（课程与教学论专业论文）lorenz界壳模型系统的非线性动力学分析.pdf

摘要 自从1 9 6 3 年e n l o r e n z 创立了l o r e n z 系统以来，至今人们已经对这个系统 进行了大量而深入的研究。到目前为止，l o r e n z 系统的动力学行为已经比较清 楚，并且l o r e n z 方程可以作为许多混沌现象的精确模型。m i s c h a i k o w 和m r o z e k 两人从理论上证明了l o r e n z 系统存在混沌行为。但是从l o r e n z 系统所描述的气 象角度来考虑，l o r e n z 方程中的p r a n d t l 数盯取l o 时系统才能表现出湍流现象 ( 即混沌行为) ，但仃取l o 是不合理的，系统不能描述大气的真实情况，因为对 于大气，盯约为o 7 。大气科学中讲风速垂直切变对大气湍流也有贡献。将这 一因素考虑到系统中来，并从界壳角度给予了解释。 “界壳”这一概念是中国气象研究院研究员曹鸿兴提出，界壳理论已在熵平衡、 动力学、非线性、几何模型等多个方面得到了颇为成效的成果，但还不是很成熟。 本文从界壳的角度来考虑l o r e n z 系统，将方程中加进风速垂直切变后得到了一 个新的模型。这时的模型我们就称为l o r e n z 界壳模型系统。 为了弄清楚l o r e n z 界壳模型系统的动力学特性对系统进行了一系列的非线 性动力学分析，如功率谱、重现图形、相空间重构、庞卡莱截面法，这些特征量 是从定性的角度来分析，而关联维、最大李氏指数是从定量的角度进行分析。此 外，我们还采用代替数据法进行了关联维、最大李氏指数等特征量的分析。这些 分析结果表明l o r e n z 界壳模型系统仍然存在混沌行为。 关键词：l o r e n z 模型界壳非线性动力学代替数据法混沌 i l a b s t r a c t s i n c et h ee n l o r e n ze s t a b l i s h e dt h es y s t e mo f l o r e n zi n1 9 6 3 ，t h ep e o p l eh a v e a l r e a d yd o n eal o to fw o r ko nt h i ss y s t e m 。t h ed y n a m i c sb e h a v i o ro ft h es y s t e mo f l o r e n za l r e a d ym o r ea n dc l e a r l y ，a n dt h es q u a r ed i s t a n c eo fl o r e n zc a nb ea c c u r a t e m o d e lo fm a n yp h e n o m e n o nm e n t a l l yd e n s es p o r t m i s c h a i k o wa n dm r o z e kp r o v e d t h el o r e n z s y s t e m e x i s t e n c e m e n t a l l y d e n s eb e h a v i o rf r o mt h et h e o r i e s b u t c o n s i d e r e dt h ew e a t h e rd e s c r i b e db yt h e s y s t e mo fl o r e n z ，t h el o r e n zp r a n d t l n u m b e rw i t h i ns q u a r ed i s t a n c et a k e st h es y s t e mt ot h e nc a ne x p r e s sas w i f tf l o w p h e n o m e n o n ( n a m e l yc h a o sb e h a v i o r ) 10 ，b u tt a k e 10i sn o tr e a s o n a b l e ，t h es y s t e m c a n td e s c r i b et h et r u ec i r c u m s t a n c eo ft h ea t m o s p h e r e ，b e c a u s eo ff o ra t m o s p h e r e ， p r a n d t ln u m b e ra b o u t0 7 i nt h e a t m o s p h e r i cs c i e n c e s ，t h e w i n d v e l o c i t y p e r p e n d i c u l a r i t ys l i c e st ob e c o m e t oa l s oh a v ec o n 打i b u f i o nt ot h ea t m o s p h e r es w i r f l o w t h i st h e s i sc o n s i d e r e dt h ef a c t o ra n d g i v et h ef r o m j i e k e ”j i e k e ”i sf i r s tp u tf o r w a r db yh o n g x i n gc a