（基础数学专业论文）超线性椭圆方程解的存在性及多重性.pdf

目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第1 章 1 1 1 2 1 3 引言1 研究的问题及其背景1 预备知识4 论文的结构安排5 第2 章一类不满足( a 尺) 条件的超线性椭圆方程的解6 2 1 主要结果7 2 2 主要结果的证明9 第3 章一类含有参数的超线性椭圆方程的解1 6 3 1 主要结果1 6 3 2 主要结果的证明1 7 第4 章一类带有凹凸非线性项的椭圆方程的解2 2 4 1 主要结果2 2 4 2 主要结果的证明2 2 参考文献2 9 致谢3 3 攻读硕士学位期间完成的学术论文3 4 k l r 摘要 性 摘要 本文用变分方法研究不满足( a r ) 条件的超线性椭圆方程解的存在性和多重 首先，我们考虑以下带有d i r i c h l e t 边界条件的p - l a p l a c e 方程 高训刚l 三茎未， 其中，a p u = d i v ( v u p 2 v u ) 为p - l a p l a c e 算子，p 1 ，s 2 是r ( 、，1 ) 中带有光 滑边界a q 的有界区域f c ( 豆r ，r ) 并且关于在o 。处是超线性的，即 ( f ) 。一l i + m 。乌掣= + 。对于几乎处处的z 两一致成立 当条件( f ) 成立时，我们利用一个变化的山路引理证明上述方程解的存在性和多 重性 然后，我们研究一类含有参数的椭圆方程 ：全苫。一川训p 一2 u + ，( z ，u l 三茎纛， 其中，入 0 为参数，p 1 ，q 是r ( 1 ) 中带有光滑边界a q 的有界区域f c ( 一e l l ( ，酞) 满足条件( f ) 对每一个a 0 ，我们获得了一个正解和一个负解 最后，我们研究一类带有凹凸非线性项的椭圆方程 ：全苫2 夕( z ) i u r 一2 u + ，( z ，u l 三茎警己， 其中，1 7 - 0i sap a r a m e t e r ，p 1 ，qi sab o u n d e dd o m a i ni n 瓞( 1 ) w i t h s m o o t hb o u n d a r yo f f f c ( 一uxr ，酞) a i l ds a t i s f i e sc o n d i t i o n ( f ) f o re v e r y 入 0 w eo b t a i nap o s i t i v es o l u t i o na n dan e g a t i v eo n e l a s t l y , w es t u d yac l a s so fs u p e r l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t ha c o n c a v ea n d c o n v e xn o n l i n e a r i t i e s f 一= g ( x ) l u ”2 u + ，( z ，) ，z q ， 1u = 0 ， z a q ， w h e r e1 r p ，m 0 使得 0 0 ，使得当t r 时，喾掣关于t 单调递增对于几乎处处的z 孬成立 然而，还是有很多函数不满足假设( a ) ，( b ) 于是，一些文献( 例如【2 3 】，【2 7 ，【2 8 ) 给 出了以下假设： ( c ) 存在常数0 1 使得 o h ( x ，t ) h ( x ，s t ) 对所有的z 豆，t o 和s 0 ，1 都成立，其中日( z ，z ) = f ( x ，t ) 一p f ( x ，t ) 假设( c ) 是j e a n j e a n 在文献 1 6 中首次引入的不过他假设p = 2 ，后来文献 2 8 】将 其推广到一般的p 1 条件( c ) 的引入，使得函数厂的限制大大减小，它对证明 相应的泛函满足( c ) 条件非常有帮助本文中，为了得到上述方程的解，我们将条 件( c ) 作了进一步的减弱，即 ( f ) 存在常数0 1 ，o o o 使得 o h ( x ，s ) 芝h ( x ，t ) 一6 i o 对所有的z 豆，0 t s 都成立 另外，对于正解的研究，很多文献( 如 2 1 ， 2 2 ， 2 9 ，【3 0 】等) 都要求以下条件成立： ( h 1 ) 当0 ，z 豆时，( 。