（应用数学专业论文）奇异积分方程数值解法的研究.pdf

北京科技大学硕士学位论文 摘要 本文讨论了第一类和第二类c a u c h y 型奇异积分方程与超奇异积分方程的数值解 法，并结合具体算倒，比较了各种算法的优缺点，对各种方法的特点进行了评述然 后，针对具体的弹性波裂纹散射问题，推导了其数学模型奇异积分方程，并进行了 数值求解主要内容包括： 1 ) 总结了现有的奇异积分方程的数值解法现有奇异积分方程的数值方法的主要 思想都是通过将来知函数写成连续函数与特定形式权函数的乘积，采用了不同的途径。 将积分运算用级数求和来代替，从而将奇异积分方程化成线性代数方程组进行求解结 合一些具体的数值算例，对常用的几种数值方法进行了评述 2 ) 建立了单个直线裂绞的弹性波散射问题的数学模型并进行了数值求解考虑均 匀与非均匀介质中的直线裂纹对垂直入射的s h 波的散射问题，借助f o u r i e r 变换和逆变 换，引入位错密度函数，将裂纹的边值问题转化为c a u c h y 核的奇异积分方程用 i d b a t t o - c h e b y s h e v 方法对奇异积分方程进行了数值求解。并分析了单个直线裂纹在弹性 波作用下的特性 3 ) 建立了周期分布的界面裂纹的弹性波散射问题的数学模型并进行了数值求 解考虑均匀与非均匀介质中周期分布的裂纹对垂直入射的s h 波的散射问题，借助 f o u r i e r 变换和逆变换，将一个周期内散射场的边值问题转化为带h i l b e r t 周期核的奇异 积分方程进一步将方程转化为易于求解的c a m c h y 核的奇异积分方程，然后利用 l o b a t t o - c h e b y s h e v 方法进行了数值求解，并分析了周期界面直线裂纹在弹性波作用下的 特性 关键词；数值方法，奇异积分方程。c a u c h y 奇异，超奇异，弹性波散射，晃面裂纹 北京科技大学硕士学位论文 i n v e s t i g a t i o no nn u m e r i c a lm e t h o d s o fs i n g u l a r i n t e g r a l e q u a t i o n s a b s t r a c t s o m en 哪印e 枷m e t h o d sf o r s o l v i n gs i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n s a r ed i s c u s s e di n t h i st h e s i s e s p e c i a l l y ，t h ec a u e h ys i n g u l a ri n t e g r a lc q l 培t i o e t $ a n dt h eh y p e r - s i n g u l a ri n t e g r a le q u a f i o n $ o f f i r s ta n ds e c o n dk i n da g ec o n s i d e r e d i no 出t o c o m p a r ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so f t h e s e n u n l e r i c a lm d h o k s 咖en m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r fp a r f o , m e da n ds o m ec o n c l u d i n gr e m a r k s a g og i v e no nt h e s en 帅e f i 翻m e t h o d s i na d d i t i o n , t h em a t h e m a t i c a lm o d e l so fe l n s f cw a v e s c a t t e r i n gf r o mt h ei n t e r f a c ec r a c ka 舱s t u d i e d t h es i n g u l a ri n t e g 姐le q u a t i o n sm d e d u c e da n d 瓣s o l v e d b y t h e m e t h o d s d i s c u s s e da b o v e t h e m a i n c o n t e n t s o f t h i s t h e s i s i n c l u d e ： 1 ) s o m en u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o l v i n gs i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n s 眦衲c s l i 鲫e d 1 n h c m a i ni d e ao ft h e s em e t h o d si st os u b s t i