( 酞) ； j e zj z ( 3 ) ，( z ) k 专= 争f ( 2 x ) 巧+ l ，j z ； ( 4 ) 存在r 个函数妒p ) ，( z ) ，咖( z ) ，使得 一口) 诘1 ，2 ，z 是的 p d e s z 基即 = 8 p a n 妒i ( z 一七) 】僦 2 r z 1 0 2 1 多尺度分析的主要理论 存在正常数a 和b ，使得对任意 砖 扛1 2 ， 七z 1 2 ( z ) ，有 a 1 4 1 2 剑0 咖扛一k ) l l ；b 蚓2 ( 2 1 5 1 ) k e zi = 1 k e zi = 1k e zi - - 1 其中。( z ) ，咖。( z ) ，拆( z ) 称为尺度函数，k 称为逼进空间。如果尺度函数 咖1 ( z ) ，锄( z ) ，机 ) 使得它们的整数平移 如( z 一七) 扛- 2 ，r ；南z ) 构成的标准 正交基，则称 巧b z 为l 2 ( r ) 的一个7 重正交多尺度分析 由定义可以看出，向量小波是多小波的特殊情况 若记向量函数咖= 眇 ) ，咖z ( z ) ，办( z ) 】t ，向量砂= ( 砖，砖，砖) 1 ，则 ( 2 1 5 ) 式可以写成 a kl 。2 i l 考也( z k ) l l l b k1 2 2 缸zk e z = 1k e z 下面介绍r 重正交多尺度分析的一些主要性质 设 巧b z 是由尺度函数= 砂1 0 ) ，也( z ) ，拆( z ) 】r 生成的l 2 ( r ) 的一个r 重正交多尺度分析因为砂y ock ，且1 他为上的标准正交基，可得到细分 方程 ( z ) = n ( q ) ( 2 z q ) ( 2 1 6 ) a z 其中n ( q ) 是rxr 矩阵 设是k 在巧+ 1 中的正交补空间，即+ 1 = 巧o ，则可以选择一个有 限支集序列b ：zh c r 7 使得r 个小波函数矽1 ( z ) ，如( z ) ，讧( z ) w o 正交，满 足 妒( z ) = 6 ( 口) 咖( 2 z a ) 若记奶，a 扛) = 2 妒( z a ) ，咖，a 0 ) = 2 妒( 2 j z q ) ，则对于固定的j ， 螃。 p = - ，2 ，r a z 是巧的一组标准正交基， 蠼a ) 舻1 2 粥z 是的一组标准正 交基。整个小波族 蠼。 p ：l ，2 ，r ；, a e z 是l 2 ( r ) 的一组标准正交基 小波拓展到矢量以后，将具备一些比标量小波更好的性质，如同时具有正交 性和对称性、紧支性、消失矩等性质，这些性质在信号处理等诸多领域中的应用都 是十分重要的 浙江大学博士学位论文 2 2 高维向量细分方程 因为具有r 重向量多尺度分析以及高维多尺度分析，那么在此基础上，同样存 在着高维向量细分方程。我们称 ( z ) = o ( o ) 砂( m z q ) ，z r 8 ， ( 2 2 7 ) 为高维向量细分方程，其中o ( a ) 是r r 矩阵，称为细分面具m 是一个s 8 整 数矩阵并且满足l i mm 一= 0 ，称为整数扩张矩阵 n o o 与之对应的定义在( l 2 ( r 8 ) ) 的c a s c a d e 算子由下式给出： q 。，( z ) ：= a ( o l ) f ( m x q ) ，z r ，f = ( ， ) t ( l 2 ( r 3 ) ) 7 ( 2 2 8 ) 口z 。 迭代序列( q ：，) n = l , 2 被称为向量c a s c a d e 算法或细分格式。 对于高维向量细分方程的研究，是研究多小波和高维小波的基础，因为高维 向量细分方程是构造好的尺度函数的核心，尺度函数是m r a 的基础，所以对高维 向量细分函数的研究就显得至关重要了 2 3 细分格式的收敛性 前面已经指出紧支集细分格式的收敛性的研究已经有了完美的理论体系。为 了对比我们的研究与面具紧支集时的不同，我们先列出已有的关于收敛性的结果， 在这里我们讨论形如( 1 1 2 ) 与( 2 2 7 ) 的细分方程，其中函数是未知的，a 为紧 支集序列 由于我们的结果是讨论的向量时的细分函数，所以这里主要介绍向量时的一 些基本的记号和工具 令岛( r 。) 表示所有定义于r 8 上并且p 次方可积函数的线性空间l p ( r 。) 上 的范数表示为 i i l l p ：二( 上i f ( 圳p 如) 纠p ，l ； 令( 岛( 瞅) ) 表示所有的向量函数f = 仇， ) t 满足1 1 1 1 p o o ，其中 r、l i p p ：= l 俐；) ，1 sp 0 0 1 2 2 3 细分格式的收敛性 定义i i 川是i ，i 在r 3 上的本质上确界。 用( l z ，。