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浙江工业大学硕士学位论文 基于小波分析的齿轮故障诊断研究 摘要 齿轮传动是机械设备中最常见的传动方式之一，对齿轮故障进行诊断对确保 设备的安全可靠运行具有重要意义。传统的故障诊断方法适合于平稳信号分析， 但却不能全面反映齿轮局部故障产生的非平稳信号的时变特性。小波分析具有良 好的时频局部性，非常适合齿轮故障中的非平稳信号的分析。 本论文主要针对齿轮的局部故障，从齿轮故障的振动理论和小波分析理论出 发，通过对自建的齿轮故障实验台测得的实验数据的分析，探讨了不同影响因素 对小波降噪的影响，提出了一种适合齿轮故障特征提取的小波分析方法。主要工 作和结论如下： ( 1 ) 研究齿轮故障机理，建立了齿轮振动数学模型和齿轮故障振动数学模型， 简要阐述了小波分析理论。通过分析认为小波方法可以对信号进行准确的频带分 解，对故障诊断中微弱信号提取有重要意义，非常适合齿轮的故障诊断。 ( 2 ) 通过对仿真和实例信号分析探讨了在两种不同齿轮振动信号的情况下， 小波母函数、阈值选择和小波分解层次对小波降噪效果的影响，利用计算不同影 响因素下的小波降噪结果与原始信号两者间的比值和标准差的方法比较两者之 间的相似性。文中提出了在齿轮振动信号降噪中，应选用r i g r s u r e 阈值策略为 佳，小波分解层次不宜过大，选用d b 4 和c o i f 5 小波能较好达到降噪效果的结论。 ( 3 ) 分别对三种不同故障状态下的实验故障信号进行了连续小波变换和小波 包分解，运用能量谱提取特征向量，建立了特征向量曲线，用欧式距离的方法比 较了同种状态下提取的不同特征向量之间和不同状态下的特征向量之间的相似 性。文中提出了基于小波包分解的能量谱方法是一种更加适合齿轮故障诊断的小 波分析方法，它能对信号的高频成分和低频成分实施同样的分解，分辨率高，并 能将信号在不同频段能量的分布通过信号的能量谱表现出来。 本文的分析结果都是以自建的故障实验台采集的实际齿轮故障信号为基础。 浙江工业大学硕士学位论文 实验数据的分析结果表明本文提出的分析方法适用于齿轮的局部故障诊断，具有 相当的工程应用价值。 关键词：齿轮小波分析故障诊断降噪特征提取连续小波变换小波包分解 h 浙江工业大学硕士学位论文 f a u l td i a g n o s i sf o rg e a rb a s e do n w a v e l e ta n a l y s i s a b s t r a c t g e a rd r i v ei so n eo ft h ec o m m o nm e t h o d so fm e c h a n i c a ld r i v e f a u l td i a g n o s i s o fg e a rh a sm a n yi m p o r t a n te c o n o m i ca n ds o c i a lp r o f i t s t r a d i t i o n a lm e t h o d so ff a u l t d i a g n o s i sa r ea p p r o p r i a t ef o rs t e a d ys i g n a la n a l y s i s ，b u tt h e yc a n n o tr e p r e s e n t t i m e - a v e r a g ec h a r a c t e r i s t i c o fu n s t e a d ys i g n a lc a u s e db yl o c a ld e f e c to fg e a r c o m p l e t e l y t h e o r yo f w a v e l e ta n n l y s i si sa p p r o p r i a t e f o ru n s t e a d ys i g n a la n a l y s i s s o t h em e t h o do f w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e e nb e c o m eo n eo f t h em o s tc o n s p i c u o u si nn e w d i a g n o s i sm e t h o d si nr e c e n ty e a r s f o rs t u d y i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so f w a v e l e tt h e o r ya n dt h ev i b r a t i o ns i g n a lo f g e a r , t h i sp a p e rh a sm a d et h ef o l l o w i n gr e s e a r c h e so nt h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e ta n a l y s i s t of a u l td i a g n o s i so f g