，t ) 0 ；当0 ，z 孬时，( z ，t ) 三0 一9 第1 章引言 ，c z ，z ，= 蚤： ： ：；二：二：j 蠹i i # 儿 三三：， b o _ 1 ，q 是r ( 1 ) 中带有光滑边界a q 的有界区域 f c ( qxr ，r ) 满足条件( f ) 利用( a r ) 条件，文献 6 】讨论了当p = 2 ，f ( x ，u ) = l u p - 2 u 时解的存在性文献 7 考虑了一般的函数f ( x ， ) ，并且将文献f 6 1 的结果推 广到一般的p 1 本文中，我们利用条件( f ) 证明方程有一个正解和一个负解 近年来，带有凹凸非线性项的椭圆方程受到人们的普遍关注，如文献f 3 1 卜 3 5 等文献f 3 1 1 和f 3 3 1 研究了一类具体的凹凸非线性椭圆方程 ：全苫2a l u i r 一2 u + i u i g 一2 u 三茎， 其中，a 0 为常数，1 7 p + 。g ，q 是酞( 1 ) 中一个带有c 2 边界矾2 的有 界区域文献 3 2 将上述方程中的凸项i u | g 2 “推广为一般的函数f ( x ，“) ，并讨论了 其解的存在性另外，文献 3 4 就p = 2 以及一般的凸项f ( x ，u ) ，研究了解的情况 一3 一 两南大学理学硕士学位论文 本文我们将在以上研究结果的基础上，进一步研究以下带有凹凸非线性项的椭圆 方程 j p = 夕( z ) f f r - 2 仳+ - 厂( z ，札) ，z q ， tu = o ， z a q ， 其中1 r p ) 使得 一 m a x ) ，m ) ) q 0 满足3 ( s ) = 0 ； ( 2 ) ( s ) 0 对于所有的s 0 都成立，且 石歹( s ) 一砉d s = 。，这里，歹( s ) = 石f l ( t ) d t 那么当札在q 上不恒为0 时，就有u ( x ) 0 对所有的x q 成立 一4 一 第1 章引言 1 3论文的结构安排 我们将整篇论文分为四章。第二章主要研究一类不满足( a r ) 条件的超线性 椭圆方程的解。第三章主要介绍一类含有参数的超线性椭圆方程的解。第四章讨 论了一类带有凹凸非线性项的超线性椭圆方程的解。 一5 一 西南大学理学硕士学位论文 第2 章 一类不满足( a r ) 条件的超线性椭圆方程的解 本章，我们主要研究以下带有d i r i c h l e t 边界条件的p - l a p l a c e 方程： k 笺吖咄三墨 ( 2 - 1 ) 其中，a p = d i v ( i v u l v _ 2 v u ) 为灿a p l a c e 算子，p 1 ，q 是r n ( 1 ) d p 带有光滑 边界a q 的有界区域，c ( 豆瓞，r ) 并且满足 ( f ) 。羔掣= + o 。对于几乎处处的z 豆一致成立 对于方程( 2 - 1 ) ，文献 2 2 在没有( a r ) 条件的情况下给出了以下结果： 定理a 假设函数，c ( 孬风r ) 满足( f ) s n p 2 t 条件 ( n ) ，关于为次临界增长，即当n p 时存在q ( p ，n p ( n p ) ) ，当n p 时 存在q ( p ，+ 。) 使得 li丝望：0llm。