（轮机工程专业论文）基于分形理论的信号处理与分析的研究.pdf

武汉理一 大学硕士学位论文 摘要 分形理论作为一门新兴的学科，它特别适用于分析复杂系统，而把分形理 论应用于机械系统的故障分析领域，是学术界的新动向。可以采用分形理论分 析机械系统的状态信号，从中提取出分形维数作为特征信息，不仅可以定性， 而且可以定量地分析系统的运动状态，从而实现对复杂机械系统的故障诊断， 提高对故障的识别和分析能力，是一种很有前途和有效的机械设备信号分析的 方法。本文在总结和吸取前人研究成果的基础上对分形信号的仿真与参数估计、 关联维数和多重分形谱在信号处理与故障分析的应用进行了研究。 首先，以故障信号特征提取为切入点，阐述了传统方法的不足，分析了分 形应用于机械系统故障信号分析的可行性及研究方法。 然后，研究了分形信号的仿真及其方法，在m a t l a b 软件平台上仿真分形信 号，进行分形维数的估计并作比较，得出了估计值与理论值比较吻合，分析了 产生误差的原因，结果证明应用分形维数作为复杂非线性机械信号进行性能分 析在理论上是可行的。 接着，以柴油机系统为研究对象，运用关联维数对其进行理论研究和实验 分析。研究了关联维数的计算方法，分析了关联维数作为特征信号的提取值的 可行性，并用实际实验数据进行数据分析，结果显示不同工作状态下的机械振 动信号的关联维数是不同的，具有明显的可分性。关联维数对设备故障比较敏 感，能够反映系统的动态特性。因此，关联维数作为故障信号分析的敏感因子 是可行的，这种方法简单、直观、易行，克服传统方法分析上故障特征的提取、 分析的困难。 最后，对多重分形谱三个特征参数：极大值厂m 。，、宽度w 和不对称程度b 作为信号分析的依据在机械故障分析的应用进行了理论研究和数据分析。分析 结果显示多重分形谱具有一定的局部分析能力，结合关联维数和多重分形谱， 从整体与局部的角度同时考虑提取故障诊断特征量，可提高故障分析的准确性 与可靠性。 关键字：分形，信号仿真，参数估计，关联维数，多重分形谱 武汉理t 大学硕十学位论文 a b s t r a c t a san e w l yd e v e l o p i n gs u b j e c t ，t h ef r a c t a lt h e o r yi ss u i t a b l ef o ra n a l y s i so n c o m p l e xs y s t e m s a n di t s an e wt r e n do fa c a d e m i cc i r c l e st ot a k ef r a c t a lt h e o r y i n t ot h ef i e l do ff a u l ta n a l y s i sf o rm e c h a n i c a ls y s t e m w ec a nu s ef r a c t a lt h e o r yt o a n a l y z eo nt h es t a t es i g n a lo ft h em e c h a n i c a ls y s t e m ，a n dt a k ef r a c t a ld i m e n s i o na s c h a r a c t e r i s t i ci n f o r m a t i o n ，w ec a na n a l y s i so nm o t i o ns t a t en o to n l yq u a l i t a t i v e l yb u t a l s oq u a n t i t a t i v e l y , s ow ew i l lr e a l i z ef a u l ta n a l y s i so ft h ec o m p l e xm e c h a n i c a l s y s t e m ，a n di m p r o v et h ec a p a b i l i t yo fd i s c r i m i n a t i o na n da n a l y s i so nf a u l t ，i ti sa n e f f e c t i v em e t h o df o rt h es i g n a lo ft h em e c h a n i c a le q u i p m e n t s t u d yo nt h e a p p l i c a t i o no ff r a c t a ls i g n a ls i m u l a t i o n ，p a r a m e t e re s t i m a t i o n ，c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n a n dm u l t i - f r a c t a ls p e c t r u mi nt h es i g n a lp r o c e s s i n ga n df a u l ta n a l y s i s f i r s t l y , f a