（信号与信息处理专业论文）分数阶微分在岩石裂隙图像中的应用.pdf

摘要 摘要 分数阶微分对图像高频信号的强化相对整数阶微分要缓和许多，将分数阶微 分引入到对岩石裂隙图像的应用中可以更有助于本文在提取高频信号时保留较高 频的图像细节。这也是将分数阶微分引入到岩石裂隙图像处理中来的主要原因。 首先本文针对分数阶微分的t i a n s i 算子进行了大量的分析和研究，并在克服 这种算子缺陷的基础上改进了一种新的分数阶微分算子修正算子。新的分数 阶微分模板相比原有的算子和整数阶微分算子具有非常好的兼容性，而且在微分 效果上也具有较好的连续性，而且新算子的抗噪水平相对于t i a n s i 算子要稳定的 多。事实证明，这种模板算子在实践中更适合担当分数阶微分算子的角色。 然后本文根据分数阶微分的数学意义和岩石裂隙图像的特点提出了一种新的 非常好的适用于分数阶微分模板的算法- 迭代卷积。这种算法较好得结合了分 数阶微分和岩石裂隙图像的特点，将分数阶微分算子卷积的优点更好的发挥了出 来。实验证明，此方法相对于分数阶微分卷积后阈值分割具有更好的细节提取能 力。 最后本文将迭代卷积算法扩展到对一般图片的高频细节提取。相对于经典算 子微分阈值分割的效果，这种算法更注重将图像中的较小的纹理灰度值差异提取 出来，而经典微分算子阈值分割的算法更注重在意的是灰度值差异较大的边缘和 纹理。这种算法的扩展应用在提取图像纹理细节和分析图像纹理细节时具有非常 好的应用。 关键词：分数阶微分，岩石裂隙，迭代卷积，掩模模板 a b s t r a c t a b s t r a c t f o rt h ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a lh a saw e a k e rh i g h f r e q u e n c y - e n h a n c e da b i l i t yt h a n t h ei n t e g e ro r d e ro n e s ，i tw i l lb ev e r yh e l p f u li ft h ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a li si n t r o d u c e d i n t ot h ei m a g ep r o c e s s i n gw h i l ew en e e d i n gt oe n h a n c et h eh i g h - f r e q u e n c yi m a g e s i g n a l s t h i si sa l s ot h em a i nr e a s o nf o ri n t r o d u c i n gt h e f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a li n t ot h e p r o j e c to f t h er o c k s a tf i r s t , i tg i v e sag r e a td e a lo fa n a l y s i sa n dr e s e a r c ha b o u tt h ef r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a lo p e r a t o rw i t h i nt i a n s it e m p l a t e ，a n dab e t t e rt e m p l a t ef o r mb a s i n go nt h e t i a n s it e m p l a t ei s 酉v e n t h eo r d e r so fn e wf r a c t i o n a lt e m p l a t ea n dt h eo n e so f i n t e g e r - o r d e rt e m p l a t eh a v eav e r yg o o dc o m p a t i b i l i t y , a n da l s ot h en e w t e m p l a t eh a sa v e r yg o o dc o n t i n u o u sd i f f e r e n t i a l e f f e c t i tp r o v e st h a tt h en e wt e m p l a t ei sm o r e s u i t a b l ei np l a y i n gaf r a c t i o n a lo p e r a t o rr o l e s e c o n d l y , i tg i v e san e wa l g o r i t h mt h a ta p p l i e dt ot h ea p p l i c a t i o no ff r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a lt h r o u g ht h