（电磁场与微波技术专业论文）基于fdtd方法的信号完整性研究.pdf

摘要 摘要 随着高速数字电路和高集成度芯片技术的飞速发展，电路中的电磁兼容问题 愈来愈受到关注。而实际中系统信号频率的越来越高，作为集成电路系统中信号 互连线的多导体传输线，其时域响应分析成了保证高速电子信息系统正常工作的 必须环节。在现代的高速电路设计中，经常会出现些互连的问题如延迟、反射、 衰减、散射、串扰、地弹等，即使是传输很短的一段距离，这些效应也可能会导 致显著的脉冲畸变。传统的设计方法是进行软件仿真，得出结果，并依据个人经 验进行互连结构的设计。这样做的缺点是仿真的频带很窄，而且准确性不高，因 此不适合如今科技发展的需要。而f d t d 方法可以通过一次模拟就得出全部时 域的所有响应，并拥有很高的准确性，因此发展这种方法对与互连结构的设计有 着重要的意义。 本文首先介绍了f d t d 的基础理论，并对应用f d t d 进行电磁建模中的一 些关键技术进行了介绍。其次对信号完整性的经典理论进行了分析，提出了一种 以f d t d 来分析多导体互连结构串扰噪声的方法。最后以此为基础计算了平行 和非平行互连结构中无过孔、有过孔、有过孔加屏蔽线对串扰的影响，得出了近 端串扰和远端串扰的参数，并对结果进行了讨论。通过与文献结果的对比，验证 了程序计算的正确性和有效性。这对于今后迸一步研究更复杂的互连和封装结构 是很有帮助的。 关键词：时域有限差分法信号完整性串扰高速互连 a b s t r a c t a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fh i g h - s p e e d d i 百t a l c i r c u i ta n dh i g h d 翻a s i t yc h i p t e c h n o l o g y , t h ee l e c t r o m a g n e t i cc o m p a t i b l e ( e m c ) q u e s t i o ni sm o r ea n dm o r ef o c u s e d b u ti nf a c t , t h es i g n a lf r e q u e n c yo f s y s t e mi sm o r ea n dm o r eh i g h , t h ea n a l y s i so f t i m e d o m a i nr e s p o n s eo fm u l t i c o n d u c t o rt r a n s m i s s i o nl i n e sw h i c hu s e da si n t e r c o n n e c t i o n l i n ei n 娜ii sb e c o m n gab a s i cr i n kt oa i s u - eg o o dp e r f o r m a n c eo ft h eh i 曲s p e e d e l e c t - o h i oi n f o r m a t i o ns y s t e m i nt h ed e s i g no fh i g h - s p e e dc i r c l l i t s o m eq u e s t i o ns u c h a sd e l a y , r e f l e c t i o n , a t t e n u a t i o n , s c a t t e r i n g , c r o s s t a l k , g r o u n db o u n c ee t cw i l lr e s u l ti n p r o m i n e n ts i g n a lp u l s ed i s t o r t i o n , e v f f nt h o u g hs i g n a lt r a n s m i tal i t t l e d i s t a n c e p r e v i o u sc i r c u i t a n a l y s i st e c h n i q u ei s1 塔崦s o i t w a l e , t h el i m i t a t i o n so fs u c ha l l a p p r o a c ha l et h a th i sb a n d w i d t hi st o ou a r r o wt om e e td e m a n d b u tt h eu s i n g f i n i t e d i f f e r e n c et i m e - d o m a i n ( f d t d ) c a r lo b t a i na l lo ft i m ed o m a i nr e s p o n s eo n l y t h r o u g ho n c es i m u l a t i o n , w h i c hh a v em o r ea c c u