（一般力学与力学基础专业论文）不同外激励作用下杜芬系统的全局动力学模拟和分析.pdf

摘要 本论文主要讨论了在不同外激励作用下杜芬系统的全局动力学行为。利用非 线性动力学理论、随机振动理论以及胞映射方法，分析了在外周期激励作用、外 周期激励和有界噪声激励联合作用以及拟周期激励作用下的杜芬系统的全局动 力学行为，而给出这些动力学模拟结果的主要方法是基于h s u 提出的胞映射理 论由胞映射方法，可把相空间某有界区域分成许多胞元，用胞元的中心点近似 的代替整个胞元，通过对中心点进行连续的p o i n c a r e 映射，完成对所研究区域的 全局分析 我们相应的在模拟系统动力学的程序上作了改进通过对具有最大周期数的 胞元进一步迭代，可更加精细地描绘和分析这样的胞元所可能拥有的复杂动力学 特征此外，我们还给出了随机非线性系统的动力学行为可用p o i n c a r e 映射进行 模拟的合理解释和说明对胞映射方法的改进以及对p o i n e a r e 映射的发展和应用 是本论文的两个主要特色通过对三种不同外激励作用下杜芬系统的动力学行为 的模拟与分析，可以清晰了解杜芬系统的复杂动力学行为的全貌，以及外加不同 激励作用对系统的动力学行为所产生的影响。 本论文的安排如下： 第一章简要的介绍了非线性振动系统的一些特点、混沌学的研究起源和发展 情况以及本论文的主要工作；第二章给出胞映射理论及其应用方法，通过一些公 式及定义，阐述了怎么利用胞映射方法对一个系统的全局动力学进行模拟；第三 章给出我们需要模拟和分析的力学模型，研究了在外周期激励作用下杜芬系统的 吸引子和吸引域的变化情况，并讨论了产生这种动力学行为的机制；第四章使用 第三章选用的动力学模型，通过附加有界噪声激励项，计算得到部分数据和示意 图，进而分析了有界噪声激励对系统动力学的影响；第五章研究的是受拟周期激 励作用的杜芬系统的吸引子和吸引域的变化情况，对所模拟的结果也作了一些分 析和讨论在论文的最后，给出我们的结论和展望 关键词：杜芬系统，周期激励，有界噪声激励，拟周期激励，混沌，胞映射，全 局动力学，p o i n c a r e 映射 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l yd i s c u s s e dt h eg l o b a ld y n a m i c a lb e h a v i o ro fd u t t m go s c i l l a t o r u n d e rd i f f e r e n te x c i t a t i o n s b ye m p l o y i n gt h en o n l i n e a rd y n a m i c a lt h e o r y , t h er a n d o m v i b r a t i o nt h e o r ya n dt h ec e l l - t o - c e l lm a p p i n gm e t h o d , w es t u d i e dt h eg l o b a ld y n a m i c s o fd u 伍m go s c i l l a t o ru n d e rt h ep e r i o d i ce x c i t a t i o n , t h eu n i t e dp e r i o d i ca n db o u n d e d - n o i s ee x c i t a t i o n s ，a n dt h eq u a s i - p e r i o d i ce x c i t a t i o nr e s p e c t i v e l y t h ep r i m a r y c e l l - t o - c e l lm a p p i n gm e , i nb yh s ue ta lw a su s e dt os i m u l a t et h eg l o b a ld y n a m i c a l b e h a v i o ro fd u f f i n go s c i l l a t o ru n d e rt h et h r e ed i f f e r e n te x c i t a t i o n s ，w h e r et h ep h a s e s p a c ew a sd i v i d e di n t oal a r g en u m b e ro fp h a s ec e l l s ，a n dt h ep o i n c a r em a p p i n gw a s p e r f o r m e do nt h ec e n t e r so f t h e s ep h a s ec e l l sc o n t i n u o u s l y i nt h i ss t u d y , a l li t e r a t i v ep r o c e d u r eo nt h ec e l l s 、 r i t l lt h em a x i m u mp e r i o df r o