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四川大学硕士学位论文 摘要 一类算子方程的耦合拟解的几个存在性定理 运筹学与控制论专业 研究生何光指导教师黄南京教授 本文利用半序的方法，研究了一类非线性算子方程n x = a ( z ，茹) 在b a n a c h 空间上的耦合拟解的存在性，并得到了几个新的存在性定理主要 结果如下： 在定理3 1 中，讨论了算子方程n x = a ( z ，茁) 在b a n a c h 空间上的耦合拟解的 存在性： 在定理3 2 中，进一步研究了方程n ：r = a ( z ，茹) 在b a n a c h 空间上最小最大耦 合拟解的存在性； 在推论3 3 中，取为恒等算子，得到定理3 1 的一个特例； 在推论3 4 中，取a ( o ，卫) = 舭且没有假设锥的性质，于是结果改进 了z h a n g 和x i e 。乃1 0 u 和y 玑以及l i u 和w u 文章中的结论； 在推论3 5 中，假设非线性算子a 的形式为a ( ，动= 君z + c x , 其中可以 把看作b z 的一个扰动部分d ( o ) ，那么。我们可以把结论应用到研究扰动方程 的问题上 其中定理3 1 和定理3 2 分别推广和改进了d u a n 和l i 的文章中定理2 1 和定 理2 2 的结果由于应用中许多常微分方程，偏微分方程，积分方程及抽象微分方程 的边值问题都可以化为适当函数空间中n x ；a ( z ，$ ) 的形式，因此我们的结果具 有广泛的适用范围 关键词混合单调算子；b a n a c h 空问；半序；相对弱紧集；耦合拟解 四川大学硕士学位论文 a b s t r a c t s o m en e we x i s t e n c et h e o r e m so fc o u p l e dq u a s i s o l u t i o n sf o rac l a s so f o p e r a t o re q u a t i o n s m a j o r ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s a u t h o r ：g u a n gh e s u p e r v i s o r ：n a n - j i n gh u a n g i nt h i sp a p e r , t h es e m i - o r d e rm e t h o di su s e dt os t u d yt h ee x i s t e n c eo fc o u p l e d q u a s i - s o l u t i o n sf o rac l a s so fn o n l i n e a ro p e r a t o re q a d o n s 石= a ( $ ，功i nb a n a c h s p a c e s s o m en e w e x i s t e n c et h e o r e m sa r eo b t a i n e d , m a i nr e s u l t sa r eb r i e f l ya sf o l l o w s ： i nt h e o r e m3 1 w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo f c o u p l e dq u a s i - s o l u t i o n sf o ro p e r a t o r e q u a 虹n z = a ( z ，z ) i nb 柚hs p a c e s ； i n 啊l e 蝴3 2 w ef u r t h e rs t u d yt h ee x i s t e n c eo fc o u p l e dm i n i m a l m a x i m a l q u a s i s o l u t i o n sf o re q u a t i o n o = a ( 善，功i nb a a n c hs p a c e s ； l e tnb et h ei d e n t i c a lo p e r a t e - i nd e d u c t i o n3 3 w eo b t a i nas p e 晒a lc a s eo f t h e o r e m3 1 s u p p o s et h a ta ( z ，霉) = a $ i nd e d u c t i o n3 4a n dd on o ta s s u m eo t h e r p r o p e r t i e so f c o n e s ，t h e nt h er e s u l ti nd e d u c t i o n3 4i m p r o v e ss o m er e s u l t sp r e s e n