（基础数学专业论文）第三类cartanhartogs域的einsteinkahler度量.pdf

摘要 本文的主要内容是研究第三类超c a x t o n 域的e i n s t e i n - k i h l e r 度量。首先给出了 第三类超c a r t o n 域的的e i n s t e i n - k j i h l e r 度量的生成函数的隐函数表达式；其次给出 了其上e i n s t e i n - k 蓉h l e r 度量下的全纯截曲率的表达式及估计，得到e i n s t e i n - k a a h l e r 度 量与k o b a y a s h i 度量的比较定理；最后是第一次在非齐性域上给出了完备的e i n s t e i n ， k m f l e r 度量的显表达式文献f 8 】里指出要得到完备e i n s t e i n - k i h l e r 度量的显表达 式是非常困难的本文采取了比较独特的的方法即我们利用第三类超c a r t a n 域的 全纯自同构群及全纯自同构下的不变函数x 把m o n g - a m p e r e 方程化为常微分方程 来达到这一目的 对于伊中具有二次连续可微边界的有界拟凸域，c h e n g 和y a u 1 证明其完备 的e i n s t e i n k 量h l e r 度量一定存在且唯一n m o k 和s t y a u 【2 】又将这一结果推广 到任意有界拟凸域n 上设0 的完备e i n s t e i n - k i h l e r 度量为 舻= 恭觑葛 则g 是m o n g e - a m p 色r e 方程的下列d i r i c h l e t 问题的唯一解： la e t ( 丽0 2 9 ) 一n + 啪艇m 【g = z i ) m 这里g 称为域n 的e i n s t e i n - k f i h l e r 度量的生成函数 第三类超c a f t a n 域定义如下t d i i ( 1 ，口；k ) ：= w c ，z r m ( q ) ：1 wr 2 k 0 ) ：= 砌 其中r i i i ( q ) 表示华罗庚意义下的第三类c a r t a n 域，z 表示z 的共轭，上标t 表 示矩阵的转置，( 1 e t 表示行列式，q 2 为自然数超c a x t a n 域是华罗庚域 的特殊情形文献f 4 】 5 】给出了y m 的b e r g m a n 核函数，由此易知域的b e r g m a n 核函 数是穷竭的因而域y m 为拟凸域，因而可以通过计算生成函数g 来得到e i n s t e i n k i h l e r 度量我们利用第三类超c a z t a n 域的全纯自同构群及全纯自同构下的不变 函数x ，把m o n g - a m p e r e 方程化为如下的常微分方程问题： “y 一“一寻y + 搿 ly ( o ) 3 南 似= ( y - y ，( 儿鬲错k 量= l 删1 y - ) 洲7 ， 。，y 、一一，y f i l ! v ! t ! ! * 2 1 11 ：! d y 妒y 一y ( 。) 两i 濡爵耀了葡可而打。 而生成函数g 可以表示为： ，= 南b s f ( 警) “1 y ，a e 啦一翻却卅专) 其中y 是x 的函数( y = g ) 而且是上述问题的解我们得到在e i m t e i n - k 茜h l e r 度 量下的第三类超c a r t o n 域全纯截曲率在点( o ，w ) 处的值为 u 【c 毛”，a 忙，”川z = 0 = - - 2 ( j 4 y i 2 j i 云i a 擎- i 芊专i i ：c i ；i 茹生4 + 其中g = 崭寻；i 黼当k 一南时，全纯截曲率上界为一个负常数，从而我 们得到e i n s t e i n - k & h l e r 度量与k o b a y a s h i 度量的比较定理； 比较定理：当k g 一击时，令y m 的完备的e i n s t e i n - k i 】a l e r 度量为e y i i i ( g ，u ；) 其k o b a y a s h i 度量为r 物( = ， ；”) ，则存在正常数c 使得对任意( ：， ) y m ，f c e ( = ，1 t ，；) c r y m ( z ， ；口) 当k = + 南时，y m 的生成函数g 为 川o s 击a e t 旷劳一( 等) 器 从而我们得列完备的e i n s t e i n - k m h l e r 度量的显表达式此时的y m 一般而言是非齐 性的，这样我们就首先在非齐性域上得到了完备的e i n s t e i n - k 5 , h l e r 度量的显表达式 关键词：超c a r t a n 域，e i n s t e i n - k i h l e r 度量，全纯截曲率，比较定理 2 a b s t r a c t i n t h i s p a p e r w e d i s c u s s t h e e i n s t e i n k 蓉h t e r m e t r i c o n t h e s u p e r - c a x t a n d o m a i n o f t h e t h i r dt y p e f i r s t l yw e g e tt h ei m p l i c i ts o l u t i o no ft h eg e n e r a t i n gf u n c t i o no ft h ee i n s t e i n - k a h l e rm e t r i co nt h es u p e r - c a r t a nd o m a i no ft h et h i r dt y p e s e c o n d l yw eo b t a i nt h e h o l o m o r p h i cs e c t i o n a lc u r v a t u r eu n d e r t h ee i n s t e i n - k 苴h l e rm e t r i ca n d g e ti t se s t i m a t i o n ， h e n c ew eg e tt h ec o m p a r i s o nt h e o r e mf o rt h ec o m p l e t ee i n s t e i n - k i h l e rm e t r i ca n dt h e k o b a y a s h i m e t r i co nt h ed o m a i n y ，l i t h i r d l yw eg e tt h ec o m p l e t ee i n s t e i n - k h l e rm e t r i c w i t he x p l i c i tf o r mo nan o n - h o m o g e n e i t yd o m a i n a c c o r d i n gt ot h ep a p e ri s ，w ek n o w t h a ti t i sv e r yd i f f i c u l tt og e tt h e e x p l i c i tf o r mo fac o m p l e t ee i n s t e i n - k i i h l e rm e t r i c i nt h i sp a p e rw ea d o p tas p e c i a lm e t h o db yu s i n gt h eh o l o m o r p h i ca u t o m o r p h i s m g r o u po ft h es u p e r - c a x t a nd o m a i no ft h et h i r dt y p ea n dt h ei n v a r i a n tf o u n c t i o nxu n d e r t h eh o l o m o r p h i ea u t o m o r p h i s mt or e d u c et h em o n g e - a m l 记r ei n t ot h e o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n c h e n ga n dy a n 1 l h a v ep r o v e dt h a tt h e r ee x i s t sa nu n i q u ec o m p l e t ee i n s t e i n k a h l e rm e t r i co nt h eb o u n d e dp s e u d o c o n v e xd o r a a i ni n 伊w i t hc o n t i n u o u st w i c ed i f i e r c n t i a b l eb o u n d a r y t h e nn m o ka n ds t y a u 【2 】e x t e n dt h er e s u l ti oa n yb o u n d e d p s e u d o c o n v e xd o m a i nn a s s u m i n gt h ec o m p l e t ee i n s t e i n - k i h l e rm e t r i co fn i s 舻= 恭橛两， t h e ngi st h eu n k l u es o l u t i o no ft h ef o l l o w i n gd i r i c h l e tp r o b l e mo ft h em o n g e a m p e r e e q u a t i o n ： ja e t ( 蕞) = e ( n + d g 一 【9 = 二 。 ：a n h e r egi sc a l l e dt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o no ft h ee i n s t e i n k 釜h l e rm e a s u r eo nn t h ed e f i n i t i o no ft h es u p e r - c a r t a nd o m a i no ft h et h i r dt y p ei s y m ( 1 ，毋k ) ：# h 7 c ，z r m ( q ) ：1 w 1 2 k 0 ) ：= 】向， w h e r er m ( q ) i st h ec a f t a nd o m a i no ft h et h i r dt y p ei nt h es e n s eo fh u a 牙i st h e c o n j u g a t i o no fz ，t h es u p e r i o rl e t t e rt i st h et r a n s p o s eo fam a t r i x d e ti st h ed e t e r m i n a n t o fam a t t i x ，q 2i san a t u r a ln u m b e r t h e s u p e r - c a f t a nd o m a i ni st h es p e c i a lc a s eo ft h e h u ad o m a i n s t h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o no f 砀7i sg i v e ni np a p e r sp a p e r s i 【4 】【5 】h e n c e t h i sb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o ni se x h a n s t i o n ，s oy r l t ( q ) i sap s e u d o c o n v e xd o m a i n ， b yu s i n gt h eh o l o m o r p h i ca u t o m o r p h i s mg r o u po ft h es u p e r - c a r t a nd o m a i no ft h et h i r d t y p ea n dt h ei n v a r i a _ tf o u n c t i o nx u n d e rt h eh o l o m o r p h i ca u t o m o r p h i s mw er e d u c et h e m o n g e - a m p e r ee q u a t i o ni n t ot h ef o l l o w i n go r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o np r o b l e m ： 。y 一十l 一字y + 制 【y ( o ) 2 焘 t h i sp r o b l e mh a st h ef o l l o w i n gi m p l i c i ts o l u t i o n ： g ( y - y ( o ) ) ( y _ 嵩暑妻y ( o ) 洲， w h e r e 则卜丘，矿蒜斛赫a y a n dw eo b t a i nt h et h eg e n e r a t i n gf u n c t i o ngo ft h ee i n s t e i n - k 互h l e rm e a s u r eo nn a s “炳8 ，：志n - t y d e t ( 1 - z 即卅音， h e r eyi st h es o l u t i o no ft h ea b o v ep r o b l e ma n da l s oi saf u n c t i o no fx ，y 2 丽d y w e a l s oo b t a i nt h eh o l o m o r p h i cs e c t i o n a lc u r v a t u r eu n d e rt h ee i n s t e i n - k i h l e rm e t r i co fy n z u c 。