（计算机应用技术专业论文）基于混沌理论和bp网络的气温预测技术与方法研究.pdf

摘要 较为准确的气温预报对农业生产，国防建设有着重要的意义。大气场中影响气温的因 素很多，温度变化具有长期的不确定性，具有典型的混沌特征，其短期具有一定的可预测 性。因此，预报短期的气温变化情况，是一个混沌现象预测问题。 论文以混沌理论中李雅普诺夫指数和b p 神经网络理论为支撑，以连云港地区气温数 据为时间序列实验样本，研究了李雅普诺夫指数预测理论和b p 神经网络预测方法在气温 预测中的应用。论文的主要工作包括： ( 1 ) 通过g - p 算法得到了合理的嵌入维数和时间延迟，运用相空间理论对温度时间 序列9 1 个数据样本进行相空间重构，重建温度系统的状态空间，建立预测模型。然后利用 w o l f 预测算法得到系统最大李雅普诺夫指数和相关预测值，实现了对短期气温的预测。预 测实验中，采用虚拟仪器编程技术，运用l a b v i e w8 6 开发平台，设计实现了李雅普诺夫预 测系统。经理论预测计算和对一天中最低最高气温预测实验结果观察，表明李雅普诺夫指 数预测方法在气温预测中具有较好的效果。 ( 2 ) 论文在对神经网络理论在气温预测应用的研究中，运用其自适应自学习能力，通 过拟合非线性函数，建立气温数据建模，对气温的时间序列进行了预测。通过网络训练学 习得出最佳的网络构成参数，并采用m a t l a b 编程作出了具体的网络构建，仿真，预测。 对实验得出的未来1 0 天的气温预测结果和实际气温相对比，证明了b p 网络有很高的预测 精度。这也说明了本文所建立的基于b p 神经网络的时间序列预测模型具有很好的预测能 力和较佳的推广能力。 ( 3 ) 将李雅普诺夫指数预测和b p 网络融合起来建立一个优化的b p 网络，对未来1 0 天的最低最高气温进行预测。最后，对论文中的三个预测实验的结果进行对比分析。 研究与实验表明，混沌理论和b p 神经网络能很好的应用于短期的气温时间序列预测 中。 关键词：时间序列，李雅普诺夫指数，b p 神经网络，预测 a b s t r a c t a c c u r a t e l yt e m p e r a t u r ep r e d i c t i o ni so fg r e a ts i g n i f i c a n c et oa g r i c u l t u r a lp r o d u c t i o na n d n a t i o n a ld e f e n s ec o n s t r u c t i o n i na t m o s p h e r ef i l e d ，t h e r ea r el o t so ff a c t o r s i n f l u e n c i n g t e m p e r a t u r e ，v a r i a n c e si nt e m p e r a t u r ep o s s e s sl o n gt e r mi n d e t e r m i n a t i o n , a n di ti so ft y p i c a l c h a o t i cc h a r a c t e r i s t i c s ，b u tv a r i a n c e si nt e m p e r a t u r ep o s s e s ss h o r tt e r md e t e r m i n a t i o n h o w e v e r , t h ep r e d i c t i o no fv a r i a n c e si nt e m p e r a t u r ei ns h o r tt e r mi sac h a o t i cp r e d i c t i o np r o b l e m i n t h i sp a p e r , ii n t r o d u c el y a p u n o ve x p o n e n tw h i c hb e l o n gt oc h a o t i ca n db pn e u r a l n e t w o r k t h e nu s et e m p e r a t u r er e c o r d si nl i a n y u n g a n gt ot i m es e r i e st e s ts a m p l e ，s t u d y l y a p u n o ve x p o n e n tw h i c hb e l o n gt oc h a o t i ca n db pn e u r a ln e t w o r k sa p p l i c a t i o ni na t m o s p h e r e t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w ： f i r s t l y , t h o u g hs t