（信号与信息处理专业论文）基于列率内插分层编码的无损图像压缩及其dsp实现.pdf

中文摘要 图像的无损压缩是指在编码过程中仅仅去除图像的冗余，图像信息必须保证 不丢失，从而可以完整的重建原始图像。主要用于一些需要对图像做进一步处理、 重复压缩解压缩、图像的获取代价昂贵，或者提供图像的要求质量未知等的领 域，如医学图像、遥感图像、图像归档、高精度图像分析等。高效、实时的图像 无损压缩技术一直是人们追求的目标。因此研究基于嵌入式d s p 的高效的无损 压缩方法有着重要的理论意义和实用价值。 本论文主要研究了基于列率内插分层编码技术的无损压缩及其在d s p 开发 平台上的实现，文中首先介绍了重叠数字滤波器及如何构造i d c t 二维重叠数字 滤波器，研究了如何对图像进行亚取样及怎样对取样后的数据进行内插恢复，给 出了进行无损压缩编码的实现过程。 在研究了如何对图像进行内插恢复的基础上，本文选择i d c t 低通有限滤波 器作为内插模板，从压缩率和运算的复杂性方面确定了对图像进行抽取的最佳抽 取层数和对各层残差及顶层数据的编码方法，通过实验确定对图像进行6 层抽 取，残差和顶层数据采用自适应算术编码，并详细介绍了自适应算术编码的实现 过程。在v c 6 0 环境下，编写c 语言程序，实现本算法对图像的无损压缩，给 出了对经典的测试图像作无损压缩的码率，以及采用分层传输时，传输的残差层 数和其对应恢复图像质量的关系。 最后完成了本文算法在d s p 开发平台上的实现。在本系统中选择了t i 公司 的t m s 3 2 0 d m 6 4 2 d s p ，将编写的程序移植到d s p 平台上，并设计图像的采集驱 动模块和显示模块，使整个算法能在d s p 平台上完整地实现。为提高程序的运 行速度，结合c 6 4 x d s p 的硬件特点进行了一系列的优化。 关键词：无损图像压缩；亚取样；内插；重叠数字滤波器；d m 6 4 2 a b s t r a c t t h ep u r p o s eo fl o s s l e s si m a g ec o m p r e s s i o ni st or e d u c et h ea m o u n to f d a t au s e d t or e p r e s e n tt h ei m a g ew i t h o u ta n yi n f o r m a t i o nl o s s ，s ot h e o r i g i n a li m a g ec a nb e r e c o v e r e dc o r r e c t l yw h e nd e c o d i n g i t sm a i n l ya p p l i e di ns o m ea p p l i c a t i o n sw h e r e t h ei m a g e sa r es u b j e c t e dt of u r t h e rp r o c e s s i n g ，r e p e a t e dc o m p r e s s i o n d e c o m p r e s s i o n ， h i g hc o s to ft h ei m a g ea c q u i r i n g ，t h ed e s i r e dq u a l i t yo ft h er e n d e r e di m a g ei sv e t u n k n o w n s u c ha sm e d i c a l i m a g e s ，r e m o t es e n s i n gi m a g e ，i m a g e a r c h i v i n g ， h i g h - p r e c i s i o ni m a g ea n a l y s i s e f f i c i e n t , r e a l t i m ei o s s l e s si m a g ec o m p r e s s i o nh a s a l w a y sb e e nag o a lp u r s u e db yt h ep e o p l e t h e r e f o r e ，d e v e l o p i n gar e a lt i m e c o m p r e s s i o nm e t h o db a s e do nd s p sa r eo fs i g n i f i c a n tp r a c t i c a la n dc o m m e r c i a i i n t e r e s t t h i sp a p e rp r i m a r i l ys t u d i e st h el o s s l e s si m a g ec o m p r e s s i o nb a s e do n l a y e r e d c o d i n gt e c h n o l o g