（运筹学与控制论专业论文）不完全信息下的风险最小复制策略.pdf

摘要 本文研究不完全信息下的风险最小复制问题。在已有的文献中，在讨 论此问题时，对获取信息有花费的情形没有作过深入的研究。然而在现 实生活中，这种假设是合理的，因为投资者为获取市场的信息，必须要花 费一定的功夫或者从中介机构手中得到，所以研究此问题是有必要的。 本文就此问题展开了讨论。 文章首先考虑的是获取信息无花费，且假定投资者只能获取市场中 部分信息的情形。随后我们考虑了获取信息有花费的问题。在考虑这一问 题时，本文分别考虑了完全信息和不完全信息下的风险最小复制策略。 本文将告诉我们：在适当条件下风险最小复制策略是存在唯一的。 本文的结构安排如下：第一节是引言；第二节给出信息获取无花费的 一般模型和本文所需要的基本概念；第三节讨论信息获取无花费时不完 全信息下的风险最小化；第四节考虑了信息获取有花费的情形。此时以 往定义的累积补偿过程不能直接应用，为此我们把累积补偿过程的定义 进行了一定的拓展；第五节考虑信息获取有花费时不完全信息下的风险 最小化。 关键词：复制，风险最小策略，不完全信息，信息获取有花费，累积 补偿过程。 1 1 1 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w ep r o v i d eac o n s t r u c t i o no f r i s k m i n i m i z i n g d u p l i c a t i n gs t r a t e g i e si nt h ec a s ew h e r et h e r ea r er e s t r i c t i o n so nt h ea v a i l a b l e i n f o r m a t i o n w er e s p e c t i v e l yd i s s c u s st h es i t u a t i o nw i t ho rw i t h o u t c o s tf o rr e c e i v i n gi n f o r m a t i o n u n d e rp r o p e rc o n d i t i o n sw ep r o v et h a t t h e r ee x i s t sau n i q u er i s k m i n i m i z i n gc o p ys t r a t e g y k e yw o r d s ：o p t i o n ，d u p l i c a t i n g ，r i s k m i n i m i z i n gs t r a t e g y ，p a r t i a l i n f o r m a t i o n ic u m u l a t i v ec o s tp r o c e s s 常用符号 符号汇编 n 维实数空间 v ( 对于) 所有 ( n ，f ) p )概率空间 ( n ，e ，p ) 带流的概率空间，= 五k o e ( 随机变量) 的数学期望 一( f )由( 随机变量) 产生的一代数 五一一一域流，的左极限，五一= a ( u 五) s m 2 ( q ，)关于q 平方可积p 鞅构成的h i l b e r t 空间 三，( 野，0 )而可测，p 次q 可积的随机变量的全体，它的元素z 赋予范 数i i lj 口= ( e 白i $ i ) 1 9 + o c ( 1 p + o 。) ( ，)平方变差过程 ( ，) 日内积空间h 中的内积 h - a 可测过程h 关于有限变差过程a 的积分 妒x 可测过程x 关于，的可料投影 肛一有限变差过程a 产生的测度 卢旷测度肛关于，的可料投影 a 妒 可积有限变差过程a 关于，的可料对偶投影 0 为一个固定的时界假定市场中存在等价鞅 测度q ，且假定市场中恰有两种资产，一种为无风险资产，价格始终为1 ；一种为风险资产， 价格过程s ( ) 在等价鞅测度下0 下为一个r c l l 平方可积鞅 定义21 空间l ；( o ，t ；q ，s ) 包含一切实值p 可料过程( ) 满足： ，t e q 2 ( “) d ( s ) 。】 。