（应用数学专业论文）具有时滞的bam神经网络的稳定性分析.pdf

摘要 摘要 近几年，神经网络已经被广泛的用于各类实际应用当中，例如：设计联想存 储器和解决优化问题。如果神经网络用来解决优化问题，那么就要求系统具有全 局渐近稳定的唯一平衡点。因此，很多人对确认神经网络的稳定性类型而建立的 条件产生了很大兴趣，目前许多研究的论文都关注神经网络的平衡点的稳定性问 题，给出了不同类型神经网络的平衡点的唯一性和全局渐近稳定性的条件。另一 方面，神经网络的延迟性质对解决一些与动力学有关的优化问题也是很重要的。 尤其是，具有时滞的b a m 神经网络的稳定性受到了更多的关注。 本文主要研究的就是具有时滞的b a m 神经网络的稳定性问题，首先研究连续 的b a m 神经网络模型的平衡点的唯一性和渐近稳定性然后研究连续时滞的b a m 神经网络模型的平衡点的唯一性和指数稳定性，最后研究的是具有连续和离散时滞 的混杂b a m 神经网络的平衡点的唯一性和全局渐近稳定性。 具体包括以下内容： 1 、研究连续的b a m 神经网络稳定性。利用l y a p u n o v 方法，分别给出了相应系 统平衡点的唯一性和全局一致渐近稳定性的判别条件，并针对结果给出例子，加 以验证。 2 、研究具有连续时滞的b a m 神经网络系统稳定性，利用反证法和常数变易法， 推导出系统的指数稳定性并给出相应的一些判别条件，并针对结果给出例子，加 以验证。 3 、研究具有连续和离散时滞的混杂b a m 神经网络平衡点的唯一性和全局一致渐 近稳定性问题。利用l y a p u n o v 方法和不等式技巧，分别给出了相应系统平衡点的 唯一性和全局一致渐近稳定性的判别条件，并针对结果给出例子，加以验证。 对于具有连续和离散时滞的b a m 神经网络系统的平衡点的稳定性目前还缺 少这方面的文献，可能有较大难度，通过构造特殊的l y a p u n o v 函数和l m l 分析技 巧等加以解决。本文改变了现有文献对l y a p u n o v 泛函的导数放大处理过程中采用 不等式技巧的单一性，大大降低了现有文献结论的保守性。虽然已有文献对具有 时滞的b a m 神经网络进行了研究，但对具有离散时滞和连续时滞的混杂b a m 神 经网络稳定性进行的研究很少，本论文已做一定的研究。 关键词：b a m 神经网络，稳定性，时滞，l y a p u n o v 函数 a b s t r a c t a b s t r a c t n e u r a ln e t w o r k sw e r eu s e df o rr e a l i t yo fa uk i n d sb r o a d l yo v e l t h ep a s tf e wy e a r s ， f o ri n s t a n c e ：d e s i g na s s o c i a t i v em e m o r ya n dr e s o l v et h eo p t i m i z a t i o np r o b l e m i fn e u r a l n e t w o r k sa r eu s e dt os o l v eao p t i m i z ep r o b l e m , t h es y s t e mn e e dau n i q u ee q u i l i b r i u m p o i l l to fg l o b a l l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t y t h e r e f o r e ，m a n yp e r s o n sh a v ep r o d u c e dv e r yb i g i n t e r e s tt ot h ea f f i r m i n go ft h ec o n d i t i o no ft h en e u r a ln e t w o r k ss t a b i l i t y , a n da tp r e s e n t m a n yp a p e r sh a v e b e e nf o c u so nt h es t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n to f t h en e u r a l n e t w o r k sa n dh a v eg i v e nt h eu n i q u e n e s sa n dg l o b a l l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fd