u d y i n gi ng - pa l g o r i t h mw eg e tap r o p e re m b e d d e dd i m e n s i o na n dt i m e d e l a y d op h a s es p a c er e c o n s t r u c tt ot h e9 1s a m p l e si nt e m p e r a t u r et i m es e r i e su s i n gp h a s es p a c e t h e o r y , r e c o n s t r u c tt h es t a t es p a c eo ft e m p e r a t u r es y s t e m a n db u i l dp r e d i c t i o nm o d e l n e x t , iu s e w o l fp r e d i c t i o na l g o r i t h mw o r ko u tt h em a x i m a ll y a p u n o ve x p o n e n ta n do t h e rp r e d i c t i o nv a l u e ， a n da c h i e v e dp r e d i c t i o no fs h o r tt e r mt e m p e r a t u r e i nt h ep r e d i c t i o ne x p e r i m e n t , ip r o g r a mb a s e d o n av h t u a li n s t r u m e n t u s i n gl a b v i e w8 6d e v e l o p m e n tp l a t f o r m ，id e s i g na n dr e a l i z ea p r e d i c t s y s t e mb a s e do nl y a p u n o ve x p o n e n t t h o u g hp r e d i c t i o nc a l c u l a t i o na n dt h ep r e d i c t i o nd a i l y m a x i m u m ，m i n i m u mt e m p e r a t u r e ，e x p e r i m e n t a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tt h ep r e d i c ts y s t e m b a s e do nl y a p u n o vi se f f e c t i v ef o rt e m p e r a t u r ep r e d i c t i o n s e c o n d l y , is t u d yt h a tt h ea p p l i c a t i o no fn e u r a ln e t w o r kt h e o r yi nt e m p e r a t u r ep r e d i c t i o n t h r o u g hi t ss e l f - l e a r n i n ga b i l i t i e sa n df i tn o n l i n e a rf u n c t i o n ，w eb u i l dat e m p e r a t u r e d a t am o d e lt op r e d i c tt h et i m es e r i e so ft e m p e r a t u r e ic a ng e tt h ep r o p e rn e t w o r kc o n s t r u c t i o n p a r a m e t e rb yn e t w o r kt r a i n i n g t h e nm a k en e t w o r kc o n s t r u c t i o n , s i m u l a t i o n , p r e d i c t i o n i c o n t r a c tt h et e m p e r a t ep r e d i c t i o ni nt h en e x t10d a y st ot h er e a la i rt e m p e r a t u r e ，i tp r o v et h a tb p n e u r a ln e t w o r kh a sah i 【g hp r e d i c t i o np r e c i s i o n i ta l s os a yt h a tt h et i m es e r i e sp r e d i c t i o nm o d e l b a s e do nb pn e u r a ln e t