（应用数学专业论文）两类高次多项式系统多个极限环的研究.pdf

摘要 本篇论文主要运用微分方程定性理论和极限环分支方法，研究了两类高 次平面多项式系统的极限环分支问题全文内容共分为三章 第一章是绪论，主要对平面多项式微分系统中心与极限环分支等问题的 历史背景和研究现状进行了综述并介绍了全文所用到的一些有关分支和稳 定性理论的基本概念和方法，归纳了本文所做的主要工作 第二章讨论了类七次多项式系统无穷远点的奇点量和中心条件问题， 得到了该系统在无穷远点的前7 个奇点量，从而导出了无穷远点成为中心的 条件和7 阶细焦点的条件，证明了该系统在无穷远点分支出4 个极限环 第三章研究了类五次多项式系统的原点o ( o ，0 ) 为中心时的条件与极限 环分支问题，得到了此系统可以在原点o ( o ，o ) 分支出3 个极限环的条件。 关键词：平面多项式微分系统，极限环，焦点量，奇点量，无穷远点，中心， 分支 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r b yu s i n gt h eq u a l i t a t i v et h e o r i e sa n db i f u r c a t i o n m e t h o do fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，t w op l a n a rp o l y n o m i a l s y s t e m sa r es t u d i e d ，q u a l i t a t i v eb e h a v i o r so ft r a j e c t o r i e sa r eo b t a i n e d t h e w h o l ep a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s t h ef i r s t c h a p t e r i st h ei n t r o d u c t i o n ，i nw h i c hw em a i n l y i n t r o d u c et h ed e v e l o p i n gh i s t o r ya n dt h ep r e s e n tp r o g r e s so fc e n t e r a n db i f u r c a t i o nt h e o r i e s ，s o m ef u n d a m e n t a ld e f i n i t i o n sa n dl e m m a so f d y n a m i c ss y s t e m ss u c ha sb i f u r c a t i o na n ds t a b i l i t yt h e o r yt h a tc a nb e u s e di nt h i sp a p e r , a n db r i e f l yr e p r e s e n tt h em a i nw o r k so ft h et h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e r , ac l a s so fs e v e no r d e r sp o l y n o m i a ls y s t e m h a sb e e ns t u d i e d w er e s e a r c hi t s s i n g u l a r i t y v a l u ea n dc e n t e r c o n d i t i o n so ft h ei n f i n i t es i n g u l a rp o i n t so ft h es y s t e m s ow eo b t a i n i t ss e v e ns i n g u l a r i t yv a l u ea n dg i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nw h e nt h e i n f i n i t es i n g u l a rp o i n ti sac e n t e r t h e nw ep r o v et h a tt h es y s t e m b i f u r c a t ef o u el i m i tc y c l e sa r o u n di n f i n i t y i nt h et h i r dc h a p t e r , w es t u d i e dt h ec o n d i t io nw h e no ( 0 ，0 ) i sa c e n t e ra n dt h el i m i tc y c