t u t et h eu n k n o w nf u n c t i o n sw i t ht h ep r o d u c to fa c o n t i n u o u sf u n c t i o nt ob ed e t e r m i n e da n dak n o w nw e i g h tf u n c t i o l lt h e n , t h ei n t e g r a l c a l c u l a t i o ni sr e p l a c e db yt h es e r i e ss u mt t u o u g hd i f f e r e n ta p p r o a c h e s t h e r e f o r e ，t h ei n t e g r a l e q u a t i o ni st r a n s f o r m e di n t oa s e to fl i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n s s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r c g i v e nt oc o m p a r et h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a i l t a g 皓o f t h e s en u m e r i c a lm e t h o d s 笳t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo fe l a s t i cw u v es c a t t e r i n gf r o mas i n g l el i n ec r a c ki s c o n s t r u c t e d t h cs hw a v e si n c i d e n tv e r t i c a l l yo l las i n g l ec r a c kl o c a t e da tt h ei n t e r f a c eb e t w e e n t w od i s s i m i l a r , 函咖i cs o l i d si sc o n s i d e r e d 。b yu s i n gf o u r i e rh a n g f o l ma n di n v e r s ef o u r i e r t r a n s f o r mt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sr e d u c e di n t oas i i i 铲i 缸i n t e g r a le q u a t i o nw i t hc a u c h y k e r n e l sa b o u td i s l o c a t i o nd e n s i t yf u n c t i o n t h es i n g u l a ri n t e g r a ie q u a t i o ni ss o l v e db yt h e l o b a t t o - c h e b y s h e vm e t h o d f i n a l l y , t h em e c h a n i c a lc h 棚习d e 略o ft h ee l a s t i cw a v es c a t t e r m f r o mas i n g l el i n ec r a c ka r ca n m y z e d 鳓t h em a t h e m a t c a im o d e lo fe l a s t i cw a v es c a t t e r i n gf r o mc r a c k sa r r a y e dp e r i o d i c a l l y a l o n gi n t e r f a c ei sc o n s t r u c t e d ，t h es hw a v n si n c i d e n tv e r t i c a l l y0 1 1p e r i o d i c a lc r a c k sa l o n gt h e i n t e r f a c ea r e0 吲d a e 正b yu s i n gt h ef o u r i e rt r a n s f o r ma n dt h ei n v e r s ef o u r i e rt r a n s f o r m , t h e b o u n d a r yv a l u ep 1 0 t , i e mi sr e d u c e di n t oas i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o nw i t hh i l b e r tk e r n e l s t h e n t h ee q u a t i o