yw i t hs e q u e n c yi n t e r p o l a t i o n ，s u b s a m p l i n g ，a n di t si m p l e m e n t a t i o n o nt h ed s p d e v e l o p m e n tp l a t f o r m f i r s to fa l l ，s u p e r i m p o s i n gd i g i t a lf i l t e ra n dh o wt o c o n s t r u c tat w o d i m e n s i o n a li d c tl o w p a s sl i m i t e ds u p e r i m p o s i n gd i g i t a lf i l t e ra r e i n t r o d u c e di nt h i s p a p e r s e c o n d l yh o wt os u b s a m p l et h ei m a g ea n dh o wt o i n t e r p o l a t i o nr e c o n s t r u c tt h es a m p l i n gd a t aa r ed i s c u s s e d i na d d i t i o n ，t h er e a l i z a t i o n o fl o s s l e s sc o m p r e s s i o nc o d i n gp r o c e s si si n t r o d u c e d i nt h ef o l l o w i n g ，h o wt oi n t e r p o l a t ea n dr e c o n s t r u c tt h ei m a g ei s a n a l y z e d t h e i d c tl o w - p a s sl i m i t e df i l t e ri sc h o s e na sa ni n t e r p o l a t i o nt e m p l a t ei nt h i sp a p e r f r o m t h er e s p e c t so fc o m p r e s s i o nr a t ea n dt h ec o m p l e x i t yo ft h eo p e r a t i o n ，i ti d e n t i f i e st h e o p t i m a la m o u n to fl a y e r sw h i c hi m a g e sa r es a m p l e da n dt h ec o d i n gt e c h n o l o g yf o r r e s p e c t i v er e s i d u a ld i f f e r e n c ed a t aa n dt h et o pl e v e ld a t a t h r o u g ht h ee x p e r i m e n to f t h et e s ti m a g e ，t h eo p t i m a ls u b s a m p l i n gl a y e r si s d e t e r m i n e da ss i xa n d s e l f - a d a p t i v e a r i t h m e t i cc o d i n gi su s e dt oh a n d l et h er e s i d u a ld i f f e r e n c ed a t aa n dt o pl a y e rd a t a i n a d d i t i o n ，t h er e a l i z a t i o np r o c e s so ft h ea d a p t i v ea r i t h m e t i cc o d i n gi si n t r o d u c e di n d e t a i l t h ei o s s l e s sc o m p r e s s i o nf o ri m a g e sb yt h i sa r i t h m e t i ci sr e a l i z e dw i t h c p r o g r a mi nt h ec o n s o l eo fv c 6 0 t h ec o d er a t e so fl o s s l e s sc o m p r e s s i o nf o rc l a s s i c t e s t i m a g e sa r ep r e s e n t e d a tt h es a m et i m e ，w h e nu s el a y e r e dt r a n s m i s s i o n ，t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h en u m b e ro fr e s i d u a ld i f f e r e n c el a y e r sa n dt h er e c o n s t r u c t e d i m a g eq u a l i t yi sp r o v i d e d f i n a l l yt h i sa l g o r i t h mi sr e a l i z e di nt h ed s pd e v e l o p m e n tp l a t f o r m i nt h i s s y s t e m ，a f t e rt h et i st m s 3 2 0 d m 6 4 2 d s p i ss e l e c t e d ，t h ep r o g r a mi sm i g r a t e di n t o d s pa n dt h ei m a g ec a p t u r ed r i v e rm o d u l ea n dd i s p l a ym o d u l ea r ea l s od e s i g n e d ， m a k i n gt h ec o m p r e s s i n gs y s t e mb a s e do nd s pr e a l i z e d t oi m p r o v ep r o c e d u r e sf o r t h eo p e r a t i o no fs p e e d ，t h ep r o g r a mi so p t i m i z e dc o m b i n e dw i t ht h eh a r d w a r ef e a t u r e s o ft h ec 6 4 x d s p k e yw o r d s ：l o s s l e s si m a g ec o m p r e s s i o n ；s u b s a m p l i n g ；i n t e r p o l a t i o n ； s u p e r i m p o s i n gd i g i t a lf i l t e r ；d m 6 4 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 隽旭 签字日期：伽幺 年舌月孓日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 亮旭 导师签名： 任沙，1 乏 签字f i 期：u 加矿年多月箩f i签字f i 期：加。孑年6 月j 厂日 第一章绪论 1 1 图像压缩技术简介 第一章绪论 人类社会已经进入“信息时代”，建立在计算机技术和通信技术之上的信息 高速公路使我们能够更新、更快、更准确的掌握各种信息。视觉是人类获取信息 最主要的手段，在人类获取的信息中，视觉信息大约占到7 0 。由此可见视觉信 息对人类的重要性，而图像正是人类获取视觉信息的主要途径。并且随着技术的 进步，图像信息占全部信息的比重将越来越大。， 数字图像信息的特点：( 1 ) 信息量大。例如一帧由4 8 0 x 3 6 0 个像素组成的图 像，如其灰度级用8 比特的二进制码来表示，那么一帧图像的数据量即为： 4 8 0 x 3 6 0 x 8 = 1 3 8 2 4 0 0 比特。( 2 ) 数字图像中各个像素不是独立的，其相关性很大。 例如在电视画面中，同一行中相邻两个像素或相邻两行间的像素，其相关系数可 达0 9 ，而相邻两帧之间的相关性比帧内相关性还要大一些。因此图像信息压缩 的潜力很大。( 3 ) 处理后的数字图像是需要给人观察和评价的，因此受人的因素 影响很大。由于人的视觉系统很复杂，受环境条件、视觉性能、人的主观意识的 影响很大。 图像所具有的这些特点使得它必须而且也可以得到压缩。利用图像数据中存 在的各种冗余及人类视觉特性，在保证一定的图像质量条件下，减少原始图像数 据量的处理过程，称为图像编码压缩。根据恢复图像的准确程度，可将图像的编 码方法分为两类：有损压缩和无损压矧。有损压缩即允许编码过程中丢失一些 无用或作用不大的信息，从而获得较高的压缩比，有损压缩不能精确的重建原始 图像。无损压缩则是编码过程中仅仅去除图像的冗余，图像信息必须保证不丢失， 从而可以完整的重建原始图像。无失真编码的目的就是对给定的图像用较少的位 数来表示，同时又不丢失任何信息，通常无损压缩的压缩比较低。 有损压缩多用在数字电视技术和静止图像通信、工业、贸易和娱乐等方面。 无损图像压缩虽然压缩比不高，但在某些特殊领域是迫切需要的，例如图像需要 做进一步的处理、重复压缩解压缩、图像的获取代价昂贵，或者提供图像的要 求质量未知等【2 】。近年来，在许多应用领域，如医学图像、遥感图像、图像归档、 高精度图像分析、历史文档、艺术作品的保存等，对高效、实时的无损压缩方法 有着越来越迫切的需要p j ，因此研究基于嵌入式d s p 的高效的无损压缩方法有着 重要的理论意义和实用价值。 