l e sb i f u r c a t e df r o m o ( o ，0 ) o f ac l a s so fi v e o r d e r sp o l y n o m i a ls y s t e m b yu s i n gt h em e t h o do fb i f u r c a t i o nt h e o r y , w eg i v et h ec o n d i t i o n st h a tt h r e el i m i tc y c l e sb i f u r c a t e df r o m o ( o ，o ) k e yw o r d s ：p l a n a rp o l y n o m i a ls y s t e m ；l i m i tc y c l e ；f o c u sv a l u e ； s i n g u l a r i t yv a l u e ；i n f i n i t es i n g u l a r i t y ；c e n t e r ；h o p fb i f u r c a t i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 本入完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人 允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：物立：庭指导教师签名：薹显室兰 如阵舌月、l 一，日坍歹年二月r 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：杨f 3 康 年 6 窍一日 1 1 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 从牛顿应用微分方程得到第二力学定律来解决行星运动开始，微分方程已有了三百 多年的历史。由于人类探索自然现象和社会现象的确定性运动规律的需要，常微分方程 也不断面l 临新的研究课题，其中还出现了许多根本性的重要的难题，这就一直在推动这 一学科的不断发展。所以，常微分方程又是一个充满活力的新兴学科。然而，数学家们 陆续发现一类又一类的微分方程是难以用已有的方法求解的，或者说，只有极少量的微 分方程能求得具有解析函数表达式的解，甚至可以说能具有这种解的微分方程只是凤毛 麟角。面对微分方程求解这一难题，自牛顿起，许多数学家就尝试用无穷级数来求近似 的数值解。这虽然是求解的一个重要思路和方向，但是可以想象，在没有电子计算机的 时代，近似计算的工作量之繁重，实在是人们难以胜任的。庞加莱将微分方程求解问题 与代数方程求解问题进行类比，明确提出了可以从微分方程本身去探讨解的性质，通过 自己不断地研究，他以关于由微分方程所定义的曲线的研究报告为题目，于1 8 8 1 、 1 8 8 2 、1 8 8 5 、1 8 8 6 年发表了四篇内容精彩的研究论文。他把微分方程的解看作由微分方 程本身所定义( 或确定) 的曲线族。这是一种崭新的认识和提法，与过去截然不同，不 是着眼于先求出方程的解，再研究解的性质，而是在不求出解的情况下，通过直接考察 微分方程的结构、系数等对解的性质做出判断。也就是着力从微分方程本身去分析和推 断它的解可能具有的种种特性，如曲线的形状、结构、特点、趋势以及是否具有周期性、 稳定性等等，这就是常微分方程定性理论的基本思想。一个多世纪以来，后继的数学家 又不断进行研究，使微分方程定性理论逐步走向完善。同时，微分方程定性理论也一直 保持着进一步发展的活力，其主要原因是它的根源来自于各种实际问题之中。不仅在机 械、电讯、化工、自动控制、天体力学、经济、生物以及其它社会学科的各个领域得到 了广泛的应用，而且工程技术的需要反过来又推动了微分方程定性理论的发展。特别在 近些年来，随着计算机的普及和广泛应用，这给微分定性理的研究注入了新的活力。 1 1多项式系统的极限环研究现状 关于实n 次多项式系统的极限环有一个古老而著名的难题，即德国数学家d h i l b e r t 于1 9 0 0 年在巴黎举行的第二次国际数学家会议上所提出的2 3 个问题【1 1 中的第1 6 个问 1 第一章绪论 题的后半部：“对于右端函数不高于n 次的实平面多项式微分自治系统： i d r ：只( t y ) ， d l h 、“” a y ，。：q ( x ，y ) m ” 是否存在一个只依赖于n 的正整数( ) ，使得方程( 1 ) 的极限环的个数n ( n ) ? 以及此时 的极限环相对位置如何? ”围绕着h i l b e r t 第十六问题，众多的数学工作者开始了对极限环 问题的研究。其中，h d u l a c 在1 9 2 3 年的长篇论文f 2 1 中证明了：对于一个确定的方程( 1 1 ) ， 它的极限环个数总是有限个。