- = t - - - + 0 0 t q - 1 对于几乎处处的z 孬一致成立： ( c ) 存在常数p 7 1 使得 g h ( x ，t ) h ( x ，s t ) 对所有的z 豆，t o 和s 0 ，1 】都成立，其中胃( z ，t ) = f ( x ，t ) t p f ( x ，t ) ( d ) l i m s u p 等= n ( z ) 对于几乎处处的z q 都成立，其中，n l 。( q ) 满足 对所有的z 豆都有a ( z ) s 入1 ，且存在某正测集f t lcq 使得a ( z ) 0 ，使得当f r 时，譬绰关于单调递增对于几乎处处的z 豆成立 ( e ) 1 i i ns + u p 掣= 。对于几乎处处的x eq - - 致眦 ( g ) 对任一m 0 ，存在常数c 0 使得 l ( x ，t ) u l t l p 一一c 4 ， 对所有的t 芝0 和z 丽成立 则问题( 2 1 ) 至少存在一个正解 受定理a 和定理b 的启发，我们得到了类似的结果 2 1 主要结果 定理2 1 假设函数厂满足( f ) ，( f 1 ) 和以下条件 ， ( f ) 存在常数0 1 ，0 0 0 使得 o h ( x ，s ) h ( x ：t ) 一p o 对所有的x 西，0 t s 都成立 ( 刚。 l i 掣m i n 掣剑= 严掣纠删于几乎处处的z q 都成立， 其中6 0 是一常数，a l ( q ) 满足对所有的z 豆都有a ( z ) a l ，且存在某 正测集q 1cq 使得a ( z ) o 且足够小时，f ( x ，t ) 0 ) 注2 2 下面，我们来证明条件( b ) 可以推出( f ) 首先证明：g ( x ，) 在( r ，+ 。) 上非减对于几乎处处的z 豆成立事实上，假 设0 r r 时，有 h ( z ，s ) h ( x ，t ) 所以日( z ，t ) 在( r ，+ 。) 上非减对于几乎处处的z 豆成立 现在我们证明( f ) 成立假设0 = 1 ，0 0 = 2 一m a xi h ( x ，s ) i 因为h ( x ，) 在( r ，+ 。) 上 2 0 ，矧 非减对于几乎处处的x 豆成立，则 ( i ) 当r t s 时， h ( x ，t ) 一o h ( x ，8 ) = h ( x ，t ) 一h ( x ，s ) 0 0 使得 o h ( x ，s ) h ( z ，t ) 一如 对所有的z 豆，0 i t l s 都成立 ( n 7 ) 当 p 时存在g ，n p ( n p ) ) ，当p 时存在矿，+ ) 使得 t，-妇-+o。等tq = 。 对于几乎处处的z 孬都成立 ( 剐坯l i i 搿1 1 i i 铲剑，攀警纠删于几乎处处的z q 都啦 其中6 0 是一常数，n 。( q ) 满足对所有的z 孬都有o ( z ) a l ，且存在某 正测集q 1cq 使得n ( z ) 0 ，由于i | 叫刘= 1 ，借助( 2 8 ) 可得 + 卜上+ 错( p 如1 十南叱 上式是一个矛盾所以f q + l = 0 ，则硼+ 兰0 因为假设( f 1 ) 和( f 2 ) 成立，所以 第2 苹一类不满足( a r ) 条件的超线性椭阋方程的解 f ( x ，t ) ( a ( x ) + e ) l t i p 一1 + a i t i 。，v ( x ，t ) 孬r ， 这里a 0 是一个常数，从而 f ( x ，t + ) 三( a ( x ) + e ) t l p + a l t l g ， v ( x ，t ) q r ( 2 - 9 ) 现在取一个实数列 z n ) 使得，( t ”u ：) 2 蚓m 。a x ，li ( t u ：) 对任意的整数m o ，由 于w + 兰0 ，结合( f 2 ) ，( 2 9 ) 和u f 嘉的收敛性可得 1 i i 。n s o 。u p 上f ( z ，( 印m ) ；叫：) 如l i m s 。