e a r ： ( 1 ) t h em a t hm o d e l sf o rt h ev i b r a t i o no f g e a ra n dt h ev i b r a t i o no f g e a rf a u l th a v e b e e nb u i l ti nt h i sp a p e r t h ed e f i n i t i o no fw a v e l e ta n dt h ec h a r a c t e r i s t i co fw a v e l e t a n a l y s i sw e r ei n t r o d u c e da l s o am e t h o d w h i c hc a n l ot i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sf o r b e t t e ra n a l y s i so ff a u l ts i g n a li sn e e d e d f r e q u e n c yb a n dc a l lb ed i s a s s e m b l e d a c c u r a t e l yb y t h ew a v e l e ta n a l y s i sw h i c hh a si m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ei nt h ef i e l do f t h e w e a ks i g n a le x t r a c t i o n ( 2 ) w a v e l e tf u n c t i o n ，t h r e s h o l dv a l u ea n dt h el e v e l so fd i s a s s e m b l i n gi n f l u e n c e s t h ee f f e c to fw a v e l e td e n o i s i n g w i t ha n a l y s i so fs i m u l a t i o n ，t h i sp r o b l e mh a sb e e n a p p r o a c h e d a f t e ra n a l y z i n gt h ee x p e r i m e n t a ls i g n a l ，w ed r a wt h ec o n c l u s i o nt h a tw e s h o u l dc h o o s e r i g r s a r e t h r e s h o l dv a l u e t h el e v e l so fd i s a s s e m b l i n gi sl i m i t e d t w o f u n c t i o n sn a m e dd b 4a n dc i o f 5a r et h em o r ee f f e c t i v ew a v e l e tf u n c t i o no f d e - n o i s i n g 1 竖坚三些查兰堡圭兰垡堡奎 ( 3 ) a p p l i e a t i n gc o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r ma n dw a v e l e tp a c k e ta n a l y s i s ，w e e x t r a c t e dt h ef e a t u r eo fg e a xa n dc o m p a r e dw i t ht h er e s u l to fb o t hm e t h o d a c o n c l u s i o nt h a tf e a t u r ee x t r a c t i n gb a s eo nw a v e l e tp a c k e tr a n k sh i g hr e s o l u t i o nr a t i o w 酗o b t a i n e da l s o a n di tc a nr e f l e c tt h es i g n a l p o w e rd i s t r i b u t i o no fd i f f e r e n t f r e q u e n c yb a n dw i t ht h ep o w e rs p e c t r u mo fs i g n a l s ot h i si sam o r ee f f e c t i v em e t h o d o f f e a t u r ee x t r a c t i o n t h ed a t ai nt h ep a p e ri so b t a i n e db ym e a n so ft h ee x p e r i m e n to f g e a rf a u l t t h e r e s u l t si n d i c a t et h a tt h em e t h o d sa 陀a p p r o p r i a t ef o rt h