m t h ec e l l - t o - c e um a p p i n gw a sf u r t h e rd e s i g n e dt oo b t a i nt h ep o s s i b l ec o m p l i c a t e d s t r u c t u r eo ft h ec o r r e s p o n d i n ga t t r a c t o ro ft h ed y n a m i c a ls y s t e m i na d d i t i o n ，w ea l s o s h o w e dt h a tt h ep o i n c a r em a p p i n gc o u l db ee x t e n d e dt ot h es t u d yo ft h en o n l i n e a r o s c i l l a t o r ys y s t e m sw i t hr a n d o me x c i t a t i o n s t h ei m p r o v e m e n to nt h e c e l l t o - c e l l m a p p i n ga n d t h ee x t e n s i o no ft h ep o i n c a r em a p p i n gr e p r e s e n t e dt h em a i nf e a t u r e so f t h i st h e s i s ，f r o mw h i c ht h ec o m p l i c a t e ds t r u c t u r e so ft h es t r a n g ea t t r a c t o r sc o u l db e d i s p l a y e di nd e t a i la n dt h ee f f e c t so f d i f f e r e n te x c i t a t i o n so nt h ea t t r a c t o r so fd u f f i n g o s c i l l a t o rc o u l da l s ob es t u d i e dc a r e f u l l y t h et h e s i sw a so r g a n i z e da sf o l l o w s ： t h ef i r s tc h a p t e rb r i e f l yi n t r o d u c e ds o m ef e a t u r e so fn o n l i n e a ro s c i l l a t o r y s y s t e m s ，t h es t u d ya n dd e v e l o p m e n to nc h a o s ，a n dt h em a i nw o r ko ft h i st h e s i s t h e c e l lm a p p i n gt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n sw e r eo u t l i n e di nc h a p t e r2 ，a n ds o m e d e f i n i t i o n sa n df o r m u l a sw e r ea l s og i v e nt os h o wh o wt op e r f o r mt h es i m u l a t i o n so n g l o b a ld y n a m i c so ft h en o n l i n e a ro s e i u a t o r ys y s t e m s i nc h a p t e r3 ，t h em e c h a n i c a l m o d e l w a sc h o s e na sd u f f i n go s c i l l a t o r , t h ea t t r a c t o r sa n dt h e i rc o r r e s p o n d i n g a t t r a c t i o nd o m a i n sw e r ep r e s e n t e da n dd i s c u s s e dw h e nt h eo s c i l l a t o rw a se x c i t e db y t h ee x t e r n a lh a r m o n i cf o r c e t h ef o u r t hc h a p t e re m p l o y e dt h ed y n a m i c a lm o d e l c h o s e ni nc h a p t e r3 ，w h i l et h eb o u n d e dn o i s ee x c i t a t i o nw a si m p o s e do nt h eo s c i l l a t o r t os t u d yt h ee f