（固体力学专业论文）基于细观力学理论的混凝土力学性能研究.pdf

摘要 摘要 对混凝土力学性能的研究主要还是建立在宏观的力学实验基础之上，通过 对混凝土宏观力学性能指标的观测对比，定性地分析混凝土微结构的形成对混 凝土宏观力学性能的影响。缺乏理论的推导和分析，难以建立两者之间的量化 关系。而数值分析研究则是具体问题具体分析，也无法建立混凝土微结构参数 与其力学性能之间的量化关系。细观平均场理论在预测刚度性质方面能得到理 想的结果，并能给出各相均匀应力与微结构参数的解析关系式，然而在强度分 析方面精度不够。而目前的各种强度理论虽然能够给出混凝土在复杂应力状态 下的强度破坏准则，但强度理论的给出要么是通过试验数据的拟合得出要么是 通过理论假设结合少量试验点推导得出，无法反映细观结构参数对混凝土强度 的影响。 本文采用细观力学平均场理论与弹性理论相结合来研究平面问题下混凝土 的微结构与其力学性能之间的量化关系。首先在考虑界面过渡区的情况下建立 混凝土三相细观力学模型；运用弹性理论计算在外载荷作用下混凝土单元块的 各相应力应变；运用平均场理论计算宏观载荷作用下水泥浆体的平均应力；最 后以水泥浆体的平均应力作为混凝土单元块外场力，结合弹性理论基本解同时 在考虑混凝土内约束的作用下给出了以混凝土中骨料的体积分数及两者弹性模 量比为变量参数的混凝土早期裂缝判定准则。通过算例的理论解与数值解的对 比分析表明该准则具有一定的工程实用价值。 关键词：混凝土力学性能；细观力学；平面应变；混凝土早期裂缝 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ee x p e r i m e n ti n v e s t i g a t i o no ft h ec o n c r e t em e c h a n i c a lp r o p e r t i e sq u a l i t a t i v e a n a l y z e st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h em i c r o s t r u c t u r ea n dt h em a c r o - m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s ，t h r o u g ht h ec o n t r a s to ft h et a r g e t so ft h em a c r o - m e c h a n i c a lp r o p e r t i e s b e c a u s eo ft h el a c ko f , i ti sd i f f i c u l tt oe s t a b l i s hq u a n t i t a t i v er e l a t i o n sb e t w e e nt h e m a n dn u m e r i c a la n a l y s i sc a no n l ya n a l y z es p e c i f i cm a t t e r s ，a l s oc a nn o ts e tu pt h e q u a n t i t a t i v er e l a t i o n sb e t w e e nt h em e c h a n i c a lp r o p e r t i e sa n dt h ep a r a m e t e r so ft h e m i c r o - s t r u c t u r e b yu s i n ga v e r a g i n gt h e o r i e s ，t h o u g hs t i f f n e s so fc o n c r e t ec a nb eg o t p e r f e c t l y ，a n dt h ef o r m u l aw h i c hr e f l e c tt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h eu n i f o r ms t r e s sa n d t h em i c r o - s t r u c t u r a lc a nb eg o t ，b u tt h es t r e n g t ho fc o n c r e t ec a nn o tb eg o tp e r f e c t l y a l t h o u g ht h es t r e n g t ht h e o r i e sc a ng i v et h ec r i t e r i ao fi n t e n s i t yd a m a g ei nt h e c o m p l e xs t r e s s ，b u tw h i c ha l s oc a nn o ts e tu pt h eq u a n t i t a t i v er e l a t i o n sb e t w e e nt h e p a r a m e t e r