ec h a r a c t e r i s t i co ft h er o c kf r a c t u r ei m a g ea n dt h em a t h e m a f i c a l m e a n i n go ft h ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a lt e m p l a t e t h en e wm a t u r ea l g o r i t h mi n t e g r a t e s t h ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a lc h a r a c t e r i s t i c sv e r yw e l l ，a n di tp l a y so u tt h ea d v a n t a g e so f t h ec o n v o l u t i o nb yf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t o r t h ee x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h i s m e t h o dh a sab e t t e ra b i l i t yt oe x t r a c th i 曲- f r e q u e n c yd e t a i l so f t h ei m a g e s f i n a l l y , t h ei t e r a t i v ed e c o n v o l u t i o na l g o r i t h mi se x t e n d e dt ot h ea p p l i c a t i o no f t h e g e n e r a li m a g e s i ts h o w st h a tt h en e wa l g o r i t h mw i l lp a ym o r ea t t e n t i o n t ot h ei m a g e t e x t u r et h a ti nl o w e rg r a yv a l u ed i f f e r e n c e s ，w h i l et h ec l a s s i c a ld i f f e r e n t i a o p e r a t o rp a y m o r ea t t e n t i o nt ot h eh i g h e r 伊a yv a l u ed i f f e r e n c e t h i ss t u d yi sv e r ym e a n i n g f u lf o re x p a n d i n gt h ea p p l i c a t i o na r e a so ff r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a la n dc a r r y i n go u tas i g n i f i c a n te x p l o r a t i o n k e y w o r d s ： f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l ，r o c kf r a c t u r e ， i t e r a t i v e l yc o n v o l u t e d ，c o v e r i n g t e m p l a t e s i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：盘鱼j 日期：矽护7 年月37 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 醐一r 旧 第一章绪论 1 1 岩石裂隙图像的介绍 第一章绪论 在岩石工程中岩石裂隙特征是一项非常重要的岩石物理性质。获得精确有 效地岩石裂隙节理几何信息，对于岩石工程项目的成败，山体灾害的精确预测起 着至关重要的作用口】。为了避免人工实地测量的弊端，可以采用样本图像分析的 办法来替换实地测量。近年来，随着数字图像处理技术的发展，用数字图像技术 进行岩石节理裂隙的研究逐渐成为了热门的话题。 岩石裂隙图像一般是为了获取岩石表面形态属性而通过特定设各仪器获得的 图片。同其他可见光图像相比，它有自己独特的特点口】：1 ) 图像由粗细和长度不 等的裂隙交织而成，其裂隙宽度比可达数百倍：2 ) 不同的岩石因为地质构造的不 同裂隙的形状和分布状况也大不相同：3 ) 岩石表面除颜色及敷度变化较大外，表 面上的粉尘及高低不平度也会使得表面粗糙，这样岩石裂隙图像用一般的闽值分 割方法很难将裂隙网络从背景中分离出来。 为了能较好的表现岩石裂隙的信息本文采用的岩石裂隙图像是采用紫外成 像方法取得的样本( 见图1 1 ) ，样本中的裂隙部分呈浅绿色，岩石正常部分呈 紫色。 