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哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 环的交换性条件 摘要 环论作为一门重要的代数学科是代数几何和代数数论的基础，有许多其 它相关学科领域都涉及到环。随着科学和技术的不断发展，环理论进展越来 越精确和完善，并且环的初步结果已在实践中得到应用。交换性是环的重要 性质之一，交换性的研究有助于其它性质的探讨。同时，交换代数本质上是 研究交换环的。这就使得有关环的交换性的研究变得很重要。 本文对k o e t h e 半单纯环、半质环及一般环进行了研究，利用零因子，正 则元，中心及亚直不可约环以及密度定理等相关知识，得到了关于半质环以 及任意环的一些结果。在某些特殊环的交换性方面取得了进一步的结果，并 得到了一些新的结论。 全文共分三部分，主要内容如下： 1 阐述了课题背景和目的、意义及国内外研究现状和本文的主要内 容。 2 首先给出了本文所涉及到的概念及相关定理。其次，通过对h e r s t e i n 定理的进一步研究，提出并严格地证明了一个一般环的交换性条件， 本章的概念及结论为后面各章的证明打下了基础。 3 主要讨论了满足可变恒等式的半单纯环的交换性条件。其中包含两 个结论。本章首先对有中心正则元的环进行了讨论，进一步推广了h e r s t e i n 定理的条件；其次，推广了另一个有中心正则元环的交换性条件。 关键词半质环；正则元；中心；质环；交换性 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 j 1 - c o m m u t a t i v ec o n d i t i o n so ir l n g s a b s t r a c t a sa ni m p o r t a n ta l g e b r a i cs u b j e c t ，r i n g sa r et h eb a s eo na l g e b r a i cg e o m e t r y a n da l g e b r a i cn u m b e rt h e o r y r i n g sa r ec o n c e r n e da b o u tm a n yo t h e rs u b j e c t s w i t hd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，t h e o r yi nr i n g si si n c r e a s i n g l y a c c u r a t ea n dp e r f e c ta n dp r e l i m i n a r yr e s u l t so f r i n g sh a v e b e e na p p l i e di n p r a c t i c e c o m m u t a t i v i t y i so n eo fi m p o r t a n tp r o p e r t i e si n r i n g s s t u d yo f c o m m u t a t i v i t yi sb e n e f i c i a lt od i s c u s s i o no fo t h e rp r o p e r t i e so nr i n g s p r o p e r t yo f r i n g si sn e e d e dt oi n v e s t i g a t e a tt h es a m et i m e ，c o m m u t a t i v er i n g sa r es t u d i e di n c o m m u t a t i v ea l g e b r a t h e r e f o r e ，s t u d yo fc o m m u t a t i v i t yo fr i n g sb e c o m e sm o r e a n dm o r c i m p o r t a n t w eg e ts o m en e wr e s u l t so nc o m m u t a t i v i t yo fr i n g sb ys t u d y i n gt h ek o e t h e s e m i - s i m p l er i n g ，s e m i p r i m er i n ga n da r b i t r a r yr i n g u s i n