（应用数学专业论文）两类差分方程的全局渐近稳定性研究.pdf

硕 士论 文两类差分方程的全局渐近稳定性研究 ab s t r a c t hi面 5 asy m p t o t l c e q uat io n p a p erwe inve stig ate the o s c i l l atio 氏the g l o bal attr a c 1 i v i ty， an dthe gl o bal 引 透 b l l ity o f ai l 加s i t i v esol utionso f the 七 胃 ok i n d ，o fn o 川 i n e a xdi fl 七 r e nce 凡衬= a + 加才 a十 x:- : 耐 ， 一 e 一 时+c， andgiv。 顽 ci entc o n d itionsforthegl obal 出 y m p t o t l c s l a b i l ityofthe 妇 刀 o ki n dsofe q ua l i o ns. 丁 b i s p aper cons i stsoffo urp aits . hic 玩 甲 t e r o ne ， we 访 t r o d uce the hi storicalb a c k g r o u n d ， the p r o gr es s ofthe di 月 七 r e n ce e q uat l o ns. inc h a p t ert w o ， we i n tr edu cethe relatedc o nc e p tsand brie fl y n 即 rr a t e p re d ec e s s or ，s res ults h c h a p ter ti 甘 e e ， we d e tailydi s cuss the os ci n ati叽 也 ep e ri o di c ity 阴d the gl o b al as y m p to t i c s t a b i l i tyo f al l p o s i t i v e s o l utio n s o f th e n o n 一 l i n e ard i ffere n c ee q u a t i o n xn+l= a 劫工 了 a 十 碟毛 w h e 化 ， a b 以0， ao)， a r+， x-t， ， x- ， ， xo以0 ， ao)， p is arbi t r 脚 re al num be r ， k isa pos 1 t i v e 1 n t e g e r.a n d we p r 0 v e the u n 1 q u e pos i t i v e e q u i 1 i b r 1 u mofthe e q uat1 on isan a ti r a c t o r o f itand g l v e a s u ffic i ent con d 1 t 1 ono f the o scil lati o n o f t h e e q l la t i o n . inc h a p te r fo llr， wediscuss thee q u a t ion气 = 。 一+c，w h e t e b 。 (0， 。 )， c 。 r andprove 劝e gl obaias y m p t o t 1 c s ta b i l ity ofall p osit ive so1 ut io nsofthe eo让 时 皿 on. k e y w o r d s : d i 月 飞 r enc ee q u at l on， e qui libri um， o s c i ll at ion， a tt r actor， g l o b al s t a b i l i ty 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的 研究成果， 尽我所知， 在 本学位论文中， 除了加以标注和致谢的部分外， 不包含其他人 已 经发 表或公布过的 研究成果， 也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的 材料。 