（基础数学专业论文）约化子空间标架多分辨分析的嵌入定理.pdf

独创性声明 i i i ii rll llr llr lr lr f l i 17 8 8 6 8 6 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名： 关于论文使用授权的说明 日期： 洳卜i ! ；j 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 日期： 如7 0 、多 摘要 摘要 小波标架理论是小波分析中比较活跃的研究课题之一关于全空间( l 2 ( r ) ) 小波标架， 1 9 9 3 年j j b e n e d e t t o 和s l i 提出了标架多分辨分析( f m r a ) 的概念，为小波标架的构造提供了一个一般的方法，促使了后来f m r a 小波标 架研究的很大进展关于子空间小波标架，x d a i ，y d i a o ，q g u 与d h a n 在2 0 0 2 年提出了约化子空间的概念，并在此背景下研究了一类特殊标架小波的 构造，这一工作也引起了不少的后续研究本文在约化子空间背景下研究标架多 分辨分析的嵌入定理 2 0 0 5 年，h o k i m ，r y k i m 与j k l i m 通过引入中心空间谱的概念， 证明了l 2 ( r ) 中的一个标架多分辨分析一定可以嵌入到某个多分辨分析中，并研 究了嵌入的唯一性等问题本文通过引入细分标架函数的谱，在一般约化子空间 的背景下研究了这一问题，得到如下结果； 定理3 2 2 给定d 阶伸缩矩阵m 及l 2 ( 础) 的一个约化子空间f l 2 ( q ) 设 酽cq 满足：2 7 r z d 一同余于俨且酽cm r s d 则对f l 2 ( q ) 中任意一个与 m 相关的f m r a v j b z ，存在一个与m 相关的正交m r a k ) j z ，使得对 任意j z ，有功c 巧 定理3 2 6 设m 是一满足id e tm i = 2 的2 阶伸缩矩阵，则对l 2 ( r 2 ) 中任意 一个与m 相关的f m r a b b z ，存在一个与m 相关的正交m r a 巧b z ， 使得对任意j z ，有c 定理4 2 1 给定d 阶伸缩矩阵m 及一个m 一细分的标准正交基函数夕设 l z 俨：m g ( z ) = o ) i = 0 ，则不存在m 一细分的标架函数，使得v ( f ) 妄y ( 9 ) 定理4 2 2 给定d 阶伸缩矩阵m 及l 2 ( r d ) 的一个约化子空间f l 2 ( q ) 设 ：j z 】是f l 2 ( q ) 中一个与m 相关的m r a ，妒是其一尺度函数，其符号 北京工业大学理学硕士学位论文 为m 妒若i _ z ，d ：m 妒( z ) = o ) l = 0 ，则不存在任何一个不同于 k ：j z 的 f m r a b ：j z ) 使得对任意j z ，有屹c 巧 关键词约化子空间；细分函数；标架多分辨分析 i i a b s t r a c t a b s t r a c t t h e o r yo fw a v e l e tf r a m e sh a sb e e na t t r a c t i n gm a n yw a v e l e t t e r s i n t e r e s t o n l 2 ( r 1w a v e l e tf l a m e s ，j j b e n e d e t t oa n ds l ii n 1 9 9 3i n t r o d u c e dt h en o t i o n o ff r a m em u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ( f m r a ) ，w h i c hp r o v i d e dw a v e l e t t e r sw i t ha g e n e r a lr e c i p ef o rt h ec o n s t r u c t i o no ff m r a w a v e l e tf r a m e sa n dr e s u l t e di ng r e a t a c h i e v e m e n t so nf m r aw a v e l e tf r a m e s o ns u b s p a c ew a v e l e tf r a m e s ，x d a i ，y d i a o ，q g ua n dd h a ni n2 0 0 2i n t r o d u c e dt h en o t i o no fr e d u c i n gs u b s p a c eo f 三2 ( r d ) ，a n ds t u d i e dt h ec o n s t r u c t i o no fas p e c i a lc l a s so fw a v e l e tf r a m e s ，w h i c h a l s oa t t r a c t e dm a n yw a v e l e t t e r s i n t e r e s t t h i st h e s i sf o c u s e so nt h ep r o b l e mo f e m b e d d i n go ff m r a i nt h es e t t i n go fag e n e r a lr e d u c i n gs u b s p a c e i n2 0 0 5 ，h o k i m ，r y k i ma n dj k l i m ，b yi n t r o d u c t i o no fs p e c t r u m o fac e n t r a ls p a c e ，p r o v e dt h a ta nf m r ai nl 2 ( r ) m u s tb ee m b e d d e di n t os o m e m r a ，a n da l s os t u d i e dt h eu n i q u e n e s so fs u c he m b e d d i n g ，e t c i np r e s e n tt h e s i s ， w ei n t r o d u c et h en o t i o no ft h es p e c t r u mo far e f i n a b l ef r a m ef u n c t i o n ，a n ds t u d y t h ea b o v ep r o b l e mi nt h es e t t i n go fr e d u c i n gs u b s p a c e s w eo b t a i nt h ef o l l o w i n g r e s u l t s ： t h e o r e m3 2 2g i v e nad de x p a n s i v em a t r i xma n dar e d u c i n gs u b s p a c e f l 2 ( q ) o fl 2 ( r d ) l e ts dcq b e2 7 r z d - c o n g r u e n tt or d ，a n dl e ts db es u c h t h a t cm 。t h e n ，f o ra na r b i t r a r yf m r a v j ) j zo ff l 2 ( q ) a s s o c i a t e d w i t hm ，t h e r ee x i s t sa no r t h o g o n a lm r a 巧) j za s s o c i a t e dw i t hm s u c ht h a t 砖ckf o rj z t h e o r e m3 2 6 g i v e na2 2e x p a n s i v em a t r i xm w i t hd e tm l = 2 t h e n ， f o ra na r b i t r a r yf m r a b ) j zo fl 2 ( r 2 ) a s s o c i a t e dw i t hm ，t h e r ee x i s t sa n o r t h o g o n a lm r a ( y jb za s s o c i a t e dw i t hm ，s u c ht h a tv jc 巧f o rj z t h e o r e m4 2 1 g i v e nad de x p a n s i v em a t r i xma n da nm r 商n a b l eo r - t h o n o r m a lb a s i sf u n c t i o ng l e ti 。