ni st r a n s f o r m e di n t oas i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o nw i t hc a u c h yk e r n e l 砸站i n t e g r a l e q u a t i o ni ss o l v e db yl o b a r o - c h e b y s h e vm e t h o d f i n a l l y , t h em e c h a n i c a lc h a r a c t c r so ft h e e l a a t i cw 批辩缸蛐gf r o mp e r i o d i ci n t e r f a c ec r a c k s 瓣a n a l r z e d k e yw o r d s ：n m 蛐隧i c a is o l u t i o n 咖g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n s , c a u c h y 鲡呜叫a 饥h y p e r - a h t g u l a r i t y , d _ 醴毒cw i v es c a t t e n 舀i n t e r f a c ec r a c k 独创性说明 本人郑重声明：所里交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他入已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 北京科技大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表 示了谢意。 签名：趣塞垒日期：竺z ! ：堡 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的论文在解密后应遵循此规定) 签名：翔、丛导师躲娅吼，孚：盟 北京科技大学硕士学位论文 引言 利用弹性波的散射去研究固体中的裂纹问题，既有理论意义，又有广阔的工程应用 前景在航空航天、复合材料力学、土木建筑工程和地震工程等领域，这个河题一直受 到广泛的关注特别是在近些年兴起的无损检测材料中，扮演了十分重要的角色 在研究界面裂纹的瞬态冲击响应和稳态散射问题时。反平面冲击响应和蜊波散射 闯题归结为求解第类c a u c h y 型奇异积分方程，丽平面冲击响应和p 波散射闯题归结 为求解第二类c a u e h y 型奇异积分方程此外在研究某些二维和三维裂纹的力学模型以 及利用边界积分方程方法求解三维力学问题时，还会推导出超奇异积分方程由于这些 奇异积分方程的解析解一般情况下都难以得到了因而，数值方法受到了广泛的重视， 对各种奇异积分方程的数值解法进行充分的理论研究h - x i 具体方程寻找适合的求解方 法，这在实际应用中具有重要意义 本文将对现有的数值方法进行分类总结，对各类方法的优缺点、数值精度、计算效 率和适用范围进行讨论，并通过实际算例的数值结果作对比分析对奇异积分方程数值 求解的未来研究方向作了适当讨论最后，再针对具体裂纹模型，进行数值计算，对所 得结果进行分析 第一章，简述奇异积分方程的发展，从国外与国内两个方面论述理论进展。然后， 介绍裂纹问题的由来和弹性波散射的研究历史最后，介绍奇异积分方程的一些基本理 论 第二章，针对c a u c l a y 奇异积分方程，介绍方程的一般理论，给出c a u c l a y 奇异积分 方程的数值解法，如j a c o b i 多项式展开法、c l c b y s l a e v 多项式展开法、分片连续函数法 等。给出数值算例，比较各种解法的优缺点 第三章，针对超奇异积分方程，介绍方程的一般理论以及有限部积分的定义，给出 超奇异积分方程的数值解法，如多项式展开法、积分公式法，同样给出了数值算例，比 较各种算法的优缺点 第四章，针对具体的裂纹散射物理模型，分别考虑均匀与非均匀介质中的直线裂纹 对垂直入射的s h 波的散射问题建立单个直线裂纹的弹性波散射问题的数学模型，科 用借助f o u r i e r 变换和逆变换，推导出相应的c a t c h y 核奇异积分方程，利用lo b 础争 a 曲煳方法，求解实际问题的方程，分析单个直线裂纹在弹性波作用下的一些力学 特性 1 北京科技大学硕士学位论文 第五章，针对具体的裂纹散射物理模型，分别考虑均匀与非均匀介质中周期分布的 裂纹对垂直入射的s h 波的散射问题。