与我一同 工作的同事对本学位论文做出的贡献均 己 在论文中作了明确的说明。 研 究 生 签 名 礴盛 耘狂 ，7 年7 月 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档， 可以 借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容， 可以向有关部门 或机构送 交并授权其保存、 借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内 容。 对 于保密论文， 按保密的有关规定和程序处理。 研 究 生 签 名 : 年车左 命年冲介 硕士论文两类差分方程的全局渐近稳定性研究 第一章绪论 近年来，随 着计算机的广泛 应用， 出 现了 大量的差分方 程， 这是因为一 个离散过 程( 如: 组合论) 的自 然模型或者一 个连续过 程的离散化都 可以 是或者产生差分方程， 后者主要出 现在常微分方 程与 偏微分方 程的数值 求解中 。 数学上， 连续结果与离 散结果有时是 可以相通的. 因此， 把微分方程的结 果离散 化有时 就能 得到相应 差分方程的 结果。 然而， 差分 方程与其 相应微分方 程之间 存在许 多差 异， 甚至是本质 上的 差异。 例如， 人们发现( 见 1 2 ) ， 连续的l ogi s t ic方程 x ( t 、 丫( t ) =瓜( t ) ( 1 一- 二 乙 ).t 之几 k- ( 11 ) 的每个解都是单调的，但是，它的离散形式 凡 十 ， = 气(l 一 礼 )， n 之 巧( 1 . 2) 在a 科时却有一个 “ 混 沌” 解。 5 . m ohalna d 与k . g 叩als 二y 在 27 中指出， 仅管有许多 数值方法去近似连续系统的解，但是两种系统 ( 连续系统与其相应的离散系统) 解的 渐近行为不是经常 一致的。 j. s . yu和2 . c . w ang 3 3发 现时 滞微分方程与 其离散类似在 振动性方面 存在差 异。 k . l . c ooke与 a . f . ivan ov的【 7 ， j . w . h ook er的 1 1 也都阐述了 微分方 程与 其离散 类似的差别， 等等此 类差异不胜 枚举。 差分方程与 其相应微分方程 之间的差异，以及差分方程本身的内涵，表明差分方程值得进一步研究，也决定了差 分方程在 自 然科学研究中应有一席之地。 然而，差分方程理论研究还很不成熟，有待于人们进一步的探讨。正如 v . l . kocic 和g . l a d as在其专著【 1 4 中 所言，“ 这是 一个正处于孕育 阶段的 肥沃的 研 究领域”。 w . c . k ell y 和a . c . p et erso n 在1 2中展望: 差分方程是 一个丰富的 领域， 既有趣又有用。 差分方程主要来源于连续微分方程的离散化、某些离散方法( 如离散动力系统、 研究周期 解的 分支和p oi ncare 映 射等) 及各 种离散问 题( 如控制论、 生态学、 药物动力 学) 。差 分系统已 变成计算机、信息系 统、工 程控制、生态平 衡和社会经济学中的重 要 理论 基础之一。 另一方面，随 着现代科 技的日 新月异， 差分系统 对于控制科学家、 化学家、 物理学家、 经济学家和生物学 家来说己 成为重要 和有用的 数学模型。 事实上， 由 于医学、 生物数学和 现代物理及化学 等学科的 进一步发展， 已 提出 许多由 差分方程 描述的数学模型。 但是， 差分方 程理论研究的历 史非常 短， 真正开始 在90 年代初 期， 近十多年的 时间发展得较为迅猛，在文献中出现了一大批研究成果。 