（应用数学专业论文）含时滞的投资竞争模型稳定性分析.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 稳定是实际系统正常运行的前提，稳定性问题历来是人们研究的一 个重要课题。而时滞是导致系统不稳定的一个重要原因，时滞的存在使 系统的分析变得更加复杂和困难。在经济系统中，时滞同样不可避免， 近年来对含时滞的经济模型稳定性问题的研究成为学术的热点。 本文主要研究了经济中的投资与竞争模型在考虑时滞因素时稳定性 和稳定域的变化情况，并得到了模型稳定需要的充分条件。主要包括以 下几方面内容： 第一章对含时滞的投资与竞争模型的研究背景及意义、研究现状和 研究内容与思路进行了较为全面的介绍和总结。 第二章介绍了稳定性的一些相关概念和以后各章用到的基本定理。 第三章将c o u r n o t b e r t r a n d 竞争模型引入中小企业竞争中，建立了含 两种信息时滞( 竞争对手信息时滞和自身信息时滞) 的企业竞争动力系 统模型，分析两种时滞对模型稳定性的影响，得到了系统稳定的充分条 件。通过理论分析和数值模拟研究时滞量的变化对系统稳定域的影响， 发现随着时滞量的增加和变大，系统不稳定区域逐渐扩大。从而得到企 业在竞争中应尽可能减少信息时滞才能获得竞争优势这一结论。 第四章考虑到房地产投资开发量对需求的滞后性，将含时滞的神经 网络模型引入房地产风险投资中。建立了一类含时滞的房地产风险投资 模型，得到了模型平衡点存在的唯一性和全局指数稳定的充分条件，也 就是市场上某时期房地产开发量适应需求量的充分条件，此时房地产投 资的风险较小，可以进行投资。 关键词：时滞，信息时滞，竞争优势，c o u r n o t b e r t r a n d 竞争模型，房地 产，风险投资，稳定性 a b s t r a c t s t a b i l i z a t i o ni st h ep r e m i s eo fp r a c t i c a l s y s t e m sn o r m a lo p e r a t i o na n d t h es t a b i l i z a t i o ni sas i g n i f i c a n ti s s u ef o rp e o p l ea l lt h et i m e w h i l et h et i m e d e l a yb r i n g sm o r ec o m p l e x i t ya n dt r o u b l ei na n a l y s i sa n ds y n t h e s i s a n di t r e s u l ti ni n s t a b i l i t yo fs y e t e m s i ne c o n o m i cs y s t e m s ，t i m el a gf a c t o r s a r e a l s oi n e v i t a b l e i nr e c e n ty e a r s ，i tb e c o m e sh o tt o d i s c u s st h es t a b i l i t vo f e c o m o n i cm o d e lw i t ht i m e l a g s t h ep u r p o s eo ft h i sd i s s e r t a t i o ni st os t u d y s t a b i l i t yp r o b l e ma n dt h e s t a l ea r e a sc h a n g eo fi n v e s t m e n ta n dc o m p e t i t i o nm o d e l sw i t ht i m ed e l a v s t h em a i nc o n t e n ti sd e p i c t e da sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，r e s e a r c hb a c k g r o u n da n d m e a n i n g ，c u r r e n tr e s e a r c h s i t u a t i o na n dr e s