i f f e r e n t n e u r a ln e t w o r k sm o d e l so u t o nt h eo t h e rh a n d ，i ti sa l s ov e r yi m p o r t a n tt ou s et h ed e l a y c h a r a c t e ro fn e u r a lt os o l v et h eo p t i m i z a t i o np r o b l e mr e l e v a n td y n a m i c e s p e c i a l l yt h e s t a b i l i t yo fb a m n e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m ed e l a y sh a sc a u g h tm o r ea t t e n t i o n 1 1 1 ep a p e rm a i n l ys t u d i e dt h a tt h es t a b i l i t yp r o b l e mo f b a mn e u r a ln e t w o r k sw i t h t i m ed e l a y s ，f i r s ti ts t u d i e dt h eu n i q u e n e s sa n dg l o b a l l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f c o n t i n u o u sb a mn e u r a ln e t w o r k s ，t h es e c o n dt h eu n i q u e n e s sa n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o fb a mn e u r a ln e t w o r k sw i t hc o n t i n u o u st i m ed e l a y s ，t h el a s tt h eu n i q u e n e s sa n d g l o b a l l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f b a mn e u r a ln e t w o r k sw i t hb o t hc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t c t i m e sd e l a y s i n c l u d et h ef o l l o w i n gc o n t e n tc o n c r e t e l y ： ls t u d i e dt h es t a b i l i t yo ft h ec o n t i n u o u sb a mn e u r a ln e t w o r k s u s i n gl y a p u n o vm e t h o d , i tg i v e st h ec o n d i t i o n so ft h eu n i q u e n e s sa n dg l o b a l l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fc o n t i n u o u s b a mn e u r a ln e t w o r k s ，r e s p e c t i v e l y a n dt h ee x a m p l ei sg i v e nt os o m er e s u l t sa n d v e r i f i e d 2s t u d i e dt h eu n i q u e n e s sa n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fb a mn e u r a ln e t w o r k sw i m c o n t i n u o u st i m ed e l a y s u s i n gc o n t r a d i c t i o na n dt h em e t h o df o rv a r i a t i o no fp a r a m e t e r s ， i tg i v e st h ec o n d i t i o n so ft h eu n i q u e n e s sa