（应用数学专业论文）carnot群上次调和算子的三球面定理及频域波形反演的优化.pdf

北京交通大学硕士学位论文中文摘要 中文摘要 摘要：本文主要结构分为两部分首先研究tc a r n o t 群上次调和函数g u 0 n 下 解的h a d a m a r d 三球面定理，并基于基本解的表示和和最大值原理给出了证明其 次本文研究了一类偏微分方程的应用问题，基于声学逼近方法对弹性波动方程的 研究，探讨了频域反演的目标函数中某些项的计算技巧 第一部分主要研究c a r n o t 群上次调和算子的三球面定理，共分两章 第一章介绍了微分方程极大值原理和h a d a m a r d 三球面定理的发展背景和选 题的实际意义，以及有关c a r n o t 群的一些基本概念及性质 第二章主要利用c a r n o t 群上调和函数基本解的表示和次平均值性质，证明 了c a r n o t 群上次调和函数的最大值原理，给出了h a d a m a r d 三球面定理，得到了 函数m ( r ) = m a x i 圹，。掣l - r 乱( ) 是关于i z - 1ou 1 2 一q 的凸函数的结论 第二部分主要研究频域波形反演的优化，也分两章 第三章介绍微分方程反问题的研究背景、实际意义 第四章基于弹性理论导出了非均匀介质中压力场的波动方程，建立了目标函 数，给出了目标函数中数据空间协方差矩阵与模型协方差旺阵的关系，给 出了用正演模拟相应g r e e n 函数的方法来计算弗雷歇矩阵f 从而计算出数据误差 梯度方向母的数学推导过程，最后给出了迭代算法 关键词：c a r n o t 群；次调和方程；h a d a m a r d _ ：球面定理；协方差矩阵；模型协变 矩阵；数据误差梯度令；弗雷歇矩阵f 分类号： 0 1 7 5 2 北京交通大学硕士学位论文a b s t r a c t a bs t r a c t a b s t r a c t ：t h ep a p e ri sm a d eu po ft w op a r t s f i r s t l y , h a d a m a r d 8t h r e e s p h e r e st h e o r e mo fs u b - s o l u t i o nf o rs u b - l a p l a c i a no p e r a t i o na g u 0 i so b - t a i n e d ，a n di sp r o v e do nt h eb a s i so ff u n d a m e n t a ls o l u t i o na n dm a x i m u mp r i n c i p l e o fs u b - l a p l a c i a no p e r a t o r s e c o n d l y , a p p l i c a t i o no fac l a s so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o ni ss t u d i e d b a s e do nt h ea c o u s t i ca p p r o x i m a t i o no ft h ee l a s t i cw a v ee q u a - t i o n ，t h ec a l c u l a t i n gs k i l l so fs o m et e r m so ft h eo b j e c t i v ef u n c t i o ni nf r e q u e n c y - d o m a i ni n v e r s i o na r ed i s c u s s e d t h ef i r s tp a r tc o n s i s t so ft w oc h a p t e r s ，i nw h i c hw ed i s c u s st h eh a d a m a r d s t h r e e - s p h e r e s - t h e o r e mo fs u b - l a p l a c i a no p e r a t o r so nc a r n o tg r o u p i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to ft h em a x i m u m p r i n c i p l eo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dh a d a m a r d st h r e es p h e r e st h e o r e m ，t h e m e a n i n go fs e l e c t i n gt h i sq u e s t i o n ，a n ds o m ec o n c e p t sa b