图1 - 1 紫外成像岩石裂隙样本幽像 电子科技大学硕士学位论文 这种岩石裂隙图像获取是根据紫外光及岩石裂隙的性质，在地下深部岩体内 钻孔取出0 3 m 直径的岩芯，进行岩石裂隙图像的获取。根据这种方法进行图像 获取，可以得到可见光下图像无法得到的岩石裂隙信息。紫外光图像中的裂隙细 节相对清晰，这不仅对裂隙图像的分析有较大的帮助，而且还可用于判断岩石裂 隙的开启程度和充填状况川。 但由于设备和技术的原因，这种裂隙图像的纹理在细节处比较模糊，不易辨 认，传统的图像边缘检测算法也很难将图像中的细微细节和噪声分离出来，因此 试探寻找一种较好的图像处理算法应用于岩石裂隙提取是非常有意义的。 1 2 分数阶微分的当前研究状况 分数阶微分是关于整数阶标准微分很自然的一种数学推广。近些年来，分数 阶微分算子受到了越来越普遍的应用，它正逐渐成为应用于科学领域内的一个新 的学科分支。适合描述于分数阶微分的数学理论框架是之前被确切定义的伪微分 算子【4 1 。伪微分算子可以视为具有h ( d d t ) 形式的整数阶微分算子的推广。 n ( d d t ) 不再是一个多项式，而是一个具有条件限制的规则函数。目前，分数阶 微分已经在诸如扩散、概率、信号处理、控制论和遗传结构等方面有了初步的研 究应用。 分数阶微分的研究主要体现在两个方向，一是在数学领域上研究微分从整数 阶如何扩展到分数阶，二是研究当前已有的分数阶微分理论的实际应用。 前者的应用当前主要集中在对分数阶微分方程解问题的讨论上。这里面包括 了对分数阶微分方程解存在性的研究【孓7 】和对分数阶微分方程解近似值的研究 g - l l 】。也有人从数学的角度对分数阶微分方程进行了进一步的分析，以来确定微 分方程的一些特性【1 2 0 4 1 。 在对分数阶微分的应用研究上面，有学者根据分数阶微分的离散化系数的方 法来对分数阶微分的幅频特性进行了研究【1 5 1 6 1 ，也有人根据分数阶微分的研究提 出系统建模的方式【1 7 1 引。由于分数阶微分在实际应用中主要的前提在于定义式系 数的离散化，所以也有不少学者对分数阶微分定义式离散化的方式进行了研究 1 9 - 2 1 】。在图像处理上，有学者将分数阶微分算子引入到图像中，提出了t i a n s i 算 子并同经典整数阶算子相比取得了良好的效果【2 2 。2 3 】，根据目前的已有的算子形式， 有学者便研究了算子阶数和掩模效果的关系 2 4 。2 5 】。分数阶微分在图像处理的应用 2 第一章绪论 目前主要体现在对图像的边缘提取【砒7 1 和图像增耐2 8 。2 9 1 上。由于从类似拉普拉斯 算子等整数阶微分算子转型到分数阶微分算子从形式上具有非常好的一致性，所 以前面的这些研究也就很快实践在了应用中，有学者就将分数阶微分应用于医学 图像处理中，并取得了较好的效果f 3 0 1 。 1 3 当前分数阶微分在图像处理中的应用 分数阶微分理论也是近两年才被引入应用到图像处理领域的。分数阶微分在 图像处理应用中得以发展的基础在于分数阶微分的数学意义。在数字图像信号中， 邻域内像素之间的灰度值具有很大的相似性，所以说数字图像信号是高度自相似 的。图像信号中高度自相似的信息通常是以复杂的纹理细节信息表现的，这也就 是说，引用分数阶微分理论来增强二维图像信号中的复杂纹理细节特征是有应用 价值和数学意义的【2 3 】。 分数阶微分针对信号进行处理时会对图像信号有如下三个明显的性质1 2 2 】： 1 ) 在平坦段，即图像灰度值不变的区域，分数阶微分值是由对应奇异跳变处 的极大值逐渐趋于0 ，而平坦的任意整数阶微分必为零。这是分数阶微分相对于 整数阶微分的显著区别之一； 2 ) 在灰度阶梯或斜坡的起始点处的分数阶微分值非零，这种特性也起到了加 强高频信息的作用； 3 ) 沿斜坡的分数阶微分值非零，亦非常数。而沿斜坡的整数阶微分值为常数。 上面这三个性质也使得分数阶微分算子在图像信号处理中可以获得传统整数 阶微分模板算子没有的特性。与整数阶微分相比，用分数阶微分来处理图像信号 既有利于加强图像信号高频边缘和纹理细节信号，又有利于保留部分低频轮廓信 息。另外，由于分数阶微分在图像灰度平坦的区域不为零，所以图像的分数阶微 分会比整数阶微分有相对较粗的边缘过度。 由于分数阶微分对图像高频信号的强化相对整数阶微分具有一个非常好的过 度，而且它对图像的微分作用相比整数阶微分要缓和的多，所以将其引入到岩石 裂隙图像的应用中可以更有助于本文在提取高频信号时保留较高频的图像细节， 这也是将分数阶微分应用在图像处理中的意义。 考虑到图像处理计算量和计算响应时间的问题，当前的分数阶微分算子模板 都尽量保持在5 * 5 模板以内。目前分数阶微分在图像处理中的应用主要在于t i a m i 电子科技大学硕士学位论文 ( 见图1 2 ) 模板算法的运用，这种各向同性( 中心对称旋转不变) 的模板在实 际应用中有非常好的表现。比如针对于待处理数字图像利用t i a n s i 模板做图像增 强和边缘检测。在图像增强实例中，研究结果表明【2 8 】：基于t i a n s i 微分算子的图 像增强方法具有运算速度快、锐化效果随意可调的优点，它不仅适用于灰度图像， 而且适用于彩色图像。