面d ：m g ( z ) = o 】i = 0 t h e nt h e r ee x i s t sn o m r e f i n a b l ef r a m ef u n c t i o n ，s u c ht h a tv ( f ) 主y ( 9 ) t h e o r e m4 2 2g i v e nad de x p a n s i v em a t r i xma n dar e d u c i n gs u b s p a c e f l 2 ( q ) o fl 2 ( 掣) l e t ) j zb ea nm r a o ff l 2 ( q ) a s s o c i a t e dw i t hm ，a n d i i i 北京工业大学理学硕士学位论文 l e t 妒b eas c a l i n gf u n c t i o no ft h em r a w i t ht h es y m b o lm 妒a s s u m et h a t 俨：m 妒( z ) = o ) i = 0 t h e nt h e r ee x i s t sn of m r a v j j e zo t h e rt h a n s b zs u c ht h a t 屿cy jf o r 歹z k e y w o r d sr e d u c i n gs u b s p a c e ；r e f i n a b l et u n c t i o n ；f r a m em u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s i v 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 第1 章绪论1 1 1 概念和符号1 1 2 研究背景和主要结果5 1 3 本文结构7 第2 章细分标架函数与标准正交基函数9 2 1 主要结果9 2 2 本章小结1 5 第3 章f m r a 的嵌人定理1 7 3 1f m r a 的刻划1 7 3 2 嵌入定理1 8 3 3 本章小结2 2 第4 章嵌入定理的唯一性2 5 4 1 一些辅助引理2 5 4 2 主要结果3 1 4 3 本章小结3 3 结论- - 3 5 参考文献3 7 致谢4 1 v 第1 章绪论 1 1 概念和符号 第1 章绪论 z 表示整数集 z + 表示非负整数集 z d 表示d 维整数点集 n 表示正整数集 r d 表示d 维欧式空间 俨= 一7 r ，丌 d 表示d 维环面 对任意可测集ecr d ，记e = e + 2 r z d 一个d 阶矩阵m 被称为伸缩矩阵是指m 是一个所有特征值的模都大于l 的整数矩阵以m 表示m 的转置矩阵 础中的两个可测集相等，包含关系以及两可测函数的相等、不等关系均指在 相差一个零测度集的意义下成立 对r d 中的一可测函数，定义其支撑s u p p ( ) 为 s u p p ( f ) = z 2 d ：，( z ) o 显然，在相差一个零测度集的意义下，s u p p ( f ) 是唯一确定的 给定一可测集sc 利，一个至多可数集族 & ：i ，) 被称为s 的一个分划 是指：s = u & ，& n 最，= 0 ( i ，i ，i ) i e i 给定可测集e ，fcr d ，称e 为2 7 r z d 一同余于f 是指存在e 的一个分划 e j ：j z d ) 使得( 马+ 2 1 r j ：j z d 】是f 的一个分划 可分h i l b e r t 空间咒中的一个至多可数序列 五) t ，被称作咒的一个标架是 指：存在0 asb ，使得对任意，h ， a i i 1 1 2 i 1 2 b i i s i l 2 ，( 1 - 1 ) i e i 北京工业大学理学硕士学位论文 其中a ，b 分别被称作f 标架界和上标架界特别地，在( 1 一1 ) 中当a = b 时，称 ( ) t ，是冗的一个紧标架；当a = b = 1 时，称 ) l ，是冗的一个p a r s e v a l 标架若 ) t ，是何的一个标架，且从 ) 讵，任意去掉一个元素之后将不再是 标架，则称 】剃是冗的一个r i e s z 基关于标架的相关知识可参见 1 - 5 】 l 2 ( r 4 ) 表示满足 i i 1 1 z = ( 厶i ( 圳2 d z ) 5 o 。 的所有函数，作成的h i l b e r t 空间，其中内积被定义为 = f ( x ) g ( x ) d x ( f ，g l 2 ( 则) ) r d l 2 ( 俨) 表示满足 i i f l l 。