gp r o p e r t i e so fz e r o d i v i s o r s ，r e g u l a re l e m e n t s ，c e n t e ra n ds u b d i r e c t l yi r r e d u c i b l er i n g ，w eg e ts o m e f u r t h e rc o n c l u s i o n so na s p e c t so fp a r t i c u l a rr i n g sa n dg a i ns o m en e wc o n c l u s i o n s t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ep a r t s t h em a i nc o n t e n t si nt h i sp a p e ra r ea s f o l l o w s ： 1 is h o wt h eb a c k g r o u n d ，s i g n i f i c a n c eo ft h et h e o r i e s ，t h ei n t e r n a l ，e x t e r n a l a c t u a l i t ya n dd e s c r i b et h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r i ti sr e a d yf o rt h ef o l l o w i n g t od r a w i n gs e v e r a lc o n c l u s i o n s 2 f i r s t ，ig i v es o m ec o n c e p t i o n sa n dc o n c l u s i o n sw h i c ha r er e l a t i v et ot h i s p a p e r s e c o n d ，ip u tf o r w a r da n ds t r i c t l yp r o v e do n ec o m m u t - a t i v ec o n d i t i o n so f a r b i t r a r yr i n ga r eg i v e nb ys t u d y i n gt h eh e r s t e i nt h e o r e ma n dg e taf u r t h e r c o n c l u s i o nb a s e do ni t 3 is t u d yc o m m u t a t i v ec o n d i t i o n so fr i n g sw i t hv a r i a b l ei d e n t i c a le q u a t i o n i t c o n s i s t so ft w oc o n c l u s i o n s i nt h i sc h a p t e r ，f i r s t ，it a l k e da b o u tc o m m u t a t i v e c o n d i t i o n s o f r i n g s w i t hc e n t r a l r e g u l a re l e m e n t s a n dif u r t h e re x t e n d c o m m u t a t i v ec o n d i t i o n so fh e r s t e i nt h e o r ya n dt h e nif u r t h e rt a l k e da b o u to t h e r c o m m u t a t i v ec o n d i t i o n so fr i n g sw i t hc e n t r a lr e g u l a re l e m e n t s k e y w o r d ss e m i - p r i m er i n g ，r e g u l a re l e m e n t s ，c e n t e r , p r i m er i n g ，c o m m u t a t i v i t y 1 i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文环的交换性条件，是本人在 导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成 果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。 