（计算机应用技术专业论文）混沌神经网络的同步控制及其应用.pdf

摘要 混淹是当今前沿的研究课题，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂 性，反映了世界上无序和有序之间、确定性与随机性之间的辩证统一关系。混沌现 象被称为与相对论、量子力学并列的2 0 世纪三大物理学重要发现。二十世纪八十 年代以来，混沌理论及其应用己成为非线性科学中的一个极其重要的分支。混沌的 同步和控制是这一研究领域的一个热点问题，这一研究方向的深入开展为系统科学 中的非线性现象提供了全新的认识。混沌系统所具有的复杂性、遍历性、不相关性、 类噪声等特性，使得混沌控制和同步理论的研究极富挑战。本文围绕混沌同步和控 制技术以及它们在现代信息安全保密方面的结合与应用这一课题，进行了较为广泛 深入的研究。主要包括如下几个方面： 1 本文首先研究了l o r e n z 混沌系统的混沌控制方法。混沌控制是混沌领域的 一个重要的研究课题，在不希望出现混沌的情形来消除动力系统中的混沌，可以通 过混沌控制来实现。目前比较流行的混沌控制方法多来自于控制论，人们提出了很 多有效地混沌控制策略。从应用角度来说，控制方案的设计要力求简单化，尽可能 少地使用主系统状态变量构造简单的单个控制器来实现混沌系统的控制。本文结合 反馈控制方法，提出了一种基于系统状态变量的错位线性控制器设计策略，用李雅 普诺夫稳定性方法证明了该控制策略的稳定性，并设计了数值仿真算法验证了控制 器的有效性。通过状态变量的相互作用实现稳定控制混沌的目的，控制器设计十分 简单，易于实现。 2 在9 0 年代初o g y 方法首次实现混沌控制以来，混沌同步的研究逐步成为 混沌研究的一个热点问题。非线性同步方法在混沌保密通信的应用方面有重要的理 论意义，由于系统控制变量的非线性的特点，使得针对混沌混沌载波信号的攻击和 破译更加困难。从理论上说，非线性全局同步方法可以提高混沌通信的保密性能， 因此开展非线性同步方法的研究有重要的理论意义。本文研究了肋提出的一个新 的混沌系统的混沌同步问题，利用非线性反馈控制方法给出了三种混沌同步控制器 设计方案，并用李雅普诺夫方法证明了在混沌控制器作用下，误差系统的稳定性。 数值仿真结果表明，所设计的混沌控制器有效性和鲁棒性。接下来我们研究l o r e n z 超混沌系统的混沌同步问题，利用非线性反馈控制方法，给出了几个实现超混沌同 步的控制器设计方案，结合李雅普诺夫稳定性理论证明了在混沌同步控制器作用下。 驱动和相应混沌系统可以实现全局同步。数值仿真结果表明，所设计的混沌控制器 能有效的实现混沌同步，并且具有很强的鲁棒性。 3 混沌是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则的类似随机的现象。由于 这个性质，使它可以被应用于科学的各个领域。近来人们发现混沌理论可以用来理 解人脑中某些不规则的活动，因此对于混沌神经网络的研究也就成为摆在人们面前 的又一新课题。混沌神经网络的这种复杂的动力学特性使它在信息处理和优化计算 等方面有着广泛的应用前景。本文对混沌神经网络进行了深入的研究，介绍了混沌 神经网络同步方法的发展及研究现状，基于线性矩阵不等式技术和李雅普诺夫稳定 性理论，分别研究了全局同步、非线性全局同步和全局指数同步的同步控制器实现 方法，提出了一种实现混沌神经网络同步的算法，通过该算法可以快速得到增益矩 阵的形式，实现混沌系统的同步控制，数值仿真验证了算法的有效性。 4 利用混沌是目前混沌研究发展的一个重要方向，而混沌在通信领域的应用 又是其中的一个热点问题。早期的同步混沌通信系统停留在低维混沌上，由于低维 混沌动力学易于重构，混沌通信在抗破译能力上受到批评，同时通信效率的提高也 受到很大限制。为了改进和提高保密通信的可靠性和稳定性，我们提出将超混沌系 统的同步和混沌神经网络的同步用于保密通信，结合混沌遮掩通信，给出了基于混 沌同步的保密通信新策略，数值仿真结果表明了算法的有效性。 关键词：混沌控制；混沌同步；混沌神经网络；线性矩阵不等式；保密通信 a b s t r a c t ： c h a o si sn o waf r o n tr e s e a r c ht o p i c ，i th a sp r o m u l g a t e dt h eu n i v e r s a le x i s t e n c e c o m p l e x i t yi nt h en a t u r ea n dt h eh u m a ns o c i e t y , h a sr e f l e c t e dt h ed i a l e c t i c a lu n i f i c a t i o n r e l a t i o n si nt h ew o r l db e t w e e nd i s o r d e r l ya n dt h eo r d e r , d e f i n i t ea n dt h er a n d o m a l o n g w i t ht h et h e o r yo f r e