第一章绪论 1 2 图像无损压缩的基本方法 图像压缩编码技术发展到今天已经有5 0 多年的历史了，压缩方法从最初单纯 的熵编码发展为先基于一定的模型解相关再进行熵编码的变换编码和混合编码。 无损压缩作为信源编码的两大分支之一，几十年来一直受到人们的关注，各种无 损压缩方法层出不穷，主要有h u f f m a n 编码、无损预测编码、算术编码、游程长 编码( r l e ) 、和字典编码等1 4 j 。 熵编码是以趋近信息源的熵值来进行编码的【5 1 ，比如常用的h u f f m a n 编码， 它根据图像灰度级所出现的概率大小对其赋予不同长度的码字，对概率大的灰度 级采用短码字，概率小的灰度级采用长码字，这样编码的结果可使最终的平均码 字长度最短。可以看出熵编码方法建立在图像的统计特性基础上，对于概率分布 不同的信源，其熵编码的效率也不同，概率分布集中时压缩效率较高，反之则较 低。此外，同样基于图像统计特性的无损编码方法还有游程长编码、算术编码1 6 j 、 字典编码1 7 j 等。由于对相关性较强的原始图像直接进行熵编码，效率很低，为了 提高无损压缩的编码效率，应先对图像数据进行一定程度的解相关，使转换后的 数据有益于提高后续熵编码的效率【8 】。( 1 ) 图像转换：采用一定的模型( 预测模型、 多分辨率模型等) 对图像数据进行解相关。( 2 ) 熵编码：根据转换后图像数据的 特点，相应选择合适的熵编码方法，对其进行无损压缩。而各种压缩方法的主要 不同之处主要体现在第一步采取什么样的方法对原始图像解相关上，第二步的熵 编码方法大多从h u f f m a n 编码、游程长编码、算术编码、r i c e 编码和字典编码中 进行选择。值得指出的是，所有的有损压缩方法都可以转变成为无损压缩方法， 只要将有损压缩的重建图像和原始图像求差值，将所得的差值图像进行熵编码后 追加到码流中去，可以得到相对于原始图像毫无失真的恢复图像。 1 3d s p 处理器发展现状 d s p 是数字信号处理器( d i g i t a ls i g n a lp r o c e s s o r ) l 拘缩写【9 j 。其发展历程大致分 为三个阶段：上世纪7 0 年代理论先行，8 0 年代产品普及，9 0 年代突飞猛进。在 d s p 出现之前数字信号处理只能依靠m p u ( 微处理器) 来完成。直至l j 2 0 世纪7 0 年代才有人提出了数字信号处理的理论和算法基础，研制出来的d s p 系统是由分 立元件组成的，应用领域仅限于军事和航空航天部门。随着大规模集成电路技术 的发展，1 9 8 2 年世界上诞生了首枚d s p 芯片，采用微米工艺、n m o s 技术制作， 运算速度比m p u 快了几十倍，尤其在语音合成和编码解码器中得到了广泛应用。 至8 0 年代中期，随着c m o s 技术的进步与发展，第二代基于c m o s t 艺的d s p 芯 片应运而生，其存储容量和运算速度都得到成倍提高，成为语音处理、图像硬件 2 第一章绪论 处理技术的基础。8 0 年代后期，第三代d s p 芯片问世，运算速度进一步提高，其 应用范围逐步扩大到通信和计算机领域。9 0 年代d s p 发展最快，相继出现了第四 代和第五代d s p 。现在已经出现了第六代产品，最快的d s p 已经达到了1 g h z 以上 的时钟频率。主要适用于需要大量重复运算的场合，目前广泛应用于通讯、医疗 仪器、多媒体和雷达信号处理等领域。 考虑至u d s p 运算速度快但接口能力差的情况，一种新型的d s p 芯片，媒体处 理器( m e d i ap r o c e s s o r ) 应运而生，并很快得到业界的广泛关注。媒体处理器继 承了通用d s p 芯片的特点，针对多媒体应用扩充了各种接口功能，优化了中央处 理器结构。例如t i 公司的t m s 3 2 0 d m 6 4 2 ，集成了丰富的多媒体信号接口，针对 多媒体信号的特点优化了处理器结构，甚至内嵌了特殊协处理器用于进行专门操 作，缓解通用处理器的压力。 1 4 本论文的研究内容 提出一种新的无损压缩方法，采用列率内插分层编码技术对图像进行无损压 缩【1 1 1 。论文的工作重点是研究基于硬件平台的系统开发，搭建程序框架，实现图 像采集、编码、解码与显示；并针对硬件特点对算法进行优化，提高运算速度， 提高编码效率；最后对算法进行仿真。 本论文的研究内容是： 1 ) 研究列率内插技术，。确定重叠数字滤波器的类型，确定分层编码的最佳 分层数； 2 ) 分析各层残差对重建图像精度的影响，以此确定用部分层重建图像时， 传输层数与重建图像质量的关系，达到近无损压缩； 3 ) 解决各层残差数据的熵编码算法，以建立完整的编译码程序； 4 ) 将程序移植到t m s 3 2 0 d m 6 4 2 的开发平台，设计图像采集驱动模块，对 图像进行基于本算法的压缩，设计图像的显示模块，并对程序进行优化。 