对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的 法律结果将完全由本人承担。 作者签名：王延脚鹚 日期：加彦年；月，s 日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 环的交换性条件系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在导师指导 下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所有，本论文的研 究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工大学关于保存、使 用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子版本，允许论文 被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密日。 ( 请在以上相应方框内打) 日期：渺岸3 月廖日 日期：加序罗月压日 鹘涛 延 纪 互 贿 名 名 堑 签 者 师 作 引 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 1 课题背景 第1 章绪论 交换环有许多很好的性质，数学的很多分支( 例如：代数几何、代数数论 和交换代数等) 都是建立在交换环的基础上的。此外，在目前的应用领域( 例 如信息论、编码和密码学等) 中，交换环的相应理论也得到了一定的应用。在 环的交换性理论中，证明了某一类环是可交换的，就可以得到关于这类环的一 系列理论结果。因此环的交换性的研究对于环论及数学的其他相关分支的发展 都是十分必要的，而且应用前景也在不断的扩大。 1 1 1 国外发展状况 环的交换性问题起源于上个世纪初，在1 9 0 5 年，w e d e r b u m 提出并证明 了“有限体必为域 这一结论，从而引出了一个非常广泛的问题：对于任意的 一个环，他在何种条件下为可交换的呢? 很多著名的数学家对此都颇感兴趣， 并投入了很多的精力进行了相应的研究工作。j a c o b s o n 和h e r s t e r i n 等均在这一 领域内做出了不朽的贡献。 1 9 4 5 年，j a c o b s o n 1 1 把w e d e r b u r n 定理进行了推广并证明了“若对环r 内任意 元素x ，有依赖于x 的正整数n ( x 卜1 使矿( ) 一x ，则尺为交换环”。从而推广了 著名的w e d d e r b u m 定理。其后，k a p l a n s k y - t 1 9 5 1 年证明了：“如果体k 中的元 x 恒满足x “( 。e z ( r ) ( k 的中心) ，则k 为域”。此定理推广了与交换性有关 的w e d d e r b u m 定理，n o e t h e r 定理，华罗庚定理以及j a c o b s o n 的另一个定 理。而且指出如何把它容易地推广至u j a c o b s o n 半单纯环上去。同年h e r s t e i n 2 】证 明了：如果有n 1 使环尺的元素恒满足x “一x e z 俾) ，则尺是交换环。1 9 5 2 年h e r s t e i n 将其推广为咒有界时成立，在1 9 5 3 年，再推广成矿p ) 一x e z 即可 3 1 ，从而得至l j j a c o b s o n 定理的明显推广形式。h e r s t e i n t 4 1 接着把此更推广为：对 口尺有多项式只( f ) 使a 2 p 。( a ) 一a z 僻) 即知r 为交换的。进一步再推广嘲 为：若对环内任意元素x ，y ，有依赖于x ，y 的整数n ( x ，y ) 1 ，使得矿w 一z 与y 可交换，则尺为交换环”。 另一方面，h e r s t e i n t 6 】在1 9 5 0 年证实了v a n d i v e r 的猜想而把w e d d e r b u r n 定理 哈尔滨理工大学理学硕七学位论文 推广成：“如果环尺的零因子恒在中心内且每个元素恒生成有限子环，则r 交 换”。并于1 9 5 4 年把条件“零因子恒在中心内”削弱为“诣零元素恒在中心内”。 h e r s t e i n t 7 】在1 9 5 7 年证明了：“环尺为交换的必要而且只要对x ，ye r ，恒有 n ( x ，_ ) ，) 1 使( x y y x ) 小毛 一x y y x 成立”。 