， j u 其中，( s ) ( s ，s ) 为s ( ) 的平方变差过程 定义2 2 称过程y ( ) ：= ( ) s ( ) 十q ( ) 为财富过程，如果它满足：e o s u pj y ( t ) i ) 2 o o ， 且y ( ) 为r c l l 的其中，( ) 三多( o ，t ；q ，s ) ，q ( ) 为7 - 适应的，f ( t ) 与”( t ) 分别为时 刻t 投资者拥有的风险资产与无风险资产的数量 时刻t 的总财富为v ( t ) ，由定义2 2 ，于是，形式上，我们有 d v ( t ) = s ( t ) d ( t ) + d r ( t ) + f ( t ) d s ( t ) ，( 2 1 ) 在( 2 1 ) 中，右端第三项是由于风险资产价格瞬时变化导致的财富变化而前两项则表示资 金的瞬时注入或抽取导致的财富变化我们用c ( t ) 代表 o ，t 上的累积补偿，它是从初始时 刻0 到时刻t 之间注入资金或抽取资金的累积和，并且它是r c l l 的，一_ 适应过程因此， 由定义2 2 和( 2 1 ) ，我们应有 d v ( t ) = d c ( t ) + ( t ) d s ( t ) ， 从而，我们有 y ( t ) 一矿0 ) = c ( t ) 一g ( 5 ) + f ) d s ( “) ，0 s t t ， j8 特别地 v ( t ) = v ( o ) 十e o ) 一c ( o ) + ( “) d s ( “) ， j 0 由于c ( o ) 为初始的资金注入( 或抽取) ，它应该恰为初始财富，故v ( o ) = a ( o ) ，从而 ，t v ( t ) = g ( t ) + ( u ) d s m ) ( 2 , 2 ) j 0 2 这样y ( ) 有两个表达式，由此可知( ) ，q ( - ) 和g ( ) 不是独立的，它们满足约束： ( t ) s ( t ) + 叩( t ) = c ( t ) + f ( u ) d s ( u ) ， j 0 所以有 ( z ) = g ( ) + z ( u ) d s ( “) 一( t ) s ( t ) ( 2 3 ) 由( 2 3 ) ，我们只要有了( 一) 与g ( ) ，那么我们就可以得到q ( ) ，因此我们定义，一策略如下 定义2 3 称( ( ) ，g ( ) ) 为一个，一策略，如果它满足：f ( ) 三 ( o ，t ；q ，s ) ，g ( ) 为 r c l l 的，- _ 适应过程由定义2 1 与定义2 2 可知g ( ) 为平方可积过程 定义2 4 ，给定h c 2 ( 乃、，q ) ，称5 r _ 策略( f ( ) ，g ( ) ) 为h 的一个复制策略，如果它满 足： v ( t ) = h ( 2 4 ) 定义2 5 称5 r _ 策略( ( ) ，g ( - ) ) 为自融资的，如果它满足： c ( t ) = 矿( o ) ，vt 0 ，卅 命题2 6 一个j r - 策略( f ( ) ，g ( - ) ) 为自融资的，当且仅当 r v ( t ) 一y ( s ) = f ( “) d s ( “) ，v0 s t t ( 2 5 ) 证明：我们先证命题的必要性若策略( ( - ) ，g ( ) ) 为自融资的，则有 c ( t ) = v ( o ) ，v t 0 ，明 因此由( 2 2 ) ，对任何0 s t s t ， c ( 8 ) 一7 ( u ) a sc u ) 下面我们证命题的充分性若对任何0 s t 墨t ， 即) 一m ) = ，洳) 蚓“) 由( 2 2 ) ，则有，对任何0 s tst ， c ( t ) 一g ( s ) = 0 ， 3 s “脚 y + 江 ”序 y | f j | 特别地 c ( t ) ；c ( o ) = y ( o ) ，v t 0 ，卅 本命题得证 定义2 7 给定h c 2 ( 乃，q ) ，称日为可套期保值的，如果存在策略( f ( ) ，g ( ) ) 使得 y ( t ) 2 日， ( 2 6 ) c ( t ) = y ( o ) ，v t 0 ，卅 并称策略( f ( ) ，g ( ) ) 为日的一个套期保值策略 综合定义2 4 ，2 5 和2 7 