r a c y s ot h i sm e t h o dh a v es i g n i f i c a n ti n i n t e r c o n n e c td e s i g n f i r s t l y , t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h eb a s i st h e o r i e so f f d t d ，a n dt h e ni n t r o d u c e ss o m e p i v o t a lt e c h n o l o g y i n m a k i n ge l e c t r o m a g n e t i om o d e l i n g f o l l o w e dt i f f s , t h r o u g h a n a l y z i n gt h es i g n a li n t e g r i t yo fc l a s s i c a lt h e o r i e s p r e s e n t sm n e wa p p r o a c ho f a n a l y z i n ge r o s s t a l ko f m u l t i - c o n d u c t o rt r a n s m i s s i o nl i n e sb yf d t d f i n a l l y , b a s i n g0 1 ：1 a n t e r i o rt h e o r i e s ，t h ec r o s s t a l ki sg i v e nw h i c hp a r a l l e lm i e r o s t r i pa n dn o n - p a r a l l e l m i c r o s t r i p ，w i t h o u tv i ah o l e , w i t hv i ah o l e ，a n dw i t hv i at o p sc o n n e c t e db ym e t a ls t r i p b yc o m p a r i n gw i t ho t h e rl i t e r a t u r e , t h ep r o g r a m sa r ev a l i d a t ea n dr e s u l t sa l ec o r r e c t w h i c ha r eh e l p f u lt os t u d yt h em o r ec o m p l e xi n t e r c o n n e c ta n dp a c k a g i n gf l l r t h e r k e yw o r d s ： f d t d s i 蓼l a li n t e g r i t y c r o s s t a l k h i g h - s p e e ih 靠n 丑e c l 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：叁亟 日期2 1 1 6 ：! ：! 篁 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。 本人签名： 监鱼 导师签名：熟堡 日期望：! ：竺 日期竺! ，! ：! 三 第一章绪论 第一章绪论 近年来，由于芯片技术不断发展，相应地带动了高速电路的飞速发展。电子 设备朝着小型化、高密度的趋势发展。高速、高密度的数字电路设计成为电路板 设计的主要发展方向。面对高速、高密度的电路板设计，电磁兼容问题成为电路 设计的主要难点。现今，随着各种功能齐全的芯片不断面世，数字电路逻辑设计 的工作量被大大地降低了，但是，高速数字化的趋势给电子电路硬件设计带来许 多新的问题。例如：电路板的整体布局、芯片的选型、电路布线、过孔和通孔的分 布、地分割及地线设计、各种接插件的影响、抗扰性设计、滤波设计以及地回路 设计中无处不存在着严重的电磁兼容问题。这些问题的解决直接决定了数字电路 功能的实现和电子设备的质量。因此，可以说电路设计的主要工作己经从早期的 逻辑和功能设计转移到电路板的电磁兼容设计上来了【旧。 随着时钟频率的日益提高，信号完整性问题变得更为严重，设计人员用来解 决信号完整性问题和设计新产品的时间也日益缩短。产品设计人员将一件产品投 入市场只有一次机会，所以该产品必须第一次就能运行成功。如果在产品设计周 期中不能尽早确定和消除信号完整性问题，产品有可能不能正常工作。 通常设计过程是极富直觉和创新性的。要想尽快完成合格的设计，激发关于 信号完整性的设计直觉至关重要。所有涉及产品的设计师们都应该了解信号完整 性如何影响整个产品的性能。通过在直觉和工程实践的层次上理解信号完整性的 基本原理，参与设计过程的每个设计师就可以体会到他们的决定对系统性能所产 生的影响。本书主要介绍理解和解决信号完整性问题所需的基本原理，直观定量 地给出了信号完整性问题的工程背景知识【3 】。 