n a k a y a m a 在1 9 5 9 年应用d r a z i n 定义的一环证明了：一环f 上一个代数 r 如果满足条件“有尺到f x 】的映射a _ o ) ，使a 一口2 c 似) z 僻) ”则尺为交 换的。 h e r s t e i n t 8 l 于1 9 6 1 年把j a c o b s o n 最初的尺满足，一x 即交换的结果推广为： 如果对环尺有n 1 使x x “为尺到j 5 c 上的一个自同态，则尺为交换的。 利用h e r s t e i n 在1 9 5 5 年的结果，b e l l u c e 等在1 9 6 6 年证明了：如果广义交换 环为半单纯的，则它为交换的；广义交换环的换位子理想为诣零的。( 若对环 尺的x ，y 恒有自然数m ，y ) 及n ( x ，y ) 使 ) “y ) 一( 弦) “( 训) 成立，则说尺是广义 交换环。) j a i n 与m e n o n 在1 9 6 9 年在此的基础上得到：如果r 是一个广义交换 环，a ，6 尺且a 与b 均为拟正则的( 对所有k ) ，则有n 使a b “一b ”a 成立。由 此与即得：一个无非零诣零理想的广义交换环为交换的。 g u p t a t 9 1 在1 9 7 2 年得到有1 的结合环恒满足( x y ) 2 一( 烨) 2 且无加法周期为2 的 元素时必交换。 a w t a r t l o l 于1 9 7 3 年证明了“恒满足x y 2 z y x 2 y z 似) 的半质环必为交换 的”。q u a d r i t l l l 于1 9 7 8 年证明了：“恒满足x y 2 z + y x 2 y z ( r ) 的半质环必交换”。 g u p t a 在1 9 8 0 年证明了：“恒满足( 拶) 2 一x 2 y 2 z 俾) 的半质环必为交换的 。 e j t u l l y 曾证明：如果有固定的m ，n 1 使半群s 恒满足x y y x ”，则s 为交换的。t a m u r a 于1 9 6 9 年将其推广为：如果s 恒满足x y 一， ，y ) 则为交换 的，其中，o ，y ) 为一固定的含x ，y 的字而以y 开始以x 告终。p u t c h a 与 w e i s s g l a s s 考虑不固定f ( x ，) ，) 但x 至少出现两次，1 9 7 2 年将其推广到两个以上 的变量。k o w o l 在1 9 7 6 年证明只要s 恒满足x y = y 巾，y ) x ”( ，) 就为交换的，其中 n ( x ，y ) 或m ，y ) 为常数而另一则独立于x 或y 的。 1 9 7 6 年，h e r s t e i n t l 2 i 证明了：满足a ”【4 6 ”( 4 ) ；b “( 4 口“( 4 ) 的k 一半单环尺 为交换环。 1 9 8 7 年，m o h a r r a m t ”1 证明了：有1 的环尺中任意元素满足【x y y m x n9 2 1 ；0 沏 1 , n 1 ) 则尺为交换环。1 9 9 1 年，t h o m a s t l 4 1 将其推广为m 仅，y ) 1 7 n 苫1 时成 立。 1 9 9 3 年，t h o m a s t l 5 】证明了：有1 的肼一环尺中任意元素x ，y 恒满足 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 矿陋“，y 】= k ，y “k 或矿b “，y 】一k ，y 4 】y 伽 1 ) 并且m ，n 互素或眦x ，y 】一0 可知b ，y 1 1 0 ，则r 为交换环。 1 9 9 6 年，n o m a s 证明了：有1 的环r 中若存在一个加法自同构映射石， 慨尺，存在整数刀一n ( x ) 1 ，使得万 ) 一，i 。e z 俾) 则尺是交换环。 1 9 9 6 年，舡l l r a fm t l 6 】证明了： 有1 的环尺中任意元素x ，y 满足： x ，k “，y k 孽1 x 7 b ，y “1 y 5 或x p i x ”，y k 叮一y 5 k ，y ”p 7 成立，则尺为交换环。 1 9 9 8 年，a b u j a b a l t l 7 】证明了满足【矿，) ，k 7 一- y 5 h ，y ”】y 的半质环为交换 环。进而研究了有1 的环的交换性问题。 2 0 0 0 年，r o b e r t 0 1 1 8 】证明了：无幂零元的有限环为交换环。 2 0 0 2 年，m a h a r r a m ，j a d d a l l t l 9 】证明了有单位元的左单式环若满足多项式 【厂 p y 9 ) - - x 7 y ，x 】| 0 ，f ( g ) e 9 2 z x 】，则它是交换环。