= ( 厶i f ( 酬2 出) 5 。 的所有2 7 r z d 一周期函数作成的h i l b e r t 空间，其中内积定义为 = f ( x ) 一g ( x ) d x ( f ，g l 2 ( 俨) ) t ，t a f 2 ( z d ) 表示满足 | | c i i 。= ( i c 岛膨 o k e z d 给定一d 阶伸缩矩阵m 函数，l 2 ( r d ) 被称为m 一细分的是指存在 2 丌z d 一周期的可测函数m ，使得氕m 2 ) = m ，( ) 穴) 成立，此时称仇，为f 的 符号对任意m 一细分的函数，我们总以仇，表示其符号 北京工业大学理学硕士学位论文 即 对任意f l 2 ( 瓞d ) ，以v ( f ) 表示 ，( 一k ) ：k z d ) 张成的闭线性子空间， v ( f ) = s p a n f ( 一k ) ：惫z d ) 厂是r i e s z 基函数： ，( 一k ) ：忌z d ) 是v ( f ) 的r i e s z 基 厂是标准正交基函数： ，( 一尼) ：尼z 8 ) 是v ( f ) 的标准正交基 ，是标架函数： 厂( 一k ) ：k z d ) 是v ( f ) 的标架 是p a r s e v a l 标架函数： ( j r ( 一k ) ：k z 4 j 是v ( f ) 的p a r s e v a l 标架 厂是m 一细分标架函数：厂是m 一细分的且厂是标架函数 厂是m 一细分p a r s e v a l 标架函数：，是m 一细分的且，是p a r s e v a l 标架 函数 ，是m 一细分标准正交基函数：，是m 一细分的且，是标准正交基函数 定义1 1 2给定一个d 阶伸缩矩阵m 和l 2 ( 删) 的一个约化子空间f l 2 ( q ) ， f l 2 ( q ) 中的一个闭子空间序列 k ) j z 称为f l 2 ( q ) 中一个与m 相关的标架多 分辨分析( 记作f m r a ) ( z 规标架多分辨分析( 记作n f m r a ) ) ，若满足： ( i ) 对任意j z ，y jck + 1 ； ( i i ) uk = f l 2 ( q ) 和nv j = 0 1 ； j e zj z ( 俐) 对任意j z ，巧= d j ； ( i v ) 存在f l 2 ( 2 ) 使得 死矽：k z d ) 是的标架( p a r s e v a l 标架) 特别地，若把( 锄) 改为 ( )存在多f l 2 ( q ) 使得 疋妒：k z d ) 是的一个r i e s z 基( 标准正 交基) ， 则称 k j z 是一个多分辨分析( 记作m r a ) ( t 交m r a ) 此时，称为该f m r a ( n f m r a ) 或( m r a ) ( i e 交m r a ) 的尺度函数 这一定义是【4 】，【5 】及【7 - p 5 】中定义的一个自然推广 垂 第1 章绪论 从以上定义，我们知道咖是一个m 一细分的标架函数( p a r s e v a l 标架函数) 或( r i e s z 基函数) ( 标准正交基函数) ，满足对任意j z ，有 v o = ( 咖) ，v j = d j 因此，我们也称生成该f m r a ( n f m r a ) 或m r a ( e 交m r a ) 1 2 研究背景和主要结果 1 9 8 6 年，法国数学家y m e ”r 成功地构造出具有一定衰减性的光滑函数， 这个函数的整数平移和二进尺度伸缩产生的函数系构成l 2 ( r ) 的标准正交基，这 个函数就称为m e y e r 小波继m e ”r 小波提出后，d l e m a r i e 和g b a t t l e 又 分别独立地构造了具有指数衰减的小波函数此后，s m a l l a t 提出多分辨率分 析的概念，成功地统一了j s t r o m b e r g ，y m e y e r ，d l e m a r i e 和g b a t t l e 等人 的小波构造方法，并且s m a l l a t 在多分辨率分析的基础上给出了相应的分解与 重构方法，这种算法主要用于数字图像的分解与重构1 9 8 8 年，i d a u b e c h i e s 基于多项式函数构造了具有紧支撑的正交小波1 9 9 0 年，c k c h u i 和王建忠 基于样条函数构造了正交小波函数，并讨论了具有较好局部化性质的尺度函数和 小波函数的构造方法到目前为止，l 2 ( 刺) ( 尤其是l 2 ( r ) ) 上小波分析的研究已 经取得了丰硕的成果( 4 】，【5 】， 1 6 卜 2 4 】) 近年来，由各种形式的多分辨分析结构构造小波标架的研究引起了不少数学 工作者的关注 关于高维标架多分辨分析小波标架：b e n e d e t t o 和“在1 9 9 3 年，1 9 9 8 年， k i m 和l i m 在2 0 0 0 年均对一维2 一伸缩f m r a 小波标架的构造作了深入的研 究( 8 ，1 5 】) 对一般的伸缩矩阵( 其行列式不一定等于士2 ) ，b a g g e t t ，c o u r t e r 和 m e r r i l l 在2 0 0 2 年讨论了m 一伸缩f m r a 小波标架的构造( 【2 5 ，推论3 5 】) ，但 其表达式不明确g u 和h a n 在2 0 0 4 年用完全不同子【8 】和【1 5 】的方法，得到了 一维2 一伸缩f m r a 小波标架的明确表达式( 2 6 】) 在二维情形下，众所周知， 北京工业大学理学硕士学位论文 行列式为5 = 2 的伸缩矩阵可以通过整相似划分为六类，所以m 一伸缩f m r a 小 波标架的研究可归结为六个伸缩矩阵的情况( 【2 7 】) 受【2 6 】的启发， 2 8 】得n - j m 一伸缩f m r a 小波标架的明确构造( 其中id e tm l = 2 ) ，此构造囊括了 8 与 【2 6 】的结论 关于周期多分辨分析小波与周期标架多分辨分析小波标架； 2 0 0 5 年。h o n g o hk i m ，r a ey o u n gk i m 与j a ek u nl i m 在p ( r ) 上的标架多分辨分析中引 入了中心空间谱的概念，得到了一个标架多分辨分析容许单个标架小波的条件， 并证明了任意一个标架多分辨分析一定可以包含于某一个多分辨分析( 1 0 】) 【2 9 】 在周期标架多分辨分析( p f m r a ) 中引入了谱序列的概念，用它刻划了正规化 p f m r a ，得到了的一个闭子空间列是一个正规化p f m r a 的充分必要条件；给 出了一列集合是一个p f m r a 的谱序列的充分必要条件，其证明是构造性的， 为我们提供了一个构造p f m r a 的方法；刻划了一个p f m r a 容许单个小波 标架序列的条件；利用谱序列证明了任意一个p f m r a 一定可以嵌入到某个周 期多分辨分析p m r a 中另外，受 1 0 】与 2 9 】的启发，对三类满足fd e t m l = 2 的2 阶伸缩矩阵， 3 0 】证明了任一f m r a 一定可以嵌入到某个m r a 中 关于约化子空间仿射与伪仿射对偶小波标架：为了获得离散小波变换的平移 不变量，r o n 和s h e n 在文献【3 1 】引入了伪仿射标架的概念它与仿射标架的概 念有着紧密的联系在全空间中在一定的假设条件下，r o n 和s h e n 在文献 3 1 】 及【3 2 ，c h u i ，s h i 和s t o c k l e r 在文献 3 3 ，b o w n i k 在 3 4 研究了仿射系与伪仿射 系之间的标架和对偶标架保持定理，以及仿射( 伪仿射) 对偶小波标架在傅立叶域 上的刻划在一般约化子空间中， 【4 6 】在没有任何衰减性限制的条件下得到了类 似的结果 关于约化子空间小波标架：给定一d 阶伸缩矩阵m 对m = 2 的情况， 2 0 0 1 2 0 0 3 年，x d a i ，y d i a o ，q g u 与d h a i l 研究了约化子空间中形如 2 妒( 2 j 一七) ：矽= x e ，j ，k z ) 的正规化紧标架与标准正交基，其中e 是一 个l e b e s g u e 可测集，妒分别称为s 一标架小波与s 一小波，相应地，e 分别称 第1 章绪论 为5 一标架小波集与s 一小波集( 【6 】， 3 6 】， 3 7 0 一个自然的问题是：在约化子空间 中，可否像在l 2 ( 掣) 中一样，可由多分辨分析与标架多分辨分析构造小波与标架 小波对m = 2 的情况，【1 2 在约化子空间中引入了多分辨分析( m r a ) 与标架 多分辨分析( f m r a ) 的概念，证明了任意一个约化子空间中m r a 与f m r a 的存在性；刻划了单个f m r a 标架小波与m r a 小波存在的条件，并在此时给 出了标架小波与小波的明确构造；建立了8 一标架小波与f m r a 标架小波的联 系 3 8 】将这些结论部分地推广到了一般伸缩矩阵m ( 特别是id e tm i = 2 ) 的情 况关于约化子空间小波标架的其它结果可参见【3 9 卜 4 2 1 对一般伸缩矩阵的情况，本文在约化子空间的背景下讨论f m r a 与m r a 的嵌入关系，并利用遍历定理给出除自身之外不包含其它f m r a 的m r a 的刻 划，这些结果推广了【1 0 ，定理3 2 ，推论3 4 1 及【3 0 ，定理1 1 本文主要结果如下： 定理3 2 2给定d 阶伸缩矩阵m 及l 2 ( r d ) 的一个约化子空间f l 2 ( q ) 设 剑cq 满足：2 7 f z d 一同余于俨且酽cm 。