w o r kw h i c hib u i l dh a sg o o dp r e d i c t i o na b i l i t y , i ti sw o r t hp o p u l a r i z i n gi n t h ef u t u r e t h i r d l y , ib u i l da l lo p t i m i z e db pn e t w o r km o d e lw h i c hm e r g eo fl y a p u n o ve x p o n e n t p r e d i c t i o na n db pn e t w o r k ic a nu s et h i sm o d e lt op r e d i c tt h ed a i l ym a x i m u ma n dm i n i m u m t e m p e r a t u r ei nt h en e x t10d a y s t h e n ，c o m p a r e da n da n a l y z e dt h et h r e ee x p e r i m e n tr e s u l t si n t h i sp a p e r r e s e a r c ha n de x p e r i m e n ts h o wt h a tt h ea p p l i c a t i o ni nt e m p e r a t u r et i m es e r i e sp r e d i c t i o n b a s e do nl y a p u n o ve x p o n e n ta n db pn e u r a ln e t w o r ki se f f e c t i v e k e y w o r d ：t i m es e r i e s ，l y a p u n o ve x p o n e n t , b pn e u r a ln e t w o r k , p r e d i c t i o n i i 目录 第一章绪论。1 1 1 研究背景及意义。l 1 2 国内外研究现状3 1 3 论文研究内容和章节安排4 第二章时间序列状态分析6 2 1 返回映射法在时间序列状态分析中的应用。6 2 2 本章小结l1 第三章混沌理论及其预测理论1 2 3 1 混沌现象和混沌学1 2 3 2 混沌的定义1 3 3 3 混沌的基本特性和李雅普诺夫指数1 4 3 4 逻辑斯蒂映射1 7 3 5 基于柯熵的复杂机械系统状态最大可预测时间研究1 8 3 6 混沌预测的理论基础2 0 3 7 基于李雅普诺夫指数的气温时间序列预测实验2 6 3 8 本章小结3 0 第四章b p 神经网络在气温预测中的应用研究3 1 4 1b p 神经网络3 1 4 2 神经元模型3 2 4 3b p 神经网络设计步骤3 3 4 4b p 网络学习过程3 6 4 5b p 算法的缺点及改进3 9 4 6 基于b p 网络对气温时间序列的可预测性研究实验4 3 4 7 本章小结4 7 第五章混沌优化b p 网络算法的气温预测研究分析。4 8 5 1 混沌优化b p 网络的研究4 8 5 2 实验结果及分析4 8 5 3 本章小结5 0 第六章三种预测方法的对比研究分析5 l 6 1 三种预测方法的对比分析5 l 6 2 本章小结5 3 第七章总结与展望5 4 7 1 总结。5 4 7 2 展望5 4 致谢5 6 参考文献5 7 作者简介6 0 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 1 1 1 研究背景 第一章绪论弟一早瑁了匕 在科学技术和社会飞速发展的今天，对系统行为的预测已经成为人们越来越关心的热 点，但越来越多的系统行为具有复杂性、时变性和模糊性等特点，这使得传统的预测方法 越来越难解决现实的问题。所谓预测，是对某一事物( 或事件) 的行为特征量在未来某一 时刻或某一时段内可能发生的变化特征量或变化趋势作出估计。预测已有漫长的历史，2 0 世纪2 0 年代以前，预测只是在时间域内通过全局拟合的简单的序列外推。自1 9 2 7 年y u l e 预测每年的太阳黑子数目时，发明了自回归技术，标志着现代时间序列预测的开始陋1 。从 古老的天体预测、天气预测，到现代的宇宙探索和利用计算机进行区域性、全球性的天气 预测、地震预测、人口预测、经济预测等，都贯穿着人类为自身的生存和发展而探索未来 变化规律的渴望和追求。预测作为- - i 1 科学，它是在一定理论的指导下，以事物发展的历 史和现状为出发点，以调查研究数据和统计数据为依据，在对事物发展过程进行深刻的定 性分析和严密的定量计算的基础上，研究并认识事物的发展规律，进而对事物的未来变化 预先作出科学的推测。预测的准确率随着时间的增长而迅速下降。一般认为，导致预测不 准确的因素主要有三个：( 1 ) 模式系统与实际系统存在着的差异；( 2 ) 计算误差；( 3 ) 初 始条件的不准确呤，。 