o w h oi st h er e s e a r c h e ro fc h i n e s e w e a t h e ri n s t i t u t ef o rr e s e a r c h t h ej i e k et h e o r i e sa l r e a d yi nt h ea p p r o x i m a t eb a l a n c e ， d y n a m i c sa n dn o tl i n e ，s e v e r a lm o d e l e r e t h i st h e s i sc o n s i d e r e dt h es y s t e mo fl o r e n z f r o mt h e a n g l eo ft h ej i e k e a d d i n gi n t h es q u a r ed i s t a n c ei n t ot h ew i n dv e l o c i t y p e r p e n d i c u l a r i t yt og e tan e w m o d e la f t e rs l i c eb e c o m e w ec a l l e dt h em o d e lt ob e l o r e n zj i e k em o d e l s y s t e m f o rc l e a r i n gu pt h ed y n a m i c sc h a r a c t e r i s t i co ft h el o r e n zj i e k em o d e ls y s t e m ，i d oas e r i e st i n - l i n e d y n a m i c sa n a l y s i s o nt h e s y s t e m ，s u c h a s p h a s es p e c t r u m ， r e c u r r e n c ep l o t , r e c o n s t r u c t i n gt h es t a t es p a c e ，a n dp a n g k a l a is p a c ec u t st of a c ea r e a s s a y e d i nq u a l i t a t i v e t h ec o r r e l a t i o nd i m e n s i o na n dl a r g e s tl y a p u n o ve x p o n e n t sa r e a s s a y e d i nq u a n t i t a t i v e i na d d i t i o n ，w ea d o p tt ot h em e t h o do f s u r r o g a t ed a t at oa s s a y t h ec o r r e l a t i o nd i m e n s i o na n d l a r g e s tl y a p u n o ve x p o n e n t s a 1 1 a n a l y s i s r e s u l t s e x p r e s s t h a tt h el o r e n zj i e k em o d e l s y s t e m s t i l le x i s t st h em e n t a l l yd e n s eb e h a v i o r k e yw o r d s ：l o r e n zm o d e l ；j i e k e ；n o n l i n e a rd y n a m i c s ；m e t h o do fs u r r o g a t ed a t a ； c h a o s 1 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标 注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得东= lj ) f l i 范大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：壶鱼甄 同期：丛曼缝自一 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学 位论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门 或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编学位论文。 l l x 。一x 时，尺。，= l ； 当鼻 奇怪吸引子，2 d 3 。 奇怪吸引子是局部不稳定( a ，0 ) 和整体耗散( 0 ) 两种因素竞争的结果。 2 2 1 0 近似熵的计算 熵是一个热力学概念，是用来描述热力学系统混乱( 无序) 程度的量度。在信 息论建立以后，关于熵的概念和理论得到了发展。我们采用s p i n c u s 提出的近似熵 。”删( a p p r o x i m a t ee n t r o p y ，a p e n ) ，其算法如下： 对与给定的长度为n 的时间序列“，“：，u 。，构造一组m 维空间的向量 x o ) ，x ( 2 ) 、其中的【占l 量x ( o = 扭，“( 。) ，“”。) 