n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fb a mn e u r a l n o t w o r k sw i t hc o n t i n u o u st i m ed e l a y s ，r e s p e c t i v e l y a n dt h ee x a m p l ei sg i v e nt os o m e r e s u l t sa n dv e r i f i e d 3s t u d i e dt h eu n i q u e n e s sa n dg l o b a l l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fb a mn e u r a ln e t w o r k s 、析ib o t hc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t et i m ed e l a y s u s i n gt h es k i l lo fi n e q u a l i t ya n d a b s t r a c t l y a p u n o vm e t h o d ，i tg i v e st h ec o n d i t i o n so ft h eu n i q u e n e s sa n dg l o b a l l ya s y m p t o t i c s t a b i l i t yo f c o n t i n u o u sb a m n e u r a ln e t w o r k s ，r e s p e c t i v e l y a n dt h ee x a m p l ei sg i v e nt o s o m er e s u l t sa n dv e r i f i e d n o wt h ed o c u m e n t sw h i c ht h es o l u t i o na n ds t a b i l i t yo fb a mn e u r a ln e t w o r k sw i t h c o n t i n u o u sa n dd i s c r e t ea r el e s s ，w h i c hw i l lh a v el a r g ed i f f i c u l t i e s ，a n dw ew i l ls o l u t e t h ep r o b l e m sb yb u i l d i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a la n dl 】m is k i l l t h ep a p e rc h a n g e dt h e s i n g l e n e s so fi n e q u a l i t ya m o n ge n l a r g i n gt h ed e r i v a t i v eo fl y a p u n o vf u n c t i o n a l ，a n d r e d u c e dt h ec o n s e r v a t i v eo ft h ec u r r e n td o c u m e n t sc o n c l u s i o n s o m ed o c u m e n t sh a v e s t u d i e db a mn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m ed e l a y s ，b u tt h es t u d yo ft h es t a b i l i t yo fb a m n e u r a ln e t w o r k sw i t hb o t hc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t et i m ed e l a y si sl e s s t h ep a p e rh a s d o n es o m es t u d i e s k e y w o r d s ：b a mn e u r a ln e t w o r k s ，s t a b i l i t y , t i m ed e l a y s ，l y a p u n o vf u n c t i o n i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签辄缱喹日期：枷净上月d 日 l 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：妻室奎导师签名：聋塑 醐：节3 - y l 。