so fm i c r o - s t r u c t u r ea n dt h es t r e n g t ho fc o n c r e t e i nt h i s p a p e r , t h eq u a n t i t a t i v e r e l a t i o n sb e t w e e nt h e p a r a m e t e r s o f m i c r o s t r u c t u r ea n dt h em e c h a n i c a lp r o p e r t i e so fc o n c r e t ea r es t u d i e db yu s i n g a v e r a g i n gt h e o r y a n de l a s t i c t h e o r y f i r s t o fa l l ，c o n c r e t e t h r e e p h a s e m i c r o m e c h a n i c sm o d e li sb u i l t t h e n , t h es t r e s s - f i l e da n ds t r a i n f i l e do fe a c hp h a s e a r ec a l c u l a t e d t h ea v e r a g es t r e s so fc e m e n tp h a s ei sc a l c u l a t e db yu s i n gd i l u t e d i s t r i b u t i o nm e t h o d a n df i n a l l y , t h ej u d g ec r i t e r i o na b o u te a r l yc r a c ka p p e a r i n gc a n b eb u i l tw i t ht h ed i l u t ed i s t r i b u t i o nr e s u l ta st h ec o n c r e t eu n i t so u t s i d ef o r c e t h e c o m p a r a t i v ea n a l y s i so ft h et h e o r e t i c a ls o l u t i o na n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fa n e x a m p l es h o w st h a tt h ej u d g ec r i t e r i o nh a sv a l u eo fu s i n gi nt h ep r o j c o t k e yw o r d s ：m e c h a n i c a lp r o p e r t i e so fc o n c r e t e ，m i c r o - m e c h a n i c s ，p l a ns t r a i n ， c o n c r e t ee a r l yc r a c k i i 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南昌大学或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ： 签字日期：k 孑年明雌日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名( 手写) ： 签字日期：d j 年，切沙日签字日期：山卅年，月9e l 第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题的研究目的和意义 力学与材料科学的学科交叉和结合，是当今力学界的前沿和热点。描述材 料的结构有许多不同的长度度量：宏观、细观、微观和纳米观。对材料的研究， 从宏观向微观发展，是当今基础研究课题的发展方向。 自2 0 世纪5 0 年代以来，复合材料得到了快速发展，已在国民经济的各个 领域发挥着重要的作用。但复合材料构件的链接问题和复合材料内部不同相之 间的界面应力问题始终困扰着复合材料的研究界和工程界。同样混凝土作为典 型的多相多层次复合材料，其界面粘结状况和界面应力亦在不同层次和深度上 影响着混凝土的物理力学性能。因而，一直以来许多的研究者对界面区的研究 有浓厚的兴趣，在探索界面区的性质、界面的形成原因以及改善界面区性能等 方面做了大量的工作，也取得了很多成果。 从大量现有文献看，对混凝土力学性能的研究主要还是建立在宏观的力学 实验基础之上，通过对混凝土宏观力学性能指标的观测对比，定性地分析混凝 土微结构的形成对混凝土宏观力学性能的影响。缺乏理论的推导和分析，难以 建立两者之间的量化关系。而数值分析研究是具体问题具体分析，不能得到解 析解，同样不能建立混凝土微观结构参数与宏观力学性能之间的量化关系。 细观平均场理论在预测刚度性质方面能得到理想的结果，并能给出各相均 匀应力与微结构参数的解析关系式，然而在强度分析方面精度不够。