（理论物理专业论文）非线性耦合时空混沌系统的同步研究.pdf

摘要： 时空混沌的产生机理、动力学规律以及对它的控制与同步研究是现代科技研 究的重要内容之一。复杂网络的混沌同步问题更是近年来国际国内研究的热点， 也是网络动力学研究的核心问题。本文概述了时空混沌的概念、基本特征、时空 混沌模型的分类以及复杂网络的特点。介绍了实现时空混沌同步以及复杂网络混 沌同步的方法和国内外研究现状。说明了时空混沌同步以及复杂网络混沌同步的 应用和重要意义。利用非线性耦合法，对时空混沌系统进行适当的分离，根据 l y a p o n o v 稳定性定理，研究了异结构时空耦合映像格子的混沌反同步问题。此方 法避免了复杂的控制器设计，使计算简便易行。数值仿真验证了该同步方法的有 效性。进一步将此方法推广到复杂网络的混沌同步中。对于多重边融合复杂动态 网络模型，将其进行合理拆分，对拆分出的子网络进行非线性耦合，基于l y a p o n o v 稳定性定理，得到了实现网络同步的参量取值范围。通过数值仿真发现，在确定 的参量范围内，均可以实现整个网络的有效同步。 关键词：同步，非线性耦合，时空混沌，复杂网络，耦合映像格子 a b s t r a c t ： t h e a r i s i n gm e c h a n i s m ， k i n e t i c sr u l e s t o g e t h e r w i t ht h ec o n t r o la n d s y n c h r o n i z a t i o no fs p a t i o t e m p o r a lc h a o sa r ei m p o r t a n tc o n t e n t si nm o d e r ns c i e n c ea n d t e c h n o l o g y s y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xn e t w o r ki sh o t s p o t s i nt h es t u d yo f i n t e r n a t i o n a la n dd o m e s t i cd e s t i n a t i o ni nr e c e n ty e a r s ，a n di t sa l s ot h ec o r ei s s u ei nt h e r e s e a r c ho ft h en e t w o r kd y n a m i c s t h ec o n e e p to fs p a t i o t e m p o r a lc h a o s ，i t sb a s i c f e a t u r e s ，t h ec l a s s i f i c a t i o nm o d e lo fs p a t i o t e m p o r a lc h a o s ，a sw e l la st h e c h a r a c t e r i s t i c so fc o m p l e xn e t w o r k sa r ep r o v i d e di nt h ea r t i c l e a no v e r v i e wt o g e t h e r w i t ht h ea p p l i c a t i o n sa n ds i g n i f i c a n c eo fs y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d so fs p a t i o t e m p o r a l c h a o t i cs y s ；t e r n sa n dc o m p l e x i t yo fn e t w o r k si ni n t e r n a t i o n a la n dd o m e s t i cd e s t i n a t i o n i si n t r o d u c e d s p a t i o t e m p o r a lc h a o t i cs y s t e m sa r es e p a r a t e dp r o p e r l yu s i n gn o n l i n e a r c o u p l i n gm e t h o d ，a n da n t i s y n c h r o n i z a t i o no fs p a t i o t e m p o r a lc o u p l e dm a pl a t t i c ew i t h d i v e r s es t r u c t u r e sa r es t u d i e db a s e do nl y a p o n o vs t a b i l i t yt h e o r e m t h em e t h o d a v o i d st h ec o m p l e x i t yo ft h ec o n t r o l l e rd e s