l a t i v i t ya n dt h eq u a n t u mm e c h a n i c s ，c h a o sp h e n o m e n o ni sr e p u t e da s t h et h i r db i g g e s tp h y s i c sd i s c o v e r i e si n2 0 t hc e n t u r y s i n c e19 8 0 s ，c h a o st h e o r ya n di t s a p p l i c a t i o nh a v eb e c o m ea ni m p o r t a n tb r a n c hi nt h en o n - l i n e a rs c i e n c ef i e l d t h ec h a o s s y n c h r o n i z a t i o na n dt h ec o n t r o la r et h eh o tt o p i c so ft h i sr e s e a r c ha r e a t h ed e v e l o p m e n t o ft h i sr e s e a r c hd i r e c t sb r a n d - n e wu n d e r s t a n d i n go ft h en o n l i n e a rp h e n o m e n o ni n d y n a m i c a ls y s t e m s t h ec o m p l e x i t y , e r g o d i c i t y , a p e r i o d i c ，u n c o r r e l a t e d ，n o i s e l i k em a k e t h er e s e a r c ho nt h ec h a o t i cc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o nt h e o r yt ob em o r ec h a l l e n g i n g t h i sa r t i c l er e v o l v e st h ec h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n dc o n t r o lt e c h n o l o g ya sw e l la st h e a p p l i c a t i o ni nt h em o d e mi n f o r m a t i o ns e c u r i t ys e c u r i t ya s p e c t ，m a i nw o r k sa n dr e s u l t s i n c l u d e ： 1 f j r s t w es t u d i e dt h ec h a o sc o n t r o lm e t h o do fl o r e n zc h a o t i cs y s t e m c h a o s c o n t r o li sa ni m p o r t a n tr e s e a r c ht o p i c i i lt h es i t u a t i o nt oe l i m i n a t ec h a o si nt h ed y n a m i c s y s t e m ，o n ec a nr e s o r tt ot h ec h a o sc o n t r o lm e t h o d a tp r e s e n tt h eq u i t ep o p u l a rc h a o s c o n t r o lm e t h o dm u c hc o m e sf r o mt h ec y b e r n e t i c s ，p e o p l eh a v ep r o p o s e dm a n y e f f e c t i v e l y c h a o sc o n t r o ls t r a t e g y f r o mt h ea p p l i c a t i o nv i e wo fp o i n t ，t h ec o n t r o ls c h e m ed e s i g n e d m a s tm a k es i m p l i f i c a t i o na n du s et h es t a t e sv a r i a b l eo fs y s t e ma sl i a l ea sp o s s i b l et o r e a l i z et h et h ec h a o sc o n t r 0 1 i nt h i s a r t i c l e ，u t i l i z i n gt h ef e e d b a c kc o n t r o lm e t h o d ，w e h a v ep r o p o s e do n ek i n