（水文学及水资源专业论文）洪水预报实时校正方法研究.pdf

摘要 本文回顾了水文、水动力预报模型的实时校正方法的研究进展、以卡尔曼滤 波技术作为校正的基本方法，针对水文模型提出了一种基于卡尔曼滤波的河道汇 流实时校正算法，并对水动力模型提出了多步( 交替) 滤波校正的思路。 水文模型方面，基于卡尔曼滤波的河道汇流实时校正算法，通过将各子流域 分级并归组，并根据实时水文信息，动态为同级子流域组生成相应维数的卡尔曼 滤波器。其优点是：每个子流域通过“远程”和“本地”卡尔曼滤波校正量，得 n - - 次校正，单点校正量可以最大限度的在流域面上传播；采用了一种在线估计 卡尔曼滤波器量测躁声、模型躁声的实用方法；与马法非线性解法的有机结合， 实现汇流参数的校正。 以三峡区间洪水为研究实例，采用新安江模型，基于数字高程模型建立数字 水文模型，验证该算法，实际效果良好。 水动力模型方面，提出了分离水位、流量、糙率三种变量，分别建立状态方 程，实现多步( 交替) 滤波校正的新思路，并完成了初步的理论推导。 关键词：实时校正方法、卡尔曼滤波、马斯京根非线性解、多步( 交替) 滤波校 正、三峡区间 a b s t r a c t t h i sp a p e re x p o u n d st h ec u r r e n tr e s e a r c ho nt h ec o c o r r e c t i o nm e t h o di nf l o o d f o r e c a s t i n g aa l g o r i t h mo fc o - c o r r e c t i o no nc h a n n e lr o u t i n gm o d e l so fd i g i t a l r i v e rn e t w o r ka n daa p p r o a c ho fs e v e r a ls t e p s ( a l t e r n a t e ) f i l t e r i n g c o r r e c t i o no n h y d r o d y n a m i cm o d e l a r ea d v a n c e do nt h eb a s i so fk a l m a nf i l t e r i n g t h e a l g o r i t h mo f c o c o r r e c t i o no n c h a n n e lr o u t i n gm o d e l s p r o p o s e st h a ta f t e r a l ls u b c a t c h m e n t sa r ec l a s s i f i e da n dr e a s s e m b l e d ，k a l m a nf i l t e r sw i t hc o r r e s p o n d i n g d i m e n s i o n sa r e g e n e r a t e d a u t o m a t i c a l l y f o rd i f f e r e n t g r o u p s o fs a m e l e v e l s u b c a t c h m e n t sa c c o r d i n gt or e a l t i m eh y d r o l o g i ci n f o r m a t i o n t h ea l g o r i t h mh a s s e v e r a la d v a n t a g e sa sf o l l o w s f i r s t l y , e v e r ys u b c a t c h m e n tc a nb ec o r r e c t i o n e dt w i c e b yg e t t i n g r e m o t e ”a n d “l o c a l ”c o r r e c t i o nv a l u e sw h i l et h ev a l u eo f c o c o r r e c t i o no n s i n g l ep o i n tc a r lb ed i f f u s e dt of u r t h e s te x t e n t s e c o n d l y , am e t h o d t h a tc a ne s t i m a t e c o n v e n i e n t l ym e a s u r e m e n te r r o ra n dm o d e l e r r o ro n - l i n ei si n t r o d u c e d t h i r d l y , w i m n o n l i n e a rm u s k i n g i mm o d e li n t e g r a t e d ，c o n f l u e n c ep a r a m e t e rc a n b ec o r r e c t i o n e d d i g i t a lr u n o f fm o d e lb a s e do nx i n a n j i a n gm