建立周期界面裂纹的弹性波散射问题的数学模 型，利用借助f o u r i e r 变换和逆变换，推导出带周期核的奇异积分方程，并转化为易于 求解的带有c a u c h y 核奇异积分方程：利用i o t m t t o - c h e b y s h e v 数值方法，求解实际问题 的方程，分析周期界面直线裂纹在弹性波作用下的一些力学特性 一2 北京科技大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 奇异积分方程的发展概述 断裂力学中许多问题的数学模型都可归结为奇异积分方程阻习如裂纹的反平面冲 击响应问题和s h 波散射问题均可以归结为求解第一类c a u c h y 奇异积分方程闱；而平面 冲击响应和p 波散射问题可归结为求解第二类c a u c h y 奇异积分方程：此外，在研究某 些二维和三维裂纹的力学模型以及利用边界积分方程方法求解三维力学问题时，还会导 出超奇异积分方程l 孓1 0 1 求解奇异积分方程的传统方法1 1 1 删是用方程本身的特征算子的相联算子作为正则化 算子，对奇异积分方程进行正则化，消除积分核的奇异性，化为f r e d h o l m 积分方程求 解早在五十年代，蛐嘲妇恼h v 蝉1 1 l 对奇异积分方程的解析解的理论进行了系统的研 究 & l l p 吼l 一1 e 帔早开始地探索奇异积分方程的直接数值解法脚n & g u p t a l l 7 1 田系 统研究了利用c h e b y s h e v 多项式和j a c o b i 多项式求解第一类和第二类c a u c h y 型奇异积 分方程的数值方法- 沁n 0 1 9 捌不仅深入研究了g a u s s - c h e b y s h e v 求积公式，更重要的 是将常义积分的g a u s s - j a c o b i 求积公式推广到奇异积分，并用于求解第二类c a u c h y 奇 异积分方程1 0 a k i m i d i s 1 1 啪r i s l 2 1 】证明了由g a u s s - c h e b y s h e v 求积公式得到的线性代 数方程组与由正则化方法得到的线性代数方程组是一致的t h e o c a r i s h i l d l i l i d 甜蠲将 蝴e b y s h e v 求积公式用于奇异积分方程，改善了c r a u s s - c h e b y s h e v 求积公 式g 啪鲫l l 则提出了分片连续函数方法，在局部用低阶连续函数去模拟实际解，直 接求解配置点的函数值m l m e r k e e r l 2 4 1 对分片连续函数法作了改进，并用于求解第二 类奇异积分方程r u s s e l ，t h o m a s & s 呻1 2 5 】对分片连续函数法在提高求积效率和加速收 敛等细节方面进一步作了改进 国内对奇异积分方程的数值解法的研究起步较晚，但是发展很快，特别是在数值方 法的理论分析方面，我国学者做出了一定的贡献路见剐研究了各类c h e b y s h e v 求 积公式之后，首次指出了奇异积分求积与经典g a u s s 求积这两者之间的联系，提出了具 有普遍意义的分离奇点的方法，通过分离奇点将奇异积分的求积问题归结为相应的经典 求积问题之后，路见可又用基于密度函数变换的方法研究了闭形式下的求积公式杜 金元1 2 磁i 建立了一般情形下的h c - ( i - i u n t c r - o a u s s ) 型求积公式，讨论了在一般情况下的闭 形式的求积公式，即h m ( h u u t c f - m a r k o v ) 型求积公式杜金元又将节点仅仅取在 3 一 北京科技大学硕士学位论文 m a r k o v 节点上，提出了另一种类型的求积公式，称为p e m ( p a g e t e l l i o t t m a r k o v ) 型求积 公式对于封闭曲线上奇异积分方程，王小林田刈等采用了样条逼近解法 在超奇异积分方程方面，在二+ 世纪早期，学者h a d a m a r d p g l 首次提出了“有限部积 f ，- f ( r m i t e p a ai a t e g r a l s ) 的概念用来求解超奇异积分超奇异积分方程相对于c a u c h y 奇 异积分方程更难以求得其解析解，因此，学者们把目光放在其数值求解上在七十年 代，刚建立了超奇异积分方程的求积公式进行数值计算超奇异积分方程方法是由 希腊学者i o a k i m i d i s s l 首先引入断裂力学的他使用了有限部积分的概念与方法，证明 了受法向载荷作用的二维与三维l 型裂纹可以推导出奇异积分方程偿1 ) ：并指出这些方 程组可以用k u t t 建立的超奇异积分方程的求积公式进行数值计算e r d o g a n 4 l l 将超奇异 积分方程方法用于平面和反平面断裂力学问题，并系统地为其建立了数值解法超奇异 积分方程方法可以获得主值型奇异积分方程方法无法获得的高精度结果t a k a l o l d a 4 2 1 等 用超奇异积分方程方法数值求解了l 型圆形裂纹和椭圆型裂纹问题，得到的数值结果比 b u i l 用主值型奇异积分方程方法求得的结果要好的多国内学者汤任基等1 7 - m , 4 4 1 利用边 界积分方程方法，统一地导出了三维断裂力学中柯西主值型和超奇异型的两类奇异积分 方程，并使用有限部积分与边界元结合的方法进行数值求解乐金朝闱，杜云海等 4 7 - 4 9 1 将双材料平面裂纹问题推导为超奇异积分方程，并采用多项式展开法进行求解 1 2 裂纹散射模型 对于弹性波传播问题的研究，最早起始于对光的传播性质的理解伟大的数学家兼 物理学家c a u c h y 、p