el o c a ld e f e c td i a g n o s i s o f g e a r a 谢d ea p p l i c a t i o nw i l lb er e a c h e di nt h ef u t u r ew o r k k e yw o r d s ：g e a rw a v e l e t a n a l y s i s f a u l td i g n o s i s d e - n o i s i n g f e a t u r ee x t r a c t i o nc o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r mw a v e l e t p a c k e tr e s o l u t i o n i v 浙江工业大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的研究成果。除文中已经加以标注引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得浙江 工业大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的 法律责任。 作者签名 去 日期如噼岁月刃日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权浙江工业大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密豳。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 日期；痧7 年么月日日期0 彬序名月日 日期：声多月日 够 岭易 知o矿， 躲帮 名名签签 眷厩怍导 浙江工业大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 小波分析在齿轮故障诊断中的意义 机械故障诊断技术是本世纪六七十年代出现发展起来的一门综合性边缘学 科，由于其实用性以及为社会和企业带来的效益，故日益收到企业和政府部门的 重视，特别是近2 0 年来，故障诊断技术不断吸取现代科学技术发展的新成果， 从理论到实际应用都有迅速的发展，至今己发展成为集数学、物理、力学、化学、 电子技术、计算机技术、信息处理、人工智能等各种现代技术于一体的新兴交叉 技术“1 。齿轮系统是各种工业设备中应用中最为广泛的动力和运动传递装置，它 的运行状态直接影响到整个设备的功能。齿轮箱的故障和失效将给整个生产造成 巨大的损失。因此对齿轮进行故障诊断具有非常重要的意义。 齿轮工作时产生的振动是反映齿轮传动质量的重要指标，齿轮系统的振动不 但会产生噪声和导致传动系统的不稳定，而且会使传动系统失效而产生严重的后 果。实践证明采用振动监测对齿轮进行在线故障诊断是一种行之有效的方法“1 。 齿轮故障诊断过程一般分为三个步骤：一是诊断信息的提取，二是故障特征提取， 三是状态识别和故障诊断。其中故障特征的提取是诊断过程中的关键“。故障特 征提取的方法有多种多样，一般最常用的是时域分析和频域分析，如幅值立方法， 傅立叶变换等，而这些时域或频域的分析方法适合于平稳信号的分析，对齿轮的 分布式故障有很好的诊断效果，但对于齿轮的局部缺陷，效果却并不理想，尤其 在故障初期。这时因为存在局部故障的齿轮啮合时会产生周期性瞬时冲击，形 成冲击振动，使得原来的平稳振动信号成为非平稳信号。于是，寻找一种基于时 域和频域的分析方法( 即时频分析法) 对非平稳信号进行分析就具有重要的理论 意义和实际意义。 近年来，新时频分析方法不断涌现，产生了如短时傅立叶变换、w i g e r - y i l l e 分布和小波变换等分析方法。小波分析以其良好的时频局部性，成为时频分析方 浙江工业大学硬士学位论文 法中发展最为迅速的一种。小波变换不同于其他非平稳信号分析方法( 如短时傅 立叶变换) 的原因，是因为它的窗宽可以随频率增高而缩小，它发展了加窗傅立 叶变换的局部化思想，并且满足高频信息分辨率较高的要求“1 。因此小波分析虽 然发展不长，已被广泛应用于很多工程，仅在故障诊断领域就被用来对齿轮、轴 承、旋转机械的故障进行诊断。同时小波理论也是在快速的发展，小波分析的应 用价值还未得到充分开发，基于小波分析的齿轮诊断方法的研究方兴未艾。 1 2 小波分析在齿轮故障诊断中的应用研究现状 1 2 1 齿轮故障诊断技术发展与现状“”7 1 齿轮故障诊断技术作为设备故障诊断技术的分支正在日益发展，它是一个多 学科综合技术。采用振动监测具有测量简便、实时性强等优点，通过测量齿轮运 行过程中所产生的振动信号，作为故障诊断的重要信息来源，是一种理想的齿轮 传动状态的在线运行监测工具。振动检测和故障诊断的关键是怎样从复杂的振动 信号中提取和分离与齿轮故障特征有关的微弱信息。 振动检测与故障诊断的方法不断吸取现代科技发展的成果，从理论到实际应 用都取得了长足的发展，目前可以分为以下几类： ( 1 ) 时域分析法 时域分析的最重要的特点是信号的时间顺序、即数据产生的先后顺序，如调 幅解调法、相位解调法等。工程上所测得的信号一般为时域信号，所以这是最简 单且最直接的方法，特别是当信号中明显含有简谐成分、周期成分或瞬时脉冲成 分时更为有效。 ( 2 ) 频域分析法 频谱分析是将时域信号变换至频域加以分析的方法，如功率法、相关法、双 谱分析法等，它的目的是把复杂的时间历程波形，经过傅里叶变换分解为若干单 一的谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波和相位信息。频域分析 方法己成为机械设备故障振动诊断的主要内容。但作为诊断齿轮箱的技术方法， 其不足之处在于：由于齿轮传动的频率成分包含轴频、啮合频率、齿轮箱体固有 频率及他们的各次谐频，由箱体表面拾取的振动信号的频谱非常复杂，从频谱图 2 浙江工业大学硕士学位论文 中很难找到与故障相对应的频率成分。 ( 3 ) 倒频谱分析 齿轮振动的频谱通常主要表现为啮合频率及谐波的边频带，这种边频带的产 生是齿轮轴的转频调制齿轮轴的啮合频率而产生。根据利用f f t 进行时一频域转 换的概念，可以将频谱分析结果再次利用f f t 技术转换到一个新的分析域中，这 样就形成了所谓的倒频谱分析。倒频谱方法用于齿轮故障边频带的分析具有独特 的优越性，它的主要特点是受传播途径的影响很小、在功率谱中模糊不清的信息 在倒频谱中却一目了然。这种方法的缺点是倒谱的幅值大小对裂纹长度的发展不 敏感，不易进行故障定位。 ( 4 ) 人工神经网络故障诊断方法 最近发展起来的小波神经网络故障诊断方法，是针对机械设备的非线性系统 特性及其信号的非平稳时交特性提出的，它将小波变换和人工神经网络的优点结 合起来，提高诊断准确性。小波神经网络可以作为一种性能较优的模式识别系统 应用于齿轮的故障诊断，具有较好的实用性。 ( 5 ) 时频分析方法 以f f t 为核心的经典信号处理方法要求信号是平稳的，而当机械设备出现故 障时，所测得的动态信号就包含了大量的非平稳信号成分。时频分析方法可以有 效地应用于非平稳信号的分析，能很好反映信号突出的细节，弥补了传统的基于 f f t 的频谱分析方法只适用于平稳信号分析的缺陷，在故障诊断领域中是一种迅 速发展的新方法，如短时傅立叶变换、w i g e r v i l l e 分布和小波变换等方法。时 频分析方法中又以小波分析的应用最为成功。 1 2 2 小波分析应用于齿轮故障诊断的研究现状 小波分析方法具有对低频信号在频域里有较高分辨率，对高频信号在时域里 也有较高的分辨率的特点，具有可调窗口的时频局部分析能力，弥补了傅立叶变 换和快速傅立叶变换的不足。目前，一般认为离散小波分析、多分辨率分析、连 续小波分析及后来发展的小波包分析等都是小波理论的不同方面，是在小波理论 发展的过程中不断繁衍产生的，这些方面都在故障诊断的应用中得到了体现。 3 浙江工业大学硕士学位论文 ( 1 ) 多分辨率分析雄“” 小波分解相当于一个带通滤波器和一个低通滤波器，每次分解总是把原信号 分解成两个子信号，分别称为逼近信号和细节信号，每个部分还要经过一次隔点 重采样，再下一层的小波分解则是对频率的逼近部分进行类似的分解。如此分解 次即可得到第层( 尺度上) 的小波分解结果。在工程应用中，利用多分 辨率分析可以对信号进行分解重构，不仅可以达到降噪的的目的，还可以识别在 含噪声信号中有用信号的发展趋势。上海交通大学振动、冲击、噪声国家重点实 验室的吴军彪等在这方面进行有益的研究”1 。 ( 2 ) 小波包分析哺” 小波包分解是从小波分析延伸出来的一种信号进行更加细致的分析与重构 的方法。小波包分析区别于小波分析，它不但对低频部分进行分解，而且对高频 部分也做了二次分解。a r u ok 0 1 n a r 西交大陈涛利用小波包算法分析了齿轮箱等 典型故障，证明了小波包分析方法的有效性。胡子谷等在其“故障振动信号的小 波包分解与诊断”论文中，也给出了小波包分解处理故障振动信号的原理和方法， 并分析了变速箱多故障源的诊断事例阳。武汉科技大学李友荣等通过对含有周期 冲击信号进行分解处理，展示了小波包分析在特征提取中的优点“”。 ( 3 ) 连续小波分析”“” 随着小波分析技术的发展及计算机容量和运算能力的飞速发展，最近人们开 始对连续小波变换应用于故障诊断分析。连续小彼变换能为基小波的选择提供很 大方便，当已知需检成分的特征时，就可以选取成构造与之对应的基小波，作连 续小波变换来揭示这些成分的分布和大小，非常适合于信号检测。在连续小波的 应用方面，中科院林京，西交大屈梁生及北京科技大学徐科、合肥工大的郑海波、 李志远、陈心昭等，分别采用连续小波变换对齿轮振动信号进行分析，在齿轮故 障诊断中效果十分理想 4 1 1 1 1 ( 1 2 1 。 上述方法构成了小波分析在故障诊断中的理论分析基础。小波变换虽然是一 种很好的信号分析工具，但它仍然存在下面两个问题：小波变换分析的结果不如 傅立叶变换那样直观明了，需要分析人员具有一定的小波分析理论基础进行判 断，不宜于使用计算机对结果进行自动分析和处理。小波变换的核函数不是唯一 确定的，需要根据工程应用中的实际进行选择。因此，结合小波分析与其他特征 4 浙江工业大学硕士学位论文 方法的混合方法就越来越来得到了重视。 ( 1 ) 小波变换和分形的结合 小波变换是对信号逐层剥离，层层分解，得到信号的各级细节和近似部分； 而分形则是事物的形态、结构与组织的分解和分裂，它是一个过程，是事物从整 体向局部，从宏观向微观转化的过程，因此小波变换与分形过程在认识事物方面 有共同之处，二者之问的结合能发挥更大的作用。