o d e lo ne a c hs u b c a t c h m e n t c e l lo ft h r e eg o r g sr e g i o ni ss e tu p t h ea l g o r i t h mo fc o - c o r r e c t i o ni sa p p l i e di n d i g i t a lr u n o f f m o d e la n dh a sa c h i e v e dt h ed e s i r e de f f e c t an e w a p p r o a c hp r o p o s e ss e v e r a ls t e p s ( a l t e r n a t e ) f i l t e r i n gc o r r e c t i o nb a s e d o n l e v e l ，d i s c h a r g e ，r o u g h n e s ss e p a r a t e d , e a c he q u a t i o n o f s t a t e p r e s e n t e d k e y w o r d s ：t h e r e a l ，t i m ec o - c o r r e c t i o nm e t h o d 、k a l m a nf i l t e r 、s e v e r a l s t e p s ( a l t e r n a t e ) f i l t e r i n gc o r r e c t i o n 、t h r e eg o r g sr e g i o n 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： ( 注：手写亲笔签名) 学位论文使用授权说明 2 0 0 5 年6 月8 日 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期 刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电 子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允 许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河 海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ： ( 注：手写亲笔签名) 2 0 0 5 年6 月8 日 洪水预擐实时控正方法研究 河海大学硕士学位论文 1 1 研究进展 第一章综述 洪水预报是预测江河未来洪水要素及其特征值的- - 1 7 应用科学技术，作为防汛斗争的耳 目和参谋，它是在人类与洪水灾害斗争的长期实践中发展起来的。准确及时的洪水预报，为 正确做出防洪决策提供了科学依据，可以获得减免洪灾损失的巨大经济效益和社会效益【”。 实时洪水预报又称联机预报，首先是要在以计算机为核心的联机系统中，其次是使用实 时数据进行预报。这种预报要满足实时陛，时段要短，预报速度要快。由于各种原因使得预 报结果有误差，在联机系统应用时，这种误差常常会累积起来，使得预报结果误差较大，甚 至令人无法容忍。在水文上，更着重于对各种误差具有全面合理自动校正的能力圆，即实时 校正的能力。 实时校正就是在实时洪水预报系统中，每次预报作出之前，根据当时的实测信息( 新息) ， 对预报模型的参数、状态变量、输入向量或预报值进行某种校正，使其更符合客观实际，以 提高预报精度“】。它是实时洪水预报系统的核心。没有实时校正能力的模型，随着预报时间 的推移，预报模型的误差会累积起来，从而使预报精度大大降低。实时校正能力的强弱，对 实时预报模型的精度有重大影响，对最大预见期的取得也至关重要。提高实时校正能力，是 建设水情自动钡4 报系统的关键。实时校正方法研究是本论文的研究重点。 实时校正方法有许多种，主要与所选用的预报模型有关，更确切地说，主要与预报模型 的“数学表达形式”及“算法”有关。如时变参数法、卡尔曼滤波法、实测流量代入法，模 型参数动态识别法等等。 系统论、信息论和控制论是从不同侧面揭示对象之间的相互联系、相互作用的内在运动 规律的综合科学。随着它们在洪水预报理论引入过程的不断推进，实时校正苦于没有理论严 l 洪水预报实对校正方法研究 河海大学硕士学位论文 密方法的难题，逐步得到解决。 从上世纪六、七十年代，国内外学者对实时校正方法做了广泛的研究。其中，最有价值 的部分是如何将概念性水文模型用于实时化处理，做实时校正。 1 1 1 国外实时校正方法研究进展 1 1 1 1 初期阶段 从六十代以后，以卡尔曼滤波理论为代表的实时预报的思想，逐步引进到洪水预报领域 中来。 1 9 7 0 年，日本学者h i d o ，在论文“使用线性预报滤波器的径流预报”嘲提出将卡尔曼滤 波理论应用于水文预报研究，并在他1 9 7 3 年论文“水文系统在线预报 4 】”中加以发展。他明 确提出，卡尔曼滤波适用于水文预报，并用卡尔曼滤波器递推地估计降雨径流的响应函数， 但他使用的是理想的观测值，并未完成出流的全部预报。