（基础数学专业论文）重构核无网格方法及其误差估计.pdfVIP

东北犬学硕士学位论文 摘要 重构核无网格方法及其误差估计 摘要 无网格方法作为一种新的数值计算方法，由于其可以克服有限元法等传统数值分析 方法对网格的依赖性，彻底或部分地消除网格，近年来获得了蓬勃的发展，是目前数值 计算研究的热点领域之一 首先，本文基于重构核近似的基本原理和近似函数的构造方法，应用配点法和最小 _ 二乘原理，给出了一种重构核最小二乘无网格方法并对一维和二维非线性偏微分方程， 利用重构核最小二乘无网格方法，得到了非线性方程组，通过编写m a t l a b 程序，并用牛 顿迭代法求解非线性方程组，该方法简单，易行，收敛率比较高 其次，根据重构核近似的误差估计，结合最小二乘法，得到了一阶线性微分算子的 最小二乘无网格方法的误差估计：特别地，如果算子是椭圆且强制的，根据n i t s c h e 技巧， 得到了r 空间的误差估计如果一阶非线性微分算子是强单调，l i p s c h i t z 连续的，也得 到了最小二乘无网格方法的误差估计对于非线性椭圆方程边值问题，在满足一定的条 件下，得到了r k p m 方法的误差估计 再次。因为核函数在无网格方法中扮演着重要角色，样条函数以其多项式形式适合 做无网格方法的核函数，经研究表明，样条核函数并不是阶数越高越好，这要与所研究 问题的导数的阶数有关；通过计算两个不同的核函数对精度，收敛率的影响，可以看到 在同一无网格方法，其他因素相同的条件下，一个结果是收敛的，另一个却很不稳定 最后，罚函数对无网格方法精度的影响也不容忽视，研究表明对于线性边值问题， 罚函数的影响并不明显；对于非线性边值问题，罚函数的大小变化会对结果产生非常显 著的影响，随着罚函数大到一定程度，数值解的精度有着显著的提高 关键词无网格方法，误差估计，重构核近似，最小二乘法，强单调，l i p s e h i t z 连续 罚函数，r k p m 1 i 查韭苎鲎塑主堂堡堕查 垒! 坐型 r e p r o d u c i n gk e r n e lm e s h f r e em e t h o d a n de r r o re s t i m a t e a b s t r a c t a san e wn u m e r i c a lm e t h o d ，m e s h f r e em e t h o di sr a p i d l yd e v e l o p e da n do n eo ft h eh o t t e s t r e s e a r c ha r e a so v e rt h ew o r l d i tc a ne l i m i n a t e ，a tl e a s tp a r t l y , t h em e s ha n da v o i dt h e d e p e n d e n c yo f m e s hs u c ha sf m i t ee l e m e n tm e t h o d f i r s t ，t h ep r i n c i p l eo fr e p r o d u c i n gk e r n e lm e t h o da n dt h ec o n s t r u c t i n gm e t h o do f a p p r o x i m a t ew a si n t r o d u c e d an e wr e p r o d u c i n gk e r n e ll e a s ts q u a r em e s h f r e em e t h o dw a s p r e s e n t e db a s e do nt h ep r i n c i p l eo f p o i n tl e a s ts q u a r em e t h o da n dr e p r o d u c i n gk e r n e lm e t h o d t h e r ea r et w on u m e r i c a le x a m p l e so np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，o n ei so n ed i m e n s i o na n d t h eo t h e ri st w o c o m p i l i n gm a t l a bc o d ea n ds o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o ns e tw i t hn e w t o n m e t h o d i ti sas i m p l ea n dh i g hc o n v e r g e n c er a t em e t h o d s e c o n d ，t h ee r r o