（应用数学专业论文）一类阿贝尔方程的可积性及其计算机判定的研究.pdf

摘要 常微分方程论， 作为数学的一个重要分支， 不仅本身具有重要的理论和 实际意义， 而且它也是其它数学分支的基础. 它不仅在力学、 物理、 化学、 自 动控制、 工程技术等方面有着广泛的应用， 而且其应用范围在不但扩大， 并深人到了生物、 医 学、 经济和其它 社会学科的 各个领域 判定 一个给定的 微分方程是否可积或者说求其精确解显然是微分方程论最基本最重要的问 题之一 本文就阿贝尔方程的可积性展开讨论，利用变换群的思想， 将第一类 和第二类阿贝尔方程进行了统一处理， 并对各种已 知的可积情况进行了分 类. 在此基础上， 通过分式线性变换得到了 形式简洁、 更具一般性的判定一 类特殊阿贝尔方程可积的条件. 通过符号演算， 给出了 该条件的计算机判定 程序. 另外， 鉴于刘维尔的方法在研究非线性微分方程可积性上所发挥的作 用， 并综合管克英教授对该间题所得到的理论基础上， 对特殊阿贝尔 方程的 l io u v i l le 可积性作了 进一步的讨论. 关被词: 阿贝尔方程， 二阶自 治系统， 可积性， 分式线性变换， 判定程序 abs tract t h e t h e o ry o f o r d i n a r y d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s , a s a v i t a l b r a n c h a b o u t m a t h e - m a t i c s ,n o t o n l y h a s i m p o r t a n t a c a d e m i c a n d a c t u a l s e n s e , b u t i s a b a s e o f o t h e r m a t h e m a t i c a l s u b j e c t s . i t s t h e o ry a n d m e a n s a r e w i d l y a p p l i e d t o m e c h a n i s , p h y s i c s , c h e m i s t r y , a u t o m a t a a n d e n g i n e e r i n g , m o r e o v e r , t h e r a n g e o f i t s a p p l i e s - t i o n i s e x p a n d i n g n o w a n d h a s c o v e r e d a l o t o f fi e l d s i n c l u d i n g b i o l o g y , m e d i c i n e , e c o n o m i c s a n d s o c i o lo g y . b y a ll a p p e a r a n c e s , o n e o f t h e b as i c a n d s i g n ifi c a n t p r o b l e m s o f o r d i n a r y d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n t h e o ry i s t h a t h o w t o d e t e r mi n e t h e i n t e g r a b i l i t y a n d h o w t o g e t t h e e x a c t s o l u t i o n t o a g i v e n o r d i n a r y d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n . t h i s t h e s i s c o n s i d e r s t h e i n t e g r a b i li t y o f t h e a b e li a n e q u a t i o n . b y t h e t h o u g h t o f t r a n s f o r m a t i o n g r o u p , w e c a n d e a l w i t h t h e f ir s t a n d t h e s e c o n d k i n d a b e l i a n e q u a t i o n s a n d c l as s i f y s o m e k n o w n i n t e gr a b l e a b e li a n e q u a t i o n s . i n t h e b as e o n t h e f r a c t i o n a l l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n , w e c a n g e t m o