在这些成果中，比较有影响 硕士论文两类差分方程的全局渐近稳定性研究 的 代表性著作 有r . p a g a r w a l l 9 9 2 年出 版的专著 1 ， v . l . k o c i c 和g . l a d a s1 9 9 3 年 出 版的【 14 等。 a garwal的【 3 7从差 分方 程的 基木理论， 包括基本 概念、 符号 ， 到己 发表在文献中的 重要 结果进 行了 详尽系 统地阐 述，书中还附了 大量的例题 和练习 题， 对初学者和 初始研究 者来说， 本书 不失为 一本好的教 材， 该 书在2 0 00年进 行了 再 版， 扩充了 一 些内 容， 补充了 不少具 有实际意 义的例 题。 而vl ， k oci c 和g . l adas的【 1 4 ， 在介绍基本理论、 总结己 有结果与方法的 基础上， 提出了 许多研究问 题 ( re s e arch project)， 尤其， 书中 专门劈出 一章， 就研究过 程中 遇到不能 解决的问 题以“ 公 开问 题与 猜想” ( o p e np r o b l e m sa n d c o n j e c t u r e s ) 的形式 提出 来， 供研究者去 探讨， 这些问 题引 起了 研究者的强 列兴 趣， 无疑也为 初始研究者， 尤其是 那些 初入门 而找不 到 研究问 题的人， 提 供极好的现 成的 研究 课题。 r . p . a garwal 与p . j ， y . w ong l 9 9 7 年 出版的 专著 3 9 及r . p . a g a r w a l ， 5 . r . g r a c e 和d . 0 ， r e g a n 2 0 0 o 年出 版的 专著二 2 ， 也是 这方 面比 较有影 响的 两部作品， 对推动 差分方 程的理 论研究 有较 大的 促进作用。 1 9 9 5年国际差分方程专业期刊 j o u r n a lo fn i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n d a p p l icatio n s)的 创立更 加推动了 差分方 程理论研究的 发展， 为 差分方程研究的 交流 与 合作提供了 一个专 业舞台。 尤其， 杂 志编辑g . l a d as教 授把各国 学者在研究 中 遇到 不能 解决的问 题，以“ 公开问 题与 猜想”的 形式在杂 志专 栏上提出， 激起了 人们的 研 究兴趣，促 进了 差 分方程理 论研究的 进一步发 展。 由于微 分方程的 振动性 理论较为 成熟， 结果也较多 ， 研究微分方程振动 性的一 些 理论、 方 法及其工 具可转 借用到研究 差分方 程的 振动性 上来， 所以 ， 差分方 程的 振动 性结果也很多，这些结果主要在两个方面: 1 . 振 动性或非 振动性 条件( 包括 充分条 件、 必要条 件、 充要条件) 的获取: 2 . 非振动解的分类与存在性。 知 道在什么条 件下方 程的 解 振动仅仅是 从宏观上了 解的 性质， 而知道 振动时 解是 如何振 动的， 相比 较而言， 更有微 观意义 和精确性， 这就需 要研究环长( 相当 于 微分 方程的零点 距) 、 环上极 值位置、半 环项数出 现的规律等 等， 这些研究更有 现实意 义 和 应 用 价 值。 例 如 ， 对 于 离 散 的 l og i s ti c 人口 模 型(1 . 2 ) ， 方 程的 解气 表 示 n 时 刻 人口 的数量( 或密度) ， 正、 负 半环对应 人口 数 量在平衡 值( 环境所能承载的人口 数量) 上 下 的情况，知道正、负半环的环长就能知道人口数量出现在平衡位置上下的时间长短， 知道正、 负半 环 环上的极 值位置就 能确定 相应时段人口 数量到达高峰与 低谷的 时间 等 等，这 些结 果就 可以 为决 策者制定 人口 政 策提供理论 依据， 非常有实际意义。 