则对f l 2 ( q ) 中任意一个与 m 相关的f m r a 屹) j z ，存在一个与m 相关的正交m r a k ) j z ，使得对 任意j z ，有y jck 定理3 2 6 设m 是一满足id e tm i = 2 的2 阶伸缩矩阵，则对l 2 ( 酞2 ) 中任意 一个与m 相关的f m r a 屹) j z ，存在一个与m 相关的正交m r a ) j z ， 使得对任意j z ，有y fcv j 定理4 2 1给定d 阶伸缩矩阵m 及一个m 一细分的标准正交基函数g 设 i z l r d ：m g ( x ) = o 】i = 0 ，则不存在m 细分的标架函数，使得v ( f ) 妄y ( 9 ) 定理4 2 2给定d 阶伸缩矩阵m 及l 2 ( 豫d ) 的一个约化子空间f l 2 ( q ) 设 k ：j z ) 是f l 2 ( q ) 中一个与m 相关的m r a ，妒是其一尺度函数，其符号 为仇妒若i z t 8 ：m 妒( z ) = o ) i = 0 ，则不存在任何一个不同于 巧：j z 的 f m r a b ：j z ) 使得对任意j z ，有bcv j 1 3 本文结构 北京工业大学理学硕士学位论文 第二章为后面内容做铺垫，得到了联系细分标架函数与细分标准正交基函数 的一个嵌入定理；第三章在一般约化子空间的背景下，对一般d 阶伸缩矩阵m ， 在恰当条件下证明了一个f m r a 可以嵌入到某一个m r a 中特别地，当m 是满足fd e tm i = 2 的2 阶伸缩矩阵时，我们在无任何其他限制的条件下，证明 了任何一个f m r a 总可以嵌入到某一个m r a 中；第四章利用遍历定理讨论 了嵌入定理的唯一性 一8 - 第2 章 细分标架函数与标准正交基函数 第2 章 细分标架函数与标准正交基函数 本章为后面章节做铺垫，讨论细分标架函数与细分标准正交基函数的嵌入关 2 1 主要结果 引理2 1 1f 3 1 4 8 4 3 1 函数厂l 2 ( r d ) 是一具有标架界为a ，b 的标架函数( p a r s e v a l 标架函数) 当且仅当对a e z 剌，有 a x ( 州t d ) f z ) 陋+ 2 刮2 b x ( 州t d ) f z ) k e z d 聃2 刮2 飞 函数，l 2 ( 瓞d ) 是一具有r i e s z 界为a ，b 的r i e s z 基函数( 标准正交基函数) 当 且仅当对a e z 彬，有 a 吾胁砌七) 1 2 b f陋砌尼)12keza= 1 ) 七z d 注注意到堇1 氕+ 2 7 r 七) 1 2 是2 丌z d 一周期的，引理2 1 1 中的町( 俨) 可用 知z d 。 o s ( s d ) 代替，其中酽是一个2 丌z d 一同余于t d 的集合 引理2 1 2 1 3 ，命题7 舢l 设妒是m 一细分标架函数，定义万为： 爹cz，：2；l三j差掌三i矿茎；二；二；i 北京工业大学理学硕士学位论文 f l 2 ( 删) 是m 一细分的p a r s e v a l 标架函数，并且s acm s d ，对a e z ，l i ml 厂( ( m 。) 一i x ) i = 1 ，则存在g l 2 ( r a ) ，使得g 是m 一细分的标准正交基 3 - - - , o o 函数， y ( ，) cy ( 9 ) 且s u p p ( 蓟c 园( m c ) s u p p ( 乃 j = o 证明对于z 甓盯，( ) ，有而z = 0 对j 0 ，设 历：= ( z s d ：f “l l ( m t ) - j 。o 且元( m t ) 一。= o ，0 m = ( m 。) ( 2 ( ( m ) 一j ( 。) z + 2 z r k ) ：z s d , k z d ，厂( ( m 。) 