u l ts i g n a lf e a t u r ee x t r a c t i o ni s t a k e na sb r e a k t h r o u g hp o i n t ，t h e d e f i c i e n c i e so ft r a d i t i o n a lm e t h o d sa r ed i s c u s s e d ，a n df r a c t a la p p l i e d i nt h e p o s s i b i l i t ya n ds t u d ym e t h o do ff a u l ts i g n a la n a l y s i s t om e c h a n i c a ls y s t e mi s a n a l y z e d s e c o n d l y , t h ef r a c t a ls i g n a ls i m u l a t i o na n di t sm e t h o di ss t u d i e d ，t h es i m u l a t i o n o ff r a c t a ls i g n a li sd o n eo ns o f t w a r ep l a t f o r mo fm a t l a b ，t h ee s t i m a t i o na n d c o m p a r i s o no ff r a c t a ld i m e n s i o ni sm a d e ，t h ee s t i m a t e dv a l u eg o ti sn e a r l yt h es a m e a st h et h e o r e t i c a lv a l u e ，t h ec a u s eo ft h ee r r o ri sa n a l y z e d ，a n dt h er e s u l tp r o v e st h a t t a k i n gf r a c t a ld i m e n s i o na sc o m p l e xn o n l i n e a rm e c h a n i c a ls i g n a l t oa n a l y z eo n p e r f o r m a n c ei sf e a s i b l et h e o r e t i c a l l y t h e n ，t a k et h ed i e s e le n g i n es y s t e ma ss t u d yo b j e c t ，u s ec o r r e l a t i o nd i m e n s i o n i nt h et h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a ls t u d y s t u d yt h ec a l c u l a t i o nm e t h o do ft h e c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n ，a n a l y z et h ef e a s i b i l i t yo ft a k i n gc o r r e l a t i o nd i m e n s i o na st h e e x t r a c t i o nv a l u eo fc h a r a c t e r i s t i ci n f o r m a t i o n ，a n dh a v ea na n a l y s i so nt h ea c t u a l e x p e r i m e n t a ld a t a , t h er e s u l ts h o w st h a tt h ec o r r e l a t i o nd i m e n s i o n so fm e c h a n i c a l v i b r a t i o ns i g n a la r ed i f f e r e n tu n d e rd i f f e r e n tw o r k i n gs t a t e s ，h a v i n go b v i o u sf r a c t a l l l 武汉理l 火学硕十学位论文 c h a r e r i s t i c t h ec o r r e l a t i o nd i m e n s i o ni ss e n s i t i v et ot h ef a u l to ft h ee q u i p m e n t ，a n d c a nr e f l e c td y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h es y s t e m t h e r e f o r e ，t a k i n gc o r r e l a t i o n d i m e n s i o