f e c t so fr a n d o me x c i t a t i o n so nt h eg l o b a ld y n a m i c so ft h es y s t e m i n c h a p t e r5 ，t h ea t t v d c t o r $ a n dt h e i rc o r r e s p o n d i n ga t t r a c t i o nd o m a i n so fd u f f i n g o s c i l l a t o rw e r ep r e s e n t e da n da n a l y z e dw h e nt h eq u a s i - p e r i o d i ce x c i t a t i o nw a sa d d e d c h a p t e r6g a v eo u rc o n c l u s i o n sa n dp r o s p e c t s k e yw o r d s ：d u f f i n go s c i l l a t o r , p e r i o d i ce x c i t a t i o n , b o u n d e dn o i s ee x c i t a t i o n , q u a s i - p e r i o d i ce x c i t a t i o n , c h a o s ，c e l l - t o - c e l lm a p p i n g , g l o b a ld y n a m i c s ，p o i n c a r c m a p p i n g 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得逝至三盘鲎或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者躲叶得签字眺泖方年6 月台日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 逝望盘鲎 有权保留并向国家有关部门或机构送交本 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权逝婆盘堂可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期舯g 年占月寥日 致谢 在两年的研究生学习和生活中，我首先特别感谢我的导师甘春标教授甘老 师在我攻读硕士学位期间中给予了我深刻的教诲和亲切的关怀，让我受益匪浅 老师睿智博学，治学育人上认真严谨热情耐心每当我在研究上有疑问时，老师 总能细致地为我解惑，并且给我指出探索的方向，启发我的思维和创造力，同时 老师敏锐地指出了研究过程中出现的每一个问题，对每一个细小的环节都严格要 求一丝不苟，正是在老师这样辛勤的指导和鼓舞下，我才能顺利地完成我的论文 研究工作 在这我还要特别感谢叶敏教授、鲁阳研究员和应祖光教授对我的热情指导和 帮助 在共同度过的学习生活中，对李兴、付莹和薛爱芬同学的帮助表示谢意，对 郭太银、钟学品和戎军浩师兄的帮助表示感谢，对谢潮涌、窦苏广师弟和叶淑琴 师妹也表示感谢，他们充满热情和活力，或是与我进行理论探讨，或是提供有用 资料 没有家人的支持就没有我的今天，我要深深地感谢我的父母及女朋友，正是 他们的无私关爱，给了我坚强的后盾和无穷的动力，使我能够顺利地度过两年的 研究生生活 同时，借此机会，衷心感谢在百忙之中抽出宝贵时间对论文进行评审的专家 和学者 叶辉 2 0 0 8 年5 月1 0 日 于浙江大学求是园 浙江大学硕十学位论文 绪论 1 绪论 1 1 引言 非线性动力学系统在二十世纪五十年代得到广泛的研究，但实际上非线性系 统的一些动态行为( 如跳跃、滞后、饱和与非等时性等) 在那之前已经开始研究 了二十世纪七十年代，经过科学家大量的卓有成效的工作形成了一门新的学科 一非线性科学或混沌动力学这门新的学科对一切与时间有关的动力学过程的研 究是普遍适用的 从伽利略、牛顿的古典力学时代开始起就有人开始研究振动理论，拉格朗日 曾经系统的研究过微小振动的理论在振动理论发展过程中，开始时只局限于对 线性振动理论系统的研究，由于线性微分方程的理论早已发展的比较完善，而且 简单明了，所以线性振动理论也很快达到完善的地步。将振动系统线性化除了便 于数学求解外，更主要的是，它对于解决许多工程问题，能给出满意的结果。例 如，关于共振现象的物理根据，固有频率或固有振型与系统参数的关系等问题， 线性振动系统理论都能圆满地解决。正是由于这些原因，曾经有不少研究工作者 总是把所研究的振动系统尽可能地线性化，因而经常是无根据地抛弃非线性项， 这样所得到的理论结果，不仅引起数量上的误差，而且有时还导致根本性质上的 错误实践证明，不但不能用线性理论代替对一切振动系统的分析，就是对拟线 性系统来说，无论是理论分析，或是振动过程的变化规律，与线性系统相比较都 有本质的区别。