i g na n di se a s yf o rc a l c u l a t i o n n u m e r i c a l s i m u l a t i o ns h o w st h ee f f c c t i v e n e s so ft h em e t h o d t h em e t h o di sf u r t h e rp r o m o t e dt o s y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xn e t w o r k s a st ou n i t e dc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k m o d e lw i t hm u l t i - l i n k s ，c a r r y i n go u tar e a s o n a b l er e s o l u t i o no fs e p a r a t i o n ，n o n l i n e a r c o u p l i n g i su s e di nt h e s e p a r a t e ds u b n e t w o r k s t h er a n g eo fp a r a m e t e r so ft h e s y n c h r o n i z a t i o nn e t w o r ki so b t a i n e db a s e do nl y a p o n o vs t a b i l i t yt h e o r y i t sf o u n di n n u m e r i c a ls i m u l a t i o nt h a te f f e c t i v es y n c h r o n i z a t i o ni sa c h i e v e di nt h ee n t i r en e t w o r k w h e nt h ep a r a m e t e r sa r ei nd e t e r m i n i n gs c o p e k e yw o r d s ：s y n c h r o n i z a t i o n ，n o n l i n e a rc o u p l i n g ，s p a t i o t e m p o r a lc h a o s ，c o m p l e x n e t w o r k s ，c o u p l e dm 印1 a a i c e 非线性耦合时空混沌系统的同步研究 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特 别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其 他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示 谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：指导教师签名： 签名日期：年月日 4 3 非线性耦台时空混沌系统的同步研究 第一章引言 1 1 混沌现象及特征 2 0 世纪f 半叶，非线性科学得到了蓬勃发展“1 ”。其中，对混沌学的研究占了极大 的份额，这是因为混沌是一种与自然科学、人文科学和人类社会密切联系的普遍现象， 在同常生活中随处可见，比如地震的发生、天气的变化、生物种群的繁衍等等。特别是 在化学中常见的b e l o u s o v z h a o b o t i n s k y 反应( 简称b - z 反应) 就是一个典型的混沌实例 0 6 ( 如图11 ) 。b z 反应是指在金属( 铈、铁、锰等) 离子的催化下，有机酸( 如丙二 酸、草酸、丁酮二酸等) 的溴化反应会随时间呈现周期性地变化，主要表现在颜色随时 自做规则的时自j 振荡称这类现象为化学振荡或化学钟。另外，在医学中常见的疾病： 心律不齐也是一种混沌现象，我们把每两次心跳的时间间隔用一个黑点表示( 如图1 2 ， 图l3 ) 。医学界研究发现，健康人的心脏跳动是有序的、有规律的，心律不齐则是一种 心脏组织各部分机能上缺失协调性而引起的无序状态，有节奏的心跳变成了心脏无规律 的颤动，就好像平稳的层流突然变成了湍流一样，而几乎所有死于急性心脏病的人在去 世前都有心律不齐出现。地质学中的地震是人类最关注的一种自然现象，迄今地震预报 仍是一个世界性的科学难题。由于地震的产生不仅具有小可预测性，而且对初始条件具 有高度敏感性，这正显示了地震混沌现象的主要特征。再比如，地球周围的大气层也有 混沌现象的存在，事实上混沌现象就是l o r c r 比在做大气动力学研究时茸次提出的，即“蝴 蝶效应“j 。 图ilb - z 反应中的化学混沌 哲线性耦古目空混沌系统的同步研究 圈12 健康心脏的律动( 清晰明了的棒槌形状) 图i3 不健康心脏的律动( 混沌形状) 非线性耦合时空混沌系统的同步研究 混沌是自然界及人类社会中的一种普遍现象，它是在一个确定性的系统中出现的一 种貌似不规则的、内在的随机性的运动。