（交通信息工程及控制专业论文）一类不确定非线性时滞系统的鲁棒控制.pdfVIP

摘要 l u r e 控制系统是一类非常典型的非线性控制系统，在飞行器控制、航空、 航天控制、液压伺服机控制等许多领域具有十分广泛的实际工程背景。但是由于 系统的非线性特性、不确定性和时滞等因素，使得对它的研究呈现出非常复杂的 特征。近年来，随着人们对具有多个执行机构的不确定滞后型l u r e 控制系统认 识的加深，对于多执行机构l u r e 系统的鲁棒控制更是引起了人们极大的关注。 本文针对不确定滞后型l 肼e 系统，利用范数不等式和b 8 p u n o v 泛函方法， 首先研究了单执行机构的控制系统，给出了具有结构参数扰动和范数扰动界的系 统鲁棒绝对稳定的条件；针对当线性部分的不确定性满足范数有界条件而非线性 部分的不确定性满足匹配条件的l u r e 控制系统，在整体指数稳定的意义下，给 出了系统指数稳定的非线性状态反馈的设计方法。然后进一步研究了具有多执行 机构的不确定滞后型l u r e 系统，给出了时滞界和鲁棒扰动界的估计；随后讨论 了鲁棒绝对稳定的充分条件，给出非线性状态反馈控制器的设计。本文还研究了 多执行机构l u r e 系统的保性能控制问题，导出了无记忆状态反馈控制律的存在 条件和参数化表示方法，通过建立和求解一个具有多个线性矩阵不等式( l m i s ) 约束的凸优化问题，绘出最优保性能控制律的设计方法。在每一个重要的定理后 面，我们都给出了相应的数值仿真算例，以说明研究结果的可行性和有效性。 在本文的研究中，线性矩阵不等式( l m i ) 优化方法在稳定性分析中起到了 关键作用。这是由于随着m a t l a b 等系统分析优化软件包的广泛使用，高维矩阵 的计算已经非常简单，利用线性矩阵不等式( l m i ) 良好的内点优化算法优化的 理论结果，可以更好地为工程设计所接受。 关键词：l u r e 控制系统，不确定性，时滞，线性矩阵不等式，鲁棒，绝对稳定 性，镇定，保性能控制。 a b s t r a c t i ti sk n o w nt h a tl u r ec o n t r o ls y s t e mi sac l a s sv e r yt y p i c a ln o n l i n e a rc o n t m l s y s t e m ，w h i c hh a sw i d e l ye n g i n e e r i n gb a c k g r o u n do f t h ed o m a i no fa e r o c r a rc o n t r o l a n da v i a t i o nc o n t r o le t c b e c a u s eo ft h ec h a r a c t e r i 5 t i co fn o n l i n e 虬蚰c e n a i n t ya n d t i m e d e l a ye t c ，t h es t u d yt ol u r ec o n t r o ls y s t e mt a k e so nv e r yc o m p l e xp e c u l i a r “y a l o n g w i m s t u d yo f l w eu n c e r t a i nt i m e d e l a yc o n 妁ls y s t e mw i t hs e v e r a ls t a t i o n a r y c o m p o n e n t si sd e e p e n e d ，t h er o b u s tc o n t r o lp r o b l e mo fl u r es y s t e m 埘t hs e v e r a l s 僦i o n a r yc o m p o n e n t si sp a da t t e n t i o ni n 血en e a r 如n l r e b yu s i n gn o 肿i n e q u a l i t ya n dl y 印u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d ，l u r eu 1 1 c e r t a i n t i m e d e l a yc o m r 0 1s y s t e mw i 血as t a t i o n a r yc o m p o n e n t i sc