r e s i m p l e a n d g e n e r a l c o n d i t i o n s f o r t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e i n t e g r a b i l i t y o f a c l ass o f s p e c i a l a b e l i a n e q u a t i o n . t h e c o r r e s p o n g d i n g c o m p u t e r p r o gra m m e a b o u t t h e d e t e r m i n a t i o n c o n - d i t i o n i s g i v e n 妙s y m b o l i c l a n g u a g e . c o l l i g a t i n g t h e l i o u v i ll e s m e a n s a n d s o m e t h e o rem s p r e s e n t e d b y p r o f e s s o r g u a n a b o u t n o l i n e a r d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s i n t e - gr a b i l i t y , w e d i s c u s s f u r t h e r s o m e p r o b l e m s a b o u t l i o n v i l l e i n t e g r a b i li t y o n s o m e s p e c i a l a b e l i a n e q u a t i o n . k e y w o r d s : a b e l i a n e q u a t i o n , s e c o n d o r d e r a u t o n o m o u s s y s t e m, i n t e gr a b i l i t y , f r a c t a l l i n e a r t r a n s f o r ma t i o n , d e t e r mi n a t i o n p r o g r a mme 声明 本人郑重声明， 本论文的所有研究工作都是在我的导师一管克英教授 的指导下， 由 本人独立创作完成. 论文中引用已知的结论均已列在参考文献 中. 未经本人许可， 任何擅自 更改、 抄袭本论文之内容的行为， 都将承担相 应的学术和法律责任. 未盛作杆、 ?一月 0i? 1 致谢 在完成本论文、即将踏入工作岗位之时，我深深地感到自己 每一步的 前进， 都离不开老师、 亲朋和同学的支持与教诲. 我想在此表达我对他们最 衷心的感谢. 三年的研究生学习和生活中， 我要特别感谢我的导师一管克英教授. 他无论是在科研上， 还是在平时的生活中， 都给了我无微不至的关怀与鼓 励. 当我在课程学习中 遇到难点时， 他总能以循循善诱的授课方式使我豁然 开朗; 当我在科研上遇到困惑时， 他给了我很多新的思路和方法， 使我受益 菲浅. 管老师虽已 过六十岁， 但他仍辛勤耕耘在教学科研第一线， 他严谨的 治学风格，乐观积极、 甘于奉献的生活态度， 将永远是我学习的榜样 ! 我要深深感谢远在湖北的我的父亲母亲，是他们给了我强健的身躯和 做人的基本道理. 他们的呵护、 期望与教诲， 是我努力前进的不竭动力与源 泉 ! 我还要感谢同 窗三载的兄长杨文国、 丁万刚和小弟马世奎. 我从他们身 上学到了很多有益的知识和学习的方法 三年的同室之谊， 离别之际， 更显 珍贵. 我为自己 三年来生活在那种坦诚相待、 互帮互助的氛围中 感到莫大的 荣耀与自 豪! 非常感谢在我攻读硕士学位期间给与我帮助的院领导: 老师和同学. 这 里我想提一提汪伟老师， 在我这三年学习中， 她给了我生活上很大的帮助. 她对工作的一丝不苟和平易近人的风范， 在我的脑海中留下了深刻的印象. 最后， 衷心感谢各位评审老师的教诲与帮助 ! 第一章绪论 1 . 1 引言 微分方程， 产生于十六十七世纪的力学和几何学的研究中， 后来， 随着 生产力的发展和微积分学的建立，它逐步形成了一门富有生命力的数学分 科， 成为人们解决其它科学技术间 题的重要工具 它在科学发展的历程中， 早已 显现出巨 大的作用. 它不仅在几何学、 力学、 天文学、 物理及其它技术 科学中 得到了广泛的应用， 推动了 这些学科的发展; 而且， 在近代科学中， 例如在核物理、电 子技术、自 动控制、 星际航行等许多尖端科学领域内， 也 成为强有力的杠杆， 推动着这些学科的迅猛发展. 既使是现代的生物学和经 济学的研究领域内， 它的理论和方法也是不可缺少的 自 从有了 微分方程起， 寻找它们的精确解， 便成为这门学科首要的和最 基本的间题. 如果能找出微分方程通解的表达式， 就能通过适当的选定任意 常数来得到所求的特解. 