。定义向量x ( o 和x ( j ) 之间的 距离为d 防( f ) x ( 叫为两者对应元素中差值最大的一个，即： d x ( f ) ，爿( ) 】= m a x ( i + k 一1 ) - u ( j + k 一1 ) ) k = 1 , 2 ，m 一1 14 对于每一个1 i n t n + 1 定义 c t ( r ) = a x ( o ，x ( 州rx ( 0 的的个数 ( n m + 1 ) c 7 ( r ) 表示以( f ) 为中心，在窗口长度为m ，容许偏差为，的情形下其余向量x ( j ) 与 ( f ) 的距离d 陋( f ) ，( ) 】小于，的概率，从而表示所有z ( - ，) - 与x ( o 的关联( 规律性) 程度( ，i ) ，定义关联函数： l 由”( ，) = ( 一m + 1 ) 1 i n c j m ( r ) j ；l 近似熵定义为： s a p e n ( m ，) 。憋( o ”( r ) 一中”1 ( r ) ) 一般而苦，此极限以概率1 存在。实际工作中n 不可能为o o 。当n 为有限值时， 算得的是s 。的估计值，记为： s m 。( m ，r ，n ) = 中”( ，) 一0 1 “( ，) 在计算近似熵时，两个输入参数：窗口长度m 和容许偏差r 在整个计算过程中固定不 变。s 枷的值显然与m ，r ，和n 的选取有关。用于s 枷计算的数据长度n 一般在1 0 0 5 0 0 0 之间，这通常是出于实验的考虑，而不是算法本身的限制造成的。p i n c u s 根据 实践建议取m = 2 ，r 取原始数据的标准偏差( s t a n d a r dd e v i a t i o n ，s d ) 的0 1 0 0 2 0 倍。 a p e n 表现出以下主要特点：( 1 ) 即使数据长度较短时依然有饕良好的可靠性。( 2 ) 随机过程、含噪声的确定性系统和复合系统( 如生理系统) 的s a p e n 都是有限的。( 3 ) s 。越大，系统的复杂度越大，且较直观的表现出来。 2 2 1 1 复杂度的计算 自然界和社会现象都具有复杂性。关于复杂性的研究也越来越得到人们的重视， 1 9 8 4 年，在美国圣菲成立了专门研究复杂性问题的圣菲研究所，研究所豹成员和麻 省理工学院教授洛意德从不同角度给出了复杂性的3 1 条定义。虽然提出的分维、 l y a p u n o v 指数和k o m o g o r o v 熵等特征量都可以描述系统的复杂性，但由于分维只是 刻画系统在空间的静态分靠而未涉及其动态特征、李雅普诺夫指数则刚好相反、而嫡 则是过于理论化的定义，不适于往往为噪声所污染的实际信号。为了对复杂性进行实 际意义上的描述，人们提出了另一个刻域系统复杂性的非线性特征量，即复杂度 15 ( c o m p l e x i t y ) 。复杂度这一概念源于2 0 世纪6 0 年代算法复杂度的提出。某事物的 算法复杂度等于产生该事物的图形结构或符号序列的最短程序的长度( 比特数) 与该 图形结构或符号序列本身大小之比的极限。也就是说，描述系统行为的程序的语句越 多，系统越复杂，但这是没有一般算法的。以色列数学家l e m p e l 和z i v 提出了从系 统内在结构或过程具体的计算方法，由此算法得到的复杂度简称l - z 复杂度。 l z 算法的基本思想如下“3 3 ： 设s 是由一些子字符串s ，s ，s ，组成的字符串：s = s 。s ：s ，q 是在s 后新加 的字符串s 。，s q 表示s ，q 两个字符串组成的新的字符串，s o n 表示把s q 中最后一 个字符删去所得的字符串，v ( s o n ) 表示s 昧的所有不同的子串的集合。规定： ( 1 ) 对于原字符串s ，如果后加的字符串o 包含在s 中( q 与s 中某一子字符串s 。相 同) ，则q 称为s 的复制，s o 被认为是与s 属于同段，即s 加q 后分段数不变。 ( 2 ) 如果q 不包含在s 中，则q 认为是插入，每遇到插入，便认为分段数增加1 ， 分段与分段之间用分隔符“”分隔开。 ( 3 ) 字符串的( 末归一化的) 复杂度按分段数计，即复制时复杂度不变，而每次插 入使复杂度加1 。 ( 4 ) 每一字符串的第一个字符总是算作新字符雨且单独占一分段。如整个字符串是 由同一字符组成的，则除了第一个字符是插入，其余都是复制，于是得到其分段 数为2 ，即最简单最规则有序的字符串的复杂度( 末归一化的) 是c ( n ) = 2 。 具体计算步骤： 1 ) 先从字符串s 的第一个字符了1 ：始：s = s ，o = s 。，s o = s ，s 。，s q a = s ，于是，有下列 两种情形： a s ：与s ，相同，q = s fs ，q 属于s o n 中的一个子串s ：q e v ( s 咖) ，q 是复制。 分段数不变，即s o = s s ： b s 。与s ，不同，q = s 。s ，q 不属于s 斯中的子串：o e v ( s q 尢) q 是插入，分段 数增加，即s o = s s 。 2 ) 第二步 a 对于上一步的情形a ，令新的s 不变，新的q 比原来的增加一个字符s 。：s = s ， q ：s ：s 。于是s q = s ；s 。s 。，s q t 【= s ；s ：，这又分两耪情况： i o = s 。s 。