dl i n e a rc o n t r o l l e rd e s i g ns t r a t e g yb a s e do nt h ed i s l o c a t i o no ft h e s y s t e ms t a t e sv a r i a b l ea n dp r o v e dt h es t a b i l i t yo ft h es t r a t e g yw i t hl y a p u n o vm e t h o d t h e nc o n f i r mt h ev a l i d i t yo f t h ec o n t r o l l e rt h r o u g hs i m u l a t i o na l g o r i t h m h e r ew er e a l i z e d t h es t a b l ec o n t r o lo fc h a o ss y s t e mt h r o u g ht h em u t u a le f f e c to fs t a t ev a r i a b l ew h i c hi s e x t r e m e l ys i m p l ea n de a s yt or e a l i z e 2 s i n c et h eo g ym e t h o dh a sr e a l i z e dt h ec h a o sc o n t r o lf o rt h ef i r s tt i m ea tt h e b e g i n n i n go ft h e9 0 s ，t h er e s e a r c ho fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nb e c o m e sah o tt o p i cf i e l d g r a d u a l l y t h en o n l i n e a rs y n c h r o n i z e dm e t h o dp l a y a ni m p o r t a n tr o l ei nt h ec h a o ss e c r e t e c o m m u n i c a t i o na s p e c t b e c a u s eo ft h en o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i c ，i tm a k e st h ea t t a c ka n d c o d eb r e a k sm o r ed i f f i c u l t l y t h e o r e t i c a l l ys p e a k i n g ，t h en o n l i n e a rs y n c h r o n i z a t i o n m e t h o dm a ye n h a n c et h es e c u r i t yo fc h a o sc e m m u n i c a t o np e r f o r m a n c e t h e r e f o r et o d e v e l o p m e n tn e wn o n l i n e a rs y n c h r o n i z a t i o nm e t h o dw i l lm a k es i g n i f i c a n c e h e r ew e h a v es t u d i e dt h ec h a o ss y n c h r o n i z a t i o no fan e wc h a o t i cs y s t e m b a s e do nn o n l i n e a r c o n t r o lm e t h o d ，t h r e es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ec o n t r o l l e rf o rs y n c h r o n i z a t i o no ft h e c h a o t i cs y s t e m sa r ed e r i v e d b ym e a n so fl y a p u n o vs t a b i l i z a t i o nt h e o r e m ，i ti sp r o v e d t h a tg l o b a l l ys y n c h r o n i z a t i o no ft h em a s t e ra n ds l a v ec h a o ss y s t e mc a nb er e a l i z e dw i t i l t h ec o n t r o l l e rd e s i g n e d s i m u l a t i o nr e s u l t sv a l i d a t et h ep r o p o s e ds