1 1 国内外研究的现状及动态 现今，有关高速数字电路设计中的信号完整性还是一门尚未成熟的学科，虽 然在国内外已有相关的理论及有关的仿真软件和建模方法，由于其分析方法和实 践都还没有很好的定义，还处于不断的探索阶段。一般以麦克斯韦电磁场理论和 传输线理论作为研究高速数字电路设计中的信号完整性的理论基础。而要对高速 数字电路设计中的信号完整性进行有效的仿真分析，其关键是建立正确的仿真模 型和选择合适的仿真软件。 在电子设计中已经有多种可以用于p c b 板极信号完整性分析的模型，其中最 为常用的有三种【1 1 ，它们分别是s p i c e 、i b i s 和v o r i l o g - a m s v h d l - a m s 。目前 国外已经有多种仿真软件，如；c a d e n c e 系列软件、m c a t o r 软件、a n s o f l 系列软 件、a n s y s 软件、s e r e n a d e 软件和a p s i m 软件等，它们都是通过建立相应的模型， 2 基于f d t d 方法的信号完整性研究 采用不同的方法，从不同的角度对高速数字电路设计中的信号完整性问题的某些 方面进行分析。本文采用的是a n s o f l 公司的a n s o f li - i f s s 作为仿真软件。 国内有关高速数字电路设计中的信号完整性的研究应用相对国外丽言比较滞 后，国内只有少数几家公司和高校，如深圳华为，深圳中兴，武汉烽火等公司和 上海交通大学，电子科技大学等高校在进行这方面的研究和探索。 1 2 微波及高速电路技术发展 数字集成电路的电特性一贯建立在逻辑设计的基础上。但在目前时钟频率已 经达到2 g i - i z 以上的情况下，电路系统中由互联和封装系统弓i 起的寄生效应 ( s i g n a li n t e g r i t y ，s d 问题，目前在电路组件( 如m u l t i - c h i pm o d u l e , m c m 和 p r i n t e dc i r c u i tb o a r d ，p c b ) 以及i c 芯片中都日渐突出，是现代微电子系统必须 解决的重要问题。在模拟集成电路中，当工作频率或者速度很高时，同样的寄生 效应使预想的波形或频率特性严重畸变，电路的性能受至q 影响甚至失常。上述情 况都称为信号完整性f 2 】。 微波电路技术随着半导体材料的不断改进和更新而发展，可以说是一代材料 一代器件。5 0 年代，晶体三极管选用的是锗，其性能和可靠性都受到很大限制， 基本没有实用器件进入微波领域。6 0 年代初，随着硅材料的改进和平面工艺的出 现，硅三极管性能的改进使其工作频率进入微波领域，从而迎来了微波电路技术 的第一个大发展阶段( 6 0 年代后期至7 0 年代初期) 。当时以陶瓷材料作为衬底 的混合微波集成电路( m i c ) 开始发展起来，尽管由于其基本结构为无源微带线 和有源微波固体器件通过焊接在陶瓷衬底上的组合，其集成度不能和同时期的i c 相比( 虽然此时i c 亦处在发展时期) ，但相对于原来的微波电路在小型化方面已 迈出一大步，在性能、成本，可靠性等方面也有明显的改善。7 0 年代后期至8 0 年代初期是微波电路的第二个大发展阶段，其代表性的进展表现在两个方面；一 是以砷化镓场效应管( c a a sm e s f e t ) 为主要器件，以砷化镓材料为衬底的微波 单片集成电路( m m i c ) ；二是以介质波导作为微波传输线的毫米波集成电路。9 0 年代后，微波电路又迈上一个发展台阶，主要体现在两个方面：其一是集成电路 芯片由砷化镓等a o ，a 族化合物材料向硅材料扩展，且后者逐渐成为主流之 势，其二是集成方式由平面向三维发展，及三维微波集成电路及微波m c m ，以 便在有限的体积内容纳数量更多的电路。 丽高速电路是指集成电路的工作速度提高，时钟频率达到几百m h z 乃至 l g h z 以上，数据率达几g b s 以上的情况。 从集成电路技术发展的早期起，一般集成电路和微波电路的分界是较为明显 的。但当工作速度和频率进一步提高后，一般集成电路和微波电路就存在许多的 第一章绪论 联系和共同点，例如对高速光通信收发芯片，其数据率高达几g b s 乃至几十 g b s ，其中的电路即为频谱高端达到微波频率的超宽带电子线路，无论对器件的 要求还是电路的设计都已和微波电路无多大区别，其中对无源元件和传输线的电 磁场分析更是完全相同。 在上述情况下，集成电路芯片布线网中的互连线也逐渐呈现“传输线”效应， 尤其对集成电路中的高速部分以及较长的互连线( 如时钟线) 更为明显，必须对 此种效应进行精确估算才能确保系统的可靠设计 4 1 。此时首先必须用电磁场方法 对其建模并进行参数提取，这一点和微波集成电路也较为类似，其中存在的差异 是：微波电路工作于载频附近相对较窄的频率范围，而高速电路则对应于脉冲频 谱从直流至频谱高端的宽阔频率范围，从某种角度也可视为微波超宽带情况。但 无论怎样，对上述两种情况都应考虑其场和波的效应，因此，处理这些问题可同 电磁问题对待。 