o u tc a r n o tg r o u p i nt h es e c o n dc h a p t e r ，b a s e do nt h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o no fs u b - l a p l a c i a n o p e r a t i o na n dt h es u b - m e a np r o p e r t y , m a x i m u mp r i n c i p l ea n dh a d a m a r d st h r e e s p h e r e st h e o r e mo nc a r n o tg r o u pa r ep r o v e d ，a n dw es h o wt h a tm a x i m a lv a l u e f u n c t i o nm ( r ) = m a x i 一叼l - r 仳( ) i sac o n v e xf u n c t i o nw i t hr e s p e c tt oi x - 1o y l 2 一 t h es e c o n dp a r tc o n s i s t so ft w oc h a p t e r sa l s o ，i nw h i c hw ed i s c u s sa no p t i - m a l i z a t i o nf o rw a v e f o r mi n v e r s i o no ft h ef r e q u e n c y - d o m a i n i nt h et h i r ( 1c h a p t e r w eb r i e f l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fa n ( 1b a c k g t o u n d o ft h ei n v e r s ep r o b l e mo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，b a s e do nt h ee l a s t i c i t yt h e o r y ，w ee s t a b l i s ht h ew a v e e q u a t i o nf o rt h ep r e s s u r ew a v e f i e l di nt h en o n h o m o g e n e o u sm e d i u m t h e nt h e r e l a t i o no fc o v a r i a n c em a t r i xcdi nt h ed a t as p a c ew i t ht h em o d e lc o v a r i a n c em a - t r i xc mo ft h eo b j e t i v ef u n c t i o ni sf o u n d f i n a l l yw es h o wt h ed e d u c t i o nt h a t t h eg r a d i e n td i r e c t i o no ft h ed a t am i s f i t ，yc a nb ec o m p u t e db yf o r w a r dm o d e l i n g l v 北京交通大学硕士学位论文a b s t r a c t g r e e nf u n c t i o nt oa v o i dt h ef o r m i d a b l ec a l c u l a t i o no ft h ef r 6 c h e tf ，a n dw es h o w t h ei t e r a t i v e l ya l g o r i t h m k e y w o r l d s - c a r n o tg r o u p ；s u b - l a p l a c i a no p e r a t o r ；h a d a m a r d st h r e e s p h e r et h e o r e m ；c o v a r i a n c em a t r i x ；m o d e lc o v a r i a n c em a t r i xc m ；g r a d i e n t d i r e c t i o no ft h ed a t am i s f i t7 ：f r 6 c h e tm a t r i xf c l a s s n o0 1 7 5 2 v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：受羔、贯- 导师签名： 珞 签字同期：k 橱年6 月fr签字日期：2 叼扩年石月f日 北京交通大学硕十学位论文 参考文献 