混沌之所以在诸多领域被人们广泛关注，是由 其自身特点所决定的。 首先，混沌系统对初始条件的微小变化具有高度的敏感性、依赖性。初始条件的微 小变化，都会引起计算结果的极大差异。 其次，混沌吸引子在相空间内整体上是有界的，但是在吸引子内相轨迹具有高度不 稳定性。 第三，混沌系统常与分岔、分形和多种奇怪吸引子甚至排斥子等复杂动力学现象共 存。 混沌按其随时间和空间的演化可分为四类，即 1 时间混沌：只存在与时间演化有关的混沌； 2 空间混沌：只存在与空间演化有关的混沌： 3 时空混沌：既与时间演化有关又与空间演化有关的混沌； 4 超混沌：混沌系统存在一个以上的正的l y a p u n o v 指数。 由于自然界中的复杂现象都是在一定的时间和空间中出现的，大量复杂的实际系统 同时与空间和时间变量相关联，所以研究时空混沌会更具有实际意义一些。 1 。2 时空混沌的种类 时空动力学系统的复杂现象，诸如分叉、混沌、湍流和各种时空相关结构，广泛存 在于物理、化学、生物、社会、经济等众多领域，它不仅在时间上而且在空间中都同时 出现混沌现象。迄今，从数学物理上描述这些时空系统，主要有四种类型：偏微分方程 组( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，简称p d e ) 、耦合常微分方程组( c o u p l e do r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，简称c o d e ) 、耦合映象格子( c o u p l e dm a pl a t t i c e s ，简称c m l ) 和元细胞自动机( c e l l u l a ra u t o m a t a ，简称c a ) 。这些方程的研究可以提供了解复杂性的 基本图像和形成机理。上述四种时空混沌模型具有如下的特点，如图所示： 模型类型空间变量时间变量状态变量 偏微分方程连续连续连续 耦合常微分方程离散连续连续 耦合映像格子离散离散连续 元细胞自动机离散离散离散 耦合常微分方程( c o d e ) 它的时间和状态都是连续的，仅对空间进行了离散，通 常它能很好的替代p d e ，在很多应用中得到较好的结果。例如，非线性电路、操作系统、 神经网络、心脏动力学系统等。但它的模型比较复杂，既不利于进行数值模拟研究( 计 算耗时过长) ，也不利于理论分析( 方程中耦合项很难处理) 。 元细胞自动机( c a ，也译为细胞自动机、点格自动机、分子自动机或单元自动 非线性耦合时空混沌系统的同步研究 机) 是一种时间和空间都离散的动力系统。散布在规则格网( l a t t i c eg r i d ) 中的每一 元胞( c e l l ) 取有限的离散状态，遵循同样的作用规则，依据确定的局部规则作同步 更新。大量元胞通过简单的相互作用而构成动态系统的演化。元胞自动机是一类 模型的总称，其特点是时间、空间、状态都离散，每个变量只取有限多个状态， 且其状态改变的规则在时间和空间上都是局部的。其优点是模拟计算效率较高( 计 算机定点极端速率往往大大高于浮点计算速率) 。但由于元胞自动机对时间、空间 和状态都进行了离散化，它较适用于微观变量，对于宏观变量变化行为描述的适 用性较差。另外，由于所有变量离散化，系统的各种参数也同时被离散化，这样， 我们很难观察到随参数变化的行为变化，这样对研究系统的时空混沌问题是很不 利的。 用非线性偏微分方程( p e d ) 描述，含高维或无穷维情形，方程在时间、空间和状 态变量上都是连续的，最能反应实际系统的特点，但是尽管人们对p e d 研究了数百年， 也只是对极少数的几个线性p e d 方程的通解有一定的认识，对大多数的p e d 基本上还 是不了解。 耦合映像格子( c m l ) ，它同时具有离散时间和离散空间，但是状态是连续的。 这是最常见的一种形式。它具有如下的优点：首先，它是基于对时空系统的半宏 观描述，数值模拟计算效率很高；其次，整个计算过程的并行程度很好，可以直 接并行化，由于各格点极端过程完全相同，特别适合在并行计算机上机型计算； 第三，计算的高效率使我们可能对参数空间进行扫描，得到当系统参数变化时各 种时空行为相互转化的规律，甚至得到整个参数空间的相图；第四，在耦合映象 格子模型的理论研究中，低维动力系统理论的一些结果仍有可能得到直接推广， 如l y a p u n o v 指数，信息熵等概念，仍然可能继续适用；最后，由于系统演化过程 被分解为一些简单过程的顺序进行，一系列的解析讨论亦远比直接讨论偏微分方 程容易得多，这会使理论研究更为有效。基于耦合映像格子的这些优点，它成为 了人们研究时空混沌复杂行为的首选模型，也是到目前为止人们最熟悉和了解的 模型。 1 3 时空混沌同步的研究意义 自然界中的混沌现象是随处可见的，它几乎充斥到了人们r 常生活得各个领域，但 由于混沌系统具有对初始值敏感，计算结果随机等特点，使得人们在最开始接触混沌现 象时往往采取了回避的态度，人们认为在科学研究中出现的混沌现象都是不可预测的、 有害的。