1 9 5 5 年，1 p e t r o v s k i i 并1 e l a n d i s l 3 , 4 1 分别研究了两类二次系 统的多个极限环问题。接下来，我国的史松龄，陈兰荪，王明淑等1 5 , 6 , 7 1 在1 9 7 9 至0 1 9 8 0 年分 别构造了具有多个极限环的二次系统的例子。9 0 年代。李继彬，h z o l a d e k ，郁培等人【8 ，9 ，1 o 1 1 l 又分别构造了三次系统多个极限环的例子，但是对于高次的多项式系统由于系数的增加 和计算量的复杂性，当是研究的还很少。近些年，随着计算机技术的飞速发展，将计算 机软件应用到此问题中，逐步得到了一些很好的结果。2 0 0 4 到2 0 0 5 年，韩茂安【1 2 】，杜超 雄【”1 研究了两类四次多项式的多个极限环情况。2 0 0 2 年，文【1 4 】讨论了一类五次多项式 系统的多个极限环情况。2 0 0 7 2 0 0 8 年，唐桥，吴玉海，梁德辉又分别研究了三类五次 多项式系统的极限环情况，得到了很好的结果 文3 6 3 8 。尽管人们一直在努力解决这 一难题，但一个世纪过去了，所有这些工作离完全解决h i l b e r t 十六问题还十分遥远。1 9 9 8 年，s ，s m a l e 将h i l b e r t 十六问题仍然列为二十一世纪急需解决的十八个问题之一，这将进 一步推动常微分方程定性理论的发展。 1 2 本文所用的主要方法 当前关于多项式系统的极限环研究大体上分两个方面，一方面是关于极限环的存在 性、稳定性、个数以及它们的相对位置等问题；另一方面是关于极限环随系统中参数的 变化而产生或消失的问题，即分支问题关于极限环存在性问题当前的研究方法比较多， 例如：8 e n d i x s o n 环域定理，p o i n c a r e 切线曲线法和b e n d i x s o n - d u l a c 判别法等等。而 唯一性就要少一些，值得一提的我国的张芷芬在这方面做出了很好的成果：得到了判别 极限环存在唯一性的张芷芬唯一性定理以及两个推论 文3 5 。至于极限环个数问题和相 2 西北大学硕士学位论文 对位置问题，对于二次多项式系统的研究至今还没有一个完整的结果，高次的工作相对 而言就更少了本文利用极限环的分支理论，对一类五次多项式系统由原点扰动出极限 环个数及相对位置的问题进行了研究。 常微分方程定义的动力系统的分支理论起源于实际问题的需要，并在近半个多世纪 以来得到了莲勃发展比较著名的有h a l e 教授与周修义教授合著的分支理论专著， m e t h o d so fb if u r c a ti o nt h e o r y ，后来在文献微分方程分支理论、 向量场的 分岔理论基础和动力系统的周期解与分支理论等专著( 文 1 5 - 1 8 ) 中不断加以充 实和完善，使得分支理论已成为一个系统的、方法较为全面、完善的理论专业。 所谓分支现象也称分岔现象，是指对结构不稳定系统来研究的，依赖于参数的某一 研究对象，当参数在一个特定值附近作：微小变化时，它的某些性质所发生的本质变化 在数学上，分支理论主要研究三类问题：由常微分方程( 或向量场) 定义的连续动力系统 的分岔：由映射所定义的离散动力系统的分岔：函数方程的零解随参数变化而产生的分 岔它们既有区别，又相互联系这里主要涉及第一类( 即向量场的) 分岔，它是研究向量 场，特别是平面向量场中系统轨道族的拓扑结构随参数变化所发生的变化及其规律例如 奇点随轨道的变化，周期闭轨的产生与消失，同宿轨( 或环) 、异宿轨( 或环) 的形成与 破裂等。 在平面向量场中，最典型的分支现象主要有：奇点分支( 主要是鞍结点分支) ，闭轨 分支( 即p o i n c a r e 分支) ，h o p f 分支，同宿、异宿分支等。 其中，将具有细焦点的系统经扰动，使这个细焦点的稳定性发生变化，从而跳出小 振幅极限环，就是著名的a n d r o n o v h o p f 分支。这一方法首先见于h p o i n c a r e 在1 8 8 2 年的工作，由a n d r o n o v 于1 9 2 9 年和h o p f 于1 9 4 4 年独立提出来。若此焦点为k 阶细焦 点，则摄动系统在奇点邻域至多有k 个极限环【4 4 1 如果将n 次多项式系统的指标为+ l 的 奇点邻域可能出现的小振幅极限环的最大个数称为此奇点的环性，记作h 。) 。可见， 高阶细焦点的日。) 与焦点量计算密切相关。文献 4 5 】已经证明日。) 必定为有限数。显 然，日。( 1 ) = o n n b a u t i n l l 9 j 证明了日。( 2 ) = 3 。叶彦谦用h o p f 分支的方法得到了在三 阶细焦点外围有三个小振1 晤极限环的实例。由于三次以上多项式系统的系数比三次系统 第一章绪论 大大增加，因而表示焦点量的多项式的项数与系数也迅速增长，即使借助于计算机计算， 仍然非常困难。