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 3 2 致谢 首先感谢我的导师一郑神州教授，本论文是在郑老师的精心指导和关怀下完 成的无论是在研究生课程学习过程中，还是在论文选题、研究、定稿的过程中，郑 老师自始至终给了我大力的支持和无私的关怀，两年的研究生生活中，郑老师渊 博的知识和严谨的治学态度，使我受益匪浅，并将受惠终生，在此向郑老师表示 深深的感谢 两年的研究生生活使我学到了很多知识，树立了新的观念和目标，感谢所有 在学习研究中传道解惑的老师，在生活上关心帮助过我的同学 感谢我同门的师姐师弟师妹，与他们的共同学习生活使我收获多多 感谢各位专家、学者在百忙中审阅我的论文，并给出批评意见 史志杰 2 0 0 8 年5 月 于北京交通大学理学院 第一部分弟一鄙分 c a r n o t 群上次调和算子 的h a d a m a r d 三球面定理 北京交通大学硕士学位论文 理论背景及基本概念 1理论背景及基本概念 1 1理论背景与实际意义 h a d a m a r d - - 球面定理是微分方程最大值原理的一种推广最大值原理是偏微 分方程研究中所用到的最有用而且是最为人们熟知的工具之一，这一原理其实就 是微积分学中下述初等事实的延伸：在区间f a ，h i 上满足不等式广 o 的任何函 数，( z ) 必在该区间的一个端点上达到它的最大值，就说不等式厂 o 的解满足最 大值原理更一般地，若函数在区域q 中满足一个微分不等式，并因此而在q 的边 界上达到其最大值，则这种函数具有极大值原理 h a d a m a r d 在研究复平面上解析函数的极大模理论时，得到了著名的三圆周 定理( 解析函数在同心圆周上的极大模是同心圆半径的凸函数) 而后进一步在欧氏 空间上利用椭圆型方程和抛物型方程的极值原理，得到了欧氏空间上的次调和函 数( a u 0 ) 和一般的椭圆型微分不等式的三圆周定理( 二维时) 和三球面定理 ( 高维时) ，并且可以推广到抛物型微分不等式相应的三曲线定理 参考文献1 3 】随 着h s r m a n d e r 对于亚椭圆算子的微局部分析及相应定理的建立，分层、零幂l i e 群 上的次椭圆方程问题得到了人们广泛的关注【参考文献4 1 ；又由于三圆周定理和 推广的三球面定理及三曲线定理在r i e m a n n 流形曲率问题、椭圆型偏微分方程唯 一性问题和“p r o p a g a t i o no fs m a l l n e s s ”问题以及物理粒子问题上的重要应用而得 到重视 参考文献5 ，6 1 ，而c a r n o t 群署1 h e i s e n b e r g 群上的次椭圆算子的有关研究是出 于c a u c h y - r i e m a n n 流形和量子力学问题的需要；最近a b o n f i g l i o l i 和e l a n c o n e l l 参 考文献7 1 对亍= c a r n o t 群上的次调和算子的一些基本性质作了较为深入的研究，得 出这是一类可以是退化的椭圆型方程本文给出了c a r n o t 群上次调和算子的最大 值原理，并基于这个最大值原理和c a r n o t 群次调和方程的基本解f 参考文献9 】，建 立c a r n o t 群上次调和函数的三球面定理 1 2 基本概念 定义1 2 1 设x 是一个集合，矿是x 的一个子集族如果少满足以下条件： ( 1 ) x ，o 矿； ( 2 ) a ，b e 少，i i j a n b 少； 1 北京交通大学硕士学位论文 理论背景及基本概念 ( 3 ) 若舅c 少，则u a 舅ae 少， 则称少是x 的一个拓扑 如果夕是集合x 的一个拓扑，则称偶对( x ，少) 是一个拓扑空间，或称集合x 是一个相对于拓扑少而言的拓扑空间 定义1 2 2 设x 和y 是两个拓扑空间如果存在一一映射，：x - y ，并且厂和厂1 ： y _ x 都是连续的，则称厂是一个同胚映射或同胚此时则称拓扑空间x 和拓扑空 间】，是同胚的，或称x ，y 同胚 定义1 2 3 设x 是一个拓扑空问如果x 中任何两个不相同的点各有一个开邻 域使得这两个开邻域互不相交( 即如果z ，y x ，x y ，则点z 有一个开邻域u ， 点y 有一个开邻域y ，使得unv = 仍) ，则称拓扑空间x 是一个h a u s d o r 脏问 定义1 2 4 设m 是一个h a u s d o r f f 空间若对任意的一点z m 都有x 在x 中的一 个邻域u 同胚于m 维欧式空间舻的一个开集，则称m 是一个m 维流形( 或拓扑流 形) 设此定义中的同胚映射是妒u ：u 一妒u ( u ) ，这里妒u ( 沙) 是舻中的开集，则 称( 以妒c ，) 是m 的一个坐标卡如果在m 维流形m 上给定一个坐标卡集 = ( 以蜘) ，( k 妒y ) ，( 彬v w ) ，) 满足下列条件，则称是x 的一个伊微分结构： ( 1 ) 以k 彬) 