，”，a 扛，”) 】l z = o = - - 2 ( j 4 y j 2 j i i i a 乎- 1 芊；i ：c i 等茹生4 + w h e r eg = 等斜w h e n k 一i ，t h e h o l o m o r p h i cs e c t i o n a lc n r v a t u r eu n d e r t h ee i n s t e i n - k 苴h l e rm e t r i co fy m 玛b o u n d e df r o ma b o v eb yan e g a t i v ec o n s t a n t t h e nw e g e tt h ec o m p a r i s o nt h e o r e mf o rt h ec o m p l e t ee i n s t e i n k 茜1 1 1 e rm e t r i ca n dt h ek o b a y u s h i m e t r i co n 圻，f c o m p a r i s o n t h e o r e m ：w h e n k 一由，w e l e t ( 2 t w ；y ) a n d ( z ，w ；y ) b e t h ec o m p l e t ee i n s t e i n - k 射l l e rm e t r i ca n dt h ek o b a y a s h im e t r i co fy mr e s p e c t i v e l y , t h e n t h e r ee x i s t sp o s i t i v ec o n s t a n tcs n c ht h a t e 哳( z ， ；”) c r 硷( 。， ；y ) i sh e l df o ra n y 忙，t 上，) m 玎，掣c w h e nk = g + 了，t h eg e n e r a t i n gf u n c t i o no ft h e e i n s t e i n k ；】l l e rm e t r i co ny r ai s ，= l o g 击d e t ( 卜z z t ) 一番 ( 萼) 锚1 t h e nw eg e tt h ee x p l i c i tf o r mo ft h ec o m p l e t ee i n s t e i n - k 茜：h l e rm e t r i co ny i # i ，w e r ey l l li 3 t h en o n - h o m o g e n e o g sd o m a i ni ng e n e r a l i ti st h ef i r s tt i m et h a tt h ec o m p l e t ee i n s t e i n * k i h l e rm e t r i cw i t he x p l i c i tf o r mi so b t a i n e do nt h en o n - h o m o g e n e o u sd o m a i n 4 第零章引言 根据r i e m a n n 映照定理，在复平面c 上的任何一个单连通区域d ，只要不是c 本身，它一定全纯等价于单位圆盘e 因而研究了域e 的任何一个双全纯不变量 就等于在任何一个单连通区域d 上研究了这个不变量从这个观点出发，虽然在 高维时不存在r i e m a n n 映照定理( 当n l 时，中的互不全纯等价的单连通域 有无穷多个) ，但各种双全纯不变量的研究与使用，在一定程度上起到了r i e m a n n 映照定理的作用四个经典的不变度量：b e r g m a n 度量( 以b ) 表示，c a x a t h e o d o r y 度量( 以c 表示) k o b a y a s h i 度量( 以k 表示) 和e i n s t e i n - k i i h l e r 度量( 以) 表示 都是重要的双全纯不变量因而对他们的研究引起了不少数学家的重视而且这种 研究对域的边界的几何，对双全纯映射的连续延拓到边界等等重要问题都有重要 的应用对这四个度量的关系的研究也就很有重要性根据文献f 8 我们阐述一下 这四个度量之间的关系首先在单位球b “上。