（运筹学与控制论专业论文）股市收益率分布的尾部研究.pdf

摘要 摘要 在我国证券市场，因为受国家宏观调控政策和国际金融市场等因素的影响， 金融资产价格会出现一定程度的波动。尤其是股票市场，对调控政策和国际相关 行业信息更为敏感，受这些信息的影响，股票价格可能产生巨幅波动，从而使得 投资者面临巨大损失的风险。在这种情况下，如何合理预期所持有资产的收益和 损失风险就成为投资者关注的焦点。鉴于此，本文做了以下几个方面的研究。 首先，分别用b m m 模型和p o t 模型对中国沪、深股市指数收益尾部进行建模 研究，得出p o t 模型更能有效地拟合沪、深股市指数收益尾部，并且对收益尾部的 非对称性进行了实证分析。 其次，由于在p o t 建模中阈值选取的重要性，本文在已有的平均超出量函数法 和判断u 值引起参数估计量的变化法的基础上，将两种方法结合，克服他们本身所 固有的一些缺点，发现可以找到更为合适的阈值，为进一步的参数估计奠定了基 础。 最后，应用p o t 模型对实行涨跌停板制度前后的收益尾部进行了实证对比，从 实证的角度说明涨跌停板制度在保护广大投资者利益和保持市场稳定上所起到的 重要作用。 关键词：极值理论，广义p a r e t o 分布，极大似然估计，阈值，平均超出量函数， 尾指数 a bs t r a c t i nc h i f l a y ss e c u r i t i e sm a r k e t ，u n d e rt h ee f f e c to ft h es t a t em a c r o - c o n t r o lp o l i c i e sa n dt h e i n t e r n a t i o n a lf i n a n c i a lm a r k e ta n do t h e rf a c t o r s p r i c e so ff i n a n c i a la s s e t sw i l lf l u c t u a t e t os o m ee x t e n t ，e s p e c i a l l yt ot h es t o c km a r k e t ，w h i c hi sm o l es e n s i t i v et or e g u l a t o r y p o l i c i e sa n di n t e m a t i o n a lr e l a t e di n d u s t r i e s a n db e c a u s eo f t h ee f f e c to ft h e s ek i n d so f i n f o r m a t i o n ，i tm a yl e a dt oal m g es t o c kp r i c i n gf l u c t u a t i o n ，s oi n v e s t o r sa r ef a c i n gt h e r i s ko fh u g el o s s e s u n d e rs u c he i r c u m s t a n c e s ，h o wt or e a s o n a b l yp r e d i c tt h eb e n e f i t so f a s s e t sa n dt h el o s sr i s kh a sa l r e a d yb e c o m et h ef o c u so fi n v e s t o r s i nv i e wo ft h i s ，t h i s a r t i c l ed o e ss o m es t u d yf o r t h et o p i ca sf o l l o w s f i r s t l y , w es e tu pt h em o d e l sf o rt h er e t u r n so fs h a n g h a ia n ds h e n z h e ns t o c k m a r k e tb ym e a n so fb n o 讧a n dp o ta n dc o m p a r et h em o d e l s i no r d e rt oe s t i m a t et h e t a i lo ft h er e t u r n so fs h a n g h a ia n ds h e n z h e ns t o c km a r k e t ，w ef i n dt h a ti ti sm o r e s u i t a b l et ou s ep o tt of