2 0 0 3 年他们团l 又证明 了有单位元的环若满足【( 拶) 膈+ y ”，工】暑【觇广+ y “，z 】，p 4 ，y “】一0 ， v x ，ye r j 俾) 则它是交换环。 可见，近年来更多研究的是与多项式有关的特殊环的交换性，进而研究一 般环的交换性。 1 1 2 国内研究现状 牛凤文【2 1 j 于1 9 7 8 年证明了：“设尺为b e a r 半单纯环且有整数m 2 对任意 v a l ，口2 ，a 。e r ，都有a 1 ，口2 ，a 。一口。，a 1 ，则r 为交换的”。郭元春将其推 广为：只要a 。，口：，a 。一口。，a ，均为中心元即可。随后，在1 9 8 0 年证明了结合 环的两个定理。定理1 ：设尺为一环，若对任意的x ，y e r ，都有大于1 的整数 n = n ( x ，) ，) ，sws ( x ，y ) ，t = f o ，) ，) ，使得( 砂) “一砂5 一y ，则当尺不含非零诣 零理想时是交换的。定理2 ：设为环r 的k o e t h e 根，若对任意的x ，ye r ，都 有一个大于1 的整数，m = m o ，y ) 使( x y ) ”；叫，则r n 为交换环且 0 = n r r n 。 郭元春【2 2 】在1 9 8 2 年去掉了k 一半单环这一限制同时证明了：满足 ( x y ) “( 训) = y x 的环为交换环；满足( 矽) “ 一x y ( n 1 , l 1 , 2 n z + 1 ) 的k 一半单 环为交换环；幂零元诣零指数有界的b a e r 半单纯环尺中任意元均有正整数 n ( x ，y ) 1 使( x y y x ) “( y ) = 0 ， 则尺为交换环；满足a b “= b ”a ” 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 ( m ( 口，6 ) ，n ( a ，6 ) 有界) 的b a e r 半单纯环等一系列结论。 1 9 8 2 年，邱琦章 2 3 1 证明了满足下列条件之一的半质环为交换环： ( 1 )( x y ) h 一x t y ) y “”，o ( y ) 1 ) ； ( 2 ) x y z 茗+ y “工2 y “e z ( r ) ，( n 1 ) ； ( 3 ) ( 拶) ”- - x y e z 职) ，g ，t 至少有一个大于1 ) 。 同年，邱琦章又证明了满足条件x ”l j yx y x 5 y 卜1 ( v x ，y e r ，s ，t 为固定正 整数，至少有一个大于1 ) 的半质环为交换环。 1 9 8 5 年，王崇寿阱l 证明满足x , - l y ziy x 5 y 卜1 ( v x ，y r ，s ，f 为固定正整 数，至少有一个大于1 ) 的半质环为交换环。郭元春、邱琦章等一些学者经过 多年研究得到了许多具体的结论。 这些工作一方面完善了环的交换性理论，另一方面也使得结果过于复杂多 样难于记忆和掌握。于是对于环的交换性条件的规律性的研究成为了必要且重 要的问题。 1 9 9 1 年，傅昶林陋j 给出了环的交换性与它所满足的多项式系数和之间的紧 密联系，从而大大简化并丰富了环的交换性条件。( 此文结论使在1 9 8 0 - - - 1 9 9 0 年间美国数学评论上2 0 余篇文章中得到的近5 0 个交换性条件，均成为其例) 。 1 9 9 4 年，戴跃进 2 6 1 证明了一类p i 环的交换性条件，使很多结论成为其推 论。 1 9 9 5 年，傅昶林1 2 7 1 、郭元春对满足可变恒等式的半质环，在某种有界条件 下给出了一个判断环交换性的简便准则，并对无界的情况也得到较为广泛的结 论。 1 9 9 7 年，郭华光 2 8 1 推广了王崇寿于1 9 8 5 年得到的结论及邱琦章1 9 8 6 年的结 论，证明了半质环的多个交换性结论。 1 9 9 8 年，郭华光【2 9 】证明了满足下列条件的半质环为交换环：对v x ，y e r ， 存在整数s s ( x ) 1 , t t ( x ) 1 ，( s s ( y ) 1 , t t ( y ) 1 ) ，使得【x y ，x 5 y 卜0 成 立，从而推广了邱琦章的结论。 2 0 0 0 年，蔡敏【3 0 1 、傅昶林证明了：半质环尺中任意元x ，y ，恒有具有t 一 性质的多项式厂 ，y ) 使厂 ，y ) e z ( r ) ，则尺为交换环。 2 0 0 2 年，傅昶林【3 1 1 、杨新松提出并证明了具有强e 性质的环的一个重要的 交换性定理，使五十多个已有结论成为其推论，使交换性的研究向前迈进了一 大步。