e a r c hc o n t e n ta n dc o n c e p to ff i n a n c i a ls y s t e m s ( i n v e s t m e n t a n dc o m p e t i t i o nm o d e l s ) w i t h d e l a y sa r ei n t r o d u c e da n ds u m m a r i z e d i nt h es e c o n dc h a p t e r , s o m ec o n c e p t i o n sa n dt h e o r i e sa b o u tt h es t a b i l i t y a r ei n t r o d u c e d i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h es t a b i l i t yo fd y n a m i c sm o d e la b o u te n t e r p r i s e s c o m p e t i t i o nw i t hi n f o r m a t i o nd e l a y si sa n a l y s i z e d t h ec o m p e t i t i o nb e t w e e n s m a l la n dm i d d l ee n t e r p r i s e si sr e g a r d e da s c o u r n o t b e r t r a n dc o m p e t i t i o n m o d e l i ti n t r o d u c e sc o u r n o t b e r t r a n dc o m p e t i t i o nm o d e lw i t ht i m el a g so n c o m p e t i t o ra n di t s e l f a n a l y z i n gt h ee f f e c to ft w ok i n d so ft i m ed e l a v so n c o u m o t b e r t r a n dm o d e l ss t a b i l i t ya n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o ni s d e r i v e d s t u d y i n gh o w t h ea r e ao fs t a b i l i t yc h a n g e st h r o u g ht h e o r e t i c a la n a l y s i sa n d n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，w ed i s c o v e rt h a tt h ea r e ao fi n s t a b i l i t yw i l l e x p a n d w h e nt h ed e l a y sa d da n dt h et i m e i n c r e a s e s i tt a k e st h ec o n c l u s i o nt h a t e n t e r p r i s e sc a l lg e tm o r ea d v a n t a g et h r o u g h r e d u c i n gi n f o r m a t i o nd e l a y s i nt h ef o r t hc h a p t e r ，t h e s t a b i l i t yo ft h em o d e lo fr e a le s t a t ev e n t u r e i n v e s t m e n tw i t ht i m ed e l a y si s a n a l y z e d t a k et h en e u r a ln e t w o r km o d e lw i t h t i m ed e l a y si n t ot h er e a le s t a t ev e n t u r ei n