t e d i nt h ep a p e ro fz h a n ga n dx i e ，z h o ua n dy u , l i ua n dw ui nd e d u c t i o n3 5 ，s u p p o s e t h a ta ( 第，z ) ；b 茹+ c x ，w h e r ec bi sr e g a r d e d 丛ad i s t u r b a n c eo f 点h h e n c e , o u r r e s u l t sc o u l db ea p p l i e di nd i s t u r b a n c ee q _ u a t i p r o b l e m s t h c o r e n 雌3 1 a n d 3 2 9 e n e r a l i z e a n d i m p r o v e t h e r e s u l t s o f t h e o r e m s 2 1 a n d 2 2 i n t h e p a p e r o f d u a n a n d l i ，r e s p e c t i v e l y i n d i s c u s s i n g t h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m o f m a n yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i n t e g r a le q u a t i o n s a n da b s t r a c td i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w ec a nc o n s i d e rt h ef o r mo f z = = a ( z ，z ) i n p r o p e rf u n c t i o ns p a c e s s ot h a to u rr e s u l t sc o u l db ea p p l i e de x t e n s i v e l y k e yw o r d s ： m i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r ；, b a n a c hs p a c e s ；s e m i - o r d e r ；r e l a t i v e l y w e a k l yc o m p a c ts e t s ；c o u p l e dq u a s i s o l u t i o n s ， 一一 第一章引言 众所周知，非线性算子理论在研究非线性分析、非线性规划、非线性微分 方程、非线性变分不等式及补问题中有重要的作用( 见 2 g u 【6 】) 宅e 1 9 8 7 9 ，g u o _ 币【l l a k s h m i k a m h a m 【7 1 已经研究过下面一类非线性算子方程 霉= a 0 ，茹) 获得了方程耦合解的一些存在性定理，其中a 是b a n a c h 空间中混合单调算子 上述方程是一类重要的非线性方程，已被用来研究多种微分方程和积分方 程( 见【7 ，8 ，1 1 】) 随后，h u a n g 、t a n g 和l i u 召e 【1 0 】中利用单调迭代技术和n a d l c r 定理，构建了 一种新的迭代算法用以解决b a n a c h 空闻中一类新的非线性包含，并证明了这类 非线性包含解的存在性作为应用，讨论了动态规划中一类新的普通b e l l m a n 泛 函方程的存在性问题 最近，文【1 8 】引用c a r i mj 在度量空间中所定义的半序( 见【l 】) ，证明了半序 度量空间中增映射的不动点定理，实际上得到了算子方程z = z 在完备度量空 间中解的存在性结果 2 0 0 3 年，f e n g 和l 柚在【5 】中利用半序的方法。讨论了以下非线性算子方程 _ ! z = n x 在完备度量空间和b 龇h 空间中的可解性( 其中为一序连续算子。l 不必连续) ， 并将所获得的结果应用于微分积分方程的两点边值问题 在2 0 0 5 年，h e ，l e e 和h u a n g 【9 】研究了b 弛h 空间中一类新的非线性算子方 程 n x = a ( z ，功 一l 一 ( 1 0 1 ) 四川大学硕士学位论文 他们利m x u 和j i a 【1 4 】引入的妒凹( - 妒) 凸算子概念，获得了方程( 1 o 1 ) 的一些新的 存在性结果 另一方面，d u a n 和u 【4 】利用半序的方法，研究了一类非线性算子方程z ： a ( 正，= ) 在b a n a c h 空间中的最小最大耦合拟解的存在性，得到了几个新的存在性 定理 受前人的启发，本文我们同样利用半序的方法，研究非线性算子方 程( 1 0 1 ) 在e a n a c h 空间上 耦合拟解的存在性( 其中为一非线性算子) 。