本文通过计算焦点量的方法【2 1 i 研究了一类五次多项式系统的极限环分支 问题。 要彻底解决平面多项式系统的极限环个数问题，由无穷远点产生的极限环问题也是 非常值得研究的。关于这一方面的成果在二十世纪很少【2 2 , 2 3 1 ，主要原因是问题本身较复 杂，而且研究方法很有限。1 9 9 3 年，韩茂安【2 2 1 研究了几类三次系统由无穷远点分支出 极限环( 称之为赤道环) 的问题，以及赤道环的稳定性并给出了一切解正向有界的判据。 t r b l o w s 与c r o u s s e a u l 2 3 1 对赤道上无奇点，原点为中心焦点型奇点的奇次多项式系统 经过广义极坐标变换把赤道化为极坐标下的原点，然后用p i o n c a r e 后继函数定义各阶焦 点量，并用积分方法算出焦点量得到无穷远产生极限环的条件。但是对于四次和四次以 上的系统的赤道环，由于焦点量的运算过于复杂，一直限于停滞阶段。直到2 0 0 1 年， 刘一戎将文【2 5 】中复平面多项式系统的原点的奇点量的概念推广到复平面多项式系统 的无穷远点的奇点量，并给出了求奇点量的几个方法以及便于计算机实现的代数递推公 式。由此，实平面多项式系统无穷远点的焦点量可由其对应的复平面多项式伴随系统的 奇点量求出，并通过引入无穷远点分支函数给出了几个判断极限环存在的易用定理，还 把自己所定义的l i e 不变量【2 5 1 概念推广到这类系统，用l i e 不变量研究奇点量的代数结 构，从而非常方便地化简奇点量和得出可积条件。同时，在文 2 4 】中还给出了一类三次 系统从无穷远点产生四个极限环的实例。这一重大发现使得高次多项式系统的赤道环分 支问题有了重大进展。目前，对于多项式系统无穷远点的极限环分支问题的研究主要集 中在实2 胛+ 1 阶多项式系统中，近年来，一些作者对于n = l 的一些特殊情况进行了研究， 但是对于高次系统由于奇点量推导公式的复杂性，当前研究的还是较少。对于五次多项 式系统的赤道环分支问题，刘一戎，陈海波，黄文韬分别做了一些工作【见文献2 6 2 9 1 。 陈海波，张齐1 3 0 , 3 1 等又研究了两类特殊七次多项式系统的赤道环分支问题。本文应用文 【2 4 的结论通过奇点量的计算讨论了一类七次平面多项式系统在无穷远点的极限环分支 问题。 1 3 本文的主要工作 4 西北大学硕士学位论文 本文将在第二章通过运用计算奇点量的方法来计算焦点量，对类七次多项式微分 系统在高次奇点的中心条件与极限环分支问题进行了研究。通过对多项式系统做广义极 坐标变换，把原系统在无穷远点的稳定性和极限环分支问题转化为新的系统在原点的稳 定性和极限环分支问题，并对原系统做z = x + i y , w = z i y , t = i t ，i = 一1 的变换转化为 复系统，经过计算该复系统奇点量的代数递推公式，得出该系统在无穷远点的前七个奇 点量的表达式，并利用奇点量和焦点量的关系，推导出系统无穷远点的中心判据并得出 了该系统在无穷远点分支出了4 个极限环。 在第三章主要研究了一类五次多项式系统的h o p f 分支。首先，我们利用广义相伴 系统的概念得到了一个新的系统，对该系统做变量代换把奇点转化为新的系统的原点， 然后计算该系统的焦点量，并利用极限环分支理论得到了此系统在奇点处分支出三个极 限环的充分条件最后，我们对该系统与其相伴系统的异同进行了比较。 第二章一类具有四个大振幅极限环的七次多项式系统 第二章一类具有四个大振幅极限环的七次多项式系统 2 1 预备知识 目前，对于多项式系统在无穷远点的极限环分支问题的研究主要集中在2 n + 1 阶实多 项式系统 鲁= 薹以c t y ，+ c y + 占。c x 2 + y 2 ，” 。2 ， 害= 薹驰川+ ( x + 6 y ) ( x 2 + y 2 r 其中刀为自然数，五( z ，j ，) ，圪( x ，少) 为x , y 的k 次齐次多项式。系统( 2 1 ) 在p i o n c a r e 闭球面 的赤道上没有实奇点，赤道r 。为其轨线。 利用变换x - - c o s t 9 ，y ：皇坐可将系统( 2 1 ) 化为 rr 石d r 一_ 一万1 ( 万+ 薯柳) 警= 专( 1 + 薯即矿) 这样，可得到 d r 一= 一厂 d e 其中 2 月+ l 万+ 仍n + 2 - k ( 乡) ，。 2 n + 1 l + l f ，( 臼) 厂。 k = 1 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 吼+ l ( 目) 三c o s o x t ( c o s o ，s i n o ) + s i n o y k ( c o s o , s i n o ) ， ( 2 4 ) 。