一j ( 。) z + 2 丌七) o ) cu ( ) s u p p ( f ) 定理得证口 2 2 本章小结 本章得到了联系细分标架函数与细分标准正交基函数的一个嵌入定理，是全 文中的一个关键定理，它将在后面章节中用到 1 5 第3 章f m r a 的嵌入定理 第3 章f m r a 的嵌人定理 本章在一般约化子空间的背景下，讨论f m r a 与m r a 的嵌入问题 3 1 f m r a 的刻划 引理3 1 1 给定d 阶伸缩矩阵m 及一个m 一细分函数妒，对j z ，定义 巧= 丽西 d j 死妒：k z d ) ( 3 - 1 ) 则u 可= f l 2 ( q ) ，其中q = u ( m 。) j s u p p ( p ) j e zj e z 证明类似于 1 2 ，定理1 】，这里略去 由 4 4 ，定理1 1 知：对任意妒l 2 ( 删) ，定义巧如( 3 1 ) ，则n 巧= o ) j e z 对m = 2 厶的情况，这一结论可由【4 5 ，推论4 1 4 】得到 引理3 1 2 给定d 阶伸缩矩阵m 及l 2 ( 删) 的一个约化子空间f l 2 ( q ) 设 s b z 是f l 2 ( q ) 的一个与m 一相关的f m r a ( m r a ) ，则 j z 是f l 2 ( q ) 的一个与m 一相关的n f m r a ( z 交m r a ) 证明设妒是f m r a ( m r a ) ( b z 的一个尺度函数通过傅里叶变换定义： ( z ) ： _ 韭l 可，z ( 唧( 俨) 再 ( 。驴州删旷 w 一 l 0 ， z 隹( ( 俨) ) 由引理2 1 2 知，是一个p a r s e v a l 标架函数( 标准正交基函数) ，且y ( 四= y o 引理得证 口 因此，结合引理3 1 1 ，3 1 2 ，我们有如下命题： 命题3 1 3 给定d 阶伸缩矩阵m ，l 2 ( r d ) 的一个约化子空间f l 2 ( q ) 及妒 f l 2 ( q ) ，定义巧如( 3 - 1 ) ，则 ) 是f l 2 ( q ) 的一个与m 相关的f m r a ( n f m r a ， m r a ，正交m r a ) 当且仅当 一1 7 - 北京工业大学理学硕士学位论文 ( i ) q = u ( m 。) j s u p p ( ) ； j z ( i i ) 妒是一个m 一细分标架函数( p a r s e v a l 标架函数，r i e s z 基函数，标准 正交基函数) 3 2嵌人定理 引理3 2 1给定一个d 阶伸缩矩阵m 设，l 2 ( 彬) 是一个m 一细分p a r s e v a l 标架函数，则对a e z u ( m t ) j s u p p ( f ) ，有j i mi 厂( ( m ) 一j z ) i = 1 ，z 3 - - 0 0 证明记q = u ( m 。) j s u p p ( j ：) 对任意j z ，定义 j z y j ：= s p a n d 。t k f ：k z d ，j z ) 则由引理3 1 1 及nk = o ) 知， 巧) j z 是f l 2 ( q ) 的一个n f m r a 显然， 对于a e z q ，存在l 。z ，使得厂( ( m 。) k z ) 0 ，于是由，的m 一细分性 得：对于任意一j l 。， 。 胁t ) f _ i = ( ，k 百= - j 帅咖( ( 卿z ) 1 ( 3 - 2 ) 因，是m 一细分p a r s e v a l 标架函数，由引理2 1 1 得：对于a e z 盯，( 俨) ， l 限m 。z + 2 丌m 后) i 2 = | m ，( z ) 1 2 陋+ 2 丌七) 1 2 ：i m ，( 蚓2 因此，对于a e z a s ( g d f 有i 仇，( z ) l 1 由( 3 - 2 ) 式知，对任意k l z ，有 ( m 。) 2 z u f ( t d f 因此，对任意- j l 霉， 厂( ( m ) 一j z )= i m ，( ( ) 手l z ) 咿( ( m 。) 十1 z ) 风) - j - i x ) l ， 1 8 第3 章f m r a 的嵌入定理 即( i 厂( ( m 。) - i x ) i ) 是单调递增的 记q ( z ) = 1 1 巴f 厂( ( m c ) 一j z ) i ，则由，是p a r s e v a l 标架函数可知， 一o 。i 。 