下面说明非线性振动系统的几个主要特点【1 1 ： 1 ) 线性系统中的叠加原理对非线性系统是不适用的，也就是说，如果作用在非 线性系统上有可以展开成傅氏级数的周期干扰力，其强迫振动的解不等于每 个谐波单独作用时解的叠加； 2 ) 在非线性系统中，对应于平衡状态和周期振动的定常解一般都有数个，必须 研究解的稳定性问题，才能决定哪一个解在生产实际中能实现； 3 ) 在线性系统中，由于有阻尼存在，自由振动总是会衰减掉，只有在干扰力作 用下，才具有定常周期解；而在非线性系统中，如自激励振动系统，在有阻 尼的情况下，而无干扰力时，也有定常的周期振动； 浙江大学硕士学位论文绪论 4 ) 在线性系统中，强迫振动的频率和干扰的频率相同；而在非线性系统中，在 单频干扰力作用下，其定常强迫振动的解，除了有和干扰力同频成分外，还 有成倍数的频率成分存在； 5 ) 在线性系统中，固有频率和起始条件，振幅无关；而在非线性系统中，固有 频率却和振幅有关，同时非线性系统中振动三要素也和起始条件有关； 6 ) 非理想系统、白同步系统等不能线性化，必须研究非线性微分方程才能对其 振动规律进行分析等。 1 2 混沌和通向混沌的道路 1 9 6 3 年美国气象学家l o r e n z 2 1 在分析天气预报模型时得出气象不可预测的 结论，响应也可能不确定的，因为混沌对初始值很敏感造成的。目前，对混沌的 研究已遍布自然科学的各个领域，并有成功的实际作用 早在1 9 世纪末，法国数学家p o i n c a r e 就曾预言过混沌运动的一些行为，但 由于主客观条件的限制，他的预言没有引起更大的注意，直到1 9 6 3 年l o r e n z 第 一次发现混沌。从此以后，研究进展很快：1 9 7 1 年r u e l l e 和t a k e n s 提出奇异吸 引子的名词；1 9 7 5 年l i 和y o r k e l 3 l 首先使用混沌这个术语，并为以后的学者普遍 接受；1 9 7 6 年m a y 研究了一维平方映射；在这个基础上f e i g e n b a u m 于1 9 7 8 年 发现了倍周期分岔通向混沌的两个普适常数并引入了重整群思想，这是一个重大 的发现，具有里程碑的意义在这方面做过卓越工作的还有：a r n o l d 、s m a l e 、 m e l n i k o v ，k o l m o g o r o v 和m o s e r 等学者 4 1 。 自从发现混沌以后，混沌理论是非线性理论研究中的热点，已逐渐成为非线 性科学的主要研究对象混沌学【嬲3 】使人们原来就局限于系统的观念发生了革命 性的转变，使人们更清楚的认识到了简单与复杂、确定与随机的内在联系，很多 学者甚至将混沌学与相对论和量子论相提并论 下面介绍下混沌的定义和它的特征。混沌是指在确定性系统中出现的有限范 围的运动，这种运动毫无规律可言，类似于随机过程，对初值及其敏感，当初值 有了微小的变化，经过很长时间后，运动的结果可能相差甚远，而确定性方程是 由微分方程、偏微分方程、差分方程甚至是简单的迭代方程所描述，且方程中的 系数是确定的它的基本特征【5 】是： 2 浙江大学硕上学位论文绪论 1 ) 高度依赖于初始条件，即使初始条件的差别极其微小，但微分方程( 映射系统) 的解随长时间的演化会发生巨大变化； 2 ) 混沌运动局部不稳定( 一般呈指数型发散) ，但总体是有边界的，具有伸长和 折叠的特性，这是形成对初始条件敏感性的主要机制，伸长是指系统内部局 部不稳定性所引起的点之间距离的扩大；折叠是指系统整体稳定所形成的点 之问距离的缩小； 3 ) 无周期、无序，混沌具有类随机性，有无穷层次的自相似结构混沌运动类 似随机运动，但又不是随机运动，混沌区域内有周期窗口( 即周期解) ，窗口 里面还有混沌，这种结构无穷多次重复着，并具有各态历经和层次分明的特 性，因此可以对混沌运动作统计描述； 4 ) 混沌运动具有一些统计性质，如正的l y a p u n o v 指数、测度熵，还有连续功 率谱和奇怪吸引子的分维数等 混沌是上世纪提出的重要的科学概念之一确定性非线性系统中对初始值极 为敏感，貌似随机的运动称为混沌它不同于无序、紊乱或者噪声，具有某种自 相似结构它起源于非线性相互作用，因而普遍地存在着对混沌的认识使人们 对非线性动力学系统的长期演化行为的研究，进入一个前所未知的世界，把经典 力学体系的动力学推进一个新的阶段，并大大的丰富了确定性、随机性和统计规 律性及其相互关系的研究内容 当前混沌理论研究的主要在以下五个方面【5 】展开： 1 ) 产生混沌的机理和途径从规则运动通向混沌的道路多种多样，至今人们知 道了倍周期分岔、准周期分岔、阵发混沌和k a m 环面破裂等四条典型的通 向混沌的道路，此外可能还有其他道路； 2 ) 混沌的判据和统计特性判断或预告混沌出现的方法有多种多样，其中许多 利用了混沌的统计特性已提出的方法有相轨迹法、谱分析方法、p o i n c a r e 映射方法、l y a p u n o v 指数法、测度熵方法、分维计算法、胞映射方法和符 号动力系统法等p 7 。