而目前的 各种强度理论虽然能够给出混凝土在复杂应力状态下的强度破坏准则，但强度 理论的给出要么是通过试验数据的拟合得出要么是通过理论假设结合少量试验 点推导得出，均无法反映细观结构参数对混凝土强度的影响。 针对上述问题，本文从细观层次对混凝土的力学性能进行研究。考虑界面 过渡区的情况下建立混凝土三相细观力学模型；在所建模型基础上运用弹性力 学的方法求出二维情况下混凝土单元块在荷载作用下各相的局部应力、应变场； 运用平均场理论计算混凝土在宏观外荷载作用下水泥浆体的平均应力；用所计 算得到的平均应力作为是混凝土单元块所受的外场力，在考虑混凝土内约束作 用的基础之上提出混凝土早期裂缝开裂准则，并借此来预报混凝土的宏观力学 性能。这对混凝土的本构理论的研究及混凝土早期裂缝的研究，对反映混凝土 第一章绪论 微观结构参数对其强度及宏观力学性能的影响等都有很重要的意义。同时由于 考虑的是平面应变问题，本文理论还可拓展到纤维增强复合材料及钢筋混凝土 材料，用以研究纤维增强复合材料和钢筋混凝土材料的力学性能。 1 2 混凝土细观力学的研究概况 已有的对混凝土的细观力学研究主要集中在四个方向：混凝土细观力学 数值模拟；混凝土细观力学试验研究；细观层次混凝土损伤的本构关系研 究；混凝土有效模量及平均应力、应变的研究。 1 2 1 混凝土细观力学数值模拟 混凝土细观力学数值模拟：将连续介质力学、损伤力学和计算力学相结合 去分析细观尺度的变形、损伤和破坏过程，以发展较精确的细观本构关系和模拟 细观破坏的物理机制；基于对细观结构和细观本构关系的认识，将随机分析等 理论方法与计算力学相结合去预测材料的宏观性质和本构关系，对混凝土试件 的宏观响应进行计算仿真。近十几年来，基于混凝土的细观结构，人们提出了许 多模拟研究混凝土断裂过程的细观力学模型，最具典型的有格构模型( l a t t i c e m o d e l ) 、随机粒子模型( r a n d o mp a r t i c l em o d e l ) 、m o h a m e da r 1 2 1 等提出的细观 模型、随机骨料模型( r a n d o ma g g r e g a t em o d e l ) 及唐春安等人【3 4 】提出的随机力学 特性模型等。这些模型都假定混凝土是砂浆基质、骨料和两者之间的粘结带组 成的三相复合材料，用细观层次上的简单本构关系来模拟复杂的宏观断裂过程。 汤书军【5 】采用混凝土三相复合材料模型，考虑各相组分的非均匀性，分别建 立二维、三维随机骨料模型。基于所建立的数值模型，对界面参数选取一系列 的离散值进行计算，建立了界面弹性模量与混凝土弹性模量之间的关系，为界 面力学参数的取值提供了一个合适的方法。党发宁等 6 1 从细观力学的角度出发， 将混凝土视为三相复合材料，建立了混凝土圆柱体试件三维数值模型。研究了 混凝土单轴压缩下的力学性能及破坏过程，模拟了混凝土材料从裂纹的萌生、 扩展、贯通直到宏观裂纹产生导致破坏的过程。党发宁等1 7 j 利用已经建立的三维 数值混凝土模型，基于混凝土细观各相材料弹性损伤本构关系，通过弹性模量 的折减程度来反映混凝土试件在加载过程中的损伤程度，进行在静载作用下混 凝土试件单轴受压试验的细观数值模拟。从而对混凝土材料裂纹的扩展、贯通 以及最后破坏的过程进行研究。张栋良【8 1 在得到二维扫描电镜图像、x r a y 图像 的基础上重构三维微观结构，利用细胞自动机理论结合水泥水化的物理化学规 2 第一章绪论 则对水泥水化的微观过程进行三维动态模拟，揭示微观结构与性能之间的关系， 以便于寻求水泥中的各种组分的最佳配比及水泥水化、硬化过程的养护条件， 从而提供一种能够对水泥材料进行分析与设计的方法和软件工具。李春江等【9 】 基于水泥水化过程的实验测量数据，建立了一个研究水泥水化过程的细观结构和 有效性能演化的细观力学模型。利用该模型和均匀化方法( 直接平均法和二尺度 展开法) 计算了水泥浆体在各瞬时的杨氏模量和泊松比。 1 2 2 混凝土细观力学试验研究 混凝土细观力学试验研究：自动控制系统和电液伺服加载系统在结构试验 中的广泛应用，使过去的重力加载逐步改进为液压加载，进而过渡到低周反复 加载、拟动力加载以及地震模拟随机振动台加载等。应用c t 扫描，微波内部成 像，声发射以及光纤应变传感器等实验手段解决应力、位移、裂缝、内部缺陷、 损伤及振动的量测问趔1 0 12 1 。 1 2 3 细观层次混凝土损伤的本构关系的研究 运用连续介质力学、断裂力学、损伤力学、内时理论、内变量、热力学及 经典弹塑性力学等理论，从细观层次研究混凝土损伤的本构关系。 王海龙等1 1 3 】根据混凝土中裂缝的发生、发展直至破坏的机理，在翼型裂纹 的基础上，考虑裂纹之间的相互作用、裂纹扩展速度对应力强度因子及孔隙水 压力对裂纹扩展的影响，利用弹性断裂力学理论探讨了饱和混凝土的静、动力抗 压强度变化机理并建立了理论模型。针对于在温度因素作用下，特别是大体积 混凝土结构施工期由于水化热温升而引起的结构损伤分析与研究，国内外还很 罕见，王振波等1 1 4 】从细观力学和断裂力学角度出发，分析了温变过程中，混凝土 材料骨料与水泥砂浆界面上的温度应力以及界面裂纹的萌生和扩展问题，考虑 了材料的强度和弹性模量均随龄期变化的情况，给出了裂纹随温度变化的扩展 规律，即把裂纹的长度表达为温度的函数，损伤量也表达为随温度变化的函数。