u p ( 上2 m ( 入，+ e ) ( 叫毒) p 如+ za ( 印m ) ；( 蛎) 9 如) = l i m ( c 1 i 伽毒i 曙+ c 2 i i 叫：旧) 其中g ，q 0 为常数因为l i u 。| _ + 。( n _ 0 0 ) ，则当n 充分大时，有0 所以 1 由k 的定义可得 ( t n u 轮心2 酬；：) _ 2 m - - 上f ( 引2 p m ) ；彬：) j ( 。u ：) 一+ 。( n 一。o ) 注意至0 i ( o ) = o l i ( u 。) _ c ，所以当n 充分大时必有0 t 。 1 ，从而 zi v ( 。u ：) i p d z 一上，( z u ：心u ：如= ( 以k u ：) ，如u ：) ( 2 1 0 ) = k d i ( 班t u + ) - 。= 。( 2 - 1 1 ) 然而由于o t n 1 ，因此i t 。i t 。i i u n i ，结合( f ) ，( 2 一l o ) 和( 2 1 1 ) 可得 三( 三，( z ，扎：) u ：一f ( z ，u ：) ) 如= 三t 乞何( z ，u ：) d z ；1 万( 日( z ，t 。u ：) 一目。) 如 t n t l ：) t 。u 。一 u ： i p f ( x ， f ( x ，t n u ： = ；j ( 。秕：) 一p 鱼o i q i 一+ 。 一1 l t n u ：) ) “p e 汐o ) ) 如一历0 0 ( 礼，。) ， 口q + 珊q+ p p + l c 瓯 声一i蚕j 篷 ， n z t 他 v l p 1 一p 厂厶厂厶 1一口1一p l | | l 两南大学理学硕士学位论文 这与( 2 3 ) 矛盾，所以 u 。 有界 由s o b o l e v 紧嵌入及标准化方法，可知 札。】存在一收敛子列即就是说，泛 函，满足( c ) 条件 口 引理2 2 ( 见文献 2 2 】) 假设l i ms u p 冬掣n ( z ) 对于几乎处处的z q 都成立， 其中a l o 。( g t ) 满足对所有的2 3 豆都有a ( x ) a 1 ，且存在某正测集q 1cq 使 得a ( x ) a 】在q 1 上几乎处处成立，则存在一个常数a ( 0 ，1 ) ，使得对所有的t z 瞬巾( q ) ，都有 上2a ( x ) l u l p d x o 且p o 足够小使得 p = 石1 ( 1 - - 0 r - - 寿) _ p p c 矿 o 时就有 ，i a 风p 0 ( 2 - 1 2 ) 由假设( f ) ，可知对任意的e 0 ，我们可以找到c ( e ) o 使得 一1 2 第2 章一类不满足f a r ) 条件的超线性椭圆方程的解 从而 f ( x ，t ) 孚一c ( e ) ， v ( x ，) 孬r + ， f ( x ，t + ) 壶( t + ) p c ( e ) v ( x ，t ) 52 r 因此如果设咖1 0 ( 1 1 1 = 1 ) 是( 一a p ，埘p ( q ) ) 的第一个特征值a ，所对应的特征 函数，那么 z 坐掣蛇z ( 扣卜警) 如 p 埘 在( 2 一1 3 ) 中令t 一+ 。，则 l i m i n f l ! 掣d z 上壶( 妒 ) p d z p 一，q 昨“ 对所有的 0 成立因为 0 是任意的，令一0 ，可以推得 1 i m 厂壁半业如：+ 。 t 一+ o 。，q 护 因此，有 掣= 扣i i p 一上学妊；1 一上盟掣出一一。( t _ 刊 所以，当o 充分大时，存在e = t o 咖l 孵p ( q ) b a o ) ，使得 ，f e l 0 使得 f ( x ，t ) ( b o 一1 ) f f 1 j v0 t 5 一1 3 西南大学理学硕士学位论文 由于条件( f ) 成立，因此我们可以找到一个正常数m 使得 f ( x ，t ) 0 ， vt m 因为，c ( 孬r ：r ) ，所以 l f ( x ，t ) f b = b 5 一b 一1 ) j p 一1 b 5 一一1 ) f f 一1 ， v 6 t f ， 其中b 0 为常数，因此 f ( x ，) ( - j b o 一1 i b 6 一如一1 ) t p 一1 ， vt 0 又因为札0 ，则 f ( x ，他) ( 一l h o l l b 6 一一1 ) ) ? 