na st h es e n s i t i v ef a c t o r so ff a u l ts i g n a la n a l y s i si sf e a s i b l e ，t h i sm e t h o di s s i m p l e 、v i s u a l 、f e a s i b l e ，i to v e r c o m e st h ed i f f i c u l t yi nt h ee x t r a c t i o na n da n a l y s i so f f a u l tc h a r a c t e r i s t i e s a tl a s t ，f o rt h et h r e ec h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r so ft h em u l t i f r a c t a ls p e c t r u m ： m a x i m u m 厶。，w i d t hwa n du n s y m m e t r i c a ld e g r e eb ，t h e y a r ea p p l i e di n m e c h a n i c a lf a u l ta n a l y s i st om a k et h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a ls t u d ya st h eb a s i sf o r s i g n a la n a l y s i s t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tm u l t i f r a c t a ls p e c t r u mh a sb e t t e r c a p a b i l i t yo ft h el o c a la n a l y s i s ，c o m b i n ec o r r e l a t i o nd i m e n s i o nw i t hm u l t i f r a c t a l s p e c t r u m ，c o n s i d e rt h ee x t r a c t i o no ff a u l td i a g n o s i sc h a r a c t e r i s t i cq u a n t i t yf r o mt h e w h o l ea n dp a r t i a lv i e w sa tt h es a m et i m e ，i m p r o v et h ea c c u r a c ya n dr e l i a b i l i t yo f f a u l ta n a l y s i s k e y w o r d s ：f r a c t a l ，s i g n a ls i m u l a t i o n ，p a r a m e t e re s t i m a t i o n ，c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n ， m u l t i f r a c t a ls p e c t r u m i i i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生( 签名) ：日期：0 2 搿倍。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生c 签名儿么讧毕导师c 签名，： 日期如矛，、2 1 武汉理一【人学硕十学位论文 第1 章绪论 1 1 本文研究目的和意义 机械设备监测诊断在我国蓬勃发展，已成为国民经济发展和社会主义建设 的迫切需要。随着科学研究和工程应用需求的不断提高，所涉及到的监测诊断 问题同趋复杂和困难。解决问题的关键之一是如何对监测诊断中获得的机械动 念信号的非平稳性非线性进行有效地分析。机械监测诊断面临大量的非平稳动 态信号，这是因为机械设备运行中故障的发生或发展导致动态响应信号具有非 平稳性。 信号故障分析技术主要用于保障机械正常运行，提高工作效率，节约维护 费用等。故障信号分析与诊断过程包括信号测量，故障特征提取，建立标准特 征库及比较识别四个步骤，其中故障特征信息的提取对故障诊断是非常重要的 环节，特征提取的充分和正确与否，直接影响到诊断结论的准确性【4 】。振动信 号是设备状态信息的载体，它蕴含了丰富的设备异常或故障的信息，而振动特 征是设备运行状态好坏的重要标志。利用振动信号对设备进行判断，是设备故 障诊断中最有效、最常用的方法之一，机械设备和结构系统在运行过程中的振 动及其特征信息是反映系统整体及其变化规律的主要信号。 传统的信号特征提取是以信号的平稳性为前提，通过几十年的发展，传统 的频谱分析方法对平稳故障信号的分析及诊断已经相当成熟。