得到 了几个新的定理及相关推论，并且我们的结果改进和推广了【3 ，4 ，1 2 , 1 3 】中的相 应结论 另外，我们的结论还可以应用到许多常微分方程，偏微分方程，积分方程及抽 象微分方程的边值问题中 。 一2 一 四川大学硕士学位论文 2 1 基本定义及假设 第二章预备知识 设e 为一实b a n a e h 空间非空闭凸集p 称为锥，如果它满足以下条件： ( i ) $ p ，a 之0 ，贝0 a z p ； ( i i ) $ p 及一鬈p ，则z = 口，其中0 表示e 中的零元 p 为刀中的锥，”s ”是p 诱导的偏序，即有z 圣y c r y 一$ p ，对任意的z ，暑，e 现在，我们定义exe 上的范数： l i ( x ，v ) l l f 届= 棚船z 0 2 0 ，l i v l l 比，| ，e 显然，e e 黾范数为0 的b 姐h 空间设只= ( z ，) e e i 口，y 口) ，其 中口表示e 中的零元易知，b 为曰e 中的锥，且p l 定义的偏序如下： ( 茹，y ) ( 札，口) = z u ，y t ，( 2 1 1 ) 定义2 1 设非空集d c e a ：d x d e 称为混合单调算子。如果 ( i ) 对每个固定的z ，d a ( 为) 在d 上关于。是单调递增的； ( i i ) 对每个固定的霉d ，a ( $ ，鲈) 在d 上关于是单调递减的； 即对任意的而，执d ( i = l ，2 ) ，有z l 。2 及可t y l = a ( x “u 1 ) a ( x 2 ，耽) 定义2 2 如果存在矿，矿d ，使得矿一a ( 矿，y + ) ，n y + 一以( 旷，矿) 。则 称( 矿，y ) 为方程( 1 0 1 ) 的一个耦合解( 矿，矿) 称为方程( 1 0 1 ) 的最小最大耦合 解，如果对方程( 1 0 1 ) 的任一耦合解( ，) ，都有矿，矿2 饥 定义2 3 设上( 司为e 上的线性算子空间t 上( e ) 称为线性正定算子，如果 一3 一 一一一一 婴型丕堂婴主堂垡垒塞 对任意的z e ，有卫之口辛7 k 20 定义2 4 设跏，y o e l l x o 蛐，则称集合【蜘，鲥= z i 蜘zs 踟) 为e 中 的序区间 定义2 5 对一族元素疋，如果在某些对元素( o ，6 ) 上有二元关系，记作d 6 ，它具有以下性质： ( i ) n 口； ( i i ) 若a b j b 口。则d = 6 ： ( i i i ) 若a b j b g 则口 c ： 则称疋按照关系” ”为部分有序的 定义2 6 设z 按” ”为部分有序集 ( i ) 对c 刀，若有p 咒使$ p 对一切2 一4 都成立，则称p 为4 的上界 ( 赶) 如果对石中任意两个元素。，鼽必有z f 或! ， 。，贝称z 是完全有序的 ( i i i ) m z 称为朋的最大元，如果有z z 使m z ，则必有z = l r l 为方便起见，我们现给出以下条件： ( 凰) 存在a ( 0 ，1 】，使得( a ，+ 刃一1 三( 功，并且 ( 灯+ d 一1 z 0 = z p ( 岛) t ：e 一日为有界的线性正定算子 这里我们说明一下几个符号：西”表示d 的弱闭包，面( d ) 表示d 的凸闭集， c d 表示d 的补集 。+ 一4 一 四川大学硕士学位论文 2 2 相关引理及证明 引理2 1 如果t l ( e ) ，则存在a ( o ，l l ，使得( + 刃一1 三( e ) ，并且 ( a ，+ 一1 队a ( z ，y ) + t 叫= t 铮a 0 ，) = t ( a ，+ 刃一1 协a ( ，。) + t v l = 口铮a ( v ，$ ) = 其中t = n z ，t ，= n y 证明显然由题意可知： ( m + 力一1 【a a o ，y ) + t u = 钉 a a ( ，”) + t u = ( a i + t ) u a a ( z ，y ) = 地 j 4 0 ，y ) = “ 同理，可得( a ，+ 卵 a a ( y ，茹) + t v l = t ，铮a ( v ，= w 证毕 引理2 21 3 1 如果存在a ( o ，1 】，使得t l ( e ) 满足( 王h ) 。则( 灯+ d 一1 为一 正定线性算子 证明我们用反证法假设存在知p 使得( + t ) 一1 蜘擘p 根据( 日1 ) 可 得，x 0 ；( 盯+ ( + 刃一1 知簪p ，这与我们的假设矛盾故原命题成立证毕 引理2 3 如果g ：d d e 为一混合单调算子，j v 为非线性算子，并 且日0 ，掣) = a ( g ( 。