1 9 7 8 年，伍德( w o o d ) 和肖洛克 纳士( s i o l l o s i - n a g y ) 在论文“一个对于在水文预报模型中分析短期结构和参数变化的自适应方 法圈”中全部完成了使用卡尔曼滤波递推估计降雨径流系统响应函数的研究。 意大利b o l o g n a 大学教授托迪尼对洪水实时预报方法研究上，卓有贡献。他在1 9 7 5 年的“种降雨径流的卡尔曼滤波模型嘲”、1 9 7 6 年的“实时水文预报的一种自适应、参数估 计算法【刀”、1 9 7 7 年“水文时间序列实时预报的一种状态空间模型嘲”、1 9 7 8 年的“交互影响 和状恭参数( m i s p ) 估计方法【9 】”等一系列论文中，建立了m i s p 算法，与c l s 模型联合 使用，成为第一个具有实时预报功能的洪水预报模型。但是，现在看来，m i s p 方法在算法 的收敛性、与约束线性系统的适配等方面还有不足。 米克巴( m i r c b a ) 和格列柯茹( g r i g o r i u ) 在论文“用自回归模型作水文预报模拟f 4 2 1 ”中， 提出了一个二阶马尔可夫模型，单独对一个流量时间序列进行模型和预报，这是对本站自身 预报的尝试。 洪水预报实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 1 9 8 0 年，安伯如斯( a m b r u s ) 在论文“应用自调预测器算法作多瑙河实时水文预报”3 】” 中，引入了自校正预报器算法，采用广义a r m a 模型( 即差分模型) ，在多瑙河布达佩斯 巴加河段直接进行水位预报。 1 9 8 0 年，库珀( c o o p e r ) 和伍德在论文“水文输入输出模型的识别和参数估计”中提 出，在观测资料存在噪声时，模型的识别和参数估计可以用卡尔曼滤波的方法来完成，并讨 论了单输入、出系统的情形。同时，他们还在论文“系统和测量噪声未知的水文状态空间模 型的参数估计【4 5 】”和“水文空间模型的未知参数和新息协方差的极大似然估计闱”中，讨论 了将水文模型转换为状态空间后，模型误差协方差q 和观测误差协方差r 的估计问题。 1 1 1 2 近期阶段 大体上从1 9 8 0 年前后至今可划入本阶段。 最具代表f 生的一项研究工作是美国关于萨克拉门托流域模型( 美国天气局n w s ) 用于实 时预报的研究。概念性水文模型除去汇流部分外，还包含了产流量预报，模型多为非线性。 如何使得现有的水文预报模型得到实时校正功能，在系统理论上没有现成的方法可用，需要 深入研究。 1 9 8 0 年，凯特尼迪和伯拉斯发表了论文“用概惫陛水文模型进行实时预报f 4 7 ”，报告了 对n w s 模型进行实时化处理的第一个研究。这一研究在1 9 8 2 年由波沙达( p o s a d a ) 和伯拉 斯在论文“一个大概念性降雨径流模型的自动参数估计：一种极大似然法【4 8 i ”中，推广到萨 克拉门托流域模型中。论文提出，将n w s 原萨克拉门托模型改造成非线性状态空间，状态 向量由八个模型变量组成：上层张力水蓄量；下层张力水蓄量；下层慢速自由水蓄量；下层 快速自由水蓄量；附加不透水面积蓄量；河槽蓄量；线性水库演算系数k ；出口断面瞬时流 量。而系统状态向量滤波校正的新息采集位置设在出口流量上。状态转移矩阵代表了状态向 量随时间变化的关系，量测矩阵代表状态向量和观测变量之间的关系，它们均可以从n w s 模型的各环节计算公式中对应地一一表达出来。然后，把f ，h 中属于非线性函数的部分用泰 洪水预报实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 勒级数展开，取一次项实现线性化，再使用扩展的卡尔曼滤波器实现模型的实时预报。 1 9 8 1 年，伍德在论文“分区大规模水文系统的滤波 1 0 l ”中，对大流域上使用卡尔曼滤波 器技术进行了研究。作者建议采用分区子系统的处理方式，建议用增补噪声过程的技术补偿 预报误差，以处理子系统之间相互影响的难题。 1 9 8 6 年，摩尔( m o l l ) 在河川径流模拟与预报 i 1 1 中，介绍了在莱茵河上使用的一种 实时预报方法。此法使用一个确定性的洪水演算模型与一个随机噪声模型相结合，实现实时 预报。演算模型采用有定常参数的对流扩散方程的显式差分数值解，认为是预报的“初步值 q l ”，以q l 作为一个回归模型的输入，再求出最终预报值q 2 ，即q 2 ( t ) = a t + b t q l ( t ) 。以实时修 正向量x 【- 【a b 明1 作为状态向量，构造一个状态空间模型： x r - x t - t + w t( 1 1 ) q 2 ( 垆 1 ，q 1 ( t ) 】1x 【+ v t ( 1 - 2 ) 这是一个“随机游动”模型，采用卡尔曼滤波器可对x t 进行进行实时估计，以x t 作为修 正系数就可以从q i ( c ) 实时地校正为q 2 ( t ) 。这项研究对于水动力模型实时校正方法研究有重要 的启发意义。 1 1 2 国内实时校正方法研究进展 1 9 7 8 年以后，水文界恢复与国际水文界中断了的学术联系，我国现代洪水预报技术研究 开始有了很大的发展。 