彭志科、何永勇就利用小波多 重分形谱对4 种典型故障的振动信号进行了分析，取得了理想的效果1 。 ( 2 ) 小波变换和神经网络的结合 将小波变换和神经网络相结合是9 0 年代以后小波的一个重要研究方向，这 一方向是用小波函数代替神经网络传统的传递函数s i g m o i d 函数，用随机梯度法 或正交最小二乘法来训练网络，网络学习速度快，能达到全局最优，在很大成都 上克服了b p 网络的缺陷。1 9 9 1 年，p a t i 和k r i s h n a p r a s a d 首次将小波理论应用 到神经网络中，利用离散仿射小波变换构造单隐层前馈神经网络。国内也有合肥 工业大学的郑海波等提取了一种基于小波变换和b p 神经网络的故障诊断系统， 对小波神经网络做了深入的探讨1 “。 ( 3 ) 小波变换和统计学特征结合 与统计学特征相结合的方向是小波分析出现的新动向，在未来有着广阔的发 展前景。西安交通大学的刘刚、屈梁生在机械信号连续小波系数的特征提取中， 引入了机械系统动力学维数，将连续小波系数按尺度方向进行了研究，利用尺度 与频率的对应关系，应用小波系数的容积维数来研究其统计特征，并提取了信号 特征，在实践中证明了其有效性1 1 5 1 1 1 1 。华中科技大学的侯敬宏、黄树红、张燕 平等人在信号特征提取中引入了“灰度矩”概念，并把一阶作为定量指标，较好 展现了小波灰度图的局部信息，有效地提取了信号的特征”1 1 1 1 。 综上所述，小波分析作为一种全新的信号处理的工具，在齿轮故障诊断方面 也是取得了越来越多的应用。不过同时我们也应该看到小波分析本身也是一门发 展得非常快的学科，小波分析理论应用的深度和广度还远远不够，小波分析优越 的时域和频域特性还没有完全体现出来。所以，在实际应用中提出更多更广的研 究课题，进一步研究拓展小波分析理论在齿轮及其他机械故障诊断领域的应用具 有十分重要的理论和实践意义。 5 浙江工业大学硕士学位论文 1 3 本课题研究内容 小波分析在齿轮故障的信号处理中已经取得了很大的进展，在工程实际中显 示了其应用价值，且理论上形成了新的系统，但是由于小波本身是一门新理论， 因此在实际应用小波分析来处理齿轮故障信号时还存在一些值得注意的问题。一 个问题是在小波降噪中强调的往往是新方法的有效性，而缺少了不同影响因素对 降噪效果的影响的探讨；一个是齿轮的故障诊断往往是基于分解结果进行分析判 断，很少对分解的结果进行二次处理，而通过二次处理能得到更加直观清晰的状 态信息，对齿轮状态进行更加准确的判别。 本课题主要针对以上问题，从齿轮故障的振动理论和小波分析理论出发，通 过对自建的齿轮故障实验台测得的实验数据的分析，探讨了不同影响因素对小波 降噪的影响，提出了一种适合齿轮故障特征提取的小波分析方法。 本课题开展了以下几方面的研究工作： ( 1 ) 阐述齿轮故障诊断技术的发展状况，齿轮的故障及诊断方法。 ( 2 ) 论述齿轮振动理论，认识齿轮的振动机理及振动特征，阐述小波分析的基 本理论，分析了在齿轮故障诊断领域中采用小波分析的必要性。 ( 3 ) 自建齿轮故障实验系统，做齿轮故障实验。在齿轮故障实验台上测取不同 位置上的齿轮正常运行状态、存在裂纹状态和断齿故障状态下的振动信号，作为 对齿轮各运行状态振动信号进行数据处理与分析的根据。 ( 4 ) 阐述了小波降噪原理，通过仿真与实验信号分析，探讨了小波母函数、阈 值选择、分解层次等因素对小波降噪的影响。 ( 5 ) 通过对实验故障信号的连续小波变换和小波包分解，运用能量谱提取特征 向量，探索了一种有效的基于小波分析的故障特征向量的提取方法。 6 浙江工业大学硕士学位论文 第二章齿轮故障诊断和小波分析理论 齿轮箱故障诊断的四个步骤为：信号检测、特征提取( 信号处理) 、状态识别 和诊断决策。对齿轮箱典型故障的机理研究和特征提取在整个诊断过程中占有举 足轻重的地位。由于齿轮箱结构复杂，传递路径较多，齿轮箱工作时齿轮、轴承、 轴系等部件产生的振动信号频率复杂，加上齿轮箱工况变化大、噪声干扰严重， 涉及问题较多，因此齿轮箱故障诊断是一项难度较大的工作。小波分析理论是一 种新型时频分析方法，它具有很好的时频局部性，被称为“数学显微镜”。 本章从齿轮振动和小波分析理论特点的角度说明小波分析在齿轮故障诊断 中所具有的独特优势。 2 1 齿轮振动分析7 删3 7 儿” 齿轮的故障可以分为局部的和分布的，前者集中于某个或几个齿上，如齿的 裂纹、剥落和断齿；后者分布在齿轮各轮齿上，如齿面磨损和点蚀。常见的齿轮 故障形式有：齿面磨损、齿面胶合和擦伤、齿面接触疲劳、弯曲疲劳与断齿。由 于齿轮故障信号基本都能反映在齿轮的振动信号上，因此故障信息也主要从齿轮 的振动信号中提取。 齿轮振动包括有齿轮固有振动、齿轮啮合振动、齿轮磨损引起的振动、齿轮 偏心和周节误差引起的振动、齿轮不同轴引起的振动和齿轮局部故障引起的振动 等。 2 1 1 基本齿轮振动 一对啮合齿轮，可以看作是一个具有质量、弹簧和阻尼的振动系统，其力学 模型如图2 1 所示，其振动方程为： m ，x + c x + k ( t ) x = k ( o e , + k ( f ) 易( f ) ( 2 1 ) 7 浙江工业大学硕士学位论文 式中x 为沿作用线上齿轮的相对位移，k ( t ) 为齿轮啮合刚度，肘，为齿轮副的等 效质量，e 为齿轮受载后的平均静弹性变形，易( r ) 为齿轮的误差和异常造成的 两个齿轮间的相对位移( 亦称故障函数) 。 