re s t i m a t eo fl e a s ts q u a r em e s h f f e em e t h o df o ro n eo r d e rl i n e a r d i f f e r e n t i a lo p e r a t o ri sg o tb a s e do nt h ee r r o re s t i m a t eo fr e p r o d u c i n gk e r n e la p p r o x i m a t i o n a n dl e a s ts q u a r em e t h o d p a r t i c u l a r l y , i ft h eo p e r a t o ri sc o e r c i v ea n de l l i p t i c ，t h er e s u l ti s s h o w ni nl 2s p a c eb yn i t s c h e 硎c k a b o u tt h en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a lo p e r a t o rw h i c h p r e s e r v e s s t r o n g l ym o n o t o n ea n dl i p s c h i t zc o n t i n u i t y ，t h er e s u l ti ss i m i l a r u n d e rs o m ec o n d i t i o n s ，t h e e r r o re s t i m a t eo f r k p mi sp r e s e n t e df o rs o m en o n l i n e a r e l l i p t i cb o u n d a r yp r o b l e m n i r d , b e c a u s ek e r n e lf u n c t i o ni sa l s oa ni m p o r t a n tr o l ei nm e s h f r e em e t h o d s p l i n e sa r e s u i t e df o rt h e i rp o l y n o m i a lf o r m s t h r o u g ht h en u m e r i c a le x a m p l e ，t h er e s u l ti sn o tb e a e ra s t h eo r d e rb e c o m e sh i g h e r t h ec o m p a r i s o nf o rd i f f e r e n tk e m e lf u n c t i o n si se x h i b i t e di na f i g u r e i f o t h e rc o n d i t i o n sa r e t h es a m e ，o n ei su n i f o r mc o n v e r g e n c e ，t h eo t h e rj sn o ts t a b l e ， l a s t ，t h ei n f l u e n c eo fp e n a l t yi sn o tn e g l e e t e df o rt h em e t h o di n t r o d u c e di nt h i sp a p e r f o r t h el i n e a rb o u n d a r yp r o b l e m ，t h e r ei sn om u c hi m p r o v e m e n to np r e c i s i o n t h er e s u l tb e c o m e s b e r e ra st h ep e n a l t yf u n c t i o ni sb i ge n o u g hf o rn o n l i n e a rb o u n d a r yp r o b l e m k e yw o r d sm e s h f r e em e t h o d ，e i t o re s t i m a t e ，r e p r o d u c i n gk e r n e la p p r o x i m a t i o n ，l e a s ts q u a r e s t r o n g l ym o n o t o n e ，l i p s c h i t zc o n t i n u i t y , p e n a l t yf u n c t i o n ，r k p m i 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中取得的 