y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d s a n ds h o wi t sr o b u s t i c i t y i nt h ef o l l o w i n g ，s y n c h r o n i z a t i o no fh y p e r c h a o t i cl o r e n zs y s t e m i ss t u d i e d b a s e do nn o n l i n e a rc o n t r o lm e t h o d ，s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h e c o n t r o l l e rf o rs y n c h r o n i z a t i o no ft h eh y p e r c h a o t i cl o r e n zs y s t e ma l ed e r i v e d ，b ym e a n s o fl y a p u n o vs t a b i l i z a t i o nt h e o r e m ，i ti sp r o v e dt h a tg l o b a l l ys y n c h r o n i z a t i o no ft h e m a s t e ra n ds l a v ec h a o ss y s t e mc a nb er e a l i z e dw i t ht h ec o n t r o l l e r sd e s i g n e d s i m u l a t i o n r e s u l t sv a l i d a t et h ep r o p o s e ds y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d sa n ds h o wi t sr o b u s t i c i t y 3 t h ec h a o si sr e f e r st oo n ek i n dw h i c ha p p e a r si nt h ed e f i n i t es y s t e mt oa p p a r e n t t h en o n r u l et h es i m i l a rs t o c h a s t i cp h e n o m e n o n a sar e s u l to ft h i sn a t u r e e n a b l e si t p o s s i b l et oa p p l yi n s c i e n c ed o m a i n r e c e n t l yp e o p l eh a v ed i s c o v e r e dt h a tt h ec h a o s t h e o r ym a yu s et ou n d e r s t a n dc e r t a i ni r r e g u l a ra c t i v i t i e s i nt h eh u m a nb r a i n ，t h e r e f o r e c h a o sn e u r a ln e t w o r k sb e c o m ea ni n t e n s i v er e s e a r c hf i e l d t h ec o m p l e xd y n a m i c s c h a r a c t e r i s t i co f c h a o sn e u r a ln e t w o r kc a u s e si tp r o s p e c t i v ei ni n f o r m a t i o np r o c e s s i n ga n d o p t i m i z e dc o m p u t a t i o na n do t h e rw i d es p r e a da p p l i c a t i o n p e o p l eh a v ep r o p o s e dm a n y d i f f e r e n tc o n t r o lm e t h o dt or e a l i z et h e c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n t h i sa r t i c l eh a sc o n d u c t e d t h et h o r o u g hr e s e a r c ht ot h ec h a o t i cn e u r a ln e t w o r k , i n t r o d u c e dt h ec h a o sn e u r a ln e t w o r k s y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d b a s e do nt