随着混沌动力学的发展，人们对时间序列预测的复杂性有了更深刻的认识。非线性理 论认为，一个系统，即使是一个完全确定的模型，它的精确解，经过长时间的演化，也可 能显示出一定的不确定性，即某种随机性。既是随机，便有某种不可预测性h 1 。这便是混 沌系统的“蝴蝶效应”。然而，辨证地看，事物的两面性在于，一方面，系统的长期演化结 果表现出类随机性，即不可预测性，另一方面，这种现象又是由确定系统的内在特性引起 的，短期行为又是完全确定的，即可预测的。这就是混沌时间序列预测的物理基础。 传统的预测方法主要有动力学方法和数理统计方法，这些方法的共同特点是先建立数 据序列的主观模型，然后根据主观模型进行计算和预测。随着混沌科学的发展，现在可以 不必事先建立主观模型，直接根据数据序列本身所计算出来的客观规律( 如李雅普诺夫指 数、k o l m o g o r o v 熵等) 进行预测，这样可以避免预测的人为主观性，提高预测的精度，使 得数据具有科学性和可信性。目前，常用的混沌时间序列的预测方法包括：全域法、局域 1 南京信息工程大学硕士学位论文 法、加权零阶局域法、加权一阶局域法、基于李雅普诺夫指数的预测方法、基于k o l m o g o r o v 熵的预测方法、和基于神经网络的预测方法等。 1 1 2 研究意义 混沌理论是- f - j 研究关于非线性系统动态行为的新兴科学。即使是确定性的非线性系 统它也可以既产生单一明确的行为，又产生复杂不稳定但是类似随机的有界不确定的行为， 这就是混沌理论的基本观点。混沌对于系统的初始状态很敏感，当一个系统发生混沌时， 它的行为也会表现出了对初始状态条件的依赖性，因此可以认为本质上不可以长期预测的 混沌现象其实并不是混乱无序的哺1 。在科学概念上，混沌并不等同于随机概率，因为看起 来混乱没规律可寻的现象里还可能存在有序，而大家公认的确定性的有序系统里又有可能 存在着混沌现象；混沌行为虽然是不断循环的，但这些行为却不会重复。 神经网络作为一门新兴交叉学科，被越来越多人应用到其他学科中，许多心理学家、 神经生理学家、医学工作者、数学家以及计算机科学家联合起来，开展跨学科的研究，以 探讨神经网络的机理、功能以及相应的模型，并且尽量与应用结合。b p 神经网络是神经网 络中最常用的一种。针对b p 网络收敛速度慢，存在局部极值，隐层节点数选择没有统一 有效的方法，人们提出了很多对b p 算法的改进来优化算法。更有一些人建立各种神经网 络模型来训练网络，以得到最优化仿真结果。例如，基于时间序列的b p 神经网络，在股 市交易、电力系统、气象预测等方面都有广泛的应用。 近些年来，通过对混沌特性的深入研究，人们意识到，利用混沌运动所具有的特性解 决组合优化问题也许是一条新的解决途径。现有的研究表明：混沌是存在于非线性系统中 的一种较为普遍的现象，混沌并不是杂乱无章的一片混乱，而是具有精致的内在结构的， 是一种“奇异吸引子”，它能把系统的运动吸引并束缚在特定的范围内晦1 。混沌运动具有遍 历性、随机性、规律性等特点，混沌运动能在一定范围内按其自身的“规律”不重复地遍历 所有状态。而且，混沌遍历性的特点在于它能“不重复”地遍历搜索区域中的每一点。因此， 针对混沌运动的上述特点，如果能利用混沌运动所具有的特性进行优化搜索，无疑是一种 新颖的和比随机搜索更有效的方法。利用混沌时间序列的预测功能，对神经网络的权值进 行预测优化运算，是现阶段用以提高整体神经网络的学习速率，提高优化效率的一种新思 路。根据前人的经验，混沌时间序列一般用于确定神经元的维数，再通过建立这样的神经 网络，完成整个算法的建立过程m 1 。将混沌时间序列的最大l y a p u n o v 指数预测引入神经网 络的权值优化中，直接进行权值的预测，可以提高算法速度。 2 第一章绪论 1 2 国内外研究现状 随着科技的发展，尤其是计算机在科研中的应用，庞加莱的思想在数学和物理学等方 面得到证实。6 0 年代初，洛伦兹在用三维一阶微分方程描述的天气预报模型中，计算机模 拟实验发现了具有对初始条件敏感的“蝴蝶效应”障1 。1 9 7 5 年，美国数学家约克和李天岩 将这种由确定性方程产生的随机现象命名为混沌。1 9 7 6 年，美国普林斯顿大学的生物学家 梅在研究生物种群数量时发现，一些非常简单的确定性的数学模型( 即逻辑斯蒂模型) 既 可以产生简单确定的平衡、有限周期行为，也可以产生貌似随机的不确定行为。混沌为未 来不确定性找到了另一条解释的理由。8 0 年代，人们着重研究系统如何从有序进入新的混 沌及其混沌的性质和特点。通过对混沌理论的研究，人们的视野得到了很大的扩展，思维 也得到了活跃。过去一些被认为是确定的并且是可逆的动力方程，内部却存在随机性和不 可逆性，确定性的方程竟然可以得到不确定的结果，这是确定论和随机论的相结合，混沌 理论促进了其他学科的发展。进入9 0 年代，混沌与其他学科相互交错、渗透、促进，综合 发展，使得混沌得到了广泛的应用。 随着混沌理论的深入研究，混沌背景下的时间序列分析也受到人们的关注。