2 0 0 3 年，傅昶林【3 2 1 、杨新松、陈光海将h e r s t e i n 定理进行了更为深入的 推广。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 2 0 0 4 年，吴伟【3 3 l 对素环上的导子进行了讨论，为我们证明环的交换性提供 了一种理论方法。 2 0 0 5 年，谢中根【列对半质环的中心元与交换性进行了深入的探讨，丰富了 交换性的理论成果。 交换性领域中虽然得到了很多结论，但还有许多未知的结论及理论等待我 们去研究和解决。 1 2 课题来源 本课题来源于黑龙江省自然科学基金。 1 3 本文的主要研究内容 环的交换性的研究大致有三个类型的问题：一类是对硝环的交换性进行 研究；所谓丹环是指：存在一个万元多项式厂n ，f ：，气) 使对环中任意厅个元 素而，工：，吒均有厂“，屯，吒) = 0 ( 或更一般的厂“，x 2 ，毛) z 僻) ，其中 z 俾) 是环r 的中心) 。另一类是对满足可变恒等式的环的交换性进行研究； 所谓可变恒等式是指：对环尺中任意以个元素五，吒，存在与之相关的多项式 f ( t x ，乞，t 。) e z ( r ) 使厂瓴，x 2 ，) 一0 ( 或，瓴，工2 ，) z 僻) ) 。还有一 类是对环附加其他条件研究其交换性及相关问题。 本文将主要对满足可变恒等式的环的交换性加以讨论。通过对k o e t h e 半单 纯环、半质环的研究，利用零因子、正则元及中心元的性质，得到了关于 k o e t h e 半单纯环、半质环、一般环交换性的一些结果。主要有： 1 r 为半质环，m 为自然数，ne r ，2 m a 为正则元，如果尺满足下列条 件之一，则尺为交换环。 ( 1 ) ( x a ) 2 ”+ x 拥a 拥e z 职) ，v x e r ； ( 2 ) ( x a ) 2 ”+ a 2 r e x 2 坍e z ( r ) ，v xe r ； ( 3 ) ( n x ) 2 ”+ x 2 ”口2 ”z ( 尺) ，、口ke r ； ( 4 ) ( 麟) 2 ”+ a 拥x 2 朋z 僻) ，v x e r ； 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 ( 5 ) ( x a ) t m + 工”a 2 ”x 4e z ( r ) ，v xe r ； ( 6 ) ( x a ) t m + 口“x 2 ”a ”e z ( r ) ，v xe r ； ( 7 ) ( a x ) t m + x “a 2 ”x ”e z 俾) ，v x e r ； ( 8 ) ( 甜) 拥+ 口”x 2 m a ”z 僻) ，v xe r 。 2 尺是有中心正则元r 的环，如果存在依赖于x ，y 的正整数m m ( x ，y ) ， 使得 【x y y “，x 】一0 ，n 是正整数 那么尺可交换。 3 尺是有中心正则元，圣j 俾) 的结合环，满足 c 1 伽，r j 俾”，c 2 伽，r j 僻”，q ) ，m 是一固定正整数 那么尺可交换。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第2 章关于半质环的交换性条件 2 1 预备知识 2 1 1 基本定义和定理 定义2 1 假如尺是环，是它的子环，如果对于a ，e r ，我们就有 r a ( a r ) e n ，那么就叫做尺的左( 右) 理想。假如是环尺的左理想同时又 是环尺的右理想，也就是说，当a e n 。r e r 时，r a e n ，a r ，我们就称 为尺的理想。 定义2 2 设只是环，若尺的理想p 满足： 1 p r ： 2 若a r b _ p ，则a e p 或6 p ； 则称p 为r 的质理想。 定义2 3 若环r 的零理想是质理想则称尺为质环。 定义2 4 设q 是环尺的理想，对于尺中任意理想a ，当a 2 q 时就有 a q ，那么q n q j f 妇的半质理想。 定义2 5 若环尺的零理想是半质理想时称尺为半质环。 定义2 6 若环尺除自身及零理想外没有其它理想，则尺称为单纯环，或简 称为单环。 定义2 7 若彳，j 6 l 是加群g 的子群，如果 1 a 1 。 引理2 1 a 不幂零，且a 2 4 z 恹) 。 证明首先证明a 不幂零。 ( 1 ) 若a 一0 ，且a 扣1 0 ，2 2 m ，贝0 ( x a 卜2 a ) t m + ( x a 扣2 y a 抽z 俾) 所以 ( x a 卜1 ) 2 埘z 僻) 于是 h 1 ) 2 ”1 一x ( x a 卜1 ) 2 “a 扣1 0 由此得尺口“1 上指数有界，由此可知尺中有非0 的幂零理想，矛盾。 