h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt e c h n o l o g ya n dl y a p u n o v s t a b i l i t yt h e o r y ，w eh a v es t u d i e dt h es y n c h r o n i z e d c o n t r o l l e rd e s i g nm e t h o do f t h eg l o b a l s y n c h r o n i z a t i o n ，t h e n o n l i n e a rg l o b a l s y n c h r o n i z a t i o n a n dt h eg l o b a l e x p o n e n t i a l s y n c h r o n i z a t i o n h e r ew eh a v ep r o p o s e do n ek i n do fs y n c h r o n i z a t i o na l g o r i t h m ，t h r o u g h w h i c hm i g h to b t a i nt h eg a i nm a t r i xq u i c k l ya n da u t o m a t i z e s i m u l a t i o nh a sc o n f i r m e dt h e v a l i d i t yo f t h ea l g o r i t h m 4 u t i l i z i n gc h a o si sn l li m p o r t a n ta s p e c td u r i n gc h a o sd e v e l o p m e n t , i nw h i c ht h e a p p l i c a t i o ni sah o tt o p i c t h ee a r l ys y n c h r o n i z e dc h a o sc o m m u n i c a t i o n ss y s t e mo n l y f o c u so nt h el o w e rc h a o t i cs y s t e m b e c a u s et h el o w e r se h a o i cd y n a m i c sa r ee a s yt o r e s t r u c t u r ea n da t t a c k , t h ec h a o sc o m m u n i c a t i o ni su n d e rt h ec r i t i c i s mi n a b i l i t yo f a n t i b r e a k s s i m u l t a n e o u s l yt h ee f f i c i e n c yo fc h a o sc o m m u n i c a t i o ni sn o ts a t i s f i e da n d n e e dt o i m p r o v e i no r d e r t o i m p r o v et h er e l i a b i l i t ya n dt h es t a b i l i t yo fs e c u g e c o m m u n i c a t i o n ，w ep r o p o s e dt ou s et h eh y p e r c h a o t i cs y s t e ma n dt h ec h a o sn e u r a l n e t w o r k w i t ht h ec h a o s m a s kc o m m u n i c a t i o n ，w eg a v ean e ws t r a t e g yo fs e c u r e c o m m u n i c a t i o nb a s e do nt h ec h a o ss y n c h r o n i z a t i o n s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h ev a l i d i t y o f t h ea l g o r i t h m k e y w o r d s ： c h a o sc o n t r o l ；c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ；c h a o sn e u r a ln e t w o r k ；l i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y ；s e c u r ec o m m u n i c a t i o n 附图表目录 附图表目录 图1 1l o r e n z 混沌系统的奇异吸引子5 图1 2l o r e n z 系统的状态变量6 图2 1l o r e n z 混沌吸引子：a 1 1 0 ，b - 8 3 ，c = 2 8 一2 3 图2 2l o r e n z 系统在矗的控制曲线( 初值x 0 i , y o 1 ，毛= 2 ) 。