1 9 2 7 年， 数学家y u e l 提出了a r ( a u t o r e g r e s s i v e ) 模型，该模型主要运用在经济工作预测中，他是 最原始的时间序列分析模型。随后，在a r 模型的基础上，又有数学家建立了m r ( m o v i n g a v e r a g e ) 模型。19 7 0 年学者b o x 和j e n k i n s 出版的( t i m es e r i e sa n a l y s i s ：f o r e c a s t i n ga n d c o n t r 0 1 ) 是时间序列分析的里程碑，他们提出了一种可以运用与时间序列分析的动态体系 方法。从此时间序列分析进入了新阶段，被越来越多的应用于工程领域。今年来，随着计 算机科学和信号处理学的发展，时间序列分析的理论及其模型也有了很好的发展，1 9 9 1 年， c h e n ， t s a y ，p e t r u c c e l l i 和w o o l f o r d 描述了简单t a r 模型。随后几年又有学者提出u n i t r o o t 理论。 神经网络作为- - f 新兴交叉学科，也受到国内外学者的普遍关注。1 9 4 3 年，心理学家 w s m c c u l l o c h 和数理逻辑学家w p i t t s 共同建立了神经网络和他的数学模型，称为m p 模 型。他们通过m p 模型提出了神经元的形式化数学描述和网络结构方法，证明了单个神经 元能执行逻辑功能，这标志着人工神经网络研究的开始。1 9 4 9 年h e b b 提出了著名的h e b b 规则，该规则通过神经元之间连接强度的改变来实现神经学习方法，该思想至今还在神经 网络领域还发挥着重要作用川。1 9 5 7 年罗森勃拉特( e r o s e n b l a t t ) 提出了历史上第一个完 整的人工神经网络，即感知器( p e r c e p t i o n ) 模型，从而让神经网络的研究达到了第一次高 潮。6 0 年代末期，m m i n s k y 等认识到了以感知器为代表的神经网络系统有着局限性，他 3 南京信息工程大学硕士学位论文 们于1 9 6 9 年出版了( p e r c e p t r o n ) 一书，指出感知器不能解决高阶谓词问题。他们的论点 极大地影响了神经网络的研究，但是当时串行计算机和人工智能取得了很大成就，掩盖了 发展新型计算机和人工智能新途径的必要性和迫切性，所以人工神经网络的研究一度处于 低潮。在此期间，一些人工神经网络的研究者仍然致力于这一研究，并提出了适应谐振理 论( a r t 网) 、自组织映射、认知机网络。以上研究为神经网络的研究和发展奠定了基础。 进入8 0 年代后，具有并行处理模式的神经网络理论再次受到人们关注，神经网络的研究掀 起了第二个高潮。1 9 8 2 年，美国加州工学院物理学家j h o p f i e l d 打破了传统连续神经网络 模型的束缚，提出了离散的神经网络模型，并引入了“能量函数”的概念。1 9 8 4 年，他又 提出了连续时间h o p f i e l d 神经网络模型，为“神经计算机”的研究奠定了基础，推进了神 经网络用于联想记忆和优化计算的研究。1 9 8 5 年，有学者提出了b o l t z m a n n 机，在学习中 引进了统计热力学模拟退火技术，保证整个系统趋于全局稳定点。19 8 6 年d e r u m e l h a r t 和j l m c c e l l a n d 及其研究小组进行认知微观结构地研究后，提出了多层神经网络的b p 算 法。1 9 8 7 年国际a n n 联合会成立。人工神经网络受到了许多发达国家的重视，美国国会 通过决议，将1 9 9 0 年1 月5 日开始的十年定为“脑的十年”，国际研究组织还号召它的成 员国将“脑的十年”变为全球性行为。日本的“真实世界计算( r w c ) ”项目中，人工智 能的研究成了一个重要的组成部分睛1 。 人工神经网络独特的信息处理特点，使得它和混沌序列预测的结合有了可能。1 9 8 7 年 l a p e d e s 和f a r b e r 发表论文首次提出神经网络预测时间序列的方法以后，学者开始把神经 网络用于工业、经济等不同行业的预测。1 9 9 3 年文新辉、陈开周提出一种多维时间序列前 向网预测方法并用昆虫预测说明了此方法的应用，从预测结果来看其精度是比较高的。1 9 9 4 年石山铭和刘豹对神经网络用于多变量时间序列预测、多值预测进行了研究，然后建模并 应用于股票价格预测中。1 9 9 6 年杨璐、黄梯云等提出了将时差法和b p 神经网络相结合进 行的时间序列的自适应建模和预测，并以外汇汇率问题为例做了试验旧1 。2 0 0 5 年胡玉霞提 出了一种预测混沌时间序列的模糊神经网络及其学习方法。2 0 0 6 年刘峰提出了基于聚类分 析和神经网络的时间序列预测方法，建立加入聚类分析的径向基神经网络模型，并用金融 时间序列做试验。