葛守西在“一般线性汇流模型实时预报方法的初步探讨1 2 】”一文中，对于系统数学模型、 参数动态识别、各种滤波技术的方法性能进行了试验比较，对于托迪尼建议的m i s p 算法存在 问题进行研究后，建议了一种用衰减记忆在线识别、衰减卡尔曼滤波和匹配法自适应滤波联 合运用的算法。此算法在t o d i n i 算法基础上进行了创新，理论性能比较完备，实际使用效果 则超过了m i s p 算法。 洪水预报实时校正方法研究河海大学硕= b 学位论文 1 9 8 4 年，葛守西在“蓄满产流模型的卡尔曼滤波算法【1 3 】”一文中，建议了以土壤含水量 为状态变量，应用卡尔曼滤波技术对于产流预报进行动态实时校正的新技术，这是在国内外 概念性水文模型实现实时校正技术的一次突破。 1 9 8 7 年，张恭肃等在确定性水文预报模型的实时校正【1 4 ”一文中，针对任何一个确定 性水文模型进行预报后将出现一个具有相关眭的误差序列这一事实，对此误差序列建立一个 状态空间方程，以参数向量作为状态向量，即可用系统识别方法估计其参数，用来估计预见 期的可能误差，达到实时校正的目的。 1 9 8 7 年，朱华在“马斯京根法的矩阵方程求解法 1 5 】”一文中，对于一个可分为多个子河 段的长河段，尝试以各子河段的出口流量作为状态向量，将一个多河段的马斯京根演算问题 变为一个状态向量的递推问题，从而为使用马斯京根法进行实时预报提供了一个可用的模型 形式。1 9 8 8 年，朱华在“大型水电系统实时洪水预报与调度模型【4 9 ”中，介绍了在黄河三花 区间、鲁布格水库上使用的一种实时预报模型，它以多河段马斯京根演算方程作为状态空间 方程，其中以各子河段出口断面流量作为状态向量，再以单位阵作为观测矩阵构造观测方程。 于是可以使用卡尔曼滤波技术实现河系演算的实时预报。在具体做法上，模型的马斯京根法 的矩阵方程的系数是采用作者设计的依据参数物理意义进行逐时段校正，使之成为时变系统， 正规卡尔曼滤波则用于校正系统的状态向量。 1 9 9 5 年，钟登华等在“水文预报时间序列神经网络模型f 1 6 ”一文中，尝试把人工神经网 络( a n n ) 系统技术引入到洪水预报中来。a n n 的特点是采用并行结构和处理方式，具有强容 错性，信息采用分布式存储，强自适应性，对于缺乏水文资料的流域，可以利用单站实时信 息进行实时校正以提高预报精度。此项技术国内外目前尚在探索阶段，还无法大规模的用于 实际的水文预报工作中。 2 0 0 4 年，葛守西、程海云等发表了“水动力学模型卡尔曼滤波实时校正技术”7 】”，在国 内外对将卡尔曼滤波和水动力模型联合应用尚属空白的情况下，此文对该问题的研究做了有 洪水预报实时校正方法研究 河海大学硕士学位论文 盏的尝试，分别研究了以观测变量，糙率和综合变量为状态向量的卡尔曼滤波模型并对滤波 器参数的确定进行了试验，试验提出了滤波器参数的最优结构形式和参数值。 1 1 3 结论 实时校正方法是洪水预报技术的重要组成部分，它的技术发展对于提高预报精度有着重 要意义，对其进行深入研究是非常必要的。 综合以上国内外近年来对实时校正方法的研究，可以归纳出两点 1 ) 卡尔曼滤波算法因其具有完整和严密理论体系，而成为洪水预报实时校正领域内的主 流。它将状态变量法引入到滤波理论中，用消息与干扰的状态空间模型代替了通常用来描述它 们的协方差函数，将状态空间描述与离散时间更新联系起来，适用于计算机直接进行运算。这 种算法得出的是表征状态估计值及其均方误差的微分方程，给出的是递推的算法。卡尔曼滤波 器的一个明显特点是出现了一个非线性微分方程，即黎卡蒂方程，它易于用计算机求解，求解 过程比较简单，适于实时处理。对于具体的洪水预报工作，卡尔曼滤波算法具有广阔的应用前 景。 2 ) 国内外对实时校正方法的研究，多集中于水文模型的实时校正。河道洪水流量和水位 实时预报通常采用水文学和水力学方法。两者相比，水力学方法对河道断面资料要求较多， 对于普通的水文预报操作者来讲，把经验和实时的信息结合到水力学方法中比较困难。水动 力学模型用于洪水预报，主要解决水文学方法无法解决或解决得不甚理想的一些课题，尤其 在流域的中下游地区，需要预报河道内任何断面的水位、流量等要素时，水动力模型刚通常 为首选方法。然而，由于其预报精度不甚理想，长期以来未能在实时作业预报中得以广泛应 用。如何通过实时校正来提高其预报精度成为一个重要的研究课题。 6 洪水预报实时校正方法研究 河海大学硕士学位论文 1 2 研究内容 ( 1 ) 分析概念性水文预报模型实时校正方法，研制基于卡尔曼滤波的通用河道汇流实时 校正算法。基本方法为以马斯京根矩阵解法( 非线性算法) 和卡尔曼自适应滤波技术为 基础，构建时变线性滤波系统，对全流域的状态变量和汇流参数做校正。 以建库前三峡区间作为研究区域，在总结三峡河段多年洪水预报实践经验的基础上，分 析三峡区间流域产汇流规律的变化特点：采用数字高程模型技术建立三峡区间分布式流域水 文模型；检验上述算法的实时校正效果。 ( 2 ) 对水动力模型的实时校正方法做初步研究，以圣维南方程和卡尔曼滤波技术 为基础，研究水动力模型中单一河段的状态向量的校正算法及实现参数自动调整。 本研究中的水动力模型实时校正难度很大，国内外鲜有研究成果发表，但将水动力 模型用于实时预报，可以解决水文学方法无法解决或解决得不甚理想的一些课题，具 有重大的实际意义，所以对此问题做深入探索是极其必要的。 