是x 的一个开覆盖； ( 2 ) 属于的任一两个坐标卡是相容的( 即坐标变换函数是c r 的) ； ( 3 ) 是极大的，即若对于m 的任意坐标卡( u ，妒并) 与属于的每一个坐标卡 都是伊相容的，则它自身必属于 若在x 上给定了一个伊微分结构，则称m 是一个伊微分流形若在m 上给定 了一个c 微分结构，则简称m 为光滑流形 下面给出一些有关群的基本概念： 定义1 2 5 设给定一个集合g ，若给定一个映射：gxg _ g ，对于任意的a ，b g ，存在唯一一个c g ，使得( n ，b ) 一c ，记为c = aob ，称在g 上定义了乘法，若 其还满足 ( 1 ) 结合律：( a ob ) oc = a o ( b oc ) ，y a ，b ，c g ； ( 2 1 存在e g ，使得eo 口= a oe = a ，v a g ； ( 3 ) 对任意a g ，存在a 一1 g ，使得a oa 一1 = a 一1on = e ； 2 北京交通大学硕士学位论文理论背景及基本概念 则称g 为一个群 定义1 2 6 设g 是一个非空集合，如果满足： ( 1 ) g 是一个群( 群的运算记作乘法) ； ( 2 ) g 是仃维微分流形； ( 3 ) 乘法运算妒：gxg g 使垆( 夕1 ，9 2 ) = 9 1 。9 2 ，v g a ，9 2 g 都是光滑映射， 则称g 是一个几维l i e 群 定义1 2 7 设x 和y 是微分流形m 上的两个光滑向量场，则称【x ，y 1 为x ，y 的 换位子( 又称p o i s s o n 括号积) ，这罩f x ，y 1 由下式定义： x ，y 1 - x y y x 即i x ，是作用在c ( m ) 上的算子，对任意的f 沪( m ) 有 【x ，硐( ，) = x ( y f ) 一y ( x f ) 容易验证，对任意的，g c ( m ) 有： ( 1 ) x ，y 】( ，+ 夕) = 【x ，y y + 【x ，y 】9 ； ( 2 ) f x ，y ( f g ) = f x ，y g + g x ，y y 这说明，y 】是微分流形m 上的光滑向量场 定义1 2 8 设x 是l i e 群g 上的光滑向量场若对任意的a g 都有 ( 兄) 。x = x 则称x 是g 上的右不变向量场这里r 是右平移算子，( r ) 。是由兄诱导出来的切映 射 l i e 群g 上全体右不变向量场所构成的向量空间记作够 注1 2 1 若x ，y 是l i e 群g 上的右不变向量，贝w j x ，y 1 仍是g 上的右不变向量场 这说明，光滑向量场的交换子在够中是封闭的，因此定义了够中的乘法运算， 这种乘法运算满足下列条件： ( 1 ) 分配律：【a l x l + a 2 x 2 ，y 】= n 1 x 1 ，y 】+ 0 2 【恐，y 】； ( 2 ) 反交换律：【x ，y 1 = 一【x 】； ( 3 ) j a c o b i 恒等式：， y ，z 】+ 【y ，瞄，x 】+ z ，y 】= 0 一个n 维是向量空间如果有满足分配律、反交换律、j a c o b i 恒等式的乘法运 算，则称它是一个n 维l i e 代数由注1 2 1 可得l i e 群g 上全体右不变向量场所构成的 3 北京交通大学硕士学位论文理论背景及基本概念 向量空间箩是一个l i e 代数，称为l i e 群g 的l i e 代数 定义1 2 9 如果一个l i e 群g 满足以下条件： ( 1 ) l i e 群g l 拘l i e 代数可以分解为s 个子向量场，即够= o o ok ； ( 2 ) 够是可分层的，即m ，巧】= k + 1 ，1 j 8 1 ； ( 3 ) 够是s 一幂零的，艮p v j ，k 】= 0 ，1 jss ； ( 4 ) 由厶( z ) ( a o ) = e 印( ；：l 吕z 玎五j ) 定义的g 的一个扩张群是g 的一 个自同构，其中五j ( 1 i = 出m ( k ) ) 是k 的一个；l j l ；( 1 歹s ) ，x i j 是x g 在五j 下的坐标，即z = e x p ( ；：1 吕五j ) 则称群g 为c a r n o t 群 注1 2 2 这里的s 称：为c a r n o t 群g 的阶，记q = ；：1j 出m ( 巧) 为群g 的齐次维 数( 或称h s r m a n d e r 秩) 定义1 2 1 0 在c a r n o t 群g 的一个指数坐标系下，群g 的切空间上的欧式度量 在指数映射下诱导的度量d ：g g 一兄+ 称为一个规范度量，其中d 由d ( z ，y ) = i z - 1o v l 定义，这里| 1 由 sm j i x l 2 引= ( 吲2 ) 芋 j = zi = l 给出 直接验证可得，这里的规范度量d 满足类似与度量的三条性质： ( 1 ) d ( x ，y ) o ，而n _ d ( x ，y ) = 0 当且仅当z = 剪； ( 2 ) d ( x ，y ) = d ( 可，z ) ； ( 3 ) d ( x ，y ) k ( d ( x ，z ) + d ( z ，秒) ) ，比，y ，z g ，k = 翰 0 ( 拟三角不等式 性质) 所以d 是某种意义下的一种伪度量 另外，根据文献【7 】可得，d 还满足下面两条不变性质： ( 4 ) d ( z x ，z y ) = d ( x ，) ； ( 5 ) d ( 叭( z ) ，6 a ( y ) ) = d ( x ，秒) ，x ，y ，z g ，a 0 定义1 2 1 1 比g ，耳( z ) = 可g ：d ( x ，y ) o ) 称为以z 为球心， 以r 为半径的球 给定一个c a r n o t 群g = ( r 竹，o ) ，i g a a = ；：1 砖为它的一个次调和算子( 又 称次l a p l a c i a n 算子) ，这里x 1 ，恐，咒是具有光滑系数的一阶微分算子，且关 于g 的右平移向量场不变，关于g 的扩张群民 o 是一次齐次的设乱是定义在群g 上 4 北京交通大学硕士学位论文 理论背景及基本概念 的函数，如果a g u 0 ，则称u 是定义在c a r n o t 群g 上的次调和函数如果a e u = 0 ，则称u 是定义在c a r n o t 群g 上的调和函数 注1 2 3 给出一个一阶微分算子x ，这里可以给出l i e 群g 上更具体的c a r n o t o c a r a t h e o d o r y 距- 离的概念：在局部坐标系下，一个绝对连续路径7 ：【0 ，邪_ g 对 于几乎处处的亡【0 ，卅，如果墨1c k ( t ) 1 ，有 面d f = ( ) 溉( 俐 则称，y 为x s u b u n i t 对于一个连通的l i e 群g ，对任意的z ，y g 至少有一条x s u b u n i t 连接z 和y ，这时定义 d ( x ，y ) = i n f t 0 1 7 ：【0 ，刀_ g x s u i ) t t n i t ? ( o ) = z ，y ( 丁) = 可) 定义1 2 1 2 对任意的z qcg = ( r n ，o ) ，如果有u ( x ) = l i m i n 毛一牡( 秒) ，则 称u 为下半连续函数；如果有礼( z ) = l i ms u p y - - - + x 乱( 可) ，则称乱为上半连续函数 5 北京交通大学硕士学位论文c a r n o t 群上次调和算子的三球面定理及证明 2 c a r n o t 群上次调和算子的三球面定理及证明 2 1相关引理 首先引用f o u a n dg b 在1 9 7 3 年给出的c a r n o t 群g 上的调和函数a a u = 0 的一 个基本解，即如下的引理 参考文献9 】： 引理2 1 1 如果c a r n o t 群g = ( 舻，o ) 的齐次维数q 3 ，则存在一个齐次范数 i i ，使得r ( x ，) = c q i x 1o 1 2 一q 是a a u = 0 的一个基本解，其中 o 是与q 有 关的常数 此引理中的齐次范数其实就是前面所给出的规范度量 由上面引理给出的基本解并由【参考文献7 - i 知下面结论成立，即： 引理2 1 2 设q = ( r n ，o ) 是一个开集，g u c 2 ( q ) ，则有 u ( x ) = a f ，( 乱) ( z ) 一人( g 乱) ( z ) ，v b ，( z ) cq( 2 1 ) 成立，这里 川酬栌害l k ( x - 1oy m 彬秒( 2 - 2 ) ( u ) ( z ) 全n qr o p q - 1 丘一，叼i 0s t b r ( z ) cq( 2 4 ) ( 2 4 ) 式称为( 体) 均值公式反过来也有，如果uec ( f 1 ) 满足均值公式，则乱在q 上 一定是调和的，即一定有 a a u = 0 vz q 如果对比q ，存在r x 0 使得 钆( z ) f ，( 乱) ( z ) ，v0 7 - r x 成立，则称u 在qcg 上是局部( 体) 次平均的由【参考文献5 】得知，在c a r n o t 群g 上 函数u 满足次平均值性质与满足次调和性质是等价的，即 a a u 0 = 争缸( z ) 4 r ( u ) ( z ) ，0 0 ，r q 0 ，k o , h u ( y ) 茎u ( x o ) ，所以 害厶( 知) 脚i 1 oy ) 札( 沪让( 黝) 】虮0 一。 0 因此在且r ( z ) 内，有k ( z 0 1o 可) 阻( 可) 一乱( z o ) 】= 0 另外又由在屏( z ) 的一个稠密开子集内k o ? 且乱是上半连续函数 参考文献1 1 】，所 以在s 2 内有u 兰u ( z o ) ； ( 2 ) 令z o q 使得 s u p 让= s u p u v r 0 b r ( z ) n q f t 如果x 0 a q ，又假设可知 s u p u = i n fs u p 乱= i n f s u p u = l i msup牡0w ，1- n r 0 b ，( z ) nq o ( b ，( z ) 。