可知，( ( ) ，g ( ) ) 为日的一个套期保值策略当且仅当它是日的 一个自融资的复制策略值得注意的是，由定义2 4 ，任何未定权益h 总是可复制的，因 为可以通过选择适当的g ( t ) 但是复制策略( ( ) ，g ( ) ) 未必是自融资的 我们定义策略( f ( ) ，g ( ) ) 的f 一风险过程为 冗( t ；f ，c ) = e q ( c ( t ) 一g ( t ) ) 2 五】 一f 2 7 ) = ( y ( t ) 一f m ) d s ( “) 一y ( t ) ) 2 1 五 ，0 t t 它在某种程度上刻画了在任何剩余时区p ，t 上资金注入和抽取的频繁程度理性的人们当 然希望尽量减少不必要的资金注入和抽取 一个f 一策略描述的是这样的动态组合：f ( t ) 为时刻t 所拥有的风险资产的数量，c ( t ) 为从初始时刻0 到时刻t 的累积补偿，那么v ( t ) 就是时刻t 所拥有的财富，它是当前累积 补偿加上风险资产价格变动带来的收益随机变量日称为未定权益，它代表的是未定权益 出售者在未定权益到期时刻t 的潜在支付当财富过程y ( ) 不必满足任何约束时，总可取 e ( ) ；c ( o ) ，从而，- - 风险过程恒为零( 此时j - _ 策略( ( ) ，g ( ) ) 为自融资的，因此，对于自 融资策略，一- 风险过程为零) 而当y ( ) 需要满足某些约束时，比如要求v ( t ) = h ( 即，一 策略( ( ) ，e ( ) ) 为日的一个复制策略) ，则，一风险过程可能非零不过当市场完备时( 即任 何未定权益均可套期保值) ，则p 一风险最小策略是自融资的，从而它对应的，一风险过程恒 为零 定义2 8 称f - 策略( 亏( ) ，虿( ) ) 是f 一风险最小策略，如果对任何，- 策略( ( ) ，g ( ) ) ， 以及任何t 0 ，列，只要 i v ( t ) = y ( t ) ，q o 3 ， f ( s ) = i ( 8 ) ， s t ，( 2 8 ) ie ( s ) = c ( 8 ) ，s t ， 4 就有 兄( t f ，c ) r ( t ；，e ) ，q a8 命题2 9 一个户策略( ( ) ，召( ) ) 为，。风险最小策略，当且仅当 r ( t ；，c ) r ( t ；f ，g ) ， qa 8 对任何t 0 ，明，任何f - 策略( ( ) ，g ( ) ) 满足v ( t ) = 矿( t ) 证明：由定义2 8 可得命题的充分性下证必要性若存在 o ，卅和，一策略( 虱) ，口( ) ) 满足矿( t ) = 矿( t ) ，q 一，有 r ( 毛孛) 0 ， 在时刻r ( 0 ) 开始观测价格，如果在r ( 1 ) 时刻价格首次离开区间p ( ) 一，s ( 伯) + 】，就在 这一时刻上写一个符号x 或o ，价格达到上界就写x ，否则写0 然后以7 ( i ) 替换r ( o ) ，重 复以上过程，我们就得到时刻( r ( 女) ) 和每个时刻所对应的符号这样得到的表格称为p o i n t a n d f i g u r ec h a r t 值得注意的是通过这种筛选，一些小的，不显著的价格变动信息就被 去掉了，只留下了一些重要的价格信息，通过这些信息，我们构造策略，这就是p o i n ta n d f i g u r ec h a r t 技术分析，上述的股票价格样本法常用于此类技术分析之中( 详见f 3 ) 因为观测s ( t ) 与观测其对数值l ( t ) = l o g s ( t ) 是等价的，由假设投资者只能在随机时刻 r ( ) 观察测到三( t ) 我们用一代表不晚于t 时刻且离t 时刻最近的可以观测到风险资产价 格的时刻，即 一= m “ r ( i ) 吐( 3 9 ) 8 u 一 h 协班= 他p 仉二二c ，) = u = 批柑科 于是投资者所获得的信息集 元) 为 五：a ( 三( ) ，r ( i ) t ) ，乒 = 口 工( t ( i ) ) ，r ( i ) t ，l t ( 3 1 0 ) 值得注意的是( 见 2 ) 不完全信息下的风险最小复制策略可以通过把完全信息下的风险 最小复制策略作投影而得到，因此，我们下面首先讨论完全信息下的风险最小复制策略， 然后再拓广到不完全信息的情形这一节中我们只考虑形如日( s ( t ) ) 的未定权益，其中 命题3 1 假定护，b ，“h ，满足一定的条件( 参见附录定理4 ) 函数，。