进一步， 也可能利用这种表达式， 来讨论解的某些 性质等等. 但在这里我们要指出， 对于微分方程解的表达式， 需要给以解释.起 初，人们很自 然地想用初等函数来表达微分方程的解 ( 未知函数) ， 但是， 既 使是对于最简单的一阶方程犷=f ( x ) 来说， 这种要求一般也是做不到的. 众所周知，初等函数的原函数并不一定都是初等函数，例如方程 y 一 sin xx ( 1 . 1 ) 的解就不能用初等函数表示出来 后来， 问题的提法是: 用初等函数或初等 函数的积分形式来表达微分方程的解. 此时， 方程( 1 . 1 ) 的所有解可由下列 公式表出 f s i n x._ y二 i -a x+仃 j2 第一章 绪论 今后， 如无特别声明， 我们 提到微分方程的 解， 就是理解为 “ 可用初等函数 或初等函数积分表达的” 的解. 微分方程的解也称为积分. 求解的过程称为 。 积分”这个微分方程. 这类方法，习 惯上叫 做初等积分法. 遗憾的是，尽管我们能够利用初等积分法求解若干特殊类型的一阶方 程( 变量分离方程， 齐次方程， 线性方程。 贝努利方程及恰当方程等) ， 并且在 求解的方程中作各种变换的简单处理， 就能扩大可积微分方程的类型. 但能 用初等积分法求解的微分方程仍然很少，绝大部分的微分方程都求不出其 精确解或通解 在上述意义下) . 例如， 在应用上很重要的一类贝塞尔( b e s s e l ) 方程 x 2 y+ 2 y+(x 2 一 。 2 ) (-)y (n 3)i=o 的比 较广泛一阶微分方程，利用数学软件 ma t h e m a t i 。编制了 判定其是否 可积的应用程序 见附录) ， 该成果已 经放在i n t e r n e t 上为大众服务. 但特别 需要指出的 是， 文献【 1 1 编制的 判定程序， 对文献中 所提到的一些特殊 阿贝尔方程，例如: x t + y 3 + 3x y 2 一 。， (二 + b)2 a ydx + (一 + 。)， 3 + c.4 2 一 。 ， d yt x 一 、 3 + ，2 ( a , b , c 为任意常数，且c 00 ) 等方程却不能进行很好的判定.鉴于以上情 况，有必要对阿贝尔方程的可积性进行全面的讨论， 并能提出一种新的方 法， 给出适合用计算机判定特殊阿贝尔方程可积的条件， 进而得到该方程较 完整的可积性判定程序. 1 . 3本论文工作简介 1 . 3 本论文工作简介 本文主要围绕阿贝尔方程的可积性展开讨论， 全文共分四章， 第一章为 绪论部分; 主要结论部分安排在第二章和第三章; 最后一章为结束语. 大概 内容如下: 第一章: 对微分方程的意义、 背景以及可积性作了一个简单的回顾， 特别是在可积性与精确解上引出了本文拟解决的具体间题. 第二章: 利用变换群的思想将第一类和第二类阿贝尔方程的一些可积 情况作了分类.井利用两个分式线性变换 u (x ) = 病+ f f2(x )dx ; 翁一 ，1(x )1/ + 9o(x ) 将上述两类阿贝尔方程进行了统一处理 通过对已知特殊阿贝尔方程的分 析， 得到了一组最基本的有关该方程的可积条件.该条件对我们判定一个 给定的特殊阿贝尔 方程是否可积有一定的帮助. 但是其计算还是很相当复 杂， 不利于实现计算机判定. 通过对在分式线性变化下的特殊阿贝尔方程作 进一步的讨论，给出了形如: 会 一 。 (x )1j 3 + f 2 (x )y 2 + f l(x )y 这种特殊阿贝尔方程可积的充分条件， 该条件不仅能为我们创造更多可积 的阿贝尔方程， 也是我们实现计算机自 动判定的理论基础. 最后给出了利用 已知的结论来解决实际间题的例子和具体的判定程序. 第三章: 利用刘维尔的方法来研究阿贝尔方程可积性. 特别借鉴了管 克英教授和雷锦志博士得到的结果:即如果二阶自 治系统 = p ( - , y ) = q ( x , j ) 。x。刀 产11、 第一章绪论 中的等式右方全为二 ，y 的多项式， 则该系统为刘维尔可积的充要条件为如下 的偏微分方程组有二元多项式解 1 2 1 ( x , y ) ; 2 2 ( x , y ) ; h( x , y ) ( q n一 p 豁+ h ) d 2 1 + ( p 一 b w ) 5 2 2 h 2 2 其 中 戈 一 p (二 ， ; ) 矗 + q (二 ， ; ) 岛 ; b = 一 ( 瓮+ 箫 ) 在此理论上展开了 对阿贝尔方程的刘维尔可积性的一些讨论. 第四章:主要是在本文一些结论的基础上， 对后期工作的一些展望. 第二章在变换群下的阿贝尔方程可积性 2 . 1 阿贝尔方程的一般结论 一、基本定义及相应的初等结论 1 . 我们称形如 会 一 ，f3 (二 )y 3 + “ 二 ， + f i(x )y + f o 二 ， 的方程， 称为 第一类阿贝尔方程. 并称 f : ( x ) 为其系数. ( i = 0 , 1 ,2 ,3 ) 为连续且可微的函数，且f 3 ( x ) 3 , 0 . ( a ) 如 果f i ( x ) 连 续，f 2 ( x ) 和 连续可 微， 而f 3 (x ) , 0 . ( 2 . 