，口) ，a ( v ，z ) ) ，b ( z ，们= a ( ( ) ，白) ) ，v ( 甄耆，) d d ，则 ( i ) 日为锥b 诱导的偏序上的增算子： ( i i ) 方程日( z ，y ) = b ( z ，) 有解( 矿，y + ) ( 矿，可+ ) 为方程( z ) = g ( g ，z ) 的耦 合解： ( i i i ) 方程日( z ，y ) = 日( z ，鲈) 的最小解为方程( 功；g ( z ，z ) 的最小最大耦合 解 一 一5 一 四川大学硕士学位论文 证明( i ) 的证明：设( z l ，童1 ) 0 2 ，耽) ，则由g 的混合单调性可得： g ( z 2 ，9 2 ) g ( z l ，9 2 ) 之g ( x l ，玑) ，g ( y 2 ，x 2 ) g ( 玑，现) g ( 玑，卫i ) 即日扛l ，y 1 ) = ( g ( 峦1 ，1 ) ，g ( ”l ，z 1 ) ) s ( g ( x 2 ，耽) ，g ( 抛，现) ) ；t t ( x 2 ，耽) ，故日为 增算子 接着证明( i i ) 因为0 ，旷) 是算子方程日( z ，) = b ( 茁，! ，) 的解铮( 矿，y + ) 是 算子方程( ( z ) ，( ”) ) = ( a ( x ，! ，) ，c ( u ，z ) ) 的解营( 矿) = g ( 矿，矿) ，0 ) ； g ( 旷，茹) ，即( 矿，掣) 为方程n z g 扛，z ) 的耦合解 最后我们证明( i i i ) 设( 矿，矿) 是方程h ( x ，可) = 曰( z ，口) 的最小解，那么对方程 的任一解( 让， ) ，有( 矿， + ) s ( t ， ) 由( 2 1 1 ) ，可得t + t ，可矿于是由( i i ) 及定 义2 2 知，( 矿，矿) 为方程n ( x ) ；g ( $ ，z ) 的最小最大耦合解证毕 引理2 4 【1 2 】设( f ，p ) 为一序b a n a c h 空问，d 为同i 勺非空子集。且掣e 如 果z sp ( 或y z ) ，v z d ，则z ! ，( 或y z ) n z 面( d ) 引理2 5 【1 6 】设名为非空的部分有序集如果z 的任何完全有序子集都有 一个上界在彤中。则z 中必含有极大元 一6 一 四川大学硕士学位论文 第三章主要结果 3 1 方程n x = a ( x ，。) 的耦合拟解的存在性 定理3 1 设e 是一实b 柚a c h 空间，p s e 中的锥d u = ， o 】是f 中一序 区间是单增算子且( 风) = ) 0 a ：d 垒【( 伽，v o ) ，( ，蛳) 】一e ，并且满 足( 玩) ，( 飓) 以及以下条件： ( 1 ) 伽sa ( t 籼t l d ) ，a ( 如，t o ) n v o ； ( 2 ) 对任意的撕。1 x 2 t ，0 ，u o 肌暑2 冬v o ，有 a ( z 2 ，”1 ) 一a ( x l ，y 2 ) - t ( u a 一缸1 ) 其中心l = $ 1 ，坳5 n x 2 ； ( 3 ) 如果n x l n z 2 ，v z l ，鲍d o ，则有礼s 勋； ( 4 ) g ( d ) 中任一全序子集是相对弱紧的，其中g ( 。，鲈) 垒( a i + t ) 一1 p 国( 茁，翟) + 刊且m ：= $ ，v 茹，掣d 那么算子方程( 1 0 1 ) 有耦合拟解( 矿，矿) d 证明由条件( h i ) 及引理2 2 ，可得( x r + 研- 1 为一线性正定算子那么， 由( 1 ) ，( 2 ) 及( 月j ) 可得 ( dn u o g ( 咖，v o ) ，g ( 伽，) n v o ； g ：d 一，铷1 为一混合单调算子 我们证明下面的算子方程在d 中有解： b ( ，管) = 日( ，可) 其中日( 为暑，) = a ( g ( z ，) ，g ( u ，z ) ) ，b ( x ，”) 垒( ( 功，( f ) ) 首先，由( ) 及引理2 3 知日为增算子 一7 一 ( 3 1 1 ) 四川大学硕士学位论文 现令 矗= ( z ，耖) d i ( n x ，n y ) h ( x ，) ) ，m 2 = “可，$ ) i ( ，口) j l 矗 于是由( i ) 知( 蛳，) 尬，则蝎非空现设硒为尬的全序子集，显然j g ： ( ”，x ) l ( z ，! ，) 硒) 为m 2 的全序子集v w d o ，令 r l ( w ) = ：d o w z ，r 2 ( 伽) = z d o i z t l j 因为p 是闭凸集，故r 如) 0 = 1 ，2 ) 也都是闭凸集 对任意的叮l g ( ) ，q 2 g ( j g ) ，我们令 毋( 口1 ) = 历( g ( 甄) ) n 冗- ( 9 1 ) ，岛) = 历( g ( 肠) ) n 如池) 因为r - ( 口1 ) ，奶乜) 是闭凸集，那么最像) = 1 ，2 ) 也是闭凸集又由 于g 是混合单调算子，则g ( 垃) “= 1 ，2 ) 都是g ( d ) 的全序子集因此。