i ts a m p l ed a t at h a nb m m t h e nt h et h e s i sd o e ss o m ee m p i r i c a l s t u d yf o rt h en o n s y m m e t r yo f t h et a i l so fs t o c kr e t u r n s s e e o n d l y , t h e r er l et w oi m p o r t a n tw a y st oc h o o s et h r e s h o l d o n ei st oc h o o s et h e t h r e s h o l db yo b s e r v i n gt h ec h a n g e si np a r a m e t e re s t i m a t i o nc a u s e db yu ，a n o t h e ri st o c h o o s et h r e s h o l db ym e a ne x c e e d a n c ef u n c t i o nm e t h o d b e c a u s eo ft h ei m p o r t a n c eo f t h r e s h o l ds e l e c t i o ni np o t , t h et h e s i sc o m b i n e st h et h et w ow a y s t h e r e f o r e ，w ec a l l o v e r c o m et 1 1 e i ri n h e r e n ts h o r t c o m i n g s f u t u r e l y , w ec a ns e l e c tam o r ea p p r o p r i a t e t h r e s h o l d ，t h i sl a yaf o u n d a t i o nf o rf u r t h e rp a r a m e t e re s t i m a t i o n f i n a l l y , t h et h e s i sc o m p a r e st h et a i l so ft h er e t u r n sb e f o r ea n d a t t e rp r i c el i m i t sb y u s i n go fp o tm o d e la n ds h o w st h a tp r i c el i m i t sp l a yav e r yi m p o r t a n tr o l e i n e f f e c t i v e l yp r o t e c t i n gt h ei n t e r e s t so fi n v e s t o r sa n dm a i n t a i n i n gm a r k e ts t a b i l i t yf r o m t h ee m p i r i c a lp o i n to fv i e w k e yw o r d s ：e x t r e m ev a l u et h e o r y ，g p d ，t h r e s h o l d ，m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o n , m e a ne x c e e d a r l c ef u n c t i o n ，t a i li n d e x n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名： 日期：年月 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名： 日期：年月 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 收益率分布尾部研究的意义 金融资产收益率是金融经济学中一个非常重要的概念，它在金融建模中扮演 着十分重要的角色。能否对收益率的波动情况进行正确描述直接关系到证券组合 选择的正确性、风险管理的有效性、期权定价的合理性。对于检验资产定价理论， 利用计算风险或者收益的边界效用建立最优投资组合，给衍生品估价和定义套利 定价组合策略，测度和管理金融风险，对市场价格行为的假设进行一定的假设是 必要的。然而，既没有经济理论也没有这样的统计理论来给出收益分布的精确估 计。用于实证研究和理论研究的分布函数也总是假设或者由数据估计得出的结果。 