由式( 2 1 ) 可见，齿轮在无异常的理想情况下亦存在振动，且其振源来自两 部分： ( 1 ) 第一部分为k ( 1 ) e ，它与齿轮的误差和故障无关，称为常规啮合振动。 ( 2 ) 第二部分为k ( f ) - 最( ，) ，它取决于齿轮的啮合刚度k ( f ) 和故障函数 e 2 ( f ) ，由这一部分可以比较好地解释齿轮信号中边频的存在以及它们和故障的 关系。 图2 - 1 齿轮副力学模型 啮合刚度k ( t ) 为周期性的变量，可以说齿轮的振动主要是由k ( f ) 的这种周 期变化引起的。由于齿轮的啮合刚度k ( f ) 是随参与啮合的齿数，即啮合系数而 变化的，这样在齿轮的振动信号中就必然包含了啮合频率及其高次谐波成分。 若齿轮副主动轮转速为啊，齿数为z 。，从动轮相应为万：，z ：，则齿轮啮合 刚度的变化频率( 啮合频率) 及它们的谐频为： 正= 2 v f , z , = 幌z z2 击+ z 2 告z ：( = 1 ，2 ，3 ) ( 2 2 ) 无论齿轮处于正常还是故障状态下，啮合频率振动成分及其谐波总是存在 的，但两种状态下的振动水平是有差异的。 8 浙江工业大学硕士学位论文 2 1 2 齿轮振动信号的调制 在工程中，有时会遇到两个简谐振动信号相乘的情况，其结果我们称为调制 现象。齿轮振动信号的调制分调幅和调相两种。一般来说，齿轮振动信号既有幅 值调制又有相位调制，从频域上看，这两种调制的结果均表现为在啮合频率及其 谐频的两侧各形成一族边频带。调制边带含有非常重要的故障信息。 ( 1 ) 调幅 调幅就是载频时域信号的幅值受到调制信号的调制，它一般是由于齿面载荷 波动对振动幅值的影响所造成的。幅值调制的典型原因通常有两个，即： a ) 齿轮偏心，使齿轮啮合时一边紧一边松，从而产生载荷波动，使振幅按 此规律周期性变化。 b ) 齿轮的加工误差( 例如节距不均) 及齿轮故障使齿轮在啮合过程中产生短 暂的“加载”和“卸载”效应。 参加幅值调制的两个信号，其频率较高的一个通常称为载波，较低的一个则 被称为调制波。对于齿轮信号来讲，啮合频率成分通常是载波成分，而齿轮轴的 旋转频率成分通常就是调制波成分。 假设z ( ，) = a e o s 2 n f , t 为啮合振动信号，若对其幅度调制，即幅值口变为r ( o ： ，o ) = 口( 1 + t a c o s 2 n f , t ) ( 2 3 ) 其中，a 为振幅，脚为调幅系数，正为载波频率( 啮合频率) ，工为调制频率( 即 齿轮的旋转频率) 。 幅度己调波为： s ( o = 口( 1 + m c o s 2 n f , t ) c o s 2 n l t ( 2 4 ) 对于实际的齿轮振动信号来说，载波信号和调制信号都不是单一频率的周期 函数。 ( 2 ) 调相 调相就是载频信号的相位受到调制信号的调制。由于齿轮载荷不均匀，齿不 均等以及故障造成的载荷波动，除了对振动幅值产生影响外，同时也必然产生扭 矩波动，从而导致角速度的变化，这种波动表现在振动上即为相位调制。所以， 9 浙江工业大学硕士学位论文 齿轮上的这两种现象事实上不可分割，任何导致产生幅值的因素也同时会引起相 位调制。 设载波信号为x ( r ) ，调制信号为、壬，( r ) = p c o s 2 刁，则相位调制后的信号为： x ( o = a e o s ( 2 矾f + p e o s 2 月l f ) ( 2 5 ) 其中，a 为调制信号的振幅，为调相系数。 对于齿轮振动信号而言，相位调制的根源在于齿轮啮合刚度函数因齿轮加工 误差及故障的影响而产生了相应变化。这种相应变化由于齿轮周而复始地运转而 具有周期性。 ( 3 ) 调幅与调相并存 若调幅信号和调相信号分别为r ( o 和( ，) ，则调幅与调相并存时的已调载波 为： x ( o = a ( 1 + t a c o s 2 ，无，) c o s ( 2 矾r + p e o s 2 月f , ，) ( 2 6 ) 调幅与调相的共同点在于载波频率相等( 为啮合频率) 、边带频率问隔相等 ( 为齿轮轴转频) 、边带对称分布于载波频率两侧，因此，调幅与调相并存时，频 谱上的边频成分为两种调制单独作用时产生的边频成分的叠加。虽然两种调制单 独作用时产生的边频对称于载波频率，但当两者共同作用时，由于边频成分通常 具有不同的相位，于是其叠加应为向量叠加，所以叠加之后有可能使得某些边频 幅值增加了，有的反而降低了，这样已调载波的幅值谱不再相对载频谱线对称了。 当齿轮出现故障或故障发生变化时，虽然啮合冲击增强会使啮合频率分量及 其谐波分量增大，但由于调相现象的存在，又会使这些分量有所减小，最终使这 些分量的增大不很显著，甚至会出现减小的现象。换句话说，啮合频率分量及其 谐波的变化对齿轮某些故障( 如个别齿点蚀，齿根裂纹等) 的出现和发展规律不 很敏感。 2 1 3 齿轮故障振动模型 齿轮的振动主要是齿轮啮合激励振动，振动信号的主要成分是啮合频率及其 谐波分量，因此可以用如下模型来表示： 1 0 浙江工业大学硕士学位论文 x o ) = x 。