2 0 0 7 年向剑伟建立一个时滞的b p 神经网络模型，采用贝叶斯正则化方 法提高b p 网络的泛化能力，并将该模型应用于某电子行业进出口贸易非线性时间序列的 预测。 1 3 论文研究内容和章节安排 论文分为七个章节，各个章节的安排如下： 4 第一章绪论 第一章绪论，介绍了本文的研究背景和研究现状和意义。 第二章对时间序列状态进行简要分析。 第三章介绍了混沌理论和混沌中的一些概念，并且详细的说明了混沌预测的理论基础 重构相空间以及最大李雅普诺夫指数计算方法，最后以连云港0 8 年1 月到3 月气温数据作 为样本，作出未来1 0 天的基于李雅普诺夫指数预测的实验。 第四章详细介绍了b p 神经网络和b p 神经网络的设计步骤，分析了b p 算法存在的缺 点并给出了b p 算法改进的方法，其中着重介绍了引进混沌理论中的李雅普诺夫指数来对 b p 算法进行改进，最后采用连云港0 8 年1 月到3 月气温数据作为样本，作出未来1 0 天的 基于b p 神经网络的预测实验。 第五章引进了混沌理论中的李雅普诺夫指数来对b p 算法收敛性进行改进，并以连云 港0 8 年1 月到3 月气温数据为样本，作出基于李雅普诺夫指数对b p 网络的改进的实验。 第六章对三个预测实验的结果值进行对比、分析、评价。 第七章对本文进行总结，对发展做出展望，并提出本文后续工作中要解决的问题。 5 南京信息工程大学硕士学位论文 第二章时间序列状态分析 大气系统是一个混沌动力系统，当我们分析认识一个混沌动力系统的特征时，返回映 射是一个有效的逼近方式n 训。所谓返回映射法( r e t u r nm a p ) 是通过绘制相空间中重构的 轨线来分析动力系统的特征，并且在绘图时，自变量为系统某个变量某一时刻的值，相应 的因变量为该变量经过一定时间段后的值。给定一个时间序列f ( ”) ，聆= 1 , 2 ，n 通过矢 量测绘得到一个m 维的返回映射1 ， y ( ，z ) = f ( 行) ，f ( 玎一r ) ，f ( 雅一2 f ) ，i ( n m 木f ) 】丁( 2 - i ) 其中t 是一个整的延滞。 例如，绘制一个x 轴是i ( n ) ，y 轴是i ( n - 1 ) ，z 轴是i ( n - 2 ) 的空间的时间序列， 得到一个3 维返回映射。如果i ( n ) 是动力系统的输出，而且观测时间n 足够长，系统的 相空间的特点能从返回映射图中看出。 利用返回映射，我们可以识别并推导出从伪时间序列的混沌系统产生的规律性特征。 比如将l o g i s t i c 映射产生的序列绘制出k ，对x 。的图像，可以发现该图像为一规则光滑的 曲线。又比如对某些一维离散混沌映射产生的序列绘制极大( 小) 值到相邻的极大( 小) 值的返回映射图像，则类随机的点变成了聚集的点n 羽。 一般返回映射包含以下几种： x ( n ) 一x ( n + 1 ) v m a x ( n )一v m a x ( n + 1 ) v m i n ( n ) 一v m i n ( n + 1 ) t m a x ( n ) - - - v r a a x ( n ) t m i n ( n ) - - v m i n ( 1 3 ) 其中x n 是第n 个数值，v r 嗽c 。，是第n 个最大值，v 。i nc 。，是第n 个最小值，l 僦c 。，是 第n 个最大值和第n 1 个最大值之间的时间间隔，t m i nc 。，是第n 个最小值和第n 1 个最小 值之间的时间间隔。 2 1 返回映射法在时间序列状态分析中的应用 研究动力系统的运动状态及其发展与变化，对判断和控制该系统的工作特性，预测未 来趋势具有很大帮助。l o r e n z 在研究r a y l e i g h b e n a r d 对流问题时，对系统 6 第二章时间序列状态分析 d x l d t = 一仃x + 盯l d 哩l 出= 一x z 七rx y 。 d z | d t = x y b z 进行了降维处理，即采用了相空间投影法简化了对系统运动状态的分析方法。所绘制的相 轨迹图清楚地表明系统所处的运动状态n 副。 2 i 1 应用试验分析( - - ) 作为对动力系统状态分析和预测的辅助方法，依据l o r e n z 的降维思想，我们利用返回 映射方法分别对所采集的某动力系统在某特性状态下的三组数据进行了状态和变化分析。 笏期 一2 。c t l s c l 篮 善 s 銎啦 ，一l - 1 5 s ；- t r o t ；x i 2 9 9 孔。锄 ，瑚 蔬3 5 03 7 03 8 03 9 0蝴1 04 2 。1 3 0；4 0 蛞1 醢s 一，一? ，； i? ：o ，? 。?。? 。? j ? 赫。j ? ，一。j 。、| 。曲j ? n 撬 ( a ) 程度l # 。 2 9 93 1 03 l - o3 3 0 瑚 3 5 0 镢“? ，。、 筠0 3 t o巍3 9 0锕1 04 , 2 9唧4 迄 4。 t i - t，。n?jh ：。