曾经在金融研究当中一度较受欢迎的范例就是高斯分布。5 0 年代和6 0 年代 m a r k o w i t z ( 1 9 5 2 ) 和s h a r p e ( 1 9 6 4 ) 在研究资产组合的选取和金融资产定价模型 的时候曾假设资产收益率服从正态分布【l ，2 】。7 0 年代初期，b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 在假设标的资产价格服从布朗运动的基础上，成功计算出期权定价公式和套利组 合策略【3 】。近年来通过大量的实证研究人们发现金融市场上绝大多数金融资产的收 益率序列虽然相关程度较低但不独立，只有对较大的时间标度( 一个月) 收益率 分布才近似于正态分布，对于较小的时间标度分布具有明显的肥尾。即使在金融 建模中正态性假设被经常用到，但还是有愈来愈多研究人员提出其他的假设分布， 主要原因就是越来越多的论证表现出高斯分布不能对分布的尾部行为进行有效的 模拟。分布尾部反映的是潜在灾难性事件导致金融机构的重大损失，这正是风险 管理者和金融机构监管者注重的地方。例如，在1 9 2 9 年和1 9 8 7 年的股市崩盘中 市场日跌超过1 0 和2 0 ，如果再用高斯分布就不能很好的模拟，如何处理像这 样的金融极端事件在风险管理中极其重要。 金融资产价格的巨幅波动，如股票的暴涨暴跌，反映在收益率这一指标上就 是股票极端收益率情形，而极端收益率发生情况由收益率分布的尾部特征来决定， 所以研究分布的尾部特征具有极其重要的现实意义。为了更好的把握市场，很多 研究人员都把研究重点放在收益分布的左尾。但问及左尾是否比右尾厚的时候， 多数研究者会自然而然地用很肯定的口吻来回答。关于左尾比右尾厚的第一个原 因就是归于股市泡沫，第二个原因是由c a m p b e l l 和h e n t s c h e l ( 1 9 9 2 ) 提出的论断， 电子科技大学硕士学位论文 他们认为这种偏尾特征存在一种行为学的解释，认为偏尾特征是由“好消息”和 “坏消息”以及“波动聚集 作用共同导致的结果【4 1 。而广大投资者及金融监管机 构对股市暴跌尤为敏感，如果能够得到股市收益尾部特征，并且给出其近似分布 形式，依此制定投资策略，确定监管制度，将会使得金融风险得到更为有效的管 理，从而能够进一步控制和减少损失。 1 2 国内外研究背景 收益率服从正态分布是最早也是最经典的理论假设，该观点始于法国著名数 学家b a c h e l i e r 的开拓性研究。在1 9 0 0 年3 月2 9 日b a c h e l i e r 提交给法国巴黎科学 院的博士论文中，他第一次研究了投机市场期权的价格。为确定标的资产 ( u n d e r l y i n ga s s e t s ) 的价格变动规律，b a c h e l i e r 通过记录价格状态的转移概率( 即 现在熟知的c h a p m a n k o l m o g o r o v 方程) ，发现投机资产的价格满足所谓的扩散方 程，服从维纳过程，即资产价格的无条件分布为正态。虽然自b a c h e l i e r 的工作发表 后，1 9 0 5 年e i n s t e i n 从物理学的角度，1 9 2 3 年w i e n e r 从数学的角度都重新对布朗 运动进行了更深入的研究，但直到五十年代b a c h e l i e r 的工作才重新受到金融计量 分析家的重视。自从m a n d e l b r o t 第一次发现金融时间序列是一偏离正态、呈现厚 尾稳态分布以来【5 】，众多的金融分析人士对此进行了大量的探讨。m i k a e l l i n d e n ( 2 0 0 1 ) 运用拉普拉斯函数对股票收益进行研究，他的结论是拉普拉斯函数在拟 合股票的日收益数据和周收益数据方面具有很高的统计显著性【6 】。t h o m a sl u x ( 2 0 0 0 ) 研究了德国股票市场收益率分布的尾部，指出收益序列的肥尾，以及有 限方差特征 7 1 。2 0 0 3 年j o n d e a u 和r o c k i n g e r 对国际上一些比较成熟的市场进行了 研究，发现其尾部特征均为左尾比右尾厚 8 】。沪深股市建立十多年来无论从深度还 是广度来看都有了长足的发展，在我国国民经济中起了巨大作用。同时股市风险也 凸现出来。如何有效地测度沪深股市风险和研究沪深股票价格的剧烈变动显得非 常必要。国内在这方面的研究起步较晚，朱国庆、张维( 2 0 0 0 ) 依据极值理论，利用 g e v 模型实证拟合了上海股市极值收益分布形式，通过s h e r m a n 最优拟合优度 检验得出上海股市极值收益分布服从f r e c h e t 分布【9 1 。