o n s i d c r e da b o v ea l li nt h i s p a p e l s u 衔c i e n tc o n d i t i o n so ft h er o b u s ta b s o l u t e s 协b i l i t y o ft h e s y s t e mw i m s t m c t u r e d p a r a m e t e rp e r t u r b a t i o n sa n d n o r f nb o l l i l dp 啪e t e r p e r t u r b a t i o n sa r eg i v e n w h e ni nt h el i n e 对p a no fm e p l a n t ，t h eu n c e 嘲n t i e sa r ek n o 、w lb u tn o r n l - b o u n d e d ， a n dt h eu n c e r t a i m i e si nt h en o n i i n e a rp a ns a t i s f ym es o c a l l e dm a t c h i n g c o n d i t i o n ，t h e n o n l i n e a rs t a t ef 色e d b a c kl a wo f e x p o n e n t i a ls t a b i l 醇f o r 世博s y s t e mi so b t 出n e di nt h e s e n s eo f g l o b a je x p o n e m i a ls t a b i i i t yf u r t h e n i l o r e ，l u r eu n c e r t a i nt i m e d e i a yc o n t r o l s y s t e m w i ms e v e r a l 8 t a t i 。n a r yc o m p o n e n t si ss t l l d i e di nt l l i s p 印e l t h er o b u s t a b s o i u c es t a b i l j t yb o u n da n dt h ed e l a yb o u n do f t l l es y s t e mc a nb ed i r e c t i ye s t i m a t e d b ya n a l y z i n gt 1 1 e r o b u s ta b s 0 1 u t es t a b 钒t 1 1 ed e s i 朗o fn o i l l i n e a rs t a t ef e e d b a c k c o n 廿0 l 】a wi so b t a i n e d i n a d d i t i o n ，d l eg u a r a n t e e d c o s tc o n t r o l p r o b k m “a m 锄o f y l e s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r si sc o n s j d e r c di nt h i sp a p e r 南rl u r ec o n t r o j s y s l e m w i t hs e v e f a l s t a t i o n a f yc o m p o n 锄! s ， a n ds 山西c i e n tc o n d i t i o n sa n dt h e p 籼e t e r i z e dr 印r e s e n t a t j o na r e 百v e n i np a n i c u l 甄n l e0 p t 汹a 】g u a r 觚t e e dc o s t c o n t r o l1 a ww h i c hm i m m i z e s 也ev a l u eo ft h eg u a r a n t e e dc o s tf o r 也ec l o s e - l o o p u n c e n a i nt i m e d e l a ys y s t e mc a l lb ed e t c h n 缸e db yf o m l u l a t i n ga n ds o l v j n gac e n a i