8 1 ； 3 ) 奇异吸引子和吸引域的几何结构吸引子是耗散系统运动的特征，耗散系统 的混沌存在具有分形结构的奇异吸引子，吸引子及吸引域边界的测度和分维 尚缺乏严格的理论和完备的研究； 浙江大学硕士学位论文绪论 4 ) 各类系统中混沌现象的深入研究这些系统主要包括哈密顿系统、非完整力 学系统和无穷维非线性动力系统，后者涉及斑图动力学和时空混沌； 5 ) 混沌的控制和工程应用等 了解系统如何通向混沌是很有意义的有时候需要人为的制造混沌，如秘密 通讯，但在一些时候，又不需要系统出现混沌，这些工作都需要了解通向混沌的 道路目前，公认的通向混沌的道路有四条：倍周期分岔，阵发混沌、准周期分 岔和k a m 环面破裂进入混沌，而与之相对应的非线性方程中有三种不同类型的 分岔：倍周期分岔、切分岔和霍普夫分岔 混沌形态最有力的证据是：存在一种动力学系统，随着参量的变化，系统内 部既能出现周期性动态也能出现混沌动态行为，而分岔理论有助于了解系统如何 从正常的有序状态过渡到混沌运动 1 3 研究非线性振动问题的主要方法 对非线性振动问题的研究，特别是对工程技术中出现的非线性振动问题的研 究，一般从两个方面进行一方面是实验研究，根据原理相似的条件，建立机械 的( 电子的) 模型，研究各种参数对于振动特性的影响，以及研究解的不稳定条件， 有时也需要进行现场实验研究实验不但可以验证理论，而且对于一些复杂的振 动系统能直接得到规律性的结论，因此，它是进一步发展理论的基础另一方面 是理论研究，这是非线性振动研究中的主要方面。由于科学技术发展的迫切需要， 从本世纪二十年代起，非线性振动理论获得了迅速的发掌。由于非线性微分方程 的通用解析方法，目前仅有极少数的非线性方程可求得精确解，为了尽可能深入 了解系统的非线性振动性质，已研究出不少有效的近似的方法，如相平面法这样 的定性方法，数值解法和解析法这样的定量方法解析法【1 1 主要包括：摄动法( 有 时称p o i n c a r e 法) 和渐近法( 三级数法，有时称k b m 法) 等。下面简单叙述一下 各种方法的发展概况。 1 ) 摄动法 也称小参数法，该方法是p o i n c a r e 于1 8 9 2 年在研究行星运动时提出来的 当s = o 时，系统有频率为国的周期振动，这种带有占的小项是对系统周期运动 的一种摄动，将解按小参数占的幂级数展开，可求出满足一定误差要求的近似解， 4 浙江大学硕士学位论文 绪论 这种方法称为摄动法为了消除近似解中的永年项，林茨台脱( l i n d s t e d ) 等人除 了将解展开成小参数f 的幂级数外，也把频率按小参数s 展开，即引进一个新的 自变量f = r o t ，1 0 是e 的幂级数( 此法相当于对出现永年项的自变量进行坐标转 一 一 换) 李雅普诺夫引入了本征时间变换f = l ，使得解对新本征时间来说周期 十口 为2 万，克雷劳夫采用了将解和频率的平方按小参数展开的方法，使计算得到较 大的简化。之后马尔金系统地发展了小参数法，使其适应于分析各种非线性振动 系统的需要。为了用小参数法方便地处理阻尼系统和非定常过程等问题，施瑞洛 克( s t u n o k ) 将解设成为t , t e ，s 2 f ，等多个自变量( 或多个时间尺度) 的函数，一般称 之为多尺度法 2 ) 渐近法 范德波( v a nd e rp 0 1 ) 于1 9 2 6 年在解决自激振动( 振荡器) 问题时首先引入缓变 系数法，即认为振幅和相位是时间，的缓变函数，该法只能求第一次近似解，它 是建立在直观的基础上的。克雷劳夫、巴戈留包夫从本世纪三十年代起对此进行 了系统的研究，提出了平均法和渐近法。首先将振动方程化成标准形式，然后根 据克雷劳夫一巴戈留包夫交换，可得到基波振幅和相位的导数都是d ( 占) 量级的 不显含，的函数，因此可用一个周期的平均值代替该函数的近似值，故称之为平 均法他们于1 9 4 7 年曾提出一种求任意阶级数的渐近法( 三级数法) ，巴戈留包 夫和米特罗波利斯基在1 9 5 8 年的著作中对这个方法做了严格的证明，同时米特 罗波利斯基于1 9 5 5 年将该法推广，使之能求具有缓变参数的非线性系统的非定 常解这个方法在英文文献中称为克雷劳夫一巴戈留包夫一米特罗波利斯基法， 简称k b m 法k b m 法【h1 8 1 可以说是参量变值法中最基本的平均算法，其他平 均算法都是由它演化来的沙马林柯进一步发展了k b m 法，从理论上全面解决 了多自有度系统多频的振动问题 3 ) p o i n c a r e 截面法 对于一个复杂的多变量( 而，恐，毛) 连续动力学系统的轨道很难直接进行 分析与研究，法国数学家p o i n c a r c 提出一种有效的研究方法，即p o i n c a r e 截面法 在多维相空间( 毛，毫，矗，鼻) 中适当选取一个截面，这个截面也可以是平面，也 5 浙江大学硕士学位论文绪论 可以是曲面，但要有利于观察系统的运动特征和变化，但截面不能和轨线相切， 更不能包含轨线面。