( r 8 ) ) 7 表示空间( l z ( 酞5 ) ) 中紧支向量函数的全体 傅立叶分析是我们学习中不可缺少的工具在空间( l ，( r s ) ) r 上向量函数的傅 立叶交换定义如下o ，( f ) ：= f ( x ) e 一一d x ，f r 8 ， j r 傅立叶变换可以延伸到( l 2 ( 瞅) ) 7 的函数上类似地，如果c 是刀上复值可加序 列，那么它的傅立叶级数定义为 ：= c ( q ) e 砘一，r 8 q z 5 显然，6 是r 上2 丌周期的连续函数当c 是有限支集时，仑是一个三角多项式。我 们称仑为c 的符号类似地，我们也可以定义向量序列或矩阵序列c 的傅立叶级 数。 令e ( z 5 ) 表示为刃上所有复值序列的线性空间，( 刀) 表示空问粤( z 8 ) 中 紧支序列的全体令粤- ( z 8 ) 表示为满足条件i l u l l t o 。的序列全体，范数i i 1 1 1 定义为i l u l l l ：= e 。z 。l u ( q ) i ，( 刀) 表示为满足条件i l u l l o o 的序列全体， 其中| | 牡| i 是i ”l 在z 8 上的上确界用( z z ( z ) ) 和( 氏( 刃) ) ，分另0 表示满足条 件i i 乱1 1 1 ：= e ；：1i i 0 - o 。和i i i l ，歹= l ，r 向量序列全体，其中 乱= ( 牡1 ，仳，) 丁类似地，我们可以定义( e o ( z 8 ) ) ，( e ( z 8 ) ) ，( e o ( z 8 ) ) 7 x r ， ( e ( z 8 ) ) 蹦和( z 1 ( 刀) ) 麒r 当一维时，如果面具a 是在z 完全可加的r r 矩阵列，对( 2 1 6 ) 两边同时作 用傅立叶变换，可以得到 ( ) = 玎岫( 2 ) ( 等2 ) ，毒r ( 2 3 9 ) 其中 ， 讹( 莓) = 喜o ( a ) e 也一，r 。a e z 显然，m o ( ) 是以2 7 r 为周期的周期函数若参( o ) 0 ，那么，$ ( o ) 是关于矩阵 m o ( 0 ) 以1 为特征值的特征向量。 当i i i , 民a 是紧支集时，令是细分方程( 2 1 6 ) 的解。如果是( l 2 ( r ) ) 7 空间 中紧支的向量函数满足参( o ) 0 并且8 p a n $ ( 2 丌p ) ：卢z ) = c 7 ，在参考文献 浙江大学博士学位论文 1 3 【4 4 】，【7 t 中证明了i 是m o ( o ) 的简单特征值并且咖( o ) 的其他特征值的模都要比1 小。这些条件被称为特征值条件在本文中，我们假设这些条件全部满足。那么， m o ( 0 ) 满足下面的形式： m o ( 0 ) = ( 。1a n l 。i m 。 一o ( 2 3 j 。) 因为j = l ，- ，我们用e j 来定义第j 列r r 单位矩阵。显然有e m o ( o ) = e 和m o ( o ) e x = e 1 假设咖= ( 1 ，西) t 是( l z ( r ) ) 7 上的紧支集向量函数，我们称l ，办的 平移是稳定的，如果存在两个大予零的常数a 和b ，使得 删胚惦j = le t 6 z 。胤一q 忙驯k v 州h a 川以z 铷7 池( 刃) ) r 表示满足条件1 1 a 1 1 。：( e l - 。口舻l ( q ) l 。) 1 2 o o 的所有向量序列的 向量空闻，其中入= ( a l ，) t 在文献 3 8 中证明了，如果一个紧支集函数的 平移在空间l p ( r ) 是稳定的当且仅当对任意的r ，存在一个整数使得 参( + 2 七7 r ) 0 我们称a 满足基本和规则，如果 e a ( 2 a ) = e 。( 2 a 1 ) = e l ( 2 3 1 1 ) n z a e z 假设a ( z l ( z ) ) r r ，令q 口为( l 2 ( r ) ) 7 上的c a s c a d e 算子 q 。o ) = o ( q ) ( 2 z n ) ， z r ， ( 工2 ( 酞) ) 7 ( 2 3 1 2 ) 口z 那么，q 。是( l 2 ( r ) ) 7 上的有界算子 一阶s t r a n g - f i x 条件如下定义 孔( o ) = 1 ，知( 2 7 r p ) = 0 ，v 矽z o 向量时的一阶s t r a n g - f i x 条件如下定义 e 参( o ) = 1 ，e 参( 2 7 r p ) = 0 ，、印z o ) ( 2 3 1 3 ) 1 4 2 3 细分格式的收敛性 应用p o s s i o n 和公式，我们很容易得到( 2 3 1 3 ) 与下面条件等价： e ( 一口) = 1 ( 2 3 1 4 ) n z 我们考虑迭代格式砂n ：= q ：，佗= 1 ，