1 ) 一般地， f : ( x ) , 则经过变换 周韵 价俘 y =w ( x ) - w 其中 w ( x ) = 可将方程 ( 2 . 1 ) 化为标准形式 一 _f 23f3 一 f f3w dx exp f (fi 一 崇 dx u 3 + i ( x ) 八-3ja 其中 f 3 w 3 1 ( x ) 证明: 方程 两边对 x 求导得: . ， f 2 、 ， = j o一 t ; ; 下 二) 3 1 3 2 对f i f e 卞= : 二胃 一- 二 - 万 - 14 1 9 3 1 3 ， =w ( x ) u ( f ) 一 佘 - 冷 犷= 井y = 。 ， 。 + w u , f 3 +v 2 。 。 + w 3 f 3 u ! - 第二章 在变换群下的阿贝尔方程可积性 将 ( 2 . 2 ) 式代入 ( 2 . 3 ) 式得: 睁f 3 w 。 一 3 33 3+ f 2 w 。 一3 123 3+ 了 ， 。 。 一z + f o _ w u + w 3 f 3 u , 一 p /9 - 1l11, 整理得: 嚼业ajs = = m 3 f 3 u =f 3 w 3 u 3 + 一 轰- 一 梁+ f l。 一 。 加 十 条 + * + 镌严 (2 .4 ) 又因为 ，_f 2 、 w= wi l l， .二r ) j!3 代入式 ( 2 .4 ) 整理得: =t, w 3 f 3 u 一 “ i so + 瓣一 3 3 + f a + f 冷。 =46 3 + j ( 二 ) 其中 f3w 3r(x， 一 “ + ( f 3),+ _2 f227f3 一 fife3f3 则命题( a ) 得证. ( b ) 如果y o ( x ) 是原方程的解，则经过变换 “ 一 “ (x ) + e (x )z (x ) ex p f (3 f , v + 2 f2 y o 十 。 )d x ( 2 . 5 ) 其中 e ( x ) = 可将方程化为下列形式 一 + 婴 + .d 2 (x ， 一 ” 2 . 1阿贝尔方程的一般结论 其中 证明 : 式( 2 二 今 ( i ( x ) = f 3 ( x ) e 2 ( x ) ; 2 ( 二 ) = 3 f 3 ( x ) y o (二 ) + f 2 ( 二 ) e ( x ) 5 ) 两边对x 求导 4j = z 2 y : e ( x ) z e ( 二 ) z 编+ e z 一e z z 2 z 2 编+ e z 一 e z = z 2 场一 : 2 扩 + e z = z 2 ( f o + f i y o + f z y o + f 3 y 0 ) 一 : 2 lf o + f l ( y o + 井冲 e z ) + f 2 (y o + e )2 + 介 (y o + e )3 ) + = * e ( x ) z = - e f i : 一 2 e f 2 y o z 一 f 2 e 2 一 3 e - 3 f 3 y o e 2 一 鲤 + e z( 2 . 6 ) 又因为 e = e (3 4 绪 + 2 f 2 y o + f l ) 代人式 ( 2 .6 ) 中整理得 z = - f 2 e 一 3 f 3 y o e 一 罕 z i + 毕 井睁 1 ( x ) = f 3 ( x ) e 2 ( 二 ) ; fi t ( 二 ) +d 2 ( x ) =0 = 3 f 3 ( 二 ) ， 。 ( 二 ) +f 2 ( x ) e ( x ) 命题得证. ( c ) 如果f o 兰。 ， 即方程( 2 . 1 ) 具有形式: y i 二f 3 y 3 +f 2 y 2 +f l y 我们称 这种形式为 特殊阿贝尔方程， 它的可积性及其精确解在后面的有相应的讨 论. 在这里给出一个已 知的结论:即 f 2 0 0 ， 则经过变换: y (- ， 一 二 ，。 “ ，; 一 f u (x )f 2d x ; u (x ) = ex p j f ld x 可将特殊阿贝尔方程化为下列形式: 丫 ( ( ) = 9 0 ) 1 7 3 + ,7 2( 2 . 7 ) 第二章 在变换群下的阿贝尔方程可积性 其中 ， , f 3 ( - ) 夕i s i= u l x) 下; 钾 万 j 2 t x) 再经过变换 -亡、 se刀 一 - ，少 .，翻 了.几、 口r 亡、 可将( 2 .7 ) 化为方程 t 2 ra + 9 ( ) =0 ( 2 . 8 ) 如果可以从( 2 . 8 ) 求出夸 。 ) ， 则从( 2 . 7 ) 可确定函数7) “ ) ( d ) 如果f o ( x ) 二 0 和f 2 ( x ) 二。 ， 则方程( 2 . 1 ) 就为一可积的贝努利方程 ， = f 3 ( x ) y 3 + f i ( x ) y ( 2 . 