v e s t m e n t b a s i n go nt h el a gb e t w e e n 江苏大学硕士学位论文 t h eq u a n t i t i e so ft h er e a le s t a t ea n dd e m a n d am o d e lo fr e a le s t a t ev e n t u r e i n v e s t e m e n tw i t ht i m ed e l a y si se s t a b l i s h e d a n dt h i sm o d e li sp r o v e dt h a ti t s e q u i l i b r i u mi su n i q u ee x i s t e n c e b e s i d e s ，t h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e r i v e d ，n a m e l yt h eq u a n t i t i e si nt h em a r k e tm e e tt h e d e m a n da ts o m et i m e a tt h i st i m er e a le s t a t ei n v e s t m e n ti sl e s sr i s k y , s ow e c a ni n v e s ti t k e y w o r d s ：d e l a y , i n f o r m a t i o nd e l a y , a d v a n t a g e ，c o u m o t b e r t r a n d c o m p e t i t i o nm o d e l ，r e a le s t a t e ，v e n t u r ei n v e s t m e n t ，s t a b i l i t y 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 王翔p 翊严 同期： 知p 7 年j 五月工 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密囹。 学位论文作者签名：工婀p 奸 加7 年，2 月2 1r 指导教师签名：彦辱l 弓 砷年肛月二日 江苏大学硕士学位论文 第一章前言弟一早刖i 1 1本课题研究的背景和意义 稳定性概念的出现具有悠久的历史，早在1 7 世纪就出现过t o r r i c e l l i 原理，即物 体仅重力作用，当重心位置最低时其平衡是稳定的，反之是不稳定的。稳定性概念 也早被拉普拉斯( l a p l a e e ) 、拉格朗日( l a g r a n g e ) 、马克斯威尔( m a x w e l l ) 、汤姆逊和 德特( t h o m s o na n dt a i t ) 、庞加莱( p o i n e a r e ) 等人采用过，但都无精确的数学定义， 直到1 8 9 2 年俄国数学力学家李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 的博士论文“运动稳定性的一般 问题才给出了运动稳定性以严格、精确的数学定义。他按照柯西( c a u c h y ) 关于极 限描述的占一万语言，将常微分方程解对初值的连续依赖性由有限时间区间上变化拓 宽到无穷时间区间，给出了系统中运动的稳定和渐近稳定等科学概念；他从类似于 系统总能量的物理概念得到启示，提出了后来人们称之为李雅普诺夫函数的判定函 数，利用该函数及其时间导数的性质，建立了判断一般系统稳定性的一系列定理， 从而避开了求解一般微分方程组解的困难，奠定了稳定性理论研究的坚实基础。李 雅普诺夫首创的运动稳定性理论受到了各国学者的高度重视。苏联控制论专家列托 夫、数学家马尔金先后在他们的专著序言中提到：“无论现代控制以何种方法描述， 总是建立在李雅普诺夫运动稳定性的牢固基础上。 美国数学家l a s a l l e 在动力系统 稳定性的序言中写到：“在某种程度上可以说，李雅普诺夫的直接法在西方重新发现 是五十年代中期的事，那时至少在非线性控制系统的设计中广泛地承认了它的重要 性，稳定性理论在吸引着全世界数学家的注意，李雅普诺夫直接法得到了工程师们 的广泛赞赏，稳定性理论在美国正迅速变成训练控制论方面的老师们的一个标准部 分。”