b 第一章引言 1 1 研究的背景及意义 第一章引言 稳定性概念的出现有悠久的历史了，早在1 7 世纪就出现过托里斯利原理，但 在动力学方面，对应于稳定运动的严格的解的选择原理却未建立。稳定性概念也 早被拉普拉斯、拉格朗日、马克斯威尔、汤姆逊和德特、庞加莱等采用过，但都 无精确定义。达朗贝尔、拉格朗同、马克斯威尔、魏施涅格特斯基、茹可夫斯基 及斯图多等采用过一次近似方法研究稳定性，但未从数学上严格证明其合理性。 因此，可以说，在这之前稳定性的一般理论，迟迟没有形成。 1 8 9 2 年，俄国数学力学家李雅普诺夫的博士论文“运动稳定性的一般问题 才给出了运动稳定性的严格、精确的数学定义和一般方法，从而奠定了稳定性理 论的基础。 美国布朗大学著名数学家l a s a l l e 教授在6 0 年代说过：“稳定性理论在吸引 着全世界数学家的注意，而且李雅普诺夫直接法得到了工程们的广泛赞赏”，“稳 定性理论在美国正迅速变成训练控制论方面的工程师的一个标准部分 。 稳定性的重要意义，可想而知，小到一个具体的控制系统，大到一个社会系 统、金融系统、生态系统，总是在各种偶然的或持续的干扰下运行的。承受这种 干扰之后，能否保持预定的运行或工作状态，而不至于失控，摇摆不定，至关重 要。 神经网络( n n s ) 技术是2 0 世纪末迅速发展起来的一门高科技技术。由于神 经网络具有良好的非线性映射能力、自学习适应能力和并行信息处理能力，为解 决未知不确定非线性系统的建模和控制问题提供了一条新的思路，因而吸引了国 内外众多的学者和工程技术人员从事神经网络控制的研究。 神经网络控制的基本思想就是从仿生学角度，模拟人脑神经系统的运作方式， 使机器具有人脑那样的感知、学习和推理能力。它将控制系统看成是由输入到输 出的一个映射，利用神经网络的学习能力和适应能力实现系统的映射特性，从而 完成对系统的建模和控制。神经网络理论的应用已经渗透到各个领域，并在智能 控制、模式识别、计算机视觉、自适应滤波和信号处理、非线性优化、自动目标 识别、传感技术与机器人、生物医学工程等方面取得令人鼓舞的进展。神经网络 电子科技大学硕士学位论文 在控制领域受到重视主要归功于它的非线性映射能力、自学习适应能力、联想记 忆能力、并行信息处理方式及其良好的容错性能。这些特点使得神经网络非常适 合于复杂系统的建模与控制，特别是当系统存在不确定性因素时，更体现了神经 网络方法的优越性，它使模型与控制的概念更加一般化。 双向联想存储器( b i d i r e c t i o n a la s s o c i a t i v em e m o r y ) 神经网络是一类双层交互 结合网络，它由两层组成，并使用两层之间的向前和向后的信息流，执行对存储 的刺激一响应联想信息的搜索，一层的神经元完全的和另一层的神经元相互结合， 而在同一层的神经元却没有任何连接。网络演化到能量曲面的一个局部极小值， 这是两个模式共振的状态，在每层有一个输入状态。它是一个信息记忆和信息结 合能力的重要模型，主要应用在模式识别、解决优化问题和自动控制工程上，在 这些应用中，网络的自治特点扮演着一个很重要的角色。众所周知，在生物和人 工智能神经网络中，由于放大器和交流时间的有限的切换速度而发生时间的延迟。 延迟通常是时间的延迟，带有时间的激烈变化。他们减缓了传递的速度，同时通 过造成振荡或者不稳定现象从而影响设计神经网络的稳定性。所以，研究具有时 滞的b a m 神经网络就与实际更一致了。 1 2 国内外研究现状和发展态势 对一个系统而言，稳定性是被关注的首要问题。然而时滞系统的稳定性分析 一直是时滞系统研究的一个难点。 许多学者从各种途径出发，得出了很多用于判断时滞系统稳定的判据。根据 稳定性准则是否与时滞有关，时滞系统稳定性准则被划分为两种类型，即时滞独 立稳定性准则和与时滞相关的稳定性准则，一般意义上来说，缺少时滞信息使得 时滞独立稳定性准则比时滞相关稳定性准则具有更大的保守性，尤其是当时滞较 小时。 在近几十年里，研究者从连续时滞和离散时滞两个方面对神经网络的时滞系 统的稳定性进行了大量的研究，并取得了可喜的成果。以往的文献中，l y a p u n o v 方法被广泛的应用于寻找此类系统的稳定性规则 i - 3 8 j 。文献 2 1 通过状态的线性变 换，将连续b a m 神经网络转化成标准神经网络模型，利用l y a p u n o v 泛函和s 方 法给出了全局渐近稳定性和全局指数稳定性的充分条件。该方法保守性低，稳定 性条件容易验证，对于具体的网络设计和应用具有重要的指导意义。