关于 差分方 程的振 动性研究方 法一 般都是采用反 证法， 即， 假定方程 存在非 振动 解， 然后根据己知条件和假定设法推出矛盾。 这一点可参见前面所列出的关于振动性 结果的几乎所有文献。 然而， d . p . m ish ev与wt . p atula 在 2 6中采用了一种新颖的方 硕士论文两类差分方程的全局渐近稳定性研究 法证明方程 解的 振动性。 该方法主要思想是: 证明 方 程解的正、 负半环中 元素个数的 最大数目 都 有上界， 从而， 解必定是振动的。 这也是 我们 第一次看到 用直接证明的方 法证明差 分方程 解的 振动性。 不用反 证法研究方程 解的振动 性是一个 有待于 进一步探 索的课题。 关于 差分方 程稳定性或者渐 近稳定 性的结果 较多，参 见专著【 1 ， 1 4及论文4 ， 5. 6 ， 8 ， 1 3 ， 1 5 ， 1 6 ， 1 8 ， 1 9 ， 2 0 ， 2 1 ， 2 2 ， 2 3 ， 2 4 ， 2 5 ， 2 8 ， 2 9 ， 3 1 ， 3 2 ， 3 4 ， 3 5 ， 3 6 ， 3 7 ， 3 8 ， 3 9 。 在 研 究方法上， 对不同的问 题方法不二样，尚无定法。 差分方 程中 的有理型差 分方 程， 由 于其形式简 单， 也 易于 用计算机模拟， 所以常 使人误认为简单.而实际情况远非如此。如，对有理型差分方程 凡+ 1 a + bxn a十 人 -1 n=0 ， 1 ， 2 ( 1 . 3 ) 其中 a ， b， a ( 0 ， 。 ) ， ( 1 . 4 ) 初 值x- ， ，xo 是 任 意 正 数 ， 计 算 机 模 拟结 果l 4 表 明 : 只 要 参 数 a ， b ， a 创0 ， co)， 其 正 平 衡 点了 就是全局渐近稳定的。然而，理论上只能得到一些总结在文【 1 7中的结果: 定理 假定( 1 . 4)成立且下列条件之一满足: ( 1 )b a; ( 1 1 ) b 之 a 且 a ab ; ( 1 1 1 )b 之 a 且 a b 0使得 当 x 一、 ， ， x- ， ，xo“ r 且 lx- * 一 刘 十 +i 二 ， 一 刘 +l xo一 刘 占 时， 对 一 切。 : 一 k 气 一 刘 。 使得当 x 一 ， ， x 一， ，xoo r 且 lx- * 一 刘 + 一 + x 一 厂刘 + xo 一 司 0 使 得当 x -k， ， x- :， xo r 且 ix- * 一 司 + + ix- ， 一 刘 + ixo 一 刘 ( no 使得 气xnz 一 k ， xl 一 万 ， 并 且 要 么m = co ， 要 么 m 万 ， 并 且 ， 要 么从 = 。 ， 要 么 mx 方 程(2 . 1 . 1) 解 的 第 一 个 半 环 从羌 * 这 一 项 开 始 ， 并 且 若 x- * 之 了 ， 则 第 一 个半 环 为 正 半 环; 若 x- * 万 ， 则 第 一 个 半 环 为 负 半 环。 一个解可 能有有限 个半 环， 也可能有无限 个半环， 但 是， 一 个严格振 动的 解必有 无限个半环. 定义 2 . 1 . 10 一个半环所包含的项数称为该半环的环长。 定义 2 . 1 . n 半环的 极 值是 指给定的正( 负 ) 半 环中元 素的 最大( 最小 ) 值， 极值的 位置是指取得极值的元素的位置。 定义 2 . 1 . 12 周期性定义。 (a) 一 序 列 气 赚 一 。 称 为 p 一 周 期的 ， 若 对 所 有 的 。 。 n ， 都 有凡 十， = 气: (b) 一 序 列 气 蹂 一 。 称 为 最 小 p 一 周 期 的 ， 若 对 所 有 的。 。 n ， 都 有戈 + ， = 凡 ， 且 p 是 硕士论文 两类差分方程的全局渐近稳定性研究 使此式成立的最小正整数。 定义 2 . 1 . 13 方 程(2 . 1 . 1)称为 p 一 周期的，如果 它的 每一个解都是 p 一 周期的。 定义 2 ， 1 . 