但自1 9 9 0 年p e c o r a 和c a r r o l l 首次提出了一种混沌同步方法实现了两个同结构 混沌系统的恒等同步，并在电路中得以成功应用以来，人们发现混沌现象是可驾驭的， 并将原来认为是有害的混沌不可预测性广泛地应用到了保密通讯中。 随着混沌科学的深入研究，越来越多的混沌控制与同步方法被提出，如：驱动响应 4 非线性耦合时空混沌系统的同步研究 法，变量耦合法，自适应法，变量反馈法等【1 8 z 乃。这些理论和方法已经比较成熟，并且 被广泛的应用到了物理、化学、生物、社会、经济等众多领域。但这些方法大多应用于 对时间混沌系统的同步控制。而在自然界中单纯的时间混沌系统却很难找到，大多数非 线性动力学系统不仅在时间上表现为混沌行为，而且还伴有空间上的混沌行为，即时空 混沌系统。时空混沌是一个极为丰富的态库，它的丰富程度远胜于低维混沌系统。时空 混沌中包含了无穷多种运动模式，这些模式具有形形色色的时间和空间的有序结构，它 们镶嵌于时空混沌混沌运动中，但不稳定。这众多模式为实际应用提供了极为巨大的潜 力，因此对于时空混沌系统控制与同步的研究具有重要的理论和实际意义。 1 4 混沌同步的研究进展 自1 9 9 0 年p e c o r a 和c a r r o l l 首次提出了一种混沌同步方法实现了两个同结构混沌系 统的恒等同步，并在电路中得以成功应用以来，对于混沌同步与控制的研究已被人们广 泛关注。随着研究的不断深入，人们对于混沌同步的判据已经形成了比较系统的理论体 系。常见的判据有l y a p u n o v 指数法和l y a p u n o v 函数法，并根据这两种判据提出了 一系列比较实用的混沌同步方法，如：时间延迟法、驱动相应法、变量反馈法、 变量耦合法等。其中变量耦合法因其原理简单，设计方便，避免了繁琐的控制器 运算，模拟效果好等特点而被广泛应用。 上述方法大多数是针对时间混沌系统的同步而设计的，而在现实生活中，非 线性动力学系统所表现出的混沌行为往往是同时伴随着时间和空间坐标的，所以 对于时空混沌的同步研究更有意义，也更有实用性。 时空混沌系统因其动力学方程较复杂，维数较高，内部运动多样性等特点，仅仅是 最近几年才被人们广泛研究。但是由于其与时间混沌系统存在较大差异，所以针对时间 混沌系统同步的大多数方法，在时空混沌系统中并不适用。目前，比较常见的时空 混沌的同步方法有时间延迟法，相空间压缩法，耦合法等。但由于时空混沌系统 的特性复杂，上述方法在实现其同步的过程中仍会出现编程复杂、计算繁琐，实 际操作起来并不方便等困难，因而迫切需要提出新的、更简洁的、同步效果更好 的方法。 由于时空混沌系统的特性复杂，同步困难，因而其同步的文献鲜为报道。对 于更加复杂的由多个复杂时空混沌系统组成的网络时空混沌同步就更加少见。目 前比较常用的网络同步方法为主稳定函数判据法【28 1 ，但其原理复杂，编程繁琐， 因而提出一种新的，更加简洁的同步方法就显得更加迫切。 本文的第三、第四部分，利用了非线性耦合法，实现了两个异结构的时空耦 合映像格子的反同步，并将此方法进一步推广到复杂网络的混沌同步中。数值模 拟显示，此方法可行、有效。 非线性耦合时空混沌系统的同步研究 1 5 本文的主要工作 本文第一章概述了时空混沌的概念，时空混沌的一些基本特征，时空混沌模型的分 类以及时空混沌同步的国内外研究现状。第二章简单介绍了时空混沌系统同步的定义以 及实现时空混沌系统和复杂网络同步的方法。第三章研究了一维时空耦合映象格子的反 同步问题。利用非线性耦合法，对时空耦合映像格子的线性项与非线性项进行了适当分 离，通过对非线性项的对称耦合，实现了两个异结构的时空耦合映象格子的反同步。第 四章将非线性耦合法加以推广，应用到由n 个耦合映象格子组成的复杂网络的混沌同步 中。根据网络节点多，节点之间边的连接方式复杂等特点，将复杂网络进行了合理拆分， 将具有相同边的节点拆分成一个子网络，并将非线性耦合法应用到其中，实现了每一个 子网络的混沌同步。选取了几个典型的连接方式对理论分析结果进行了数值模拟，模拟 结果显示了理论分析的正确性及有效性。 6 非线性耦合时空混沌系统的同步研究 第二章时空混沌同步的方法 2 1 混沌同步的定义 关于混沌同步的定义，b r o w n 和k o c a r e v 曾经给出过统一的数学定义。 定义对于系统 岳嬲。肚灭4 亿t ， z = g ，少y ，称系统( 2 1 ) 的轨道矽g ，f ) 关于性质和g ，同步，如存在与时间无 关影射h ：r ”r ”j r ，使得 2 i m l l h g j ，g y 】i = 0 ( 2 2 ) 对于上述的统一定义，由x r “，y r ”的不同情况可以给出四种不同同步的相应 定义。 混沌同步有四种不同的类型：1 完全同步2 广义同步3 滞后同步4 相同步。 以下介绍的是这四种不同类型混沌同步的定义。 定义1 对于系统 f 戈= z g ，y ) b ：厶g ，y ) x r ”y r ” 称系统( 2 3 ) 的两子系统达到完全同步，若m = n ，且有 l i m ， x o ) 一y 删= o 其中x o ) 和j ，o ) 是( 2 3 ) 的解。 