v ( s q 兀) ，q 仍是复制，分段数仍不变，s o = s ，s ：s 。 i i q = s ：s ，壁v ( s 吼) ，q 仍是插入，分段数增加，s o = s 。s ：s 。 b 对于上一步的情形b ，新的s 应把原来的q 组合进去，即s = s s 。，o = s 。，s o = s 。 s 。s 。s q 兀= s s 。，这也分为两种情形： i q = s 惦v ( s q 兀) ，q 是复制，分段数不变，s o = s 。s 。s 。 i i q = s ：i 芒v ( s q 兀) ，q 是插入，分段数增加，s q = s 。s 。s 。 3 ) 重复上述步骤直到s 等于整个要分析的字符串，这样便得到它的分段数，也就是它 的复杂度数c ( g ) ( 未归一化) 16 为了更好的说明复杂度的计算，现举一个简单的例子： 例：s = 1 0 1 0 1 0 1 0 i 。取s = s 。：l ，s 。= 0 ，s o = - 1 0 ，s q x = i ，q 盛v ( s 蛳) ，q 是插入，s q = i 0 i i s = s ，s 。= 1 0 ，0 = s 。= i ，s q = 1 0 1 ，s q n = i o ，q v ( s o n ) ，q 是复传，s q = 1 0 1 i i i s = s 。s 。= 1 0 ，q = s 。s 。= 1 0 ，s q = l o l 0 ，s 断= 1 0 1 ，q v ( s 吼) ，q 仍是复制， s q = 1 0 1 0 i v 以后几步都是重复第二步和第三步，于是得：s = i 0 1 0 1 0 1 0 ，整个字符串分为 三段， c ( 8 ) = 3 显然，c ( ) 与字符串长度有关。现设符号集s 有a 个符号，序列的长度为。则 c ( n ) 的上界为： c ( ) o 时的l o r e n z 界壳 模型系统；但是，对于夜晚，大气层结是稳定的，即r o ，这时系统是不会出现混沌 的。这将启发我们应重新考虑l o r e n z 系统，如何给出反应黑天时大气的l o r e n z 界壳 模型系统。 界壳这一理论自1 9 8 8 年提出至今还不到2 0 年的历程，历史是短暂的。但是在很 多领域已有所发展，如熵平衡、动力学、非线性、几何模型等方面颇有一些成果。界 壳具有对体系起到保护作用，可以使系统内外进行物质、信息、能量的交换功能，我 想界壳理论应该能应用到教学中去，这还需要我 | 1 今后来加以探讨。 31 参考文献 1 曹鸿兴系统周界的一般理论一界壳论气象出版社，1 9 9 7 3 2 曹鸿兴系统周界的模型和理论科技导报，1 9 9 4 2 ，1 9 2 1 3 l o r e n zen d e t e r m i n i s t i cn o n p e r i o d i cf l o w a t m o sj8 c i ，1 9 6 3 ，2 0 ：1 3 0 1 4 1 4 m o n i n ，s t a t i s t i c a lf l u i dm e c h n i c s ，m e c h a n i c so ft u r b u l e n c e ，1 9 6 5 5 刘式达内波动力学中的混沌和大气湍流的发生中国科学( b 辑) 1 9 8 6 ，5 6 黄润生混沌及其应用武汉大学出版社，2 0 0 0 ，第l 版，5 l - - 5 5 。 7 p a c i a r dnh ，o r u t c h f i e l djp ，f a r m e rjd ，e ta 1 g e o m e t r yf r o mat i m es e r i e s p h y sr e vl e t t ，1 9 8 0 ，v 0 1 4 5 ，n o 9 ，p p 7 1 2 7 1 6 8 t a k e n sf ，d e c t i n gs t r a n g ea t t r a c t o r si nt u r b u l e n c e ，l e c t u r en o t e si n m a t h e m a t i c s ，d y n a m i c a ls y s t e m sa n dt u r b u l e n c e ，v 0 1 8 9 8 ，6 5 3 8 1 9 陆同* 非线性物理概论中国科学技术大学出版社，2 0 0 2 第1 版，5 2 5 7 1 0 刘秉正，彭建华非线性动力学高等教育出版社，2 0 0 4 1 1 1 杨健群等表面肌电的非线性动力学分析航天医学与医学工程，1 9 9 9 ，第3 期，1 8 4 - 1 8 7 1 2 郑君里信号与系统高等教育出版社，2 0 0 3 年第2 版。 