因此，a 不幂零。 再来证 口2 膈e z 似) 令x a 得 a a ) t m - a 拥a 2 ”z 俾) ，2 a 钿e z 僻) 由2 m a 为正则元得 a 4 m e z 俾) 令x a 2 同理可得 a 6 m z 僻) 由【a 4 mx 卜0 ，【a 6 m , x 卜0 得 a 4 m 【口2 m ：x 】一a 6 r e x a 4 ：x a 2 “一工口锄一x a 6 “；0 即 ( 2 m ) 4 ”a 钿a 2 m ，x 卜0 由2 m a 为正则元知【a 2 m , x 】一0 。 因此口2 ”e z 俾) 。 引理2 2a 与所有幂零元可交换。 证明( 1 ) a 与平方为0 的元可交换。 ( 1 + z ) 2 “a 4 一“( 1 + x ) 口2 ”1 】2 “a 抽一 【( 1 + x ) a 2 ”口】2 ”+ 【( 1 + z ) 口2 ”- 1 】2 ”a 2 “e z ( 月) 又由 【( ( 1 + z ) 口2 ”- 1 ) 2 m ( 1 + 工) 口2 ”- 1 】= 0 ，【a 2 m ( 1 + z ) 口2 ”一1 】= 0 可得 【( 1 + x ) 2 “口4 m 2 ( 1 + z ) 口2 m 一1 】：0 所以 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 即 【( 1 + z ) 加，( 1 + z ) 口加一1 】口4 0 ( 加) 锄2 口4 m 2 【( 1 + x ) 抽，( 1 + z ) 口加一1 】= 0 所以 【( 1 + 工) 抽，( 1 + z ) 口拥。1 】a0 ( 2 - 1 ) 令x 2 0 ，由式( 2 1 ) 得 【( 1 + 2 r e x ，( 1 + x ) 口2 艉d 】一0 因此 【z ，( 1 + z ) 口2 “。1 】；0 即 x a 2 , 一( 1 + x ) 口拥一1 x 一0 故 期加1 ；a 2 m 一1 x + x a 批k ( 2 2 ) 两边右乘x 得到期2 艉一k 一0 ，代入式( 2 2 ) 有 x a 2 ”1 。4 2 ”k 又由口孙z 俾) 知a z x x a 钿，因而 a 2 , xl 湖2 j ，l 一1 a ( 锄) 2 m - 1 a 2 m - 1 a x 一( 加) 如1 口艄k 再由2 ，l 口为正则元，得a x ；x a 。 ( 2 ) a 与立方为0 的元可交换。 令x 3 。0 则 【1 + 2 m x + 2 m _ ( 2 m - - 一1 ) x 2 + x 3 9 ) 】，( 1 + z ) 口拥一】；0 g ( x ) 为整系数多项式。由于2 m a 为i e n 元，x 2 a ，a x 2 以及x 3 。o 知 【x ，( 1 + z ) 口2 “。1 】= 0 x ( 1 + x ) 口2 “一( 1 + x ) 口2 m - 1 x = 0 ( 1 + 工) ( j 口2 “一口2 “一k ) = 0 所以 2 m a ( 1 一x + 戈2 ) ( 1 + z ) o 觚2 m 一a 2 , - 1 x ) ；0 2 m a ( x a 2 ”1 一a 2 m - 1 x ) = 0 由2 m a 位正则元得x a 2 1 一a 2 m - l x ，又由x a 拥：a 2 r e x 得x a ，戤。 ( 3 ) a 与所有的幂零元可交换。 哈尔滨理- t 大学理学硕士学位论文 取x 为任一幂零元，则七一2 或k ，3 时“，一0 ，且矿4 0 ，则a x x , a ”0 设k - 刀时，由，- 0 ，且，_ 1 0 必有x a a x 。当k 一万+ 1 时如式( 2 1 ) 所 示 【0 4 x ) t m ( 1 + 工) 口抽_ 1 】= 0 即 【1 + 2 m x + c 乞z 2 + + c 三n x n ( 1 + z ) 口2 ”- l 】一0( 2 - 3 ) 由于( ) “一矿，当力 3 时t n 刀+ 1 ，f 苫2 ，故) 一0 。 由假设知x t a a x 代入式( 2 3 ) 得 【2 r e x ，( 1 + z ) 口加以】一0 故有 2 m a ( 1 一石+ z 2 ) ( 1 + x ) o m 2 艉一a t m k ) 一0 因而 搬拥一。口2 j ，i l x 又由x 口2 _ 一口2 m z 得x a a x 。 综合( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 有a 与所有幂零元交换。证毕。 