2 ( 矽) 三c o s o y t ( c o s 0 ，s i n o ) 一s i n 毋也( c o s 0 ，s i n o ) 是关于s i n 0 ，c o s 0 的齐后+ 1 次多项式( 后= 0 ，1 ，) 当万= 0 时，系统( 2 3 ) 可化为下列形式的微分方程： 嘉= 孛柳。 5 ， 其中方程( 2 5 ) 的右端函数在某域乡 - 4 x ，4 万】，r l 0 ，如果( 办) 0 ，则系统( 2 1 ) 的无穷远点是不稳定的焦点；如果a ( h ) 三0 ，则系统( 2 1 ) 在无穷 远点的邻域内充满闭轨 文 2 5 】在复系统中定义了奇点量的概念，给出了求奇点量的形式级数法和积分因子法 两种算法，并给出了复系统奇点量与它对应的实系统的l y a p u n o v 常数之间的关系3 之 2 4 】 给出了这两种计算奇点量的递推公式以下给出关于形式级数法的相应结论： 当万= 0 时，系统( 2 1 ) 经过变换z = x + i y ，w = x - - 纱，t = i t ，扛一l 可化为 这里 7 x w w 乙 亿 纵 孙掀。乜脚芝脚 州 + 叫 出一订咖一卯 第二章一类具有四个大振幅极限环的七次多项式系统 z k ( z ，w ) = ，z “w 卢形( z ，w ) = 吃。w “z ( 2 11 ) 为z ，w 的齐尼次多项式( 后= 1 ，2 ，) 定义2 2 2 4 1 对系统( 2 1 0 ) ，称右端函数在原点邻域的幂级数展开式中所有的系数均 为参数对任意正整数朋3 ，如果存在诸参数吃，的复系挚多项数岛，乞，厶小使得 ( 2 万) + 颤唯( 2 万) 影，则称v 与v 埘( 2 万) 代数等价，记为v v m ( 2 a ) 对任意常数允o ，用 记号v 允( 2 万) 表示五_ 1 矿吆( 2 万) 由引理2 1 得： 引理2 3 2 4 1 对于系统( 1 2 ) 跚，有屹( 2 万) = o ，且对任意正整数肌，有屹。( 2 n - ) 0 ；而且当 矿屹州( 2 a t ) 时，必存在诸参数吒屯，的复系数多项数毒，乞，厶一，使得 吃，( 2 万) + 邑v 2 ( 2 万) 影 引理2 4 t 2 4 1 对系统( 2 1 0 ) ，可惟一的逐项确定一个广义形式级数 聊，咖专薹 ( 2 1 2 ) 这里五( z ，w ) = 吒，z a w 表示的齐七次多项式，c o ，。= l ，q ，七= o ( k = 1 ，2 ，) ，使得 且 乳：却，嵩南， 心_ 1 屹。+ l ( 2 丌) ，朋：l ，2 ， 1 7 其中屹州( 2 万) 是系统( 1 2 ) 在无穷远点的第脚个焦点量 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 定义2 3 2 4 1 对系统( 2 1 ) ，称系统( 2 1 4 ) 式确定的。为无穷远点的第m 个奇点 量，朋= 1 ，2 ， 2 2 问题引入 西北大学硕士学位论文 下面考虑实平面七次多项式系统 d x 诸 砂 d t = x i ( x ，j ，) + x 2 ( z ，j ，) + 置( z ，少) + 墨( x ，j ，) + ( 一j ，+ j x ) ( z 2 + j ，2 ) 3 ， = k ( x ，y ) + y 2 ( x ，y ) + y 3 ( x ，y ) + 匕( x ，y ) + ( x + 万少) ( x 2 + 少2 ) 3 ( 2 1 5 ) 其中 墨( x ，少) = ( e 。一1 5 8 3 0 ) x + ( 4 0 一1 5 4 。) j ， 置( x ，少) = e l x 2 + e l y 2 ， 墨( z ，j ，) = ( b 。+ b o 一2 4 。色o ) x 3 + ( 3 8 3 2 0 + 4 1 + 3 4 0 一3 a 3 2 0 皿2 y + ( 垦，一3 b o + 6 4 。b o ) r y 2 + ( 4 2 。一4 。+ 4 l 一崴) y 3 ， 袭冀三( - b a i 之- 1 5 4 a 蒎：瑟：蠢蛩，坞拶4 以5 亿 墨( t 少) = l o3 0 ) x + ( 墨o + 1 5 垦。以 、7 匕( x ，y ) = - a l l x 2 一a 1 l 少2 ， 匕( z ，y ) = ( 一曦一4 ，+ 戤一4 。) x 3 + ( 岛l + 3 b 。+ 6 4 。岛。) x 2 y + ( 一4 l 一3 崴+ 3 4 0 + 3 4 2 。) r y 2 + ( 最l b 。一2 4 0 色。) j ，3 ， e ( z ，y ) = 一a 3 2 2 5 一b 2 x 4 少一2 4 2 x 3 y 2 2 9 2 y 2 y 3 4 2 x y 4 一忍2 y 5 ， 这里如，魄( 后，= o ，1 ，2 ，3 ) 是实数 系统( 2 1 5 ) 在p i o n c a r e 闭球面的赤道上没有实奇点，可经广义极坐标变换 塑：一p 竿擘生字挚兰 ( 2 18 )do 尸1 + p 2 + p 4 + p 5 + p 6 、一 其中 依( 2 2 c 。