研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过的 研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 学位论文作者签名： 日期： 加g 、8 、 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索、交流 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 东北大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 在科学技术领域内，对许多的力学问题和物理问题，人们已经得到了他们的基本方 程应遵循的常微分方程或偏微分方程以及相应的边界条件但能够用解析方法求出精确 解的只是少数性质比较简单，几何形状相当规则的方程，由于方程的某些非线性性质或 由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案这类问题的解决通常有两 种途径，一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到在简 化状态下的解答但是这种方法只在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致 误差很大甚至错误的解答因此人们多年来寻找和发展了另一种途径和方法数值解 法随着计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要 工具 1 1 无网格方法的特点 有限元法是现在应用非常广泛的一类数值计算方法，它的基本思想是将连续的求解 区域离散为一组有限个，且按一定方式连结在一起的单元组合体由于单元能按不同的 连结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可阻模型化几何形状复杂的 求解域有限元法作为数值分析方法的另一个重要的特点是利用在每一个单元内假设的 近似函数来分片地表示全求解域上待求的末知函数单元内的近似函数通常由未知场函 数或及其导数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达从而，在有限元分析中， 未知场函数或其导数在各个结点上的数值就成为新的未知量，这就将一个连续的无限自 由度问题变成离散的有限自由度问题，从而可以求得在整个求解域上的近似解显然随 着单元数目的增加，解的近似程度将不断改进如果单元满足收敛要求，近似解最后将 收敛于精确解 近年来一类新兴的数值计算方法一无网格方法引起了人们的重视，它可以克服有 限元法等传统数值分析方法的某些缺点，而且在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示 出明星的优势，在理论及其应用方面获得了突飞猛进的发展， 无网格方法主要有以下特点1 1 ： ( 1 ) 网格的缺失。彻底或部分地消除了对网格的依赖性，抛开了网格的初始划分和网 格重构，易实现白适应分析【2 f 3 1 有限元法虽然目前已有一些网格生成器，但是需要不断 】 查韭查鲎堡堂堡垒圭 整二主堕亟 更新网格，占机时多，而且准确性也不能够保证 ( 2 ) 形函数的连续性无网格方法的形函数可以构造任意阶次的连续性，很容易满足 求解问题的需要，不需要进一步的光滑处理在有限元法中，构造具有高于c 1 连续性的 近似函数是比较困难的，得到的解在单元间一般是不连续的，在后处理时需要进行光滑 处理 ( 3 ) 采用紧支函数的无网格方法和有限元法一样具有带状稀疏系数矩阵适用于分 析各类具有高梯度、奇异性等特殊性质的应用问题 ( 4 ) 无网格法的前处理只要节点位置信息，不用网格信息，容易分析复杂的三维结 构 ( 5 ) 要达到需要的精度，无网格法的计算量往往大于有限元无网格法的形函数比有 限元复杂，弱形式积分的积分点数量比有限元多；在每一个积分点需计算无网格形函数， 其中涉及到方程组的求解，矩阵和矩阵、矩阵和向量等的运算；无网格法的带状稀疏系 数矩阵通常比有限元的要宽 ( 6 ) 本质边界条件有限元等基于网格的方法通常具有插值性质，大多数的无网格法 不具有这类性质，从而本质边界条件就不能直接施加，需要另外的技巧来实现，如：拉 格朗日乘子法【4 、罚函数法【5 】【6 】、修正变分原理、与有限元耦合法和奇异权函数法等【7 】， 这些技巧可能降低无网格法的收敛性 1 2 无网格法的分类 无网格产生于3 0 多年以前，直到最近十几年才真正引起人们的关注并开展了深入 的研究，涌现了各种各样的无网格方法其中主要的有：漫射元法( d i f f u s ee l e m e n t m e t h o d ， d e m ) ，无单元g a l e r k i n 法( e l e m e n tf