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3希尔伯特空间中的规范正交系,一规范正交系,主要内容,二傅里叶系数,三完全规范正交系,四Hilbert空间的同构,一规范正交系,其中,并且向量的长度,例1为维欧氏空间,则向量集,为中规范正交系,其中,例2在空间中,定义内积为,则三角函数系,正交系的基本性质.,(1)对正交系中任意有限个向量,有,事实上,由于中向量两两正交,所以,(2)正交系是中线性无关子集.,定义2设是赋范线性空间,是中的一列向量,是一列数,作级数,称为级数(3)的项部分和,若存在,使,则称级数(3)收敛,并称为级数的和,记为,若为中规范正交系,是,中有限或可数个向量,且,则对每个,自然数,由内积连续性,可得,所以,二傅里叶系数,所以内积空间中向量关于规范正交系,的傅里叶系数实际上是数学分析中傅里,叶系数概念的推广.,傅里叶系数的性质,引理1设是内积空间,是中规范正,交系,任取中有限个向量,则有,其中为任意个数.,证明因对任意个数,有,令,代入上式即得(1).,另一方面,由上式及结论(1)又有,由此知(2)成立.,证明如果中只有有限个向量,则由引,理1的(1)立即可得.当可数时,只要在引理,1的(1)中令,则可得(4)式.,(2)若,则,故,(3)对任何,级数收敛.,2019/12/15,19,可编辑,(2)前已证明.,证明因对,级数,收敛,所以.,下面讨论一般规范正交系的Bessel不等式.,的指标至多只有可数个.,至多为可数集.,由此可以形式地作级数,其中和式理解成对所有使的指标,相加,因此Bessel不等式可以写成,三完全规范正交系,定义4设是内积空间中的规范正交系,如果,则称是中的完全规范正交系.,完全规范正交系类似于维欧式空间中的,标准正交基.,定理3是Hilbert空间中完全规范正交系,的充要条件为对所有,成立Parseval等式.,证明充分性设Parseval等式对所有,成立,假设不完全,由定理2,存在.,所以对任何,有,由于对该,有Parseval等式,所以,即,这与矛盾.,必要性设是中完全规范正交系,对任何,设其非零傅里叶系数为,由引理2,级数收敛,设其和为,则对任何正整数,有,又对中一切使的向量,有,因此.由的完全性,得到,即,所以,由此得到,即Parseval等式成立.,所以,从而,由于是闭线性子空间,引理3设是内积空间中有限,或可数个线性无关向量,则必有中规范正交系,使对任何正整数,有,证明令,则,且,令,因为线性无关,所以,且.,令,则.且.,显然,.,如果已作了,其中,并且两两正交,满足,现令,由线性无关,知,如此一直作下去,即可得所要的规范正交系.,是向量在空间上的投影.,所以,由张成的线性空间包含,因此,即是中完全
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