由条 件( 4 ) 知g ( 硒) g = 1 ，2 ) 为g ( d ) 的弱紧集于是，再由i ( r e i n - s m u l i a n 定理【1 5 】可 得可( g ( 匝) 尸a = 1 ，2 ) 为弱紧集；又因历( g ( k ) ) c 历( 舀可面严0 ；l ，2 ) ， 故历( g ( 甄) ) 为弱紧集 任意的儡g ( 哎) a = 1 ，2 ) 。有蟊s 慨) a = l ，2 ) ，于是只( 琅) 非空任给 的西，叵，磊g ( 噩) ，z g ( 鲍) 。不妨设 前磊s 磊，酲s 则 岛( q ：) ) & ( 吐) ) ) 韪( 蠢) ，s 1 ( 口：) c 毋( 酲) c c 岛( 茹) 故面有 nn o s l ( 区) cn & ( 反) ，岛( 毛) cn 岛( ) o ( 3 1 2 ) i = l i - - = 1 四川大学硕士学位论文 下面，我们证明n “。) 冀慨) a = 1 ，2 ) 为非空集 假设n “。( 噩) 最( 吼) = o ( i = 1 ，2 ) ，则有 茄( g ( k ) ) c uc 娩慨) ( 3 1 3 ) m e g ( 甄) 由( 3 i 3 ) 可知， c & ( 啦) i g g ( 甄) ) a = 1 ，2 ) 分别为历( g ( 甄) ) 0 = 1 ，2 ) 在 弱拓扑下的开覆盖因历( g ( 凰) ) a l ，2 ) 为弱紧集，故历( g ( 托) ) 0 = l ，2 ) 有有限 子覆盖，即存在矗，吐，靠c c g , ) ，口：，荔，醪g ( 配) ，使得 1 1 1 l 酬g ( 蜀) ) cuo 两( 口：) ，历( g ( 娲) ) cu c 岛( 醪) ( 3 a 4 ) i = li = l 由于毋( 口：) c 历( g ( j n ) ) a = 1 ，2 ，m ) 以及岛( 醪) c 历( g ( j 岛) ) 0 ： 1 ，2 ，f ) ，那么由( 3 1 4 ) 可得 mm l j n c 历( g ( 虬) ) c u ( z ) ，n 岛( ) c 茄( g ( 尥) ) c u ( ) i=l昌l；-i；l 于是 这显然与( 3 1 2 ) 矛盾 故而，n m g ( 髓) & 缸) 0 = 1 ，2 ) 为非空集，那么存在露n “g ) 最国) 0 = l ，2 ) ，使得露鼠缸) ，对任意的岱g ( k ) 于是有酊尼缸) ，对任意的叮 g ( k ) 根据r 慨) 的构造可得： 口1 酊，q 2 q 主 ( 3 1 5 ) 因( d 0 ) = d o ，那么存在 l ，w i d o ，有 l = g ，t i j 2 = q 主现取任意 一9 0 = 、，吼 岛 。n：i d = 、j，吼，l c 6 m n 耐 婴盟盔羔堡圭堂焦堡塞 的( 茁，掣) 硒，有( 玑动j g 由( 3 1 5 ) 可得： g 扛，们西= n w l ，n w 2 = 叮主s g ( 玑z ) 又由于j hc 矗，则( z ，n y ) 日( $ ，暑，) = ( g 0 ，| ，) ，g ( 耖，动) ，即有0s g 0 ，! ，) ，g ( v ，$ ) n y 那么，n z n w l ，t 1 2sn y 根据条件( 3 ) 可得z w l ，w 2 g ，再由( 2 2 ) ，有 ( 为鲈) ( w 1 ，w 2 1( 3 1 6 ) 可见，1 ，地) 是硒的一个上界 接着，我们证明( l ，w 2 ) 帆，即证b ( t t ，l ，w 2 ) = ( n w l ，n w 2 ) 日( 叫1 ，w 2 ) v 扣，y ) 甄，有( 弘妨i 2 。使( z ，妒) ( w l ，她) ，( ，g ) ( 她， 1 ) 于是， 由g 的混合单调性可得 则 g 扛，暑) sg ( w l ，叫2 ) ，g ( v ，z ) g ( t 屹，伽1 ) 所以。由引理2 - 4 有，毗= 酊r i 缸) c 历( g ( k ) ) g = 1 ，2 ) ，使得 t l ，l g ( 伽l ，讹) ，g ( w 2 ，1 0 1 ) 锄， ( 铆，n w 2 ) ( g ( 1 ，奶) ，g ( 她， 1 ) ) = 日( 叫l ，t l ，2 )( 3 i 7 ) f 由( 3 1 7 ) 可知( 1 ，忱) m 故由z o m 引理可得，且以含有一最大元( 矿，旷) 最后，证明( 矿，圹) 是方程( 3 1 1 ) 的解 我们先证明以下结论： b ( 茹l ，i ) s 口( z 2 ，抛) ，( ，弘) d ( i = l ，2 ) = l ，! ，1 ) ( 勉，毫2 ) ( 3 1 8 ) 一l o 四川大学硕士学位论文 由b 的定义可得，b ( x l ，虮) = ( 。“n y l ) ( 勋，抛) = b ( 2 ，抛) 。于是 有 n x , s n x 2 ，n m n m 再根据条件( 3 ) 知。