9 ) 此时可以取两种不同的变换: 一“ - 2; ， 一 (x ) - p f f ld x 得到方程 ( 2 .9 ) 的精确解 e 二 ) 厂 =- 2 f f3 (x )e (x )“ 十 c 其中 e (x ) = e x p (2 f f i(x )d x ) ( e ) 如果f o ( 二 ) 二。 和f l ( - ) 三。 ， 并且 , f 3 ( x ) , _ ， ， 、 、 丁耳二 万1牛 - j 2 k x1 j 2 1 x1 ( a 为某个常t o ， 则经过变换 豁 2 . 1阿 贝尔方程的一般结论 可将第一类阿贝尔方程 ( 2 . 1 ) 化为分离变量的方程: 一f 22f3 (一 + 一 + 二 ) 显然它是可积的， 则原方程也是可积的. ( f ) 令 函 数y (x ) = f o 对+ 告 ( f 2 f 3 一 f 2 f 3 一 f l f 2 m+ 务 月; 如 果 能 找 到 常 数 。 ， 满足下列方程 f a l (二 ) + ( 2f 2 一 3 f , 一 3 f i f 3 ) 111 (x ) + 3 a (b i ( 二 ) = 0 则方程 ( 2 . 1 ) 是可积的，其解具有下列形式 y ( x ) 3 (b i 。 一 f 2 ( x ) 3 儿( x ) 。 =试 x ) 由 下列等式给出 f血二厂 树 . i- 万 一，- - ， 弋. 十 v = 1 -a x j w 十a “十 1 j 1 3 取线性变换 中明 其证 y 二a 二 ) 。 一 f 2 ( 二 ) 3 f 3 ( 二 ) 上式两边对 二 求导得: y = 睁 au a u + a 一 (儡)， ” 一 a u + f 2 (x )(3f3(x ) ) 一 ， . ，_ 二3. ， . .2. ， _. ，e 1 _. ， f 2 ( x ) 、 ， 几u一j a y 下 j 2 y 下 j l y了 1 0一 月 u十 l . , 下 丁 - . l a l 3 1 x1 将 ， 一 a (x )。 一 揣 代 入 上 式 得 : =* a 一 “ (a u - 3 3 )3 + f2(a u - f 3 )2 + fl(a u f 3 ) + fo 一 ， ， + ( f2(x )(3f3(x ) 睁 ， 一、 a y + (f l， 一 蛊a 一 a )u + 1 1 2 3j3 i2 7 f2 一 丢 (: ; 。 * f i。 一 。 : ) + f of 3 ) 第二章 在变换群下的阿贝尔方程可积性 再令(d ( x ) = f a 厅+ 告 姚f 3 一 f 2 f 3 一 f h f 2 f 3 ) + 务 对 则可得到 。 ， 一 f 3a 2 u 3 、 (f , 一 f 2 一 a i)u 、 i (x ) a j 3 it i l l s ( 2 . 1 0 ) 为了得到所要的结论， 不妨作如下假设 = a f 3 a 2 = f 3 a 2 川-a 一 止315贺 ll- 则式 ( 2 . 1 0 ) 立刻变为一可积的变量分离方程 。 ， = f 3 ( x ) a ( x ) 2 ( u 3 + a u + 1 )( 2 . 1 1 ) 当然原方程也是可积的由 上述方程组中第二个等式解得: ,i , ( x ) $ a( x二 - - 二 - 乙 - 月. a w= 1 3 ob - 盖 。 3 f 3 则我们可以得到: ( 3 f i f 3 一 f 22 ) a 一 3 f 3 a = 3 a f 32 a 3 、(3 f i。 一 f 2) 11 a2 w 一 3 f 3 4, 4 ,37 3- 一 1 ffe i 一 3 a f,2 -f b. , 冷 ( 3 f i f 3 一 片 ) .b l 一 ,1 ,- 3 v f 十 3 1b i 乃= 3 a ( x ) = * , f 3 ,d ,( .t ) + ( 2f 2 一 3 f 3 一 3 f i f 3 ) lb 二 ) + 3 a 11 1 ( 二 ) = 0 ( 2 .1 2 ) 很显然， 如果能 从式( 2 . 1 2 ) 求解得到fi ( x ) ; 则由 式( 2 . 1 1 ) 就能得到原方 程解为 y ( x ) 3 13 。 一 f 2 二 ) 3 介( ) 其中。 = u ( x ) 由下列等式给出 f d 。二f 。 号 . i十 c = t -d x f “ +a u+1 j j 3 2 .1阿贝尔方程的一般结论 原命题得证. . 我们称形如: (y + g (x ) - f 2 ( 二 ) y 2 + f , ( 二 ) ， + j o w( 2 . 1 3 ) 9 1 (- )y + 9o(4会 (g i(x )y + g o (x )会 - =f 2 ( 二 ) y 2 + f i ( x ) y + f o ( x )( 2 . 1 4 ) f 3 ( 二 ) y 3 + f 2 ( 二 ) v 2 + f i ( 二 ) y + f o ( x ) 的方程为第二类阿贝尔方程. 其中g i ( x ) 和g o ( x ) 可微， 并且9 i ( x ) 54 0 . 