但是，在对非平 稳非线性信号分析中，傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的瞬变成分， 变换的频谱的任意频率值是由时问过程在整个时间历程上的贡献决定的，过程 在某一时刻的状态也是由频谱在整个频域上的贡献所决定的。因此，仅能从时 域或频域给出统计平均结果，不能同时兼顾信号在时域和频域的局部化和全貌。 而实际工程常见的大型机械在运行过程中，由于气门间隙、摩擦力、外载负荷 等因素的影响和转子轴承定子系统的相互作用，其故障会呈现出一定程度的非 线性特性，从而使其一维时间振动信号具有突变性和非平稳性，表现在传统的 基于快速傅罩叶变换的频谱分析中，会在频谱上出现一系列的整数倍或分数部 的基频谱峰及许多杂乱的谱峰，有时甚至是连续的谱分布，这也加重了从时域 或频域内提取有效诊断特征信息的困难。因此，此时单纯采用此类方法很难对 此类故障信号得出j 下确的诊断结论p j 。 武汉理t 大学硕十学位论文 研究表明：基于平稳信号处理的机械设备监测诊断方法已不能很好地满足 工程应用的要求，研究开发处理非平稳非线性信号的工程实用方法是促进机械 设备监测诊断不断发展的客观需要。机械设备是复杂的非线性系统，对特定的 设备几乎不可能准确地建立系统振动的非线性微分方程( 状态方程) ，尤其是当 系统出现故障时建模更为困难，因此，状态监测与故障诊断的非线性方法具有 其特殊性，分析系统的动态特性，找出系统的非线性特征，达到对设备进行诊 断、监测的目的是非常重要的。 非线性动力学是目前十分活跃的研究领域，主要研究非线性动态系统各类 运动状态的定性和定量变化规律，尤其是系统长时间演化行为中的复杂性，将 其理论应用到设备的非线性行为特征提取中，对故障分析有十分重要的意义。 分形是非线性动力学的主要研究内容之一，它的发展对识别和预测复杂的非线 性振动行为提供了新的方法论，应用分形进行信号检测是近年来信号处理与故 障分析研究的热剧3 1 。分形理论用来刻画对象的不规则性和自相似性，在处理 复杂非线性系统中具有独特优点。实际工程系统中，机械在非平稳和突变工况 下的振动信号，大都具有明显的分形特征且属于复杂自然分形。运用分形理论， 提取有用的诊断信息，不仅可以定性，而且可以定量地分析系统的运动状态， 从而实现对复杂机械系统的故障诊断，提高对故障的识别和诊断能力。分形维 数是分形的主要定量特征，研究资料表明分形维数能够反映机械设备、机械零 部件的运行状态以及信号的不规则性和不稳定性，借助于分形维数这一特征量， 将有助于对机械设备在故障状态的特征信号进行分类和识别。分形维数在机械 设备故障诊断领域的应用主要包括以下几个方面： ( 1 ) 设备运行状态的异常判断； ( 2 ) 设备故障的分类和诊断； ( 3 ) 设备故障征兆的早期预报； ( 4 ) 反映设备运行状态的特征参数的个数选取等。 综上所述，运用分形理论，提取有用的特征信息，不仅可以定性，而且可 以定量地分析系统的运动状态，从而实现对机械系统的信号分析与故障诊断， 提高对故障的识别和诊断能力，并且可用一个简单的数字来表征，使设备故障 诊断输出的结论明显直观，对机械设备的正常运行及维护具有重要的意义，具 有一定的理论与实际意义。 武汉理工大学硕七学位论文 1 2 国内外研究现状 分形几何( f r a c t a lg e o m e t r y ) 的概念是数学家曼德尔布罗特( b b m a n d e l b r o t ) 1 9 7 5 年首先提出的，但最早的工作可追朔到1 8 7 5 年，德国数学家 维尔斯特拉斯( k w e i e r e s t r a s s ) 构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创 始人德国数学家康托( g c a n t o o 构造了有许多奇异性质的三分康托集。1 8 9 0 年， 意大利数学家皮亚诺( g p e a n o ) 构造了填充空间的曲线。1 9 0 4 年，瑞典数学家科 赫( h v o nk o c h ) 设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1 9 1 5 年，波兰数学家 谢尔宾斯基( w s i e r p i n s k i ) 设计了像地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解 决分析与拓扑学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1 9 1 0 年，德国数学家豪斯道夫( e h a u s d r o f t ) 开始了奇异集合性质与量的研究，提出分 数维概念。1 9 2 8 年布利干( g b o u l i g a l l d ) 将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由 此能将螺线作很好的分类。1 9 3 2 年庞特罩亚金( l s p o n t r y a g i n ) 等引入盒维数。 以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，长期以来没有什么突破性 进展。