z ls 勋，y z 即有( z 1 ，鼽) ( 勋，抛) 因为( z + ，y + ) j l 磊，贝0 有 b ( 矿，矿) 日( 矿，y + ) = b ( b - 1 日( 矿，矿) ) 于是，由( 3 1 8 ) 得( 矿，矿) b 一1 日( 矿，y + ) 再根据日的单调性，可得 b ( b 一1 日0 + ，旷) ) ；日( 矿，圹) sh ( b 一1 日( 矿，毫，。) ) 于是b - 1 日( 矿，+ ) 尬 现在说明b 为一单增算子 若 l ，! 1 ) s ( 观，耽) 。即有。i 勋，沈讥，由于是单增的，可得 n x , n z 2 ，抛班 贝l j b ( x , ，! 1 ) = ( n x , ，n y , ) ( n x 2 ，n y 2 ) = b ( z 2 ，抛) 。于是b 为单增的 又因( 矿，旷) 是m 中的最大元，且b 为单增的。故 b ( b 一1 日( ，y ) ) = = 日( z + ，暑，) 曰( 矿，暑，) ， 所以，日( 矿，! ，+ ) = b ( 矿，圹) ，即有矿= g 0 ，旷) ，n y = g ( 旷，矿) 由引理2 1 可 知矿= 以( 矿，+ ) ，n y + = a ( 矿，矿) ，于是( 矿，矿) 就是方程( 1 0 1 ) 的耦合解证毕 3 2 方程z = a ( z ，$ ) 的最大最小耦合拟解的存在性 定理3 2 在定理3 1 的条件下，9 鹈( i 0 1 ) 有最小最大耦合拟解( 矿，y ) d 1 1 7 s 垒( f ( 口) ，( t ) l i b ( 地 ) s 日( t ，) ，( 让，”) b ，f ( 日) c 【( u ，口) ，( ，砷j ) 其中【( ，口) ，( ，u ) j 为刀e 上的序区间 易知，d s h s d 我们定义s 上的偏序如下 l ，如只厶如甘 c ，2 ( 3 2 1 ) 下面我们将说明s 中有一最小元 设r = 【( ，) ，( ，u a ) l c t a ) ( a 为指标集) 是s 的任一全序子集令扁： ( ，) l a a ，飓= ( ，) i q a ) 易知丑“岛都是d 5 b 8 9 全序子集由g 的 混合单调性可知。g ( 足) 0 = 1 ，2 ) 为e 中的全序子集 在定理3 1 的证明中，我们令j n = 毋，j b = 奶于是。正如( 3 1 6 ) 及( 3 i 7 ) 的 证明，j 爵a - ( g ( 见) ) ( 其中砺= 劢，使得 ( ，) s ( 一，砺) ，a ( 3 2 2 ) b ( 瓯面_ ) = ( 瓦研) 日( 硒，- ) v 扛，暑，) f ( 日) ，扣。，v o ) 月l 。有( ，) 忍根据s 的定义知，( ，) ( z ，) ( ，) 于是由g 的混合单调性得 g ( t l 口，) g ( 缸y ) g ( ，札。) 一1 2 一 磊 一廊忑篇 吾| 印j 童 一钢 一| 雪 因西历( g ( 足) ) ，由引理1 4 ，有 研g ( 。，暑，) 恼 ( 3 2 4 ) 同理，v0 ，) f ( ，( ，) 飓，有( ，) r 1 类似( 3 2 4 ) 的证明，我 们有酉c ( x ，y ) 面啄因此 ( i 吒自动( g ( z ，善) ，g ( 弘z ) ) = 口( 。，) = ( n z ，n y ) ( i _ 面- ) ( g 扣，暑，) ，c ( y ，z ) ) = h ( x ，) = ( n z ，n y ) 再由条件( 3 ) ，可得 ( - 面动s ( $ ，暑，) ( 砺，研) ，v ( 茁，y ) f ( 日) 现令，= 【( 硒，硒) ，( 面i ，硒) j ，m ( 3 2 3 ) 及( 3 2 5 ) 可知，s 接下来。我们 说明朋酱中一个下界由( 3 2 2 ) 知，对任意的a 九有( ，) ( 研，面匿) 及( ，) ( 硒，硒- ) - 那么，c 【( ，) ，( ，“。) 】，即，为r 的下界 于是，由z o m 引理可得，s 含有一最小元p = 【( 矿，旷) ，( 矿，。) 】，且 b ( z ，口) 日( 茹+ ，。) = b ( b 一1 日( z 。，f ) ) 由( 3 1 8 ) ，有p + ，秒) b 一1 日( 矿，旷) 又因为日为增算子，那么 b ( b - 1 日( 矿，) ) = 日( 矿，暑，) sh ( b 一1 日( 矿，暂+ ) ) v ( z ，鲈) f ( h ) ，根据日的单调性及s 的定义可得 日 + ，旷) h ( x ，暑，) = b ( 。，暑，) 日( 旷，矿) 四川大学硕士学位论文 即有。 b ( b 4 日( 矿，矿) ) b ( b 一1 片( 甚，口) ) = b ( z ，薯，) b ( b 一1 日( 暑，矿) ) m ( 3 1 8 ) ，有 b 一1 日( 矿，”) ( z ，! ，) b 一1 月。