这样就可以抛开相空间的轨道，借助计算机画出p o i n c a r e 截面的截点不同的运动形式通过截面时，与截面的交点有不同的分布特征： ( i ) 周期运动在此截面上留下有限个离散点； ( i i )准周期运动在此截面上留下一条闭合的曲线； ( i i i )对于混沌运动，其p o i n c a r e 截面上是沿一条线段或一段曲线弧分布的 点集，而且具有自相似的分形结构 4 ) 胞映射方法 上面介绍了p o i n c a r e 截面法，接下来这里主要介绍点映射方法及其进一步发 展的胞映射方法，该方法对于研究系统的全局动力学方面具有很大的优越性近 5 0 年来，点映射【6 】方法取得了较大的进展，它已成为处理非线性振动的一个非常 有效的方法，当前的这个方法主要沿着两个方向发展，一是研究平衡点和周期解 的局部性态，而另一个是研究系统的分岔和吸引域等全局形态 点映射法是一种基于数学变换理论的方法，它属于拓扑学和近代微分几何学 的范畴点映射出现的很早，它是由p o i n c a r e 提出来的，自从安德洛诺夫和林千 博等人开始应用此法研究非线性振动( 包括强非线性振动) 系统时，发现它是一个 十分有效的方法，它在研究系统的全局动力学和具有周期系数的非自治问题上， 都具有其优越性 点映射动力学系统具有自己独特的特性。从一般周期的运动到更高周期的运 动，可能存在分岔的层叠现象，这些会导致在表面上看起来是无序的运动【7 】( 因 为同宿h o m o c l i n i c 或者异宿h e t e r o c l i n i c 点的缘故) ，使得全局动力学行为的量 化确定很困难；而另一个明显的特点是在一个区域内运动可能是无序的，但在另 一个区域时表现出的是一种确定结构正因为上述的这些局限性，学者们考虑将 状态变量划分成大而离散的数字集合，还将状态变量考虑成是胞元的集合而不是 点的连续统一体。 i - i s u 1 q 根据上述想法提出的胞映射方法可以很好地避免物理测量和数值估算 中的精度限制，可以将状态变量划分成间隔非常小的集合胞映射方法是研究非 线性动力学系统全局行为的一个很有效的方法，在下一章将会具体的介绍由h s u 提出的胞映射方法及其应用这种方法是一种有效的去确定平衡状态，周期运动 6 浙江大学硕士学位论文绪论 和他们的吸引域的运算法则，而它的基本概念就是把相空间区域分成为许多胞 元，用胞元的中心点近似的代替整个胞元，通过对中心点进行连续的p o i n c a r e 映射，完成对所研究区域的全局分析 1 4 本文的主要工作 杜芬系统是具有非线性恢复力的强迫振动系统，在工程各领域中具有广泛的 代表性。从它提出到现在，已经有9 0 余年了，但至今，对它的解的性质还是未 完全弄清楚，而且外加不同激励下，动力学系统会表现出不同的全局动力学行为。 为了弄清楚在外加不同激励下的杜芬系统会表现出怎么样的全局动力学行为，因 此设计计算机程序模拟和分析外周期激励、外周期激励和有界噪声激励联合作用 和拟周期激励作用下的杜芬系统的运动情况，继而分析研究它们的全局动力学行 为 这里采用h s u 7 8 】提出的胞映射方法，通过离散化点映射的过程得到胞映射 系统，根据定义设计了一种全局分析的分解运算法则，这个运算法则能有效的确 定动力学系统的周期胞和它们的吸引域。只需确定胞元的三个数字，分别是组数 g r 、周期数尸和步数s ，就可以确定胞元的全局动力学行为通过具有全局分 析优越性的分解运算法可以确定这三个数字，得到系统的吸引子和吸引域，最终 确定动力学系统的全局动力学行为。 本文的绪论主要介绍了非线性系统研究的进展和基本特征，着重叙述了混沌 学的产生、发展及其特征，并给出了一些研究非线性系统及混沌的方法第二章 介绍了胞映射方法的基本理论和应用。第三章研究了在外周期激励作用下的杜芬 系统的吸引子和吸引域的变化，并且介绍了模拟和分析所研究的系统的全局动力 学行为的程序上的改进第四章主要讨论在外周期和有界噪声激励联合作用下的 杜芬系统的全局动力学行为，并且还给出了随机非线性系统的动力学行为可用 p o i n c a r e 映射进行模拟的合理解释和说明。第五章分析了杜芬系统在拟周期激励 作用下的全局动力学行为第六章给出了本论文的总结和展望。 1 5 本章小结 本章首先介绍了非线性振动的主要特点、混沌学的研究起源以及发展情况， 7 浙江大学硕士学位论文绪论 继而介绍了研究非线性振动和混沌问题的一些主要方法，最后阐述了本文主要的 工作混沌作为- f - j 科学现象是很有用处的，不管是使它产生还是抑制其发生 由于非线性振动系统受外激励作用具有现实普遍性，因此研究在各种外激励作用 下的非线性振动系统的动力学行为也具有现实意义，而本文主要围绕这个过程而 展开 8 浙江大学硕士学位论文胞映射理论及相关应用 2 胞映射理论及相关应用 2 1 弓l 言 胞映射理论 2 2 - 2 8 l 是本文研究的理论基础，接下来我们介绍胞映射的相关理 论，并且给出胞映射的全局分析的分解运算法则，最后简单给出胞映射理论在一 维非线性微分动力学系统的应用说明。 2 2 胞映射理论的介绍 胞映射方法的基本思路是：通过把相空间某有界区域分成为若干胞元，用胞 元的中心点近似的代替整个胞元，通过对中心点进行连续的p o i n c a r e 映射，完成 对所研究区域的全局分析在对此方法的应用过程中，需要了解一些概念和定义 才能弄清胞映射理论接下来介绍几个与胞映射理论相关的概念 1 ) 周期运动和周期胞 通过参考文献【6 】，可知以下式子： z ( 册+ 1 ) = c ”( z ( 1 ) ) ，m = 1 ，2 ，k - 1 z ( 1 ) = c k ( z ( 1 ) )( 2 2 1 ) 上述式子中的c ”是c o 进行m 次映射的胞映射，z ( ) 是胞元，其中，= 1 ，2 ，k 。 