朱国庆、张维、程博( 2 0 0 1 ) 对股市收益厚尾性进行了研究，基于极值理论利用阈值顶点法p o t ( p e a ko v e r t h r e s h o l d ) 方法以样平均超出量( t h es a m p l em e a ne x c e s sf u n c t i o n ) 函数为工具，通 过g p d ( g e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o n ) 模型，对股市收益分布尾部进行拟合探讨， 由此给出股市收益分布尾部估计，并求出了尾部分位点【1 0 j 。徐龙炳( 2 0 0 1 ) 运用 2 第一章绪论 稳态分布对中国股票市场股票收益分布进行了实证研究。他发现中国股票市场股 票收益呈现厚尾特征，不服从正态分布【l l 】。封建强( 2 0 0 3 ) 对上海证券市场收益 率的对称性进行了研究，得出国内超额收益率分布基本上是对称的【1 2 1 。蒋春福 ( 2 0 0 6 ) 等人利用偏尾l a p l a c e 分布对我国沪深股市收益率的偏尾特征进行实证检 验。研究表明，我国股市的中长期收益率数据存在明显偏尾特征，与c a m p e l l 的行 为金融学解释恰恰相反，这种偏尾特征的具体表现是右尾比左尾厚【1 3 j 。 1 3 本文研究内容和目标 本文将对中国沪深股票市场收益率的分布进行拟合，通过对收益分布尾指数的 研究，分析收益分布尾部的厚薄度，以及左尾与右尾的非对称性。 根据极值数据选取方法的不同，已有的极值理论可以分为区组极大值理论模 型和阈值顶点( p e a k so v g l t h r e s h o l d ，p o t ) 理论模型。在两大模型的基本框架下，极 值理论的潜在危险在于参数的估计带来的误差会使得分位数的估计产生非 线性误差。在分块样本极大值理论模型中，既包括基于广义极值分布( g e d ) 模型参 数的极大似然点估计，还包括给定显著水平下分位数的极大似然点估计。在阈值 顶点( p o t ) 理论模型中，既包括基于广义帕累托分布( g p d ) 的模型参数和一定置信 水平下分位数的极大似然点估计，还包括高阈值的选取。因为阈值太大，超越阈 值的数据就会很少，则根据这些数据做出的估计误差就会较大；相反如果阈值取 得太小，可能不满足建模所依据的理论要求，则模型不能准确刻画分布的尾部行 为，所以阈值的选取很关键。本文将在已有的平均超出量函数法和判断u 值引起 参数估计量的变化法的基础上，结合两种方法的优势找出更为合适的阈值，这是 本文重点研究的第一个问题。其次，一般认为在成熟市场中左尾厚于右尾，而中 国股票市场现正处在新兴市场阶段，那么中国股市收益的尾部特征又会出现怎样 的特征，或者说什么样的分布比较适合拟合中国沪深股市将是本文重点研究的第 二个问题。最后，由于交易涨跌停板制度在证券交易中的重要性，本文将对实行 交易涨跌停板制度前后的股市收益尾部进行对比，并且还估计了实施涨跌停板制 度前后的v a r ，以从多个角度去探讨该制度实施的重要意义。 3 电子科技大学硕士学位论文 1 4 本文简要结构安排 根据上述内容，本文内容组织共分为六章，各章的内容如下： 第一章绪论。概述了收益率分布尾部研究的意义及国内外研究现状。 第二章统计极值理论。概括介绍了已有的极值理论的两大理论模型：区组最 大值模型( b m m ) 和阈值定点模型( p o t ) 1 4 , t 5 。 第三章参数估计。介绍了已有关于两种极值理论模型的极大似然参数估计方 法【1 4 , 1 5 】，并且在此基础上应用b m m 模型对3 种股票收益建模，得出b m m 模型并 不能很好地适合拟合中国沪深股市收益率。 第四章选取阈值。介绍了基于极值理论已有的两种选取阈值的方法 1 5 , 1 6 , 1 7 , 1 8 , 1 9 ，并且最后根据改进过后的阈值选取方法对3 种股票指数收益进行了建 模。 第五章关于实施涨跌停板制度前后的股市实证分析。用p o t 模型拟合中国沪、 深股市实施涨跌停板制度前、后的日收益率尾部，以及对实施该制度前后的数据 的v a r ( 在险价值) 进行了估计。从实证的角度说明涨跌停板制度在保护广大投资 者利益，保持市场稳定上所起到的重要作用。 第六章结论。对本文工作的总结。 4 第二章统计极值理论 第二章统计极值理论 极值理论( e x t r e m ev a l u et h e o r y ，以下简称e v t ) 是次序统计学的一个分支， 主要处理严重背离分布均值的统计数据。