而在图像边缘检测实例中【2 6 1 ，研究结果表明分数阶微分边 缘提取t i a n s i 算子具有准确提取边缘和具有较高的信噪比。 图1 - 2t i a n s i 模板 非各向同性的模板在实际运用中也有好的实用样例，比如利用3 * 3 单向量对 红外图像进行边缘提取，或者5 * 5 单向量模板进行图像处理。虽然应用不尽相同， 但其实质还是和各向同性模板是一致的，两者的主要区别在于各向同性模板是一 次卷积而非各向同性的模板需要卷积不同方向的单向量模板求加成。 当前分数阶微分在图像中的应用主要是在放在如何选择阶数构造模板的问题 上，即使用类似t i a n s i 算子的方式已经被默认为缺省的使用分数阶微分的使用方 式。本文通过对分数阶微分的分析，不仅提出一种非常优化的模板算子，还将结 合岩石裂隙图像提出一种效果比较好的完整算法。 1 4 论文结构安排 第一章，主要是为了后面几章做铺垫，阐述了岩石裂隙图像的相关基本知识和分 数阶微分的相关研究背景和当前应用的研究状况。 第二章，本章详细的分析了分数阶微分算子t i a n s i 模板的性质，并基于模板的缺 陷提出一种新型的各向同性模板修正模板，通过比较后发现新的修正模板在 实际中具有更好的使用效果。 第三章，针对岩石裂隙图像的特点提出一种针对于岩石裂隙提取的算法一迭代卷 积。这种算法相对于传统的一次卷积辅助阈值分割的算法具有非常明显的优势。 这种算法更适应于在分数阶微分领域中使用。 4 第一章绪论 第四章，运用迭代卷积的算法得到岩石裂隙图像的处理结果，并且利用算法的特 点将算法从岩石裂隙中的应用扩展到普通图像处理的应用中。 第五章，主要是论述作者在本论文的实际工作和结果，并利用- d , 节的篇幅讲述 了一下作者对分数阶微分研究过程中的心得。 电子科技大学硕士学位论文 第二章分数阶微分的模板改进 2 1 微分算子的定义式 分数阶微分实质上是整数阶标准微分很自然的数学推广，阶次从理论上来说 可以为实数甚至为虚数，但在图像处理中，本文选取的阶数范围取值在0 和1 之间。 数学家们从各自不同的角度入手给出了分数阶微积分不同的定义，比较常见的有 下面三种定义方式【2 i 】： ( 1 ) g l ( c a f x m w a l d l e t n i k o v ) 定义式： 对v v r ，令其整数部分为 v 】，若信号s ( t ) a a ，幻 0 时，m 至少取 y 】，则分数阶v 阶导数 的g r n m w a l d l e t n i k o v 定义式为【2 】= 。d f m2 慨s m 2 烛j j l l 萋g ”s ( f r h ) ( 2 - 1 ) 其中g v ：塑唑笔删。 ( 2 ) r l ( r i e m a n n l i o u v i l l e ) 定义式： 在经典整数阶微积分中，对于一个连续函数求1 1 ( 刀n ) 重积分可以写为如 下的形式： 比) = l 茨= 志肛s ) ”1 出 ( 2 - 2 ) 将上式2 2 拓展到非整数的情形，便可以得到r i e m a n n l i o u v i l l e 的分数阶微分定 义式： 砸，= 志嘉f 嵩却s 其中，g a m m a 函数r ( x ) = r p 一7 f 州d t ，并且以一1 v ，z 。 6 ( 2 3 ) 第二章分数阶微分的模板改进 ( 3 ) c a p u t o 定义式： c a p u t o 分数阶微分定义式和r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶定义式用几乎同样的方 式推广了经典微分，只是它们的微分和积分的顺序不同。其定义式为： = 而1f 巷净占 协4 ， 可以证明【1 9 1 ，对于很广一类实际函数来说，g r t i m w a l d l e t n i k o v 分数阶微积分 定义及r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶微积分定义是完全等效的。c a p u t o 定义和 r i e m a n n - l i o u v i l l e 定义的区别主要表现在对常数求异的定义上，其中前者对上述 的求导是有界的，更适用于分数阶微分方程初值问题的描述，而后者求导式无界 的。 2 2 分数阶算子的离散化 将分数阶微分应用于图像处理，首先需要将分数阶微分算子的定义式转变为 差分的形式。目前分数阶微分应用于图像处理的论文丛中，比较常见的是通过 g r f i m w a l d l e t n i k o v 定义式来推导【捌。本文介绍两种方法来推导分数阶微分离散 化系数。 2 2 1 通过g m m w a l d l e t n i k o v 定义式推导 其中 已知分数阶v 阶导数的( 椭m w a l d l e t n j k o v 定义式【3 2 】为： 删f ) - 刚( 惦点。丢c 协砌) 协5 ) 弘继型掣 ( 2 6 ) 根据定义表达式2 5 ，若一元信号5 ( f ) 的持续期为t 口，t 】，将信号持续期 口，t 】按 单位等分间隔h = 1 进行等分，得到 7 电子科技大学硕士学位论文 畔丝陬a hj 】 以= i l = l f l l 。 