文献 6 7 】 的结果在独立于延迟参数的神经系统的网络参数上强加了限制条件。构造合适的 2 第一章引言 l y a p u n o v 函数证明了系统平衡点的唯一性和稳定性。文献 8 1 1 】在不假设激励函 数的有界性、单调性和光滑性的条件下，通过构造合适的l y a p u n o v 函数，得到了 系统平衡点的存在性、唯一性及稳定性的一些新的充分条件。文献 1 0 、1 2 一1 7 】 通过利用叠合度理论、m 矩阵和一些线性不等式等理论，然后构造合适的l y a p u n o v 函数，得出b a m 神经网络系统的稳定性。 从已有文献 2 5 - - 3 2 来看，线性矩阵不等式( l m i ) 方法成为研究b a m 神经 网络时滞系统的稳定性的主要方法。通过构造一个恰当的矿函数，结合不等式分 析技巧，对矿函数的导数y 进行放大处理，获得基于l m i 时滞相关的系统的稳定 的充分条件。由于针对不同的系统在构造l y a p u n o v 函数上缺乏一定的准确性以及 利用不同的变换技巧，这在一定程度上使得到的结果产生了一系列的保守性。目 前研究者们对各种b a m 神经网络系统都进行了深入的研究。如文献 2 6 3 运用线性 矩阵不等式方法和构造合适的l y a p u n o v 函数，给出了具有连续时滞的b a m 神经 网络的全局渐近稳定性的一个新的判别规则。文献 2 9 3 利用线性矩阵不等式证明平 衡点的唯一性，激活函数满足有界和李普希兹条件，利用l y a p u n o v 函数证明平衡 点的全局鲁棒指数稳定性。文献 3 0 】为具有变时间延迟的b a m 神经网络的全局稳 定性提高延迟依靠性规则，利用l y a p u n o v 函数和线性矩阵不等式，这个规则可以 很容易用来解决各类的优化算法。文献 3 2 】处理的是变延迟的离散的b a m 神经网 络的全局指数稳定性问题，应用线性矩阵不等式和l y a p u n o v 函数，对变延迟的函 数没有额外的限制，它能应用于更一般的具有广义的延迟函数的值域b a m 神经网 络。 不动点定理也被广泛的应用于神经网络的稳定性研究中，如文献【3 3 4 0 】。文 献 3 4 3 利用l y a p u n o v 函数，h a l a n a y 不等式，数学归纳法和不动点定理证明了具有 脉冲效应的延迟细胞神经网络的稳定性和周期性。文献 3 3 、3 5 具有混合延迟的细 胞神经网络的拟周期解的新结果，该文应用不动点定理证明了拟周期解的存在性， 利用不等式技巧和反证法证明了拟周期解的全局指数稳定性。 目前讨论具有时滞的b a m 神经网络的稳定性主要运用的是l y a p u n o v 方法。 但是针对不同的系统，构造没有固定的标准和方法，都是在构造之初进行试凑的， 并且在对其导数进行处理的过程中，大多数文献采用的不等式处理技巧都很单一， 这使结论具有较强的保守性。因此，许多研究者开始寻求一种不用l y a p u n o v 函数 的方法来解决b a m 神经网络的稳定性问题。如文献【3 9 4 1 】利用不动点定理和不 等式技巧。文献 4 2 3 利用m 矩阵理论、d i n i 导数、分析法得到具有周期变化时滞 和周期系数的b a m 神经网络周期解的存在性和全局指数稳定性，与以前利用 电子科技大学硕士学位论文 l y a p u n o v 泛函方法和叠合度理论的连续定理比较，该文更简单和有效，限制条件 较少，并且去掉了激活函数的有界性和单调性的假设。文献 4 3 幂1 j 用常数变易法和 不等式技巧证明了具有时间变元延迟和扩散项b a m 神经网络的全局指数稳定性。 文献 4 4 1 在没有假定突触联系权重的对称性和连续激励函数的单调性和可微性的 条件下，利用不等式技巧研究了系统的指数稳定性。以上文献通过各种方法降低 了结论的保守性，使得结论应用更广泛。 1 3 本文研究需要的基础知识 考虑一般的n 维非自治微分方程组 拿：厂( f ：x ) ( 1 1 ) d t j 一。 x = c o l ( x i ，工2 ，吒) ，厂= c o t ( f , ， ，工) c t g ，r ”j ，g u 保证( 卜1 ) 式解的唯 一性，且厂( f ，o ) 三0 ，设d r = 仁f l f x l ，z r ”j ( o 0 ，v t o i ，3 8 ( 8 ，t o ) ，v ，当i x o l i 8 ( c ，t o ) 时，对一切 t t o ，：f f 。