o s s i o n 和l a m e 等人在这一领域做出了巨大的贡献在他们以后， 研究一直不多但从二十世纪六十年代开始，随着断裂力学的发展，研究在弹性波作用 下裂纹尖端的力学行为成了许多力学工作者关心的一个热点，并随着定量无损检测技术 的发展，裂纹体弹性波散射的远场特性研究日益受到人们的关注 无限大均匀介质中单个平面裂纹对弹性波散射的二维问题是最简单的问题最早对 这一问题作系统研究的是s m 及其合作者，他们利用积分变换法结合w i e n e r - h o p f 和 c o p s o n 技术得到了许多关于裂纹尖端动应力强度因子的结果( 稳态的和瞬态的) 无限大 均匀介质中多个平面裂纹对弹性波散射的二维问题首先是从研究双共面裂纹开始的经 过z 五a n g g s l j 和h u r 亭5 珥等的研究己解决了任意分布的多个裂纹问题，各种周期性分布的 裂纹问题由a c h e n b a c h 及其合作者进行了广泛而深入的研究目前，多个裂纹特别是随 机分布的多个裂纹的散射问题正日益受到人们的重视 4 北京科技大学硕士学位论文 当不同材料之间的界面产生脱胶时，将形成界面裂纹其尖端应力的震荡奇异性更 是吸引了众多学者致力于这一问题的研究b o d y 等鲫蝽j 用b e t t i 互易定理导出关于位 移势函数的奇异积分方程组，求解了加层半空间中界面裂纹在平面波作用下的动应力强 度因子关于界面裂纹对弹性波散射的远场研究还不多，主要集中于型裂纹的情况， 研究周期性分布的界面裂纹对s h 波散射的近场和远场特性，该方法以裂纹张开位移为 未知量推得积分方程，并求出了其近似级数解，对反平面问题非常有效章梓剃5 q 研究 了分布于两个半无限空阃豹周期界面裂纹对垂直入射的弹性波的散射问题，他主要利用 了有限f o u r i e r 变换将一个周期带内散射场的边值问题转化为求解一个带周期核的奇异 积分方程并对s h 波入射情况进行了详细的分析，求解了相应的奇异积分方程还对 散射场的动态特性进行了数值分析马兴焉护1 对于层状介质中界面裂纹的p 波和s h 波 散射问题进行了较为详细的研究，利用传递散射矩阵得到了任意多层介质中单一裂纹的 散射对偶积分方程。并对夹层半空间界面裂纹的弹性波散射问题进行了较为详细的探 讨，利用j a c o b i 多项式得到关于裂纹面张开位移函数的级数解，不但分析了散射场在裂 纹尖端附近的动力学特性，同时对其远场特性进行了渐近分析，得到了许多有价值的结 果 1 3 基本理箢 m u s k l m l i s h v i l i l l l j 对奇异积分方程的基本理论进行了系统研究，为奇异积分方程的解 析求鳃和数值求鳃奠定了基础 设是一分段光滑曲线( 开口或闭口) ，矿( x ) 在l 上满足h i j l d e r 条件考虑下列积 分 正静一乱 ( 1 ，) 可以分以下几种情况讨论： 当行0 时，令| i - 啼，( 1 1 ) 式可以整理得到 - j = 妒( f ) ( f 一工) 4 d t 正妒( f ) ( t 一工r 出，k z 0 ( 1 2 ) 这个积分可以利用传统的数值积分进行计算 当0 t 疗( 1 时，这个积分为弱奇异积分一般来说，弱奇异积分是收敛的通过对变 量进行代换，就可消除积分核的奇异性例如：对于下面这个积分，令x - y 2 ，则有 5 北京科技大学硕士学位论文 正挚。型2 玑妒( - ，：炒 c - 国 当弗- 1 时，( 1 1 ) 式为 f 蛆， j t z x 工 这个积分为o m i 吐，r 奇异积分一般地， ( 1 4 ) c a u 曲y 奇异积分是发散的，但当妒( 工) 在工上 足_ h d e r 条件时，这个积分在主值意义下是存在的即设x 为上的一个内点以工 为中心，作充分小半径的圆周，分别在z 的两边交于x 。工。两点 f 辔出一觋k 磐出+ f 辔出】 c ，国 若( 1 5 ) 式极限存在，则记为 叩正磐 以后遇见上面形式的积分时，恒理解为c a u c h y 主值积分，不再一一声明 当n 1 时，( 1 1 ) 式为 正静一工 一 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 这个积分属于高阶奇异积分高阶奇异积分通常是发散的，即使在柯西主值意义下 也是发散的因此定义“有限部积分”( 6 n i t , - p a ni n t e g r a l s ) 作为高阶奇异积分的积分 值有限部积分是在计算高阶奇异积分时，舍弃积分发散的部分，保留积分收敛的部 分 6 - 北京科技大学硕士学位论文 2 c h u c h y 奇异积分方程的基本数值解法 2 1 般理论 c a u c h y 奇异积分方程的一般形式为 4 妒o ) + 鱼靠j ，- t ! t - - 盟x 出+ j ，- i 七( j ，r ) 妒( f ) 出一，( 石) ，一1 t z t l ( 2 1 ) 其中，妒( x ) 是待求的方程的解，1 ( x ) ，七( f ，x ) 是已知的表达式，妒( x ) ，厂扛) ， 七( f ，善) 在( 一1 1 ) 内满足胧眦盯条件；口，b 为实常数或复常数当4 - 0 时，称( 2 1 ) 式 为第一类c a u c b y 奇异积分方程；当4 - o 时，称g 1 ) 式为第二类c a u c h y 奇异积分方 程根据p l e m e l j 公式 卜) 柚- 知。