二类阿贝尔方程， 也有下列的早期结论: ( 2 . 1 5 ) 对第 ( a ) 对形式( 2 . 1 3 ) , 经过变换。 ( x ) =( y + g 田( 二 ) ， 其中 e (二 ) = e x p (一 f f 2 (x )d x ) 可将此方程化为特殊形式 二 =( f , + 9 一 2 f 2 g ) e u + ( f o 一 f i g + f 2 g 2 ) e 2( 2 . 1 6 ) 如 果， + ， 36 ” ， 利 用 变 换， + ， =it 5 ， 可 将 上 述 方 程 化 为 。 + y 2 9 2 一 f i g + f o ) u 3 + ( f , 一 2 f 2 9 + 9 ) u 2 + f l u = 方程 ( 2 . 1 6 ) 具有下列形式 y y=f i ( x ) j + f o ( 二 ) 此方程经过变换: 一 (x ) + f (x ); f (x ) 一 f f iu d x 可化为形式:( 。 + f ) u =f o ; 如果f o 0。 ， 那么在这里可假设 u (x ， 一 、 ; ， : 一 f f odx 第二章 在变换群下的阿贝尔方程可积性 结果可得到: ( n + f ) +i =1 ; 这种类型的某些方程能够有初等积分法求解 例如，如果f i =2 f 2 g 一 9 1 ， 则有下列精确解 y (x ) 一， + e (x )2 f (f . + ， ， ， 一 f 2g 2 )二 一 、 又例如方程 ( y + 9 ) y=f 2 y 2 + f i g +f i g 一 f 2 g 2 具有下列解: ， 一， + e (二 ) p, + 9 ， 一 2 f 2g )e - ld x 其中 e (x ) 一 e . p f f 2 (x )d x ( b ) 对形式( 2 . 1 4 ) ， 如果g o ( 2 f 2 + 9 i ) = g i ( f i + 9 0 ) 和g i 0 。 ， 则 原方程 有 下列的解: g , y 2 + 2 g o y g l i ( x ) 。f f o ， . 。 = i -二 了 es 下口x 十 妙 j 9i1(x) 其中 i (x ， 一 ex p f 赞 “ ( c ) 对形式( 2 .1 5 ) , 假设9 ， 和9 0 均可微， 并且g i 0 0 . 如果f o 3 。 ， 则经 过 变换， 二i ; 可 得到 形式( 2 .3 ) 的 方程: ( g o u + g i ) u + f l u e + f l u + f 3 = 在 这里需要指出的 是， 由 于俘1 3 ) , ( 2 . 1 4 ) 两种 形式是( 2 . 1 5 ) 的特殊形式， 故本文以后提到的第二类阿贝尔方程均指形式 ( 2 . 1 句 . 虽然第一类和第二类 阿贝尔方程能够互相转化， 但为了文章的统一性， 我们还是想利用变换群的 思想，将上述事实以引理的形式给出了详细证明. 2 .1阿贝尔方程的一般结论 二、两个重要引理 引理 ( 一)第一类阿贝尔 方程可以通过变换: u (x ) 二 1x ) + f f2(x )d xy ( 化为第二类阿贝尔方程;第二类阿贝尔方程可以通过变换: 1u (x ) 一 “ 1二 ，“ + “ ” 化为第一类阿贝尔方程. 证明: 由分式线性变换: f f 2 (x )d x + 1-军 - 牡 两边对x 求导得: _ 1 dyy2 dx + f2(x ) 1y2 f3(x )y3 + f 2 ( 二 ) y 2 + f l ( 二 ) ， + f o (x ) + f 2 w - f 3 (x )， 一 f 2 (x ) 一 f 1 (- ) 1 一 f o (x ) 1 y y- +f 2 ( x ) 一-一 面-dx血-山面-dx 井井睁 又因为 。 一 1 + r f 2 (x )d x i ， 补二 一 井7 1- 1 刀j uk x)一 j j 2 t x) u - x 代人上式得: d u。，、1_. .r_. =* i- 1 3 (x ) r不 不 了 f 2 (x )d x 一 f 1 (x ) tu 一 j f 2 (x )d x l - fo (x ) 一 f f 2 (x )d x 2 为了便于说明，不妨令 i (x ) 一 f f2 (二 )。 第二章 在变换群下的阿贝尔方程可积性 井 ，。 一 ， (x ) t x 井 、 一 ， (x ) t x - - f 3 ( x ) 一 f l ( x ) 。 一 i ( x ) 1 2 一 f o ( x ) u 一 i ( x ) l 3 = - f o ( 二 ) u 3 + 3 f o ( x ) i ( x ) 一 f l (x ) )- + 2 f l ( 二 ) i ( x ) 一 3 f o ( x ) i ( x ) 1 u + f o ( x ) 1 3 (x ) 一 8 ( x ) 1 2 ( 二 ) 一 mx ) ( 2 . 