现在，李雅普诺夫在常微分方程中建立的稳定性理论已经推广到了差分方程、 微分差分方程、泛函微分方程、随机微分方程、偏微分方程及一般抽象动力系统中 去了。稳定性的重要意义，小至一个具体的控制系统，大至一个社会系统、金融系 统、生态系统，总是在各种偶然的或持续的干扰下进行的。承受这种干扰之后，能 否保持运行或工作状态，而不至于失控，或摇摆不定，至关重要。事实上，稳定性 理论已成功地应用到力学、生物学、医学、系统控制、信息学和经济学等领域。 稳定是实际系统正常运行的前提，稳定性问题历来是研究动力系统的一个重要 江苏大学硕士学位论文 课题。而时滞是自然界广泛存在而又不可避免的一种现象。时滞的存在使得系统的 分析和综合变得更加复杂和困难，同时时滞往往是系统不稳定的根源。因此分析时 滞系统的稳定性有着理论和实际的意义。 时滞现象常产生于航空航天、电力、冶金、化工过程、电子技术、经济管理和 交通等系统中，且常常是导致实际系统控制性能恶化甚至不稳定的重要原因之一， 因而，时滞系统研究有着广泛的实际背景，并受到了国内外工程和理论界的广泛重 视。从系统理论的观点看，任何实际系统的过去状态不可避免的要对当前的状态产 生影响。在实际工程系统中，时滞现象是普遍存在的，时滞产生的原因有很多，如： 系统变量的测量过程需要一定时间、系统中设备的物理性质( 大惯性环节) 因数也 会导致滞后、物质或信号的传递( 传输过程) 亦需要一定的时间、缓慢的化学反应 过程等都会使系统产生时滞。时滞的存在对系统的控制无论在理论方面还是在工程 实践方面都造成了很大的困难，通常情况下时滞将使系统的性能变坏，甚至使系统 失去稳定性，从研究的角度来说，时滞的存在给系统的稳定性分析和控制器的设计 带来了很大的困难。因此，时滞动力系统稳定性的研究无论在理论上还是在应用上 都具有非常重要的意义。 在经济活动中，企业之间的竞争或企业的投资是企业生产经营的重要内容。企 业相互竞争时当然要努力获取有效信息，获取信息就会产生信息时滞。追求利润最 大化，是企业投资的主要内在动力。但投资都是有风险的，风险投资中的收益和风 险是一个问题的两个方面，伴随着投资的高收益与之相应的必然是高风险。投资中 各种经济因素的延迟反应就是所谓的经济中的时滞问题。时滞现象在各种经济活动 中都不可避免，并且许多经济活动正是因为时滞因素的存在而变得不稳定。因此， 探讨时滞对经济系统稳定性的影响是十分必要的。进一步，通过讨论时滞在企业竞 争和风险投资过程中对系统稳定性的影响和系统稳定区域的变化，可以使企业尽量 减小信息时滞，获得更大的竞争优势；也可以预测和减小投资的风险，使投资成功 机率更大。通过对不稳定区域的控制，回避或抑制外部扰动因素影响，可以使投资 的风险降到最低，投资者收益更大。总之，对含时滞的经济投资竞争模型的稳定性 分析不但具有理论研究价值，而且具有更大的实际应用价值。 2 江苏大学硕士学位论文 1 2 本课题的研究现状 经济理论研究中，借助数学模犁研究经济活动的规律己成为经济学家、管理学 家的一种重要方法，如金融市场中的争当少数者博弈模型、经济系统的混沌动力学 分析、财产管理混沌模型等都是这些年来经济学模型研究的学术热点。 对含时滞的经济模型的稳定性分析尤其是竞争与投资模型的分析更是近年来学 术界的一个重要前沿课题。由于时滞的影响使得经济模型复杂化，稳定性也受到影 响。系统的内在结构呈现出复杂性，也存在着极其复杂的现象与外在特征。市场上 企业之间的竞争不可避免，风险投资在带动高新技术产业发展中所起的作用越来越 重要，两者都成为影响社会经济发展和产业进步的重要力量。因此对含时滞的企业 竞争和风险投资模型的研究成为近年来学者研究的热点。 国内外学者对时滞经济系统进行了许多有益的研究。早在上世纪9 0 年代秦超【1 l 就对时滞动态市场模型进行了探讨，根据市场供给量对价格变动的反应是滞后的不 是即时的，建立了时滞动态市场模型，通过分析得出此模型比动态市场模型和蛛网 模型更符合实际，更优越。祁传达【2 l 在含有时滞的非线性投资系统模型一文中， 从资产役龄结构角度，充分考虑投资时滞的影响，建立了具有年龄结构的资产存量发 展过程的动力系统模型。焦红兵【3 】等在含有时滞的固定资产投资模型解的性质一 文，考虑投资系统中固定资产的建设周期，研究了资产投资存在时滞的固定资产投资 系统。