磐出 卜+ ( j ) 一m 一仁) - 妒( 0 其中，o + ( 工) ，垂( 善) 是解折函数 由( z ) 一瓤掣出 在开口或闭口边界三的左右边值可将( 2 1 ) 式化成如下非齐次r i c m a n n - h i l b e ：r t 问题 垂+ ( z ) 一慕垂1 ( 小，( 工) ( 2 4 ) 其中， f ( 工) 一去盼) 一j = ，丘( 彬) 妒( t ) 班】 求解( 2 4 ) 式时，应先求解对应的齐次i u e m a n n - h i l b e , t 问题 圣+ ( x ) 一等口一( 工) 仁匀 ( 2 j ) 式可以进一步化成跳跃问题 】n m + ( 工) 也垂。扛) 岫筹 ( 2 d 4 + 棚 。 令 q - 击h 4 a 万- b ia - - 去h 笔 则上述问题的特解为 7 北京科技大学硕士学位论文 m “) 一( 1 一工r ( 1 + 善广( 2 8 ) 定义奇异积分方程( 2 1 ) 式的基本解为 w ( x ) - ( 1 一工r “( 1 + 工) “。( 1 + 工厂( 1 + 善r( 2 9 ) 其中，n ，m 由函数妒( x ) 在端点的性质决定定义七- 一( + m ) ，则七的取值与端点 的性质的关系为： 当七- 1 时，函数妒( 善) 在两个端点均无界，但有可积的奇异性，为保证解的唯一性， 妒( x ) 应该满足附加条件； 伊( z ) 出一a ( 2 1 0 ) 当k 一0 时，函数妒( x ) 在一个端点有界，在另一个端点无界，但有可积的奇异性 当k - 一1 时，函数妒( x ) 在两个端点均有界，且应满足一致性条件 为保证函数妒( 工) 在端点存在可积奇异性，要求一1 t r e ( a ) c l ，一1 t r e ( , 8 ) 1 从而， 奇异积分方程的一般解可以写为 妒( x ) - g ( x ) ，r ( 工)( 2 1 1 ) 其中，g ( x ) 为区间( 一1 ，1 ) 内的有界连续函数 2 2 般解法 2 2 1j a c o b i 多项式展开法 e r d o g a n l l 7 】提到了利用j a e o b i 多项式级数展开待求的未知函数的方法其实质是用 一组正交多项式之和表示的连续函数作为最终解将连续函数按j a e o b i 多项式级数展 开，贝日奇异积分方程的解可以写为 矿( 石) - w ( x ) g ( x ) - w ( 工) z c ，铲力( 工) ” 亿1 2 ) - ( 1 一z ) 口( 1 + 工) 4 c ，曩刚( x ) 根据精度的需要，一般耿级数的前n 项和作为无穷级数的和。其中c 。为展开系数， 将( 2 1 2 ) 式代入口1 ) 式，利用公式1 3 5 l 鲁。w ( t 坷郇( r ) 兰- 一詈w ( 茹) ( 工) _ 2 - 击出一( 工) ( 2 1 3 ) 8 北京科技大学硕士学位论文 得剑 薹勺【一2 - ii 去韶一( 工) + 正七似r ) w ( r ) 弓扣棚( t 】- ，( 工) 仁1 4 ) 记( 毒) - 七f ) w ( f ) 弓扣( f ) 出，得到 薹卟2 4 五笔“刊( 小) 】- ，( 工) g 均 利用j a c o b i 函数的正交性条件 p 卅才飞) 嘶) 舢0 。，：二； 其中 一舞等铲 乃 2 f + 口+ 口+ lf ! r l f + a + + 1 l 、7 在( 2 1 5 ) 式的左右两边同时乘以尊”9 ) 旷1x ) ，并对耳从一l 到1 进行积分，得到 凳c ，- 2 一五b 嬲p ，。l - m _ ( 工) 只卜m - ，( 工) 旷1 ( x ) 凼+ f _ h j ( x ) 只卜m 叩( z ) 矿1 ( 工) 出】 一，。，扛) 只q 哪( z ) w 1 ( 工) 出 ( 2 1 8 ) 利用正交性条件( 2 1 回与( 2 1 7 ) ，只有当脚- j - k 时，才有以下关于系数q 的线性代数方 程组成立 一是俨_ b 弘q 啤n 其中 d 一一卑1 一( 工) 一( 工) 一( x ) 出 只- 一1 川( 工) 旷1 ( 工) ，( j ) 出 且两者均可以利用常义g a u s s 求积公式计算出其积分值 当七t 1 时，方程组( 2 1 9 ) 有n + 1 个方程，n + 2 个未知数，敌需要补充1 个方程，由 平衡条件 f 。妒( ；冲- 4 ( 常数) 仁锄 将( 2 1 2 ) 式代入( 2 蝴到 9 北京科技大学硕士学位论文 善c ，f 。 ，( ，) 弓扣卅( f ) 出- a ( 2 2 1 ) 再次利用正交性条件( 2 1 6 ) 与( 2 1 7 ) ，可得到 j c o 。币# 丽- 1 ( 2 2 2 ) 。o 其它c ，( j 1 ，2 ，) 可以由方程组( 2 1 9 ) 确定 当k - 0 时，方程组 2 1 9 ) 有n + 1 个方程，+ 1 个未知数，故其有唯解 当七一一1 时。