其基础是1 9 4 3 年g n e d e n d o 建立的著名 的极值定理，该定理认为极值的极限分布与本身的分布是独立的。瑞典物理学家、 工程师g u m b e l 于1 9 5 8 年对这一学科的研究作了系统的总结，从而形成了极值理 论。传统上，极值理论被用来预测海啸、地震等自然灾害。近些年来，极值理论 有了迅速的发展，并引起了许多实际部门的高度重视，得到了广泛的应用。如在 可靠性工程领域及人寿保险中，用来计算产品人员的寿命，在环境监测中，用来 估计降雨量，洪峰流量，水库容量等，在金融领域中，则用来做风险分析与中心 极限定理在描述随机变量和的收敛分布中的作用一样，极值理论是随机变量极大 值建模的关键。极值，从统计学意义上讲，是指某一时期随机过程的最大值和最 小值，通常位于金融收益分布的尾部。这些极值的产生可能与许多因素有关，例 如金融市场上的极值，可能与正常的价格回归有关，也可能与非常时期的股票市 场、债券市场、或者外汇市场的冲击有关。 极值理论主要研究的是极值分布及其特征，尤其是分布的尾部特征。从实践的 观点看，研究金融收益分布的尾部的重要意义在于能帮助我们估计极值的运动规 律，一旦知道了尾部特征，我们就可以应用风险度量的工具进一步分析可能的极 值运动。极值理论是测量极端市场条件下风险损失的一种方法，它具有超越样本 数据的估计能力，并可以准确地描述分布尾部的分位数。 按鉴定极值数据方法的不同，极值理论主要分成两类极值模型，即传统的分块 样本极大值模型和近年来发展并流行起来的阈值顶点( p o t ) 模型。分块样本极大值 模型对大量同分布的分块样本的极大值组成极端事件建模。阈值顶点模型则对样 本数据中超过某一阈值的所有观测值组成的极端事件建模。实践表明，阈值顶点 模型是最具有实际应用性的有效模型之一。 在单项金融资产回报尾部分布的建模中，极值模型的选择是首先应当解决的 问题。两种方法各有优缺点，分块样本极大值方法比整个序列的阈值顶点( p e a k s o v e rt h r e s h o l d ) 方法得到的极端值数据序列更接近于独立同分布序列，但它以损失 更多的数据为代价，增加了模型参数估计的不确定性，因而分块样本极大值方法 常用于分析有明显分块变动规律( 如季节变动等) 的数据。阈值顶点方法在选择极端 5 电子科技大学硕士学位论文 值样本时弥补了分块样本极大值方法损失大量样本数据的不足，。提高了模型参数 估计的精度。此外，阈顶点模型可直接对金融资产回报的尾部数据拟合极端分布( 如 g p d ) 。模型估计的形式更为灵活，既有极端值样本收敛于极值分布的参数估计( 如 g p d 的极大似然估计) 又有基于幂指准则的半参数矩法估计等。可见，阈顶点模型 因在样本选取和参数估计中更为有效而流行。下面将对已有的极值理论基础进行 较为详细的介绍。 2 1 基本概念 设z ，z ：，x 。是来自同分布f ( x ) 总体的一个样本，对其进行顺序排列得到 顺序统计量。通常的顺序统计量按升序排列，结果表示为五。) 五：) 五矿称 。) ，五：) ，五。) ) 为该样本的次序统计量。五。) _ m i n x - ，置，z ) ， x c 。1 = m a x x 1 ，五，五) 分别称为样本极小值和样本极大值，统称为样本极值， 为方便起见样本极大值通常被记为m 。极小值被记为聊刀，它们的分布成为极值分 布。文献证明，由极值构成的样本数据具有独立同分布( i i d ) 的性质，极值统计量的 分布函数可以由来自同一分布的总体分布表示之。 设f ( x ) 为总体的分布函数，互( 石) 为极小值分布函数，e ( 功为极大值分布函 数，则总体分布与它们之间有如下关系： 局( x ) = p r ( m 。x ) = 1 一p r ( m 。 x ) = 1 一p r ( x l x ，x 2 x ，x 。 工) = 1 一 1 一f ( 工) 】“ x r 最( z ) = p r ( x ( 。) x ) = p r ( x 0 ) z ，x 2sx ，x 。x ) = f “( x ) x r 这里r 表示所有实数结合。如果一直分布函数f ( 功，就可以根据上式，精确地求 出最大值和最小值的分布。但在应用中，( x ) 往往是未知的，因此很难直接用于 统计分析。所以，我们需研究最小值m 厅和最大值m 。的极限分布，它有很重要的 理论和实际意义，若记： 彳= 扛：0 ，( x ) 1 ) ，石= s u pa ， 弱= 唾f 彳 】 称集合a 为分布f ( 石) 的支撑，r 和五分别为分布f ( x ) 支撑的上端点和下端点。 显然对所有矗 工 0 ) 和倾) ，使得 1 i mp r ( 坐譬x ) = 1 i 里f ”( 口。