集成电路系统按其规模和复杂程度可分为芯片、多芯片组件( m c m ) 、印刷 电路( p c b ) 等不同层次。其中m c m 是近几年来发展的一种新型电路组件。不 仅一般的集成电路系统可由m c m 实现，微波电路同样可实现m c m ，现已有若 干微波m c m 产品，例如接收和发射的m m i c 芯片组成微波收发m c m ，也可 将微波芯片和信号处理、存储器、数模转换等芯片组合成一个无线通信机m c m 。 下图是m c m 的剖面图： 图1 1 m c m 的剖面图 由于亚毫米和深亚毫米技术的发展，已可将具有较为复杂功能的系统集成在 一块芯片上，称为系统集成芯片( s y s t e mo nc h i p ，s o c ) ，在某种程度上进一步代 替了m c m 、p c b 等电路组件。s o c 具有更高的集成度，在一块芯片上可集成 一千多万个逻辑门，几千万个晶体管，在同一芯片上同时包含数字部分和模拟部 分，甚至微波电路。 4 基于f d l d 方法的信号完整性研究 1 3 互连设计的重要性和封装结构的电磁建模分析方法综述 近几年来，随着集成电路工艺技术的飞速发展，使得其工作的速度越来越高。 同时，在当今快速发展的电子设计领域，由集成电路芯片构成的电子系统更是朝 着大规模、小体积、高速度的方向发展的。这样就带来了一个问题，即电子设计 的体积减小导致电路的布局布线密度变大，集成电路输出开关速度的提高。而同 时信号的工作频率还在不断提高，从而使得如何处理高速信号问题成为一个设计 能否成功的关键因素。随着电子系统中逻辑和系统时钟频率的迅速提高和信号边 沿不断变陡，印刷电路板的线迹互连和板层特性对系统电气性能的影响也越发重 要。对于低频设计，线迹互连和板层的影响可以不考虑，当频率超过5 0 m h z 时， 互连关系必须以传输线考虑，而在评定系统性能时也应考虑印刷电路板板材的电 参数。因此，高速系统的设计必须面对互连延迟引起的时序问题以及串扰、传输 线效应等信号完整性( 信号质量) 问题。信号完整性已经成为高速数字p c b 设计 必须关心的问题之一。元器件和p c b 板的参数、元器件在p c b 板上的布局、高 速信号的布线等因素，都会引起信号完整性问题，从而导致系统工作不稳定，甚 至完全不工作。因此，如何在系统设计以及板极设计中考虑到信号完整性的因素， 并采取有效的控制措施，已经成为当今系统设计工程师和p c b 设计业界中的一个 热门课题。 圈1 2 交叉互连线 严格地分析高速集成电路中使用的互连和封装结构的困难在于：分析时必须 考虑到互连和封装结构中的不连续性，如通孔、终端、拐角处以及交叉点处的影 响。在某些情况下，互连线本身为非均匀线，其参量随长度坐标而变。这时，时 域响应分析将更为复杂。互连和封装结构的电磁特性分析也可以分为静态分析和 全波分析两种。相应的分析方法亦有所差异。 静态场分析的基本特点是电场和磁场相对分离，彼此独立无关。但严格地讲。 电场和磁场是相互作用、相互联系的【4 】。因此，在全波分析时，就要考虑电场和 磁场之间的相互作用、即电场和磁场已作为统一的电磁场的两个方面，无法彼此 第一章绪论5 分离。在全波问题的求解过程中，虽然同样会碰到电矢位函数和磁矢位函数，但 一则它们各自满足和静场中不同的偏微分方程，带有波动性；- - - n 两者之间又密 切相联系，反映在求解过程及边界条件的应用等方面。 互连和封装系统电磁分析和参量提取的具体分析方法很多，下面仅就矩量法、 谱域法、直线法、边界元素法、m e i 方法、传输线矩阵法、以及专门用于三维电 磁问题求解的p e e c 法等方法在这一领域的应用作一简述。时域有限差分法将在 第二章作详细的介绍，故这里从略。 1 4 信号完整性的含义 互连和封装结构对系统电特性的影响可归结于所谓信号完整性( s i g n a l i n t e g r i t y ) ，信号完整性主要是指信号的反射时延、振铃、信号的过冲与下冲，以及 信号之间的串扰等【2 】。事实上由于互连和封装结构的寄生因素的影响而导致信号 完整性受到削弱和破坏，从而使系统的指标降低，系统工作在潜在的不可靠状态， 严重时甚至导致逻辑错误，系统的整体工作状态受到破坏。 过去，在时钟频率只有1 0 m h z 时，电路板和封装设计的主要挑战就是如何 在双层板上布通所有的信号线以及如何在组装时不破坏封装。由于互连线不曾影 响过系统性能，所以互连线的电气特性并不重要。在这种意义下，可以说“对信 号来讲过去的互连线是畅通透明的”。 ，例如，如果一个器件输出一个上升边约为1 0 n s 、时钟频率为1 0 m h z 的信号， 则即使是最粗糙的互连线，电路也可以正常工作。由手工连线而成的样机同规范 布线的最终印制板产品一样都能正常工作。 但是现在时钟频率提高了，信号上升边也已普遍变短。对大多数电子产品而 言，当时钟频率超过i g h z 或上升边小于i n s 时，信号完整性效应就变得重要了， 通常将这种情况称为高频领域或高速领域。这些术语意味着在那些互连线对信号 不再透明的产品或系统中，如果不小心就会出现一种或多种信号完整性问题。 