n c o n v e x o p t i m i z a t i o np r o b l e m w i t hs e v e m l l i n e a rm a 喇x i n e q u a l 泔e s ( l m i s ) c o n s 扛时n t s e v e r yi m p o n a n tt h e o r e m i s f o l l o w e d b yc o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a le x a m p l e s t o i l l u s t r a t ef c a s i b i l i t ya n dv a l i d i t ) ，o f t h er e s u l t s i nm i s p a p e r ，i tho u t s t a n d i n gr e g a r d e dt h a tm es t a b i l i t i e sr e s u l t sa r eo p t i m i z e d b yu s i n gl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) b e c a u s eal o t o fs o n w a r ea sm a t l a ba r e w i d e l ya p p l i c a t i o ns u c ht h a tt h eo p e r a t i o no fh i g hd i m e n s i o nm a n i xb e c o m e sv e r y e a s y ，t h et h e o r yr e s u l t sw h i c ha r eo p t i m i z e db ye f f i c i e n ti m e r i o r 。p o i n to p t i m i 删i o n a l g o r i t h m so f l i n e a rm a t 血i n e q u a l i t y ( l m i ) c a l l b em o r e a c c e p t e d k e y w o r d s ：l u r ec o n t r o ls y s t e m ，u n c e r t a i m y ，t i m e d e l a y l i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ，r o b u s t n e s s ，a b s 0 1 u t es t a b i l i t y ，s t a b i l i z a t i o n ，( 沁a t a n t e e d c o s t c o n t r o l 硕 ：学位论文第一章缭论 第一章绪论 1 1 研究的背景及意义 众所周知，当一个实际系统投入运行后，随着工况、环境等的改变，系统的 非线性、不确定性和时滞是不可避免的，它们的存在往往是导致整个系统失稳的 内在因素。对于它们的研究将具有非常重要的理论意义和工程价值。 非线性系统与线性系统相比，由于它的运动类型非常多，导致了非线性的研 究与分析要复杂得多，难以形成统一的方法对其进行分析和反馈设计。但对一些 结构比较特殊的系统，如仿射非线性系统，则已形成比较完善的方法，比如基于 微分几何理论的精确线性化方法，微分代数与线性代数方法等。l u r e 非线性系 统代表一类扇区非线性的控制系统，在飞行器控制、航空航天控制、液压伺服控 制等许多领域具有十分广泛的实际工程背景。自1 9 4 4 年提出以来，一直是国内 外学者研究的热点问题，也取得了一大批丰硕的成果。但是正如美国s i a m 组织 的专门研究小组在1 9 8 8 年的研究报告控制理论的未来方向数学展望中 指出的那样：“虽然非线性控制系统的稳定性是一个受到重视的研究领域，也出 现了很多的数学成果，但都只是涉及一个变量的非线性控制系统的结果，例如 p o p o v 准则、l y a p l l l l o v 方法等，而对于多变量的非线性控制系统作出相应的结果 还是没有得到解决的问题。”事实上，对于一个l u r e 控制系统往往不可能只有 一个执行机构，因此具有多个执行机构的l u r e 控制系统的研究也日益受到了国 内外数学界和控制界的广泛关注。 