x ( t ，t o ，x o ) i l 0 ，3 万p ) ，v x o ，当i i x o l l 0 ，3 t ( 8 ，t o ，) 0 ，当i i x o l l 0 ，3 t = 丁p ) o ，v t o r ，v x o d ，对于一切 t 气+ 丁，有l x ( t ，t o ，州 o ，v r 0 ，3 k = k ( r ) 0 ，v t o r ，v x o d r ，对于一切t t o ， 4 第一章引言 有i i 缸f ，t o ，x o ) t l k e 吨“咱，则称方程( 1 1 ) 平凡解是全局指数稳定的。 定理1 i t 4 5 1 ( l y a p u n o v 稳定性定理) 若在某区域g 上存在正定函数y ( f ，力， 使 孔旷警嚆器以删i i h ) 2 百+ 各副八l 叫驯 则( 1 = 1 ) 式的平凡解是稳定的。 定理1 2 1 设，= p ，) ，d n = 翻 0 且是一个常数，任意正定矩阵x r 删“，则 2 z ty 0 那么系统( 2 2 ) 的原点是唯一的平衡点并且它是全局一致渐近稳定的， 7 一 堕三型垫奎堂堡主堂垡堡奎 一 - _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - _ _ _ _ _ _ _ - - - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ 一 其中“( y r b 2 矿) 和肘( 形r 彳2 矿) 分别是y r b 2 矿和r a 2 w 的最大特征值。 a = d i a g ( a l ，口2 ，口。) ，b = d i a g ( b l ，b 2 ，k ) ，w = ( ) ，y = ( v i i ) m x 一 证明：设x + = ( x ：，x ；，x ：) r 和y + = ( y ：，y 2 。，y ：) r 是系统( 2 - 2 ) 的平衡点，那 么得到关于平衡点的如下方程： 一口，x 卜g ，( y ；) = 0 j = i - b ，y ；+ e ( x ；) = 0 把方程组( 2 3 ) 的第一个方程两边同时乘以2 m a ，x ；，第二个方程两边同时乘以 2 n b y ：，则得到： l 一2 朋口；工；2 + 羔2 m a l x ? g ，( y ；) = 0 1 2 以6 ；y ；2 + 窆2 以6 v i y * j f i ( x ；) = o l i = 1 , 2 ，以；= 1 , 2 ，- m ( 2 4 ) 由引理2 1 ，可以得到 n m2 肌口，嘞z ；q ( y ；) = 2 m x 。r aw g ( y + ) l = lj z l x * t x 。+ m 2 g r ( y ) 形r a 2 w g ( y ) 兰窆2 以b j v j i y ；f i ( x ；) = 2 n y j b v f ( x ) j = l i = i y + r y + 万2 f r ( x ) y r b 2 v f ( x + ) 把方程组( 2 4 ) 的第一个方程的f 从1 到刀相加，把方程组( 2 4 ) 的第二个方程的j 从 1 到m 相加，然后再将两式相加，得 o ：一窆2 m 口，2 _ 2 + 窆羔2 m 口，x ；g ，( y ；) i = l i = ij = l 小 tn n 一2 咒巧y ；2 + 2 n b ，v y ；e ( z ；) j = lj = lf = l 一主2 撇x 2 + x ”x + m 2 g r ( y ) 形r 彳2 w g ( y ) i = i 8 、，02l 理 m ， ， 复 乙 ，b l = = z ， 第二章连续的b a m 神经网络模型 一羔2 刀巧j ，；2 + y j ，+ 拧z f t ( x ) y r b z v f ( x ) = i ( 2 5 ) 由于，嘭( j ，) 所少2 ，j = 1 ，2 ，m ，e 2 ( ) 一 0 ，当j = 1 , 2 9 o 9 m 时，q ， 0 ，而对于 x = ( x ? ，x ：，工：) r 0 或者y = ( y ? ，j ，；，o l9 y ：) r 0 ，可以得到 m 一4 i 2 一q y s ” 一 蛇，y c ： 埘闩 一 2 瓯 。