，一m 磊 ( b ) 程度2 ( c ) 程度3 图2 1 某动力系统在状态a 下的时间序列图 利用加速度传感器采集动力系统在a 状态下的三组样本数据各2 0 4 8 个，进行数据调 7 抽 戤 量j 。 擐 搬 湘 南京信息工程大学硕士学位论文 理后，所绘出的时域信号见图2 1 所示。 从程度l 到程度3 的时域信号可以看出，该系统的运动状态由周期运动在向非周期转 变。为了更清楚地分析其变化趋势，绘制了三种程度下的返回映射图( 见图2 2 所示) 。从 返回映射图清楚地看出，该系统在a 状态的程度1 时，其映射图像为一个规则的较为收敛 的椭圆形( 见图2 2 ( a ) 所示) 。当系统由程度l 变化到程度2 后，系统的运动由周期运动 转变成了准周期运动，其返回映射图像发生了比较突出的变化，由椭圆状变为类椭圆状， 且发生了不对称发散，见图2 2 ( b ) 所示。当系统由程度2 变化到程度3 后，系统的运动 由准周期运动转变成了非周期运动。此时，其返回映射图像发生了更大的变化，变成了双 椭圆，且遍布了许多离散点( 见图2 2 ( c ) 所示) ，这表明系统的运动由单轨迹发展成了双 轨迹，其运动状态由稳定变为了不稳定。 ( a ) 程度l ( b ) 程度2 8 第二章时问序列状态分析 ( c ) 程度3 图2 2 某动力系统在状态a 下的返回映射图 2 1 2 应用试验分析( 二) 本试验对前面系统的运动状态进行了改变，使其处在状态b 下。采用与第一试验同样 的方式采集了三种程度下的运动数据。该数据的时域波形如图2 3 所示。由图2 3 ( a ) 显 示，该系统当前的运动状态是周期运动。运用返回映射法得到对应的状态图是一个规则椭 圆图( 见图2 4 ( a ) 所示) ，也说明了系统当前的周期运动状态。当系统发展到程度2 后， 其时域信号发生了一定变化，返回映射图2 4 ( b ) 也显示了这种变化。当系统演变到程度 3 后，系统的周期运动受到了影响，其返回映射图发生了明显变化( 如图2 4 ( c ) 所示) ， 尽管不规则，却比较收敛。这表明系统仍然处在稳定运动状态。 彰”e 缸 “ 2 越 j 啦 ，似 l 憾 。- 翳 3 9 。 3 9 5娲蝣 1 0t ：；4 ：。诌t 幅 一+。l 。 一。粥- 嚏? o “? 机一。霸 c a ) 程度1 ( b ) 程度2 9 南京信息工程大学硕士学位论文 ( c ) 程度3 图2 3 某动力系统在状态b 下的时间序列图 第二章时问序列状态分析 2 2 本章小结 ( c ) 程度3 图2 4 某动力系统在状态b 下的返回映射图 本章依据l o r e n z 的降维思想，采用返回映射方法对某动力系统进行了试验分析研究。 结果表明，返回映射技术在对动力系统状态分析与演变发展趋势研究中所得结果正确、可 靠。其分析手段简单易行。由此，将返回映射方法作为动力系统运行状态分析的辅助手段， 可以提高分析判断的效率和准确率。 南京信息工程大学硕士学位论文 第三章混沌理论及其预测理论 3 1 混沌现象和混沌学 混沌是由确定性的非线性动力学系统产生的随机现象。混沌学是研究确定性的非线性 动力学产生混沌的机理、特征的表达，从有序到无序的演化及其反演化的规律及其控制的 科学n 4 1 。 混沌是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需添加任何随机因素亦 可出现类似随机的行为( 类在随机性) 。混沌是决定性系统的伪随机，但它绝不是简单的无 序而是没有明显直观的周期和对称，但是却具有丰富的内部层次的有序结构。混沌只能在 非线性系统中产生，它是非线性系统的一种新的存在形式n 5 1 。 从历史上看，混沌的研究起源于物理学和数学，而现在对混沌的研究几乎覆盖了整个 社会科学和自然科学领域，特别是计算机技术的发展为深入混沌的研究提供了更大的可能。 科学中的混沌一词，简单的说，是指貌似随机的运动，是指在确定性非线性系统中，不需 附加任何随机因素亦可出现类似随机现象的行为，即它一方面具有确定性过程，另一方面 又有随机的特性。混沌是非线性系统中所特有的一种形式，普遍存在于自然界及人类社会 中。发现混沌的第一位学者是法国的数学、物理学家h p i o n c a r e ，他在研究天体力学时， 把动力学系统和拓扑学两大领域结合起来，提出了p i o n c a r e 猜想，发现了混沌现象。他采 用太阳系的三体运动作为目标背景，由此证明了周期轨道的存在性。现代动力学系统理论 的分岔理论、奇异性理论和吸引子理论等几个重要的组成部分都源于h p i o n c a r e 的早期研 究n 6 1 。 n - - 十世纪五六十年代，混沌理论的研究发生了两个重大突破。第一个重大突破发生 在以保守系统为研究对象的天体力学领域，k a m 定理被公认为创建混沌学理论的历史性 标记。耗散系统为混沌学研究的第二个重大突破n 。美国气象学家l o r e n z 对此做出了杰出 的贡献。l o r e n z 利于它作为大气对流模型，并采用计算机进行数值计算，从而观察这个系 统的演化行为。