洪水预报实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 2 1 方法概述 第二章实时校正方法基本原理 实时校正的方法是与预报模型紧密相关的。预报模型的“算法”与“数学表达形式”制 约或者说很大程度上影响了实时校正方法的选取。例如，马斯京根法只有在写成矩阵形式后， 才获得了强大的实时校正能力。 大多数预报模型在研制过程中是以“模拟”为目的，从根本上说，追求这一目的与该模 型获得强大的实时校正能力是不矛盾的。实时校正中最好用全流域实测水文信息来校正模型 参数、状态量的需要，又决定了预报模型的研究设计必须要注意几个关键问题： 1 ) 要把全流域的产、汇流部分写成离散线性随机系统的状态空间方程形式。 2 ) 要把整个预报流域看成一个不可分割的整体，状态向量及输入向量中要尽量包含所有 实测信息。状态空间方程要有物理依据，要能反映状态变量之间的有机联系嘲。 3 ) 对于那些黑箱子模型，它们仅仅使用出口断面流量来进行实时校正，而对于流域内部 许多宝贵的实时水文信息却弃之不用。仅靠一个出口流量，信息量太少，又丧失了宝 贵的预见期，这是导致许多模型实时校正效果不佳的主要原因。 目前，对线性系统的校正研究的比较成熟。通常有三种方法来描述一个线性系统，即微 分方程( 差分方程) 、响应函数及状态空间方程。对于概念性水文预报模型和物理性水动力预 报模型而言，都可以借助线性系统的实时校正方法来获得较好的校正能力。 常用的实时校正方法有，时变参数法，卡尔曼滤波法，实测流量代入法等等。 洪水预报实时校正方法研究 河海大学硕士学位论文 2 2 常用实时校正方法 2 2 1 时变参数法 当用绕陛系统来描述菜个动态非严格线性系统时，必然会产生模型误差。由于其参数随 时间( 或随状态变量) 变化，所以采用时变参数就可以减少模型误差1 2 】。例如马斯京根法采 用非线性解的做法，这种实时校正参数的方法是简单而有效的，但是必须具有系统详细的知识 和信息才行，比如马法非线性解中求参数k 、x 用到的水力学知识和实测水位、流量资料。 很多河道汇流具有明显的非线性作用，高水和低水的传播时间甚至会相差一倍，将流量 分级，在不同级别设置不同的马法参数，也是时变参数法的一种应用形式，但该法在跨级的 地方会发生突变，误差增大，故在水隋自动测报系统内不宜采用。 2 2 2 实测流量代入法 在t 时刻，需要预报t + t 时刻某断面的流量( 1 。若能将预报方程写成包含q 。的形式 式中f ( ) 表示某种函数 u t输入量； e 参数。 若已知流量初值q o 及参数e ，对一组给定的输入，就可以对未来的流量q l 、q 2 、进 行“预报”。 如果在每一个新的预报时间点t ，通过遥测获得实时流量吼，只要将实测值q 、代入( 2 一l ) 中取代q 。，即可达到实时校正的目的。 自回归滑动平均模型和单一马斯京根法都可以用此方法进行实时校正。但此方法比较原 始，校正能力并不强，且大多数预报模型不能写成式( 2 1 ) 的形式。 9 洪水预报实时校正方法研究 河海大学硕士学位论文 2 2 3 误差预测法 预报模型误差序列都呈现一定的规律。其误差可分为偶然性误差和连续性误差。前者正 负相问、有大有小，没有什么规律。后者，正值或负值都会连续出现。对于这种误差序列， 建立合适的误差随机模型就可以进行误差预测翻。 自回归模型c a r 模型) 就是一种合适的模型。 q 。= 巾zn 。一- + 中2n t - 2 十巾。q 。，+ q 。( 2 2 ) 式中n 预报误差 模型参数巾可采用在线动态识别法算出，如最t j , , - - 乘估计。将预测出的预报误差修正在 预报值上就达到了实时校正的目的。此法将误差与预报模型完全独立，非常通用，可以确保 有一个时段的预见期。 此法的缺陷是校正能力不强，预见期增长时，精度无法保证。对于有多个水文站的较大 流域，不适宜应用此法，因为无法利用流域内其它新息。而且，对于流量陡涨陡落的流域， 不宜采用。 2 2 4 卡尔曼滤波法 2 2 4 1 概述 6 0 年代，卡尔曼首先提出用一个状态方程和一个量测方程来完整的描述线性动态过程。 卡尔曼滤波理论是采用时域法以状态方程为其数学工具，以多变量控制、最优控制与估计以 及自适应控制为主要内容。其适用于线性随机理论，提出了平稳与非平稳、线性与非线性、 集中与分布、多输入、输出系统相当广泛领域内的一种现代动态系统分析技术【1 8 l 。 卡尔曼滤波以系统状态空间模型为分析对象，用一个具有随机初始状态的向量来描述状 态随时间的变化规律，成为状态方程。可以假定，这个方程受到某些随机干扰的影响以及描 述模型不准确的干扰等，这些干扰称为动态噪声。量测变量与状态变量之间，可以假定有某 1 0 洪水预报实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 些函数依赖关系，并可用方程描述，即称量测方程。同时，还存在随机量测误差，这种误差 称为量测噪声。 卡尔曼滤波运用现代随机估计理论给出了系统状态的无偏最小方差的递推估计值。如果 估计的是系统状态现时刻的值，称为“滤波”，如果是系统状态将来的值，称为“预报”。估 计理论已经证明：无偏最小方差估计线性估计中性能最佳的估计。