1 p 一1 = - - d t i p 一1 ， 这里d = l b o 一1 i + b 6 一一1 0 所以 p u = - f ( x ，u ) d u p 利用强极大值原理( 参考文献【37 ，其e e , - i 令p ( u ) = d u 1 一1 ) ，有u o 在q 上几乎 处处成立故札是方程( 2 - 1 ) 的一个正解 口 定理2 2 的证明首先考虑如下截断问题 ：全p 0 姜2a z 钆l 三茎未， c 2 1 5 ， lf z = ，z a q ， 、7 其中， 脚，= 线甾 由，+ 的定义可知 满足定理2 1 的条件，故由定理2 1 ，知方程( 2 1 5 ) 存在一个正 解u 0 ，它也是方程( 2 1 ) 的解 然后再考虑以下截断问题 ：全p 0 5 z “，z x 茎曼， c 2 一1 6 ， i t 正= ，a q ， 、7 第2 章一类不满足( a 开) 条件的超线性椭圆方程的解 其中， m ) = 傺。l 雳 为了求得方程( 2 - 1 6 ) 的解，令u = 一u ，夕( z ，t ) = 一i - ( x ，一) ，那么方程( 2 1 6 ) 等 价于以下方程： 了全苫29 z u l 三茎三之 c 2 1 7 ， 易见如果u 是方程( 2 1 7 ) 拘- - 个解，则u = 一 是方程( 2 a 6 ) 的- 个解因为，满足 定理2 2 的条件：故由夕的定义，可知9 满足定理2 1 的的条件，从而由定理2 1 知方 程( 2 1 7 ) 存在一个正解u 0 ，所以u = 一u 0 为参数，p 1 ，q 是r ( 1 ) 中带有光滑边界a q 的有界区域，函数厂c ( 孬r ，r ) 3 1 主要结果 定理3 1 假设函数。满足( f ) ，( f ) ，( f 1 ) ，( 9 1 ) 和以下条件 ( 9 2 ) l i m s u p 等等= q ( z ) 对于几乎处处的z 豆都成立，其中o l ( q ) 满足对 所有的z 豆都有a ( x ) a 1 ，且存在某正测集q 2cq 使得a ( x ) 1 但是在他们的文章中都假设( a r ) 条件成立为了克服由于缺失( a r ) 条 件带来的困难，我们利用了条件( f ) ，它大大减少了对函数厂的束缚而且，我们可 以给出一个例子，满足定理3 1 但不满足文献f 7 1 中的定理，比如，令 其中，a o ( 0 ，a 1 ) ，c z ，t ，= 呈：) 俨一。+ 护一，n 。，+ 护，：妻吕： 口 定理3 2 假设函数厂满足( f ，) ，( f ) ，( f 1 7 ) 和以下条件 ( 9 1 7 ) ，( z ，t ) t o 对所有的r ，z 豆成立 ( 9 2 ，) l i m m s u p 铲n ( 删于几乎处处的z 丽都成立，其中a el ( 嘴足 对所有的z 豆都有n ( z ) 入1 ，且存在某正测集q 2cq 使得n ( z ) 0 ，使得对所有的t z 眦p ( q ) 满足i i u i i = p ，都 有i a ( u ) p 因为假设( 9 2 ) 成立：所以由引理2 2 ，存在一个常数仅( 0 ，1 ) ，使得 厶a ( x ) l u l p d x o 足够小使得o t + e 入1 0 ，使得 f ( x ，t ) 三( n ( z ) + e ) l t l p + 6 9 v ( x ，t ) q r ( 3 - 2 ) r e ( a - 2 ) ，结合p o i n c a r e 不等式和s o b o l e v 不等式以及入 0 ，可得 厶( u ) 三zi v u i p 如一上j f l ( z ，u ) 如；1 垆一三上( ( z ) + 驯札i p d x - bl u n z 刍i l u l l p 一；1 上( 口+ 砉) i v u l p d z c i i u l l g = 三( 1 一q 一岳川训p c ， 其中，c 0 是常数医1 ) v 1 一o l 一景 o 且p 0 ， 所以有 i x i o b p p 0 第二步 证明存在e 螂p ( f 1 ) 1 t 1 e l l p ，使得厶( e ) 0 因为( f ) 成立，故对任意的 0 ，可以找到a z ( e ) 0 ，使得对所有的t m ( e ) 和几乎处处的z 瓦，有 一1 7 西南大学理学硕士学位论文 令c ( ) = m ( 广1 ，则 i ( x ，t ) _ t p - 1 s ( x ，t ) f p 一1 对所有的t 0 和几乎处处的x 孬成立从而 c ( e ) t ) 芦1 一c ( ) v ( z j ) 豆兄+ ( 3 - 3 ) 设妒1 0 ( i i , 1 i | = 1 ) 是( 一p ，懈p ( q ) ) 的第一个特征值a 1 所对应的特征函数，则 m ( 3 - 3 ) 可知 上掣蛇z 在( 3 4 ) 中令t _ 。，则 ( 壶斌一喾) 如 l i r a i n f f n 掣蛇上壶驰 侈 一j np 1 对所有的e 0 成立由于e 0 是任意的，令一0 ，可得 1 i m 厂掣如：+ o 。 t - - * + o o q 妒 因此，由p o i n c a r e 不等式，我们得 掣= 三1 1 砂1 1 1 p + 沁峻一上掣出 b 1 1 咖1 1 1 k 上掣 ：b 一厂掣如一一( t _ + 。) ， 2 护 、” ( 3 - 4 ) 这里，b o 为常数所以，当o 充分大时，存在e = t o e ，言尸( q ) 丽满足 厶( e ) 0 下面定义r = 7 c ( 【o ，1 】，苫p ( q ) ) ：- f r o ) = 0 ，v ( i )= e ) ，c = 1 i n r f 。m f a x l 则c p 0 由山路引理( 见文献 3 6 ) 知，存在序列 乱札) cw ：，p ( q ) 使得 厶( 乱n ) = ；1 矗i v 仳n l p d x + 砉矗l u n l p d x 一矗f ( z ，让。) 如一c 一1 8 一 厶( 7 ( ) ) ， ( n 一) ， 第3 章 一类含有参数的超线性椭凤方程的解 ( 3 - 5 ) ( 3 - 6 ) 第三步 证明序列 “n ) 有界 若不然，假设存在序列 7 1 , n ) 的子列( 仍记为 饥n ) ) 满, 2 1 1 t i | _ o 。( 礼_ ) 令彬n = 扎：| f 札n | f 贝, q f l w n f l = 1 从而存在训阢苫，p ( q ) 以及 加。) 的子列( 仍记 为 ) ) 使得当扎_ 。时有 如果w 0 ，则 一们在眦p ( q ) 中弱收敛， w n _ 础在胪( s 2 ) 中强收敛 w 。( z ) 一w ( x ) 在q 中几乎处处收敛 l l u n i | 十 j ni h n i p d x j n ，【z ，u n ) t l n d ：t , = ( _ f i ( ? z n ) ，钉。) = o ( 1 ) 又因为入 0 ，所以 上瓮栌如= 1 + az 赫如叫l ，鲰 其中，c o o 为常数由( 9 1 ) ，( z ，牡。) 0 ，可推出 z 瓮栌如= ( j f w = o4 - f w 。) 等笋坩如 厶。帮驰p 对z q + = z 2 ：彬( z ) o ) ，有札嘉( z ) _ + o c ( n _ 。) 