针 对于现阶段地震响应分析中对混凝土结构的研究进行的较多，而对混凝土材料 动力特性的研究还很少，能够反映混凝土动态性能并能运用到有限元计算中的 混凝土动力本构模型更不多且现有混凝土动力模型大多是宏观、唯像的模型， 很难反映混凝土材料的细观特征。李庆斌等【1 5 】在线弹性断裂动力学基础上，同 时考虑了动力荷载的惯性影响和混凝土内自由水的粘滞作用，提出了一种可以 解释混凝土抗拉率效应的断裂力学模型。鉴于目前混凝土材料的研究多是针对 3 第一章绪论 自然条件下的混凝土试件，对水饱和状态下混凝土力学性能的研究甚少。而对 饱和混凝土在准静态条件下抗压强度的变化也从未有人从机制上进行合理的探 讨。王海龙等【1 6 1 采用细观断裂力学的方法研究湿态混凝土在外部荷载的作用下， 裂纹及孔隙中水压力的大小和影响因素及其对混凝土受力性能的影响。根据湿 态混凝土中裂纹的扩展规律，采用分枝型裂纹来研究湿态混凝土的抗压强度， 利用能量等价原理来探讨湿态混凝土的本构关系和损伤特征。为了研究在混凝 土结构使用期内这种化学损伤及力学损伤对混凝土力学性能及耐久性的影响， 张研等i l 珀提出了一种混凝土化学力学损伤耦合本构模型。 1 2 4 混凝土有效模量及平均应力、应变的研究 求解复合材料有效性能的方法和模型很多，大致可以归纳为：以复合材 料代表体积元为基础的直接方法，如材料力学方法，弹性力学方法，以及半经 验方法等；以夹杂理论为基础的各种近似模型，包括稀疏法，自洽模型，广 义自洽模型，m o i l t a n a k a 方法，微分法等解析方法。这类方法其模型简单，概 念明确，应用广泛；以变分原理为基础的定界法，给出有效性能的上、下界。 g u o q i a n gl i 等【1 8 i 在f ；i 人给出的用于研究两相复合材料有效体积模量的三相 球模型的基础之上提出了四相球模型，用于计算三相复合材料的有效体积模量。 该模型将复合材料分为是一个等效三相球模型与一个等效两相球模型的叠加， 即首先把骨料跟i t z 作为是一个两相球模型，进行分析，再将骨料跟i t z 用一 个等效相代替，与外面的水泥浆体及基体组成等效三相球模型进行分析。该模 型可以考虑最大骨料粒径几骨料级配对混凝土有效体积模量的影响。利用该模 型计算所得结果也试验结果很接近。通过模型计算发现，最大骨料粒径、骨料 级配以及界面过渡区都对混凝土的有效模量有很大的影响。g u o q i a n gl i 等【l9 】在 已经提出的四相球模型的基础之上，运用弹性理论和e s h e l b y 等效理论分析了一 个单元体( 在水泥浆体中包含着一个圆形骨料，两者之间有一个界面过渡层) 的有效弹性模量。然后在此基础之上，运用混合理论求出混凝土的有效弹性模 量。将该方法求解出的理论值与试验值进行了对比，说明用该方法计算混凝土 的有效弹性模量可行。c c y a n g 掣2 0 】用试验和理论分析研究了混凝土的单轴抗 压力学性能。试验研究了水泥基复合材料在不同骨料含量和不同水胶比下的混 凝土单轴抗压力学性能。又从理论上建立两相细观力学模型，运用细观力学理 论进行了分析，通过运用等效夹杂理论和m o r i t a n a k a 方法求出了水泥砂浆的和 骨料的平均应力。作者认为混凝土的单轴抗压强度取决于强度较弱相。通过模 4 第一章绪论 型计算结果与试验结果对比，证明该模型可用于预测混凝土的抗压强度。 c c y a n g 等【2 1 】用细观力学理论研究了混凝土混合材料的有效弹性模量，提出了 一种基m o r i t a n a k a 方法和双夹杂的计算方法，能更为精确地计算出混凝土复合 材料的有效弹性模量。该方法将夹杂分为两种：细骨料和粗骨料。而混凝土的 有效弹性模量被表示成为细骨料、粗骨料和水泥浆体三种组分的材料性能及体 积分数的函数。利用该方法计算所得到的理论值与试验结果吻合较好。对于混 凝土有效模量的研究最早采用两相模型只考虑骨料和水泥浆体，后来又把界面 过渡区作为一均质相而采用三相模型进行研究。再考虑到界面过渡区的微观结 构组成的特征，以及界面过渡区的组分、水灰比呈梯度分布，许多研究者进行 了更深入的研究。混凝土的有效模量与很多的因素有关，j c n a d e a u 等1 2 2 j 提出 了一种多尺度模型来计算混凝土的有效模量，将其表示成以下参数的函数：细 骨料、粗骨料和微观孔洞缺陷的体积分数、尺寸分布和材料弹性性能；水灰比 和水泥用量；i t z 内的水灰比梯度变化；i t z 的体积分数等。c h r i s t i a np i c h l e r 等 2 3 1 提出了一种多尺度细观力学模型来研究预测水泥基材料早期自收缩变形。该 模型将混凝土分为四个层次：1 宏观混凝土2 细观混凝土= 骨料+ 水泥浆；3 水泥 浆= c s h 2 + c 4 a s h l 2 + c 6 a s 3 h 3 + c s h + c “o h ) 2 + 未水化的水泥颗粒；4 未水化的水 泥颗粒= c 3 s + c , a f + c 3 a + c 2 s ，c s h = 水+ 孔隙+ c s h 。