s 乡t ( c 。s 乡，s i n 9 ) + ：i n 0 y k ( c 。s p ，s i n 移x( 2 1 9 ) ( 臼) = c o s 0 y ( c o s 0 ，s i n 臼) 一s i n o x k ( c o s 0 ，s i n 矽) ，后= 1 ，2 ，3 ，5 、7 从而系统( 2 1 5 ) 的赤道环的稳定性与极限环分支问题转化为系统( 2 1 8 ) 在原点的稳 定性与极限环分支问题因此，对充分小的厅，方程( 2 1 8 ) 满足初值条件p i 伽= h 的解记为 夕= p ( o ，办) = v k ( o ，6 ) h k ( 2 2 0 ) 其中 9 毋一 n p 乳一 y 唑p c 一 为变统系 第二章一类具有四个大振幅极限环的七次多项式系统 h ( o ，万) = p 一帮，屹( o ，万) = o ，k = 2 ，3 ( 2 2 1 ) 称系统( 2 1 5 ) 无穷远点的第0 个焦点量为_ ( 2 万，万) 一1 ，即p 一拼一1 ，第k 个焦点量为 + l ( 2 n ，万) ，k = 1 ，2 ， 系统( 2 15 ) 经变换 z = x + i y ，w = x i y ，t = i t , f = j 化为下列复系统 堕= 1 w + q 1 删+ z 3 一dt a l o z +a 3 0q - a 2 1 z z w 2 1 w + q 1 删+ r + a 0 3 w 3 + a 3 2 2 2 w 3 + z 4 w 3 ( 1 一f 万) ， 等一咖_ 6 0 l 川。删一魂0 w 3 w z - b 0 3 2 3 一吃2 w 2 2 3 一w 4 2 3 ( 1 + 万) 其中 = 以+ 嚷，= ( 后= l ，2 ，3 ，4 ，j = o ，l ，2 ，3 ) ， a o l = 1 5 k ，b o l = 1 5 a 3 0 ，a 0 3 = 磕，b 0 3 = 呸2 0 ， 称系统( 2 2 3 ) - 与系统( 2 15 ) 互为伴随系统 2 3 奇点量与焦点量之间的关系 使得 根据第一节中的引理2 4 可得 引理2 6 对系统( 2 2 3 ) 踟可逐项确定形式级数 砟，咖上z w 茎等2 w ， ；= ：ll ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 这里石( z ，w ) = z “w p 舸i ：7 k 次多项式；c o o = l c k 。= o ，k = 1 ，2 ，并且 a + 8 = 7 k a i g1 。亡1 2 川( 2 万，o ) ，所= l ，2 ， ( 2 2 7 ) ， 在引理2 6 中，屹川( 2 以0 ) 是系统( 2 15 ) 脚在无穷远点的第脚个焦点量，以称为系统 1 0 务。删 = 嘲 竺订 堕j ! 奎兰堡主兰堡笙奎 一一 一一。一 f 2 。在无穷远点的m阶奇点量，。竺，为代数等价符号，芒123) v 2 。+ 。( 2 a , o ) 竺心表示存在 ( 2 跚在无穷远点的阶奇点量，“”为代数等价符号，瓦v 2 m + ( ) 一心衣不仔位 系统( 2 2 3 ) 脚系数的多项式函数嚣，使得 v 2 m + l ( 2 以o ) = ，万( + 嚣以) ( 2 - 2 8 ) 引理2 6 给出了系统( 2 1 5 ) 脚的无穷远点焦点量与其伴随系统( 2 2 3 ) 舢的奇点量之 间的关系。由此，系统( 2 1 5 ) 占：。无穷远点焦点量的计算可转化为系统( 2 2 3 ) 触无穷远点奇 点量的计算。 应用递推公式( 2 1 7 ) 、( 2 1 8 ) 对系统( 2 2 3 ) 舢进行计算和化简得： 定理2 1 对系统( 2 2 3 ) 脚及任意自然数所，无穷远点的奇点量。可由下列递推式 确定 = 1 ；当口= 或a o 2 p o 时，c a p2 0 ； 当口删， c 口82 页万兰面“3 c r - 4 1 3 + 2 4 ) 巳- 2 0 , f l - 2 2 1 - ( 3 a - 4 f l + 2 1 ) ，吃一2 】6 + 【( 3 口一4 + 1 4 ) q o - ( 3 f l - 4 a + 1 4 ) b l o 】吒一2 1 ，一2 1 ( 2 2 9 ) + ( 3 口一4 f l + 2 1 ) a l l 吒一1 7 ，一1 8 一( 3 一4 口) 岛o c o 一1 3 ，卢一1 5 一( 3 p 一4 a + 14 ) b l1 c a 1 8 口一1 7 + 【( 3 口一4 f l + 7 ) a 2 1 一( 3 一4 c t + 7 ) 6 2 l 】吒一l4 胪1 4 + 【( 3 甜一4 f 1 ) a 3 2 一( 3 p 一4 a ) 8 3 2p 球一7 。