鲥 一 电子科技大学硕士学位论文 由引理2 1 ，可知： 2 m a ，功 ，t ( f ) g ( y o ) ) = 2 m x r ( f ) 彳矿g ( y o ) ) i = 1j = l x ，o ) x ( f ) + m 2 g ，( y o ) ) 矽7 a 2 w g ( y ( t ) ) 因此 m以 2 n b j v ，y ) 曩( t ( f ) ) = 2 n y r ( ，归陋( “，) ) y ro ) y o ) + 以2 f r ( x ( f ) ) 矿r b 2 v f ( x ( t ) ) 矿( x o ) ，y o ) ) 一2 ，l 口；# o ) + z7 o ) z o ) + m 2 gr ( y ( f ) ) 矿r 彳2 多- g ( y o ) ) i = 1 一2 刀6 ，2 少，2 0 ) + y ，o ) y o ) + 刀2 f r ( z o ) ) y7 b 2 多o f ( x o ) ) 由于，6 号( j ，) 歹y ，2 ，_ ，= 1 , 2 ，m ，e 2 ( x ，) 0 4 x , ，i = 1 ，2 ，丹， 可得 n m y ( x ( f ) ，y ( f ) ) 一2 m a r x 2 ( t ) + # ( f ) + m 2 t ，( r v r a 2 形) 2 y ，2 ( f ) f = li = 1 j = l 因此 y 7 ( 石o ) ，y ( f ) ) 一4 石? o ) 一q y j 2 ( f ) 因为4 0 ，汪1 , 2 ，n ，q j 0 ，j = 1 , 2 ，m ，则 v ( x ( f ) ，y ( f ) ) 0 所以由第一章的定理1 2 可知，可以得出结论，系统( 2 2 ) 的原点是全局一 致渐近稳定的，即系统( 2 1 ) 的平衡点是全局一致渐近稳定的。 2 3 例子 给出如下的网络参数： 1 0 、，o 2 f x口 。瑚 、， 矿 2 8 r 矿 ，lk 2 厅+ 、，o z ， y 。同 + 、，o z ，y巧 聆2 辨问 一 第二章连续的b a m 神经网络模型 w = v = p e p e a = b = 口= = 其中e 是一个实数。矩阵矽r 彳2 矿和矿r 曰2 y 具有如下的对角形式： 可得 矽，彳2 矿= y7 占2 矿= 匏20 04 e 2 oo oo 0o 00 4 e 20 0 4 e 2 砧( 矿r 4 2 形) = ( 矿r b 2 功= 4 e 2 因此，由定理2 1 ，我们得到 磊= 4 = 岛= 瓯= q l = q 2 = q 3 = q 4 = 7 6 匏2 所以，本侈i 。z 。- - 点的唯一性和稳定性的有效条件是e 2 6 7 ；。 2 4 本章小结 这部分讨论了连续的b a m 神经网络的全局渐近稳定性问题，通过利用 l y a p u n o v 函数和不等式分析技巧，证明了系统平衡点的唯一性，并且给出了连续 的b a m 神经网络的平衡点稳定性的有效条件。 e 8 e p 0 l 0 o p叩叩p n 电子科技大学硕士学位论文 第三章具有连续时滞的b a m 神经网络模型 3 1 具有连续时滞的b a m 神经网络模型 众所周知，稳定性问题是神经网络研究中的一个重要理论问题，时滞的引入 可能导致神经网络出现振荡或者不稳定，甚至出现混沌现象。本章研究的是具有 连续时滞的b a m 神经网络的指数稳定性。模型如下： 堋= - a l u i + 善叩，( f c j ，艰卜蛐t 扮。 删= t 删+ 喜v 矧n 纵+ 舢 i = l ，2 ，n ；j = l ，2 ，聊 ( 3 1 ) 系统( 3 一1 ) 满足初始条件： u i ( f ) = 办( f ) t ( 硼，o 】，i = 1 , 2 ，以；z ( f ) = 纺( f ) ，t ( o d ，o 】，j = 1 , 2 ，m 其中口，和6 ，表示神经元负载时间常数和被动衰变率，e 和g j 分别表示神经元的激 活函数和传播信号函数，c o v 和v 表示轴突联络强度，i j 和，是外部输入 假设激活函数满足以下条件： ( h 3 1 ) 存在正常数吼，i = 1 , 2 ，刀和，j = 1 , 2 ，m ，使得 l 鼻( 磊) 一e ( 彘) l 口f | 点一受l 孝。，磊r l g j ( ) 一g ，( 厶) i 岛l f t 一厶if 。，f ：r ( h 3 2 ) v u ，z r ，存在正常数m f ，i = 1 , 2 ，刀，和，_ ，= 1 , 2 ，所，使得 l z ) i m ，以及l g s ( z ) l 三， ( h a 3 ) 当f = 1 , 2 ，万，j = 1 , 2 ，m 时，g ，岛，i = 1 , 2 ，万；j = 1 , 2 ，肌是定义在 o ，叫上的非负连续函数并且满足： j oe 8 巳( s ) d s = m f l e 9 8 岛( s ) 出= 0 l ，定义 g f ( f ) = h l o ) 一d f o p 一万卜f = 1 ，2 ，m ( 3 - 5 ) 对于任意的f ( - o o ，t o 】均成立，可知 q ( f ) = h f ( t ) - d o f o p 一万嘞f o 一抛，o o ， 显然当。