通过计算和观察，l o r e n z 看到了这个确定性系统的规则行为，并且也发现 了同一系统在某些条件下所具有的非周期无规则行为，然而这与当时气象界的权威观点互 相矛盾，但却与l o r e n z 的经验和直觉相吻合。这就是我们熟知的“蝴蝶效应”n 引。1 9 7 5 年，华人科学家t y l i 和美国数学家j a y o r k e 发表了“p e r i o dt h r e ei m p l i e sc h a o s ”( 周期3 蕴含混沌) 的著名文章，深刻揭示了从有序到混沌的演化过程，被认为是混沌的第一次正 1 2 第三章混沌理论及其预测理论 式表述埘。 系统是否为混沌系统，可以用它的李雅普诺夫指数是否大于0 或者关联维是否为分数 或者大于2 来衡量。李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移， 按指数分离或聚合的平均变率。混沌系统的最大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏 感，尤其是在耗散系统中，即使初始条件发生了很微小的差别，也会导致得出的结果有很 大误差甚至得出毫无关系的两种结果，所以非线性确定性系统不能长期预测。 3 2 混沌的定义 混沌一词由李天岩和约克在1 9 7 5 年发表的“周期3 意味着混沌”的文章中首先提出来 的。他们从研究区间映射而给出了混沌的一种数学定义，现称为l i y o r k e 定义3 ： 设连续自映射厂：专icr ，i 是r 中一个子区间。如果存在满足 ( 1 ) f 具有任何正整数周期的周期点 ( 2 ) 存在不可数集合sc i ，使对于任何墨，x 2 s ( x i x 2 ) ，有 l i m i n fif ( x 1 ) 一f 。( x 2 ) i _ 0 f - - - k o o l i m s u pif ( 墨) 一f ( x 2 ) l 0 f - - - i 0 0 这里( ) = 厂( 厂( 厂( ) ) ) 表示t 重函数的关系。 ( 3 ) 任给x l s 及厂的任何周期点p i 有 l i m s u pf ( x 1 ) 一厂( p ) | 0 则称f 在se 是混沌的。 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 此定义中，由于前两个条件说明子集的点墨，x 2 s 相当分散而又相当集中；第三个 条件则说明周期轨道不是渐进的。因此，区间i 在映射厂的不断作用下，呈现出一片混乱 的运动状态。其中一部分是周期的运动，而更多的是杂乱无章的运动，他们时分时合。尽 管在完全确定的映射厂的一次次迭代下，却依然出现了类似随机的状态啪3 。所以这个定义 本身只能预言有非周期轨道的存在。按照定义，李天岩和约克给出了很有名的l i y o r k 定 理：如果存在3 周期点，则厂是混沌的。 1 3 南京信息工程大学硕士学位论文 l i y o r k 定理是对参量固定的一个映射的相空间中轨道的论述。它并没有设计有关周期 轨道的稳定性的问题，实际上，定理中提到的绝大多数的周期轨道都是不稳定的。因此 l i y o r k 定理定义的混沌并非都是物理上可以观察到的。有关混沌的定义至今都没有一个公 认的精确的数学定义，多数学者认为定义混沌由于需要用到大量的专业术语，而且不同研 究领域的人对于混沌的定义也是不同的，像正拓扑嫡、正李雅普诺夫指数以及奇怪吸引子 等，这些增加了对混沌的精确定义的难度。所以有关混沌的定义有很多方式，虽然逻辑上 并不一定等价，但本质上却是一致的瞌。 3 3 混沌的基本特性和李雅普诺夫指数 1 各态历经性 在+ l = 职( 1 一毛) = 厂( 矗) 中，我们从j l l = 4 时的混沌区进行方向考察，从【o ，1 】中 任取一个数作为初始值，利用迭代 x n + 124 x 。( 1 一x n ) ( 3 4 ) 可求出以后各年的五，x 2 c - x n ，这些值几乎布满了( 0 ，1 ) 整个区间。不管在 0 ， l 】内取什么值为初始值，都是如此。这种现象在物理上被称为各态历经性。根据初始值无 法预测多少年后的矗是多少，即当混沌发生时，对系统的长时间行为不可预测，这是混沌 表现为无序的一面。 2 轨道的不稳定性 混沌运动具有瑞到的不稳定性是指对某些控制参数值，在几乎所有的初始条件下，都 能产生非周期性动力学过程n 5 1 。 混沌是指在确定性系统中出现的无规则性或不规则性，混沌运动是确定性系统中局限 于有限相空间的高度不稳定运动。所谓轨道高度不稳定，是指随着时间的发展，相邻的相 空间轨道之间的距离会指数级的增大。正是这种不稳定性，从而使系统长时间的行为会显 示出某种混乱性。 轨道的不稳定性是混沌的一个显著特征，其实质就是混沌内在的随机性。内在随机又 称为内随机性，它是指在原来完全确定的系统内部产生的随机性。在一定的条件下，如果 1 4 第三章混沌理论及其预