卡尔曼滤波即是一种最佳 线性估计方法。而其递推公式既可以得到滤波估计值，又可以得到误差的方差阵，即可以完 成自身的误差分析。 卡尔曼滤波技术中最常用的为“正规卡尔曼滤波技术”，它对模型、观测噪声的统计特性 做了一些假定。为了解决实际使用中存在的各种问题，卡尔曼滤波还包含了多种滤波处理技 术，如描述非线性系统的推广卡尔曼滤波方法，为解决有色噪声而产生的状态变量扩维法和 量测求差法，为克服滤波发散，而采用的渐消记忆滤波、限定记忆滤波、自适应滤波方法等 等。 卡尔曼滤波为在整个流域面上实现状态量及参数的实时校正提供了技术支持。 2 2 4 2 正规卡尔曼滤波技术 1 8 若线性系统用非马尔可夫型( 即系统有输入项u k ) ，状态空间表达为： 状态方程x k = 巾k - l3 6 1 + gk 1 u k 1 + rk 一1 k - l ( 2 3 ) 观测方程z k = h k x k + ”k陋1( 2 4 ) 式中符号意义为： x k ，x k ，k - 1 时刻系统n 维状态向量 川k 时刻系统r 维模型噪声向量： f k - 1 k 时刻系统n * r 阶模型噪声分配矩阵 中k m t 刻系统n $ n 阶状态转移矩阵： u k i ：k l 时刻系统的输入项，为s 维非随机向量 堂查至望壅堕笙垩查堕堕塞 塑塑查兰堡主堂竺笙茎 g k - l ：n s 维输入矩阵； z k ：k 时刻系统m 维观测向量： h k ：k 时刻系统m # r l 维观测矩阵； u tk 时刻系统i n 维观测噪声向量； 其中，模型噪声 c 0 k ) 与量测噪声 ”k 是互不相关的零均值白噪声序列，即对所有k ，j ， 模型的基本统计性质为 e i n k = 0 c o y ( o o k , 畸) = e k ，q 1 = q i c ( 2 5 ) e uk = oc o y ( v bu j ) = e uk ”j 1 = r k ( 2 - 6 ) c o v ( m k ，u j ) = e ( 0 l c ，”j = o ( 2 7 ) 这里6 k ，是克罗内克6 函数，即 岵传曷 c 又设初始状态的统计特性为 e x o ) = u 。v a l x o - = e ( x o - u0 ) ( x 0 - u 。) 1 ) = p 0 且x 。与 ) ， ”k 都不相关，即 c o y ( x o ，妣) = 0c o v ( x 0 ，”k ) = o q k 为非负定阵，r k 为正定阵，p 0 为非负定协方差阵。 状态向量预测误差协方阵为 p 妣一1 = e k l ，k l1 x l c k l _ x k 一悠l k ) ( i 【l 一为上一时刻状态量对当前时刻的预报值。 状态滤波误差协方阵为 p 址= e ) ( j ( ) ( k i k1 ik = x k 一 1 2 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 i ) ( 2 一1 2 ) 洪水预报实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 血为本时刻状态量的滤波值。 则上述系统的正规卡尔曼滤波公式为 a 滤波：x k = x k ik t + k k ( z k 也ik 1 )( 2 1 3 ) 预报：x k ih = q b k - i ) ( i = 一t + gk _ l u k _ i ( 2 1 4 ) 增益矩阵：k k = p 目k 1h k ( h k k 1h k l 十r k ) 1 ( 2 一1 5 ) 状态向量预测误差协方阵： p 啦i = 巾lp k - ll k - i 巾k 蚌1 1 + rk - lq k - l rk _ l 1 ( 2 1 6 ) 状态滤波误差协方阵： p k = ( i k k h k ) k 1 ( 2 1 7 ) 从这组递推公式可见，最优滤波与进一步最优预测之间有着紧密的联系：在滤波的基础上 进行一步预测( 2 - 1 4 ) ；而当获得了新的量测数据后，就可以在预测的基础上进行下一时刻的 滤波( 2 一1 3 ) 。 给x 。p o 、r o 、q o 赋初值后，滤波公式的执行顺序为( 2 1 6 ) 、( 2 1 5 ) 、( 2 - 1 3 ) 、( 2 1 7 ) 、( 2 1 4 ) 。 如果系统稳定，x 。、p o 的假定对滤波器影响不大，它将会很快收敛到与x 。、p o 无关的系统估值。 对r 、q 的正确估计是一个比较困难的问题【1 】o 2 2 4 3 自适应卡尔曼滤波技术 自适应滤波的目的之一，是在利用量澳4 数据进行递推滤波的同时，不断的由滤波本身去判 断目标动态有否变化。当判断有变化时，要进一步决定是把这种变化看作随机干扰，归到模 型噪声中去，或是对原动态模型进行修正，使之适应目标变化了的动态。自适应滤波的另一 个目的，是当模型噪声方差矩阵q 。和量测噪声方差矩阵r k 未知或不确切知道时，由滤波本身去 不断估计或修正它们。当判断到目标动态有变化，且决定把此变化看作随机干扰时，就要由 滤波本身去估计由它产生的模型噪声方差矩阵。 