1 5 系统的整体方案 1 5 1 编码方案 本论文先对原始图像g o 进行六次亚取样【1 2 】：g o 亚取样后为g l ，再对g 1 亚 取样( 采样后为g 2 ) ，依次进行，就分别得到g 3 、g 4 、g 5 、g 6 。编码可以从高 到低进行，也可以从低到高进行，本文采用从高到低进行编码。对亚取样后的 第一章绪论 g 6 用i d c t 低通有限二维s d f ( 重叠数字滤波器) 进行内插恢复( 内插后g 6 与 g 5 的分辨率一样，设内插后并对内插值取整的图像为f ( g 6 ) ，f 表示列率滤波器) ， g 5 一f ( g 6 ) 就得到第六层残差d 6 ；第五层残差d s = g 4 一f ( g 5 ) ；第四层残差 d 4 = g 3 一f ( g 4 ) ；依次进行就得到d 3 、d 2 、d 1 。本论文所要编码的数据有：g 6 ( 顶 层数据) 、d 6 、d 5 、d 4 、d 3 、d 2 、d l 。然后对各层残差及顶层数据进行自适应算 术编码。 1 5 2 解码方案 经编码的图像数据在解码时先进行自适应算术解码，得到解码后的各层残差 值d 。以及项层数据r o o fd a t a ：然后用项层数据r o o fd a t a ( 也就是原图像经几 次亚取样后剩下的数据) 和解码后的残差逐步恢复图像：f ( r o o f f ( g 5 ) + d s = g 4 ，f ( g 4 ) + d 4 = g 3 ，f ( g 1 ) + dl = g o 。由于本论文实现的方案也可进行 分层传输的近无损压缩，接收端所收到的可能不是顶层、第六层到第一层的所有 数据，而是前几层的数据；本方案可以根据接收到的数据恢复相应质量的图像。 1 5 3 图像系统设计思路 随着人们对多媒体应用需求的增加，图像系统得到越来越多的应用。因此如 何把握图像系统的设计思路，成为关键问题之一i l 3 。 首先应该考虑到的是图像系统的应用环境。不同的环境对软硬件的功能需求 是不一样的。如果作为手持设备，低功耗成为首要的设计参数，因为人们不可能 带沉重的电池在身上；如果作为娱乐设备，低成本、高稳定是设计的关键，否则 难以得到应用。因此，应该考虑图像系统的应用环境后，分析出对设备性能的基 本要求参数。例如，功耗、体积、成本、处理能力、接口等。 其次，作为图像系统，处理图像的能力决定于系统的核心处理部分，也就是 说数字信号处理器。采用什么样的数字信号处理器将很大程度上决定系统的处理 构架和性能。目前可以使用的数字信号处理器种类非常多，性能和价格的差距也 非常大。当前主要有三种主流实现方法：a s i c ( 专用集成电路) 十外围电路； 用f p g a 实现；通用d s p 实现。总的来说，通用d s p 实现是一种柔性的实现方 案，可以通过选用不同档次的d s p 、不同容量的存储器来适应各种情况的应用。 如今d s p 芯片的发展非常成熟，高指令执行速度、低功耗、大存储容量是 d s p 的发展方向，而且成本相对低廉。采用通用d s p 实现有几个优势：能根据 不同的需求选用不同速度、存储容量的d s p ；能方便地对软件进行升级；较低的 功耗，可以用于便携设备。本论文选用t i 的t m s 3 2 0 d m 6 4 2 d s p 芯片，设计基 于s e e d v p m 6 4 2 开发板的图像无损压缩系统。 4 第二章重叠滤波内插 2 1 列率的定义 第二章重叠滤波内插 频率一词，是一个用以区别函数组 c o s 2 斫 与 s i n2 斫 中各个函数的参数 的参量。它被解释为一个正弦函数在单位时间内所经历的完整周期数( 或过零 点数目的一半) 。 广义频率的概念为，单位时间内过零点平均数的一半。h a r m u t h 引入了列 率的概念来描述广义频率【l4 1 ，用以区别那些在一个区间内的过零点非等间隔地 分布，同时又不一定是周期性的函数。当用于正弦函数时，列率的定义与频率 的定义一致。将上述定义用于周期与非周期函数就得到： ( 1 ) 周期函数的列率等于每一周期内符号变更次数的一半。 ( 2 ) 非周期函数的列率等于每单位时间内符号变更次数的一半，如果变更 次数是有限的。 2 2 重叠滤波器内插 设一个静止数字图像的样点矩阵用4 4 矩阵【4 】表示： 【以】_ a o oa o l a l oq 1 a 2 0 a 2 1 a 3 0e i a 0 2a 0 3 a 1 2a 1 3 a 2 2 a 2 3 a 3 2a 3 3 信号【4 】经二维沃尔什变换后可得二维序谱 【乃 = ( 1 1 6 ) 形 a 4 】形 因为对于图像来讲，它的大部分能量集中在二维的低列率谱区域中【1 2 】，忽略高 列率成分后， 乃】可表示为： 【乙】_ 气l ol t 2 0 0 oo t 0 2 0 00 00 0o 根据正交变换的性质，如果将【4 】阶乘下面一个矩阵： 第二章重叠滤波内插 得到矩阵【日】= 【幺】o 【丘】 【置】- 【日】_ a o o - a i o a 2 0 - a 3 0 l 一 - + 4 -一 一- - - a o l a 1 1 - a 2 1 a 3 1 +一 一- i - +一 一 a 0 2 一口1 2 a 2 2 - a 3 2 。