同时，对于一个实际的非线性系统，即使利用非线性数学模型来描述，亦同 样存在着不确定性( u n c e r t a i n t y ) 因素。系统工作环境的变化、模型的不精确、 降阶近似、非线性的线性化等均可以视为不确定因素。有时系统的受控对象可能 有几个不同的工作状态，当用同一个控制器来控制对象时，人们也把由于工作状 态的不同所对应的参数的差别视为一种不确定扰动。事实上，现代鲁棒分析的最 重要特点就是要求讨论系统在不确定因素下性能的保持能力，这种符合工程实际 的思想在经典控制理论中是以稳定裕度来衡量的。如何解决不确定系统的鲁棒控 制问题已经成为近年来控制理论研究的一个重要分支。另外，有时对一个实际不 碗士学位论文锫一章绪 论 确定控制系统来说，仅仅具有鲁棒稳定性是不够的，还必须考虑其它的一些性能。 比如线性二次型最优控制理论揭示了一个适当的二次型性能指标能反映系统的 许多性能要求，但线性二次型最优控制理论是建立在被控对象精确的数学模型之 上的，对模型参数不确定性的鲁棒性不好。因此就产生了保性能控制( g u a r a n t e e d c o s tc o n t r 0 1 ) 问题。也就是对所有允许的不确定性，所设计的控制律不仅保证闭 环系统渐近稳定，而且保证性能指标不超过某个确定的上界。到目前为止，对于 滞后型系统的保性能控制的研究多集中在线性系统方面，对于非线性系统则几乎 很少涉及到，尤其是对l u r e 系统。 时滞( t i m e d e l a y ) 是自然界中广泛存在的一种物理现象，时滞的存在是引 起系统不稳定的重要因素，给系统的分析和控制器的设计带来了很大的困难，因 而时滞对象被认为是最难控制的对象之一。如何抑制由于时滞而造成的系统性能 的下降成为控制理论界研究的一个热门课题，为此发展出了一个重要的研究分支 一一时滞控制。对于我们来说，感兴趣的是系统由于时滞的存在而对其稳定性的 影响以及不确定时滞系统鲁棒绝对稳定的时滞界问题。 在非线性控制系统中一个长期困扰人们的问题就是所得的理论上结果往往 过于复杂，而导致实用价值大打折扣。比如精确线性化的结论涉及过于复杂的偏 微分方程组的求解：仿射非线性系统关于日。控制的结论涉及一个困难的h j i 不 等式；r i c c a i i 方程的有关参数的选取直接关系到结果的好坏。而线性矩阵不等式 ( l m i ) 由于具有良好的内点凸优化算法，得到了许多学者的青睐。如何将理论 结果转化为可用m a t l a bt o o l b o x 工具箱进行计算的线性矩阵不等式( l m i ) 形式， 对于工程实际具有非常大的应用价值。 1 。2l u r ，e 系统的研究现状 l u r ，e 控制系统最早是由l u r e 和p o s t n i k o v 【2 】在1 9 4 4 年以飞机控制为背 景建立的一类代表性非常广泛的非线性控制系统模型。他们成功地构造了“二 次型加积分项”的l y a p u n o v 函数，引起了人们的极大重视。本世纪以来，关于 l u r e 控制系统的绝对稳定性的研究历史悠久，已经形成了一整套完整的理论。 我国学者高为炳、黄琳、冯纯伯、郭雷、赵素霞、廖晓昕、年晓红等在此类系 硕士学位论文掣一带缔舀 统绝对稳定性的研究方面也取得了突出的研究成果p “。 由于工程上大量存在的各种不确定因素的影响，因此在控制系统设计中， 人们希望系统具有尽可能强的抗干扰能力，即具有很好的鲁棒性( r o b u s t n e s s ) 。 近年来，关于非线性l u r e 控制系统的鲁棒绝对稳定性的研究也取得了一系列成 果。1 9 8 7 年，g r u j i c 和p e t k o v s k i i l5 j 分别用频域方法和代数方法讨论了具有参 数不确定性的l u r e 控制系统绝对鲁棒稳定性，给出了系统鲁棒绝对稳定的充分 条件；1 9 9 1 年，t e s i 和v i c i n o ( 26 推广了著名的p o p o v 频率判据，给出了具有参 数不确定性的l u r e 控制系统鲁棒绝对稳定性的频率判据；1 9 9 5 年，s a v k i n 和 p e t e r s e n 【1 7 】讨论了一类结构不确定l u r e 控制系统的鲁棒绝对稳定性；1 9 9 9 年， k o n i s h i 和k o k a m e 【1 8 】应用线性矩阵不等式( l m i ) 给出了l u r e 控制系统鲁棒绝对 稳定性的一些充分条件。