定义2 称系统( 2 3 ) 的两子系统关于性质h 广义同步，若存在于影射 续，使得 l i m l l h ( x ( , ) ) 一办o ) l f = 0 其中x o ) 和y o ) 是( 2 3 ) 的解。 ( 2 3 ) ( 2 4 ) h ：r 栉jr ”j 奎 ( 2 5 ) 定义3 称系统( 2 3 ) 的两子系统达到滞后同步( 延迟同步) ，若m = 以，且存在与时间 无关的常数f ，使得 熙) 一y ( t f 】1 = o 7 ( 2 6 ) 非线性耦合时空混沌系统的同步研究 其中x o ) 和y o ) 是( 2 3 ) 的解。 定义4 设系统( 2 3 ) 的解石o ) 和y o ) 为振荡型的，它们具有相位办和欢，称两子系统 为相同步，若存在两正整数k ，使得 m v 改 = 0 ( 2 7 ) 2 2 时空混沌同步的判定方法 时空混沌同步的判定方法主要有两种：一种是l y a p u n o v 指数法，即通过判断非线 性方程组的线性化方程在参考点附近的稳定性来判断系统的稳定性。另一种l y a p u n o v 函数法，即根据力学中用能量判断平衡态稳定性的方法，不必求解方程，通过构造类似 力学中能量函数来直接判断非线性方程组的稳定性。 2 2 1l y a p u n o v 指数法 设t 1 个变量五，五，鼍遵循非线性微分方程 警= z ( 耳五，“，鼍) ( ，2 ，3 ，行) 其线性扰动化方程为 丢科o ) = 双o ) 其中l 为线性化矩阵 l = 戮 a x i 锐 竭 萌 o x 2 识 a x 2 饼 a x ， 既 o x ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 定义五= l i m 三l n | 秘o ) f( 2 1 1 ) f _ of 则a 就称之为l y a p u n o v 指数，对于，l 维空间，求得的l y a p u n o v 指数就是n 个。 对于混沌系统，必有一个l y a p u n o v 指数是正的，因此要判定一个系统是否趋于稳 定，只需判定它的最大l y a p u n o v 指数是否小于零，如果小于零，则系统趋于稳定。 2 2 2l y a p u n o v 函数法 设y ( ，恐，吒) 为在相空间原点( x l = x 2 = = 吒) 某个邻域中的单值连续函数，若 v 在d 中不变号，仅保持在原点为零，则称v 是定号的；若y 在d 中取同号或零，则 称v 是半定号的。 8 非线性耦含时空混沌系统的同步研究 定理l ：参考态( = 恐= = = o ) 在区域d 中，如果可以在d 中确定一个定号 函数儿它的全导数d v d t 在d 中是符号与y 相反的半定号函数，或者为零，则参考态 是稳定的。 定理2 ：如果可以确定一个定号函数形它的全导数d v d t 是定号的，而且有和矿 相反的符号，则参考态是渐近稳定的。 定理3 ：如果可以确定一个定号函数n 它的全导数j y 折是定号的，而且矿在d 中取值能使v d v d t 0 ，则参考态是不稳定的。 2 3 时空混沌同步方法 时空混沌同步的方法目前还比较少见，主要有：时间延迟法，相空间压缩法、线性 耦合法，非线性耦合法等【2 9 。3 2 1 。其它方法还有待于研究和发现。 2 3 1 相空间压缩法 考虑下列形式的两个时空混沌系统分别作为目标系统和响应系统： a i v ：f ( 矿) + d v 2 v ( 2 1 2 ) 研 罢：，( 缈) + d v 2 形+ u ( 2 1 3 ) 研 式中v 和w 分别为目标系统和响应系统的n 维状态变量，v = ( v ( x ，y ，z ，f ) ) 7 r ”， 矿= ( w a x ，y ，z ，f ) ) r r “( 江1 ，2 ，1 ) ，f ：r ”寸r “，d 为扩散系数矩阵，u 为同步控制器， u = ( “，( y ，) ) 7 r “( f = l ，2 ，矗) 。 定义目标系统( 2 1 2 ) 和响应系统( 2 1 3 ) 状态变量之间的误差 p = 一v ( 2 1 4 ) 由( 2 1 3 ) ( 2 1 2 ) 式，可以得到误差变量随时间的演化方程 i o e = f ( 形) 一f ( v ) + d v 2 e + u 仞 = 厂( e ) + g ( v ，e ) + d v 2 e + u ( 2 1 5 ) 若控制器的形式为 u = - g ( v ，g ) ( 2 1 6 ) 此时，误差变量随时间的演化方程( 2 1 5 ) 将变为 i o e ：f ( e ) + d v 2 e ( 2 1 7 ) 及 对响应系统实施相空间压缩。设响应系统( 2 1 3 ) 时空混沌解的轨迹是在一个有界 的空间日的一个非空子集，有j h ，将其时空混沌解限制在空间，内， 9 非线性耦合时空混沌系统的同步研究 w = w f 【 式中，c j 。 ( 形 ) ( w ) ( w f )( 2 2 6 ) 1 0 非线性耦合时窄混沌系统的同步研究 则由( 2 2 2 ) 、( 2 。