14 方程(2 . 1 . 1)称为 永久的， 如 果存在正常数p ， q满足。 尸 q ( ) 0 . 2 . 2差分方程稳定性的结论 2 . 2 . 1基本定理 定理 2 . 2 . 1 ( 线性化稳定 性定理 1 4 ) ( a )若方程(2 . 16)所有根的 模小于1 ， 则方程(2 . 11)的 平衡点王 是 局部渐近 稳 定的; (b)若方程(2 . 1 . 6)至少有一根的模大于1 ，则方程(2. 1 . 1)的平衡点万 是不稳定 的。 定 理2 . 2 . 2 ( 线 性 化 稳 定 性 定 理 l 4 ) 如 果 艺 几 !川 。 且 7 硕 士 论 文 两类差分方程的全局渐近稳定性研究 po 卜 11 一 pi ， 此 时 ， 万 是 不 稳 定 的 且 为 一 鞍 点 。 定理 2 . 2 . 4 1 4 1设f ( x ) 任 c ( 0 ， ao ) ， ( 0 ， 。 ) ) 为一非 增函数，万 是 f ( x ) 的 唯一不动 点，那么，下列叙述等价: (a )万 是f z x)在( 0 ， 。 ) 中的 唯一不动 点; ( b )当。 无 k /( 无 + 1 )k + ， . 定理 2 . 2 . 9 1 4 假定p 。 ( 0 ， 。 ) ， k 为一非 负整数满 足p + k 转 1 ， f 任 c 伍汉) 且 uf(u 卜 0， 黔 粤= ， ， 。 假定存在一占 0 ，使得要么u 以0， 司时f(u) u ， 那么非线性差分方程 ( 2 . 2 . 6) 要么u c - 占 ， 0 1 时f ( u ) 之 u . 凡 +l 一 凡+ 万( 礼 峨 ) = o n = 0， 1， 2 ， ( 2 . 2 . 7 ) 的每个解振动当且仅当线性方程 戈 衬一 凡+ 夕 优 卜 毛 = 0( 2 . 2 . 8 ) 的每个解振动。 定理 2 . 2 . 1 0 1 4 考虑差分方 程 戈 +1 一 气+ 声 优 卜 走 = 0 ，n = 0，1 ， 2， ( 22 . 9 ) 其 中 ， k “ n ， 几 为 一 非 负 实 序 列 ， 且 黔几 一 p. 若 p 犷 /( k 十 1)* 习 ， 则 方 程 (2.2. 9) 的每个解都振动。 定理 2 . 2 . 1 1 1 4 考虑方 程 气 + : = 气 f(与、 ) ， n = 0，1， ( 2 . 2 . 1 0 ) 设f c ( 。 ， 。 )x(0 ， co)， (0，二 ) ， f (u ， v)关于u 非增， 关于 v 递减，并且uf(u ， u)关于 u 是递 增的 ，如果方 程(2 . 2 . 1 0) 有唯一的正 平衡万 ， 那么万 是全局渐近稳定的. 定理 2 . 2 . 12【 1 4方程 礼 +l = 礼 f (x，xn一 、 xn 劣 )，n= 0，1， (2 . 2 . 11) 是永久的。 定理 2 . 2 . 1 3 14 考虑 方程 凡 + ， = a 礼+ f ( 气 _ r ) ， n = 0 ， 1 ， ( 2 . 2 . 1 2 ) 硕士论文 两类差分方程的全局渐近稳定性研究 其中 a 已 1 0 ， 1 ) ， k 任 1 ， 2 ， 一 ， f o c ( 0 ， 。 ) ， ( 0 ， 。 ) )( 2 . 2 . 1 3 ) 设f ( 司关 于u 是递增的， 并且系 统 u =华 1 一 9 l = 旦 里 1 一仓 在(0 ， 二 卜(0 ， co ) 上只 有一个 解 l ， u ， 那么方 程(2 . 2 . 1 2)只有一 个正 平衡艾 ， 并且 u =l=万 而且 对方程(2 . 2 . 12 ) 的 每个正初 始条件 礼 0 ， n = 一， ， 0 的解都吸引到万，即， 忽凡 = 万 定理 2 . 2 . 1 411 4对于 方程 xn+ : 一 艺代 气 一， + 0 一 a) f( 艺 叭、 )，n= 。 ， 1， ( 22 . 