朱红亮( 4 1 在g o o d w i n 增长周期模型的基础上，将离散时滞引入此模型中，研 究了带时滞的增长周期模型的稳定性和周期轨道，即经济周期存在的条件。l u h t a 和 v i r t a n e n 在经典的n e r l o v e - a r r o w 模型的基础上，通过在广告支出和商誉积累之间加 上非线性反馈项和时滞项后，得到含时滞的非线性广告投资模型，赵维锐【5 】等人讨论 其参数在一定范围内变化时模型不动点的全局稳定。杨志春，徐道义【6 】在具有变时 滞和脉冲效应的h o p f i e l d 神经网络的全局指数稳定性一文中讨论了一类具有变时滞 和脉冲效应的h o p f i e l d 神经网络模型，研究了它的全局指数稳定性。w e i c h i n gc h e n l 7 研究了具有变时滞的一个经济模型的周期、半周期、混沌等复杂性，并且对该经济 模型的混沌行为进行控制。 在研究企业竞争方面，1 9 9 1 年，i n v e m i z z i 和m e d i o 8 1 把信息时滞引入了经济动 力学系统模型。1 9 9 6 年，c a r lc h i a r e l l a 和a l e x a n d e rk h o m i n 9 1 考虑了含时滞的c o u m o t 模型，并分析了模型的分叉。2 0 0 3 年，c a r lc h i a r e u a 和f e r e n cs z i d a r o v s z k y l l o l 讨论了 3 江苏大学硕士学位论文 连续分布经济系统模型的稳定性，并观察到了极限环的存在。2 0 0 6 年，a k i o m a t s u m o t o 和f e r e n cs z i d a r o v s z k y l l l 】对含信息时滞的c o u m o t 和b e r t r a n d 模型分别进 行了分析，得到了系统稳定的充分条件。2 0 0 8 年a k i om a t s u m o t o 和f e r e n c s z i d a r o v s z k y 1 2 】讨论了含竞争对手信息时滞的c o u r n o t b e r t r a n d 竞争模型，得到了系 统稳定的充分条件。许多文献都对时滞c o u m o t 和b e r t r a n d 模型分别进行了研究，文 献【1 2 】研究了时滞c o u m o t b e r t r a n d 模型，但只考虑了竞争对手的信息时滞，而没有 考虑到企业自身的信息时滞。 在房地产风险投资方面，阮萍【1 3 1 ，张建旭【1 4 】等从理论上进行了房地产投资风险研 究。o s a m a a h m e dj a n n a d i l l 5 】等从统计学角度对房地产投资风险进行描述，并构造了一 个风险评价模型，用计算机对一项具体实例进行分析并针对相应的风险特征提出改 进措施。c h o ih y u n - h o 【1 6 1 运用模糊理论并借助一款风险分析软件从参数估计和主观判 断方面对建筑工程的风险进行识别鉴定、分析、评价和管理。程国平，汪波，岳毅 宏借助于经济增长理论及计量经济学知识，构建了一个能描述房地产投资系统规律 的动力学模型，然后基于非线性理论，以计算机模拟为基本手段，对房地产投资的 长期演化行为进行了深入研究，并分析了房地产投资系统出现混沌现象的动因。 但是总体来说，在研究含时滞的经济模型中对企业竞争和风险投资模型的研究 还不够成熟，因此，系统地开展对含时滞的企业竞争和风险投资模型复杂性的研究 以及对模型混沌控制等技术方法的研究就显得非常迫切，这也是稳定性研究中的一 个基础性与前沿性课题。 1 3 本课题研究的内容与思路 本文主要研究了经济中含时滞的投资竞争模型的稳定性问题，通过讨论时滞因 素对系统的影响，得出系统稳定区域的变化情况。文章的具体结构如下： 第一章：主要介绍了本课题的研究背景和意义、研究现状以及研究的内容与思 路。 第二章：主要介绍了本文中涉及的基本概念和基础理论。在参考大量文献的基 础上，给出了时滞微分方程，稳定性相关理论和判别定理。从而形成较为完整的理 论体系，为以后各章的应用研究提供了理论依据。 