x + 巩) = h ( x )工r ( 2 - 1 ) - - 4 - 。 打月+ 成立，其中日( x ) 是非退化的分布函数，那么h 必属于下列三种类型之一： i 型分布h l ( x ) = e x p - e 。) 一 o l 1x7u 其中i 型分布称为g u m b e l 分布，i i 型分布称为f r e c h e t 分布，型分布称为w e i b u u 分布，这三种极值分布统称为极值分布( e x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n ) 。其中口称为尾 指数参数，当口= 1 时，吼( 工；1 ) ，凰( x ；1 ) 分别称为标准f r e c h e t 分布与标准w e i b u l l 分布。称，玩为规范化常数。当尾部指数口一一时，可证明f r e c h e t 和w e i b u l l 分布为g u m b e l 分布。 极值类型定理说明，如果尥经线性变化后，对应的规范化变量 磁= ( m n 一统) 依分布收敛于某一退化分布，那么，不论底分布f ( x ) 为何种形 第二章统计极值理论 式，这个极限分布必定属于极值分布的三种类型之一。因此，极值类型定理提供 了类似于中心极限定理的极值收敛定理，我们不需要对样本的母体做任何的假设， 就可以估计样本极值的渐进分布。从模型的角度来看，三种极值分布类型蜀( 功， 凰( z ；叻，风( x ；叻完全不同，但从数学角度来看，它们之间却存在着非常密切的 关系。事实上，可以直接验证下面的结论：设x 0 ，则 x h 2e 亭l o gx 。h l 车专一石1 一月r 3 因此在某些场合，为方便起见，可以假定其中任意类型的极值分布。 容易求得三种类型极值分布的密度函数分别为： h l ( z ) = e - x h l ( 工) 一一 工 0 h 3 ( x ；c r ) = c z ( 一x ) a i h 2 ( 工；c r ) 工0 这三个密度函数都是单峰函数，即存在一个点u ，当x u 时，密度函数是非增的。它们的图像如图2 3 所示。 由上述密度函数表达式可见，当x 一桕时，极值i 型分布的密度函数呈指数 趋势下降，而极值i i 型分布的密度函数呈多项式趋势下降，极值i 型分布具有有 限的上端点。值得注意的是极值i 型分布的密度函数和极值i i 型分布的密度函数 向右偏。极值i 型分布的密度函数具有性质：( 1 ) 当口 3 6 时，密度函数向右偏。 如果引进位置参数( 1 0 c a t i o np a r a m e t e r ) 和尺度参数( s c a l ep a r a m e t e r ) 仃， 则三种类型的极值分布函数为： h ，f x f z 仃、= e x d j 一仑孚l 一 x + l ( 石；，盯) = e x p 一p 了 一 十 f 0 ， 酏舻叫唧 一( 孚几 爱删 嗽舻： e x p 一( 一孚h并删 【 1 对应的密度函数为： h i ( x ；，仃) = h lf 型1 a t 一 。 ( 2 - 2 ) 来表示，其中，孝r ，仃 0 。称h 为广义极值分布( g e n e r a l i z e de x t r e m ev a l u e d i s t r i b u t i o n ) ，简记为g e v 分布，善为形状参数( s h a p e p a r a m e t e r ) 。当孝 0 时，取 o l = 1 孝，则h ( x ；l t ，仃，毋表示极值i i 型分布，其位置参数和尺度参数分别为一阳 和砸。当孝= o 时，它表示极值i 型分布，这是因为，l i m h ( x ；l l ，仃，0 = 凰( z ；，仃) 。 当孝 0 ，当x 一佃时，分布以x 一口 形式趋于0 ，因此分布的尾部比较长；当 = 0 时，分布的尾部呈指数状e 一口；当 孝 0 ( 2 4 ) j i l ( x ；孝) = ( 1 + 孝x ) 一1 + 善e x p 一( 1 + 善工) 一。1 1 + 善x 0 ( 2 5 ) 对手= 0 的g u r n b e l 分布则有 日( _ x ) = e x p 一p 等 ( 2 6 ) h ( x ) = 孑1e x p _ 警叫_ x - 口u q - 7 ) 显然，如果x h ( x ；l t ，t t , 0 ，则标准化变量( x 一) o r h ( x ，d 。 将三种极值分布类型统一成一种分布，有利于统计分析，通过对形状参数孝的 推断，就能确定恰当的极值分布类型。为方便起见，重述修正后的定理2 1 。 