( t ，s ，y ) 在 o ，t x 0 ，o o ) r 上满足方程 + 帮n 口+ ( s 2 ，品2 十岛6 2 + 2 s 儡砷p ) = o 在 0 ，卅 0 ，o o ) r 上， ( 3 1 1 ) if q ( t ，s ，y ) ；h ( s ) 在 0 ，o 。) 爬上 则产风险最小复制策略为( ( ) ，虿( ) ) j 确= 詹( 啪( 味y ( t ) ) + 9 ( 吼6 p 彤) ( 埔( 吼y ( 呦， (312),t l虿o ) = f q ( o ，s ( o ) ， ，( o ) ) 4 - f ( 弗6 1 一p 2 ) ( ，s ( u ) ，y ( “) ) d w 2 ( “) 且此时的，一_ 最小风险为 月( f ；i ，虿) = 场( ( ( ，罗6 、7 可) ( “，s ( n ) ，y ( “) ) 2 d “l y 4 ( 3 1 3 ) 其中( s ( ) ，y ( ) ) 为( 3 6 ) 的解，而 9 ( 。) 2 丽砥桶 ( 3 1 4 ) 证明：对f q ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) 运用伊藤公式把它写成随机微分方程的形式，我们有 ：，口( 0 , s o , y o ) + z 丁即) ( 詹州t ，s ( 地y ( 圳d 形( t ) + j ( r ( 帮如) ( 屯s ( 味y ) d 两( t )j o ut 十 ( 帮6 、r = 孑) ( t ，s ( t ) ，l ，( t ) ) d w 2 ( t ) ju 一 + ，1 铲( ，s ( t ) ，y ( t ) ) + ( 帮。口) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) d 2 j 0 9 + ；s 2 ( t ) ( 厂品口2 ) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) + 2 s ( t ) ( f q ：b p ) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) d t + 正( ，咒6 2 户2 ) ( t ，s ( f ) ，y ( t ) ) 十( ，品6 2 ( 1 一p 2 ) ) ( t ，s ( ) ，y ( t ) ) d t = f q ( o ，s o ，y o ) + f ( 帮6 订二7 ) ( t ，s ( ) ，y ( t ) ) d w 2 ( t ) + 0( ( 。，s ( t ) ，y ( t ) ) + 9 ( t ) ( 6 p 锣) ( t ，s ( f ) ，y ( t ) ) ) s ( f ) 盯( t ，s ( t ) ，y o ) ) d w ( t ) + s f ( t ，s ( ) ，y ( ) ) + ( 帮口。) ( t ，占( ) ，l ，( ) ) d t + ；上 s 2 ( t ) ( 儡盯2 ) ( t ，s ( z ) ，y ( z ) ) + 2 s ( t ) ( 躜口b p ) ( t ，s ( t ) ，y ( ) ) d t + ；厂1 ( s t y b 2 ) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) 出 ( 3 1 5 = f q ( o ，岛，y o ) + f ( 腰6 万二_ ) ( t ，s ( ) ，y ( t ) ) d w 2 ( t ) + 上( s z ( t ，s ( t ) ，y ( ) ) + g ( t ) ( b p f q ) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) d s ( t ) + ts p i t ，s ( t ) ，( t ) ) + ( 帮o 。) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) d t + ；zs 2 ( t ) ( 恩) ( ，s ( t ) ，y ( t ) ) + 2 s ( t ) ( 巷口6 p ) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) d t + ( ，品6 2 ) ( t ，s ( t ) ，y ( ) ) d t j0 由假定i q ( 。，s y ) 在i o 刁 0o 。) 皿上满足方程( 3 1 1 ) ，那末( 3 1 1 ) 与( 3 1 5 ) 合起来显然 有 h ( s ( t ) )= f q ( t ，s ( 丁) ，y ( t ) ) = f q ( o ，荆，l ，( o ) ) + o(锣6订二)(t，刚，y()dw0 2 ( t ) f 3 1 6 ) m 、 o 1 ”， + 上( z 2 ( t ，s ( t ) ，( t ) ) + g ( t ) ( b p f q y ) ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) ) d s ( t ) 这里，口( o ，s ( 0 ) y ( o ) ) 马上( 锣6 印) ( t ，s ( 巩y ( 啪d w 2 ( t ) 为q 一鞅，正交于q 一鞅 s ( ) 由( 2 9 ) ，可知( 3 - 1 6 ) 就是日的g - k - w 分解，因此我们可以得到( 3 1 2 ) 和( 31 4 ) 这时 于是本命题得证 兄( t ；i ，_ ) = ( 衅一衅) 2 = ( ! ( 肪厕( u ，s ( u ) ，y ( “) ) d w 2 ( 。) ) 。i 五 俦 。一“ =eqi(帮6、f_)(，s(u)，k)2d“阿, 1 0 接下来我们希望求出，一风险最小复制策略对此问题s c h w e i z e r 在1 9 9 4 年有下面的结 定理3 2 对于给定h c 2 ( 岛，q ) ，存在唯一的乒一风险最小复制策略( 虱) ，0 ( ) ) ： 愫黛戮e q h 邓幅“脚 慨 l g ( ) = f ( t ) s ( t ) + 一f ( ) s ( t ) j 五 一f ( u ) d s ( u ) 其中j ( ) 为5 - 风险最小复制策略的分量 由命题3 1 ，我们已经得到了卢风险最小复制策略( i ( ) ，口( ) ) ( 见( 3 1 2 ) ) ，因此乒一风 e q c y 2 i t ，s ( t ) ，y ( t ) ) 铲( t ) ( t ) j 元一 根据我们的模型，投资者在相领的停时之间不收到显著的信息，因此我们假设投资者 只在停时时刻才改变其投资策略中的虱) ，这样虱) 就是分段常值的即可，设其为虱) = l 。1 i r a ，( 。) 荆州删( ) - ( 3 1 9 ) 4 信息获取有花费的情形 现在我们考虑获取信息需要花费的情形也就是说投资者要知道市场的信息，必须要 支付一定的费用我们首先考虑支付一定的费用获取全部信息的情形这种费用是事先给 定的，就像买报纸一样，每种报纸的价格是事先给定的，你要获取报纸上的信息必须要支付 一定的费用 给定适应过程n = ( ( t ) ) o ! t s t ，它表示投资者的累积支付过程，为平方可积的r c l l 过程，且它的样本函数以概率l 单调不减对任意的0 s t t ，( t ) 一( s ) 代表投资者 为获取( s ，t j 上全部信息所要支付的金额假定( o ) = 0 ，且假定风险资产的价格过程s ( ) 为关于( ，0 ) 的r c l l 平方可积鞅 警 幽襻 一 塑郾塑城邀 萋 由于信息的获取是有花费的，因此时刻t 的财富y ( ) ，应该解释为投资者在时刻t 支付 完【0 ，t 上全部信息获取费用后所拥有的财富从而，在( t ，t + 胡上 y ( 。