a ) 状态变量 x 的控制曲线；( b ) 状态变量y 的控制曲线；( c ) 状态变量z 的控制 曲线2 4 图2 3l o r e n z 系统在只的控制曲线( 初值矗= l ，= 1 ，毛= 2 ) 。( a ) 状态变 量x 的控制曲线；( b ) 状态变量y 的控制曲线；( c ) 状态变量z 的控 制曲线2 5 图2 4l o r e n z 系统控制在s ( o ，0 ，o ) 时的误差2 5 图2 5l o r e n z 系统控制在s a 4 b ( c - 1 ) ，6 p 一1 ) ，c - 1 ) 时的误差研究。2 6 图2 6 参数小扰动l o r e n z 系统在晶的控制曲线( 初值= 一l ，y o = i , z o = 2 ) 。 ( a ) 状态变量x 的控制曲线；( b ) 状态变量y 的控制曲线；( c ) 状 态变量z 的控制曲线2 6 图3 1 混沌吸引子( a ) 口= 一1 0 ，b = - 4 ，c = 1 8 1 ，d = 一1 ，e = 1 ，f = 1 ； ( b ) 口= - 1 0 ，b = - 4 ，c = o ，d = - 1 ，e = l ，厂= l 3 0 图3 2 驱动系统和响应系统三个状态的同步轨道：( a ) 状态x 1 和】( 2 的同步；b ) 状态y 1 和y 2 的同步( ；( c ) 状态z 1 和z 2 的同步3 3 图3 3 混沌同步系统三个状态的同步误差：( a ) 状态x i 和x 2 的同步误差 e l = x 2 - x l ；( b ) 状态y l 和y 2 的同步c 2 = y 2 一y l ；( c ) 状态z l 和z 2 的同 。步e 3 = z 2 一z l ：3 4 图3 4l o r e n z 超混沌系统的状态曲线3 7 图3 5 驱动系统和相应系统四个状态的同步轨道f 虚线为驱动系统状态， 实线为相应系统状态) ：( a ) 状态x 1 与y l ；( b ) 状态x 2 与y 2 ；( c ) 状态 x 3 与y 3 ；( d )状态x 4 与y 4 4 1 图3 6 同步系统四个状态的误差：( a ) e l = y l x l ；( b ) e 2 = y 2 一x 2 ；( c ) e 3 = y 3 x 3 ；( d ) e 4 = y 4 一x 4 4 2 图4 1时滞细胞神经网络( 4 1 3 ) 的混沌吸引子4 7 图4 2 时滞细胞神经网络系统( 4 1 4 ) 的混沌吸引子：4 7 图4 3 驱动和相应系统的同步误差曲线：( a ) 状态x 1 和z l 的同步误差；( b ) 状态x 2 和z 2 的同步误差4 7 图4 4 时滞细胞神经网络( 4 1 5 ) 的混沌吸引子4 7 图4 5 时滞细胞神经网络系统( 4 1 6 ) 的混沌吸引子4 7 图4 6 驱动和相应系统的同步误差曲线：( a ) 状态x l 和z l 的同步误差；( b ) 状态x 2 和z 2 的同步误差一4 7 图4 7 细胞时滞神经网络( 4 一1 7 ) 的混沌吸引子4 7 混沌神经网络的同步和控制及其在保密通信的中应用 图4 。8 时滞神经网络( 4 1 8 ) 的混沌吸引子4 7 图4 9 驱动和相应系统的同步误差曲线：( a ) 状态x l 和z l 的同步误差；( b ) 状态x 2 和z 2 的同步误差；( c ) 状态x 3 和z 3 的同步误差4 7 图4 1 0 时滞神经网络f 4 1 9 ) 的混沌吸引子4 7 图4 1 l 时滞神经网络( 4 2 0 ) 的混沌吸引子4 7 图4 1 2 驱动和相应系统的同步误差曲线：( a ) 状态x l 和z l 的同步误差；( b ) 状态x 2 和z 2 的同步误差4 7 图4 1 3 时滞神经网络( 4 3 2 ) 的混沌吸引子4 7 图4 1 4 相应细胞时滞神经网络的混沌吸引子4 7 图4 1 5 驱动和相应系统的同步误差曲线：( a ) 状态x 1 和z l 的同步误差；( b ) 状态x 2 和z 2 的同步误差4 7 图4 1 6 细胞时滞神经网络f 4 3 3 ) 的混沌吸引子4 7 图4 1 7 相应细胞时滞神经网络的混沌吸引子4 7 图4 1 8 驱动和相应系统的同步误差曲线：( a ) 状态x l 和z 1 的同步误差；( b ) 状态x 2 和挖的同步误差4 7 图5 】混沌遮掩保密通信仿真原理4 7 图5 2 混沌信号x ( t ) 4 7 图5 3 保密信号j ( ，) = s i n ( n t ) 4 7 图5 4 传输的混沌遮掩信号m ( t 1 图5 5 接收端同步后解调出的保密信号j - ( ，) 4 7 图5 6 误差曲线e ( t ) = s ( t ) 一s 寸) 。 4 7 图5 7 掘沌信号x ( t ) 4 7 图5 8 保密信号j ( f ) = s i n t + s i n 3 t + s i n 5 t 图5 9 传输的混沌遮掩信号m ( t ) 4 7 图5 1 0 接收端同步后解调出的保密信号s t ( f ) 4 7 图5 1 1 误差曲线e ( t ) = s ( t ) 一j 。