可以推导出一元信号s ( t ) v 阶分数阶微分差值表达式为： ( 2 - 7 ) 警叫卅咖卜1 ) + 剑产如- 2 ) + 坐妞型堕二业s ”3 ) + ( 2 - 8 ) 6 、7 + 揣m 叫 由差分表达式，便可以得到分数阶微分的差分系数为： 口o = 1 ，q = 叫吗= 剑产， ci，=：!：31f：掣，cz。=：；揣 ( 2 9 ) o刀1 1i 一1 ，+ 万+ 2 2 2 另外一种推导方式 设正为采样周期，假如将位移算子q 作用于离散时间信号，l z ) ，则有 2 1 】 q - 1 缸，l z ) = “咒z z ) 。 若记： 则有： 继而得到： 咖驴螋警幽 d ，i _ 1 - q ，- i - ( 2 - l o ) ( 2 1 1 ) 第二章分数阶微分的模板改进 驴( 等) 将( 1 9 叫) ”进行泰勒展开，得到： 即： ( 2 - 1 2 ) ( 1 一o _ ) ”= 1 + ( 一d v q 。1 = ：鏊矿 协 删。坚掣矿 j 9 1 = ：2 _ ”【1d；垂(1)!：!：j!铲(】 ( 2 - 1 4 ) 将其作用于信号地) ，得到差分表达式： 彤m ) = 巧m ( 力+ 妻k = l ( 一1 r 尘三尘掣x o 一讧) 】 ( 2 1 5 ) 2 2 3 离散系数在图像中的意义 由于计算机对图像表示本身的限制，作为被处理的图像信号的灰度值大小， 其值有限，即图像信号灰度的值域变化是有限的；数字图像信号灰度变化的最短 距离是两相邻像素之间，因此一个二维数字图像在x 和y 轴方向上的持续距离只 可能以像素为单位进行度量，如此图像信号s ( x ，y ) 的最小等分间隔只可能是h = l 。 假设二维数字图像信号中的x 和y 的持续距离分别为x 【五，x 2 】和y y l ，儿】，则 最大等分数分别为取：l 至l ；恐一五】和，z ，： 丝 竺 y ：一咒】；若2 维数字 l 托 jl 栉 j 图像是一个正方阵，则n = ，l ，= n 一这样在分数阶微分的定义式中，h 和n 都是有 限的值，本文得到的解不可能等于真正分数阶微分的值。由此可见【2 引，对于数字 图像而言，即使分数阶微分模板的尺寸大到等于数字图像本身的尺度，也不可能 等于其分数阶微分的解析值，它只是一种带有高阶级数和误差的近似值。 9 电子科技大学硕士学位论文 2 3 两种模板的形式 针对分数阶微分的应用，目前学术界基本归纳为两种主要方式，一种是构造 各向同性滤波器算子模板，一种是构造非各向同性的算子模板。 2 3 1 各向同性滤波器算子模板 从理论上来讲，算子模板可以构造成任意( 2 n + i ) x ( 2 n + 1 ) 样式的( ，z n ) ，但 考虑到算子模板过大会带来过长的计算机计算时间，而且通过上一节的论述本文 也已知，分数阶微分模板尺度的大小等价于对分数阶微分解析度的逼近程度。所 以在实际应用中，为了不使误差过大，一般会选择分数阶差分定义的前三项，同 时为构造各向同性模板滤波器，采取5 x 5 的分数阶微分模板。首先考虑到x 方向 的左右和y 方向的上下，于是这两个方向上面分别有了2 个f ( x ，y ) 项，这样就有 了4 个f ( x ，y ) 。再考虑到斜向4 5 。方向上面像素的影响，于是需加上4 个斜方向 的项，由于每个斜向上都包含一个厂阮y ) 项。从而得到分数阶微分掩模，即为被 称为t i a n s i 算子的模板，如图2 1 。 图2 - 1t i a n s i 掩模模板 这种模板因为其应用便易和效果特点显著得到了不少文章和工程应用的垂 青。在图像边缘检测和图像加强中都有所应用。有文章说明，这种分数阶微分的 近似模板在边缘检测中存在一个最佳提取边缘阶数0 2 【2 8 1 。但是就目前的应用情 况来看，更多的文章在使用类t i a n s i 算子时倾向于把阶数取值到o 5 附近【2 4 2 6 - 2 7 , 3 1 】。 1 0 第二章分数阶微分的模板改进 2 3 2 非各向同性滤波器算子模板 从算子模板的构造本意上来讲，是非各向同性滤波器算子模板构成了各向同 性滤波器算子。比如上面- d , 节讲述的5 x 5 t i a n s i 算子模板，便是由八个3 3 单 向量模板构成( 如图2 2 ) 。 但需要注意的是，因为这种非各向同性的算子模板在使用过程中需要将所需 方向卷积之后的结果加成处理，所以得必须保持加成时的意义有效。这种分数阶 微分模板对图像3 x 3 像素卷积时的数学意义是系数1 所在位置像素的分数阶微分 值，而并不是中间系数所对应的分数阶微分值，这就意味着在应用加成中必须使 得模板l 系数对应的像素位置是重叠的，否则将没有任何数学意义。 图2 - 2 构成t i a n s i 模板的八个非各向l 司性掩模 这类分数阶微分的掩模算子在实际使用中具体步骤如下： 1 ) 首先确定八个方向上的分数阶微分掩模( 图2 2 ) 中的系数1 所在坐标( x ，y ) 和待处理的图像像素s ( x ，y ) 的坐标位置( x ，y ) 必须保持重合； 2 ) 将八个方向上的分数阶微分掩模的系数值分别与待处理图像的对应像素的 次度值相乘，然后将所有乘积项相加( 即加权求和) ，分别得到在这八个方 向上的加权值； 3 ) 由于数字图像信号的灰度值大小在0 - - 2 5 5 之间，所以需要对加权值进行限 电子科技大学硕士学位论文 幅处理，即加权值不能小于0 和大于2 5 5 。