2 3 ) 和( 2 2 6 ) 式，可以得到误差变量随时间的演化方程 oe(=r_,t一)一oy(；r_,t一)一c3x(ri,t_-r一)i ：g ( 少( ，) ) 1 l - “( ，f ) 一厂( ，f f ) ) 一一一 = 矿il ，ir - h r f - 一r r ，_ 一f t - a fa 岔 、 一。、 取延迟同步控制器的形式为 u ( r ，f ) = s ( x ( r ，t f ”- v ( y ( r ，f ) ) ( 2 2 7 ) 式将有如下的形式 o e ( i r _ , t ) ：g ( ) ，( ，f ) ) + s ( x ( ，一f ) ) 一v ( y ( ，f ) ) 一厂( x ( r , t - r ) ) 将目标系统和响应系统改写为 o x ( i r _ , t 一) ：厂( x ( ，f ) ) ：a x ( r , f ) + 厂，( x ( f ) ) 0 y ( i r _ , t ) - g ( y ( ，f ) ) + “( ，f ) ：c y ( r , d + g ，( j ，( ，f ) ) + “( ，f ) 其中a r ，c r “”。 选择目标系统和响应系统的状态变量构成待定函数 s ( x ( r ，f ) ) = f ( x ( r ，f ) ) + ( 彳- c + k ) x ( r ，f ) v ( y ( r ，f ) ) = 9 7 ( y ( ，f ) ) + k y ( r ，f ) 其中控制因子k r “”。 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 则目标系统和响应系统状态变量的误差方程( 2 2 9 ) 可以写成 o e ( i r _ , t ) ：g ( 少( ，f ) ) + s ( x ( ，f f ) ) 一v ( y ( ，) ) 一厂( 工( r , t - r ) ) d f = c y ( ，| ，f ) + g ( y ( ，f ) ) + ( x ( ，f f ) ) + ( 彳一c + k ) 工( ，t f ) - g ( y ( ，f ) ) - k y ( r ，t ) - a x ( r ，t - r ) - f ( x ( ，t - r ) ) ( 2 3 4 ) = ( c k ) “，f ) = l e ( r ，f ) 上述误差方程中的系数矩阵l r “”的本征值方程为 l 甜一三i = 0 ( 2 3 5 ) 根据l y a p u n o v 稳定性定理，若选择适当的k 值，使本征值a 具有负的实部，则目标 系统和响应系统达到延迟同步。 2 3 3 线性耦合法 耦合法由于其原理简单，同步效果好等特点而倍受人们的关注。耦合方式可分为单 向耦合和双向耦合两种。单向耦合法是指用后一个系统的变量去耦合前一个系统的变 量；双向耦合法是指两个系统的变量之间相互耦合。而从耦合原理上又可以将耦合法分 为线性耦合和非线性耦合两种。 非线性耦合时空混沌系统的同步研究 线性耦合的基本方法是：若要实现两个系统墨、& 的同步，可以将两系统中的状态 变量按照一定比例相互耦合。 考虑一般的连续时空混沌系统 文= f ( x ) ( 2 3 6 ) 式中z 为状态变量，f ：r ”j r 4 。 构造( 2 3 6 ) 的响应系统为： = ，( 功+ o ! ( x - - x ) 口为耦合系数。当x 和取不同的初始值时， 可达到最终同步，即 烛忖一x l l = 0 2 3 4 非线性耦合法 ( 2 3 7 ) 通过适当地调节口，响应系统和驱动系统 ( 2 3 8 ) 非线性耦合的基本方法是：将驱动和响应系统分离为线性和非线性两部分，然后将 其非线性化部分按照一定比例相互耦合。 若考虑如下的连续时空混沌系统： 戈= f ( 功 ( 2 3 9 ) 式中x 为状态变量，f ：r ”一r 8 。 将f 做适当的分离， 戈= b x + m ( d ( 2 4 0 ) 式中m ( x ) 为非线性部分。 构造( 2 4 0 ) 的响应系统为 戈= b x + c t ( m ( x ) 一肘( x 7 ) ) ( 2 4 1 ) 口为耦合系数。当x 和石7 取不同的初始值时，通过适当地调节口，响应系统和驱动系统 可达到最终同步，即 觋忙一x 0 = 0 ( 2 4 2 ) 2 4 复杂网络同步 自然界中大量的复杂系统之间都存在着相互作用，这些相互作用可以通过网络来加 以描述，例如：神经系统可以看作大量的神经细胞通过神经纤维的相互连接形成的网络； 1 2 非线性耦合时空混沌系统的同步研究 计算机网络可以看作若干个自主工作的计算机通过通信介质相互连接形成的网络；还有 社会关系网络，交通网络等等。 网络是有节点和边构成的集合，其中，节点就是复杂系统，网络的边就是节点与节 点之间的相互作用。设网络有个节点，第f 个节点在n 时刻的m 维状态变量是x i ( n ) ， 在不考虑耦合作用的时候，单个节点所满足的状态方程是毫= f ( t ) 。