洪水预报实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 自适应滤波问题分为三类：1 ) 系统模型( 即由，h 阵) 精确已知，噪声统计( q ，r 阵) 未 知；2 ) 系统模型和噪声均未知；3 ) 系统模型是近似的，噪声统计已知或未知。 在本论文中涉及的水文、水动力系统模型自适应滤波问题均系第一类问题，这里先叙述一 种对q 、r 进行后验估计的代表算法一s a g e 和h u s a 的自适应滤波法【1 9 1 。 对于动态系统模型 x k = 巾捌k 1 ) j + g k q u k - l + fk 1 c o k 1 z k = h k x k + ”k ( 2 一1 8 ) l ( = 1( 2 1 9 ) 采用于正规卡尔曼滤波相同的基本假定，仅噪声统计特性未知，即 e f ( 0 k ) 2 q ，e ”k - - - r ，e f ( k _ q ) ( 蛐一q ) 1 ：q 6 k j ，e ( ( uk r ) ( ”厂r ) 1 ) _ r ( 2 2 0 ) 自适应滤波问题的提法是基于f z ，z 。z 。) 估计稳态躁声q ，r 、q 、r 和相应进行递推状态 滤波。 如果q 、r 、q 、r 已经估计出来了，依据它们可仿前导出滤波器公式为 lk 1 2 中k i i lk i + g k i u k q + q r d k 1 = 由叫k _ ip k 1 陋l 中列k 1 + q k k = p h k 1h k l ( h k 凡k - lh k l + r ) x k lk 2 k i + k k ( z k r - ) ( i k 1 ) k = ( i k k h k ) p l ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) 在k 时刻，q 、r 、q 、r 的极大后验次优估计值为 采= 竿蠢小 ( 赋卜中- ) ( 1 ? 旧，) ( 2 - 2 6 ) & = 竽q c _ l + i i ( k k c k e k x k k l 十一由州巾k l k lx ) ( 2 - 2 7 ) 坛灯 e k 2z k h k ) 矗1k i rk 1( 2 2 8 ) 洪水预报实时校正方法研究 河海大学硕士学位论文 a ：掣，：；+ 寻( z k - h kx i c l 。) ( 2 - 2 9 ) 七席 蠢k = 生；r ：1 + _ 1 ( e k e k 一h k 凡k - 1 h k l ) ( 2 - 3 0 ) 庀彤 这是s a g e h u s a 递推估计噪声统计参数的四公式，其使用的顺序是：对k 时刻先用式( 2 2 1 ) 一 ( 2 - 2 5 ) 进行滤波计算，其中q 、r 、q 、i t 均用k - l 时刻的值( 若k - 1 = 0 ，则可假定四者的初值) ， 再用式( 2 2 6 ) 一( 2 3 0 ) 递推估计k 时刻的四参数，再转入k + l 时刻进行递推。 s a g e 算法的缺点是，主要适用于稳态系统，对于时变系统使用效果会下降。从式( 2 2 6 ) 一 ( 2 3 0 ) 可见，当k 很大时，( k 1 ) k 一 l ，l k - 0 ，也就是估计进入稳态，四参数的递推就成为 等值延伸。 关于自适应卡尔曼滤波技术，从长远看，应着眼于吸收自动化控制领域的优秀成果 2 0 l ，得 到与水文系统相适应的自适应滤波算法。 2 2 4 4 卡尔曼滤波技术的优点及应用难点 卡尔曼滤波是线性无偏最小方差估计，主要有以下几个优点： 1 ) 可以应用于任何线性随机系统，和预报流域的大小无关，校正能力全面而合理； 2 ) 可以综合处理模型误差与水文测验误差； 3 ) 只要满足卡尔曼滤波的条件，可以得到最优估计。但做到这点必须与水文预报有机的 结合起来。 卡尔曼滤波推理严密，这是其优点，但也意味着其使用条件较多，故在实际应用上存在以 下难点： 1 ) 模型噪声和量测噪声不为白噪声。例如模型躁声往往难以满足许多滤波算法要求的白 噪声这一约束性条件，模型参数率定的不准确将导致模型躁声序列的相关性，g l l c o v ( 钒，q ) 不等于零，甚至e ( 0 k 不等于0 。解决办法主要有：增加测报系统内水文站数e l ；采用时变线 性系统；采用扩大状态维数等办法，把有色噪声看做是扩大维数后的状态向量的一部分，从 而把有色噪声当白噪声处理；提高水文测验精度等。从理论上看，似乎考虑有色噪声是必需 洪水预报实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 的，但在有色噪声情形下的线性滤波中，仍然需要引进新的参数，通过数值实验来确定其大 小，其本质也是一个率定的过程，对于水文工作者来说，不如仔细率定模型参数来得比较实 际。目前看来，在解决这个问题方面，增加水文站数目效果是最好的。 2 ) 模型噪声和量测噪声难以统计，且不为常数。很多自适应滤波算法在运算多步后，都 会如s a g e 算法一般进入稳态，需要进一步研究解决在线估计模型噪声和量测噪声的方法。 3 ) 滤波的发散问趔1 8 】。