1 7 ) 很明显( 2 . 1 7 ) 式是一个标准的第二类阿贝尔方程. 同上，分式线性变换: =9 1 ( x ) 则有u =y i 一 y o, ， 进一步得到: 33 冲 u= 艺f i (x ) y i 一 又f : (x ) a ，= o3 睁。 =艺几 (x ) ( u + y o ) - 冲。 = f o ( x ) + f ( 二 ) u + y o + f 2 ( x ) _ + y o 2 + f ( x ) u + y 0 3 一 f 0 (x ) + f (x ) y o 十 f 2 ( x ) 姑+ f 3 ( x ) 妇 = * , u = f l ( x ) u + f 2 ( x ) u 2 + 2 f 2 ( 二 ) y o u + f 3 ( 二 ) u 3 + 3 f a ( x ) u y o + 3 f 3 ( x ) u 端 片。 ，= f s ( 二 ) u 3 + f 2 ( 2 ) + 3 f 3 ( x ) y o u 2 + if ( x ) + 2 f 2 ( x ) y o + 3 f 3 ( 二 ) 端 。( 2 . 1 9 ) 显然 ( 2 .1 9 ) 式是一个特殊阿贝尔 方程， 命题得证. 从该式不难看出， 若令 f 2 w +3 f 3 ( 二 ) ， =0 ， 即这个特解为 y o= 则 ( 2 . 1 9 ) 式连同原方程均是可积的 2 . 2 在两类变换下的可积条件 在上一节我们可以看出，利用变换群的思想在求解阿贝尔方程所发 挥的巨大作用， 在这一节里， 首先利用线性变换:u = m ( x ) y t n ( x ) 和分式 第二章 在变换群下的阿贝尔方程可积性 线 性 变 换 :。 一 半 + n (x )v(其 中 。 (二 ) , n (x ) 均 为 待 定 函 数 ) 将 阿 贝 尔 方 程 化 为更简单的形式， 以 便我们下文进行讨论. 然后通过对已知阿贝尔方程的分 析， 得到了一组最基本的有关该方程的可积条件 该条件对我们判定一个给 定的特殊阿贝尔方程是否可积有一定的帮助. 但是其计算还是相当复杂， 不 利于实现计算机判定.通过对在分式线性变化下的特殊阿贝尔方程作进一 步的讨论， 得到了一组非常适合特殊阿贝尔 方程实现计算机判定的条件. 引 理( 一) 阿贝尔 方程y - f 3 ( x ) y 3 + f 2 ( x ) y 2 + f l ( x ) ， 十 f o ( x ) 在给定的线 性变换:， =。 ( 二 ) 。 + 可 x ) 仍是一阿贝尔方程; 且当f 2 ( 劝0。 时，若 3 f of 3 + f if 3 一 。 、 一 。 f 2f 3 + 菩 f ,3 一 。 成立。则原方程是可积的.此时只要取 m ( x ) =1 ; n ( x ) = 立 育”伟 并且其通解为 “ 一 “ 1c 一 ， j f3e 1 d.，一 一 _f23f3 其中 e 1 (x ) 一 e x p h f 一 f 22 )d x i 3 j 3 证明: 由。 =- ( x ) y 十 。 ( 劝两边对x 求导得: 井 口= - ( x ) y + - ( x ) y , + 。 ， ( 二 ) 睁 。 = 。 ( 二 ) y + m (x ) f 3 ( x ) y 3 + f 2 ( x ) y 2 + f 1 ( x ) y + f o ( 二 ) 1 + 。 ( 二 ) = u = r n ( x ) f 3 y 3 + 。 ( 二 ) f 2 ( x ) y 2 + ( 。 ， + + n f 1 ) y + m f g + n rz ( x ) 又因为 。z1 - n (x ) 7 / l t 芯) 2 .2在两类变换下的 可积条件 代入上式得: 井u = 睁u , = 。 。 丫13 + -f2丫， + (m + m f l) 军 + m f 0 + 。 ( 二 ) _f3m 2 一3u 2n + 3u n 2 - n 3) + f2m 一2牡 n + 几 2卜,2u n + n 2) + m u + f lum 仇 ， . 护.八、 石r e 十， i t i o 一r e k x ) 井。 ， 一f 3 u 3 + ( f 2 一 3 f n )u 2 + ( 3 f. n 2 一 2 f 2n + m + f l )u + 星一 ( m - + f l )n + 喃十 。 ， 一 鲜( 2 . 2 0 ) 很显然式 ( 2 .2 0 ) 是一个阿贝尔方程. 此时再令 f 2 3 f 3 n 。 f 2 n 2 m一m 了= ” ; 下 m (兴 + f l)n + m f o + 。 -fgn 3m 2 一 。 (2.2 1) 则式( 2 . 1 7 ) 是一个可积的贝 努利方程， 从而原方程也是可积的.由式( 2 .2 1 ) 得 。 ， 一 ( 3f) n (x ) + 3 f 3 n , i 2了 2 将上式代人式 俘2 1 ) 中第二个等式， 整理得 3f3 一 3f3 ( _f2 (3h )f2 ，- (晋 。 