对于任一个：口“上的切向量v 我们 有， ，n，一 一，“。一d e ( v , v ) = j b ( v , v ) = 、n + l 、e ( v v ) = 、n + 1 、k ( k v ) 其次我们还有如下的结论： ( i ) 口和g ：在g n 的任一有界域上，有b 2 c ( i i ) b 和尚无关系被发现人们希望在g “有界域上，对于某些常数a 有b 兰a 成立，但是数学家发现在c 3 中存在拟凸域该域上等是无界的【9 。但在某些蛋 型域和一些c a r t o n - h a r t o g s 域上有b n ( 1 0 】- 1 7 】) ( i i i ) b 和e ：在g “的所有有界齐性域上有b = ( i v ) c 和k ：在所有的流形上有c k 还有在口所有的凸域上有c = k 1 8 】 还有一个结果是在g 2 的有限型的有界拟凸域上b ，g ，k 是彼此等价的。文献( 8 】 同时指出，这四个经典度量中，就数e i n s t e i n - k a h l e r 度量最难计算 不变度量问的比较定理属于多复分析中关于”不变度量与不变距离”的范畴 2 0 世纪六七十年代当k o b a y a s h i 度量刚被引进时，这领域的研究相当热门最近， 关于不变度量和不变距离的研究又已经在国际上热门起来在不变量的研究中， 上述四个经典度量的彼此等价问题是重要的研究课题以b n ，k n ，s n 分别表 示c “中的有界域n 上的b e r g m a n 度量，c a r a t h e o d o r y 度量和k o b a y a s h i 度量， e i n s t e i n - k i i h l e r 度量，则两个度量彼此等价，例如毋l 与k n 等价，是指：是否存在 仅依赖于n 的正常数a ( a ) 和b ( a ) 使得对所有的( z ，f ) c n c “有： 。 泖) 器剑呲 若n 在b e r g m a n 度量下的全纯截曲率有一个负上界，则可知上式不等式之右端( 即 b n 口( q ) ) 成立此时我们就称在域n 上成立b e r g m a n 度量和k o b a y a s h i 度量 的比较定理但是，一般而言，对b n 和k n 并无确定的关系我们已经知道存在 边界光滑的拟凸域q ，使得畏是无界的因而对那些域其比较定理成立就很值得 研究本文意在考虑殷慰萍与r o o s 引入的第三类超c a r t a n 域( 其形式如下： y m ( 1 ，g ；k ) ：= c ：z r m ( q ) ：j w l 2 “ o ) ：= y m 2 其中r m ( q ) 表示华罗庚意义下的第三类c a f t a n 域，虿表示z 的共轭，上标t 表 示矩阵的转置。d e t 表示行列式，q 2 为自然数) 上的e i n s t e i n k k h l e r 度量，给出 了m 的e i n s t e i n - k i i h l e r 度量生成函数的隐式解表达式；给出了”的在e i n s t e i n - k i h l e r 度量下的全纯截曲率的表达式及其估计，并由此对k g 一击- 时的m ，给 出了k 苴h l e r 度量和k o b a y n s h i 度量的比较定理即5 n ，c 凰 ，( c 为正常数) ， 这种关系式，如文献 8 i 所述，以前尚未发现过；当k = g + 击- 时，给出了 知的 完备e i n s t e i n k i h l e r 度量的显表达式此时的y m 一般而言是非齐性域，因此我们 给出了在非齐性域的情况下的完备e i n s t e i n - k i i h l e r 度量的显表达式的例子，这在以 前从未有过 我们方法特点在于利用在 ，j 的自同构群下不变的函数x ( 定义见下文) ，把 m o n g e - a m 砖r e 方程化为以x 为变量的常微分方程这种方法运用到我们所引进的 超c a f t a n 域就能求出完备的e i n s t e i n k 司a l e r 度量的显表达式 本文共分四章，第一章构造了y m 的全纯自同构第二章，我们将m o n g e - a m t 诧r e 方程化为常微分方程并得出了y n t 的e i n s t e i n k i h l e r 度量的生成函数的隐式解本 文的第三章讨论了y m 的e i n s t e i n - k i h l e r 度量下的全纯截曲率及其估计，并在一些 情况下得到了k a h l e r 度量和k o b a y a s h i 度量的比较定理本文第四章在一些特殊情 况下对y m ( 此时一般而言为非齐性域) 计算出了完备e i n s t e i n - k i h l e r 度量的显表 达式 3 第一章准备知识 l ，1 第三类超c a r t o n 域的全纯宜同构群 引理1 如下变换是y 1 1 1 的全纯自同构： f ”：e e 。