由于数学模型不能正确反映实际物理过程，对模型噪声和量测噪 声的统计特性了解不够，使得两者方差取值不合适，加上计算机有限字长使得计算过程中的 舍入误差积累过大，导致计算出来的协方差矩阵不正定，甚至不对称，最后使滤波出现反常 现象，即尽管协方差矩阵的计算值看上去不断变小，但状态估计值的实际误差取不断增加， 以致得到完全不符合实际的结果。出现发散的原因千差万别，误差补偿技术名目繁多。在水 文系统上以衰减记忆法和增益直接加权法用的较多。它们都体现了误差补偿的基本思想：当 系统模型不够好的时候，尽量削减模型的影响，强化对实测资料的依赖。但衰减记忆因子和 人工干预增益调节因子的选取都要通过实验来解决。 洪水预报实对校正方法研究 河海大学硬士学位论文 第三章概念性水文预报模型实时校正方法 流域水文模拟是对流域上发生的水文过程进行模拟，建立数学模型。水文模型始终 是水文科学研究的重要手段与方法之一。这些年来，概念性水文预报模型发展很快，并 且已经具备了较好的实用水平。随着水文自动测报系统的建立，已经能够使人们在作业 预报中源源不断地获得最新的信息。实时校正对保持洪水预报模型预报的良好精度、不 积累误差具有很大的意义。在实时洪水预报中，目前常用的实时校正方法很多，如误差 自回归校正算法、递推最d , - - 乘法、卡尔曼滤波算法等等，其中卡尔曼滤波因其具备严 密的数学推理，易于和概念性、物理性水文模型结合使用，有着广泛的应用前景和极大 的研究价值。本章将讨论概念眭水文预报模型对实时校正方法的要求、基于d e m 的分步 式水文模型建模、基于卡尔曼滤波的水文要素状态量校正方法及参数校正方法等问题。 3 1 实时校正问题分析 水文模型有多种类别，确定胜模型与不确定眭模型随机模型。确定性模型又分 为黑箱子模型与概念陛模型1 2 ”。概念性模型是要对流域上发生的水文过程进行模拟，具 有物理概念的模型。概念性降雨径流模型历经多年发展，已逐渐成熟。例如我国的新安 江( 三水源) 模型与美国的萨克拉门托模型。 概念性降雨径流模型的设计初衷是为了模拟流域上的水文过程，它是基于水量平衡 这个基础，实时水文信息对这类模型是无关紧要的。而预报是以在一定预见期内达到高 精度为e l 标的，故概念性水文模型用于预报遇到新的问题是必然的。实时预报中不仅有 实时雨量输入，也有实时流量( 或水位) 信息。基于概念性水文模型产汇流机理，又能 利用这些实时水文信息修正模型参数或状态变量的预报模型，才能称为概念性水文预报 模型。 洪水预报实时校正方法研究 河海大学硕士学位论文 显然，概念性水文预报模型对实时校正方法的要求决定于两个因素：洪水预 报误差的来源、误差校正的全面合理性。 3 1 1 预报误差主要来源 预报误差主要来源于以下几个方面伫2 】 1 ) 模型结构误差。水文预报模型都是对实际流域系统进行概化后建立起来的，例如 把空间分布过程表示为集总式的；水文循环的各个环节被人们概念性的分离开，并做了 不同程度的简化；单元面积之间的相互影响用简化了的函数关系式描述。模型的这种不 完善引起的误差称为模型结构误差。 2 ) 模型参数的误差。不论采用什么辩识方法( 在线或是离线) ，也不论用什么辨识技 术，被辨识模型的参数对其真值来说总是存在误差的，即使是反映流域自然地理特征的 参数，如流域面积，流域长度等，由于测量误差存在，也不能完全准确。 3 ) 模型的输入误差。用概念性水文模型进行预报所要求的输入资料通常是降雨和流 域蒸散发等。这些资料由实测得到，或是根据气象预报估算得到。前者存在测验预处理 和平均误差，后者则存在相当大的预报误差。 4 ) 预见期降雨引起的误差。这一误差取决于气象部门的天气预报精度，为了提高预 报精度，需要借助于短期定量降雨预报，但预报精度是比较低的。 5 ) 系统初始状态的误差。水文预报的初始时刻，系统模型中往往有一些变量需要赋 初值，如新安江模型中包气带各层的土壤含水量。不过水文预报是连续作业的，又因系 统记忆长度有限，使得这种误差来源不重要。 对于提高水文预报精度而言，前三种误差是需要高度重视的，它们是重要且有望校 正好的，是洪水预报实时校正的目标所在。一种好的实时校正方法，应该能对它们做出 正确的应对。幸运的是，利用现代控制理论中的卡尔曼滤波，前三种误差都有校正好的 8 洪水预报实时校正方法研究 河海大学硕士学位论文 前景，值得深入研究。 对于第一类误差，即模型结构误差。在自适应卡尔曼滤波技术中对应为系统模型近 似，噪声统计已知或未知，它主要需处理近似模型的未知误差对滤波影响问题。以1 9 7 8 年y o s h i m u r a 和s o e d a 提出的虚拟噪声补偿模型误差技术为代表【l 】。 对于第二类误差，即模型参数的误差。将系统的模型参数也视为状态向量，并将它 们加入系统的状态方程，因而形成一个非线性方程。然后将其线性化，又成为一个线性 增广状态方程，此时即可用线陛卡尔曼滤波公式叩。 对于第三类误差，即模型的输入误差。这在卡尔曼滤波中的量测噪声上已有体现。 3 ，1 2 误差校正的全面合理性 卡尔曼滤波中状态方程的建立是以状态空间中的研究对象( 即状态向量) 为基础的， 通过数学推导，在把水文产汇流的非线性系统转化为动态线性系统后，其系数矩阵是有 比较严格的物理基础的。这样当状态向量中的某一个分量得到校正，其余分量都会根据 状态向量的系数矩阵，得到台理的校正。而在水情自动测报系统中，流域内大大小小的 各个水文站( 或水位站) ，就好象是一系列传感器，由它们来发现在什么地方出现了误