r e eg a l e r k i n ，e f g ) ，有限点法( f m i t ep o i n tm e t h o d ， f p m ) ，h p 云团法( h pc l o u d s ) ，无网格局部边界积分方程法( m e s h l e s sl o c a lb o u n d a r y i n t e g r a le q u a t i o n ，m l b i e ) ，无网格局部p e t r o v - g a l e r k i n 法( m e s h f r e el o c a lp e t r o v g a l e r k i n ， m l p g ) ，单位分解法( p a r t i t i o no fu n i t ym e t h o d ，p u m ) ，光滑节点流体动力学法( s m o o t h p a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，s p h ) 和重构核节点法( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d , r k p m ) 等【l 】 目前提出的无网格方法，它们之间的主要区别在于所使用的试探函数( 如移动最小 二乘近似、重构核函数近似、单位分解法、径向基函数、点插值法等) 和微分方程的等 2 东北大学硕士学位论文第一章绪论 效形式( 如g a l e r k i n 法、配点法、最d - - 乘法、p e t r o v g a l e r k i n 法等) 的不同，主要的 无网格方法见下表剐， 表1 1 主要的无网格方法 t a b l e t 1m a i nm e s h f x e em e t h o d s 虽然无网格法近年来获得了蓬勃的发展，但是在严格的数学论证、计算效率、边界 条件处理和大量应用实例等方面还不能跟传统的有限元法相媲美，更没有形成通用的软 件，但是它内在的优越性、灵活性、多变性是毋庸质疑的无网格方法涉及的领域远比 有限元方法、+ 阔，随着研究的不断深入，它的优点会更加明显的体现出来，有可能成为 主流的数值计算方法 1 3 本文的主要内容 ( 1 ) 介绍了无网格方法的基本思想、构成格式、现状，简单的介绍了无网格方法相 对于有限元法的优、缺点，并列出了主要的无网格方法 3 东北大学项士学位论文 第一章绪论 ( 2 ) 本文通过介绍了基于重构核近似的基本原理和近似函数的构造方法，应用配点 法和最小二乘原理，给出了一种重构最小二乘无网格方法，并对一维和二维非线性偏微 分方程，利用重构核最小二乘无网格方法，得到了非线性方程组，通过编写m a t l a b 程序， 并用牛顿迭代法求解非线性方程组 ( 3 ) 根据重构核近似的误差估计1 10 】【1 l 】，结合最小二乘法”l ，得到了一阶线性微分算 子的最小二乘无网格方法的误差估计，特别对于算子是椭圆且强制的，根据n i t s c h e 技 巧，得出了r 空间的误差估计；对于具有强单调，l i p s c h i t z 连续的一阶非线性微分算子， 也得到了最4 , - - 乘无网格方法的误差估计而且对于非线性椭圆方程边值问题，在满足 一定的条件下，得到了r k p m 方法的误差估计 ( 4 ) 无网格方法影响其精度的因素有很多，本文讨论了罚函数和核函数对无网格方 法的影响研究表明样条核函数并不是阶数越高越好：而且对比了两个不同的核函数对 精度，收敛率的影响，可以得到在其他因素相同的条件下，一个是收敛的，另一个却很 不稳定研究表明对于线性边值问题，罚函数的影响不明显；但对于非线性边值问题， 罚函数大小的变化会对结果产生非常显著的影响，随着罚函数从很小开始增大到一定程 度，数值解的精度有着明显的提高 d 。 东北大学硕士学位论文 第二章重构核最小= 乘无网格方法 第二章重构核最小二乘无网格方法 根据重构核近似的基本原理和近似函数的构造方法，应用不同的微分方程等效形式 就得到不同的无网格方法本章应用配点法和最小二乘原理，得到了一种重构核最小二 乘无网格方法 1 4 】，在边界点采用罚函数法；与一般的配点法相比，这种重构核最小二 乘无网格方法的系数矩阵是对称正定的，计算精度高，稳定性好，该方法的实施不需要 背景网格，不需要进行高斯积分，是一种真正的无网格方法 2 1 重构核近似 下面给出一些常用的记号，设q c r 4 是一非空有界开集，d 是所研究问题的维数 口= l ，)q 0 口! = 0 7 11 口21 口d ! ， 矿= 芹1 2 x h = ， 。“( x ) = 瓦两o l 。l - u ( x ) 瓦 对r 。