令c - 。- 0 ，此时方程组( 2 1 9 ) 有+ 1 个方程，n + 1 个未知数，可解性 条件包含在方程组中考虑到异”印q ) - 1 ，从而k 一0 对应的方程就是可解性条件 j a c o b i 多项式展开法就是将待求的未知函数按j a c o b i 多项式级数形式展开，并利用 j a c o b i 多项式的正交性质，将c a u c h y 奇异积分方程转化成关于展开系数c l 为未知数的 代数方程组通过求解线性代数方程组，确定q 后，代入到2 1 2 ) 式，可以得到未知函 数有限项的近似结果这种方法对于第一类与第二类c a u c h y 奇异积分方程均适用对 于第一类奇异积分方程，只需要在上述推导过程中令a t 0 即可 2 2 2c h e b y s h e v 多项式展开法 e r d o g a n 和g u p a 1 1 明系统地阐述了利用第一类与第二类( 3 a e b y s h e v 多项式求解第一 类c a u c h y 型奇异积分方程的数值方法根据不同的端点类型，分别用不同的 c h e b y s h e v 多项式进行展开记l ( f ) 为阶数为，的第一类c h e b y s h e v 多项式，u ( t ) 为 阶数为j 的第二类c l | e b y s h e v 多项式 当k 一1 时，令 g ( f ) 一荟b 巧( f ) ，w ( f ) - ( 1 - f 2 ) 呜 ( 2 2 3 ) 则奇异积分项可以表示为 托磐。荟 b ，托1 高国。扣小) 伫柳 当膏一t 时 1 0 - 北京科技大学硕士学位论文 善。等西一薹嘲如) - 薹马薹稿 薹裂薹鹩 t o i 、t “，o i i 。t 。- ， 利用( 2 ：柳式和( 2 2 5 ) 式，g 1 ) 式可以化简得到 薹专b 硎叫砒) i ，( 玉) 彳导到关予g 以) 的线性方程组。补充平衡条件 f i 一瞄素( 2 k 1 ) ，七- 1 ，分， 而麟睾，i - 1 , 2 ，( 一1 ) 而。麟_ l ，一j 当七一一1 时，令 g ( f ) - a j u 几) ，w ( t ) - ( 1 一t 2 ) 5 则奇异积分项可以表示为 ! x j ，- i 业t - - x 出。砉一，x 掣掣 亿2 $ ( 2 狮 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 出- 一荟a , t j “( x ) ( 2 3 0 当x t 时 善，等跏如，一薹4 薹躺 薹蠕掣薹鹕 。 利用( 2 3 0 ) 式和( 2 3 1 ) 式，仁1 ) 式可以化简得到 1 1 一 譬 石一 4 v 詹 如矧 缸 d 式砖 m m 入恐 式 乃 仁 中 榻 其 北京科技大学硕士学位论文 荟n 嚣2 【去圳似) 卜) 叫五) 其中 i i 一嘲南七，h 1 ，2 。， 而- 淄茄矗( 五一1 ) ，2 ，( + 1 ) 方程组( 2 3 2 ) 有个未知数，n + 1 个方程显然，需要舍去一个方程一般舍去 。【等】+ l 这个方程其中【。】表示取整 这样即可求出第一类c a u c h y 奇异积分方程的解函数在积分区间上若干积分点的函 数值积分点以外的函数值，可以通过插值法实现所以，求积公式的阶次越高，产生 的积分点就截多。剐所得的誊t 信结果就救i 量i 匠真实解 2 2 3g a u s s 积分公式法 l 沁n 必1 删i 不仅深入研究了g a u s h e b y s h e v 求积公式用于求解第一类奇异积分方 程，而且将常义积分的g a u s s 4 a c o b l 求积公式推广到奇异积分，用于求解第二类奇异积 分方程 常义g a u s s - j a c o b i 求积公式为 j = ，g ( r ) w ( f ) 出。荟c t g ( f i ) ( 2 3 3 ) 其中，积分点满足 月( f i ) 一o ，东- 1 , 2 , ，n 将懈j a c o b i 求积公式推广到奇异积分得到 f 。掣一等毗) 叱) + 薹c t 等 ( 2 砷 其中 才棚( f t ) - 0 ，乏- i , 2 ，n 砖- ”k 肿( 而) 一0 ，i 一1 2 ，( - k ) 利用( 2 3 3 ) 式和( 2 3 4 ) 式代入( 2 1 ) 式得至关于积分点函数值g ( ) 的线性代数方程组 1 2 北京科技大学硕士学位论文 薹c i g ( ) ( 去础( 枞) ) i ，( 珈“跏 ( 。) 