在存在耦合作用的 情况下，第i 个节点满足的状态方程是： n 毫= f ( 玉) + 盯g v 日( x j ) ( 2 4 3 ) j = l 其中万是耦合强度，h ( x ) 为耦合函数，q 表示耦合矩阵g 的矩阵元，定义如下： 一k i = j q = l a ( 2 4 4 ) 【0 o t h e r w i s e 其中岛是节点i 的度，人f 是与节点f 相邻的节点的集合。比如：最近邻耦合网络、星型 网络和完全网络的耦合矩阵分别为： g l = g 2 = g 3 = 一2l 1- 2 01 lo o 1 1 o - 2 o l-2 l 1 1 一+ 1 ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 8 ) 在耦合的作用下，经过一段时间的演化，使得x 。= x 2 = h - - $ ，网络就进入了同 步状态。 1 3 、。 ；1 1 0 0 ；o + 一 一 一；0 l l； 一 一 0 o ； 十 o 0 ；0 ；， 一 o 1 ，； h； o ； 非线性耦合时空混沌系统的同步研究 由于复杂网络较之一般的时空混沌系统，更加复杂，内部结构更加繁琐，其同步也 更加困难，因而对其的研究起步比较晚，目前常用的同步方法只有一种，即主稳定函数 判据法。但它对编程要求较高，计算麻烦，因此提出一种新的、更可行、更简便的同步 方法显得尤为重要。本文将非线性耦合法应用到了复杂网络中，实现了网络的同步。 1 4 非线性耦合时窄混沌系统的同步研究 第三章异结构离散型时空混沌系统的非线性耦合反同步 3 1 问题的提出 自1 9 9 0 年p e c o r a 和i c a r r o l l 3 3 】首次提出了一种混沌同步方法实现了两个同结构混沌系 统的恒等同步，并在电路中得以成功应用以来，混沌同步已经在许多领域得到人们的广 泛关注。这也促使混沌同步控制的理论趋于成熟，我们常见的混沌同步方法，如：驱动 响应法，自适应法，变量反馈法，时间延迟法以及变量耦合法等，其理论研究已经逐步 完善，并被广泛的应用于时间混沌系统中。 现实生活中，单纯的时间混沌系统很难找到，所以，对时间混沌的同步研究并不具 有普适性。自然界存在的大量混沌系统是同时与时间和空间变量相关联的，这类系统随 时间和空间演化均表现为混沌行为。而对于复杂的时空混沌系统，人们得出了新的描述 方法，如：偏微分方程组( 简称p d e ) 、耦合常微分方程组( 简称c o d e ) 、耦合印象格 子( 简称c m l ) 和元细胞自动机( 简称c a ) 等。其中，耦合映象格子瞰】是描述时空混沌 系统最常见的一种形式，它不仅在数学上易于研究与计算，而且耦合映象格子本身能够 呈现极其丰富的时空混沌动力学行为，因此被广泛应用于时空混沌同步的研究之中，并 取得了一些有价值的结果。关于时空混沌同步的研究，目前比较常用的方法是变量耦合 法，它是将针对时问混沌系统同步的变量耦合法直接推广而来的，通过状态变量之间的 耦合抑制混沌系统的时空演化，从而达到混沌同步的目的。e m u r a 3 5 】报道了通过线性耦 合实现多个时空混沌系统的同步方案。b r a n d t 3 6 1 利用变量耦合法实现了一类神经网络的 时空混沌同步。n e k o r k i n 【3 7 】等完成了两个耦合映象格子之间的相互同步。w a i l 9 3 8 】等通 过数值分析研究了线性耦合下复杂网络的时空混沌同步问题。h u ”】基于单向耦合映象 格子模型提出了一种时空混沌同步方案。张旭m 】等利用单向耦合驱动耦合映象格子达到 了时空混沌系统的准确同步。岳立娟【4 l 】等研究了布拉格声光双稳系统时空混沌的单向耦 合同步。匡锦瑜【4 2 】等利用同一混沌信号驱动两个单向耦合映象格子达到同步，并提出一 种利用时空混沌同步的计算机网络数字加密通信方案。这些研究工作是利用驱动系统和 响应系统状态变量之间的线性耦合实现同步的。虽然线性耦合法具有形式简单、易于应 用以及同步代价相对较小的优点，但对于一些非线性表现非常强烈的时空混沌系统，线 性耦合同步的效果往往欠佳。因此有必要进一步研究利用非线性耦合实现时空混沌同步 的方法。 本文利用非线性耦合方法研究了离散型时空混沌系统的反同步问题。首先对时空混 沌系统的线性项和非线性项进行适当的分离，利用系统本身的非线性项作为耦合函数， 实现了两个一维耦合映象格子的反同步。 3 2 反同步原理 若考虑如下的离散型时空混沌系统： 1 5 非线性耦合时空混沌系统的同步研究 x + i ( f ) = f ( ( f ) ，d ( 3 1 ) 其中为系统的状态矢量，刀表示离散化的时间，i 为空间格子的格点坐标o = 1 ，2 ，3 ，三) 。 将f ( 吒( i ) ，f ) 做适当的分离 + 。( f ) = f ( 吒( f ) ，f ) ( 3 2 ) = m ( ( f ) ) + b ( 毛( f ) ，f ) 式中m ( x 。( f ) ) 为f ( x 。( f ) ，f ) 的线性部分 m ( x 。( f ) ) = 血。( f ) ( 3 3 ) 式中彳为满秩的常系数矩阵，通过适当的变换，可使彳的所有特征值均具有负实部 b ( ( f ) ，i ) = f ( x 。