且r 0 耳( ) = x r d ： l x - x o l i r ) ( r o ) 是以x o 为圆心，为半径的闭圆，特别地，当x o = o 时，我们简记耳( 0 ) 为e 记艿( ) 为d i r a c d e l t a 函数，对“c ( a ) ，由它的性质 “( x ) = “( 覃) 6 一芽) 拯；，q 其中j 函数具有下面的性质 删= 仁蓦， e 万( 曲斑= 1 堡些垄堂塑主兰堡垒查 茎三主重塑塑墨：! ：三壅垄塑整查兰 为了在实际的计算中得以应用，需要用其他的有限值函数来近似d i r a cd e l t a 函数 通常取为f 一。中；0 一少) ， 0 且巾。( z ) ；o ( 三) ，d 为问题的维数巾称为核函数或光滑 f 函数 2 1 1 核函数 它应满足以下条件： ( 1 ) o 是连续函数， ( 2 ) s u p p 中= 旦， ( 3 ) 中( z ) o ，i n l o ， 1 - 6 - 查些查芏塑主芏垡堕苎 笙三主兰塑堡墨! ! ：三鲞垄塑整查鲨 o、一j型莩旧(z) = l _ e - p 2 r 卜1 【0f z l 1 噼1 - 6 1 2 1 2 + 。k | 4 粥， 州加f k | 2 y 豁 其中q = ( 2 t + 1 ) ! ( 2 2 旷) ，m ，c “ ，、| 0 i z l 1 “2 2 ( 1 一i ：i ) s ( 6 + 3 6 h + 8 2 盯+ 7 2 p 1 3 + 3 0 1 ：4 + 5 盯) i ：i - - i i g 血日果甜c ( n ) ，k 埘，贝0 v 1 口i k d “虬斗d 4 u ，s j 0 + 在q 的紧子集上一致成立 上面( 2 1 1 ) 的近似式只在域内是收敛的，对有限域问题需要在边界处进行修正l i u 等1 6 1 认为离散形式的核近似不满足一致性条件，修正了此近似公式为 ( x ) =- e o ；( x 一覃) c ( 工；i ) 甜( i ) 抛= ， x q ，( 2 - 1 - 2 ) 其中校正函数 c ( x ；i ) = 曙( x - r ) b ( 2 1 3 ) 醪( x ) - 岛( z ) ，6 2 ( z ) ，。( 曲 吃( z ) 为相应的系数向量，只为多项式基函数向量，。可由下式确定 - 7 东北大学硕士学位论文 第= 章重构核最小= 乘无网格方法 虬= 鲥等竽螋 泣， 一些一维和二维的一阶和二阶完备基如卜- ： d = 1 ，p = 1 ；正( x i ) = 【l ，x i d = l ，p = 2 = 辛j ( x i ) = 1 ，z i ，( z i ) 2 】， d = 2 ，p = 1 j 譬( x i ) = 【1 ，x i ，y 一罗 d = 2 ，p = 2 = 辛鼍( x i ) = 1 ，x i ，y 一歹，( x 一覃) 2 ，( x i ) ( y 一罗) ，( y 一歹) 2 】 2 1 2 重构核的一致性 修正的系数向量吃( z ) 可通过近似式满足一致性条件来求得，即( 2 1 2 ) 能够精确 重构次数p 的多项式一致性条件可以通过t a y l o r 展开来实现，下面以二维问题为例 将( 2 i 2 ) 中的函数“( i ) 在x 点作t a y l o r 展开，有 螂? 竺囊( y 嘲- y ) 考o ：+ u 孚等眩”， + 。一硝y 嘲器+ 可矿 将( 2 1 _ 3 ) ，( 2 1 5 ) 代入到( 2 1 2 ) ，有 式中 卅j ( x ) = ( z ) 【只。一i ) “z i ) 譬。一i ) 柏；】 i = 1 州2 一，虬 写成矩阵的形式，则 式中 r e ( x ) = 埘t ( z ) i m a x ) ，埘虬( x ) r = f o ) 吃( x ) m ) = 1 w 一i ) 只。一i ) 譬。一i ) 以k 如果函数u ( x ) 为p 阶多项式，则 8 - 塑酽 k ： 喝塑妒 丝锄 删菇 东北大学硕士学位论文第= 章重构核最小二乘无网格方法 娑：o “ 川：蚺一，。 融却7 。 。 因此式( 2 1 6 ) 中只要前n 。项不等于零如果式( 2 1 6 ) 能够重构p 阶多项式，必须有 ，( x ) = 1 ， 肌，( x ) = 0i = 2 川3 一，虬， 将上式写成矩阵形式，得 则 m ( x ) 吃o ) = k w ( z i ) 只。一i ) 譬。一i ) 吒 ) a f a i2 屯0 ) = m ( x ) “p ( o ) 其中以覃一曲= 一。中。( i x ) 将整个求解域五用节点“) 羔。离散，从而得到离散的近似式 令 则 = p ( o ) u a ) = y i , 。 一_ ) c ( x ；- ( 坼) ( 2 1 7 ) j = l 、王，( 砖= 中。0 一x ，) c ( x ；而) _ u e ( j ) = 甲，( x ) “( z ，) f 自 如果记不同的节点的支撑域半径记为0 ，则 根据一致性条件，有 l 王，o ) = m 。