1 3 p g r a s s b e r g ea n di p r o c a e c i a ，m e a s u r i n gt h es t r a n g e n e s so fs t r a n g e a t t r a c t o r s ，p h y s r e v l e t t 1 9 8 3 ，v o l5 0 ，p p 3 4 6 1 4 d s b r o o m h e a da n dg p k i n g ，e x t r a c t i n gq u a l i t a t i v ed y n a m i c sf r o m e x p e r i 【f 【e n t a ld a t a ，p h y s i c ad ，1 9 8 6 ，v o l2 0 ，p p 2 1 7 1 5 a i m e e s ，p e r a p pa n dl s j e n n i n g s s i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o na n d e m b e d d i n gd i m e n s i o n ，p h y s r e v a ，1 9 8 7 ，v o l3 6 ，p p 3 4 0 3 4 6 1 6 m k e n n e l ，r b r o w na n dh a b a r b a n e l ，d e t e r m i n ge m b e d d i n gd i m e n s i o nf o r p h a s e s p a c e r e c o n s t r u c t i o n u s i n g a g e o m e t r i c a lc o n s t r u c t i o n ，p h y s ，r e v a ， 1 9 9 2 ，v 0 1 4 5 ，n o 6 ，p p 3 4 0 3 3 4 i 1 1 7 l i a n g y u ec a o p r a c t i c a lm e t h o d f o rd e t e r m i n i n gt h em i n i m u me m b e d d i n g d i m e n s i o no ff ls c a l a rt i m es e r i e s p h y s i c sd ，1 9 9 7 ，v 0 1 1 1 0 ，4 3 5 0 1 8 n o r b e r tm a r w a n 。j u r g e nk u r t h s ，n o n l i n e a ra n a l y s i so fb i v a r i a t ed a t aw i t h c r o s sr e c u r r e n c ep l o t s ，p h y sl e t ta ，2 0 0 2 ，v 0 1 3 0 2 ，2 9 9 3 0 7 32 1 9 j p e c k m a n n ，s 0 1 i f f s o nk a m p h o r s t ，a n dd r u e ll e ，r e c u r r e n c ep l o t s o fd y n a m ic a l s y s t e m s 。e u r o p h y s l e t t ，1 9 8 7 ，v 0 1 4 ，p p 9 7 3 9 7 7 2 0 j o s e p h p z b i l u t ，c h a r l e s l w e b b e rj r ，e m b e d d i n g sa n dd e l a y sa sd e r i v e d f r o mq u a n t i f i c a t i o no fr e c u r r e n c ep l o t s ，p h y s l e t t a ，1 9 9 2 ，v 0 1 1 7 l ，p p 1 9 9 2 0 3 2 1 高思莉等用r p a 法分析不同信噪比下的非线性系统物理实验，2 0 0 2 ，第2 2 卷，第4 期，1 3 1 7 。 2 2 孟艳丽等用重现图形和重现定量分析法分析肌电信号2 0 0 1 年，c b m e 2 0 0 1 学术年会论文集，p p 1 4 4 。 2 3 p g r a s s b e r g e r e f f i c i e n tl a r g e s c a l es i m u l a t i o r so fau n i f o r m l yd r i v e n s y s t e m ，p h y s r e v e ，1 9 9 4 ，v 0 1 4 9 ，2 4 3 6 2 4 4 4 2 4 t c b a l s e y m j e n s e n ，l p k a d a n o f f ，i p r o c a c c i a ，b i s h r a i m a n s c a l i n gs t r u c t u r eo ft h es u r f a c el a y e ro fd i f f u s i o n l i m i t e da g g r e g a t e s p h y s r e v l e f t 1 9 8 6 ，v 0 1 5 6 ，8 5 4 8 5 7 2 5 m d i n g c g r e b o g i ，e o t t t s a u e r ，j a y o r k e ，e s ti m a t i n g c o r r e l a t i o n d i m e n s i o nf r o mac h a o t i ct i m es e r i e s ：w h e nd o e sp l a t e a uo n s e to c c u f ? ， p h y s r e v l e t t 1 9 9 3 ，v 0 1 7 0 ，3 8 7 2 2 6 g m a y e