定理2 2 设置，墨，咒是独立同分布( i i d ) 的随机变量序列，如果存在常 数列 口。 o ) 和溉) ，使得式2 1 成立，那么非退化分布h 是定义在 扛：l + 孝( x - t ) t r 0 ) 上的g e v 分布。 定理2 1 告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，如果规范化最大值分布 电子科技大学硕士学位论文 的极限存在，那么，该极限分布一定是三种极值分布之一。下面要讨论的是，对 给定的极值分布日( z ) ，底分布函数f ( x ) 应满足什么条件，才能保证规范化最大值 变量依分布收敛于f ( 功。 定义2 2 1 5 1 设x 。，z ：，l 是独立同分布的随机变量序列，分布函数为f ( x ) ， 对m 。，如果存在常数列 o ) ， 6 。) ，使得 l i r ap r ( 尘竺卫生x ) = l i mf “( 口。x + 玩) = 日( x ) “w “一 。_ 成立，则称随机变量x ( 或x 的分布函数f ) 属于极值分布日( 功的最大值吸引场 ( m a x i m u md o m a i no fa t t r a c t i o n ) 。记作x m d a ( h ) ，或f m d a ( h ) 。 定理2 2 1 5 】如果存在实数列 0 ) ， 6 一) ，当万一时，对所有的x er ， 有n f ( a n x + b 。) j “( x ) ，当且仅当 p r ( m 。a 。x + 巩) 一e 一”【” 其中耳( 曲= 1 一f ( x ) 为x 的生存分布函数，它表示分布f ( x ) 的尾部。 证明见文献 2 1 第三章。根据定义2 2 和定理2 2 易推得下面的定理。 定理2 3 ”3 如果存在常数列 o ) ， 6 打) ，使得 l i r an f ( a 。x + b n ) = 一l o g h ( x ) ( 2 8 ) 当且仅当分布函数f em d a ( h ) 。当日( 石) = 0 时，( 2 8 ) 的右边解释为。 二，由定理2 3 可得：指数随机变量属于极值i 型分布的最大值吸引场；c a u c h y 分 布属于极值h 型分布的最大值吸引场；均匀分布属于极值h l 型分布的最大值吸引 场。 要特别注意的是，上述推导过程中数列 a 。 o ) ，溉) 的选择并不是唯一的。 如果选择不同的数列，就可能得到不同的极限分布，但这些分布之间具有一定的 关系，下面的定理陈述了这种关系。 定理2 4 1 5 1 如果存在数列 a 。 0 ) ，溉) 和k 0 ) ， 以) ，使得 l i r ap r ( m 。sa 。工+ 巩) = 日( x ) l i r ap r ( m 。c 。x + d 。) = h ( x ) 工 一 则存在常数a 0 ，b 使得 日( x ) = h ( a x + b ) 这时称分布函数日( x ) 和日+ ( x ) 是同类型的。 定理2 4 的证明参见文献 2 2 1 。该定理说明，尽管数列 a n o ) ， 瓦) 有各种不 同的选择，但极限分布必定属于同一类型。如果两个分布函数是同类型的，就认 为这两个分布函数的吸引场是等价的。因此，只要找到一组数列，求得m 刀的极 1 2 第二章统计极值理论 限分布，即可确定底分布所在的吸引场。 2 4p o t ( p e a k so v e rt h r e s h o l d ) 模型 极值建模的实践表明，分块样本极大值模型与分块间期的大小有关，往往造 成大量数据的浪费，不能满足估计的大样本条件，增加了其参数估计的不确定性。 随之，一种基于对超过某一阈值的极端值行为建模的有效方法出现了，这就是阈 值顶点模型p o t ( p e a k so v e rt h r e s h o l d ) 。此外，它还为在险价值( v a l u e - a t - 鼬s k ，v a r ) 的计算提供便利，被认为是极端值建模实践中最有用的模型之一。 2 4 1 平均超出量函数 在总体分布未知的情况下，可用超过某一阈值u 的样本作为极端事件，对极 端事件建模重在估计超过某一阈值u 的超出量数( y = x 一“) 的分布，并在此基础上 估计总体分布函数。如下图所示： i f ， l f 乙f 甘 设五，五，咒是独立同分布( i i d ) 的随机变量序列，分布函数f 的支撑上端 点为x ，对固定的大值u u ，则称它为超阈值 ( e x c e e d a n c e ) ，称x f 一“为超出量( e x c e s s ) 。不难得到 e ( x ) = p r ( x - - u “) = ! 