0 一x d c ( x ；x ，) _ ， ( 2 - 1 8 ) 中1 ( x z ，) = 州x - - n x l ) 9 东北大学硕士学位论文 第= 章重构核最小= 乘无网格方法 记 即 使得 “( x ) = 甲( x ) “( _ ) = 甲7 u ，v u e p ， 、王，= 【、王，1 ，y ：，甲r m ( x ) = 西。o 一_ 圮0 一x ，) 譬 一_ ) 屹 ，= 1 m ( x ) 吃 ) = p ( o ) 定义2 i t l o 】一点x 西称为被m 个形函数覆盖是指，存在个指标，t ，i 卜一_ l o ，j = 1 “2 一，m 引理2 2 1 0 1m ( z ) 可逆的必要条件是：v x e q 至少被n p = d i n l 0 个形函数所覆 盖，巴是p 阶多项式空间 特别的，在一维的情况下，m ( x ) 可逆的充要条件是x 至少被p + 1 个形函数所 覆盖 2 1 3 形函数的性质 下面设m ( z ) 是非奇异的，形函数掣，( x ) 如( 2 1 8 ) 所定义 ( 1 ) 形函数具有紧支域，即s u p p w ，= s u p p o n ( 2 ) 形函数 甲，) 盖。形成单位分解，甲，( x ) = l ( 3 ) 如果中c ，则、王，c ，= l ，2 ，n ( 4 ) 设中c ，则 一1 0 女鲨大学硕士学位论文 第= 章 重构核最小= 乘无网格方法 d 。甲，( x ) 一坼) 4 = ( 一1 ) 纠! v 陋i - d ，或q = 1 ， m + l d ，贝0 对v “w m + l , q ( q ) ，“7 v = s p a n 、f j 羔l 有 i l u - ”, i | ，。， c r 4 i 卸+ “9 “卜i ”i ，。+ ，。， v i _ m i n m + 1 ，p + 1 ， 特别，当m p ，q = 2 z l - - u r0 。，c l r 1 ”i 。，。，； lz l - - u r k ，印州峋， 其中是c ，c 1 ，c 2 是与“，r 无关的正常数 本章中涉及到的正常数c 在不同表达式中可能是不同的，需要根据具体情况来辨 翱i 3 2 最, j 、- - 乘无网格方法的误差估计 3 2 1 一阶线性微分算子 文【1 2 】给出了基于移动最小二乘近似的一阶线性微分算子的最j 、- - 乘无网格方法的 误差估计【”，这里研究了基于重构核近似的一阶线性微分算子和一阶非线性微分算子的 最小二乘无网格方法误差估计的情形 设n 是月4 中一开区域，d = 1 , 2 ，3 ，r 是边界，要讨论的线性边值问题如下： 1 7 东北大学硕士学位论文 第三章重构核无网格方法的误差估计 a u = f ，在q 内， “= g ， 在re ( 3 2 1 ) 其中a 是一阶线性微分算子，是域内函数，g 是边界上的函数 设矿是r ( q ) 的一个子空间，满足 矿是爿的值空间 令 v = v el 2 ( c o i a ver ( q ) ，且v = g 在r 上) = m ( n ) = w r ( q ) 1 w = a v ，v v 如果，w ，任试探函数v ev ，在x q 的残值为 r ( = ，一a v ，( v ) = l 陋( v ) 1 1 2 p 。n ) = i l ，一a v l l 2 p 。n ) = i i v 一厂1 1 2 f 。n ) = ( 4 v 一，a v 一，b 。 其中l 2 ( c o 的内积( ，) r ( n ) 定义为 记 其中 ( 州) 加) = l 枷d q 设“是问题( 3 2 1 ) 的精确解，对1 ( 0 取最小值，有 1 t i - m , o 旦d t ( ，( ”+ 加) ) = 2 l ( 爿v ) ( 爿“一厂) d q = o v v 矿 b ( u ，v ) = f ( v )，v p ， ( 3 2 2 ) b ( u ，v ) 2 ( a u ，a v ) l , ( n ) ，( v ) 。( 厂，a v ) e ( n ) 显然，对于任意算子a ，b ( u ，v ) 是对称的 数值解就是在有限维空间v 7 v 中，求“7 v 7 ，使得 w ( u r , v 7 ) = f ( v 7 ) ， v v 7 v 7 ( 3 2 3 ) - 1 8 - 查苎查芏壁主堂堡垒查 箜三主重塑塑垄旦整查查塑堡墨堡盐 设“，矿分别足精确解和数值解，根据( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ，有 ( a u ，a v 7 ) r ( n ) 。( ，a v ) f ( n ) ，v v 7 v 7 ， ( 3 2 4 ) ( 一“7 ，a v 7 ) r ( n ) 2 ( 厂，a v 7 ) r ( n ) ，v v 7 v ( 3 2 5 ) 从而，得到正交性条件 ( 一0 一) ，a v 7 ) f f n l2 0 ，v v 7 v 7 设 r ( u ) = 厂一a u = f a u 一( ，一a u ) = a ( u u r ) 故 ( 月( 矿) ，a v 7 ) r ( n ) 2 0 ，v v v - 因为 ( ”) 印) = l z 舳加) | | v | b ) ， ( 3 2 6 ) 根据正交性条件，s c h w a r z 不等式，有 i a ( u - u ) 2 p 。