引理2 3 任取正则元，z 僻) ，有，钾z 俾) 。 证明令x 一，有( ，口) 2 朋+ ，2 “口拥e z 俾) ，故有 【r a ，) 2 埘+ ，拥a 2 “卜0 进而由a 2 ”可交换及2 m a 为正则元得到 【r a ，拥卜0 又由，为正则元得 【口，r t m 卜0 因而由( 厂2 ”口) 2 “+ ( 厂2 ”) 2 “口2 ”u _ z ( r ) f f t r 2 ma 】- 0 得到 2 r 4 一z ( 尺) 即 厂4 一e z ( r ) 证毕。 定理2 6 的证明 先证明尺中不含非零的幂零元。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 设x 为幂零元，石2 0 ，则口( 1 + 石) ( 1 一z ) 一a 2 为正则元，因此口+ 戤为正则 元，由引理2 2 知戤一x a ，再由引理2 3 得 ( 口+ n x ) 4 _ 2 a 4 m z ( 1 + z ) 4 m 2 z ( 尺) 即 a 4 m 2 ( 1 + 4 m 2 x ) e z ( r ) 再由2 m a 为正则元知x z ( r ) ，矛盾。 因此，尺不含非零幂零元得证。 所以r 为无零因子环，即尺中元均为正则元，于是对任意的x ，y e r ，由 引理2 3 知砂4 一y 4 m 2 x ，由文献【4 1 】知r 为交换环。 类似可证定理2 6 中情况( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) ，( 5 ) ，( 6 ) ，( 7 ) ，( 8 ) 成立。 证毕。 2 3 本章小结 本章首先给出了本文所涉及到的概念及相关定理，这些内容在其他各章中 将不再赘述。 本文通过对半质环，j a c o b s o n 半单纯环以及任意环的研究，利用零因 子、正则元及亚直不可约环以及稠密性定理等相关知识，得到了关于半质环 的一些结果。主要有： 尺为半质环，m 为自然数，ae r ，2 m a 为正则元，如果尺满足下列条件 之一，则尺为交换环。 ( 1 ) ( 搬) 2 “+ x 2 ”口加e z 俾) ，v x e r ； ( 2 ) ( 翮) 2 ”+ 口2 “x 2 “z ( 尺) ，v x e r ； ( 3 ) ( 黜) 2 ”- i - x 2 ”口2 ”z ( 尺) ，v x e r ； ( 4 ) ( 嬲) 2 ”- i - a 2 “z 2 ”z ( r ) ，v xe r ； ( 5 ) ( x a ) 拥- i - x ”a 2 ”z ”e z ( r ) ，v x e r ； ( 6 ) ( 加) 2 卅+ a “x 2 ”a “e z 俾) ，v xe r ； ( 7 ) ( 甜) z 历4 - x ”a 拥z “z 俾) ，勺k e r ； ( 8 ) o x ) 拥+ a m x 拥a ”e z ( r ) ，v x e r 。 此结论推广了朱捷和于宪君的关于半质环的几个交换性条件的结果。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 本章的概念及结论为后面各章的证明打下了基础。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第3 章关于有中心正则元环的交换性条件 3 1 关于有中心正则元环的交换性条件1 满足可变恒等式的任意环的交换性要比半质环的情况复杂的多，一般研究 中常常引入单位元使问题简化。本章要讨论的是舍弃这种简化的情况。 在文献【1 4 1 7 4 1 跖。7 眇中，t h o m a sp k e z l a n 证明了这样的结论： 尺是有单位元1 的环，如果存在依赖于x ，y 的正整数m m o ，y ) ，使得 【砂一) ，”，x 卜0 ，n 是正整数，那么尺可交换。 本文将其中的单位元存在条件弱化为存在中心正则元，。 定理3 1尺是有中心正则元r 的环，n 是正整数。如果对于r 中任意的 x ，y 均有依赖于它们的正整数m m ( x ，y ) 使得【砂一y “，z 】暑0 ，那么r 是交换 环。 引理3 1 嘲如果对于r 中任意元x ，y ，都存在依赖于x ，y 整系数多项式 q ( x ) ，使得y y z q ( y ) 与x 可交换，那么尺可交换。 引理3 2尺是有中心正则元厂的环，且对于r 中任意元x ，y ，都有 ( 1 + 工) ( 1 + y ) 一( 1 + y ) ( 1 + z ) 一1 ，y z z y 则彪一荔。 证明 由y z z y 知 z ( 1 + y ) 一( 1 + y ) z 左乘，+ i x