第三章：在c o u m o t b e r t r a n d 模型的基础上对一类含时滞的企业竞争动力系统模 4 江苏大学硕士学位论文 型进行稳定性分析。将c o u m o t b e r t r a n d 竞争模型引入中小企业竞争中，考虑竞争对 手信息时滞和自身信息时滞对企业竞争稳定性的影响，得到了系统稳定的充分条件。 并且发现随着时滞量的增加和变大，系统不稳定区域逐渐扩大。从而得到企业在竞 争中尽可能减少信息时滞才能获得竞争优势这一结论。 第四章：主要对一类含时滞的房地产风险投资模型进行稳定性分析。考虑到房 地产投资歼发量对需求的滞后性，将含时滞的神经网络模型引入房地产风险投资中。 通过对模型稳定性充分条件( 即市场上某时期房地产开发量适应需求的条件) 的讨 论，使得房地产商在投资的时候有规律可循，从而使房地产市场远离混沌无序的局 面。 第五章：对本文进行总结，指出文章的不足和以后要研究的方向。 5 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念和基本理论 本章主要介绍在以后各章用到的基本概念以及基本理论。 2 1时滞微分方程概述 现代的许多科学领域中，经常采用常微分方程作为数学工具描述各种客观规律， 随着科学研究逐步深入，为适应客观世界的复杂性和多样性，常微分方程这一工具 也不断发展和演变。 一般常微分方程描述的客观现象，总假定事物在每个时刻发展变化的趋向仅由 当时的状态决定。但客观世界有许多现象并非如此，事物在每个时刻发展变化的趋 势不仅依赖当时的状态，而且还取决于该时刻的f j i 一段时间的状态。 自1 8 世纪以来，在流体力学、电子学、种群生态学、核反应堆动力学、经济学 及现代控制理论等领域都发现具有上述现象的大量事实。例如，1 9 3 5 年，j t i n b e r g e n 研究造船工业中的模型 量o ) + b x ( t 一力= e x 3 ( t f ) ( 2 1 ) 其中，z o ) 表示时刻，的实有吨位数同预定值之差，f 表示建造一艘船的平均周期， b 0 及占均为常数。 1 9 7 3 年，w e l o n d o n 和j a y o r k e 研究麻疹传播的模型为 s ( t ) = f l ( t ) s ( t ) s ( t 一1 2 ) 一s ( t 一1 4 ) 一2 ，】+ ， ( 2 2 ) 其中，s ( t ) 表示时刻t 无免疫力的个体数目，o ) 是这种个体在人口中所占的比例， ( f ) 是人i s i 特征函数，两个滞量一= 1 2 ，乞= 1 4 分别为麻疹传染的潜伏期上、下限。 c o o k e 与y o r k e 的淋病传播方程则为 s ( f ) = g ( s ( t 一五) ) 一g ( s ( t 一乞) ) ( 2 3 ) 其中，g 是在某闭区间之外消逝的非负函数。 上述这些数学模型所用的方程已不再是经典的常微分方程，它不但含有自变量， 还含有带滞量的变元。自1 9 5 9 年以后，h h k p a c o b c k h h 用泛函分析观点对这类方程 作了创造性研究，称其为泛函微分方程( f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，简写为f d e ) 在2 0 世纪7 0 年代，j k h a l e 等进一步使若干基本概念精确化。 6 江苏大学硕士学位论文 时滞微分方程的特点是，所考察的当前发展趋向依赖于以前的历史状态，就是 存在着时间滞后的现象，或遗传效应。从工程技术、物理、力学、控制论、化学反 应、生物医学等中提出的数学模型带有明显的滞后量。例如，前面举的两个例子( 造 船工业中的模型和麻疹传播的模型) 以及弹性力学中的滞后效应，特别是自动控制 中任何一个含有反馈的系统，大体上总有时滞，这类时滞的出现，是因为需要有限 的时间接受信息，作出反应，对于这类系统往往用时滞微分方程比常微分方程来刻 画更加符合实际。 