，= ( 彳( “一“7 ) ，一( “一“7 ) ) f 。， 2 ( 一( “一“7 ) ，彳( “一y 1 7 ) ) f ( n ) + ( 爿( “一“7 ) ，a ( r i “一“) ) f ( n ) = ( 爿 一矿) ，a ( u n ，“) ) 鼬_ ) i i 一( “一“7 ) l i r 。，i i 爿( 甜一兀7 甜) 0 产。， 其中兀7 是“在v 7 中的投影 从而 0 一( 一“7 ) l f 。，0 爿( “一“) i i f 。， 设一是一阶线性有界微分算子，则存在一正常数m ，使得 l i a v i f ( 。) m i h i 。，( 。) ，v v eh 1 ( n ) ， 所以 0 尺( “7 ) 8 f 。，= i a ( u - u ) i i r 。，_ m i i “一n 7 “i i 。，。， ( 3 2 7 ) 设a - 1 是有界线性算子，则存在一个正常数口，使得 口印) - h 帅) ，v v 矿 ( 3 2 8 ) 1 9 查些叁堂塑堂堡垒查第三章重构核无网格方法的误差估计 根据( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ，有 卜“忆。，s - 兀r 如 z 由引理3 1 ，得 i i h - - h r k ，c l r 9 帅， 其中，c ，是正常数，p 是完备多项式基的阶数 特别地，如果一阶线性微分算予a 是椭圆且强制的( 严格椭圆的) ，即有 训v m - l l a v l l 印) ， v v eh 1 ( n ) 从而 i 卜一“7 i l 。，。，等1 1 u - n 4 一。， | l u - u , 。，c 2 ，乩怕 其中c 2 是正常数 设w 是下面椭圆边值问题的解【2 6 】 a a w = e ，在q 内， ( 3 2 1 0 ) w = g ，在r 上 ( 3 2 + 1 1 ) 其中e = “一7 ，w w = m h 2 ( q ) w = g n r 上 ，a 是一的共轭算子 因为a 是强制的一阶线性微分算子，有 盘玳。，_ ci i a 一吨。，= 1 1 4 1 觚， 由w 是( 3 2 1 0 ) ，( 3 2 1 1 ) 的解从而 ：。) = 幢机( 。) = ( e ，a w ) 加) 因一是一的共轭算子 i l e l l ；。，= ( 一e ，彳w ) r 。n ) = ( r ，一忉p 。， 其中r = a ( u 一矿) 根据正交性条件 ( 爿 一矿) ，a w ) r ( n ) 2 0，7 ， 一2 0 东北大学硕士学位论文第三章重构核无网格方法的误差估计 有 i l e l l ：2 。= ( r ，a ( w w ) ) f 。， 0 ， 2 l - 塑! 查芏壁主茎堡垒圭 笠三主重塑垄垄璺垫查兰塑堡墨堡兰 l i m 口( f ) = + ， 使得 ( t x 一乃j 一力口d j x y n ) l l x 一) ， ，y d 则称r 为强单调映射 定义3 4 设映射f ：d c x 斗y ，若有正常数，使得 j i f ( x ) 一厂( 力0 兰z l l z - y l j ，垤，sd 则称f ：d 匕x _ 】，为l i p s c h i t z 连续映射，其中，正常数上称为l i p s c h i t z 常数 定义3 5 设x 是一线性空间，引进两个范数0 i i ，和0 如果存在两个正数c l 和c 2 ，使对z 中任意元素x ，都有 钏x 怦忙蚣c 2 川i 。 则称范数i i ，和”i i ：是等价的 设非线性边值问题为 a u = f ，在q 内， “= g ， 在r 上， 其中4 是关于“的一阶非线性微分算子，q 是一开区域，r 是边界，f ，g 分别是域内和 边界上的函数 设y 是一日1 ( q ) 子空间，满足 y = v h 1 ( o ) i v e r ( q ) ，且v = g 在r 上 是爿的值空间 w = r a n ( q ) = w r ( q ) 1 w = a v ，v 矿) 如果f w ，任一试探函数v v ，在x q 的残值为 尺( v ) = f 一爿v 令 ，( v ) = i i 尉v ) 1 1 2 fc n ) = l l 厂一爿v l l 2 l 2 ( n ，= l l a v - 1 1 2 r t n ，= ( 爿v 一，a v - f ) r 。