兰 掣，x o 称e ( x ) 为随机变量x ( 分布函数f ) 的超过阈值u 的超出量的分布函数，简称超 出量分布。对应的密度函数为以( x ) = 三等掣， x 0 ，l “， 五。】( x ) = p r ( x xlx “) = ! 二将 x “ ( 2 1 2 ) 称为随机变量x ( 分布函数f ) 的超阈值分布函数，对应的密度函数为 电子科技大学硕士学位论文 彳。】( z ) = 专专妥x 甜 rl h ， e ( u ) = e ( x uix “) 称为x 的平均超出量函数( m e a ne x c e s sf u n c t i o no f ) ( ) 。 超出量分布在许多领域中起着重要的作用，在不同的应用中可能会有不同的 名字。例如，在可靠性理论及生存分析中，e 称为剩余寿命分布( r e s i d u a ll i f e t i m e d i s t r i b u t i o n ) ，它表示在年龄u 还活着，剩余寿命小于或等于x 的概率。平均超出 量函数也称为平均剩余寿命函数，它描述了活到年龄u 时的期望剩余寿命。在保 险中，e 常称为超额损失分布函数( e x c e s so f l o s sd i s t r i b u t i o n ) 。 利用p ) 的定义及分部积分法，容易得到下面的式子，它们用于计算特殊情 况下的平均超出量函数。为方便起见，假设x 是一正值随机变量，分布函数为，( 功， 数学期望有限，且支撑为( x o ，) 0 ) ，那么对0 。) ，其中七训是示性 函数，k 表示数据集 五) 中超过u 的数据个数。在许多情况下，小于u 的值没有 记录或者没有被观测到。若五是独立同分布的，且底分布为f ，那么 ，计、 p r ( k = k ) = l ：ip ( 1 一p ) “一 k = 0 ，珂 托 即参数为n ，p = 1 一， ) 的二项分布，从而超过阈值u 的平均超阈值个数 e ( k ) = n p = n ( 1 一，( “) ) 关于u 单调。p o i s s o n 分布反映稀有事件的发生次数，对较大的阈值u ，事件瓴 “) 较少发生，因此在一定条件下，也可以认为超过阈值的次数k 服从p o i s s o n 分布。 经典的区组模型不能充分利用数据中包含的极值信息，为此考虑超过阈值u 的那些观测值x ；，这可用超阈值分布或超出量分布函数来描述。如果已知f ( x ) ， 则根据式( 2 1 3 ) 及式( 2 1 4 ) 知，这些分布函数完全可以确定。但遗憾的是，在 实际应用中，( z ) 往往未知，这就要考虑它的极限分布，就像g e v 分布作为最大 值的极限分布一样，我们也希望能够找到超出量的极限分布【1 5 】。 1 4 第二章统计极值理论 2 4 2 广义p a r e t o 分布 定义2 6 l 1 4 , 1 5 j 如果随机变量x 的分布函数为 g ( 训，硝) = 1 一f l + 孝孚广，x ，1 根x 一训盯 o ( 2 - 1 5 ) 则称x 服从广义p a r e t o 分布( g e n e r a l i s e dp a r c t od i s t r i b u t i o n ) ，简记为g p d 或g p 分布。其中r 为位置参数，盯 0 为尺度参数，孝r 为形状参数。 有时用货表示形状参数，所以广义p a r e t o 分布还有另外一种表示方式： g 。c x ；，盯，= 1 一孚 三三差 以训a 咖 1 - ( 孚) 一嚣三 g 3 ( x ；，仃，口) = ，一( 一孚) 4 誊一。 1 。 g l ，g 2 ，g 3 分别称为p a r c t oi 型分布、型分布和三型分布。与g e v 分布的记 号类似，当= o ，1 7 = 1 时，称为标准g p d ，相应的分布简记为g ( x ；0 或g ( x ) ， g 2 0 ；叻，g 3 ( x ；功。因此，分布g 就是指数分布，g 2 ( x ；叻为p a r c t o 分布，g 3 ( x ；叻 时b e t a 分布，特别当口= 1 时，g 3 ( x ；1 ) 表示区间 1 ，o 】上的均匀分布。易验证，当 l o g 4 , 一1 时，有g = 1 + l o g h i ，可见在广义极值分布与广义p a r c t o 分布之间存在 非常密切的关系。当善 0 时，g ( x ；t ，仉0 的支撑为 ，扣 ，取o f = 1 孝，则 g ( x ；，仃，孝) = 1 一( 三二铲 。1 膳= g ：( x ；一仃孝，盯孝，口) 当乎 0 时，分布函数g ( x ；0 ，仃，