a 0 3 a 1 3 - - 1 2 2 3 a 3 3 【鼠】经二维沃尔什变换后相当于把 4 】的谱阢】搬到高列率区，即： 眈】= 0 0 00 00 0 t 0 2 把矩阵【以】和 b 】相加除以2 ，得矩阵【c 4 】： 【c 4 】- a 0 0 0 0 a l l a 2 0 0 0 a 3 l 00 0 t 2 0 t l lt l o t o lt o o a 0 2 0 0 a 1 3 a 2 2 0 0 a 3 3 根据线性滤波的迭加性，【c 4 】的正交变换 i 】就为： 互】- ( 乃 + t b ) 2 【t 】：去 二 岛of 0 1 o1 t 2 0 0 0 t 0 2 t 0 2 0 0 t 2 0 t l l t l o 气l 将矩阵【4 】与 日】相减可得到另一个矩阵【d 4 】及其二维列率谱 乃】： 【0 4 一- - ( a 。卜【蜀】) 2 = 阮】- 去 ； 气i t i ot 1 1 f 2 0 0 0 - t 0 2 0 a o l 口l o 0 0 a 2 1 a 3 0 0 0 a 0 3 a 1 2 0 0 a 2 3 a 3 2 0 0 0 一t 2 0 一l一o 一岛l 一 从矩阵【i 】和【乃】可看到，矩阵的左上角即低列率区域是一样的，此时用这样一 个低通滤波器的传输函数矩阵【厶】： 6 第二章重叠滤波内插 【厶】= l l l 1 2 l l l 2 o l l 2 0 0 l 2 0 o 0 ( 2 - 1 ) 取出【乏】和【乃】的二维低序率分量，就能得到和【4 】信号一样的谱阮】。为了在 时域中实现滤波，将【厶】变换到时域( 变换矩阵为w a l s h 矩阵) ，得到： 【玛】- 1 = 1 4 42 20 0一l 1 0 ol 一1o oo 0o l0 5 0 5o 0 旬2 5 0 2 50 00 2 5 - 0 2 5o 0o 00 ( 2 2 ) 用 玛】1 与【c 4 】或【d 4 】进行并元卷积和运算，即能恢复原始信号矩阵【4 】o 在 【c 4 】和【d 4 】中有一半是零，也就是说用留下的一半数据就能恢复出原始信号， 若原始信号矩阵【4 】只含有低列率分量，则这种恢复是无失真的。但如果原始 信号中存在高列率分量，最pf o 、【i 】、【乃】成为阮】7 、阢】，、k f ： 【乞】- 气。岛lt 0 2 0 of l l 00 t 2 0 0 0 乞3 0 0 t 3 2 乞3 = 三 一：昙 一岛3 o 一乞3 乞o 0 岛l 一岛2 l 0 - t 0 2 + 毛3 t l o + 乞3 乞o 0 f 0 2 0 一l f 3 2 一岛l 岛i + 岛2 l 0 岛2 0 - - t 2 0 如3 一o 岛3 一 f 0 2 0 l 气l + 岛2 o 乞o o + 乞3 + 乞3 从上面的阮】，、阢】，、阮f 可看出，此时用式( 2 1 ) 低通滤波器来滤波阢】，或 阮】，也将在信号的低列率部分造成较大的失真。针对式( 2 2 ) 再生恢复的不足 之处，提出了用重叠滤波再生的方法【15 1 ，把一般4 x 4 的低通滤波传输函数矩阵 向右或向下逐点移位，这时【g 】和【d 4 】的两种结构会交替出现，如图2 - 1 所示。 x0x 0x0 c 4 结构 一一d 4 结构 一d 4 结构 图2 - 14 x 4 图像重叠滤波 第二章重叠滤波内插 因为一幅图像当取样点很多时，相邻像素存在有较强的相关性，经移位以 后相邻图像矩阵的二维谱差别不大，而在二维低列率谱区域的高列率分量符号 又是正负交替出现的，所以一般低通滤波器矩阵逐点移位后滤波叠加，就能将 二维低列率谱区域的高列率分量大部分抵消掉，而又保留了低列率分量，这些 逐点移位的一般低通滤波器输出叠加就是重叠滤波器( s d f ) 的输出。仍取式( 2 1 ) 的低通传输函数矩阵，得到重叠滤波器( w a l s h 变换矩阵时) 的输出模板是：( 因 为模板对中心都对称，所以只写出它们的四分之一) f 。，】= 1 1 1 6 165 5o 01 10 0l 一10 oo o0 1 oo 3 1 o 3 10 0 0 0 6 0 0 60 00 0 6 - 0 。0 6o 00 o0 类似地，可以按f o u r i e r 变换和i d c t 变换设计模板。用w a l s h 变换、f o u r i e r 变换和i d c t 变换这三种变换构造三种不同的二维重叠数字滤波器，将在下节 中介绍。 2 3 二维s d f 的构造 2 3 1 绪论 设的离散正交变换矩阵为【口】，反变换矩阵为【纠，其矩阵元素间应 有如下关系： ? = 口? 0 m n 一1 ，0 ，z n 一1 式中上标表示列的序号，下标表示行的序号，枣表示共轭。 