当加权值小于0 时，取o ；当加 权值大子2 5 5 时，取2 5 5 ： 4 ) 然后将这八个方向上限幅后的加权求和值作为微分模板在这八个方向上的 分数阶微分处理结果，及图像像素s ( x ，y ) 在这八个方向上的v 阶分数阶偏 微分的近似值： 5 ) 一幅完整的经过分数阶微分滤波处理的图像，需要在待处理的数字图像中 点运用上述八个方向上的分数阶微分掩模，重复前四步的数值运算规则， 逐像素遍历整幅待处理的数字图像，这样便可计算出整幅数字图像在这八 个方向上的v 阶分数阶偏微分的近似值。 6 ) 在逐像素平移时，为了不使分数阶微分掩模的行和列的系数在待处理的数 字图像分辨率之外，还须使分数阶微分几个掩模的中心点距待处理的数字 图像边缘像素的距离不小于伽一1 ) 2 个像素，即不对距待处理的数字图像 边缘n 1 列或行的像素进行分数阶微分的计算。 这种非各向同性模板实用的最大优点在于其对图像处理的针对性上，比如从计 算量说，构造5 x 5 非各向同性分数阶微分模板并不比直接构造一个等价的9 x 9 各 向同性分数阶微分模板的计算量小，但如果在实际应用中只需考虑x 轴y 轴几个 特定方向的处理效果，用这种非各向同性的模板要简洁的多。 2 4 模板的缺陷和相关数学意义的疑问 由于非各向同性的模板与各向同性的实质意义大体相同，本文在下面分析时 便只考虑对各向同性算子模板的分析，因为这种滤波器算子模板使用方便，易于 讨论。 2 4 1t i a n s i 模板的缺陷和分析 分数阶微分的数学意义来源于对整数阶微分的数学意义推广，这也就引出了 分数阶微分的实际应用模型是否满足数学意义上的完备性，即和整数阶微分模型 是否能较好的兼容。考虑微分本身的数学条件，分数阶微分至少应该满足一点要 求：若某函数在某阶数n 存在有限n 阶微分值，其在邻域的分数阶数的微分值应 当收敛于此阶数的微分值。引申到图像处理中来，如果本文在图像处理中采用了 某微分算子模板，那么这种模板应当满足：在阶数趋于0 时转变为对图像无任何 1 2 第二章分数阶微分的模板改进 影响的“单位模板”，在阶数趋于l 时蜕化为常见的一阶拉普拉斯模板。如果不是 这样的话，本文在使用这个模板选用阶数时，不免就会受到模板本身的影响。 对于t i a n s i 算子模板的应用，因为这个算子模板本身就是8 个方向非各向同 性模板的加成，那么就需要一个除数作为修正系数来平均各个方向模板卷积的微 分结果。在实际应用中，这个模板较为普遍的修正方式是除以各个系数之和，使 得这个模板整体系数和保持为l 。从理论上来说，系数和为l 的算子模板将不会 对待处理数字图像的整体灰度值带来偏移，而且这样更有利于高频和低频向灰度 直方图的两级分化。修正之后的t i a n s i 算子，形式其实如图2 3 ： 一3 v + 2 ) 图2 - 3 真正使用中的t i a n s i 算子形式 这种修正使得t i a n s i 模板在阶数取值接近0 时有非常好的渐进性，当阶数取 值为零时，这种模板已经转变为一个真正意义上的“单位算子，如图2 4 ： 00 0o0 oooo o 0 0l0 o o o 0 0 0 0 o 0 o 0 图2 4 。单位算子”图2 5t i a n s i 算子蜕化成为的拉普拉斯算子 但当阶数的取值从o 渐渐递增为1 时，t i a n s i 算子模板就会出现问题：随着 阶数递增为l ，被处理后的数字图像出现了灰度直方图逐渐大幅度向2 5 5 值偏移 的现象。问题还是出现在除数修正系数上面，因为这个修正系数器显有历个零点， 分别是1 ，= 1 和v = 2 。因此，t i a m i 算子在阶数趋于1 时也就不可能蜕变为拉普拉 斯算子的任形式了。对于t i a n s i 算子本身，不加任何修正系数时阶数趋于1 才 会蜕化为拉普拉斯算子，如图2 5 。 电子科技大学硕士学位论文 这种未加任何修正的模板算子虽然在阶数趋于1 时有非常好的数学完备性， 但在阶数趋于0 时又会出现问题，t i a n s i 模板已经变成一个8 倍乘积强化模板： 0 0 o o o 0 o o 0 0 0 0 8o o 00 0 0 0 0o 0 0 o 图2 - 6 蜕化成为的8 倍强化模板 可见，未加任何修正的t i a n s i 模板在小于1 逐渐趋于o 时就开始慢慢对数字 图像的整体灰度值进行了乘积上的加成，直到到零时变为8 。所以，不加任何修 正的t i a n s i 算子在使用中更不可取。 抛开数学意义上的讨论，只把t i a n s i 算子作为一个滤波器掩模算子来讨论。 算子这种在0 和1 上出现的问题会导致几点结果： 1 ) 算子模板的阶数取值问题。因为分数阶微分算子与s o b e l 、拉普拉斯等算 子不同，需要使用者在使用某一个算子时确定一个较好的阶数临时构造算 子掩模，那么这种算子在某个区间两端的修正兼容矛盾会造成阶数取值的 不确定。