近年来，国内学者关于l u r e 控制系统鲁棒绝对稳定性 的研究也取得了一些进展，1 9 9 7 年，陈辉、黄琳【“ 讨论了多输入输出l u r e 控 制系统的鲁棒稳定性；1 9 9 8 年，陈辉、黄琳用日。方法研究了多输入输出l u r e 控制系统的鲁棒稳定性，给出了系统鲁棒稳定的扰动界；廖晓听【3 00 】利用部分变 元稳定性理论对l u r e 间接控制系统的绝对稳定性进行了讨论；年晓红 2 l 】利用 l y a p u n o v 泛函方法讨论了中立型l u r e 间接控制系统的绝对稳定性，得到了一 些保证系统在h u r w i t z 角域足f o ，纠绝对稳定的充分条件；进一步，年晓红【2 2 】讨 论了具有区间系数的l l | r e 控制系统的鲁棒绝对稳定性，给出了系统鲁棒绝对稳 定的一些充分条件；杨斌、潘德惠对此结果作了迸一步改进；年晓红m 9 1 还研 究了不确定l u r e 时滞系统的绝对稳定性，讨论了时滞相关和时滞无关的充分判 据，并给出了鲁棒绝对稳定界和时滞界的估计。 近年来，国内外许多学者对具有多执行机构的l u r e 控制系统的稳定性进行 了广泛的讨论，得到了一些很好的结果【2 4 。2 ”。1 9 8 7 年，赵素霞2 6 讨论了多执行 机构的绝对稳定性问题，随后，又于1 9 9 5 年【j0 】研究了绝对稳定性的频域原则， 给出了l u r e 型l y a p u l l o v 函数存在的充分必要条件；年晓红【2 7 _ 2 8 1 讨论了多执行 机构l u r e 系统的绝对稳定性，给出了一些充分条件；年晓红f 2 9 。川还讨论了高为 炳院士等提出的l u r e 区间控制系统，给出了具有多个相互独立执行机构的l u r e 区间直接控制系统和间接控制系统绝对稳定的若干充分条件；郭雷【3 ”研究了多 密 i ：学位论文常一费劈苗 非线性l u r e 系统的镇定问题，得出了非线性状态反馈和输出反馈镇定分别依赖 于一个双线性和三个三线性不等式的解。 由于时滞现象广泛存在于工程控制系统中，对于具有时滞的控制系统稳定性 研究已成为当今控制理论界研究的一个热门课题。六十年代以来，国内外许多学 者研究了具有时滞的l u r e 控制系统的绝对稳定性，如p o p o v 、s o m 。l i n e s 、阮炯 分别用频率域方法、特征根分布估计和l y a p u n o v 方法给出了系统绝对稳定的频 域判据和一些时滞无关充分条件3 2 。4 】；而年晓红利用范数不等式的方法讨论了 l u r e 直接控制系统绝对稳定的时滞相关条件，给出了系统绝对稳定的时滞界。 在时滞系统稳定性的研究中，所采用的方法最根本的方法仍为l y a p u n o v 方法， 微分不等式方法所得到的结论一般也可直接由l y a p u n o v 方法得到。已有的研究 结果表明，工程上常用的频率域方法与l y a p u n o v 方法具有一致性。 随着不确定系统鲁棒二次镇定和状态空间理论研究的发展，使不确定闭环系 统渐近稳定，且性能指标值不超过某个确定上界的保性能控制越来越受到国内外 许多学者的关注。1 9 7 2 年，c h a n g 和p e n g l 3 5 j 就参数不确定系统首先提出了保性 能控制问题；后来，p e t e r s o n & m c 如l a l l e 【3 6 】提出了二次保性能控制，并用r a c a t t i 方程去设计二次保性能控制律。国内学者也对此作出了一定的研究，俞立等”】 研究了一类不确定离散系统的保性能控制问题，通过将保性能控制问题转化为一 个线性时不变系统的日。控制问题，导出了保性能控制律的存在条件，采用。控 制技术给出了保性能控制律的设计方法；随后，俞立【3 印又进步研究了线性离散 系统的情形，给出使闭环系统性能指标上界尽可能小的最优保性能控制问题的线 性矩阵不等式( l m i ) 形式；年晓红等【3 9 】针对变时滞线性系统在设计控制器时受 到时滞导数( ( r ) o 为调节参数，“( f ) 是控制变量，盯( ，) 是控制信号，( ) 是满足扇区条件的 非线性函数，一般其满足下述三种形式： 啪】= 扩( ) | 厂( o ) = o ，o o ，盯o ，厂( 连续 ， ( 2 1 。3 一i i ) 凡= 扩( ) l ，( o ) = o ，可( 口) o ，盯o ，厂( ) 连续 。 ( 2 1 3 i i i ) ，( ) 如图1 所示；l u r e 控制系统的反馈控制图如图2 所示。 