直到2 0 世纪7 0 年代中期，m a n d e l b r o t 在科学杂志上发表了一篇“英 国的海岸线统计自相似性与分形维数”的论文，在这篇论文中他对海岸线的本 质作了独特的分析而震惊学术界，也成为他自己思想的转折点。他在1 9 7 7 年发 表了划时代的专著分形：形状、机遇和维数( ( f r a c t a lf o r mc h a n c ea n d d i m e n s i o n ) ) ) ，标志着分形理论的正式诞生。五年后，他又出版了著名的专著 自然界的分形几何学( ( ( t h ef r a c t a lg e o m e t r yo f n a t u r e ) ) ) ，至此分形理论初 步形成。国际上对分形的研究也迅速地进入了一个新纪元【4 j 。 美国关于分形几何的研究在8 0 年代就在理论和实践上都有了很大突破。 i e e e 作为一个代表性刊物发表了很多研究成果。我国1 9 8 9 年4 月中科院国际 材料物理中心举办分形学习班推动分形几何研究。1 9 8 9 年7 月由四川大学、北 京大学等高等院校组织召开了分形理论学术会议。然后，分形几何理论在很多 科技领域，如农业、探矿、地震预报等方面，新材料发展和生物医学等都开始 发展和应用。分形理论研究涉及到数学的实变函数论、泛函分析和拓扑学。应 用于固态物理、非线性振动理论、混沌动力学、电路分析、数字信号处理等领 域，是一个交叉学科。在我国较早研究分形理论的有中科院国际材料物理中心 的郝柏林教授，主要研究分形与混沌，中国矿业大学的谢和平教授著的分形 一岩石力学；东北大学的曾文曲教授翻译的分形理论及其应用一书，对我 国分形理论的探讨和应用研究起到了很大的推动作用【1 】。 武汉理工大学硕士学位论文 分形理论在故障诊断的应用中，主要是应用了关联维数、广义分形维数、 多重分形维数、盒维数。其中关联维数对系统吸引子的不均匀反映敏感，能够 很好的反映吸引子的动态结构，而且，计算关联维数g & p 的算法较别的方法可 靠，所以关联维数在分形理论应用研究中得到了最广泛的应用。时间序列的关 联维数的提取，使得混沌吸引子有可能从混沌时间序列中恢复出来，并在一个 合适的相空间将其展开，而在这个空间内，最有可能正确地寻找出吸引子的规 律。提取关联维数的目的在于：不管一维时间序列所包含相空间的维数是多少， 通过时间序列来测算它最后收缩到那个子空间的维数。这样可以获得要描述这 样一个复杂系统至少需要几个实质性状态变量。在大型机械系统中，不同的故 障通常都源白不同的动力学机理，频谱分析的结果有时难以获取这方面的信息。 由于关联维数能够定量地给出描述动力系统所需的独立变量的数目，这样便可 通过关联维数来诊断故障。 “分形”一词传入我国以后，立即在各行各业中引起了广泛的传播，研究 分形理论及应用的队伍日益壮大。我国政府和学术界很早时候就都对分形理论 一直持积极的肯定态度，并给予了极大的支持。在国家8 6 3 计划非线性科学 项目中，列出了“分形的数学理论( 随机多分形的数学理论、维数的计算方法 等) 、“分形的物理机理”( 多重分形结构、分形统计模型的相变、酶结构分析、 动力学集团的生长等) 两大发展方向，国家自然科学基金申请指南中也已列出 “分形理论及其应用”( a 0 1 0 2 0 4 0 5 ) 内容。在分形的数学理论发展方面，国内南 京大学学者苏维宜教授在1 9 9 0 年研究了分形与局部紧群上的调和分析，熊金 城、吴敏、胡晓予等人则分别在1 9 9 4 年至1 9 9 5 年各自研究了一类特殊集合的 维数问题，张永平在分形微积分方面提出了采用多项式最佳平方逼近来定义分 形函数拟导数概念的方法，胡迪鹤则在研究随机分形方面获得了较大的成功。 朱治军和李后强两人对分形反问题进行了较深入的研究，弥补了国内在此问题 研究方面上的不足1 6 j 。 近年来，国内外对分形维数，特别是关联维数的应用，进行了大量的深入 研究与尝试。如：文献 8 研究了关联维数用于滚动轴承的故障诊断，在分析实 验数据时发现，滚动轴承在正常状态、内圈故障、外圈故障和滚珠故障的情况 下，具有不同的关联维数。文献 9 】进一步提出在多分辨率原则下，利用小波变 换对信号进行时频域分解，然后计算分解后的信号的分形维数。他们将该方法 应用于滚动轴承早期故障识别中，实验表明分形维数对滚动轴承的早期故障特 征反映明显。文献【1 0 将多重分形理论引入内燃机的故障诊断，研究了6 1 3 5 柴 4 武汉理工大学硕士学位论文 油机缸盖的振动，指出缸盖振动信号的多重分形维数谱当气门在不同的状态时 是不同的，可以作为判断气门状态的依据；文献 1 1 】研究了小波分析和分形几何 在转子动静碰摩故障诊断中的应用。文献 1 2 】研究了振动波形的分形判别及特 征提取，并比较了分形特征提取方法与f f t 频谱分析方法的优劣。文献 1 3 提 出利用广义维数来描述信号特征，并以振动信号广义维数、广义维数谱图、敏 感维数为特征向量的模式空间样本库为基础，给出了通过维数相关系数等判别 条件进行识别的机械故障多重分形广义维数诊断方法。