很明显，当模板采取除数修正时，阶数在接近0 时才会达到一个 较好的微分效果，而在接近于1 时模板的处理效果会于经典一阶算子有非 常大的出入。 2 ) 数字图像整体灰度值偏移。模板算子处理数字图像最好的结果在于使目标 图像信号和非目标图像信号在灰度尺度上尽快的拉开，向两个极端点收 敛。如果算子模板对数字图像本身有乘数系数的加成，那就不可避免的造 成整体灰度值的偏移，这样就会使得灰度向两个极端收敛的效果大打折 扣。对于分数阶微分掩模算子而言，其对数字图像的卷积处理会使得高频 和低频向两个极值灰度值偏移，如果较低频和较高频灰度值信号在便宜的 过程中也随着整体的灰度值变化做了偏移，毫无疑问，整体灰度无论是向 哪个极端值偏移，都会造成低频和高频信号分开效果的下降。 3 ) 算子分数阶微分定性的问题。因为t i a n s i 算子的修正方式对图像整体狄度 值的加成的效果与阶数有着非常紧密的关系，那么就很难把t i a n s i 作为分 数阶微分算子的身份和阶数紧密联系在一起，尤其是阶数趋于l 时。 基于上面对t i a n s i 算子模板的认识，本文才开始研究如何改进构造分数阶微 1 4 第二章分数阶微分的模扳改进 分算子的形式，使得算子在阶数变化上和整数阶微分算子具有较好的融合，也使 得算子在实际应用中具有更佳的效果。在下一节中，本文将进一步详细研究t i a n s i 算子，以来帮助本文了解和改造这种算子模板。 2 42 通过实验进一步分析t i a n s i 算子 尽管t i a n s i 算子在使用过程中有所不足，但其对数字图像信号处理仍然有非 常好的效果。本文接下来针对t i a n s i 算子做一些关于不同阶数变化的实验分析。 为了能够比较不同阶数下算子模扳的效果，本文选定了一个图像信号，保留 副本后，在m a f l a b 程序中将此图片随机加上浓度为00 2 的椒盐噪声。然后对加噪 后的图片和副本图片分别进行t i a n s i 算子的卷积处理，通过不同阶数下两个卷积 结果的对比来对t i a m i 算子的阶数做一个定性分析。在本实验中，t i a n s i 算子是 以商系数做修正的，这也是和实际应用相一致。 四因 图2 7 图像信号图28 加椒盐噪声后图像信号 为了能够为每一次阶数变化的结果做定量计算，本文引入了峰值信噪比p s n r 计算公式： ，e 单 p s n r ( & ，f ) = 1 0 l o g l o _ _ r f = = ( 2 一1 6 ) 南善善帆加聃川2 其中只为加入噪声后经过t i a n s i 算子模板处理后的图像信号，f 为对比参考 信号，m 和n 分别为图像分辨车的宽和高。 首先实验从00 5 到09 5 间隔00 5 取阶数，针对每一个阶数得到加噪和非加噪 的两个卷积结果汁算p s n r 的值，为了排除随机噪声本身的影啊，每个阶数取五 次随机噪声值束计算，得到实验结果如表2 - 1 。 由表2 - 1 中每个阶数对应的平均数据的变化可以得出：用t i a n s i 算子模板做 卷积时，所取阶数越接近1 ，则微分卷积的受噪声的干扰越大：虽然不同阶数每 次的数据采用的噪声都彼此独立，但结果中平均数据随着阶数递增递减的趋势很 电子科技大学硕士学位论文 明显。平均数据和对应的阶数关系如图2 - 9 。 表2 1t i a n s i 算子每次数据完全采用孤立随机噪声p s n i 结果 阶数数据1 数据2数据3数据4数据5平均 0 0 57 2 9 8 4 77 2 9 0 27 2 5 8 67 2 6 6 2 97 2 8 2 0 87 2 7 9 1 2 8 o 16 9 0 7 2 76 9 1 7 5 76 9 0 0 5 36 9 。1 4 1 16 9 0 7 2 76 9 0 9 3 5 0 1 56 7 0 9 1 3 6 7 0 4 8 56 6 9 8 5 16 7 0 2 7 26 7 0 0 6 16 7 0 31 6 4 0 26 5 9 1 2 3 6 5 9 2 8 76 5 8 7 9 76 5 8 6 3 46 5 8 9 66 5 8 9 6 0 2 0 2 56 4 9 4 6 56 5 0 2 5 96 4 9 9 9 36 5 0 1 2 66 4 9 5 9 6 6 4 9 8 8 7 8 0 36 4 1 4 5 96 4 1 1 3 36 4 1 7 8 86 4 1 6 7 86 4 1 3 5 6 4 1 4 8 1 6 0 3 56 3 6 0 36 3 3 4 1 46 3 5 7 4 26 3 6 5 1 46 3 6 6 1 26 3 5 6 6 2 4 0 46 2 3 5 66 2 4 8 66 2 5 3 36 2 6 0 8 96 2 4 2 8 96 2 4 8 2 5 6 0 4 56 0 7 4 9 66 0 7 9 4 76 0 6 9 9 96 0 6 4 1 16 0 7 6 4 66 0 7 2 9 9 8 o 55 9 6 6 4 2 5 9 7 9 4 5 5 9 7 1 1 2 5 9 7 5 8 65 9 7 1 5 15 9 7 2 8 7 