w d e t ( i z 0 2 吾) 击d e t ( 一z 乏吾) 一f 1 ； 1 z = a ( z z o ) ( t 一- f o z ) 一1 万一1 其中j p a ：盯一玩爵) ，z o ，z r m ( 口) ，o o r ，这变换记为f ( z w ；z o ，0 0 ) 所有这些 变换的集合记为a u t ( y i u ) 证明：上述变换中的第二个式子就是第三类c a r t a n 域的全纯自同构由此可知 j z z f = x i 丁( 一z 乏) 一1 ( 1 一z o 乏t ) 一1 a 一1 d e t ( i z 牙一) ：d e t ( 1 一z - z t ) d a ( i z 磊o r ) l 一2d e t ( i z j z 吾) 1 t 1 2 x ： w 2 k d e t ( 1 一z o 东o r ) l d a ( * 一z j 菇7 ) j 一2 i 叫| 2 0 ，对v ( z ，) y m 成立若令 g c y ，= y ，+ 1 一- - _ i y n + 污瑞 由( 1 2 ) 式，则有g ( y ) 0 对蚋c o ，1 ) 成立困g ( 帝b ) = 0 ，卫 ( 南) = ( 高) “1 。 所以存在j 0 ，使g ( 南一j ) o 可知y ( x ) 南，又 由( 1 2 ) 式有y ( x ) 0 综上所述，对v ( z ， ) y m 有x 0 1 ) ，y ( x ) 胃，y ( x ) 0 g x = t y y c 。，( y 一a 。- 一n ，- i ，。登；。y ( o ) k - i y n - k ) e “y ， 其中 、r 71 ) y n1uv+i)r-* 妒y 一k 万习薷霭酉而阿4 y c + 为任意正常数。这是( 1 2 ) 的臆函数形式的解 第三章第三类超c a r t a n 域在e i n s t e i n k i i h l e r 度量下的全 纯截曲率 3 1 第兰类超c a r t o n 域在e i n s t e i n k i i h l e r 度量下的全纯截曲率 设g ( z ， ) 生成y m 的e i n s t e i n - k i h l e r 度量。那么 r i l l 的全纯截曲率u ( 2 t ) ，d ( z ，u ) 在此度量下有如下形式： ut。，”，ac=，w，=垡生!竺二i：差jj蒿笔篆笋 其中d = 杀d z o ，d = 去五瓦，t = ( 砂为度量方阵 因为全纯截曲率在全纯自同构变换下是不变的，而对任意的( z ，t ，) y m ，存在f o a u t ( y l l l ) ，使得f o ( z ，w ) = ( 0 ，w 4 ) 所以，只须计算u ( z ，w ) ，d ( z ， ) 在( 0 ， ) 点的值即 可 由于 邓删，摘t 【( 0 ，酾东2 ( ) 蔬 所以有 其中 t ：f ，1 而1 蜀。= - a t a 刁时器即) 丁丽 ：y芗twdet(itn z 垆) 一蠢层( z ) t ， = i w d 。( 一z z 。) 一霄层( z ) 1 ， t 2 = 磊， 乃2 ：y d e t ( 一z 矿) 一 其中a ，e ( z ) 见引理1 ，引理3 由于 打= 旧芝) 凹= ( 曩甓d t n ) 1 2 d d t = 、 攀溉哆姗 2 2趣仍 一，一d 皿啦 ! 面一d ，lft、，、 注意到 d t l l = 竽2 y o x 。d f a r 五a 了习+ 簪越妒互x a 丁习 + 可2 w 丽o x 妣 a 7 再玛+ ：宇x f y 瓦o x d e ( z ) ，丽 + x 。y o 。x 石咖e ( 。) ，雨+ ： 丢瑟d e ( z ) ，雨+ x y o 。xd e ( z ) ，雨 + 髻( 掣州( 卜z - z t ) 一1 一z ：) z r ( x z z t ) 一1 ( j 1 2 一如1 ) 矿 出。 鉴且州( 卜z 矿) 一1 阢一e ) 矿( j z - z t ) ( 1 q 山一q - 1 ) 护) ，面两 + 器e ( ：) 侄三r ( 打厅i 历( 。一酬最一厶) d z 。 等( 打【_ 珂( 。一屯。) ( e i ) d z 。 + 辱等e o ) ，( ：璺产r f ( j 一言z ，) 一- 虿( 一k ) ( f 一- z z ，) 一1 ( j 1 2 一是，) z ， d z 。 ：宇打 ( j 一牙z ，) 一1 牙( 一s o ) ( x 一- 2 z ，) 一1 ( 1 q l 口一i q q - d z ， d 气。) ) d a 丁再x a 7 - 】。 j = 0 ， 善。i y 瓦o x 圳计渤 + 仙i y 丽o x 山如z ( j z 矽) 一毒e ( 。) + 毫丢”出咐一z 矿) 一击州( ，一z u ) - 1 ( 厶一i ：) u d z a e ( 。r + ；”抛( j z 矿) 矗( 耋打 f f - z z r ) - 1 一矗) z 丁( ，一z 矿) _ 1 ( 。一圳矿】出n 打 ( j z u ) 一1 一r ) u ( i z 矽) _ 1 ( 磊由一z q q _ , ) z t d z 。) 1 3 + y - - ；k d w d e ( 卜z 矿) 一k e ( z ) 7 若差d 删( i - - z - z t ) m z 嘞) ( i - z z t ) - 1 】 ，打 z ( z q 山一磊q 1 ) 一z 矿) 一1 】) + 等筹扎，_ d 州卜z - 牙t ) _ 上m ：嘞) 7 ( x - z u ) _ 1 】 一，打 z ( 磊一l g z 怕一1 ) ( ，一z 垆) 一1 ) - e 2 w d e t ( f z u ) 一击打 ( ，一z 矿) 一1 ( 厶一l ) 矿】d z a ( 打【z ( 2 一如1 ) ( j z - z t ) 一1 ，t r z ( z q i 口一舀口一1 ) ( j z u ) 。】) + ；础( 卜 i 组业 z u ) 一击( 打【( 厶一矗) ( j 1 2 1 2 1 ) ( j z - z 7 ) 一1 】d 钿 a = l ，壹打 ( l 一厶) ( l 一1 口一如g 一1 ) ( i - 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a ：o = 4 旅凹 2 d d d u i 矽= 打( d d d u i a 矿) 出面d 【a r 才a 7 竭曲l ：o i 尹= 打( d z d z t d z 面t ) 将上述结果代入，则有 ( d z ，山) - d d t + d t t 一1 刁尹】硒面产 = d z r l l 刁尹+ 如r 2 l 孑尹+ d z r l 2 3 - 5 + d w r 2 2 t w 一等( - 一并+ 南) 恤卜矿2 y ( 越群崴) 一8 y y k ( t 一等) 脚州一( 。+ 半) y 嘶1 4 这样就得到第三类超c a r t a n 域在e i n s t e i n k i h l e r 度量下的全纯截曲率为 u 【t 。，”，a c z ，”川z = o = - 2 ( j 4 y 2 萎i i i a - 芋i i ；群c 4 + 其中c = 崭a 一莉n - i a n 3 2 对全纯截曲率的估计 下面我们分情况对曲率进行估计 ( i ) 当k 5 + 毒r 时， n + l ，g 0 ( 1 3 ) 如果n 2 ，取e = 要，则0 1 由( 1 3 ) 式，有 l 一- 。w 2e + + 因为】，( x ) 南，于是 一jlue+!i!【!二三一=二i篁二二!；岳；￥鲁：；：j垂堂 狲业生嗡挲篇掣 一y k t r ( 握峦1 。砑面r ) 一育8 ) 兽- - - 1 蚓4 + 丙岛1 出1 4 “+ 一k 2 。幕面再了面阿一 应用引理4 ，并注意到打( d z i 尹) = 2 1 d z l 2 ，有 一j l u s + i 4 y i 于l i 揣= s + j 4 y _ 丁i 揣 因为 ；一甜= 譬群= 黼。i 一面呵2 两( 矿2 孤河面” 所以“j 一2 e = 一妥 0 当q = 2 时，n = 2 ， = k + 1 ，y 冬产，品 出| 4 + 2 铲蚓2 l 幽1 2 + y 2 i 如4 、3 ( 骈i d z l 2 + y l 砒阡 。4 所以u s 一； 0 ( i i ) 当s 一士 k + 古时，n 一1 。 ，。器( 掣 u 一2 丝! ! ! 