卢一7 一( 3 3 4 a t + 21 ) b 0 3 一1 6 ，夕一1 2 一( 3 j 一4 a + 21 ) b 0 1 一2 2 芦一2 0 + ( 3 口- 4 f 1 ) a 3 0 气1 5 - 1 3 ) m = ( 3 - m ) a o l 白一2 0 。7 2 2 + ( 3 一m ) a 0 3 c 7 m 一1 2 ，7 m 一1 6 + 【( 2 一朋) 呸。- ( 2 一埘) 6 l 。】c 7 。一2 i 7 。一2 l + ( 2 一r e ) a tl c 7 m 1 7 ，7 1 8 + r o b 3 。c 7 。一1 3 。7 。一1 5 一( 3 一m ) b o l c 7 ，。一2 2 ，7 。一1 7 ( 2 3 0 ) h ( 1 - m ) a 2 1 - ( 1 一m ) b 2 1p 7 晰书砌- 1 4 一聆船3 0 q m 一1 5 ，1 m 一1 3 一，刀( q 2 - 6 3 2 ) c 7 。7 7 一7 一( 3 一m ) b 0 3 c , 肼一1 6 ，7 m 一1 2 证明：根据引理2 6 ，沿着系统( 2 2 3 ) 删的轨线，( 2 2 5 ) 式对丁微分得到 万d f = 砉( 刑) 2 _ 锄【( 警z 一警w ) + 篇。】 ( 2 3 1 ) 第二章一类具有四个大振幅极限环的七次多项式系统 这里 誓z 一监w ：主( a - 咖p ，oa z w 怎1 m 一舛 1 z “，卢= 【( ( 7 嘲 e ：。a k , j _ - - ( 堕w + ( 7 - 4 m 。莓。6 j 矽“w 州 + 【( 垄州1 5 - 4 m 玩锄) z ：。a k , j _ i - ( 等w + ( 1 5 - 4 m ) k ： 。萎。矿+ 1 2 w 川2 + 【( ( 2 3 - 4 m 玩加) 州) ：a k j _ i - ( 等叫2 3 - 4 m 玩_ 4 2 ) 。莓：矿+ 2 0 w + 2 。 = z a w 户 ( c r - k - 4 m + 3 ) a k - l - ( f l - k - a m + 3 ) b j 卢1 】气m 州- 2 s 棚一心8 由式( 2 2 6 ) 、( 2 3 1 ) 知，对任意的位，0 ，当口时，取= 芳芝及沏) = 西们。，即得定理 的证明。 2 4 系统的奇点量与极限环分支 应用递推公式( 2 2 9 ) 、( 2 3 0 ) ，我们利用m a p l e 软件对系统( 2 2 3 ) 脚无穷远点奇点量 进行计算和化简得： 定理2 2 系统( 2 2 3 ) 舢无穷远点的奇点量如下： “= 岛2 一a 3 2 ， 鸬= 包l 一口2 l ， 0 2 7 。- a l o (232)0 段= 地= 熊= ， 、 鸬= a 3 。一配， 心= o ( m 8 ) 故由定理2 2 ，我们不难得到 定理2 3 系统( 2 2 3 ) 占：。无穷远点的前7 个奇点量均为零，当且仅当下列条件成立： q o = b j 。，哆l = 6 2 。，呜2 = 吃：，a 3 0 = 6 1 2 6 3 。( 2 3 3 ) 证明： 1 2 西北大学硕士学位论文 文献【2 5 】给出了无穷远点的基本l i e 一不变量的定义，并证明了奇点量结构定理和广义 对称原理。因此，为了获得系统无穷远点成为中心和最高阶细焦点量的条件，我们需要找 出系统( 2 2 3 ) 占：。的所有基本l i e - 不变量。用文献【2 5 】中的方法得到： 引理2 7 系统( 2 2 3 ) 脚恰有l o 个基本l i e 一不变量： q l ，乞1 ，a , o ，魏o ，0 3 2 ，毛2 ，a l i 岛1 ，a 3 0 屯o ，口 吩o ，配6 3 0 由定理2 3 和引理2 7 得： 定理2 4 系统( 2 2 3 ) 舢无穷远点所有奇点量均为零的充分必要条件是系统( 2 2 3 ) 脚 无穷远点的前7 个奇点量均为零，即定理2 3 的条件成立因而定理2 3 中的条件即为系统 ( 2 2 3 ) 占：。无穷远点的广义中心条件 证明：必要性是显然成立的充分性的证明则可由文献 2 5 o e 奇点量结构定理和广义 对称原理及引理2 7 很容易推导出来是显然成立的 推论2 1 系统( 2 2 3 ) 跚的伴随系统( 2 1 5 ) 脚的无穷远点为中心，即在赤道环的邻域充 满闭轨的充分必要条件是定理2 3 的条件成立 由定理2 2 、定理2 3 和定理2 4 容易得到： 定理2 5 系统( 2 2 3 ) 绷的无穷远点为7 阶细焦点，即“= 鸬= = , u 6 = o ，鸬0 的充 分条件是 a 3 z2 以z ，q 。= 6 1 。，呸= 6 2 ，a 3 0 a 2 1 一以。配o ( 2 3 4 ) 且细焦点的最高阶数为7 阶。 