此外，北京科技大学的 吕志民老师等研究了“分形维数及其在滚动轴承故障诊断中的应用”，将分形维 数作为识别滚动轴承故障的特征量，上海交通大学的汪慰军老师研究的“关联 维数在大型机组故障诊断中的应用”，提出了将分形理论用于故障诊断的技术路 线及基本计算方法。 分形理论在柴油机状态监测与故障诊断方面的应用主要有：廖明等关于“分 形在柴油机燃油系故障诊断中的应用”，提出利用分形理论进行燃油系统的不解 体诊断；张雨关于“关联维分形与模糊聚在柴油机状态监测中的应用”，运用关 联维分形和模糊聚类方法，对柴油机故障样本进行识别；陈怡然等关于“发动 机振动诊断中的多重分形法”，将多重分形理论用于研究发动机的机械故障状 态。 分形理论在上述的研究中，特别是在机械设备诊断和识别领域中还属于初 级阶段，是基于一种尺度而研究复杂信息问题，因此，它对非平稳的振动信号 进行处理，将与神经网络、小波分析有同样的研究价值。分形维数可以作为定 量诊断机械故障的重要依据，使识别不同的故障变得相对容易直接，有利于提 高设备故障诊断的准确率。所以将分形理论应用于机械设备的故障诊断和识别 的技术路线和方法是可行的。 但是基于分形的故障诊断在相关的实际应用中仍存在许多难点。比如：对 于关联维数的计算，目前国际通用的是采用g & p 算法。在采用上述算法具体计 算时，由于关联维数对嵌入空间相关参数较为敏感，其主要参数包括：嵌入维 数，延迟时间，线性标度区的选择是一个困扰已久难题，同时也是导致关联维 数计算不准和不好评价的问题的关键。嵌入维数过小，重构的相空间无法反映 原系统的动力学特性；嵌入维数过大，在增加计算量的同时，多余的相空间维 数将放大原时间序列中噪声的效应。而时延参数选择过大，在受限于时间序列 长度的同时，由于非线性系统的不稳定性，两相邻坐标毫不相关，无法传递系 统的动力学信息。特别是在线性标度区的选择上，由于算法中没有确定的准则， 武汉理工大学硕十学位论文 仅靠单纯观察信号的关联维数双对数曲线无法判定其关联维数是否存在。例如 白噪声信号的关联维数就不存在收敛的标度区，有些研究者没有在分析线性标 度区是否存在的基础上再选择有效的区域，而是直接根据人为的观察指定一个 区域，这样就无法保证研究结论的可靠性。 综上所述，基于分形理论的机械故障特征信息提取已经成为故障诊断新的 研究动态之一。本文通过进一步研究分形理论中的算法，针对关联维数的计算 及在实际应用中存在的上述问题进行探讨，寻找恰当构造相空问的维数和相应 特征参数的计算方法和途径；研究多重分形理论和多重分形消除趋势波动分析 法，尝试采用多重分形谱的三个特征参数作为信号分析与故障诊断的特征信息 提取的依据，并与关联维数法相结合从总体和局部上对机械信号进行分析与故 障诊断，弥补传统方法的不足，能提高信号分析与诊断的准确率。 1 3 本文研究的内容和结构 对于分形在信号分析的研究，国内外学者己经做了大量的研究工作，取得 了很多成果。本文在总结分析这些研究成果的基础上做了以下6 章的工作： 第1 章，绪论部分，在传统时域频域分析方法对非线性和非平稳信号处理 的不足的背景下，研究分形的基本概念及其在机械故障诊断领域中的研究现状， 阐述课题的研究目的和意义，并给出了论文的主要研究内容和结构； 第2 章，研究分形和分形布朗运动的概念与及特性，常用的分形维数及其 测量方法，为后面几章提供理论基础； 第3 章，研究分形信号的仿真及其常用方法与参数的估计，并对估计值与 理论值加以比较与分析，讨论分形维数作为信号识别的特征量的可行性； 第4 章，详细阐述关联维数的计算方法，讨论关联维数作为故障特征提取 的有效性，对采集的实验数据进行关联维数的求取并作故障分析； 第5 章，研究多重分形理论，分析多重分形特性，利用多重分形消除趋势 波动分析法处理一维时间序列，得出具有多重分形的特征及相应多重分形谱的 三个特征参数，并作实验数据分析； 第6 章，结论部分，总结本文的主要内容，简要给出以后本文需要继续研 究的内容，并对未来进行展望。 6 武汉理工大学硕十学位论文 第2 章分形理论基础 分形理论是非线性学科中的一个活跃的数学分支，其研究对象是由非线性 系统产生的不光滑和不可微的几何形体，对应的参数是分维。分形几何是刻画 混沌运动的直观几何语言，是更接近现实世界的数学。分形几何由数学家b b m a n d e l b r o t 在二十世纪七十年代中期创立的。但早在1 9 1 9 年，f h a u s d o f f f 就 奠定了它的思想基础，而现在所称的分形理论，则融入了许多非线性科学的内 容，吸收了相邻学科的最新成果。在“分形 这一名词流行之前，有被经典数 学家们称之为“病态曲线”和“妖魔曲线”的研究对象，它们都被摒弃于传统 数学研究对象之外，因此长期以来没有什么突破性的进展，是b b m a n d e l b r o t 的分形理论使“分形”这一名词开始流行。将分形理论运用于信号分析，已经 有相当长的时间，许多研究人员在这一方面进行了深入研究，并取得了很大的 进展。 2 1 分形的概念及基本特性 2 1 1 分形概述 自1 9 8 2 年曼德尔布罗特出版自然界的分形几何学书以来，分形这个 概念己在全世界不胫而走，分形的定义更是被人们所关心。