+ d ) 一y ( 。) ( 4 1 1 = c ( t + 6 ) 一c ( t ) + ( ) ( s ( t + 5 ) 一s ( t ) ) 一( n t + d 一( t ) ) ， 这里( t ) s ( t + j ) 为 t ，t + d ) 上所持有的风险资产在时刻t + 5 的市值，( t ) s ( t ) 为时刻t 所 持有的风险资产的市值，这两项相减代表在( t ，t + 卅上相应于风险资产价格变动带来的收 益；c ( t + d ) 一c ( t ) 代表( t ，t + 司上的累积补偿；n ( t + d ) 一n ( t ) 代表投资者为获取( t ，t + 圳 上的信息所要支付的费用那末由( 4 1 ) 我们可以得到 d v ( t ) = d c ( t ) + ( ) d s ( t ) 一d n ( t ) ， = e 白 ( y ( ? ) 一y ( t ) 一 (让)ds(u)+(t)一(t)217dft 、3 ( 4 ) 蚤篓 a ， 24 0 +usd 吣f r 一 矿 y = l | 砷( e 口 有以所 对任何t 0 ，纠，任何，一- 策略( ( ) ，a ( ) ) 满足v ( t ) = 矿( t ) 其证明与命题2 9 相同 现在，我们叙述在信息获取是有花费的情况下，在完全信息下，复制策略风险最小化问 题 问题( m e ) 在信息获取是有花费的情况下，给定h l 2 ( j ：r ，q ) 与n ，寻找h 的产 风险最小复制策略 命题4 3 给定，对任何，- _ 策略( f ( ) ，g ( ) ) ，定义 j( t ；，c ) = e q f y ( t ) l 五 ，q 一。s ，0 s t t ， 【h ( t ) = e q 【( t ) 矧，q m s ，0 t 茎t 对任何t o ，司，构造虿( ) 如下， g ( s ) = g ( s ) + 噼( s ；，c ) 一y 0 ) 十 ( s ) 一( s ) m ，卅( s ) 则策略( ；( ) ，虿( ) ) = ( ( ) ，刁( ) ) 满足 v ( t ) = y ( t ) ，q o s ， 虿( t ) 一百( s ) 1 只 = 0 ，q o s t ， r ( s 高c ) 且( s ；享，虿) ，q a s t ， 证明：固定t 和f ( ) ，g ( ) ，由( 4 7 ) ，显然有( 4 8 ) 成立而当s t 时 我们可以得到 u ( t ) 一虿( 3 ) = v ( t ) 一v ( s ) + n ( t ) 一n ( s ) ，t 一脾0 ；f ，g ) 一y ( s ) + ( s ) 一( s ) 一f ( 钍) d s ( “) 饵 = 矿( t ) 一( s ；f ，g ) 一 0 ) + ( t ) 一f ( t ) d s 托) ， 由( 4 6 ) 与( 4 1 1 ) ，我们有( 4 9 ) 成立而( 4 1 1 ) 又等于 ( 4 6 ) ( 47 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 由( 4 2 ) 与( 4 7 ) ， ( 4 1 1 ) c ( t ) 一g ( s ) + 0 ) + y ( s ) 一( 8 ) + 七( s ；，g ) ) ， 又由( 4 1 1 ) 与( 4 1 2 ) ，显然有 ( c ( t ) 一c ( s ) ) 2 = ( 虿( t ) 一才( s ) ) 2 2 ( 虿( t ) 一百0 ) ) ( ( s ) + y ( s ) 一 ( s ) 一女( s ；，e ) ) + ( ( s ) + y 0 ) 一 0 ) 一k 0 ；f ，g ) ) 2 1 3 f 4 1 2 1 ( 4 1 3 ) 那么由( 4 3 ) ，( 4 9 ) 和( 4 1 3 ) 可知 r ( s ；手，虿) 十e d ( v ( s ) + ( s ) 一 ( s ) 一七( 5 ；，g ) ) 2 l 兀 = r ( s ；f ，g )( 41 4 ) 由( 4 1 4 ) ，( 4 1 0 ) 显然成立于是本命题得证 命题44 给定n ，若策略( ( ) ，g ( ) ) 是f 一风险最小策略，则e ( ) 是t - 鞅 证明： 像上面命题一样构造策略( i ( ) ，百( ) ) = ( ( ) ，虿( ) ) ，这时令t ：0 ，因为策略 ( ( ) ，a ( 。) ) 是，_ 风险最小策略，由( 4 1 4 ) 可得y ( ) + ( - ) 与 ( ) 十 ( ；f ，g ) 是互为修正( 见 附录定义5 ) ，又都是r c l l 的，所以是无区别的( 见附录定理6 ) 所以我们有 c ( t ) = v ( t ) 一( “) d s ( “) + n ( t ) 。