设【彳】为原始的n xn 时域矩阵， b 】为其正交变换后的列率谱【1 4 】，i f 为 n x n 的滤波频响， c 】为已滤波的列率谱，则有 【b 】= 【口】 彳】【口 7 ， c 】= b 】o f 】 式中符号 表示两矩阵的对应元素相乘。从而 一l - i q = 联露= 口。k 1 “，t ”群 k - - o = 0 设【d 】为滤波后的时域矩阵，则有 d 】= 】【c 】 】7 从而d = c 羼7 = ：l 露矿：属7 第二章重叠滤波内插 定义 于是 ；x ：= m = on - - o 8 78 1 f ：8 一， n - 1 v i 叫= ? x 纠 k 卸i - - o ( 2 3 ) ( 2 4 ) 二维重叠数字滤波的概念可以表述为，当在二维时域空间某样点用n x n 子滤 波频响进行重叠滤波时，该点滤波后的响应是所有包含该点的n x n 矩阵在该 点的滤波响应之和【1 6 1 。显然整个滤波区域将形成以该点为中心的一个 ( 2 n 一1 ) x ( 2 n - 1 ) 阶矩阵，相应的数字滤波器则是一个( 2 n 1 ) x ( 2 n 1 ) 阶模板， 从数字信号处理的角度来看它属于非因果的二维有限冲激响应线性滤波器。图 2 - 2 给出了以昂。为中心的时域矩阵及其相应的滤波模板。 t ： 正- 1 r 尺y r 甚 q ：一， q ? 式 芹 咸一。 a ) 时域矩阵 q 篙 q l - 1 p 一1 1 0 置肛1 p v l 1n - i f 矧f 知一。g ；：r 一。g 知一。g 州n - i ；：； f y 一t ：q ? q ? g i 一 一矗p ：p ：p g 一 一1 1p ? p ：p i 。1 ； v n 一- 1 1 矗一lp ；：r lp 知一1 p n 一- l i 图2 - 2 时域矩阵及滤波模板 若用y 表示在p o o 点的重叠滤波响应，则有 b ) 滤波模板 n - in - 1n l n l一l ，一1_ 一1 n - i y = p ：爿+ g ：饼+ 0 彤+ f ：巧 u - - - or = 0u = 0v - 0u f f i 0v = 0“= lv = l 另一方面，按上述重叠数字滤波的概念，式中应是所有那些既包含常又包 含点的矩阵在p o o 的滤波响应中前的系数之和，由式( 2 - 4 ) 同理 = 影= = ，一l 一“_ 一l 一” ? 硝0 甜一1 ，0 v n 一1 - 0 j = o n - 1n 一1 一” ? 硝 1 “一1 ， o 1 ，一1 = f 1 - - - 0 n 一1 - - u 一l yy 厶厶 i - - oi - - - a ，一l 一l ix 嚣 0 u n - 1 ， 1 1 ，一1 ， x ，j ，- ” 1 “ n - 1 ， l 1 ，一1 9 ( 2 5 ) 州川 醇；纠牙科；露 一 一砖；玎碟硝；碥 第二章重叠滤波内插 2 3 2i d c t 二维s d f 的构造 本文选用i d c t 滤波器，下面主要介绍i d c t 二维s d f 的构造【1 7 - 1 9 。 因为i d c t 变换矩阵( 反余弦) 和反变换矩阵( 余弦) 都是不对称的实矩 阵，即 式中 f 1 肛k s 代入式( 2 5 ) ，得 令 则 触。= c o s 【口】= 【口】= 】= 【】” m = on = o m ( 2 n + 1 ) = v 一1 “ ，一i vj v f 一l m = 0 0 n n - 1 l m n - 1 0 n n - 1 成。c n j u 。j w i - - o j = 0m = 0n - - 0 丝型坠k 露，”：c 。s ! 銎剡 2 n ：h 2 n _ 一l = + m = on - - o 一l 一“v y y j ，一j ，一 i = lm = o 一1 一“n - - vn 一 ，= l 聊z 0n = 0( 群露群+ 群焉爵p ) n - i ( 刀f + 磁。+ 露蟛) + n 喜o n - l ( 刀层弼+ 霹+ 刀露露j + v s t 磁。n - - 一_ 。2 巾) i = l ，= 1 m = on = o 若n 一1 一v 是偶数，则 v l - - vn 一1 y y j ，一j ，一 n - l 刀露露卜9 = j = 1m = on = o n-in-1m-0n - - o 叫 刀露i 露m i，= l 若n 一1 一v 是奇数，则上式等于 - 2 ，”i ：0 j；!”-。：(差1 cz。，+”尘喜1-2 2j=l云z；。2，”-云z，=。 刀露i 窆肿+ 薪帕一+ 斟i ：o i ，= l i 1 0 睇群 川 = x 成变将 、i ， o q 式 + 焉形 川 薪 半同 + 州脚删 第二章重叠滤波内插 同理 因此 - l - u 一1 _ v l 矾露弼= o ，= lm = - on - - o 当“= o ，v = o 时，p o = 醒，刀= 彤，所以 p o = n 2 碍 当甜= 。