1 4 ) 其中 max ao ， ， 气 ， bo ， ， 气以0 ， 。 ) ， ， = a = 艺乌 1， 艺八 = 1 且f o c ( 。 ， co )，0 ， oo d ，f 有一个 唯一不动 点又 ，(x一 习( f ( x)一 x) 0 ， 0 1 那么方程(2. 2 . 15) 有唯一的正平衡了，并且 ( 2 . 2 . 1 7 ) _b 一 ; + 振 二 万 石 而 x二 二 一 其中 b = 艺认 。 但是当。 = 0 且0 1 ， 那么方 程( 2 . 2 . 1 8 ) 的正 平衡万 是 全局渐近稳定的。 考虑方程 气 : 钾二 一 ， 。 一 。 ， ， 二 ( 2 . 2 . 2 0 ) 艺吞 礼 一 其中 bo ， 久。 (0 ， 。 ) ， k 。 l，2 ， 方程(2 . 220) 的唯一正平衡是 ( 22 . 2 1 ) _1 工 一 霜 其中 。 一 全 、 下面的定理说明了方程( 2 . 2 . 2 0)的所有正解的一个全局渐近稳定性的结果。 定理 2 . 2 . 17 1 4 设(2 . 2 . 21) 成立， 那么了 是有正初始条件的方程(2. 2 . 20) 所有 解的渐近稳定性平衡。 考虑方程 xn+l之 a + bx a十 气 绝， n = 0 ， 1 ，.二( 222 2 ) 其中 a ， b 任 0 ， 。 ) ， a + b 0 ， a ( 0 ， 。 ) ， k 。 1 ， 2 ， ( 2 . 2 . 2 3 ) a 0 或者a = 0 ， b a( 2 . 2 . 2 4 ) 时，方程(2. 2 . 22) 有一个正平衡，并且 x = ， 一 注 + 了 ( 。 一 ， ) ， + 4 a 2 下 面的定理 说明了 方程(2 . 2 . 2 2)的 所有正解的 振动性特点: 定 理2 . 2 . 1 81 1 41 设(22 . 22 ) 的 条 件成 立， 并 且气 是 方 程(2 . 2 . 2 2)的 一 个 正 硕士论文两类差分方程的全局渐近稳定性研究 解， 那 么下面的叙 述是成立的: (a )如果b 。 ，并且对某个、 之 0 ，或者 对n 之 no ， 人 之 万，或者 对 n 之 no ， 戈 了 ， 那 么 ， 对n 之 巧 + k ，仇 是 单 调 的 ， 并 且 怒礼= 万 (b ) 设 b 0 ， 并 且气 是 方 程(2 . 2 . 22) 的 一 个 正 解， 它 是 关 于 万 振 动的 ， 那 么 每 个半环的 极值点是前( k+l) 项中的一 项; (c )设b 0 ，并且 了 ( a + 习 k _ 无 k b + ，( k + 1 )x + ， 那么 方程(2 . 2 . 2 2)的 每个解都是 关于正平 衡王 振动的; (d )设b 0 ， 且 a ba， 那么方 程(2 . 2 . 2 2)的 每个非 平凡解都是关 于正平衡万 严 格振 动的， 并且这样一个解的 一个半环最多 有( z k +l) 项; (e )设b = 0 ， 那么方程(2 . 2 . 22 ) 的 每个正 解都是关于了 振动的， 并且每个半 环 最多有( k + 1 ) 项。 下面的定理说明了方程(2. 2 . 22) 的正平衡万的全局吸引性: 定理 2 . 2 . 1 9 1 4 设(2 . 2 . 23) 和(2 . 2 . 2 4)成立， 那么， 如 果下面 六个条件中的 任 一个成立，方程(2. 2 . 22) 的正平衡万都是所有正解的一个全局吸引子: ( a) 0 0且 a b 0: ( b )a 0且 b = 0 ; ( c )b 0 ， k 之 2 ， a b 0 ， k = 1且 a a b : ( f) b 0 ， k = 1且a b a z a b + 2 a 2 . 硕士论文两类差分方程的全局渐近稳定性研究 第三章 一类差分 方程的全局渐近稳定性 在 这一部分， 我们详 细的研究了 有 理差分方程 凡+l=a 舫工 才 a十 x:- ; ( 3 . 1 ) 其中 a， b 。 