基于夹杂理论，作者用自洽 方法分析了未化水泥颗粒，继而又用m o r i t a n a k a 方法分别分析了c s h 、水泥 砂浆、细观混凝土，分别得出了各个层次的各相的平均应力、应变。而对于宏 观层次的混凝土，运用连续介质力学已做过众多研究。z h a s h i n 等【2 4 j 建立了一 个混凝土的细观力学模型，将混凝土视为是基体中包含多个圆形夹杂，且每个 夹杂周围都有界面过渡层。用广义自洽方法计算了混凝土的有效弹性模量。在 通过试验已得混凝土的弹性模量的情况下，可以用该模型逆解出界面过渡区的 弹性模量。 1 3 本文的主要工作 综上节所述，现有对混凝土细观力学的研究主要有两个目的：从细观层次 研究混凝土在外载作用下的响应以确定混凝土的细观破坏机理；从细观层次入 手研究混凝土的有效模量以确定其本构模型。两者均无法量化建立微结构与力 学性能之间的关系。本文通过将平均场理论与弹性理论相结合建立了混凝土微 结构与其力学性能之间的量化关系，主要做了以下几方面的工作： 5 第一章绪论 第二章介绍了复合材料细观力学分析的理论基础。首先简述了复合材料细 观力学研究概况；继而阐述了复合材料细观力学的理论基础。 第三章建立混凝土三相细观力学模型。首先针对已有的研究计算混凝土有 效模量的混凝土细观力学模型作了较为全面、细致的概述：然后介绍了混凝土 界面过渡区的研究状况，简述其形成机理、微观结构及理论模型；最后建立混 凝土三相细观力学模型。 第四章计算了混凝土单元块各相应力、应变场。在第三章所建立的混凝土 三相细观力学模型的基础上，应用弹性理论计算了平面应变情况下混凝土单元 块外力作用下各相的应力、应变场，并分析了主应力随半径的变化关系及主应 力随骨料弹性模量与水泥浆体的弹性模量之比的变化关系。同时分析了界面过 渡区对混凝土力学性能的影响。 第五章计算了混凝土中水泥浆体的平均应力。首先计算了平面应变圆形夹 杂问题e s h e l b y 张量；继而用稀疏估计计算了混凝土的有效弹性模量；最后计算 了在宏观应力给定的情况下，水泥浆体的平均应力。 第六章给出了混凝土早期裂缝的开裂准则。首先计算了混凝土单元块在内 约束作用下的各相应力、应变场；然后以第五章求解出的混凝土水泥浆体的平 均应力作为是混凝土单元块的外场力，借助于第四章的求解结果求出平均应力 作用下混凝土单元块各相的应力应变场；最后将两部分应力相叠加并以骨料与 界面过渡区的界面作为薄弱面计算该面上的主应力，从而给出混凝土混凝土早 期裂缝的开裂准则。 第七章总结与展望。对本论文所研究内容的总结及对未来相关领域工作的 展望。 6 第二章复合材料细观力学分析的基础理论 第二章复合材料细观力学分析的基础理论 2 1 复合材料细观力学的研究概况 复合材料细观力学的核心任务是建立复合材料宏观性能同其组分性能之间 的定量关系，并揭示复合材料在一定工况下的相应规律及本质，从细观角度分 析组成材料之间的相互影响来研究复合材料的力学性能，是研究材料细观结构 对载荷及环境因素的影响、演化和失效机理，并通过体积平均方法从细观分析 的结果导出材料的宏观力学性能的- 1 - j 新兴学科【2 5 1 。最初是应用于复合材料的 刚度预报，e s h e l b y 2 6 1 的等效夹杂理论提供了计算外力作用下嵌入无限打基体的 单个具有特征应变的椭球夹杂的应力应变方法，如果忽略夹杂的相互作用，通 过等效方程和e s h e l b y 张量可直接计算含夹杂复合体的等效模量。这一方法适合 分布夹杂含量较低的情况。h i l l 2 1 7 】和b u d i a n s k y 【2 8 1 采用自洽方法研究夹杂体积含 量较高的复合材料的等效模量。虽然能成功地预测多晶体的宏观力学性能，但 用于多相复合材料时却有其局限性。日本学者m o r i 与t a n a k a 提出用背应力的概 念考虑不同夹杂间的相互作用【2 9 1 ，结合等效夹杂的方法可得到等效模量的显式表 达。预测复合体模量的细观方法还有的广义自洽理论【3 0 】及微分浏3 l 】。这些理论 为研究复合材料的宏观力学性能提供了有力的工具且得到了广泛的应用。 2 2 复合材料细观力学基础 复合材料细观力学分析方法是采用了比微观结构放大了的、又在某种有限 尺度下的细观力学模型，其核心任务是建立复合材料宏观性能同其组分材料性 能之间的定量关系，并揭示复合材料在一定工况下的响应规律及其本质，为复 合材料的优化设计，性能评价提供必要的理论依据及手段。当复合材料组分材 料的含量与细观结构等参数有轻微变化，将产生具有不同宏观性能的材料。因 此，通过实验测得所有材料组合的性能是不现实的。所以，复合材料细观力学 是有明确的工程运用背景的，是复合材料发展的重要理论基础。 细观力学的模型都是在一定的假设条件下建立起来的，而且大部分模型中 都有如下的假设【2 5 ，3 2 l ： ( 1 ) 基体合夹杂都是线弹性的，基体是各向同性的，夹杂是各向同性或横观 各向同性的； 7 第二章复合材料细观力学分析的基础理论 ( 2 ) 夹杂是轴对称的，有固定的形状和尺寸，可以用纵横比表示； ( 3 ) 基体和夹杂接触面有良好的粘结，并不考虑界面滑移、夹杂和基体宏观 开裂。 