c o s ( 2 刃蜕f 十九) ( 2 7 ) 2 l 式中，工( f ) 为齿轮振动信号，k 为第册阶啮合频翠，九为第研阶啮合频率 谐波分量的初相位，正为齿轮的啮合频率。 当齿轮存在磨损、疲劳裂纹等故障时，则该齿轮啮台时，振动信号的幅值和 相位发生变化，产生幅值和相位调制，用口。( f ) 和6 卅( ，) 分别表示对第m 阶啮合频 率谐波分量的幅值和相位调制函数。故障齿随轴每周啮合一次，因此口。( f ) 和 b m ( r ) 是以轴转频f 为重复频率的周期函数，可以用下式表示： 爿。c o s ( 2 n n f , t + 口。) ( 2 8 ) b 。e o s ( 2 n n f ，t + p 式中，彳。和曰。分别是幅值和相位调制函数的第1 1 阶分量的幅值；口。和展。 分别是幅值和相位调制函数的第n 阶分量的相位。经调制的齿轮故障振动信号模 型为： y ( r ) = k 【1 + 口。( f ) 】e o s 2 m n f , t + 0 , + 以( ，) 】 ( 2 9 ) m = 田 式( 2 9 ) 所描述的是啮合齿轮本身的振动，要直接测量这种振动是非常困难 的，只能用安装在轴承座盖或变速箱箱体上的振动传感器来测量。齿轮的振动信 号必须经过齿轮、轴、轴承和箱体才能到达传感器，所以传感器拾取的信号是经 过传递函数调制的齿轮振动信号，并且没有简单的方法来消除传递路径对振动信 号的影响。但是，齿轮与传感器之间的传递路径是固定不变的，为了讨论方便， 可以假定传递函数对齿轮振动信号的影响可以忽略不计。 齿轮振动信号中除了存在啮合频率、边频成分外，还存在其它振动成分，为 了有效地识别齿轮故障，需要对这些成分加以识别和区分。 ( 1 ) 附加脉冲。齿轮平衡不良、对中不良、零部件机械松动等缺陷都会引 起附加脉冲。它们均是旋转频率低次倍频的振源，而不一定与齿轮本身缺陷直接 有关。 ，f台，m = 1 1 ) ) o o m * 口 6 ，ij、l 浙江工业大学硕士学位论文 ( 2 ) 隐含成分。新齿轮转动时，如同啮合频率一样，会在其频谱上出现某 一频率的基频及其低次倍频成分，称为隐含成分。实际上它是制造该齿轮时所用 加工机床的分度齿轮的啮合频率。 ( 3 ) 交叉调制成分。由上述基本成分互相调制而成，表现为一些频率的和 频与差频。它们并不独立，只有产生它们的基本频率成分改变时才会有所改变， 一股可不去考虑和分析它们。 2 2 小波分析理论“”“”1 2 2 i 小波分析理论概述 小波分析是2 0 世纪8 0 年代开始发展起来的一个新兴的数学分支。小波分析 是以泛函分析和调和分析为基础的一种新的信号分析的方法。一般所讨论的小波 是指由一个称之为基小波的函数，经过伸缩或平移所产生的或其他空间的基 底。 小波变换的定义：设厂( f ) 是平方可积函数，记作厂( f ) 1 1 ( r ) ，( f ) 为母 小波，如果函数( f ) 满足容许性条件q = f 毕c m ，则 嘶6 ) = 辑 = 肼耖争 ( 2 1 0 ) 称为f ( t ) 的小波变换。其中d 为尺度因子，b 为位移因子。 小波分析直到m a l l a t 提出基于时间和尺度的二进分割快速算法，即著名的 “m a l l a t 塔形算法”，才真正在工程中得以应用。m a l l a t 算法是无冗余的正交 分解，可以将信号以很大的压缩比实现准确重构，因而在图像和语言的压缩和 编码方面得以成功应用，形成了多分辨分析。在小波变换的基础上，r r c o n f m a n 和m y w i c k e r h a u s e r 进一步提出了小波包概念，利用推广的二尺度方程，原 来的尺度函数和小波可以生成一族包括原小波基在内的“小波包”函数，在故 障诊断领域得到了很好的应用。由于信号均是有限支撑的，为很好地刻画信号， 避免出现譬如周期化处理引起的边界效应或失真，相继有学者提出了多小波的 1 2 浙江工业大学硕士学位论文 理论和提升框架理论。1 9 9 4 年，t n t g o o d m a n 和s l l e e 构造了一个多 小波，即著名的g h m 多小波，同年，s w e l d e n s 提出了用提升方法来构造具有线 性相位的小波变换，近而给出了整数可逆的提升框架，使得小波变换向实用前 进了一大步。随着小波理论的深入发展，小波分析已被广泛应用于很多工程领 域，譬如对齿轮的故障进行诊断。 2 2 2 连续小波变换 将任意的r ( r ) 空间的函数厂( f ) 在小波基函数下进行展开，称这种展开为函 数f ( t ) 的连续小波变换( c w t ) 。在连续小波变换情况下，平移和伸缩参数是连续 变化的。用数学定义则有： 设y o ) 上2 ( r ) ，( 0 ) = o ，则 2 高睁a , b er , a o 称为连续小波。则函数的连续小波变换定义为： 嗽6 ) = 瓴 = 眠挚 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 由定义可知，连续小波变换中参数b 起着平移作用，而参数口则改变连续小 波的频率结构，它还改变窗口的大小和形状，随着i 口l 的减小，虬。( f ) 的频率就 愈集中于高频部分，其支集则随a 的减小而愈狭小。