从广义上讲，信号完整性指的是在高速产品中由互连线引起的所有问题。它 主要研究互连线与数字信号的电压电流波形相互作用时其电气特性参数如何影响 产品的性能。 所有这些问题主要分为以下几种： 1 反射( r e f l e c t i o n ) 反射就是传输线上的回波。信号功率( 电压和电流) 的一部分传输到线上并 达到负载处，但是有一部分被反射了。布线的几何形状、不正确的线端接、经过 连接器的传输及电源平面( 参考点) 不连续等因素的变化均会导致反射。 2 串扰( c r o s s t a l k ) 6 基于f i ) t d 方法的信号完整性研究 串扰是两条信号线之间的耦合，信号线之间的互感和互容引起线上的噪声四。 容性耦合引发耦合电流，而感性耦合引发耦合电压。p c b 板层的参数、信号线间 距、驱动端积接收端的电气特性及线段连接方式对串扰都有一定影响。 3 过冲( o v e r s h o o t ) 和下冲( u n d e r s h o o t ) 过冲就是第一个峰值或谷值超过设定电压，对于上升沿是指最高电压而对于 下降沿是指最低电压。下冲是指下一个谷值或峰值。过分的过冲能够引起保护二 极管工作，导致其过早地失效。过分的下冲能够引起假的时钟或数据错误( 误操 作) 。 4 。振荡( r i n g i n g ) 和环绕振荡( r o u n d i n g ) 振荡现象是反复出现过冲和下冲。信号的振荡即由线上过渡的电感和电容引 起的振荡属于欠阻尼状态，而环绕振荡，属于过阻尼状态。信号完整性问题通常 发生在周期信号中，如时钟等。振荡和环绕振荡同反射一样也是由多种因素引起 的，振荡可以通过适当的端接予以减小，但是不能完全消除。 5 地平面反弹噪声和回流噪声 在电路中有大的电流涌动时会引起地面反弹噪声( 简称地弹) ，如大量芯片的 输出同时开启，将有一个较大的瞬态电流在芯片与板的电源平面流过，芯片封装 与电源平面电感和电阻会引发电源噪声，这样会在真正的地平面( a v ) 上产生电 压波动和变化，这个噪声会影响其他元件的动作。负载电容的增大、负载电阻的 减小、地电感的增大、同时开关器件数目的增加均会导致地弹噪声增大。 由于地电平面( 包括电源和地) 分割，例如地层被分割为数字地、模拟地、 屏蔽地等，当数字信号走到模拟地线区域时，就会产生地平面回流噪声。同样电 源层也可能会被分割为2 5 v ，3 3 v ，5 v 等。所以在多层p c b 设计中，对地电 平面地反弹噪声和回流噪声需要特别注意。 对于芯片设计，通常采用两种方法解决信号完整性问题。其r f 解决方案集 中于传输线，常在边界上使用阻抗匹配办法，而数字解决方案则强调选择封装， 控制同步转换数量和转换速度，在封装外部引脚与地之间使用旁路电容，在i c 内 部的电容则通过金属层的重叠来实现，即为高速瞬态电流提供一个局部低阻抗通 路，防止接地反弹。 1 5 本文的内容结构安排 本论文所涉及的研究课题是高速与微波集成电路的全域建模技术，及信号完 整性的研究。 第一章介绍了课题的研究背景，国内外的研究现状，互连设计的重要性和 方法，以及信号完整性的一些简介。 第一章绪论 7 第二章主要讲述时域有限差分法，吸收边界条件。并利用时域有限差分法 对平面互连结构进行电磁场全波模拟，在此基础上给出了一种提取 ， 互连结构的s 参数的方法。 第三章主要是介绍信号完整性方面的理论知识。 第四章讲述了应用f d t d 对模型的模拟结果，以及对串扰的分析。 第五章总结了论文所作的工作，并对进一步的工作提出了建议。 8基于f d i d 方法的信号完整性研究 第二章时域有限差分法( f d t d ) 基本原理 2 1 引言 时域有限差分( f d t d ) 法自y e e 于1 9 6 6 年首次提出以来发展迅速，目前已 获得十分广泛的应用。f d t d 法以y e e 网格为空间电磁场离散单元，将m a x w e l l 旋 度方程转化为差分方程，在时间轴上逐步推进地求解，表述简明，容易理解，结 合计算机技术能处理十分复杂的电磁河题，医而在工程电磁学各个领域倍受重视 嗍。 经过三十多年的发展，f d t d 方法已经日趋成熟，许多关键技术得到解决： 吸收边界的不断发展和完善。为了在有限的计算区域能模拟无限大的电磁 散射空间，必须在计算域边界设景吸收边界条件。从最初的差值吸收边界到被广 泛应用的m u r 吸收边界，p m l 吸收边界，各向异性材料p m l 吸收边界，吸收效 率越来越商，这为f d t d 的广泛应用提供了基础； 总场边界的引入使f d t d 计算区域划分为总场区和散射场区。这样做带来 三点好处；使任意入射波的模拟变得简单易行；使只吸收单向波的吸收边界条件 的设置成为现实；便于远场外推计算； 近一远场变换。f d t d 的模拟限于有限空间，为了能够了解计算域以外的 散射场，必须借助等效原理应用计算域的近场数据实现计算域以外场的外推。 从8 0 年代开始，f d t d 方法进入了一个迅速发展的阶段。在这一时期提出了 许多新技术，从而提高了f d t d 方法的有效性和准确性。