乳 = y ( t ) 一， ( “) d s ( 珏) 一( y ( t ) + ( ) ) + ( h ( t ) - i - 七( 乇，g ) ) + n ( t )( 4 1 5 ) ，t 。u z 如) 酊( ) “) ， 而( ；f ，g ) ， ( ) ，( “) d s ( u ) 为f - 鞅于是本命题得证 定理4 5 给定与h 2 ( 而，q ) ，令h + n ( t ) 的g - k w 分解为 日+ ( t ) ：咿州t ) + f t p 咐( t ) d s ( t ) + m h + 【r ( r ) ，( 4 1 6 ) j 0 则问题( m g ) 存在唯一的h 的户风险最小复制策略( 虱) ，蚕( ) ) ，且由下式给出 虱t ) = f 日+ ( t ( ) ， o ：铲州r ) + m 刚( t m ) ， 。1 7 且此时的，一_ 最小风险为 兄( t ；0 ) = e q ( m h q - n ( t ( t ) 一 彳h + ( t ( t ) ) 2 i 五】( 4 1 8 ) 证明：我们首先证明h 的f 风险最小复制策略的存在性由h + ( t ) c 2 ( 乃，q ) ， 我们可得它的g - k w 分解为( 4 1 6 ) 其中诏+ ( t ) 豫，m h + _ ( 丁( ) m 2 ( q ，) ，满足 e q m h + ( 7 ( o ) = 0 ，m h + ( t ) ( ) 正交于s ( ，) 由( 4 1 6 ) ，我们就可以得到 阻十( t ) ：铲州t ) + 厂。f h + v ( t ( u ) d s ( “) 十m h + ( 即( t ) ，q m 虬( 41 9 ) j 0 因此由( 4 1 9 ) ，我们可以把( 4 1 6 ) 改写成 日+ ( t )= v + ( t ) + 1f h + ( t ( t ) d s ( t ) + m + v ( f ( t ) = e 。 j 丁+ ( t ) 五】+ t j = + ( t ) ( “) d s ( ) ( 4 2 0 ) 十 彳盯十。( t ) ( t ) 一m 日+ v ( r ) ( t ) ， 由( 4 2 ) ，( 4 1 6 ) 和( 4 2 0 ) ，对日的任何一个复制策略( f ( ) ，g ( ) ) ，我们可以把c ( t ) 一g ( ) 写成 ，t c ( t ) 一g ( t ) = h 一f ( u ) d s ( u ) + n ( t ) j o r t y ( t ) + f ( u ) d s ( “) 一n ( t ) = 日+ ( t ) 一1 ) d s ( 让) 一矿( t ) 一v ( t ) ( 42 1 ) 几 ，t = e q h + ( t ) 1 五】+ ( h + ( t m ) 一 ( u ) ) d s ( 札) + m 日+ 。( r ) ( t ) 一m 日+ ( t ) ( t ) 一v ( t ) 一( t ) ， 而s ( ) ，m 十。v ( 丁( ) ，德日+ 1 v ( r ( 钍) 一f ( u ) ) d s ( u ) 为f 一鞅，m h 十。v ( t ( ) 正交于s ( ) ，因此由 ( 4 2 i ) ，我们可以得到 兄( t ；f ，a ) = ( e q 日+ n ( t ) f s c t 】一y ( ) 一( ) ) 2 + ( h + ( t 心) 一f ( “) ) 2 d ( s ) 。f 五】 ( 4 2 2 ) j t + e 。 ( 订日十( t ) ( t ) 一m h + ( t ) ( t ) ) 2 i 五】， 在( 4 2 2 ) 中，前两项与策略的选取有关，而最后一项与策略的选取无关，因此我们可以得到 月( ；f ，g ) e 。 ( 矿h + v ( t ( t ) 一m h + 。