2 2 1 各向同性材料的本构模型1 3 3 l 设坐标系o 一而x ：也是材料的主轴坐标系，材料的本构关系可以表示为： g = c ：e ( 2 1 ) 式中g 是复合材料的弹性刚度张量，其中元素为特征各向异性体弹性特征的 系数，称为刚度系数。若对弹性刚度张量取逆，可以得到用应力应变的广义h o o k e 定律： e = c 一1 ：g = 9 ：g ( 2 - 2 ) 式中9 是弹性刚度张量g 的逆，其各元素也是表征各向异性体弹性特征的系 数，称为弹性柔度张量。对于均质各向异性线弹性体来说，g 埘、d i 倒都是常数， 可以称其为弹性常数，对于非均质各向异性体来说，他们则是坐标的某种函数， 称之为弹性特征函数。 当弹性介质为各向同性时，则有下列关系： g = ( 3 k 一2 g ) 吉辱。百+ 2 q d ：f 一1 一上u 万。万+ 上， 。 k3 k2 g 3 。 。2 g 。 式中毒为二阶单位张量，其分量磊表达式为 嗡= 髓二 z 为四阶单位张量，该分量表达为： = 导( 瓯q + 气气) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 这里只对弹性刚度张量进行讨论，其分量形式为： = ( 3 x 一2 a ) 3 a 0 , 罗, + 2 g i , j k t ( 2 6 ) 在均质弹性体内，若过每一点沿不同方向具有不同的弹性特征时，弹性体 为一般各向异性体，其独立的弹性系数有2 1 个。反之，若过每一点沿不同方向 有相同的弹性特征时，此弹性体为各向同形体，其独立的弹性系数只有2 个。 8 第二章复合材料细观力学分析的基础理论 实际上，许多工程上使用的各向异性材料的组织结构都具有一定的规律性，即 它们可能具有某种对称性，使得其弹性性质也会有某种对称性。利用这种对称 性，将使各向同性材料独立的弹性系数减少，从而简化广义h o o k e 定律的方程 式。 2 2 2e s h e l b y 等效夹杂原理 在复合材料的性能研究中，e s h e l b y 等效夹杂原理是较为经典的研究方法【2 5 1 ， 该理论是1 9 5 7 年英国著名科学家e s h e l b y 提出来的，他最先解决了均质夹杂的 应变等效问题，假设固体材料为无限大，弹性常数张量为e ”，处于无应力状态。 c ( a ) 无应力； ( b ) 特征应变e ； ( c ) 在基体和夹杂内产生应变场善。( x ) 图2 - 1e s h e l b y 夹杂等效问题 如图2 1 所示，在材料内存在一很小的区域，为夹杂q ，其它部分为基体m 。 假设由于一些原因( 比如相变、变形等) ，该小区域发生了某些变化。若该夹杂 为一单独和基体分离的部分，在没有界面相互作用的条件下，将产生一个应变 ，称为特征应变。该应变可以通过相变或夹杂和基体的热膨胀系数不同而得 到。但实际上夹杂和基体是紧密地粘结在一起的，夹杂和基体之间存在这某种 的相互作用。因此，在夹杂的应力、应变发生变化时，整个个体就产生一个复 杂的应变场e 。( x ) ，该应力场与夹杂和基体的形状有关。在基体内的应力场g ”可 表示为： g ”( x ) = c 胛：e ( x ) ( 2 7 ) 在夹杂q 内，由于特征应变不是由应力产生的，所以夹杂内的应力9 7 可表 示为： g = c 肘：( 巨。一暑) ( 2 8 ) e s h e l b y 2 6 3 4 1 证明：当无限大均匀介质为线弹性，当夹杂q 的形状为椭球时， o 笔西 第二章复合材料细观力学分析的基础理论 只要特征应变e 是一个常张量( 即在区域q 内不随位置而变化) ，则在一个椭球 型的夹杂内应变场e 。是均匀的，并可以用特征应变e 表示，即： s 。= s ：占( 2 9 ) 式中空为四阶张量，称为e s h e l b y 张量。该张量可利用弹性力学求出，与介质的 弹性性质及椭球夹杂q 的几何形状与取向有关，详见m a r u l 3 4 1 的论述。e s h e l b y 方法还可以用来解决相同形状的同质夹杂和异质夹杂的等效问题。假设在两个 无限大的基体中。如图2 2 所示，一个存在特征应变为善的同质夹杂，另一个存 一， 在一个弹性常数匕。形状相同的异性夹杂，但是没有特征应变，两个体均处于均 匀的应变矿作用下。 ( a ) 与基体i 司质的夹杂；( b ) 与基体异质的夹杂 图2 2e s h e l b y 等效夹杂问题 对于图2 2 a 同质夹杂，夹杂内应力可用下式表示： t y 。= c 朋：( g 一+ s d 一占) ( 2 1 0 ) 式中辱d 为夹杂间的扰动应变。 对于图2 2 b 异质夹杂，没有特征应变e ，夹杂内应力可用下式表示： 仃7 = c ，：( 占+ 占d ) ( 2 1 1 ) 由以上两组夹杂内的应变表达式，根据式( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 可以得到 e s h e l b y 等效夹杂原理的表达式： ig ”+ ( g ，一g 府) ：5i ：善= ( g ，一g 脚) ：善肘 ( 2 1 2 ) 1 0 第二章复合材料细观力学分析的基础理论 2 2 2 稀疏估计 设复合材料代表单元有许多夹杂，稀疏估计忽略了夹杂间的相互作用，它 在建立局部化关系时，将每个夹杂放置于无限大基体中，并受宏观均匀矿或e 。 