故由( f ) 得 恕嬲叫嚣：慨 r 一”【t l j p 一1 ” 因为l q + l 0 ，利用f a t o u 引理和( 3 1 2 ) 可得 煞碧u 影z 一 硼 o ( “嘉) p 一1 u 扎u 山 v v 一1 9 一 ( 3 - 7 ) ( 3 - 8 ) ( 3 9 ) 、l-l 叫 m _ 件 卜 c _ l | z m o _ e 川 f 一 取 + 1 一po 厶 有们我此因 q d 动 o 1 1 p 降 西南大学理学硕士学位论文 所以由( 3 - 1 1 ) ，我1 门硐 z 瓮栌一慨 这与( 3 一1 0 ) 矛盾 如果= 0 ，取实数列 t 。) 使得厶( 如仳n ) = 啦嵝厶( t “n ) 对任意的整数m 。 。te11 0 ，令：( 2 娜) 石1 叫n 由条件( f 1 ) ，可知存在常数c 1 0 使得 i f ( z ，t ) l c 1 ( 1 + 9 ) ， 再由u n _ 0 在”( 【2 ) 强收敛可得 f ( x ，v 札) _ o 在l 1 ( q ) 强收敛： 从而 。l i r a j ( f ( z ，v ) d x = 。 因为i i u ，。l | 一。( 扎_ o 。) ：所以当几充分大时，0 v 。1 由。的定义以及a 0 ， 我们得到 i a ( t n u n ) 厶( u n ) 三上i v u 。i p c 如一上f ( z ，v ) d x = 2 m - 上f ( z ，u 。) d x m ， 于是 厶( t 。u n ) _ + 。( n 一。) ( 3 1 3 ) 注意到厶( 0 ) = o n s ( u 。) _ c ，故当 充分大时o o , - j 得 o = ( 以( u ) ，“一) = i i 仳一i | p + a i | 他一旧一f ( x ，u ) u d x q = l l u l i p + 入l l 一0 ；2 | l u j l p 0 ， 于是一l i = 0 ，所以札0 再由l a d y z h e l l s k y a v a 和u r a l t s e v a 的正则性结果( 见 3 9 ) ， 知l ”( q ) ，因此 础( q ) cc 1 ( q ) ( 见【4 0 ) 因为u l 。( q ) ，所以p u = - f ( z ，u ) + a l u l p u l 乙( q ) 由条件( 9 1 ) 可得一，( z ，t | ) 0 ，故 x p u a l u l p 一2 u 应用强极大值原理( 参考文献 3 7 ，其中可令p ( 让) = 入l u r 2 u ) ，就有札 o 在q 上几 乎处处成立，所以方程( 3 1 ) 至少存在一个正解 口 定理3 2 的证明证明过程同定理2 2 略 口 一2 1 西南大学理学硕士学位论文 第4 章一类带有凹凸非线性项的椭圆方程的解 本章我们考虑如下方程 ：全苫2 夕( z ) | 让| r 一2 乱+ ，f z 珏) ， z q ， ( 4 _ 1 ) x 0 1 2 、7 其中，a p 札= d i v ( v u p 一2 v u ) 为p - l a p l a c e 算子，1 r p + 。，q 是r ( 1 ) 中具有c 2 边界a q 的有界区域，9 l ”( q ) + o ) ，c ( 孬r ，r ) 满足条 件( f ) 由于1 ， p o 为常数，1 r p 0 ，使得当1 1 9 1 1 0 。 0 ，使得当l l g l l 。 9 + 时，方程( 禾1 ) 至少存在两个正解及两个负解 4 2 主要结果的证明 为了求得方程净1 ) 的解，我们在空间i 苫p ( q ) 中定义如下c 1 泛函，： 一2 2 第4 章 一类带有凹凸非线性项的椭圆方程的解 ，( ) = ；1 厶1 w , i p d x 一，1 厶9 ( z ) l t | + l d x 一矗f ( x ，札+ ) 如， 其中，f ( z ，t ) = 露f ( x ，s ) d s 众所周知，寻找方程( 4 1 ) 的非平凡解等价于寻找泛 函，在空间言护( q ) 中的非零临界点为了寻找泛函，的非零临界点，我们首先来 证明三个引理 引理4 1 假设定理4 1 的条件成立，那么泛函，满足( c ) 条件 证明假设 札。 