o ) ) nq l $ 9 y - - , x o 此时在q 上有礼0 ； 如果z o q ，由u 的上半连续性可知 s u n p 肛t i n f 。s u n p 胪r i n f 。酬s u p n n 钍也x o ) 7 北京交通大学硕士学位论文c a r n o t 群上次调和算子的三球面定理及证明 又因为u ( x o ) m a x n 牡，所p a u ( x o ) = m a x a 让 由( 1 ) 知，在q 的包含x o 的连通分支上有钍三u ( x 0 ) ，因此 m q a x 珏= 缸( z 。) sl i mq s 弓u 掣。p zu ( 可) 0 ，z a q 因此此时也有牡0 定理证毕 定理2 2 2 ( 三球面定理) 设耳，( z ) ，b 仡( z ) 是以z 为球心，以r 1 和您为半径的球 面，且耳，( z ) c 耳。( z ) cqcg ，如果u c 2 ( q ) 满足 a e u 0 记m ( r ) = m a x i z 一，。掣i ：r 让( 莓) ，则对于任意的o r l r r 2 ，有 m ( r ) sm ( r 1 ) ( 7 - 2 一q一鹰一q ) + m ( r 2 ) ( 7 ；一口一r 2 - q ) r ；_ 一蠢一q 当且仅当t = a - t - b r 2 一q 时等号成立，其中a ，6 待定 证明：由引理2 1 1 可知，a a u = o 有基本解r ( z ，荨) = c q i z - 1o 1 2 一q ，设 下面适当选取a ，6 使得 通过计算可得，当 时，有 妒( 旷1o 可i ) = a + b l = 一1 oy 1 2 一q 妒( i z _ 1oy a l ) = m ( 1 x 。oy a i ) 妒( i z - 1o 耽i ) = m ( 1 x - 1o 沈i ) 口= 业垫警爿豪等等掣 6 = 等等磐篝帮 妒( 旷1 。y l l = a + b l = 。1o 玑1 2 一q ) ( 旷1o 妙1 1 ) 妒( 旷1o y 2 i = a + 啦- 1o 耽1 2 一q ) ( 旷1o 耽i ) 8 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 北京交通大学硕士学位论文 c a r n o t 群上次调和算子的三球面定理及证明 即有 妒( i z _ 10 矽i ) m ( i x 一1o 驰1 ) 1 x 一1o 可11 2 - q m ( i x 一1o 矽1i ) l x 一1o 沈1 2 一q + l z 一1o 可11 2 一q i z - 1o 沈1 2 一q ( i x _ 1oy 1i ) 一m ( i x - 1o 沈i ) l z - 1oy l l 2 一q i z 一1o 驰1 2 一q ( i x 一1o 秒1i ) ( i x 一1oy 1 2 一q i z 一1o 秒1 2 一q l z 一1oy 2 1 2 一q ) + m ( i x 一1o 沈i ) ( 1 z 一1oy l l 2 一q i z 一1oy 1 2 一q ) z 一10y i l 2 一q i z 一1oy 2 1 2 一q 定义u ( ) = 牡( ) 一妒( i z - 1oy 1 ) ，由引理2 2 1 及妒的定义可知 所以 g 妒= 0 a a v 0 又由m ( r ) 的定义，并记i z - 1o y l = ? ，j x - 1o y l i = r l ，i z - 1o y 2 i = r 2 ，则 当r = r l 或7 = r 2 时 0 由引理2 2 2 可知 当r 1 r r 2 时秒0 ， 这样当l z _ 10y l = 7 - 时，有 所以 当r 1 r r 2 时， 当r 1 r r 2 时 u ( ) s 妒( r ) m ( r ) 妒( r ) 即对于任意的0 7 1 0 使得 当i ihl i 6 时都有 i | a ( f + h ) 一a f f hj i g - i ih0 由此可见弗雷歇导数是微积分中一个函数的导数的自然推广如果设d 为础空间中 的一个开子集而算子a ：d _ r n ，则a 的弗雷歇导数就是j a c o b i 矩阵( o a o y , ) 实 际上，用向量形式记剪i f ) 和a = ( a 1 ( y ) ，a n ( y ) ) t ，则由泰勒定理可知a 7 ( 可) 就 是j a c o b i 矩阵因此有时候弗雷歇导数也称弗雷歇矩阵 如果设上述概念中的b 2 为模型空间，b 1 为数据空间磁，则上述的弗雷歇 矩阵就可用于地球物理反演的场合 如果已知弗雷歇矩阵f ( 见后面4 2 9 式) ，则有线性公式 6 p = f & n 这里的6 p 是泰勒级数的第一项，即上式实际上为 ( 4 1 7 ) 尸( m ) 一晶= p ，( m o ) ( 仇一m o ) + d ( ( 仇一m o ) 2 )( 4 1 8 ) 移项并略去无穷小量得 p ( m ) = p o + ( m o ) ( m m o )( 4 1 9 ) 上式的左边尸( m ) 就是可以由正演模拟得出的有误差的压力场的数据集合磊，右 边的r 项就是由接收器观测到的数据集合c f 0 ，且等式右边关于m 是一次的，于是 ( 4 1 9 ) 式又可以记为 刁= g m ( 4 2 0 ) 2 3 北京交通大学硕士学位论文 4 频域波形反演问题的优化处理 这里的g 是一个线性算子，则g 存在一个( 广义的) 逆算子，记为g 一1 ，于是有m = g 一1 a 则模型协方差矩阵可表示为 = ( 仇一m o ) ( m t o o ) 丁= 上式即为和c m 的关系 ( g a g 一1 南) ( g - a g 一1 d o ) r g 一1 ( - a d o ) ( - a d o ) t g 一1 丁 g 一1 g 一1 丁 4 5 误差梯度令及目标函数的计算 反演的目的就是求目标函数( 4 1 6 ) 式的最小值，为此使用梯度法，首先i i 标 函数对模型参数进行微分，并结合( 4 1 9 ) 式则有 百o j ( m ) = f r 1 6 尸+ p 四6 m ( 4 2 1 ) 式中6 仇= m m o 是模型扰动，6 p = p ( m ) 一p o 是数据误差，f 是p ( 仇) 对m 的 弗雷歇矩阵，其具体形式为( o p ( m ) l o m ) , j ，式中右端第一项是数据误差的梯度方 向，记作 7 a ：f 丁1 5 p ：f t 6p a ( 4 2 2 ) 这里6p a ：1 6 p 是一个加权的数据误差 在式( 4 2 1 ) 中令a 了( m ) 跏：0 ，得到令= 一a c m l 5 m ，即6 m ：( - 1 弘) 令， 令q = 一1 p 贝j j 得到下面的方程 6 m = 一q ，y ( 4 2 3 ) 这里口是迭代时需要更新的步长如果能得到误差梯度予，再通过线性逼近的方法获 得最佳步长q 【参考文献1 8 】，然后利用( 4 2 3 ) 式构造迭代公式，使目标函数达到极 小值，即得到最佳的模型m 下面看如何计算关键的误差梯度孑： 如果要利用( 4 2 2 ) 式计算误差梯度耳，需要先计算弗雷歇矩阵f ，可是当尸是 地震波场时直接计算( o p ( m ) o m ) i , j 计算量非常巨大但是矩阵f 叮对加权数据扰动 向量6p 的作用可以通过正演模拟的方式得到，即先通过正演模的方法得到一个 弗雷歇核，然后再计算弗雷歇矩阵和误差梯度概括如下： 2 4 北京交通大学硕士学位论文 4 频域波形反演问题的优化处理 令方程( 4 1 1 ) 式两端对t 作拉普拉斯变换可得具有速度g ( r ) 的介质的频域声 波方程，臣p h e l m h o l t z ( 赫尔姆霍茨) 方程 v 2 + 蔫p o ( r ) 一鼬) 附一伯) ( 4 2 4 ) 式中r 表示位置向量，r o 代表所有震源位置，u 表示频率，s ) 表示频率为。的震源 特征，局( r ) 是频率为u 的压力波场如果速度被一个5 c ( r ) c o ( ，) 扰动的话，也就 是说 岛( 7 ) 一c ( r ) = c o ( r ) + 6 c ( r ) 这时波场被相应地扰动为 r ( r ) 一p ( r ) = p or ) + 6 p ( r ) 令 v 2 + 而高 ( 蜀( r ) + 叫州= 叫州( r r o ) 减去( 4 2 4 ) 式，并利用 面丽1 研一丽1 = 一鬻州删 ( g ( 7 ) + 6 c ，( 7 ) ) 2皤( r )四( r ) r 吖7 即得j 尸( r ) 近似满足的方程 卜南卜冲p o ( ，器 2 5 ， 把上式的右端项2 “，2 r ( r ) ( 7 ) 锘( 7 ) 看成在r 出的虚拟震源，则( 4 2 5 ) 式的解6 p ( r ) 可 以表示为积分的形式，推导过程如下： 把一个非齐次的偏微分方程的源项用j 函数代替之后得到的齐次边值问题的 解叫g r e e n 函数记( 4 2 5 ) 是对应的g r e e n 函数为g ( 7 - ，) ，即满足 驴础r 川+ 南g ( ) 。p ) ( 4 2 6 ) 【g ，) = 0 ，r 勰 这里g ( r ，一) 把位置向量r 和初始速度场的一个点震源7 7 对应了起来设尸( 7 - ) 和g ( 7 ，) 都 二阶连续可导，由( 4 2 5 ) 式及( 4 2 6 ) 小彤g g v 2 万p 】锄= 一ls p 杀g 删r ，卜 北京交通大学硕士学位论文4 频域波形反演问题的优化处理 + 上g 赢肛咖器卜 一上缸2 p o ( r ) 器g 搠一p ( h 脚 一f2 护p o ( r ) 器g 弘删 由g r e e n 公式 小彤g g v 2 叩q = 肿尸筹一g 塑o n 1 j d s 言为a q 的外法线向量又因为g ( r ，r 7 ) 在边界上为零，所以 厶p 尸筹一g 筹卜。 