0 ， co)， a o r+，初 值x 一k ， ，x-l， 孔 抓。 ，哟， p 是 任 意 实 数 ， k 是 正 整 数 的全局渐近稳定性。 ( 3 . 2 ) 3. 1当k ， p 取不同的 值时已 经得到的 结论 3. 1.1 当卜1 ，p = 1 时 方 程(3 . 1) 的性质己 经被 研究，参 看l 4 ， 16 ， 得出的 主要结果 如下: 定 理 3. l l 设b = 0 ， a ，a 0 那 么 方 程 (3 ，1) 的 正 平 衡万 是 方 程 (31) 的 所 有 解 的 全 局 吸引子，并且，每个正解都是关于正平衡万振动的。 定理 3. 1 .2 :设a ， b ， a (0 ， 。 ) ， a b 之 a 或者a b a ，且万 a ， 那么，万 是方程(3 . 1) 所有解的全局吸引子。 3. l 2当卜1 ，p 月 时 c amo uzis 和l ad as己 经得出了 相应的结 论，见【 5 ， 其主要 结论为: 定理 3. l 3设b = 0 ， a 二 1， 。 a 2 ， 令凡 赚 : 是方程(3.1) 的一个正 解，那么 塑 气 二 元 其 中 万 是 方 程 (3 1) 的 唯 一 正 平 衡 。 定 理 3. l 4设。 b a ，a 二 1 ， 到 1 + 护 ) ， 了 石 万 丁 ，其中 了 是 方 程 (3 .1) 的 唯 一 平 衡 ， 那么了 是 方程(3 . 1 ) 所有 正解的 全局吸引子 。 定理 3 . 1 . 5设。 b 0 ， 令 f ( x ) = ( a + bx ) p 一 x ， x 一 a / b ( 3 . 2 . 1 . 3 ) 那么，下面的叙述是成立的: ( 1 ) 当p 1 时: ( a ) 如果 。 ， 卫 卫 阵卢 p-l p p b 那么f ( x) 0 ; ( b ) 如果 _ 夕 一 1 ， 1 、 1 * ， 1 、 “ = 吸 j p p b 那么f ( x)= 0 只 有一 个根万 0 ; ( c ) 如果 二 号 壹 l/(间 那 么 f (x)= 0 有两 个 根 。 万 歹 . (2 ) 当。 0 ，所以了 ( x) 0 ; ( b )如果 。 = 型 肖i/be l) pp d 那么， f ( m ) = 0 ， 所以 f (x ) = 0 只有一 个根了 = m; ( c )如果 二 宁 喘 。 间 那么，f (m) 0 ， 所以f(x)= 。 有两 个根。 划 ， f ( x ) = a+bxp a+x p 一x ， x0 2 . l 那么，f ( x)= 。 有唯一的正 根芡 。 证明:这是一个简单的计算，略去。 引理 3 . 2 . 5 如果t 0 ，那么 (1+ 生 )t + 牛 2 tl 十 t 硕 士 论 文 两类差分方程的全局渐近稳定性研究 证明:当t 之 1 时，结果是显然成立的。当0 t 2 引 理3 . 2 . 6 设p 1 ， 令 生已 f(x ) = x 一 ( 刀 b ) p + ， x p + ， + b 如果x 0 ， 那么f ( x) 0 . 证明: 在引理3 . 2 . 5 中 令t = (p一 1 ) /2， 那 么， 2 、 粤 t l +甲- 丁 ) + p 一 1 王 2 p 一 1 因为 ， ，(: ) 一 1一 典(砂 )命 x 扁 ， ， f (x ) 。 p 十 1 所以 f ( x)单调 递增，广 ( 0)= ， f (+。 ) = 1 . 因 此，尹 ( x)只有一 个根， _， _ 二 ， p 一 1 、 粤 人=p以一 甲 丁 少- p + 1 故 ， 当 x 。 0 ， x ) 时 ， f ( x ) 0 . 所 以 f ( x ) 在0 ， x ) 上 单 调 递 减， 在 (x ，栩) 单 调 递 增 ， 因 此f ( x) 在 犷 取 得 最 小 值 ， 又因 为 _，p + 12产1。