m a n d e l b r o t 、t a y l o r 、 f a l c o n e r 等都曾对分形作过尝试性定义，但无一个为人们所普遍接受，一直处 于争论阶段。f a l c o n e r 从数学的角度对分形进行了详细的描述，现介绍如下： 原则地说：分形是一些简单空间上，如r d ，c 上的一些“复杂 的点的集 合，这种集合具有特殊性质，首先它是所在空间的紧子集，并且具有下列典型 的性质： ( 1 ) 分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 ( 2 ) 分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的 轨迹，也不是某些简单方程的解集。 ( 3 ) 分形集具有某种自相似的形式，可能是近似的自相似或者统计的自相 似。 ( 4 ) 一般地，其分形维数( 按f a l c o n e r 定义的维数) 严格大于它相应的拓 扑维数。 武汉理t 大学硕士学位论文 ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情况下，分形集由非常简单的方法定义，可能 以变换的叠代产生。 对于各种不同的分形，有的不能同时具有上述全部性质；有的可能只有其 中的大部分性质，而对某个性质有例外，但这并不影响我们把这个集合称为分 形。应当指出，自然界和各门应用科学中涉及的分形绝大部分都是近似的。当 尺度缩d , n 分子的尺寸，分形性也就消失了，严格的分形只存在于理论研究之 中。 由此可知分形两个重要的特性是自相似性和无标度性。自相似性易于理解， 无标度区间在2 1 3 节重点介绍。 2 1 2 分形空间 定义d i m a 为集合a 的h a u s d o r f f 维数。让 x ，d ) 为具有度量d 的完备度量 空间，由h ( x ) 表示x 的完备子集空间。定义d ( a ，b ) 为集合acx 和bcx 之间的距离， 4 a ，b ) = m a x m i n d ( x ，y ) ( 2 1 ) x e a ，口 则具有h a u s d o r f f 测度的集合h ( x ) 的空间为 h ( a ，b ) = m a x d ( a ，曰) d ( b ，爿) ，v a ，b h 似) 完备测度空间，称之为分形空间。 2 1 3 无标度区间 理想的分形应完全满足下式： 1 0 9 e 卧地) 喝洲- h l o g 嘲l 】= l o g l 去十c ( 2 2 ) 但实际采样的信号总有一定的偏差，不能在所有尺度上都满足上式的线性 关系，很好满足上式线性关系的一段，称之为无标度区间。在无标度区间内进 行线性回归可计算出分维数d ，区间的选择会直接影响维数的估计。实际应用 中常用的无标度区间判定方法有： ( 1 ) 人工判定法：就是凭观测和经验，这种方法很不准确。它需要人的干 预，不利于自动解算； ( 2 ) 相关系数检验法：将双对数点图上所有可能的点的组合进行相关系数 武汉理丁大学硕士学位论文 检验，取置信度最高，或取定置信度下的线性范围最宽的一段为无标度区间； ( 3 ) 拟合误差法：将双对数坐标图上所有可能的点的组合进行回归计算， 同时计算出拟台的剩余标准差s ，取既能通过相关系数检验两s 又最小的那一 段为无标度区闯； ( 4 ) 分维值误差法：用双对数坐标点图上的点进行线性回归计算分维值时， d 的误差为： ( 2 3 ) 计算出所有可能的点，取既能通过相关系数检验而如又最小的那一段为无 标度区间； ( 5 ) 用三段直线逼近，取中间一段为无标度区。这种力一法计算量太大， 且取中间一段也似乎存在缺乏一定的理论依掇阀题。 2 2 分数布朗运动( f b m ) 及相关特性 2 2 1 分数布朗运动定义 分数布朗运动( i b m ) 是描述时间( 或空间) 长程相关、功率谱满足指数规律、 增鼍服从正态分布的非平稳随机过程的数学模型之一，是用束描述融然界随机 分形一种常用的分形模型，很多实用分形的特性也是针对f b m 提漱的。分数布 朗运动是一般布朗运动的推广，其定义为圈： ( 1 ) o ) 连续功夫且以概率i 满足b n = 0 ； ( 2 ) 巩o ) 增量具有相关性； ( 3 ) 对任意f o 及a t 0 ，增量艿丑和+ 舭) 一戤0 ) 服从均值为0 ，方差为 2 ( 罗群的高颠分布，即： 辟 半刈 旺4 ， 其中，f o ) 是均值为零、方差为仃2 的离斯随机变量的累积分稚函数， 9 武汉理丁大学硕士学位论文 h ( o o ，b h ( t + a t ) - b ( f ) 和口坩陋( t + a a t ) 一o ) 】具 有相同的分布，它们的形状是统计不可区别的。这个特性又称为统计自相似性 或自仿射性。 ( 5 ) h u r s t 指数h 与分维d 具有如下的线性关系： d = e + i h 其中，e 为分形体的拓扑维数。对于一维时间序列e = i ，则d = 2 h 。 