推论2 2 系统( 2 2 3 ) 脚的伴随系统( 2 1 5 ) 跚的无穷远点为7 阶细焦点的充要条件是 ( 2 3 4 ) 式成立，且细焦点的最高阶数为7 阶。 由定理2 2 和定理2 5 以及文献【1 8 】中的极限环分支理论，我们不难得到： 定理2 6 系统( 2 2 3 ) 的伴随系统( 2 1 5 ) 当万作微小扰动时能够在无穷远点的充分小的 邻域内分支出4 个极限环。 2 5 本章小结 本章主要研究了一类七次多项式系统的无穷远点的奇点量、中心条件和极限环分支 1 3 第二章一类具有四个大振幅极限环的七次多项式系统 问题，给出了系统的前7 个焦点量和无穷远点为中心的条件，从而我们得到了此类系统 比较完整的结论与参考文献【3 1 】所研究的系统相比较而言，由于系数的不同，所以所得 到无穷远点的奇点量的公式是不同的，进而计算出的奇点量是不同的，从而分支出的极 限环个数是不同的。然而对于此类多项式的研究仅限于理论讨论，还未能给出一个实例 来加以说明极限环分支的具体情况，因而这有待于进一步的学习和讨论。 1 4 西北大学硕士学位论文 第三章一类五次多项式系统的h o p f 分支 3 1 问题的引入 著名数学家d h i i b e r t 于1 9 0 0 年在第二次世界数学家大会上提出了其著名的 2 3 个问题，其中在他的第1 6 个问题中提出研究平面n 次多项式微分系统的极限 环分布和个数，引起了数学工作者的广泛关注。虽然大量的学者在这方面做了许 多工作，并且得到了许多重要的结果，文献 3 2 】归纳了1 9 9 5 年以前对此问题研究的 主要结果但是，这一问题至今仍未得到彻底解决 对于下面一类系统 2 y ( 3 1 ) = 一1 + x 2 + 1 y + 2 砂+ t 3 x 3 y + 4 2 4 y 文献研究了系统( 3 1 ) 的有限远奇点彳( 一1 ，0 ) 的奇点类型和焦点量，进而利 用h o p f 分支理论研究了该系统分支出极限环的个数问题 谢向东、张剑锋在文献【3 3 1 中不仅提出了相伴系统的概念并分析指出了多项式 系统与其相伴系统之间在定性结构上的异同点。由此而知，当一个多项式系统的 定性结构已知时，研究它的相伴系统的结构将是十分有意义的。在此基础上，本 文提出了广义相伴系统的概念。 对于以原点o ( o ，o ) 为焦点的平面多项式微分系统 = p ( x ，y ) ， = q ( x ，少) ( 3 2 ) 其中p ( x ，j ，) ，q ( x , y ) 为x ，y 的多项式，p ( o ，0 ) = q ( o ，0 ) = 0 将系统( 3 2 ) 加以改造，即添上一些不变直线( 实的或虚的) ，得到系统 三三羔竺6 + z ( j ，”或t f | | ；d r 三三三：6 + z ( x ) ) c 3 3 ， 出一班妙一旃 出一衍砂一魂 第三章一类五次多项式系统的h o p f 分支 其中z ( r ) ( 或z o ) ) 为实系数，次多项式，( b 0 ) 。 定义1 2 4 称系统( 3 3 ) 为系统( 3 2 ) 的广义相伴系统，称( 3 2 ) 为( 3 3 ) 的导出系 统，也称( 3 2 ) 与( 3 3 ) 为一对广义相伴系统。 本文就是利用这一思想，研究了系统( 3 1 ) 的广义相伴系统 a x 1 石2 y + 厂 (34)a d y t = - - i + x 2 + , t l y + , t 2 础+ d 3 x 3 y + 4 x 4 y 、 其中肛( f = 1 , 2 ，3 ，4 ) 是小参数。 经过分析，当。= ：= ，= p 4 = 0 时，系统( 3 2 ) 在有限平面内只有两个奇 点：彳( 一1 ，0 ) 、b ( 1 ，0 ) ，其中彳( 一1 ，o ) 为中心，b ( 1 ，0 ) 为鞍点为了讨论上的方便令 蟊= x + 1 ，仍以x 记i ，则系统( 3 2 ) f 1 6 为如下系统 妄= y a 衍y = 一2 x + ( “一2 一3 + 4 ) 少+ x 2 + ( m 2 + 3 鸬一4 p 4 ) x y ( 3 5 ) + ( 6 a t 4 - 3 u 3 ) x 2 y + ( 3 4 1 g ) x 3 y + 4 x 4 y 系统( 3 5 ) 在o ( o ，o ) 点有一对纯虚根的条件为。一：一，+ 4 = 0 再令 x = 去i ，d f = x 2 d t ，仍以x 记；，则在“一t 2 一t ，+ 化= 0 的条件下，系统( 3 5 ) 变 二 为 了d x = y + y 3 ：y + p 3 口f 万a y = - - x + z 2 + l ( , u 2 + 3 , u 3 - 4 d 4 ) 砂十丽1 ( 6 1 4 - - 3 1 3 ) x 2 y ( 3 6 ) + - - 三( 3 - - 4 , 4 ) x 3 y + 硒1 1 4 x