这些新技术主要包括： 共形网格技术( c o n f o r m a lf d r i d ，简称c f d t d ) ，亚网格技术，广义正交坐标系中 的差分格式和非正交变形网格技术，色散媒质的差分格式等，这些新技术的应用 大大地拓展了f d t d 的应用范围。 2 2 时域有限差分法的特点 作为一种时域电磁场数值计算方法，时域有限差分法具有一些很突出的特点， 例如： y e e 网格在三维空间安排e 和h 分量的方式，使得每一个e 或h 分量由四 个h 或e 循环的分量所环绕。这提供了一幅三维空间中由相互交链的f a r a d a y 定 律和a m p e r e 定理围线阵列构成的优美而简单的图画，保证了l 幻算法同时模拟了 m a x w e l l 方程点意义上的微分形式和宏观的积分形式，后者对于处理边界条件和 奇异性是极其有用的； y e e 算法采用耦合的m a x w e l l 旋度方程，同时在时间和空间求解电场和磁 第二章时域有限差分法( f d t d ) 基本原理9 场，而不是采用波动方程只求解电场或磁场。同时使用e 和h 信息比只使用其中 一个的优点是获得的解更稳固( r o b u s t ) ，即算法可以适用非常广泛的电磁波物理 结构，并且电场和磁场的特性可以用更直接的方式模拟。如果同时使用电场和磁 场，每一种场的独立特性，如边沿和角处切向磁场的奇异性、细线附近磁场的奇 异性以及靠近点、边沿和细导线处径向电场的奇异性就能够独立地模拟； 时域有限差分法方法所需的计算机内存和c p u 时间与网格单元数成正比， 蛙跳时间步进过程是全显式的，所以完全避免了因求解联立方程和矩阵求逆所带 来的问题，这明显优于传统的矩量法。时域有限差分法所需的存储空间和所需的 网格空间与网格总数成正比，其计算时间也与成正比，能比相同离散情况下矩 量法所需的存储空间和计算时间分别减少9 n 倍和2 7 n 2 倍； 在时域有限差分法算法中，其差分格式中被模拟空间的电参量是按空间网格 赋予的，因此，只需给予相应空间点以适当的参数，就可以模拟各种复杂的电磁 结构。也就是说，时域有限差分法是以将计算空间分成网格为基础的，而各网格 中的电参数又各不相干。所以，时域有限差分法能使用于任何复杂形状的物体与 电磁波相互作用问题的计算。此外，对于非均匀、各向异性、非线性的媒质也能 进行精确模拟； 时域有限差分法直接把含有时间变量的m a x w e l l 方程在网格空间中转换为 差分方程。在计算的网格空间中，每一点的场强分量仅与相邻的场分量及上一时 间步该点的值有关。随着时间的推进，能直接模拟电磁波的传播及其与相邻物体 的相互作用过程。采用时域有限差分法能直接反映电磁波的时域特性，能充分而 形象的描绘电磁波的传播过程和与目标的相互作用过程，描绘出复杂物理过程的 清晰物理图像； 作为一种瞬态方法，在脉冲波的激励下，f i ) n ) 方法的一次计算结果经过 f o u r i e r 变换后可以获得丰富的频域信息； 时域有限差分法中，比如标准f d t d 算法程序中，每一网格点上的场只与其 相邻点处的场及上一时间步的该点的值相关，而在f d t d 程序中，每一网格点上的 场只与其相邻点处的场及上两个时间步的该点的值相关。因此，f d t d 法适合于 并行计算。随着现在计算机并行处理技术的应用，f d t d 法将越来越显得重要。 采用时域有限差分法不需推导很复杂的公式，因此，它是所有数值计算方法 中最简单的一种。同时，由于这种方法是在时域中模拟电磁波与物体的相互作用， 因此很直观。由于f d t i ) 方法具有这么多的优点。使它在电磁学的各个领域获得 了广泛的应用，如在目标特性研究，天线辐射，电磁兼容，微波电路以及生物电 磁学等领域都得到了广泛应用。 1 0 基于f d t d 方法的信号完整性研究 2 3 1 差分近似原理 2 3f d t d 基本原理介绍 我们首先从微分运算的差分近似谈起，由厂( x ) 的泰勒级数展开，不难得到： 石d 厂( 刁= f ( x ) - f f ( x - a x ) + o 池) * f ( x ) - r f ( x - a x ) 丢，= f ( x + 百a x ) - 一f ( x ) + o ( a x ) * 丝等型 后向差分 前向差分 ( 2 1 ) 要厂( 功：f ( x + a x i ) - 一f ( x - a x ) + 0 【( a 砷：1 。丛壁垒安丛三二箜中心差分 d x上酞己x jl ，忱 心? 乡 t i 、 、i 。 。i： ： 缸 ：1 缸 1 图2 1 一阶微分运算的差分近似 由此可知前后向差分与中心差分分别具有o ( a x ) 与0 【( 缸) 2 】的误差。 二阶微分运算的有限差分近似公式为悯： “ 参厂。塑垃篙掣趔 c ：之， 对于二维变量 0 2 f ( x , t ) ：= 叙2 ，( 工+ a x , t ) 一2 f ( x ，r ) + f ( x a x , t )+ 绯2 】( 2 - 3 ) 1 0 2 f ( _ x , t ) ：丝坐坚熊塑堕型+ 0 【蝌】 ( “) 盘。 ( & ) 。 这些差分近似方法是我们讨论时域有限差分方法的数学基础。 2 3 2 直角坐标系中的时域有限差分方法 为了简单起见，首先考虑一维情况下麦克斯韦旋度方程以及其f d t d 差分计 算。 首先回顾麦克斯韦方程组： 第二章时域有限差分法( f d t d ) 基本原理 l l 其旋度方程可分别写为： v e 一= - - 触夏- 一无 v 雷= 警+ 五 v 西= p v 雪= 0 ( 2 5 ) 昙西( 灵，力= v xt 重( 夏，d 一五( 豆n ( 2 - 6 ) 昙雪值，f ) = 一v 雷( 尼f ) 一无( j ，力 由真空中的本构关系可得到： i d ( 犬，f ) = 8 0 昱( 更，玢。 i 占( r ，f ) = o h ( r ，f ) 言西( j ，。= v 豆( j i ，f ) 一无c 豆，f l ( 2 4 ) - 昙b ( r ，f ) = 一v 豆( 孟，f ) 一无( j i ，f ) 詈弋芦一r 觯 i 兰面咂，f ) = v 霄( 孟，f ) 一只( 孟，f ) 安培一麦克斯韦电路定律 讲 争w 沪无f ，f ) 溅靛律 场 。 昙画孟，f ) ： 钟 图2 2 电磁场耦合变化关系示意图 可得到一维麦克斯韦方程组中的旋度方程为： 雒 定路电 韦斯克麦 一 培 安o 源砸 一 1 2 基于f d t d 方法的信号完整性研究 f e ( r ，f ) = e q ，f ) 色 1h ，0 = 日，( z ，f ) ， 昙疋( ) = 一i 1 瓦a 以( z ，力一去厶( z 力 ( 2 8 a ) h y ( 列) = 一瓦1 瓦ae ( 列) 一去( z 力 ( 2 8 b ) 对上式中的空间变量以及时间变量分别利用具有二阶精度的中心差分近似： 一4 f ( z ) ；竺乏竺二乞妣) 2 】 d zz 一。 一a f ( x ) ；竺兰二坐二乞舭) 2 】 d t a t 。 ( 2 - 9 a ) ( 2 - 9 b ) 则由( 2 - 8 a ) 式，将磁场分量与电场分量在不同位置处离散，如图2 3 所示： 一；t 了； ( a ) 电场与其周围磁场 磁场与其周围电场 酵，q 砂叫2 碜川砂“2 蛩母一7 霹一蚺日2 丁i了了 了22 吃2 嘿3 2 一ln , - 1 2 玎： n 。+ 1 2 堤+ ln , + 3 2 ( c ) 电磁场分量在空间上的分布 图2 3 电磁场空间离散位置示意图 e ：z n ；a zn z - 1 一，m ( 2 1 0 a ) h y ：z 哼( 以：+ 1 2 ) z h ：。l ，札 ( 2 _ l o b ) 1 t ( 2 8 ) - ( 2 - 9 ) 可得： 昙e ( 印) 寸昙e ( z ，力l ：= 圭 e 。+ 止) 一疋( 瑚+ d 【( 缸) 2 】 ( 2 1 1 ) 昙矿毛( o = 一1 - - - - 三z e ；, + 1 ( f ) 一e 沁) 卜去式产 ( 2 1 2 ) 岫聂镶 第二章时域有限差分法( f d t d ) 基本原理 1 3 鲁日，( 列) 专妄日，( 列4 ：尘= 古阻，。+ 了a z ) 一q ( z 一等) 】+ 0 ( 乜) 2 】( 2 m ) 鲁霹 = 一丢吉【矿 ( 力一砖 ( f ) 】一丢露 ( 2 - t 4 ) 下面我们讨论三维情况下f d t d 的差分计算： 根据( 2 6 ) 式，在直角坐标系下旋度算子运算可以写为 i 毛 审。雷( j i ，f ) ；i 吴 k 蓉， e y a 妙 乞 a 一 岔 f ) e ( 豆f ) e ，t ：【丝磐一竺磐鼢【丝磐一丝磐驯竺磐一丝磐e 卵 宓韶西 何 砂 ( 2 - i s ) i 毛 毛 乏 i v 嘲- l 丢导鼍i 似回 阢( 豆f ) 日，( 露，o 皿c 詹，f ) l = 丝字一丝笔竽驯鱼哆0 2 ! 一堂笔竽即【丝罂o x ! 一塑铲砭卵 四“ 哕 昙骓力= 一v 咄豆，f ) 一无( 知) ( 2 - 1 7 ) 如力 蜴榔一- 警垒一堡黪 伽。， + 掣一挈砖+ 掣一挈o ye 旧慵饥瓦)盘 盘 四 i 昙西( 豆f ) = v 豆( 豆f ) 一无( 灵，谚 ( 2 1 9 ) 扣瓦吲鹕+ 她特 学一兰掣豉 + 挈一啭+ 掣一鹦o y 斗啪w 删应 文 饿 l 若将矢量旋度方程中各方向分量独立写出，我们可得六个标量方程： 缸瓣) = # 笋一竺字卜厶西) c ， 讲卯 1 4 基于f d t d 方法的信号完整性研究 昙口y ( j ，f ) ：_ c g e , ( l t 一8 e , ( r , t ) i 一k ( j ，力 ( 2 _ 2 1 6 ) 讲出o x 知m h 竺磐一丝磐m ( 豇) c z 执) 昙域国) = # 磐一挈m ( 2 - 2 1 d ) 昙d ，( j ，f ) ：_ 冬孚堕o h ；( r , t ) 1 一厶( j i ，f ) ( 2 - 2 1 p ) 饼戊o x o d , ( r ，f ) = # 岩一挈m ( z 。