2 2 稳定性的基本理论 2 2 1 稳定性的概念 设微分万程 妄= m 砷叫护以x 刑 ( 2 4 ) 满足解的存在唯一性定理的条件，其解x ( t ) = x ( f ，t o ，妒) 的存在区间是( ，佃) ， 厂o ，功还满足条件 f ( t ，0 ) = 0 ( 2 5 ) ( 2 4 ) 保t j f _ x ( t ) = 0 是( 2 5 ) 的解，我们称它为零解 定义2 1 1 刀若对任意给定的 o ，都能找到万= 万( s ，t o ) ，使得当l | 妒i l 0 ，总 能找到一个z = z ( s ，f o ，z 。) ，使得当f t o + z 时， i i x ( t ，f o ，p ) i l o ，有- 8 0 ，使得当妒l i o ，有m - - m ( r ) o ，使当妒0 t o 时，有 0 x ( f ，气，一) i j m ( ，) ，则称( 2 1 0 ) 的解一致有界；若( 2 1 0 ) 的解一致有界，零解一 致稳定和全局一致吸引，则称( 2 1 0 ) 的零解全局一致渐进稳定 定理2 4i 发v ( t ，力是，x r “上的正定函数，有无穷小上界和无穷大下界，r g ( t ，功负 定，则( 2 1 0 ) 的零解全局一致渐进稳定 定理2 5 设y 是r ”的正定函数，有无穷大下界，y ( 砷沿着系统 面d x = 厂( 矽，( 0 ) = o ( 2 1 1 ) 轨线的全导数矿( f ，力半负定，且集合 x p ( 力= o ) 中不含( 2 1 0 ) 的任何非平凡正半轨 线，则( 2 1 0 ) 的零解是全局渐进稳定的 一般的形维非自治微分方程组 面d x = f ( t ，功 ( 2 1 2 ) 其中z = “，墨，) r ，厂= ( 厶，五，厶) r c 【，r ”】，吒= ( ，x ) t ，) ) ，并 且，= 【t o ，佃) 定理2 6 ( l y a p u n o v 稳定性定理) 若在某区域上存在正定函数y o ，砷，使 坐i：一o v + i o v 佛，功o d tl ( 2 1 2 ) o t 智魄“7 则( 2 1 2 ) 式的零解解x ：0 是稳定的 1 0 江苏大学硕士学位论文 定理2 7 若在某一域g o = ( ，力卜，肛i h ) 上存在正定的有无穷小上界的函数 v ( t ，力，使得d v l ( 2 。2 ) o 则( 2 1 2 ) 式的零解一致稳定 定理2 8 若在上存在函数v ( t ，功，使得v - o ( t ，x ) w 常正，其中w = ( 功正定， 耿f ，功为连续的非负函数，且在i k o 日中，伙f ，砷琴+ q ，佃) 又警f 。“，。，则 ( 2 1 2 ) 式的平凡解渐进稳定 定理2 9 f ( t ，力在f o ， 0 ( 若口o 0 ，只要对方乘以- 1 即可) ，构造胛阶行列式如下 a 。= a la o 0 口3口2q 口5口4口3 口7口5 口2 qa 2 n 一2 0 0 a o 0 a 2 0 a 4 0 o a ( 2 1 7 ) 定理2 1 2 ( r o u t h - h u r w i t z 判据) 矩阵( 2 1 5 ) 的所有特征值都具有负实部( 即定 点是渐近稳定的) 的充要条件是矩阵。的各阶顺序主子式大于零。 2 3 分叉理论 2 3 1基本概念 对于参数不稳定的非线性微分动力系统，总存在任意小的扰动，使系统的拓 扑结构发生变化，这就是分俞现象，其定义表示如下： 定义2 1 3 1 1 8 1 设含有参数的非线性微分动力系统 戈= 厂似) ，石r “，z r “ ( 2 1 8 ) 当参数连续的变动且通过= z o 时，如果系统( 2 1 8 ) 失去结构稳定性，即系统的定 性状态( 即拓扑结构) 生突然变化，则称该系统在= 风处出现分岔( b i f u r c a t i o n ) ， 成为分岔点( 分岔值) 一般来说，完整的分岔分析需要了解动力系统的全局拓扑结构。这是十分复杂 的，甚至是难以做到的。而在实际应用中，有时只需要考虑在某个平衡点( 不动点) 附近的动力系统的拓扑结构的变化，即只研究在它们的领域内的局部向量场( 或微 江苏大学硕士学位论文 分同胚) 的分岔。这类分岔问题称为局部分岔。相对应的，如果分岔分析涉及向量 场大范围的拓扑结构，则称为全局分俞。若需要研究系统的平衡方程的解的个数及 解的稳定性随参数变化的情况，那么研究的就是局部分俞，如鞍结分岔、叉形分岔 和跨临界分岔；如果要考虑解的拓扑结构随参数的变化性质，那么就要考虑系统的 动态分岔，如h o p f 分岔、同宿或异宿分岔和闭轨分龠等。 2 3 2h o p f 分叉 h o p f 分岔是指系统的参数变化经过临界值时，平衡点由稳定变为不稳定并从中 产生极限环的现象，它是一种重要的动态分岔问题。 