所谓直接控制系统，指的是控制信号盯通过非线性环节厂( 盯) 直接产生控制 作用“。从物理意义上看，这常常是不现实的。因为信号并不带有足够的能量， 以至可以产生一种操作力、力矩( 如用来偏转舵机) 。 所谓间接控制系统，就是控制信号不能产生控制作用甜，但它可以操纵一个 能源( 如伺服机) 以产生操纵力。在系统方程( 2 1 - 1 ) 中，这体现在n ( f ) = 厂( 盯( r ) ) 上，如在伺服马达中，盯是控制电压( 信号) ，电机的输出力矩正是“。 颤 ? 学位论文棼r 二审茉奉概念 实际上，间接控制系统可以看作是有一个零特征根的直接控制系统，通过一 定的变换，间接控制系统和直接控制系统在数学表达式上是一致的。但间接控制 系统是 + 1 维，而直接控制系统是n 维的，因此在选用二次型加积分型矿函数 作为l y 印u n o v 函数时，对直接控制系统的讨论稳定性时要采取一些处理方式， 比如s 步骤。这将在下面的第三章中阐述。 火s ) 。 彦 彳 j 尼1 j 图1图 2 ( 上图中s 代表控制信号盯( f ) ，x 代表x 对f 的导数。) 2 1 2l u r ，e 系统稳定性问题 对于l u r e 系统来说，我们一般感兴趣的稳定性研究诸如全局稳定性、绝对 稳定性、渐近稳定性、指数稳定性和超稳定等方面，尤其是绝对稳定性。 定义2 1 如果对满足扇区条件( 2 1 3 ) 的任意厂( 盯( f ) ) ，l u r e 系统的零解都 是全局稳定的，则称l u r e 系统是绝对稳定的。 对绝对稳定性的研究是非常有意义的，因为我们所拥有的仅仅是系统的部分 信息，系统的稳定性取决于一组参数( 4 ，6 ，c ，是：) ，非线性特性完全消失。 2 2 不确定性( u n c e r t a i n t ) r ) 在实际控制问题中，不确定性是普遍存在的。一般来说，不确定性可能来自 两个方面：一是所描述的控制对象的模型化误差，一是来自控制系统本身和外部 硕士学经论文站二章恭奉溉念 的扰动信号。 一方面，基于控制理论进行控制系统设计时，必须知道控制对象的模型，控 制系统的控制效果在很大程度上取决于实际控制对象模型的准确性。然而，要找 到一个完全反映控制对象特性的模型是非常困难的。在控制系统设计中采用的模 型与实际控制对象存在的差异就是模型不确定性。 另方面，控制系统的运行也受到周围环境和有关条件的制约，比如环境噪 声等。它们往往是一类未知的扰动信号，这就是扰动不确定性。 另外，不确定性还可分为结构不确定性和非结构不确定性，前者表示那些整 个控制对象和不确定性之间相互关系的结构是非常明确的不确定性，比如控制系 统中存在有限个不确定性参数；后者表示那些结构不明确的不确定性，比如频率 响应位于复平面上某一个集合内的不确定性。相对而言，对于非结构不确定性的 描述更为重要。 如何去设计能克服不确定性影响的控制系统，这就是鲁棒控制所要研究的课 题。下面我们分别从结构不确定性和非结构不确定性两方面来阐述不确定性。 2 2 1 非结构不确定性 最简单的不确定性描述是把实际控制对象的传递函数只( s ) 与公称模型的传 递函数p ( 5 ) 之差描述为不确定性，即： ( 5 ) = 只( s ) 一p ( s ) ( 2 2 - 1 ) 由( 2 - 2 1 ) 式描述的( 5 ) 称为可加不确定性。 如果把实际控制对象的传递函数只( 5 ) 与公称模型的传递函数p ( s ) 之相对差 描述为不确定性，即： ( s ) = 【只( s ) 一p ( j ) 】尸一( s ) ( 2 2 2 ) 由( 2 2 - 2 ) 式描述的( j ) 称为可乘不确定性。 2 2 2 结构不确定性 娘七学位诧文 第一章摹奉概念 在实际控制对象中，往往是描述动念特性的方程式具有己知的形式，即模型 的结构是已知的，但是方程式中具有不确定的系数，即模型参数的值是不确定的。 一般来说，模型参数多少都包含有不确定性。这种不确定性由于具有已知的结构， 所以称为结构不确定性。 考虑下述由状态空间模型描述的线性时变系统： 那! 。竺7 眇b m ( 2 - 2 _ 3 ) y ( f ) = c 譬( f ) 其中z ( ，) 、“( f ) 、y ( f ) 分别是具有适当维数的状态、控制输入、输出，( f ) 、s ( f ) 分别是具有适当维数的各系数矩阵不确定性的参数向量。 