这就满足了信号频率愈高相 应的窗口就愈小，因而它在时间( 或空间) 域上的分辨率亦越高的要求。但窗口的 面积与参数g ，b 是无关的，它只由基本小波矿( f ) 的性质所决定。这是因为小波 变换要满足海森堡测不准原理。 连续小波变换具有以下重要性质： ( 1 ) 线性性：一个多分量信号的小波变换等于各分量的小波变换之和。 ( 2 ) 平移不变性：若厂( ，) 的小波变换为坼( 口，6 ) ，则f ( t f ) 的小波变换为 w ， 6 一f ) 。 ( 3 ) 伸缩共变性：若f ( t ) 的小波变换为w ，( 口，6 ) ，则f ( e t ) 的小波变换为 1 3 浙江工业大学硕士学位论文 w f ( c a ，c 6 ) c 0 ( 4 ) 自相关性：对应不同尺度参数口和不同平移参数b 的连续小波变换之间 是自相似的。 ( 5 ) 小波变换具有能量比例性： 驿d a i w ，( a , b ) 1 2d b = c o 口f ( t ) 1 2 d t 这说明了小波变换后的系数和原函数能量有一定的比例关系，从而可以通过 研究变换后的信号能量来反映原始信号能量。 ( 6 ) 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。小波变换的冗余性事实 上也是自相似性的直接反映，它主要反映在以下两个方面： a ) 由连续小波变换恢复原有信号的重构式不是唯一的。也就是说，信号f c t ) 的小波变换与小波重构不存在一一对应的关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是 一一对应的。 b ) 小波变换的母函数i i p d , 波函数p 么( f ) 存在许多可能的选择。小波变换在不 同的( a ，b ) 之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，小波变换的 冗余度应尽可能的减小，它是小波分析中的主要问题之一。 2 2 3 离散小波变换 由小波变换的定义可知，在连续变换的尺度日及6 值下，小波基函数。( f ) 具 有很大的相关性，则信号，( f ) 的连续小波变换系数的信息量就必然存在冗余，即 使其冗余性在对诸如去噪、进行数据恢复以及特征提取方面是有帮助的，但考虑 到数据压缩及减小计算量方面，在工程应用中往往采用离散小波变换。 在离散小波变换中，a 及b 并不取整个实轴，而是仅取一些离散的值，一种 最通常的离散方法就是将尺度a 按幂级数进行离散化，一般取为二进制网络。即 a = 2 j ，b a = k ，y , k z 其中z 为整数集。则此时( 2 1 1 ) 式变为： ( f ) = 2 ”状2 ，一七) ( 2 1 3 ) 由此可得a 及b 只在二进制上取值的离散小波变换为： 1 4 浙江工业大学硕士学位论文 w t i ( j , k ) = d o 丽，j , k e z ( 2 1 4 ) 当 i ( f ) 岛胆构成空间r ( r ) 的一组标准正交基时，则对v ，( f ) r 有其逆变 换为： 鼬) = w r j ( j , k m j a t ) 2 2 4 多分辨率分析 ( 2 1 5 ) 多分辨分析( m p , a ) 又称为多尺度分析，是建立在给定的函数空间r ( r ) 上的 理论，在该函数空间中，存在一个基本的框架，以便于小波的构造。其思想又同 多采样滤波器不谋而合，则同时使我们可以将小波变换与数字滤波器的理论结合 起来。 多分辨率分析是通过函数空间术语来严格定义的，假设r ( r ) 空间内在的子 空间序列k ( m ez ) 满足以下条件： ( 1 ) ( 嵌套性) c k c v _ 2 ； ( 2 ) ( 逼近性) n = o ，u = l 2 ( 胄) ； m e z辨e z ( 3 ) ( 二进制伸缩性) 厂( f ) 圪f ( 2 t ) 一，； ( 4 ) = 妒d 聍 丸，( ，) ，胛z ，即任一级子空间可由相应尺度的同一函数通过 平移张成o ( 5 ) 一。= e w ，即任一级子空间可由下一级子空间以及它的正交补空 间相加而成，序列w - 相互之间无重叠，是正交系。 这样，我们称子空间序列圪，阡，卅为函数空间r ( 足) 上的一个多尺度分析，其 中中。j ，称为尺度函数，m 和月分别为尺度和平移参数。 由以上定义可得 = o 彬 ( 2 1 6 ) j 1 1 特别地，当尺度趋于无穷时，上式变为 浙江工业大学硕士学位论文 r ( r ) = 彬 存在与o 。，相应地函数o 。，通过平移能够生成阡乙。 阡乙= s p a n o 。( ，) ) 0 ，。就是所求地小波基，它在伸缩和平移交换下都是正交的 ( 2 1 7 ) 多尺度分析在信号分析的应用可以用式( 2 1 6 ) 来表达，对于任意函数 厂( r ) ，可以在下一级尺度空间k 和小波空间彤上进行分解，如下所示： f ( o = p 。，( o + g l ( f ) 式中p j 朋) = 巳“， i q l f ( t ) - - zd l 。o 。 i ( 2 1 8 ) p 。厂( f ) 是逼近部分，吼，( r ) 是细节部分。然后将逼近部分进一步分解，如此 重复就可以得到任意尺度上的逼近部分和细节部分，迭代公式为 p = - 1 厂( f ) = 厂( f )