这个式子是表示了周期是k 的胞映射c 的一个周期运动，也可把这个周期运动 叫做p k 运动。每个p k 运动中的胞元z ( ) 是周期为k 的周期胞，也可把这 个胞元叫做尸一k 胞元 2 )吸引域 吸引域的定义是这样的：z ( j f ) 是p k 运动上的一个p k 胞元，并且有 c 7 ( z ) = z u ) ，其中r 是最小的正整数使得c 7 ( z ) = z ( ) ，从上可认为胞元z 高p k 运动有r 步步数，那么如果胞元经过r 步或者更少的步数移动到p k 运 动上，胞元所在的区域可以称为是相应尸一足运动的r 步吸引域系统总的吸引 9 浙江大学硕上学位论文胞映射理论及相关应用 域是它的r 步( 当，一) 吸引域，而动力学系统进行全局分析的主要目的之一 是确定吸引域。 2 3 全局分析的分解运算法则 根据前面的介绍知道了胞映射理论的一些重要概念，但为了实现动力学系统 的全局分析研究，必须要有一种有效的方法去确定每个胞元的周期运动及其吸引 域由参考文献【7 】可知，h s u 提出了一种叫做全局分析的分解运算法则，运用这 种方法可以很好的去完成这个分析研究任务 在介绍全局分析的分解运算法则之前，首先要引入几个关于运算法则的重要 概念 1 ) 规则胞和陷胞 在所涉及的问题研究中，一般都会选定一定范围内的问题做研究，也就是说 只对特定的范围感兴趣，而对于研究胞元的动力学问题，也会选择一定范围内的 胞元做分析研究所选择研究的胞元分为规则胞和陷胞两种，定义如下：满足在 m = z ( 叭一z ( + 1 的范围内的胞元叫做规则胞，其中z ( l 表示下限胞元，z ( u ) 表 示上限胞元，m 表示了胞元的总数量，而陷胞就是不在上述范围内的胞元，也 就是说陷胞是那些在z z ( u ) 内的胞元。了解了规则胞和陷胞的定 义，知道了它们的区别，在以后的运算中用正整数l ，2 ，札标注所要研究的规则 胞，而用0 标注陷胞。 通过上面的定义说明，可得到下面一个胞映射的式子： z ( n + 1 ) = c ( z 伽”r z ( n + i ) ，z ( n ) - 1 ，2 ，m ( 2 3 1 ) 这个式子还需要满足下面两个映射规则： ( i ) 如果c ( z ( 刀” c ，那么z 伽+ 1 ) = c ( z ( n ) ) 等于零。 ( i i ) c ( o ) = 0 这个规则可以认为陷胞是一个p 一1 胞元，因而当系统映射到陷 胞时，它的胞映射结果是不变的 前面介绍了规则胞和陷胞的定义及满足的规则，接下来介绍下面几个对于构 1 0 浙江大学硕士学位论文胞映射理论及相关应用 建全局分析的分解运算法则具有重要意义的几个规则： ( i )陷胞是尸一l 胞元 ( i i )在规则胞中，存在各种周期运动的周期胞周期胞的数量非常庞大，但 个数不会超过c ，并且周期运动也有各种值，但数值大小也不会超过札 ( i i i )系统的演化过程可以开始于任何规则胞z ，但最终只有三种如下的结果： ( i i i 1 )胞元z 就是周期运动的周期胞，系统演化过程的最后结果就是周 期胞 ( i i i 2 ) 胞元z 需要r 步才能映射到陷胞，那么胞元z 是属于陷胞的r 步 吸引域内 ( i i i 3 )胞元z 需要r 步映射到某个周期运动的周期胞，接着演化过程就 定格在这个周期运动在这种情况，胞元也就属于该周期运动的 r 步吸引域内了 有了这些对于建立全局分析的分解运算法则，以下再引入三个描述胞元z 的全局动力学行为的数字 2 ) 组数、周期数和步数 所要介绍的三个数是组数、周期数和步数，它们分别用g r ( z ) 、尸( z ) 和s ( z ) 表示在每一个周期运动中，所有的周期胞和吸引域中的所有胞元都有相应的组 数，并且组数只能是整数从上面可以看出，多少个周期运动相应就有多少个组 数因为周期运动都是具有限定的周期，每个组都是具有不变的集合的，所以胞 元的周期值就是周期数。如果胞元z 具有周期数p ( z ) = k ，这也就意味着胞元z 要么自己就是p k 胞元，要么是属于p x 运动的吸引域胞元的步数s ( z ) 通 常是表示将胞元z 映射到周期胞时所需要的步数如果z 刚好是周期胞，那么 s ( z ) = o 通过上面的定义，知道g ，( z ) ，p ( z ) 和s ( z ) 可确定动力学系统的吸引域， 那么这三个数也就可以确定胞元z 的全局动力学行为从中可知，其实全局分析 的目的就是在胞映射c ( z ) 给出后，然后怎么去确定每一个规则胞的这三个数 浙江大学硕士学位论文胞映射理论及相关应用 3 ) 全局分析的分解运算法则 全局分析的分解运算法则中有c ( z ) ，o r ( z ) ，p ( z ) 和s ( z ) 四个数值，其中 z = 0 ，l ，2 ，札如果z = 0 ，那么c ( o ) = 0 ，根据前面的定义可知这是一个陷胞， 后面三个则是在上面提到过胞元的组数，周期数和步数。 