v ( t ( t ) ) 2j 五 = r ( i 己a ) ， ( 4 2 3 ) 其中虱) ，0 ( ) 由( 4 1 7 ) 给出这表明( 虱) ，0 ( ) ) 为日的一个，一风险最小复制策略，且此时 的，一最小风险为( 4 1 8 ) 下面我们证明，一风险最小复制策略的唯一性假设另外有一，一风险最小复制策略， 设为( ( - ) ，虿( ) ) ，由( 4 5 ) ，我们可知策略对日的任何一个复制策略( ( ) ，g ( ) ) 有 置( o ；f ，c ) 兄( o ；f ，g ) ， ( 4 2 4 ) 由( 4 2 ) ，我们可以得到 r r 2 硇 ( d ( ? ) 一e ( o ) ) 2 = e q ( h + ( t ) 一g ( o ) 一亭( “) d s ( ) ) 2 ， ( 4 2 5 ) j 0 】5 我们知道2 ( 厅，q ) 按范数忪怯( 厅剐2e q ( z 2 ) 成为h i l b e r t 空间，而 z ( “) d s ( “) lf ( ) l ；- ( 0 ，t ；q s ) ) 为c 2 ( 乃、，q ) 的线性子空间，所以由( 4 2 4 ) 可得到 场 ( 日+ ( t ) 一y ( o ) 一oe ( u ) d s ( u ) ) 上( u ) d s ( u ) = o ，( 4 2 6 r t ) r 而( 4 2 6 ) 等价于 e 。 ( 日+ n ( t ) 一o t 手( “) d s 沁) ) 上t f ( u ) d s 0 ( “) 1 = 。，( 4 2 7 ) j 0 再由( 4 z 6 ) ，( 4 2 7 ) 可写为 r i4 e q ( m 日+ ( r ( t ) + 睡h + ( t ( t 上) 一享( 仳) ) d s ( u ) ) ( u ) d s ( u ) 】= 0 ，( 4 2 8 ) j 0j0 而m 爿+ ”( ( ) 正交于s ( ) ，( 42 8 ) 可写为 础o t ( h - f n ( t 刊脚) ) z t 如脚) l _ 0 ，(429)0 e o ( u ) 一享( u ) ) d s ( 钍) ) ( ) d s ( 钍) 】= ， ( 4 j 在( 4 2 9 ) 中，取f ( ) 为日+ v ( t ) ( ) 一i ( ) ，我们就可得到 ( 日+ ( t ( “) 一手( u ) ) 2d ( s ) 。 = o ， ( 4 3 0 ) j 0 由( 4 3 0 ) ，我们有 舶= f 日+ ( r ( ) = 虱) ，q m n( 4 3 1 ) 又由假设( ( ) ，虿( ) ) 为h 的，一- 风险最小复制策略，由命题4 4 可知虿( ) 为了一- 鞅，因 此对v f 0 ，t i ，我们有 矽( t ) 一u ( t ) l j ：t = 0 ，( 4 3 2 ) 由( 4 3 2 ) 可得，对v t 0 ，卅，我们有 e q h 巧( 卅( t ) - ( 垆j ( ( 啪跏) 吲= o ， ( 4 船) 从而，我们得到对v t 0 ，明 v ( t ) = e q h + ( t ) 五】一( t ) ， ( 4 3 4 ) 由( 4 1 9 ) ，( 4 3 1 ) 与( 4 3 4 ) 可得，对v t 0 ，卅 刁( t ) = k 芦+ t 十m 嚣+ ( 丁( t ) = a ( t ) ( 4 3 5 ) 综合( 4 3 1 ) 与( 4 3 5 ) 可知，日的p 风险最小复制策略是唯一的本定理得证 值得注意的是当n = 0 时就退化到f b l l m e r 与s o n d e r m a n n 所考虑的情形，所以我们的 结果覆盖了他们所考虑的情形 上面我们考虑的是事先给定为获取全部信息所要支付的费用过程的情况下，风险最小 复制策略的存在唯一性下面我们将考虑投资者不能获取全部信息的情况下，风险最小复 制策略的存在唯一性 5信息获取有花费时不完全信息下的风险最小化 假设投资者只能在一些离散的随机时刻才能获取风险资产的价格信息，这时投资者为获 取信息所要支付的累积费用过程就不是事先给定的了我们用芦一适应过程n = ( ( t ) ) o 。t 代表投资者为获取信息所要支付的金额，它的样本函数是以概率1 单调不减且为r c l l 的 阶梯函数它的跳跃时刻与投资者所能观测到的风险