三一 ) i d z l 4 + ( 也生生警i ：璺生卫) 】，2 i d 叫1 4 ( 簪i d z l 2 + y e d w l 2 ) 2 所以u 一m i n ( 号产，嫂骂产业) ( i i i ) 当0 o ， c + = 一_ n ( n 矿- 1 ) c 0 ， ；u + 1 sn u 2 一扩u ( 1 一u ) + ，( 1 一u ) 2 = ( n + + 6 + + c ) 1 1 2 - - ( 矿+ 2 c + ) u + c + 所以 u + 1 的最大值在u = 0 或u = 1 取到当u ；0 时，y ( o ) y ( x ) 当u = 1 时 i l u + ，= c + 一掰= i 翌二= - 生；掣 知l “曼旦n y ( o ) i “+ l 2 n 曼 由尘每卫1 ，半1 ：可知 ak ，k ( n + 1 ) 一事1 万一丽，2 1 一百x 一 c ( o ) ：一n ( 布n 矿- i ) c 1 而矿( o ) 一击时，对任一满足m o n g e - a m p 6 r e 方程的g 所生成的e i n s t e i n - k h l e r 度量，总存在一个正常数g + ，使得在此度量下的全纯截曲率s g 。因而此时y m 的 唯一存在的完备的e i n s t e i n - k 址l e r 度量下的全纯截曲率存在一个负上界由文献【7 】可知有 以下比较定理成立： 3 3 比较定理 定理：当k 一甚t 时，令y m 的完备的e i n s t e i n k i h l e r 度量为e y m ( z ， ；y ) ，其 k o b a y a s h i 度量为r t 钿( z ，叫；) ，则存在正常数c ，使得对任意( z ，叫) y m ，y c 时，有 目啊，( z ，t o ；y ) e r y m ( z ，“；y ) 第四章非齐性域的完备e i n s t e i n k 若h l e r 度量的显表达式 对于第三类超c a r t o n 域l 矗，若取k = g + 击，则 = n + 1 ，c = 0 这时( t 2 ) 式化 为 ， 删_ y 2 ( 1 4 ) 【y ( o ) _ 1 可解出y = 南，其中g + 为任意常数 若取g + = 1 ，则y = r 与，于是 s 乩s b 酬开壶( 等) 群 下面我们要证明g 是边值问题( 1 ) 的解 显然有d e t ( g a 万( z ，叫) ) = e ( n + 1 ) g 【。，u ) 对v ( z ，叫) y m 成立 若点( ；，面) o y u l ，且茴0 时，( ；，苗) 为强拟凸点当( z ， ) y m ，( z ， ) _ + ( ；，苗) 时，有x _ + 1 一，所以由- + o o ，而此时d e t ( i z 矿) _ i 苗1 2 ” o 因此，在强拟凸点 上，有9 ( z ，w ) - + ，( z ：w ) _ o y m 若点( ；，茹) o y z ，i ，而面= 0 时，( ；，0 ) 为弱拟凸点( z ，) y m ，( 。，) - ( ；，o ) 时有t 与 1 ，d e t ( i z u ) _ + o ，d e t ( z z 矽) 一击- + + ，即在弱拟凸点上，也有 9 ( z ，w ) _ + o o ，( z ，u ) 一+ o y m 因此，g 是m o n g e - a m l 记r e 方程的边值i 珂题( 1 ) 的解，所以9 生成了y m 的完备的 舻啪川一叫拙，( ：引耐， 其中 t 1 t = 而b 【婀x a 啊时南e ( z ) t 丽， n 2 = 而d e t ( j z 矿) 一砌l ( z ) 7 ， 乃，= 髭， 马t = 矗嘉d c t ( 卜z 矿) 一 2 1 其中a ，e ( z ) 见引理1 ，引理3 在这种情况下的全纯截曲率为 u c扛，”，acz，”，=一。c，+盖兰；li：要蕃；簪， 取q = 2 ，则 k = 2 ，打( 以a 矛d z a 矛) = 2 恤1 4 故此时 = 一2 这与我们已经知道的超球的裁曲率的结果一致。此时的l 匆一般而言是非齐 性的，对非齐性域而言，我们找到了一个完备的e i n s t e i n - k i h l e r 度量的显表达式 2 2 参考文献 f l lc h e n g s y a n d y a u s t o n t h e e x i s t e n c e o f ac o m p l e t e k i i h i e r m e t r i c o l l n o n - c o m p a c t c o m p l e x m a n i f o i d sa n dt h er e g u l a r i t yo ff e l f e r r a a n se q u a t i o n c o m mp u r ea p p im a t h ，1 9 8 0 。3 3 ：5 0 7 - 5 4 4 2 1n m o ka n ds t y a u c o m p l e t e n e s so ft h eki h l e r e i n s t e