驴 根据本构关系式： e ( 孟，f ) = ，以( j ，力皿( j l ，f ) = q ( 豆，f ) 日( j i ，f ) = 蚂( j ，f )q ( j ，f ) = 日b ( j ，f ) ( 2 - 2 2 ) b a r ，f ) = 魍饵，f )见( 豆f ) = 业：( 孟，) 昙魍函) ：_ 堡磐一掣掣卜k ( 鼢) 力 优w 昙酬豇h 丝毫等o e , 缸( r , t ) 1 一( 鼢) ( 2 - 2 3 6 ) 昙雄蕊玲= - 丝磐一丝磐m ( 缸) ( 2 - 2 3 c ) 旦o t 应： 力= d 垦! 二擎盟一旦! l 竽生卜九( 豆力 ( 2 2 3 回 善也) = # 磐一鱼笔竽】一厶回) 旬 昙以( 豆，力；叶塑笔塑一垡笔塑卜厶饵，f ) ( 2 - 2 劝 o f 靠 删 式( 2 2 3 ) 中六个耦合的偏微分方程形成了f d t d 方法求解电磁波与物体相互 作用的算法基础。 为了将r 2 2 3 、式在空间和时间t - 离散化臣墨y e e 酋先将卒间辖立方体分翱i 。 第二章时域有限差分法( f d t d ) 基本原理1 5 因此这种分割计算空间的网格通常称为y e e 网格。这是实现时域有限差分的关键。 电磁场的六个分量在空间的取样点分别放在立方体的边沿和表面中心点上，电磁 场通过电场和磁场的耦合传播，如图2 4 所示。 图2 4 基本y e e 网格以及其中的电磁场配置 从图2 4 中可以看出，各个电磁分量配置在y e e 网格的特殊位置上：电场分 量位于网格棱边中心并且平行于棱边，每个电场分量环绕有四个磁场分量：磁场 分量位于网格面中心并且垂直于这个面，每个磁场分量环绕有四个电场分量。在 空间取样上，电场和磁场分量在任何方向上始终相差半个网格步长；在时间取样 上，磁场分量与电场分量相互错开半个时间步。这种场量配置不仅允许旋度方程 作中心差分近似，也满足在网格上执行f a r a d a y 定律和a m p e r e 定律的自然几何 结构，因而能恰当地模拟电磁波传播，而且可以自然满足媒质边界面上连续性条 件。时域有限差分实际上就是在空间和时间上离散取样电磁场。 假设网格元顶点坐标以弘z ) 可记为 ( f ，工j j ) = ( i a x , j a y ，尬z ) ( 2 2 4 ) 其中缸，a y ，a z 分别表不在x , y ，z 坐标方向i 两咨步长，f ，j ，k 为整数 在时间上，取九时刻的时间步为n a t ，a t 为时间步长。电场分量在= n a t 时 刻取样，而磁场分量在与电场相差半个时间步长处取样，即磁场的取样点为 f 。一1 ，a t ：o 一昙) f 。根据时间和空间网格划分的规律，任意一个空间和时闻的 函数可表示为 f 。嬉，j ，q = f “| 堪x ，j 厶y 囝( 2 - 2 5 ) 于是可以得到，磁场和电场的取样值分别为以。 a ，j + 丢，七+ 习， 日，哇( f + j i ，- ，j + 争，日，弓( f + i i ，+ j 1 ，动，e ”o + i 1 ，工，b 。( f _ ，+ j 1 ，七) ， 1 6 基于f d t d 方法的信号完整性研究 e “o ，j ，k + 与，考虑到时间上e 和h 有半个时间步的变化，按照y e e 网格上的电 磁场量配置，需要利用一阶导数的二阶精度中心差分近似式 _ a f - ( x ) ：f ( x + a x 2 ) _ - f ( x - 一a x 2 ) + d 【( 埘2 】( 2 - 2 6 ) 其中血是步长间隔。y e e 对时间导数和空间导数采用中心差分格式近似，这 样程序简单，而且具有二阶精度。 将式( 2 2 3 ) 标量方程中的电磁场时间和空间导数利用式( 2 2 6 ) ，得到各个电磁 场分量的时域有限差分方程为。以第一式为例： 记缸函) = 鲫力，以( 聃 望磐一竺笋】一厶( j ，f 懈7 ) 记或( j i ，f ) = 碰帕( 0 ，厶( 孟，f ) = ，2 o ) 图2 5 电磁场量形成的交链图 对于无源情形，则巨分量具体为： e n + l ( f + 丢，_ ，= c a ( m ) e ( f + j i ，舭) + c b ( m ) 其他分量可以类似得到： 毯 ( 2 - 2 8 ) ( 2 - 2 9 a ) 矿 第二章时域有限差分法( f d t d ) 基本原理 1 7 矽叫+ 三，j j ) = c a ( m ) 骘+ j 1 ，七) + c b ( m ) 璺竺坦垫二垒竺墨芝 z g + 三一扣一嚣一三一三，妨 e ”( f ，七+ 尹1 = c a ( c a ( m ) - 彰( f ，j , k + 争 e ”( f ，七+ 二) = - 彰( f ， + 三) + c 口( 聊) 日兔歹+ 圭加争1 = c p ( 妙h , 一2 ( i + 丢如争 + c q ( m ) 兰! ：! ：圭：! 竺二竺竺：塑 a z 一竺：! ：! ! 生二竺：竺：曼 缈 c r 扣七+ 尹1 = c e ( m ) 日南+ 扣后+ 争 + c q ( m ) o +