尸 + i p-王，口 -l f (x ) = pb 阵共 ) 万一 ( 夕 b ) 示 ， ( 夕 五 ) 丙 详 竺 与 万 两+ 。 = 夕 。 阵弓 ) 了 哗斗一 1 ) + 。 p+lp+lp+ip+1 硕士论文两类差分方程的全局渐近稳定性研究 = 。 (冥)宁 澳、 (粤气一 。 (月)气， + 与粤 十 奥一 2 ) ， 。 p+ip+ip一 ip+ip一ip一 1 所以 f ( x) f ( x ) 。 . 证毕. 引 理3 . 2 . 7设 p l， a， b 0 ， 那 么 夕 ， 吞 ，a 广 一(a p + ， + 石 ) p+ ， 夕 ， 吞 ， a (p-l x p +i ) 即 夕 ， 石 z a 尸 一( a p+1+ 云 ) p + ， 认a 汤 ， x 0令 f( 。 一 下 六 下一 t 口十 d ， 了 ( a + 加) p ( 3 . 2 . 1 . 5 ) 那么， 1) 如 果 。 ， “ ， 或 者 睽 自一 那 “ f(x ，= 0 “ 有 一 个 根 0 : (2) ” 果 睽 喘)一 那 “ f(x ，= “ 有 三 个 根 。 0 ，f(+oo) = 一 1 ， 因 为 f (x)单 调 递 减 ， 所以 f ( x) 只 有 一 个根 x ， 所以 在0 ， x ) ，f ( x ) 0 ; 在(x ， 柳) ， f ，( x ) 0 ， f( 栩) = 一 。 ， 所以 f ( x)在0 ， 栩 ) 上只 有一 个根。 ( b )如 果9 ( 0 ) = ( 夕 一 1 ”一 a p + ， 0 ，由引 理3 . 2 . 7 f ( 0 ) 夕 ， 石 ，a p 一(a p + ， + 石 )p +， (a p +， + b )p + 0 ; 在“， 、) ， f (x ) 。 ; ( 1 1 )如果 硕 士论 文两类差分方程的全局渐近稳定性研究 夕 匕 里 ) 尸-l 夕 ( 砂) p-l 那 么f ( x) 在(0，栩) 有 两 个 根 奋 ， 最 ， 并 且 在 (0，奋 ) ， f (x ) 0 : 在( 易 ， 栩) 上f ( x) 件 )六 ， 从 而 f( 。 ， 。 ， 所 以 f(x ) 一 。 还 有 另 外 的 两 个 实 根 ， 一 个 在 (0 ，习 ， 另 夕口 一 个 在 任 ，佃) ， 分 别 把 两 个 根 记 为 不 ， 几 ， 那 么 有 。 0 ， 那么，当。 夕 0 或者 ( 口 刀 一 1 ) b_ ，口 刀 、 5 ， a 。 洲 口 p一 1 时，。 ( 。 (x ) = x 只有一个 正根。 证 明 : 由 引 理 3 .2 . 8 可 知 ， 当 。 ， 。 或 者 毕 豁 生 (孚 牛 ) 时 ， aop 一 1 f ( x)= 1_ _ 一 x (a+ b 下 一 ， 兀 - 二 ; 百 ) “ f l 口 十口 工 ) 只有一 个正 根to ， 所以 硕士论文两类差分方程的全局渐近稳定性研究 ( 。 十 ， 一 二 匕 一 、 ， 气 “ 一 口 o j 令了 = 心 ， 因 而 ( 。 十 。 一磊 ) ” t a+dx ) = t0 二 二 x 因 此巾 ( 小 ( 劝 卜万 ， 证毕。 引 理 3. 2. 10氏 b， p 0，令 气 + ， = (a 十 bx ”xo 0，令 l( x0 ) 一 煞气 ， 那 么 下 面 的叙述是成立的: ( 1 ) 当尸 1 时， ， 如 果 二 六女 ， b，如 果 一 六喘 ， l( p一 1 ) ， 那么， 对所有的凡 0 ，l( x0 ) = 00; ， 那么， 对。 xo 万 ，l( x0 ) = 万 ; 对万 xo 柳 ， l(x0 ) = 00， 其中万 是方 程(3 . 2 . 1 . 3 ) 的唯一 正根; (c) 女 。 果 。 共阵妙 一 1) ， 那 么 ， 对 。 xo 、 ， ， : (x0 ) 二 ; : 对 xo 一 ， ， p一i pd l(x0 ) = 歹 ; 对歹 xo 栩 ，l( x0) = 二 ;其中