由于化简过程中，( 2 1 ) 式的第一项与( 2 3 4 ) 式等号右端第一项可以相互抵消，故在c 掐5 ) 式中不出现a 当七一l 时，方程组( 2 3 5 洧一1 个方程，个未知数因此，需要补充附加条件 l = 妒( x 皿- a 2 3 6 ) 才能构成唯解 当| | - 0 时，方程组( 2 二国有 r 个方程，个未知数，正好才能构成唯解 当七- 一i 时，方程组( 2 3 5 ) 有+ 1 个方程，个未知数显然，需要舍去一个多余 方程，才能构成唯解 g a u s s 求积公式法，将常义积分的g a u s s - c h e b y s h e v 求积公式和g a u s s - j a c o b i 求积公 式推广到奇异积分，导致出现两组点，一组为积分点，一组为配置点代数方程组的未 知量是积分点上的函数值不同于多项式展开法，求积公式法不含任何积分运算，计算 工作量相对于多项式法要小的多，而且推广到奇异积分的g a u s s 型求积公式具有2 n 阶 的数值精度 g a u s s 求积公式法和c h e b y s h e v 多项式展开法有一定的相似性，当a 一多一棚5 时，两种方法相同可以说，g 越璐求积公式法是c h e b y s h e v 多项式展开法的一种推 广但是，这两种方法都存在一个缺点，就是在求两个端点附近函数值的时候，需要通 过插值法来计算，丽这些函数值往往在端点处变化十分剧烈，因此，通过插值计算端点 的值，误差也会较大g a u s s 求积公式法在计算不同阶次j a c o b i 多项式零点时，就已经 引入了不小的误差。 2 2 4l o b a t t o - c h e b y s h e v 求积公式法 l o a k i n l i d i s 和t h e o c a r i s 证明了由g a u , s s - o a e b y s h e v 求积公式得到的线性代数方程组 与由正则化方法得到的线性代数方程组是一致的【2 1 1 他们进一步将l o b a t t o - c h c b y s h e v 求积公式用于奇异积分，从而将积分端点纳入积分配置点，改善了g a u s s - c h e b y s h e v 求 积公式不能直接计算端点函数值的缺点嘲 对于第一类奇异积分方程，令 妒( f ) 一g ( f ) ( 1 一f 2 - i ( 2 3 7 ) 常义积分的l o b a t t o - c h e b y s h e v 求积公式为 1 3 北京科技大学硕士学位论文 龄- 刍陟1 ) + 抄1 ) + 弘) 】 其中，气是第二类c h e b y s h e v 多项式的零点 将常义积分的l _ a b a u m c h e b y s h e v 求积公式扩展到奇异积分，可得求积公式 正去辨- 刍鼬n 去】 其中 f 满足：l l 一一1 ，- 1 ，一：k ) - 0 ，k 一2 ，3 ，( 一1 ) 为满足：巧一。“) m 0 ，i - 1 , 2 , ，( 一1 ) 满足： - ：s ：- 。l 乏n 丑，( 一。) 将( 2 3 8 ) 式和( 2 3 9 ) 式代入( 2 1 ) 式得到 南薹 【去州k 五) 卜m ( 珈f - l z ，( n - 1 ) ( 2 删 在( 2 4 0 ) 式中，方程个数为一1 ，未知数g 纯) 的个数为，要得到唯一解，应补充附 加条件 c ，妒( x ) 出- 彳 ( 2 4 1 ) 根据常义积分的l o b a t t o - c h e b y s h e v 求积公式( 2 3 8 ) 可得到 正妒( x ) 出一善以g “) l 彳( 2 4 2 ) g 细鼹求积公式法的积分点不包含端点因而，当要求计算端点函数值时，往往需 要向外插值，引入很大的误差蝴e b y s h e v 求积公式的积分点包含有端点因 而，在计算端点函数值时，不需要外插，避免了误差的引入端点函数值因与裂纹尖端 应力强度因子的计算有关，往往需要精确计算因此在这方面，l a m o - c h e b y s h e v 求积 公式法优于g a u s s 求积公式法但l _ o b a t t o - c h e b y s h e v 求积公式应用于奇异积分，精度 是2 一2 阶，比g a u s s 求积公式的精度低，而且这种方法只适用于第一类奇异积分方 程 一1 4 - 北京科技大学硕士学位论文 q 髓鲫l l l 洲提出分片连续函数方法，完全不同于以前的多项式展开方法和求积公式 法，而是从局部出发用分片的低阶连续函数去模拟实际解，直接求解配置点的函数 值m m 盯和= e l l 矧对分片连续函数法作了改进，并用于求解第二类奇异积分方 程r i i s l ，弧舳勰和s u n 嘲对分片连续函数法的效率和收敛性等细节方面进一步作 了改进 分片连续函数法是根据实际计算的需要，将积分区问( 一1 ，1 ) 化成距离不等的个子 区间( f 2 ，。，屯，。) ，并且规定： 积分点：( 如卜。，乞，t 2 ，“) 配置点；屯j - l - 0 5 ( t 2 j 。+ 乞) ，毛j - o 5 k ，+ f 2 ，- 1 ) 其中，- 1 , 2 , ， 在每一个子区间令g ( f ) 是次多项式，例如二次多项式： “小啬黼嘶+ $ 涨为仍， + 啬鹅 g 删 “祁( 宇) + c ( 孚丁 其中，i i 一昙( f 2 m t 2 1 。) ，彳一，曰- o 5 ( ，。一，。) ，c 一( 仍m 一2 砚j + 仍j 。) 将g ，( t ) 的定义域扩展到整个区闻( 一1 ，1 ) ，得到 引小硪t e ( t z l 。_ x 裂 ( z 卿 和 g