( 矿，2 + ) 因此，i b 一1 日0 + ，耖) ，b 一1 日( z ，+ ，) 】s 显然， 、 ( 矿，可+ ) sb q 日( 矿，矿) ，( 矿，$ + ) b - 1 日( 旷，$ ) 于是由( 3 2 1 ) 得，j = f ( 矿，扩) ，( 旷，矿) 】p - 1 日( 矿，矿) b 一1 日( 圹，矿) 1 因，为s 中最小元，所以b 一1 日( 矿，矿) = ( 矿，圹) ，即有日( 矿，l ，) = 口( 矿，矿) 故( 矿，圹) 为方程日( 茁，! ，) = 占( 茁，! ，) 在d 中的最小解于是，由引理2 3 得( 矿，旷) 是 方程z = o ( x ，茁) 得最小最大耦合解所以。由引理2 1 及引理2 2 知，( 矿，圹) 是算 子方程( 1 0 1 ) 的最小最大耦合拟解证毕 3 3 一些相关的推论 推论3 3 设曰是一实b 船a c h 空间，p 为f 中的锥d o = f u 0 ，咖】是e 中一序区 间a ：d = a 【( 呦，) ，( ，t o ) l e 并且满足( 日1 ) ，( 月2 ) 以及以下条件： ( 1 ) t 0 a ( t d ，珊) ，a ( v o ，u o ) sv o ； ( 2 ) 对任意的伽l s 筇2 sv o ，t | 0 玑抛s 有 a ( 2 ，讥) 一a ( z l ，仇) 一t ( 现一z 1 ) ( 3 ) g ( d ) 中任一全序子集是相对弱紧的，其中g ( 善，们= a ( a ，+ 一1 a a ( z ，”) + z 铆，v z ，可d 一一璺! ! ! 查堂堡圭兰丝堡苎 那么算子方程z = a ( z ，。) 有耦合拟解( 矿，矿) d 注l 易知，推论3 3 是在定理3 1 中取为恒等算子得到的即为 4 d p 定理2 1 推论3 4 设e 是一实b 孤h 空间，p 为e 中的锥d = ，】是e 中一序区 间是单增算子且( d ) = d 。a ：dce e 并且满足( 凰) ，( 上毛) 以及以下条 件： ( 1 ) n u o 4 t 幻，a v o n v o ； ( 2 ) 对任意的u o $ l 勋v o ，有 a x 2 一a s l 一? ( 1 2 一 u 1 ) 其中仳l 。n z l ， u 22n x 2 ； ( 3 ) 如果$ lsn z 2 ，v z l ，z 2 d ，则有z l x 2 ； ( 4 ) g ( d ) 中任一全序子集是相对弱紧的，其中g ( 正) = a ( a ，+ d 一1 【入如+ t u ，且缸= n x ，v 卫，”d 那么算子方程n z = a z 有解矿d 推论3 5 设e 是一实b 柚a c h 空问，p 为f 中的锥d o = ，j 是e 中一序区 间是单增算子且( z ) 0 ) = d d a ：d = af ( 锄，v o ) ，( 蛳，“o ) j e j j a ( z ，苫) ； 王b + c x , 满足( 矾) ，( 飓) 以及以下条件： ( 1 ) n u o b u o + 口咖，口如+ 口铷s 铀； ( 2 ) 对任意的t o s 。l 勋t j o ；t 0 讥s 抛铷，有 b 钇+ c y , 一( b z , + c 妇) 一t ( 也一u 1 ) 其中l = n x i ，地= 娩：。 ( 3 ) 如果霉1 n x 2 。v z l ，沈d o ，则有z l z 2 ； ( 4 ) g ( d ) 中任一全序子集是相对弱紧的，其中g ( 马) 垒( x r + 功一 i a ( b z + 劬) + t u f l u = n x ，v z ，暑，d 一1 5 婴型盔堂堡主堂丝堡奎 那么算子方程( 1 0 1 ) 有耦合拟解( 矿，旷) d 3 4 本章小结 定理3 1 和定理3 2 分别推广和改进了d u a n 和l i 的文章中定理2 1 和定理2 2 的 结果 在推论3 3 中，我们取为恒等算子，就可以得到定理3 1 的一个特例；而对于 推论3 4 取a ( 茁，z ) = a z 且没有假设锥的性质，于是改进和推广了【3 。4 ，1 2 。1 3 】中 相应的结果；推论3 5 假定了算子a 的一类形式a ( ，z ) = b $ + c 其中可以 把c h 看作日z 的一个扰动部分6 p ) ，则我们可以把结论应用到研究扰动方程的问 题上 另外，应用中许多常微分方程。偏微分方程，积分方程及抽象微分方程的边值 问题都可以化为适当函数空间中z = a ( z ，$ ) 的形式，因此我们的结果具有更广 的适用范围 一1 6 一 一 垄耋茎堕 参考文献 j c a r i s t i ，f i x e dp o i n tt h e o r e m sf o rm a p p i n g ss a t i s f y i n gi n w a r d n e s sc o n d i t i o n s t r a n s a m e r m a t h s o c ，2 1 5 ( 1 9 7 6 ) 。