( f ) ，f ) 一肘( ( f ) ) ( 3 4 ) 此为f ( x 。( f ) ，f ) 的非线性部分，故式( 3 1 ) 可变为 + l ( f ) = a x 。( f ) + 8 ( x 。( f ) ，i ) ( 3 5 ) 若有两个异结构的时空混沌系统，均进行如上的适当分离 黾+ i ( i ) = 厶。( f ) + b ( x 。( 吐f ) ( 3 6 ) y 川( f ) = a y 。( f ) + d ( j ，。( f ) ，i ) ( 3 7 ) 利用时空系统本身的非线性部分w ( x 。( f ) ，f ) ，d ( x 。( f ) ，f ) 作为耦合函数进行耦合，新系统 是 + l ( f ) = a x 。( f ) + b ( x 。( f ) ，f ) + a w ( x 。( f ) ，f ) + d ( 吒( f ) ，f ) 】 ( 3 8 ) y 蒯( z ) = 么靠( z ) + d ( 儿( f ) ，d + 所d ( ( f ) ，0 + 召( ( f ) ，明 ( 3 9 ) 式中吒( 耽儿( f ) r 1 v ，为两个异结构时空混沌系统的状态变量，口，为耦合强度，且为 常量。 定义系统( 3 8 ) 和( 3 9 ) 状态变量之间的误差为 e n ( f ) = x 。( f ) + j ，。( f ) ( 3 1 0 ) 可以得到 e n + l ( f ) = a e 。( f ) + ( 口+ + 0 b ( x 。( f ) ，i ) + d ( y 。( z ) ，f ) 】 ( 3 1 1 ) 1 6 非线性耦合时空混沌系统的同步研究 选取适当的口，当取口+ 夕= 一1 时，( 3 i i ) 式变为 e n + l ( f ) = a e 。( f ) ( 3 1 2 ) 构造l y a p u n o v 函数 v = l 巳( f ) l ( 3 1 3 ) 则矿的微分可以写成 a v = i 巳+ 。( f ) i i 巳( f ) i = ( i 彳l 一1 ) i 巳( 圳 ( 3 1 4 ) 当取h 1 时，由( 3 1 4 ) 式可以得到 厶y 0 根据l y a p u n o v 稳定性定理【4 2 1 ，此时，可以实现反同步，即通过调整耦合强度口，及 系数彳以实现系统( 3 8 ) ，( 3 9 ) 的反同步。 3 3 数值模拟 分别选取一维扩散耦合映像格子和一维单向耦合影响格子作为驱动和响应系统，其 动力学方程如下： + l ( f ) = ( 1 一s ) ( ( j ) ) + 要 厂( ( f + 1 ) ) + ( ( f 1 ) ) 】 ( 3 1 5 ) y 。+ l ( f ) = ( 1 一l a ) f ( y 。o ) ) + ( y 。o 一1 ) ) ( 3 1 6 ) 其中x ，y 为状态变量，厅表示离散化后的时间，i = 1 , 2 ，3 上为格点坐标，为系统尺寸， z , p 为两系统中空间离散格点间的耦合强度因子；( 吒( f ) ) 与( 咒( f ) ) 为局域函数。 选取两种不同的l o g i s t i c 映射作为局域函数 x n + l = 厂( ) = 1 一2 ( 3 1 7 ) y 州= f ( y 。) = f l y 。( 1 一y 。) ( 3 1 8 ) 故两系统可写为： 吒+ 。( f ) = ( 1 - - e ) ( 1 一锨。2 ( f ) ) + 要 ( 1 一2 0 + 1 ) ) + ( 1 一d 。2 ( f 1 ) ) 】 ( 3 1 9 ) y 。+ l ( i ) = ( 1 一) 励。( f ) ( 1 一y 。( f ) ) + p f l y 。( f 一1 ) ( 1 - y 。( f 一1 ) ) ( 3 2 0 ) 其中各系统参数取值为：s = o 3 ，= 0 1 ，口= 2 0 ，= 4 0 ，考虑周期性边界条 件：吒( 0 ) = ( + 1 ) = 0 ，y 。( 0 ) = 儿( + 1 ) = 0 ，图3 1 ，3 2 为上述驱动与响应系统的时 1 7 非线性耦合时空棍沌系统的同步研究 空演化图，其相图如图33 ，3 4 所示。 o 5 拿o t 15 t 1 图3 1 燃t x ( i ) 的时空演化 p j j 。j j 一7 一。0 曩。i ；、l 山i i 幽 一瞄一一 00j0 。0 非线性耦台时空棍沌系统的同步研究 图3 3 状态变量t o ) 的相图 两个系统加入耦合项后变为 图3 , 4 状态变量，。( 1 ) 的相图 非线性耦合时空混沌系统的同步研究 吒+ ( f ) = 钒( f ) + d l ( ( f ) ) + 7 ( d l ( ( f ) ) + d 2 0 。( 功) 只+ i ( f ) = k y 。( f ) + d 2 ( 只( f ) ) + ，7 ( q ( 吒( f ) ) + d 2 ( 只( f ) ) ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 其中 d l ( ( f