如果用实际的系数矩阵与系数矩阵的公称值之差表示系数矩阵的不确定性， 即： 彳p ( f ) = 4 p 0 ) 一4 曰 r ( r ) b s ( f ) 卜b ( 2 2 4 ) 其中一和b 分别为各系数矩阵的公称值，爿p ( ，) 和b 【j ( f ) 】分别是有界时变的 不确定性a 对应于小l 剧的类型，爿 ，( r ) 和研5 ( ，) 有f 述三中描述方法： ( 1 ) 参数结构不确定性。 埘 州) 】_ ：。( f ) ，) j 1 ( 2 2 5 a ) 曲) 】= ：。驰) 耳，m f ) i l ( 2 2 - 5 b ) ( 2 ) 块结构不确定性。 幽【r ( f ) 】- ：。_ d 4 4 【r ( f ) 峨，h 【r ( 侧1 ( 2 - 2 6 a ) 凹) 】_ ：，d g e s ( ，) 慨，) 非l ( 2 - 2 - 6 b ) ( 3 ) 结构的不确定性。 爿p o ) 】= d 。 ，o ) 】毛，i j 。p o ) 1 ( 2 2 - 7 a ) b p o ) 】= d 。 5 ( f ) e 。，l 陋。p o ) l ( 2 2 7 b ) 其中爿，蜀，玩，易，d 。和毛等分别是已知的常数矩阵，表示不确定性的结构， ( ，) s 。( ，) ，。p ( f ) 和。 5 ( ，) 等分别为未知的有界不确定性参数或矩阵，表示 碳： ? 学位论立 缮| _ 二章每奉概念 在不确定性结构下的有界时变摄动，| h | 表示最大奇异值。 2 2 3 匹配条件( m a t c h i n g c o n d i t i o n ) 在对不确定性鲁棒镇定的研究中还经常采用一种所谓的匹配条件的假设。 定义2 1 ：考虑不确定系统： 膏= ，( x ，r ) + - 冬，( x ，f ，) + 雪( x ，f ) “+ b ( x ，r ，v ) “+ c ( x ，) w ( 2 - 2 - 8 ) 这里，幽视为由不确定参数向量芦，v 决定的摄动，而( 熊v ) q ，q 为一有界 闭集。如果存在连续矩阵函数 ( z ，f ，) ，点( x ，f ，v ) 和d ( z ，) ，使得下式成立： ，( x ，f ，) = b ( x ，r ) 向( x ，) ( 2 2 9 a ) b ( z ，f ，v ) = b ( x ，r ) e ( x ，v ) ( 2 2 9 b ) c ( x ， ) = b ( x ，f ) 0 ( x ，f ) ( 2 2 9 c ) 则称不确定性是具有匹配条件的。 实际上，匹配条件要求的是系统的控制输入和不确定性通过同一个通道进入 系统的动态过程中。对于不满足匹配条件的不确定性有许多方法去处理，比如将 不确定分解为匹配部分和不匹配部分，对不匹配部分引入度量m 等。在本论文 的探讨中，我们主要分析满足匹配条件的不确定性和满足范数有界的不确定性。 2 3 时滞( t i m e d e i a y ) 所谓时滞( t i m e d e l a y ) 是指信号传输的延迟。从频域特性的角度来说，它 是指相频特性对频率导数的负值。 时滞是自然界中广泛存在的一种物理现象，例如带式运输机中物料传输的延 迟、卫星通讯中信号传递的延迟、原水多级泵送系统中水流传输的延迟等等，它 们都是典型的时滞现象，还有许多系统如化工系统、液压系统、扎钢系统等都具 有时滞现象。而且时滞还是系统的一个重要的不确定因素，因而对时滞系统的研 究也受到了许多学者的重视。 0 硕l ? 学位论文 笫一枣基奉撬念 时滞有时是对象固有的，含有固有时滞特性的控制对象称为时滞对象 ( p r o c e s sw i t hd e a dn m e ) ，前述的带式运输机、卫星通讯、原水多级泵送系统均 是这一类；有时是无意识引入系统的，如采样控制系统中采样保持器。对时滞的 研究在时滞控制( t i m ed e l a yc o n t r o l ，t e c ) 中得到了较好的成果( 4 】，但在本 文中并不主要探讨时滞控制方面的研究，我们的兴趣主要是考虑当系统中存在时 滞的时候，如何去消除它对系统鲁棒稳定性的影响。 目前对于时滞系统的鲁棒稳定性与镇定的研究大致分为三种分析方法：一种 是l y a p u n o v 泛函方法，这类方法得到的结论一般要依赖于时滞，对于变时滞更 是要求时滞导数满足小于1 ，即矗( f ) 0 ，使得： 一c 7 6 爿7 c + p 6 + 诏 7 q _ 1 吉4 7 c + p 6 + 钟 ( 3 2 1 0 ) o二 则系统( 3 - 2 一1 ) 的零解绝对稳定。其中户为l y 印u n o v 方程( 3 2 2 ) 式的解。 