2 4 1 2 5 1 【2 】s s c h a n g ，y j c h oa n dh yz h o u , l t e r a t i v em e t h o d s f o rn o n l i n e a ro p e r a t e r e q u a t i o n smb a n a c hs p a c e s ，n o v as c i p u b l ，n e wy o r k , ( 2 0 0 2 ) 1 3 y z c h e n ，f i x e d p o i n t s t - m o n o t o n e o p e r a t o r s ，n o n l i n e a r a n a l t m a ，2 4 ( 1 9 9 5 ) ， 1 2 8 1 1 2 8 7 t 4 1h g d u m aa n dg zl i t h ee x i s t e n c eo fc o u p l em i n i m a l m a x i m a lq u a s i - s o l u t i o n sf o rac l a s so fn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n s 。上m a t h ，2 5 ( 2 0 0 5 ) ，5 2 7 - 5 3 2 【5 】y q f e n ga n ds y l i n , s o l v a b i l i t yo fa l lo p e r a t o re q u a t i o ni np a r t i a lo r d e r e d s p a c e ，a c t am a t h ，s i n i c a , 4 6 ( 2 0 0 3 ) ，4 11 - 4 1 6 【6 】d j g u o ，f i x e dp o i n t so fm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r sw i t ha p p l i c a t i o n s a p p l a n a l ，3 1 ( 1 9 8 8 ) 。2 1 5 2 2 4 f 7 】d j g u oa n dvl a k s h m i k a n t h a m c o u p l ef i x e dp o i n t so fn o n l i n e a ro p e r a t o r s w i t ha p p l i c a t i o n s ，n o n l i n e a r a n a l t m a ，1 1 ( 1 9 8 7 ) ，6 2 3 - 6 3 2 嘲d j g u o a n d v l a k s h m i k a n t h a m , n o n l i n e a r p r o b l e m s i n a b s t r a c t c o n e s , a e a _ d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ( 1 9 8 8 ) 【9 】g h e , b s l e e a n d n j h u a n g ，s o l v a b i l i t y o f a n e w c l a s s o f m i x e d m o n o 咖e o p e r a t o re q u a t i o n sw i t ha na p p l i c a t i o n , n o n l i n e a r a n a l f o r u m1 0 ( 2 0 0 5 ) , 1 4 5 1 5 1 【l o 】n j h u a n g , y yt a n ga n dy el i u ，s o m en e we x i s t e n c et h e o r e m sf o rn o n l i n e 缸 i n c l u s i o nw i t ha l la p p l i c a t i o n , n o n l i n e a rf u n e t a n a l a p p l 6 ( 2 0 0 1 ) ，3 4 1 3 5 0 一1 7 一 一耋耋苎墼 【11 】g s l a d d ea n dv l a k s h m i k a n t h a ma n da s v a t s a l e ，m o n o t o n el t e r a t i v e 死咖 n i q u e s f o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p i t m a n , n e wy o r k ( 1 9 8 5 ) d 2 1x y l i u a n d c x w u ，f i x e d p o i n t o f d i s c o n t i n u o u s w e a k l y c o m p a c t i n c r e a s i n g o p