为完成证明，我们只需证明 q ( z ) 1 q ( z ) = 1 ， z q ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) 取f l ：= 戈f l ，l i a n n 由 】j z 是f l 2 ( q ) 的一个n f m r a 可知， d j t k f ：k z d 是k 的p a r s e v a l 标架函数，从而 b ：= ( ，1 ，d j t k f ) d j t k f k 6 z d 是 在k 上的正交投影，并且j l 。i m o 。i i p j f t 一，1 i f 2 = 0 由此得 i p y f - 1 1 2 一i l f ，1 1 2 = ( 芴1 ) d | 【_ 1 ，1 】d nq i ( 3 - 5 ) 设j 1 ，对于j 足够大时， 弓 = ( p j f , ，d j t k f ) d j t k f 七z d b ，1 1 1 2 = i ( p j f , ，d y t k f ) 1 2 = | ( ，弓d j 死川2 = l ( ，b d 死，) 1 2 = l ( ，d 死圳2 1 9 北京工业大学理学硕士学位论文 = 三1 _ ) d ( 五，痂) 1 2 一r 一1 、2 df 一2 丌厶 k e g d = ( 去) 2 d k e z d = ( 去) 2 d k e z d = ( 去) d i = ( 新 | 厂 i 以一1 。1 d n n i d e tm i 一厂( ( m 。) 一j z ) 渺( 产z ) d x i - ，【_ 1 ，1j o n iz i i d e tm 际z ) e 诳力如i a e t 聊乏州俨删灭酬扣似z 1 2 d e tm j 厂 j ( ml ) 一j ( 【一1 ，1 d n n ) = c 扣l 令) _ _ 0 0 ，结合( 3 - 5 ) 得 厂( ( i 彳) - i x ) 1 2 陋) i 2 d x ( 磊1 ) dl 一1 1 d nq i = ( 磊1 ) d 石1 i l 】d n n 删2 缸 从而结合( 3 - 3 ) 得： q ( z ) = 1z 一1 ，l 】dn q 对z q ，存在j n ，使得对任意j z 有( m 。) 一- i x 一1 ，1 dnq ，于是 q ( z ) = 熙m m 。) - i x ) i = 恕瞰m 。) - ( j - s ) ( m ) 一t ，z ) = o l ( ( m 。) z ) = 1 即( 3 - 4 ) 成立引理得证 i 1 定理3 2 2给定d 阶伸缩矩阵m 及l 2 ( r d ) 的一个约化子空间f l 2 ( q ) 设 s dcq 满足： s d2 1 r z d 一同余于俨且cm 。则对f l 2 ( q ) 中任意一个与 2 0 - 第3 章f m r a 的嵌入定理 m 相关的f m r a ( b j z ，存在一个与m 相关的正交m r a k j e z ，使得对 任意j z ，有uc 巧 证明由引理3 1 2 ，不妨设 屹b z 是f l 2 ( q ) 的一个与m 相关的n f m r a ， 其尺度函数为妒应用引理3 2 1 知：对a e z s d ，有j i mi ( ( m ) 一j z ) f = 1 因此。由定理2 1 3 得：存在一个m 一细分标准正交基函数e 使y ocy ( 四， s u p p ( 妒- ) cu ( m 。) j s u p p ( 囝对任意j z ，定义y j = d j v ( 回则对任意j z ， 有屿cy j 下证 k ) j z 是f l 2 ( q ) 的一个与m 相关的正交m r a 由命题3 1 3 知： u ( m ) j s u p p ( ) = q 从而s u p p ( cq ，即f l 2 ( q ) 注意到v ocy ( 刃， 我们有妒y ( 回，于是存在2 丌z d 一周期函数下使对a e z r d ， ( z ) = 7 - ( z ) ( z ) ，由此得s u p p ( ) cs u p p ( 回， 而 i h 2 = u ( m 2 ) s u p p ( 囝cu ( m 。) s u p p ( 勐cu ( m 。) 。q = q ， j zj e zj z 从而 u ( m 。) j s u p p ( 茹) = q ， j z 再应用命题3 1 3 即得此定理 口 命题3 2 3 f 1 3 命题1 4 】设尬和朋j 是两个d 阶的伸缩矩阵，若存在行列式为士1 的整数矩阵p ，使