由上面分数布朗运动的重要性质可知，虽然f b m 是一个非平稳过程，但 f b m 的增量衄h 却是一个平稳过程，且该平稳过程具有统计相似性。而且衄 所具有的若干性质就是反映f b m 本身的性质，由衄h 可以估计出反映f b m 特 性的h 参数。因此，a b h 是描述f b m 的一个好的模型。 2 2 3 方差分形维数及其定义 方差分形维数是一种基于分数布朗运动f b m 的分形维数，它与h u r s t 指数 有着密切的关系，它的基本思路来源于f b m 的性质，主要是根据分数稚朗运动 b ( t 1 的增量的方差与时i n j 增量a t 的关系来计算的，即【2 3 】： 砌厂如o ，a t ) - a t 2 仃 式中，h 代表h u r s t 指数。对于上式两边取对数，可得： l o gv a r a b ( t ，f ) 】2 hl o g ( a t ) 从而可得： 日：1l i m l o gv a r a b 弋( t 一, a t ) ( 2 1 1 ) 2a t - ，0 l o g ( a t j 武汉理工大学硕士学位论文 根据h u r s t 指数h 与分形维数的线性关系，定义方差分形维数d ，为： d 。= e + 1 一日 其中，e 为分形体的拓扑维数。对于一维时间序列来说e = i ，那么此时方差 分形维数为： d o = 2 h 2 3 常用分形维数及测量方法 分形维数( f r a c t a ld i m e n s i o n ) 是用来定量刻画混沌吸引子“奇异 程度的一 个重要的参数，被广泛地应用于刻画非线性系统行为的数字特征，是分形理论 的核心之一。分维数同我们传统上理解的整数维是处在两个不同层次的集合， 考察一个分形体系，依传统的经验看待就会出现“奇异 性，复杂性；但用分数 维的概念理解分形体系，得到的结果就是肯定的、普通的。复杂性、奇异性是 由于观察的角度不同而引起的。各种不同的分维数是集合划分不同层次的层次 标号，它们从不同的角度对集合进行层次的划分【2 们。 根据实用的分维数的求取方法不同分为5 类： ( 1 ) 改变可视化程度求取维数的方法，如信息维； ( 2 ) 根据测度关系求维数的方法，如盒子维； ( 3 ) 根据相关函数求维数的方法，如关联维； ( 4 ) 根据分布函数求维数的方法； ( 5 ) 根据波谱求维数的方法。 以下简要介绍一下几种常用维数： 2 3 1 豪斯多夫维数 豪斯道夫维数( h a u s d o r f 0 是描述点集规则和不规则的几何尺度，同时其整 数部分反映出图形的空间状态，对于动力学系统，豪斯道夫维数大体上表示了 独立变量的数目。对于任何一个有确定维数的几何体，若用与它相同维数去度 量，则可得到一个确定的数值；若用低于它维数的去量它，结果为无穷大；若 用高于它维数的“尺”去量它，结果为零【1 8 】。 定义：假设集合a 为n 维空间的子集，仁) 约是覆盖a 所需要的半径为s 1 2 武汉理_ t 大学硕士学位论文 的最小的1 1 维超立方体个数，如果下式存在： 耻觋帮 则d h 称为a 的豪斯道夫维数。以上的豪斯道夫维数值是单纯的几何测度， 应用动力学系统的吸引子时，仅涉及是否通过小立方体而没有考虑轨迹通过小 立方体的次数。豪斯道夫维数的定义，在数学上是很严密的，但要广泛用于自 然科学，有时也有不适之处。例如，任何定义都把包覆球的半径的极限考虑为 零，这在实际测定中是不能达到的。所以有必要将维数定义改成更实用一些的。 2 3 2 盒维数 盒维数的定义，提示了一种测量分形的方法。先考餐面积为s 的2 维区域 q ，取边长为s 的小盒子，把分形覆盖起来，则 g ) 7 s 即1 n ( c ) = i n s + 2 1 n ( 1 ) 由此可得到q 的维数 1 卸渊：2 = d i m ( q ) ( 2 1 2 ) 假定要考虑的图形是d 维欧几里得空间r d 中的有界集合。用半径为s 的d 维球包覆其集合时，假定仁) 是球的个数的最小值。盒维数d c 可用下式来定 义： d i m 劁= l 删i m u 渊 ( 2 1 3 ) 、， 这种看起来很简便的“数盒子 方法，有着理论和实践两方面的局限性。 对于实际计算，只有分维小于二维或在二维附近，而相空间维数也不高时，它 才是可行的。维数增高后，计算量迅速上升，就很难得到收敛的结果。从理论 上看，一个小盒子不管是包含了分形的一个点或是一批点，都算是非空的，可 在- ) 中占有一席之地，这就完全不能反映分形内部的不均匀性。 武汉理工大学硕十学位论文 2 3 3 信息维数 系统在空间的位置只能在一定的精度内确定。记点集q 落在边长为占的第 k 个超立方体的概率为只g ) ，s h a n n o m 将刻化系统状态精度至占量级所需的信 息量定义为熵： g ) = 一只g ) l n ( 只g ” 在此基础上，定义信息维数为： a i m 删= 1 鲫端 显然，当q 以等概率落入各个超立方体时只g ) = 1 0 ) ，故g ) = i n n ( c ) ， 从而d i m ，心) = d i m 曰( q ) 。一般情况下，确- d i m ，( q ) l ，d = 2 一h ，e 是服从均值为0 ，方差为1 的正