定理2 。1 3 1 8 】( h o p f 分叉定理) 若系统 戈= 厂( b ) ，x r ”，z r ( 2 1 9 ) 满足 ( 1 ) x ：寸v , u ，川 0 ，口( 0 ) = o ，口7 ( 0 ) 0 ； ( 4 ) a ( 0 ) 的其余n - 2 个特征根都有严格的复实部 则当l 2 l 充分小时，系统戈= 厂( 毛) 在= o 的一侧至少存在一个极限环，且在训 , t t o 中，使系统出现极限环的分叉值= 0 是唯一的 江苏大学硕士学位论文 第三章含时滞的企业竞争动力系统模型稳 定性分析 古诺模型是c o u r n o t 于1 9 8 3 年提出的关于产量决策的一个简单的双寡头垄断模 型，至今该模型仍是分析寡占竞争市场中各厂商生产行为应用最广的模型之一。它 是指在寡占市场中，一定数量的生产同质商品的厂商，必须在考虑其它厂商行为策 略的基础上来决定自己的产量。b e r t r a n d 模型中参加博弈的双方都以价格作为决策变 量。 c o u r n o t 模型和b e r t r a n d 模型最主要的区别在于：前者是以产量作为竞争手段和 决策变量，后者是以产品的价格作为竞争手段和决策变量企业之间的竞争可能是 c o u m o t 竞争或b e r t r a n d 竞争，而c o u m o t b e r t r a n d 竞争模型1 1 9 】可以更好的描述中小 企业之间的竞争。获取信息的速度在一定程度上影响着企业的发展，而信息滞后现 象是不可避免的，对于获取信息能力弱的小企业来说，信息时滞尤为突出。本章把 c o u r n o t b e r t r a n d 竞争模型引入中小企业的竞争中，建立了含两种时滞( 竞争对手信 息时滞和自身信息时滞) 的c o u m o t b e r t r a n d 竞争模型，研究这两种信息时滞对模型 稳定性的影响，得到了稳定的充分条件及稳定域变化的相关结论。通过理论分析和 数值模拟研究时滞量的变化对系统稳定域的影响，发现随着时滞量的增加和变大， 系统不稳定区域逐渐扩大。从而得到企业在竞争中尽可能减少信息时滞才能获得竞 争优势这一结论。 3 1 模型的建立 3 1 1c o u r n o t - b e r t r a n d 平衡点 假设企业1 和企业2 之间的产品存在差异性和代替性，企业1 以产量作为竞争 手段和决策变量，企业2 以价格作为竞争手段和决策变量x a 、x 2 分别代表企业1 和企业2 的产量，p 1 、仍分别为企业1 和企业2 的逆需求函到1 2 1 ， a 2 而1i 3 1 ) 五+ 恐 1 4 江苏大学硕士学位论文 见2 否丽1 ( 3 2 ) 其中q 、幺代表产品的差异程度，如果两种产品具有完全代替性，那么儡= 岛= 1 ： 如果两种产品不具有代替性，那么q = 皖- - 0 这罩假设o 6 l 1 ，0 包 o 为速度调整参数 系统( 3 6 ) 在平衡点的j a c o b i n 矩阵为 1 6 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 儡一魏 压叫 l 竺旦南捂 h 江苏大学硕士学位论文 ，_ ( 蕞笺)l 乞圪乇，j 这导乃，圪分别为企业1 ，企业2 在最优反应函数处的导数， 乃= 石二刁洒赫( 1 一互1 、f c ( c b c + 幺0 2 ) 轳正雨商丽i 卜互、fb 幺。j ，二z ( 口+ 砬) 3 7 ：一一夏；f 一 再由( 3 5 ) 式得 一一警擀 0 ，其中2 码2 。，q 2 白+ 屯，口：2 白屯( 1 一乃兄) 显然方 程( 3 7 ) 满足r o u t h h u r w i t z 判据，于是得到结论：不含时滞的c b 竞争模型总是局 部渐进稳定的 由上面的分析可知不含时滞的c b 竞争模型在o 印砬 五白岛0 一所圪) 即 江苏大学硕士学位论文 一一鲥幽 所以得到如下推论 推论1 竞争对手的信息时滞影响了c b 模型的稳定性，当五满足式( 3 1 4 ) 时，c b 模型是局部渐进稳定的 根据h o p f 分叉理论，如果系统( 3 1 2 ) 在平衡点的雅克比矩阵的特征值有一对 纯虚根或者特征根的实部随着分叉参数而发生了变化，我们就可