作用。进而通过建立每个夹杂内应力应变与外载的关系，然后再利用均质化关 系，复合材料的有效刚度表示成： c = c + y i o ( c 。一g ) ：n 口 ( 2 1 3 ) a l l 其中五为第口相夹杂的体积百分数，g 、g a 分别为基体和夹杂的刚度张量， h 口= 1 + s 口：a 口 -_ 一一 o 稀疏估计一般只适用于夹杂的体积分数比较小的情形，具体情况取决于夹 杂形状和夹杂与基体材料的弹性模量大小等。 2 2 3 自洽法( s c m ) 自洽理论最初是由b r u g g e m a n 3 5 】在研究热传导问题时引入的，当时称为有 效介质法。h e r s h e y 3 6 1 、k r o n e r 3 7 】等人将其用于研究多晶体的弹性性质。 b u d i a n s k y 2 8 1 和h i l l 2 7 1 进一发展了这一方法，用来研究复合材料的有效弹性模量 问题。如图2 3 所示，其基本思想是：在计算夹杂内部的弹性场时，为了考虑夹 杂间的相互作用，认为夹杂单独处于等效介质中，而该等效介质的弹性常数恰 好就是含央杂非均匀材料的有效弹性常数。 与稀疏理论有两个主要的区别：第一个区别是对远场应变和应力的处理不 同。当给定远场应力分别是均匀应力或均匀应变边界条件时，自洽方法分别定 义( 巨) 2 善。或( g ) 2 。第二个区别是用自洽方法估计随机分布颗粒夹杂材料有 效模量的基本思想是：把每个夹杂置于具有均匀化了的等效模量( 而不是基体 材料的模量) 的等效介质中，即采用： c 口：f s o + g j1 = e ：f 占o + s d g + 1 。 。 。，。 。 。7 ( 2 1 4 a 、b ) 占口= s 口：s o 来分析第口个夹杂的变形引起的柔度张量和弹或弹性刚度张量变化，然后对所 有玎个夹杂取总体平均，建立含有效弹性柔度张量或有效弹性刚度张量的方程， 求解得到材料的有效力学性质。 第二章复合材料细观力学分析的基础理论 设复合材料中第口个夹杂与基体的弹性常数张量分别为e 口和g ，复合材料 的等效弹性常数张量为g 。在自洽模型下，在远场均匀应力矿的作用下，夹杂 内的平均应力为： 厅口：c 口：彳口：f 才口一i 。1 ：历：盯o ( 2 1 5 ) 其中孑口= ( 雪一g 口) 1 ：雪。 在自洽模型下，在远场均匀应力g o 的作用下，满足下列式子： ( 9 一百) ：g 。= e 厶 其中= 等, b 2 = 0 , 2 c 2 - 等芋 ( 3 ) 求骨料位移表达式 骨料材料参数为岛、y ，。 姒= 半卜专，等悄一尚脚 ，专o ，u ，= 0ja 3 = 0 姒= 警 2 ( 1 - 高脚 根据边界条件 ( 盯，) = 心 得出： 2 c 3 = c 3 = 冬 ( 4 - 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 忉 q 叼 复 + + 力 力 h h 2 引 + + 0 o 艺 聊 鸠 争，o i = = r 目 办 咖 和 第四章混凝土单元块各相主席力计算 一业笔掣( 4 - 1 1 ) 根据假设c 可知，在各相的接触面上位移是连续的即： 雠耙气焉沙 洚 iu ，( 口) l ，7 z = u ，( 口) l 骨科 、 解( 4 1 2 ) 礁j tq 。、9 6 ，再将吼、吼代回各相应力分量表达式就可得到在该荷载作 用下模型各相的应力场。 4 1 2 当混凝土单元块外表面受到竖向压力及水平方向拉力( q q ) 2 受力如图4 2 ( b ) 所示，混凝土外表面左右两边的均布拉力( 吒一q ) 2 和上 下两边的均布压力( q - g ) 2 。 ( 1 ) 求水泥浆体应力及位移表达式 假设应力函数为：缈= f ( r ) e o s 2 0 水泥浆体受力边界条件： ( , - ；= q lc o s 2 0 如批一g l s i n 2 0 眩= 孚) 由边界条件( 4 1 3 ) ，假设 9 = f ( r ) e o s 2 0 将( 4 1 5 ) 代入( 4 1 4 ) ，得应力函数： 缈= c 。s 2 0 ( a , r 4 + b 。r 2 + c 。+ 孚r ) 则应力分量为： ( 4 - 1 3 ) ( 4 - 1 4 ) ( 4 1 5 ) 铲一2 叩且+ 7 4 c i + 争 = c 。s 2 口( 1 2 a i r 2 + 2 b i + 7 6 d i ) ( 4 - 1 6 ) 。