0 ) 4 7 0 8 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得尊傲扣甄其他教育机构 的学位或证书而使用过的材科与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：夼导坡 签字日期 埘7 年手月二，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了锯密 投大学有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅本人授权安j 搬知以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存，汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者张甭孛救导师张稚耪 签字日期：压一7 年4 月上f 日签字日期：和年中月2 f 日 ，1， f 学位论文作者毕业去向： 工作单位：合肥师范学院电话：2 8 3 6 3 9 5 通讯地址：合肥师范学院数学系邮编：2 3 0 0 6 1 第一章绪言 第一章绪言 动力系统早期称为大范围分析( g l o b a la n a l y s i s ) ，其创始人公认为著名数学家庞 加莱( p o i n c a r e ) ，其研究内容主要是系统在长时间后的大范围性质。随着混沌与分 形和孤立子理论的产生，人们似乎谈动力系统必谈混沌，分形和孤立子，究其原因 可能有三，一是它所引起的对数学哲学的冲击，二是它对应用背景几乎遍及自然和 社会科学的各个分支，三是它是研究系统复杂性的有效手段，也是描述复杂现象的 必须而且是唯一的数学语言。动力系统的分支由于应用的介入，变的五花a f - j ，但 是就纯粹数学而言，它的分支仍然无非是：拓扑动力系统( 赋予空间拓扑结构) ；符 号动力系统( 赋予空间离散结构) ；遍历理论( 赋予空间测度结构) ；微分动力系统 ( 赋予空间微分结构，一般是在流形或者更广的b a n a e h 空间上) ；复动力系统( 考 虑空间的解析映射) ：随机动力系统等等。从空间的维数上看，无非有两种比较特殊： 一是低维动力系统；一是无穷维动力系统。前者比较繁琐，而且受空间结构的限制 过多，需要很多技巧，后者比较抽象，用的主要工具是泛函，但是空间结构比较随 意，所以造成了空间结构的模糊以及难一描述。动力系统问题的研究主要是整体性 质的研究，大体上分为两类：一类是拓扑性质的研究：另一类就是统计性质的研究， 即所谓的遍历性的研究。本章将主要阐述混沌同步和控制的研究进展和论文的内容 安排。 1 1 混沌动力系统概述 1 1 1 混沌的发展史 混沌理论揭示了自然界普遍存在的复杂性，反映了世界上无序和有序之间、确 定性与随机性之间的辩证统一关系。混沌的研究涉及数学、力学、物理学等自然科 学与社会科学领域。混沌学作为- - f q 物理学中重要的学科逐步从单纯的学科逐步扩 展到其他学科，从而产生了丰富的研究成果0 - 7 1 。混沌现象被称为与相对论、量子 混沌神经网络的同步和控制及其在保密通信的中应用 力学并列的2 0 世纪三大物理学重要发现，随着时间的推移，混沌学在未来的科学研 究中可以预见其必将对人类生活产生深远的影响。 真正发现混沌的第一位学者是法国伟大的数学、物理学家 l p i o n c a r e ，他在研 究天体力学时，特别是在研究三体问题时发现了混沌现象。他发现了三体引力相互 作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性，这就是人 们现在所说的动力学混沌现象，同时也开创了混沌理论的研究。 到二十世纪五六十年代，混沌理论的研究发生了两个重大突破。第个重大突 破发生在以保守系统为研究对象的天体力学领域，k a m 定理被公认为研究创建混 沌学理论的历史性标记，是一个多世纪以来人们用微扰方法处理不可积系统所取得 的成功结果。混沌学研究的第二个重大突破发生在遍布于现实世界的耗散系统，对 此作出杰出贡献的学者是美国气象学家l o r e n z l o r e n z 大气对流模型，在计算 观察中，确实看到了这个确定性系统的规则行为，同时也发现了同一系统在某些条 件下可出现非周期的无规则的行为，他提出了一系列混沌运动的基本特征，如确定 性非周期性、对初值的敏感依赖性、长期行为的不可预测性和第一个奇怪吸引子 l o r e n z 吸引子，为耗散系统中混沌研究开辟了道路。 二十世纪七十年代，分析学和概率论的建立、遍历理论的进展、分形几何的问 世，都直接或间接地为混沌的研究提供了有力的数学工具。在数学的抽象思维中、 拓扑学、泛函分析、整体分析、微分几何、微分流形等分支迅速发展起来。多个科 学领域的理论使混沌学研究获得了强大的活力，并引起了世界性的研究热潮【l “”】。 混沌学研究的世界性热潮的到来是以数学家和物理学家分离几十年后在7 0 年代初 重新结合为标志的。