推论3 - 2 ：若存在一个对称正定矩阵q ，使得： 一c 7 6 寺爿7 c + 尸6 + c 7 q 一 去爿7 c + p 6 + c ( 3 2 1 1 ) o 二 则系统( 3 2 1 ) 的零解绝对稳定。其中p 为l y a p u n o v 方程( 3 2 2 ) 式的解。 注3 1 ：推论3 2 是定理3 3 在f ：1 时的情况。 定理3 4 鸭若存在一个对称正定矩阵q 和个正数r 0 ，使得 p 7 6 一 勺 【寻4 _ + 助+ 印 9 。砖一7 c + 尸6 + c ( 3 2 ：1 2 ) 疗22 则系统( 3 ，2 1 ) 的零解在h u 刑i t z 角域 o ，纠内绝对稳定。其中尸为l y a p u n o v 方 4 鬻 髓：学 亟论文豁三章l u r l e 系统的摹奉理论 定理3 5 ( s 步骤) 6 9 ：设氏e ，只是关于善眉”的二次型函数： f ( 孝1 = 掌7 i 专+ 2 “? 孝十v 。，f = o ，l ，p ( 3 2 一1 3 ) 这早：f = t 7 ，如果存在善使得： 玩( 掌) so ，而f ( 善) o ，f = 0 ，l ，一，p ( 3 2 1 4 ) 那么存在r l o ，f 。o ，使得； r ( 善) + 三，f ( f ) o ( 3 2 1 5 ) 注3 2 ：当函数f ( 告) 是仿射的时候，s 步骤定理是充分必要的，这也叫做 f a r k a sg i 理。 注3 3 ：二次型加矿函数法最初是由马尔金提出的，但后来人们在研究l u r e 直接控制系统时发现，如果直接应用这个方法将会导致一些错误的结论。这是由 于研究者习惯上采用典范型的系统方程： 膏= 4 ：+ 6 ，( d ) ( 3 2 _ 1 6 ) i d = c 7 x 这样做就使得片维直接系统变成了 + 1 维系统。事实上，若考虑盯= c 7 z ，而直 接系统实质上是疗维的，系统方程应理解为：量= 瓜+ 6 ，( c 7 x ) 。v 函数 v ( x ，) = v ( x ，厂p 7 x ) ) 表明v 也仅是x 的函数；相应的t 也仅是z 的函数。那么当 我们将i 视为x 与1 的函数时，4 x + 龟厂= o 是 个方程的线性方程组，但变量却 有行+ 1 个，因此必有非零解，这样t 不可能负定。 为了解决这个问题，鲁里叶等人通过研究后提出对其采取加减项的手段以消 除影响，后来阿依热满将这种方法归纳称之为s 步骤。这方面的内容在高为炳4 】 的著作中有详细的论述。 硕i ? 学位论文 第三章h r ! e 系统的錾奉理论 3 3 绝对稳定的p o p o v 准则 1 9 6 0 年，罗马尼亚数学家波波夫( p o p o v ) 将奈魁斯特频域方法推广到研究 非线性控制系统的绝对稳定性上，得到了著名的波波夫( p o p o v ) 准则，这种频 域方法受到了普遍的重视。稍后出现了圆盘判据；再后来卡尔曼与雅库波维奇独 立地证明了著名的k y p 引理，建立了l y 印u n o v 方法与频域方法之间的联系桥梁。 在本节中我们重点叙述p o p o v 准则及其一些相关的推论。 定理3 - 6 【p o p o v 准则严7 1 ：如果存在一个实数g ，使得： r e ( 1 + f g ) 旷u 国) ) + o ， v 国o 这里形( 泐) 定义为： 眈r 愕爿l 矽f f k 里堕： ! ! ：剑 、7 d ( f 国)d 鲥( f m e 一一) 则系统( 3 2 1 ) 的零解在h u r 州t z 角域( 0 ，纠内绝对稳定。 特别令七斗。o ，则式( 3 3 1 ) 变为r e ( 1 + 幻) 形( f ) o 。 一世( _ ，) d ( 一，脚) + 足( 一，) d ( ，) 一k ( - ，) d ( 一，珊) 一k ( 一，) d ( 卯) ( ) 一g y ( 珊) + o ，o 。 在复平面( + j ，) 上，其频域特性曲线为： ( ) = y ( ) + y ( 出) ， ( 一) = ( ) 】。 ( 3 3 1 ) ( 3 _ 3 2 ) ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) 碗j ? 学位论立第三枣t r ：e 系统的基奉理论 对所有的甜，其图像在过( 一妻，o ) 的斜率为的直线f 的右边。庀叮 定理3 7 m 6 8 1 ：若v o ，当( 盯) = 。，则系统( 3 - 2 - 1 ) 的零解全局稳定，