p = s i n 2 0 ( 6 a i r 2 + 2 b 一7 2 c i 一7 6 d , ) q 一， + q + 2 r b + 4 r彳 = 、， r ，l ， i u呵n 第四章混凝土单元块各相主应力计算 当r = 6 时 ( 仃，) ，：b = q 2c o s 2 0 ，( f 阳) ，6 = 一q 2s i n 2 0 ( 4 1 7 ) 将应力分量表达式( 4 - 1 6 ) 代入边界条件( 4 1 3 ) ，( 4 1 7 ) 1 主t ( 4 1 8 ) 求得： 2 b + 等+ 等1 2 蜀+ 等+ 等一g ： 6 a 1 6 2 + 2 b i 一丁2 c 1 一丁6 d i = 一9 2dd 6 a s c 2 + 2 b i 一7 2 c i 一等_ g i cc ( 4 1 8 ) 4 = 磊筹渤 - ( 4 b 4 c 2 + c 6 + 6 2 c 4 ) g l + 去( 6 6 + 4 b 2 c 4 + 6 4 c 2 ) 留2 耻j 急万万广 ( 4 1 9 ) g = 等篆剖 p “ 一，、1 _ _ b 4 c 4 ( c 2 + 6 2 ) h q 2 ) q 2 j 瓦可万丽 将( 4 19 ) 代x , ( 4 16 ) 得： 其中： i q = - e o s 2 0 ( m l q l 一q 2 ) ( - 3 b 2 c 4 + 3 b 4 c 2 + c 6 - b 6 ) o 0 = c o s2 0 ( m 2 q l 一玎2 q 2 ) ( 一3 b 2 c 4 + 3 b 4 c 2 + c 6 - b 6 )( 4 - 2 0 ) l f ，护= s i n 2 0 ( m 3 q l 一力3 q 2 ) ( 一3 b 2 c 4 + 3 b 4 c 2 + c 6 - b 6 ) m l 2 丹i 2 第四章混凝土单元块各相土应力计算 m 2 = 1 2c2 b2 ，2 一( 4b4 c2 +c6 + b2 c 4 刀2 = 1 2c2 b2 ，2 一( 4c4 b2 + b 6+c2 b4 ) m 3 = 6 c2 b2 ，2 一( 4b4 c2 +c6 + b2 c4 ) 一 刀j = 6c2 b2 ，2 一( 4c4 b2 + b 6+c2 b4 ) 一 位移函数表达式为： 其中： s i ( r ) - - 8 2 ) = ( ： ( ： u ) = 3 b4 c 4 _ r 4 3 b4 c 4 ( c 2 c 2 3 b4 c 4 ，4 3 b4 c 4 + b2 ) + b2 ) ( c2 + b2 ) ( c2 + b2 ) + + 3 b4 c 4 _ r 4 3 b4 c 4 ，- 4 ( c 2 c 2 + b2 ) + b2 ) i s i ( ，) g l 一3 2 ( ，) 9 2 】 ( 4 2 1 ) 4 r 4 b 4 一r 4 c 4 一r 4 c 2 b 2 4 r 2 c 4 b 2 + 4 r 2 c 4 b 2 v 一4 6 6 ，2 + 4 6 6 ，2 l ，一4 b 4 c 2 r 2 4 b 4 c 2 ，2 v + c 4 b 4 + c b 6 + 4 v b 2 r 6 一l p 3 4 r 4 c 4 一r 4 b 4 一r 4 c 2 b 2 4 r 2 b 4 c 2 + 4 r 2 b 4 c 2 v 一4 c 6 r 2 + 4 c 6 r 2 v 一4 c 4 b 2 r 2 4 c 4 b2 r 2 v + c 4 b 4 + b z c 6 + 4 v c 2 r 6 p 1 ) r 3 ( 2 ) 求界面过渡区( i t z ) 应力及位移表达式 界面过渡区受力边界条件为： ( 盯，) r - 6 = q 2c o s 2 0 ，( r 坩) ，- 6 = 一q 2s i n 2 0 ( 盯，) ，。= q 3c o s 2 0 ，( f 印) ，：。= - q 3s i n 2 0 同理可求得界面过渡区的应力分量及位移表达式分别为： q = 一c 。s 2 0 ( 2 8 2 + 7 4 c 2 + 7 6 d z ) - = c 。s 2 0 ( 1 2 a 2 r z + 2 8 2 + 7 6 d 2 ) k f ，口= s i n 2 0 ( 6 a 2 r 2 + 2 岛一7 2 c z 一7 6 d 2 ) ( 4 2 2 ) ( 4 - 2 3 ) + 卜 + 4 ) c 4 2 6 b ， + + c 驴 + + c 2 6 b j， 引 k 卜 4 其中： s 3 ( r ) - - s 4 ( ，) = 第四章混凝土单元块各相主应力计算 u ( r ) - - a 22 b 2 口2 0 2 一q 3 ) 一3 a 2 b 4 + 3 a 4 b 2 + b 6 一a 6 3 a 2 b 4 + 3 a 4 b 2 + b 6 一a 6 一圭口4 6 4 ( 6 2 + 口2 ) ( g ： 一q ，) 一3 a 2 b 4 + 3 a 4 b 2 + 6 6 一a 6 b 3 ( ，- ) 9 2 一s 4 ( ，) g ，】 ( 4 2 4 ) 62。+_44r口4。a4：_：yr4+b4_r。4+b2a2。_+4r2b4：a，2b r b 4 ab 2 a 4 v a 。+ 4 ，2 6 4 口2 i ，一4 口6 ，2 + 4 口6 ，2 l ，一4 口4 6 2 ，2 i + 4 口4 2 2 l ，+4 + 6 + 2 ，6 j ( 3 ) 求骨料应力及位移表达式 v l p 3 + 4 r 2 口4