于是 一z 知2 竹) 器侧q ( 4 2 7 ) 在模型空问上，上述积分解则可表示为 暇忙一厶咧一丽2 u j 2 肿，) g n 一打7 ( 4 2 8 ) ，粥nu 0 ， 需要注意的是，对于复杂边界的边值问题，g r e e n 很难用解析公式表示，常常 必须用数值模拟的方法求解( 4 2 6 ) 得到 在研究声波方程时，地质模型仅由速度场来定义( 见4 1 3 式) ，即m = c ( 0 比 较( 4 1 $ ) 和( 4 2 8 ) 式得弗雷歇矩阵可由 丽2 u 2 2 岛( r ，) g ( 7 ，) = m ，) ( 4 2 9 ) 给出，把f ( r ，) 代入到( 4 1 7 ) 式并结合第3 节的分析即可得到模型协方差矩阵， 如果把f ( n ，) 代入到( 4 2 1 ) 式即得 孙) = 茄 2 厶删姗，r ，) 6 今( r ， ( 4 3 。) 因为震源和接收器的位置实际上都是离散的，并且是有限多个，所以应该用 关于震源接收器对的求和来代替上面在数据空间上的积分，震源和接收器分别记 为s 和9 ，这样就得到： 协) - 隔鹰( 枷，) g t ( r , r 腓7 ) ) 北京交通大学硕士学位论文 4 频域波形反演问题的优化处理 这里 = 磊睡p 必c 训) = 蒹 丁莩( 枷肌m ) ) ( 4 3 1 ) 需要注意的是这里的r 如) 不是由( 4 3 2 ) 是直接计算得到，而是把( 4 2 4 ) 式 右端的源项换成虚拟震源6 尸( r 口) ，然后用正演模拟的方法得到，当然这里的g r e e n 函 数c ( r ，) 也是用正演模拟的方法得到 把( 4 3 1 ) 式代入到( 4 2 3 ) 式，因为模型协方差矩阵已经求出，这样在 ( 4 2 3 ) 式中选择最佳的步长a 构造迭代公式即可得到最佳的参考模型m 总之，频域波形反演就是执行迭代，迭代算法如下： 步骤一，根据接收器接收数据r 及给出的初始参考模型m o 计算矩阵锡，c m ， 并计算弗雷歇矩阵f 步骤二，正演计算p ( m 膏) 计算加权的数据误差6p ，得到数据误差梯度 步骤三，根据6 尸七= p ( m 奄) 一马计算能 步骤四，选择最佳步长o l ，计算6 m 七+ 1 = 一a 饥 步骤五，判断| i5 m 七十1l i e ，正确，结束迭代否则修改模型m 1 = m 詹+ 5 m 七+ 1 ，返回到步骤二计算p ( m k + 1 ) 需要注意的是这里迭代停止的准则是模型修改增量的模小到可以忽略，而不 是数据拟合差的模很小 2 7 23 4 强 p f 0 矿 r r g 9 | 1 0 r r 谬 北京交通人学硕十学位论文参考文献 参考文献 1 p r o t t e rmh ：w e i n b e r g e rhf m a x i n u mp r i n c i p l e si nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m b e i j i n g ：s c i e n c ep r e s s ，1 9 8 6 【2 】l a n d i sem at h r e e - s p h e r e st h e o r e m j s o v i e tm a t h d o k l ，1 9 6 3 ，4 ：7 6 - 7 8 【3 】g e r a s i m o vk t h et h r e es p h e r e st h e o r e mf o rac e r t a i nc l a s so fe l l i p t i ce q u a t i o n s o fh i g ho r d e ra n dar e f i n e m e n to ft h i st h e o r e mf o ral i n e a re l l i p t i ce q u a t i o no f t h es e c o n do r d e r j m a t s i b ( n s ) ，1 9 6 6 ，7 1 ( 1 1 3 ) ：5 6 3 - 5 8 5 【4 】b r u m m e l h u i sr t h r e e - s p h e r e st h e o r e mf o rs e c o n do r d e re l l i p t i ce q u a t i o n s j a n a l m a t h ，1 9 9 5 ，6 5 ：1 7 9 - 2 0 6 【5 】b o n f i g l i o l ia ，l a n c o n e l l ie s u b h a r m o n i cf u n c t i o n so nc a r n o tg r o u p