有了这样四个数值之后，接下来再介绍全局分析的分解运算法则需要具备的 确定动力学系统全局行为的规则首先它需要能够分辨出三种胞元：其中一种是 在程序中没有处理过的胞元，这些胞元叫做原始胞元，而在程序没进行时， g r ( z ) ，z = 0 ，1 ，2 ，。以都是等于零的，因此原始胞元的g r ( z ) = 0 ；第二种胞元是 正在处理的胞元，这些胞元叫做处理中的胞元，而处理中的胞元的a r ( z ) = 一l ； 最后一种胞元是那些已经被处理过的胞元，其全局动力学行为已经确定，被称为 处理过的胞元，而它们的组数是正整数从上面可知，组数o r ( z ) 是分辨胞元有 没有被处理过的标志 接下来具体介绍全局分析的分解运算法则是怎么处理胞元的首先有一个胞 元z 经过了m 次映射的处理序列，式子如下： z 寸c ( z ) 一c 2 ( z ) j 一c 。( z ) ( 2 3 2 ) 全局分析的分解运算法则就是用上面的这个处理序列来处理胞元的根据前面所 提到的全局分析的分解运算法则，在这个处理序列中会产生三种结果： ( i ) 在处理序列中新产生的胞元c ( z ) 的g r ( c ( z ) ) = 0 ，这表示胞元c ( z ) 是 一个原始胞元在这种情况下，先把胞元c ( z ) 的g r ( c 。( z ) ) = 一l ，再继 续检查在处理序列中的下一个胞元c “1 ( z ) ( i i ) 在处理序列中新产生的胞元c ( z ) = z 的g r ( z 。) 是一个正整数，这表示 g r ( z ) 已经在先前的处理序列中出现过在这种情况下，当前的处理序列 到这里就终止了，因为当前的处理序列已经用已知的全局动力学行为映射 到胞元了，在该序列的所有胞元的全局动力学行为也就很容易能够确定 了。处理序列中的所有的胞元将会和z 具有相同的组数和周期数，在这个 1 2 浙江犬学硕士学位论文 胞映射理论及相关应用 序列中的每个胞元的步数是： s ( c ( z ) ) = s ( z ) + i - j , j = 0 ，1 ，2 ，i ( 2 3 3 ) 只要这些关于全局动力学行为的数目都确定了，相应序列的处理工作也就 完成了，并且回到胞元序列中去取下一个原始胞，开始一个新的处理序列 ( i i i ) 在处理序列中新产生的胞元c ( z ) = z 。将会以1 作为它的组数，这表示 c ( z ) 在前面已经出现过了，在这种情况下，处理序列会再次终止所有 在处理序列中的胞元都将会有一个新的胞元组数，这个组数将比已经确定 的组数都要大接下来再去确定c 。( z ) 在序列中出现的位置，如果c ( z ) 出 现在序列( j + 1 ) 位置上，也就是说c ( z ) = c 7 ( z ) ，j j ，它的周期运动的周 期数是( f 一歹) ，并且在处理序列中的所有胞元都将o j f ) 作为它们的周期 数，而关于步数，则有： s ( c ( z ) ) = j - k ，k = o ，l ，2 ，j - l s ( c ( z ) ) = 0 ，k = _ ，j + l ，i - 1 ( 2 3 4 ) 当这些关于全局动力学行为的数值都确定了，这个处理序列的工作也就完成 了，那么就回到胞元序列去取下一个原始胞，开始一个新的处理序列所有胞元 的全局动力学行为都会根据这三个数g r ( z ) ，尸( z ) 和s ( z ) 而确定下来。 第一个处理序列是开始于z = 0 ，而z = 0 是一个p l 胞元的陷胞，那么这 个处理序列只有两个元素，如下所示： z = 0 ，c 1 ( o ) = 0 ( 2 3 5 ) 这个序列的组数是1 ，周期数是l ，步数是0 ，这就完成了在第一个处理序列中 的工作。接下来回到胞元序列中取z = 1 作为第二个处理序列的开始胞元，这个 处理序列如果胞元c ( 1 ) = 0 映射到陷胞，或者处理序列在自己内部产生了周期运 动，而这两种情况都会导致终止在第一种情况中，在序列中的所有的胞元都会 有和陷胞的胞元组数相同的组数，而在第二种情况中，一个新的胞元组数将会赋 值给在处理序列中的所有的胞元，并且周期数和步数就是以在前面g t ( i i i ) 中讨论 过的形式确定的 浙江大学硕士学位论文 胞映射理论及相关应用 在完成第二个处理序列后，再回到胞元序列中取z ；2 的胞元，开始一个新 的处理序列。为了判断胞元z = 2 是不是原始胞元，还需要检查g ，( 2 ) 是否等于 零，如果是原始胞的话，就要重新处理这个序列，如果不是的话，就知道胞元z 一2 早已经被处理过了，那么就去取z 一3 的胞元进行处理，开始新的一个处理 序列，再检查它是不是原始胞。 2 4 胞映射方法的应用 以上我们对胞映射理论及全局分析的分解运算法则进行了较详细的叙述，接 下来举一个例子说明运算法则是怎么应用到非线性动力学系统上的除了可以应 用到这个例子，运算法则也能够应用到其他由普通微分等式构成的的非线性动力 学系统这里考虑如下的自治系统： x ( ，) = ，( x ( ，) ) ( 2 4 1 ) 由文献【7 】，接下来通过两个步骤去构造一个胞映射函数状态空间可以分成若 干胞元，而胞元z = ( z l ，z 2 ，z ) 包含了x = ( 而，x 2 ，h ) 的所有点