，v 。时，弼= 击，露= 昭，所以 硝= ( ，+ 等) 石 当“o ，v = o 时，群= 0 ，刀= _ 苦群，所以 吖z 见o = ( ，+ - n - 1 2 - u ) t 。o 当“。，v 。时，弼= 击，刀= 击贸，所以 小( + 等) ( - + 百n - 1 - v j 、。, , 用类似的方法可证明在各自的“，v 取值范围内有 “= 0 = f ：= 即i d c t 的s d f 是中心对称。 1 4 滤波模板 p 也可写成：【p 】_ 【形】圆【丁】( 2 - 6 ) 这里的加权撕哦矢量( m + 等h 等，j 峥矢棚口 眩= n 2 o = 件 群焉 h一层 川脚川删 川 渊 d 一一 ，j + 群群刃 脚州删 0 一 一 ，j + 鼍彤 州脚删 = 。以 科群一露 脚川删 力 一一 ，id 一 一 + 曙一露 川脚心删 i | 第二章重叠滤波内插 w = 秽= ( - + 等) 咿彤= ( - + 半) ( + 等) i f - - 11 1 1 11 一10 2 三o oo 图2 3f 矩阵 在此给出当滤波频响取图2 3 形式时的数学表达式。阶( n 为偶数) i f 】的 d c t 的结构为 霹= 等 召= t o j = 鲁c s c 景c t g 紊 耻巧= 扣嘉c s c 嘉( c t s 等t g 等兀) q - 7 ) i = 2 ，4 ，n - 2 j = 1 ，3 ，n - i 其余为0 由式( 2 6 ) 和式( 2 - 7 ) 可得归一化的低通i d c t 二维s d f 的结构表达式： p ：= 1 式= p ? 州= 彤= 嘉( ，+ 鱼笋 c s c 景c 蟾景 成= 影= r 。v = 艺= p ：= g ：= = = 新+ 宰 ( 1 + 宰 c o s 争景( c 坞等兀亿8 ， v 一“、 托蟾丽兀j = 2 ，4 ，n - 2 y = l ，3 ，n 一1 其余为0 当模板尺寸趋于无穷时其有限截取的极限情况是，由式( 2 8 ) 1 2 第二章重叠滤波内插 艘2 牌 ，v + u s l n 兀 2 + ，1 ，一“ s l n 。7 c 2 村击 用类似的方法，也可得到w a l s h 和f o u r i e r 二维s d f 的结构表达式。 2 3 3 二维低通7 x 7 s d f 举例 这里给出了三种( w a l s h 、f o u r i e r 和i d c t ) 正交变换的有限和无穷的各种 低通滤波模板。内插模板的权系数是交错为零的，使内插后的信号在保留的取 样数据中没有误差。另外，内插模板还有两个性质：1 ) 对称性，模板中的各个 权系数对中心点对称；2 ) 封闭性，模板中除中心点外各权系数之和为1 。 o0 o0 o一0 0 6 o 0 6o 0一o 0 6 0o 0o 00 oo 0一o 0 8 0 0 80 00 0 8 00 00 o o 0 l 0 0 0 9 0 一o o l 0 0 0 l 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 o l 00 0 6 0 0 60 o0 3 l 0 3 l1 00 3 l o 0 60 0o 0 6 o o 0 6 0 0 3 1 0 0 0 6 0 ( a ) w a l s h 低通有限s d f o0 0 8 0 0 80 o0 3 3 o 3 31 o0 3 3 0 0 8o o0 0 8 o 一0 0 8 o 0 3 3 0 0 0 8 o 00 00 0 0 6o 00 0 6 0 0 60 o0 o0 00 o0 一o 0 80 00 0 8 0 0 80 o0 0o ( b ) w a l s h 低通无穷s d f 0o 0 9 一o 0 50 00 2 8 o 2 81 o 0 2 8 0 0 5o 00 0 9 o o 0 5 0 o 2 8 0 一o 0 5 o 一0 0 1 o o 0 5 o o 0 5 o o 0 1 ( c ) f o u r i e r 低通有限s d f 1 3 o o 0 1 0 0 0 9 0 0 0 1 0 伊 d 崤 壶圳 一| 酽 艘 蹦 艘 第二章重叠滤波内插 o0 0 8 0 0 80 00 1 4 0 0 5o oo 1 4 0 0 80 00 0 8 oo 0 1 0 0 10 oo 0 6 0 0 10 00 0 6 o 0 10 o0 0 1 2 4 本章小结 o0 0 5 0 1 40 o0 4 l 0 4 l1 0o 4 1 一o 1 40 o 0 0 5 o 一0 1 4 o 0 4 1 o 一0 1 4 0 0 0 8o 0o 0 8 0 1 40 0o 0 5 0 1 40 00 0 8 0 0 8o ( d ) f o u r i e r 低通无穷s d f oo 0 8 o 0 80 00 1 4 0 0 50 00 1 4 o 0 80 00 0 8 0 0 0 l0o 0 10 一o 0