2 o 5 55 8 5 0 4 2 5 8 4 7 4 65 8 3 1 4 95 8 5 3 7 15 8 4 9 8 35 8 4 6 5 8 2 o 65 7 3 3 95 7 4 1 2 45 7 3 2 9 95 7 3 7 3 3 5 7 3 5 9 55 7 3 6 2 8 2 0 6 55 6 6 6 1 75 6 6 5 7 85 6 4 5 8 25 6 5 3 5 15 6 4 6 1 95 6 5 5 4 9 4 0 75 5 0 5 0 15 5 1 4 6 55 5 1 7 5 55 5 0 1 3 95 5 0 3 45 5 0 8 4 o 7 5 5 3 9 5 1 85 3 8 9 8 95 4 0 7 1 35 3 8 8 4 55 3 6 7 5 85 3 8 9 6 4 6 0 85 2 0 7 4 85 2 0 8 9 8 5 2 1 3 7 65 2 1 9 8 55 2 1 5 5 55 2 1 3 1 2 4 0 8 55 0 5 2 7 75 0 5 9 3 75 0 6 5 0 95 0 4 0 5 25 0 6 2 1 7 5 0 5 5 9 8 4 0 94 7 3 3 0 44 7 4 5 2 74 7 6 8 2 54 7 5 3 7 64 7 5 3 3 84 7 5 0 7 4 o 9 5 4 1 3 9 1 44 1 8 3 2 24 1 7 4 1 24 1 8 8 6 84 1 2 4 5 54 1 6 1 9 4 2 0 9 92 7 1 6 3 7 2 7 4 7 4 7 2 7 3 0 1 4 2 7 5 3 5 12 7 4 4 4 62 7 3 8 3 9 图2 - 9 阶数和t i a n s i 算子抗噪能力关系 由图2 - 9 可以发现，阶数从o 1 到o 8 之间，p s n r 基本呈线性分布。而当阶 数大于o 8 之后，p s n r 急剧下降。理论上来说，阶数越大，对噪声的加强作用就 1 6 第二章分数阶微分的模板改进 越大，p s n r 会相应有所下降。但圉中大于o8 之后p s n r 迅速下降的现象明显不 再属于这种原因。现在，本文选取图像( 图2 - 1 0 ) 作进一步的验证和分析。 孽 图2 一l o 图像信号 依同样的实验条件对上面的图像信号进行处理，得到下表 表2 - 2 t i 柚s i 算子每次数据完全采用孤立随机噪声p s n r 结果 阶数数据1数据2数据3数据4数据5 平均 00 58 2 1 5 4 98 22 3 4 68 19 2 4 38 19 9 9 88 l9 2 4 38 20 4 7 5 8 o 17 78 5 67 79 4 4 97 79 7 57 80 0 5 27 78 2 6 77 79 2 1 5 6 0 1 57 54 0 8 87 53 7 5 67 54 2 5 6 7 53 0 9 87 53 9 2 27 53 8 2 4 o 27 36 5 9 l7 35 9 2 67 36 2 5 77 36 0 3 67 35 7 0 77 36 1 0 3 4 0 2 57 l9 1 6 87 19 4 6 8 7 l9 6 9 57 19 7 77 20 0 7 57 19 6 3 5 2 o37 07 2 7 67 07 0 57 06 8 87 06 9 9 37 06 8 2 47 07 0 0 4 6 0 3 56 9 1 6 4 46 9 1 5 2 66 9 1 8 8 36 9 1 5 6 56 9 1 7 2 46 9 1 6 6 8 4 0 46 78 7 3 66 78 9 4 36 78 7 0 76 78 5 66 78 7 6 56 78 7 4 2 2 0 4 56 66 9 8 56 66 5 1 66 66 8 2 8 6 66 7 3 8 6 66 6 0 56 66 7 3 4 4 o56 53 8 2 76 53 7 5 66 53 9 5 56 53 8 8 86 54 1 3 96 53 9 1 3 05 56 42 0 0 66 4 1 8 2 46 4 1 9 5 56 4 1 7 7 96 4 1 8 5 46 4 1 8 8 3 6 0 66 29 5 7 56 29 5 186 29 3 4 86 29 5 5 66 29 6 0 46 29 5 2 0 2 06 56 19 1 1 66 19 0 8 66 19 2 1 86 19 1 0 86 l9 3 3 36 19 1 7 2 2 0 76 06 0 8 86 06 7 6 86 06 6 1 l6 06 1 5 46 06 3 3 26 06 3 9 0 6 07 55 87 6 8 65 87 4 3 75 87 0 55 87 0 8 25 87 4 2 65 87 3 3 6 2 085 74 0 85 74 9 1 45 74 0 8 8 5 74 3 9 】5 74 6 6 65 74 4 2 7 8 08 55 60 0 4 i5 60 7 9 65 59 8 4 95 60 1 1 25 6 1 0 9 55 60 3 7 8 6 095 2