cm 苫伊( q ) 并且满足 i ( u 。) _ c ， ( 1 + i i u 。i i ) 1 7 ( 札。) _ 0 ( 亿一。) 我们断言： u 。) 有界 首先，证明 “二) 有界事实上，由( 4 2 ) ，有 j ( ，7 ( 让。) ，一u ：) l 氏这里，e 【0 ( 4 - 2 ) ( 4 - 3 ) 从( 4 3 ) 可以推出i l 札刘p e 。，即( u ： 有界 下面，我们证明 u ：) 有界若不然，假设划一( 佗_ 。) ，令训。： u ：| | 札。l | ，则i | 叫。j j = 1 ，从而存在 孵p ( q ) 以及 叫挖) 的子列( 仍记为 础。) ) 使得 当n 一。时，有 w n 。w 在附巾( q ) 中弱收敛， _ 加在l 9 ( q ) 中强收敛， w n ( z ) _ 伽( z ) 在q 中几乎处处收敛 若叫= o ，选择一序列 n ) 0 1 ，满足，( t n 扎：) = 。m i 。a ，x ，ii ( t u 者) 对任意固定 的整数七1 ，定义 = ( 2 p ( 1 - i i p ) ；1 叫n 因为t t j = 0 ，则 l i m ， qf ( z ，砖) 如= 0 in l i r a 。q 划7 如= o ( 4 - 4 ) 由于当n 一。时，i l t 正刘_ + 。，故当佗充分大时，警 o ，1 由( 乒4 ) 可得 m n “：) ，( ”n ) = 2 刘p 一兰r 上g i i 如一上f ( z ，u ：) 如i l u 刘p ( 4 - 5 ) 因为惫1 是任意的并且i i u 训_ + c c ( n 一) ，则( 4 5 ) 可以推得 一2 3 西南大学理学硕十学位论文 | 1 1 喵；j ；曼i 曼曼曼曼曼曼笪蔓皇曼 ， ，( t n 让：) _ + 。( n _ 。) 从序列扣。) 的选择以及 ：) 的有界性，可知 ，( 峙) ) 有界注意到，( o ) = 0 ，我们 有t 。( 0 ，1 ) ，从而 fl v ( 。扎：) 阳z 一：上9 i u ：1 7 如一上，( z ，n t z n 4 - ) n 札：出= ( 州。u ：) ，u ：) = k 掣i c - 泸o z ，( z u ：) 如“：如= fl v ( 幻z ：) r 如一t ：上外d 7 如 ( 4 邯) 因为o t 。1 ，故u 。i l u n i ，所以r e ( f ) ，( 4 4 ) ，( 4 - 6 ) 以及1 0 故从( 4 7 ) 和( 4 - - 1 0 ) 可知存在某常数c 】 o 使得 第4 章一类带有凹凸非线性项的椭圆方程的解 ；i l u 去i i p 身l q i c l l b + l l 2 , i f l 由于r 。船啪+ 上南妞 c ， o ( 钆嘉) p 一1 “，qi 仳吉i p 一” 、7 对所有的z q + = z q ：w ( x ) o ) ，有u ：( z ) _ + 。o 由于条件( f ) 成立 且p r ，故 ； 器叫：_ 慨斋_ 。( n - - - 0 。) ( 4 _ 1 2 ) 这样 厶。帮蜊p 外上南一橇( 4 - 1 3 ， 这就与( 4 1 1 ) 矛盾 所以， u 嘉) 有界，从而 u n ) 有界由s o b o l e v 紧嵌入及标准化方法，可知 乱札) 存 在一收敛子列即泛函，满足f c ) 条件 口 引理4 2 假设条件( f 1 ) 和( f 2 ) 成立，那么存在9 + 0 ，当l l g l l 。 0 ，使得对所有的札苫p ( q ) ，都有 d i n b f 。i 厣 0 证明 由于( f 2 ) 成立，所以由引理2 2 ，存在一个常数q ( 0 ，1