= o 时，( 3 4 ) 是正确的 如果对于任意的t t o ，总是存在g ( f ) t o ，使得 1 3 t t o , t lx 歹i ，= 1 , 2 ，m 却锄如 “ 卜 陋 一。严一茹肌 )7m 刚q q 鳅g q 电子科技大学硕士学位论文 也就是 另一方面，由条件( 3 3 ) ，可得 d g i ( t 1 ) o d t 脚 一一+ y l 。 0 l j 一 j = l 因此，存在一个相当小的正常数万使得 一+ 0 + 万 0 j = z ( 3 - 6 ) 由( 3 5 ) ，可以得到 d g i ( t 1 ) ：d h i ( t , ) + 椭口一搿( f i - t o ) d td t “ - r t h 1 ) + l j i l l j r 。+ w d o f o p 哪。一 r 一+ 万+ 芝o k p 吲”u j 。i 0 ( 3 7 ) 显然( 3 6 ) 和( 3 7 ) 是矛盾的。因此，对于任意的t t o ，下面的不等式是正确的 g f ( f ) = h f ( f ) 一抛，0 e 呵岫s 0 即引理3 1 成立。 令“母= ? ，“；，“：) ，z = ( z ：，z ；，z ：) 是系统( 3 - 1 ) 平衡点，为了简化平衡 点的唯一性和指数稳定性的证明，将系统( 3 1 ) 的平衡点变换到原点，利用下面 的变换： _ ( f ) = e a ( “心) 一哆，y ( f ) = e a ( z 以) 一z ，) 0 占r ( 3 - 8 ) 沿着系统( 3 1 ) 的轨迹计算式子( 3 8 ) 的导数，得到 ( f ) = 一( a i - g ) x ，o ) + p 茸羔缈g ，( j c 0 巳o ) e - s t t - s ) y j 。一s ) 凼) y ；( f ) = 一( 一g ) y ，o ) + p 茸窆v v f i ( f d 口( s ) e - s ( t - s ) x i ( f j ) 凼) ( 3 - 9 ) 1 4 一笙三童墨塑垄堡堕堂箜里坐塑丝堕丝堡型 一 - _ _ _ _ _ _ - _ _ - - - _ _ _ - 一。一 其中 z ( j c o d 驴( s ) e - f ( t - s ) x i o s ) 出) = f ( f d o ) ( p 一呻叫o s ) + “? 陟) 一只( r d o ) ”? 凼) g j ( f c j i ( 5 ) e - s o - s ) y 一s ) 凼) = g j ( f c ( s ) ( e 叫h ) y 一s ) + z ；) 凼) 一g ( j c o c j ( s ) z ；凼) i = 1 , 2 ，刀 j = 1 , 2 ，m 易知函数z 和g j 满足假设( h 3 1 ) ，则函数z 和g ，有如下的性质： fl ，( x ，) i 口舡，l ，且z ( o ) = 0 i = 1 , 2 ，oo * 9 靠 1 i g j ( y ) | 岛川，且g j ( o ) = 0 j = l 2 m 如果系统( 3 9 ) 的原点是唯一的和指数稳定的，b g 燃( 3 - 1 ) 的平衡点是唯一 的和指数稳定的，下面给出一个定理： 定理3 1 如果系统( 3 9 ) 的网络参数满足如下条件， i 一口，+ i 缈i p j m 0 户： 【一6 - + i = 11 1 ，移i 口t 以妒 o ( 3 1 0 一) l 1 3 -l 则系n ( 3 9 ) 的原点是指数稳定的。 证明：应用常数变易法，可得系统( 3 9 ) 的解如下： 而( f ) ：口嘲卅t ( o ) + 艺j i 8 电醐- r 口靠g ，( f c ( s ) e 叫川y 一s f y 印也叫j ，) + 喜p 妒啪f ) e 盯v o z ( f d 删p 叫h ) 出矽f ( 3 - 1 1 ) 计算式【3 1 1 ) 两边的绝对值，可以得 ) i p 奸咖啪) i + 芝j = lp 神叫p 盯川g ，( f 巳( 咖- e ( , - s ) y 一，( r s ) 凼) 胁 y ，o ) i e - o ，- e ) ti y ，( 。) l + 喜e _ ( 屯一f x ，- f ) e 盯i v ”o z ( j - 。f ，( s ) e - e ( r - s ) x i ( r s ) 出) p f 由于，i z ( t ) l - a ，i 毛l ，f = 1 ，2 ，”和k ，( y ，) i 岛i j ，片j = 1 ，2 ，肌，得出 电子科技大学硕士学位论文