1 9 7 1 年，法国的数学物理学家d r u e l l e 和荷兰e t a k e n s 联 名发表了著名论文论湍流的本质，在学术界第一个提出用混沌来描述湍流形成机 理的新观点，他们最早提出了奇怪吸引子的概念。1 9 7 5 年，华人科学家李天岩和他 的导师j y o r k e 联名发表了一片震动整个学术界的论文周期3 蕴含混沌 1 0 1 ，提 出了著名的l i y o r k e 定理。首次引入了“混沌”( c h a o s ) 词，为这一新兴领域确 定了一个中心概念，为各学科研究混沌现象树立起了一面统一的旗帜。1 9 7 3 年， b m a n d e l b r o t 正式提出了分形几何的概念，奠定了分形研究的基础，为混沌运动在 相空间的复杂图像的分析，提供了新的几何工具。7 0 年代，美国物理学家m j 第一章绪言 f e i g e n b a u r m 发现了倍周期分岔过程中分岔间距的几何收敛性，并发现收敛速率即 每次缩小的倍数为4 6 6 9 2 ，这就是著名的f e i g e n b a u r m 常数。他建立了关于一维 映射混沌现象的普适理论，发现了尺度变换的方法，给出了一条走向混沌的具体道 路，把混沌学研究从定性分析推到了定量计算阶段，成为混沌学研究的一个重要里 程碑。 混沌被认为是二十世纪物理学的第三次革命，与前两次革命相似，混沌学也与 相对论和量子力学一样冲破了牛顿力学的教规。“相对论消除了关于绝对空间与时 间的幻想；量子力学消除了可控测量的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于 决定论是可预测性的幻想”。2 0 世纪8 0 年代以来，已有一万多篇混沌研究的论文发 表，还有5 0 0 多部专著和文集出版。混沌研究已发展成为一个具有明确的研究对象 和基本课题、独特的概念体系和方法框架的新学科，与几乎所有的自然学科交叉， 并向工程领域和社会经济领域渗透，形成蓬勃的发展态势呻】。 2 0 世纪9 0 年代以来，国际上混沌同步及控制的研究已取得了实质性的进展， 混沌学出现了应用的契机，其主要标志是 g r e b o g i 和y o k r e 提出了混沌控制方法吲。 1 9 9 0 年美国马里兰大学的物理学家o t t 、 同年，美国海军实验室的p e c o r a 、c a r r o l l 发现了电路中的混沌自同步现象，以及d i t t 等在一个磁弹性体实验室中首次实现了 周期一的稳定控制【9 】。其后，国际上形成了混沌控制的研究热潮，特别是掀起了混 沌在保密通信中的应用研究热潮。混沌控制及混沌同步的突破性进展激发了理论与 实验应用研究的蓬勃发展，使混沌的可能应用出现了曙光，以至于各国的军事研究 部门及大学机构均有学者竟相参与研究，不断提出新的控制及同步方法和新的保密 通信方案。更因混沌控制和同步可能在今后高科技领域中有潜在的应用可能，从而 国际上出现了激烈竞争的发展趋势。混沌控制及其应用虽然己进行了大量的研究， 但目前人们对混沌的控制还进行进一步的研究，尤其是同步及其应用还有许多研究 耍做。 1 1 2 混沌系统的特征 由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底理解，因此至今混沌还没 有一个统一的定义。不同的定义从不同的侧面反映了混沌运动的性质。下面给出与 混沌神经网络的同步和控制及其在保密通信的中应用 混沌有关概念和性质。 1 相空间( p h a s es p a c e ) ：在连续动力学系统中，用一组一阶微分方程描述方 程运动，以状态变量( 或状态矢量) 为坐标轴的空间构成系统的相空间，系统的一 个状态用相空间的一个点表示，通过该点有唯一的一条积分曲线。 2 混沌( c h a o s ) ：如果满映射f 满足下述条件，则称殃射f 为混沌的。 ( i ) f 具有初值敏感性； ( i i ) f 为拓扑可迁的； ( i i i ) f 在定义域上周期轨道稠密。 由上述定义可知，混沌系统具有初值敏感性所以它是不可长期预测的，由于混 沌系统具有拓扑可迁性，所以它不可分为两个互相关的子系统，尽管混沌系统宏观 上表现为类随机系统的现象，但由于其具有稠密的周期轨道，因此其内部仍存在有 规律的成分。 3 有界性：混沌是有界的，它的运动轨道始终局限于一个确定的区域，该区域 称为混沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨道都不会走出混沌吸引域。 所以从整体上说混沌系统是稳定的。 4 遍历性：混沌运动在其吸引域内是各态历经的即在有限时间内混沌轨道经 过混沌区内每一个状态点。 5 随机性：混沌是由确定性系统产生的不确定性行为，具有内在随机性，与外 部因素无关。尽管系统的规律是确定性的，但它的动态行为却难以确定，在它的吸 引子中任意区域概率分布密度函数不为零，这就是确定性系统产生的随机性。实际 上，混沌的不可预测性和对初值的敏感性导致了混沌的内随机性性质，同时也说明 混沌是局部不稳定的。 6 分岔( b i r k f i c a