一 f 3 )3 f0)一 f.31 - 一 。 此时若 3f3 一 3f3 ( _3f3f2 ( f2 )， 一 ( 省 。 一 ( f2 )3 f/ 一 、 一 。 化简得: 3 f of 3 + “ 。 一 。 : 一 。 f2 f 3 + 署 f 2 一 。 那么只要取 m “ ， 一 ; ra(x ， 一 _f23f3 第二章 在变换群下的阿贝尔方程可积性 则我们就可以得到具体的线性变换将原方程化为贝 努利型方程: _ .， _， _ 3 . ， ， f 22 、 _ u 一 j 3 .十 k i l一 蕊 布 i - a j 3 只需令w ( x ) =。 一 2 ; 就可将其化为一阶线性方程 d w_ 。 ， f 2 、 。 ， 石二 = i i ; 不- w 一 j 3 “山oj3 得到该方程的通解为 w x 一 e i 2 。 一 2 f f3 e id x e l (x ， 一 exp f 。 一 奈 )、 ( 2 . 2 2 ) 其中 再 将w 间= u - 2 ; 。 = ， + 亲代 入 式( 2 .2 2 ) 可 得 到 原 方 程 的 精 确 解 为 ， 一 二 ;。 一 2 f f3e i、 一 一 奈 引理( 一) 得证. 定理( 一) 特殊阿贝尔方程 会 一 。 (- )y 3 + “ 二 ，p 2 + f 二 ，“ 若其系数人 (x ) 满足以下条件之一: ( a ) f 2 ( x ) e x p ( f a (x ) d x ) = a , f 3 ( x ) =b x f 2 ( x ) ( i i ) f 2 ( x ) - p ( f f i ( x ) d x ) = a x - 2 , f 3 (x ) = b x 3 - 2 m f 2 二 ) ; ( 。尹0 , 1 ; m=- 1 ， 士 2 ， 士 3 ， 二 今 (“ ，) f 2 (x ) e - p (f f l (x )d x ) 一n a + b a( , f 3 (x ) = b (a x + b ) 3 f 2 (二 ) ; (d 0- 0 ) ( i - ) f 2 (x ) - p ( f f l ( x ) d x ) =a x , x 2 f 3 ( x ) =b f 2 ( x ) ( v ) f 2 ( x ) - p ( f f l ( x ) d x ) = a, f 2 ( x ) = b x f 3 ( 二 ) (v i) f 2 (x ) - p ( f f l ( 二 ) d x ) = z , f 3 (二 ) = b a 4 f z (x ) 2 .2在两 类变 换下的 可 积条件 ( 以 上浅 b ,a 均为不 等于 零的 任 意 常数 ) 则总可以在分式线性变换: 二( x ) uk x)= 尸下下 种十 nt x/ yl xl 下，特殊阿贝尔方程均是可积的.其中。 ( x ) , n ( x ) 满足下列等式: m (x ) 一叮f i(x )d x ) ,- (x ) 一 f - (x )f 2 (x )d x 证明: 变换u ( x ) =m x y x 十 n (x ) 两 端 对 二 求 导 得 。，_ m y - m yy= + ” 睁 。 ， =+n 1- _ ， 儿 ， 甲 万u3 y + y- f 2 y 2 +f l y ) t n 井u = (饥 一 ，1); - - f3y + 几 ， 一 。 ( 2 . 2 3 ) 若令 。 ， 一 。 f l = 0 ; 。 一。 f 2 =0 就可以得到具体的分式线性变换，其中 m( x )= -p f f l ( x ) d x 。 ( 二 )= f m ( x ) f 2 ( x ) 叔 将， =恙 代 人式怀 2 3 ) 得到 : 井 念 = 一 。 ( x ) f 3 (x ) m( x ) 。 一。 ( x ) u 一 。 2 ( x ) 几( x ) g ( x ) u +h( x ) n ( x ) m 2 ( x ) f 3 ( 二 ) ( 其中g ( x ) = ， h (x ) = m (x j s x ) ) 当 原 方 程 的 系 数f (x ) 满 足 条 件(w时 ， 可 以 得 到 :g ( x ) = 粤 ( 2 . 2 4 ) , h( x ) =b 第二章 在变换群下的阿贝尔方程可积性 则式 俘2 4 ) 变为如下形式: a- t, + 万 ; 它是一可积的齐次方程，故原方程也是可积的 当原方程的系 数分别满足条件( l ) - ( v i ) 时， 同上讨论可计算出g ( x ) ,h( x ) , 代人式 ( 2 . 2 4 ) 分别得到下列形式: 25262728 勺翻n乙2，白 d xd u 一 、 。 + b x ; d xd u 一 (。 十 。)。 、 、 ; d xd u 一 ; u + b x 2 ; dxd u 一 、 x 2 、 b x 3; a u 十 旦 dx，l、 对俘2 5 ) 式， 它是一可积的贝 努利方程; 对