， ， 东北大学硕士学位论文 第三章重构核无网格方法的误差估计 其中r ( q ) 的内积( ，) r ( n ) 定义为 其中 对，( v ) 取最小值，有 ( “，怫( n ) = l u v d f 2 b ( u ，v ) = f ( v ) ， v v b ( u ，v ) = ( a u ，a v ) l ：( n ) ，( v ) = ( ，a v ) a f n 数值解就是在有限维空间v 7 c v ，求“v ，使得 b ( u 7 ，v 7 ) = f ( v 7 ) ， v v 7 v 7 设“，u 7 分别是精确解和数值解，根据( 3 , 2 1 2 ) ，( 3 2 1 3 ) ，有 ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) ( a u ，a v 7 ) f ( n ) 2 ( 厂a v 7 ) r ( n ) ，v v 7 v 7 ， ( 3 2 - 1 4 ) ( 一“7 ，a v e ) 1 2 ( n ) 2 ( ，a v 7 ) f ( n ) ，v v v ( 3 2 - 1 5 ) 由( 3 2 1 4 ) ( 3 2 1 5 ) ，得正交性条件 设一是强单调的，则 其中，口是正常数 根据( 3 2 1 5 ) ，有 从而 ( a u a u r , a v 7 ) r = 0 ，v v 7 v 7 ( 3 2 1 6 ) ( 彳“一a u r , u - u r ) r 。，a0 “一“1 1 2 。，。 口l l u - , 1 1 2 。，。，0 一”一爿”l l r 。，i i u - u r i l 。， i u - u r0 h i ( n ) - ( 去i i a - a , i i 帅， 设a 是l i p s c h i t z 连续的，即 其中c 是正常数 i a u - 一u r i i ，。，r i l 。， 一2 3 - ( 3 2 1 7 ) ( 3 2 1 8 ) “h 1 ( n ) ， ( 3 2 1 9 ) 查! ! 垄芏塑主堂堡堕墨 苎三主兰塑堕垄婴整查鲞鲍堡墨竺盐 由以上各式，有 j j u - u l l ：j f n ，p ( 爿“一爿r ra “一a u r ) 加， 2 p ( a u a u r , a u a 1 7 7 u ) e ( n ) + ( 爿“一a u r , a f l 7 u a u ) r m l 2 p ( a u 一爿矿，a u a i l 7 “) f ， 卢l l 一“一a u r l l ，。，i i a u - a 1 7 “i i f 。， _ p l l a “一a u 0 ，。，c 0 “一7 “i i 。， 其中1 7 7 “是“在矿7 中的投影，芦，c 是正常数 从而，有 i i - u , i i 。，。，_ cm i i “一1 7 u i l 。， m 是正常数，由引理3 1 ，有 i l u - - u r h 脚d 乩叶n ) 这样就证明了下面的结论 定理2 假设算子一是l i p s c h i t z 连续的，强单调的，在引理3 1 满足的条件下，如果 “h + 1 ( n ) ，“7 矿7 = s p a n w ，) 羔l 贝0 i i 。l - - u r 。臼。， 其中c 是与，和u 无关的正常数 3 3r k p m 法的误差估计 r i c p m ”1 法是重构核近似和g a l e r k i n 法相结合的产物，我们以非线性椭圆问题来说 明它的误差估计 设q 是有界区域，其边界为r ，考虑非线性椭圆方程的d i r i c h l e t 问题 一姜知( x , u , v u ) + 6 ( x , u , v u ) _ ，( 战艇q ，( 3 3 1 ) 其中 “= 0 x f 2 4 - 东北大学硕士学位论文第三章重构核无网格方法的误差估计 v “：( 当，兰) ， o x i v 对于a j ( j = 1 ，2 ，) 与b 作如下假设 ( 1 ) q ( x ，“，p l 一，p 。) e c ( f x r “1 ) ，存在常数c i ，c 2 使 a y ( x ，0 ，o ) er ( q ) ， 阱q 斛g ， ( 2 ) 存在常数c o ) 0 ，使不等式 磊n 沓a a ：彭c o 砉防1 2 ，v 孝= 皤，缸一，品) e 于q r “1 上一致成立 ( 3 ) b ( x ，“，p l 一，p ，) 于g t x r “1 上可微且存在常数c 3 ，c 4 和依赖于c 0 ，c 2 ，c 4 的常 数c = c ( c o ，c 2 ，c 4 ) 使 呲嚣阱o b q ，孙胪1 上 ( 4 ) 存在常数c ，0 c 5 c o ，使 ( c 2 + e ) 2 - 4 c ( g c ) 0 应用g r e e n 公式，边值问题的广义d i r i c h l e t 问题是：求“卅( q ) 使 a ( u ，v ) = ，( v ) ，v u