（控制理论与控制工程专业论文）多个刚体姿态同步的输出反馈控制.pdf

摘要 摘要 本文主要讨论刚体姿态同步的输出反馈控制问题，即考虑在间接姿态信息， 或者没有角速度信息下的姿态同步控制。 首先，回顾了刚体的运动方程和一般的姿态跟踪方案，构造了新的李雅普诺 夫函数和对应的控制律，使得该李雅普诺夫函数的时间导数出现含有姿态跟踪 误差的范数平方的负项；这不仅使得稳定性分析变得极其简单，而且对第3 章 的间接姿态信息下的姿态同步具有极其重要的作用。介绍了姿态同步的信息通 信拓扑，同步任务的类型和一般姿态同步控制的全状态反馈方案。 接着，作者根据当前文献中提到的在间接姿态信息下单个刚体的姿态估计和 跟踪控制的某种“分离性质，第一次提出了在间接姿态信息下的多个刚体的姿 态同步问题。由于该文献的现成方案不便于直接推广到多个刚体同步上，作者 根据第2 章提出的新的李雅普诺夫函数和相应的控制律，重新设计了姿态跟踪 控制律，使得直接加入额外的同步项就可以达到姿态和角速度跟踪误差的全局 渐近稳定和姿态同步。 然后，考虑无角速度信息下的姿态同步问题。作者的思路是将姿态调节和同 步控制复合问题的现有方案推广到姿态跟踪和同步控制复合问题上，而现有文 献处理此类问题是构造了一个新的动态系统，方法上完全不同。本文提出了一 个简单的关于控制增益的条件，保证了闭环系统的全局渐近稳定性。 另外，本文第2 章和第4 章还对相关的控制算法进行了饱和控制的处理，使 控制力矩的最大值限制在容许的范围内。 仿真部分充分利用了s i m u l i n k 中航空模块( a e r o s p a c eb l o c k s e t ) 和s 一函数， 极大地简化了仿真模块的搭建；检验了大部分提出的单个刚体姿态跟踪和多个 刚体姿态同步的控制算法。仿真结果揭示了提出的控制算法的有效性。 关键词：刚体姿态同步多自主体趋同通信拓扑严格李雅普诺夫函数 间接姿态信息无角速度信息 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e sa b o u to u t p u tf e e d b a c kc o n t r o lo fa t t i t u d e s y n c h r o n i z a t i o nf o rm u l t i p l er i g i db o d i e s ，i e ，a t t i t u d es y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o l w i t hi n d i r e c ta t t i t u d ei n f o r m a t i o no rw i t h o u ta n g u l a rv e l o c i t yi n f o r m a t i o n f i r s t l y , w er e v i e wt h ee q u a t i o n so fm o t i o no fr i g i db o d ya n dg e n e r a l c o n t r o ll a w o fa t t i t u d et r a c k i n g ，a n dc o n s t r u c tan e wl y a p u n o vf u n c t i o na n di t sc o r r e s p o n d i n g c o n t r o ll a w u s i n gt h en o v e lm e t h o d ，t h et i m ed e r i v a t i v eo fl y a p u n o vf u n c t i o nw i l l p r o d u c e t h en e g a t i v et e r mo fs q u a r en o r mo ft h ea t t i t u d et r a c k i n ge r r o r , w h i c hm a k e s t h es t a b i l i t ya n a l y s i sb e c o m ee a s y , a n dt h i sn o v e lm e t h o di sv e r yi m p o r t a n tt ot h e a t t i t u d e s y n c h r o n i z a t i o nw i t h i n d i r e c ta t t i t u d ei n f o r m a t i o ni nc h a p t e r3 t h e c o m m u n i c a t i o nt o p o l o g y , t a s kt y p ea n dg e n e r a lf u l ls t a t ef e e d b a c kc o n t r o li nt h e a t t i t u d es y n c h r o n i z a t i o na r ea l s oi n t r o d u c e d s e c o n d l y , a c c o r d i n gt ot h es e p a r a t i o np r o p e r t yb e t w e e n a t t i t u d ee s t i m a t i o na n d t r a c k i n gc o n t r o lw i t hi n d i r e c ta t t i t u d ei n f o r m a t i o ni nt h er e c e n tl i t e r a t u r e ，t h ea u t h o r p r o p o s e sn e wp r o b l e mo nm u l t i p l er i g i db o d i e sa t t i t u d es y n c h r o n i z a t i o n w i t h i n d i r e c ta t t i t u d ei n f o r m a t i o n a st h ee x i s t i n gs c h e m eo ft h i sl i t e r a t u r ec a nn o tb e e a s i l ye x t e n d e dt om u l t i p l er i g i db o d i e s a t t i t u d es y n c h r o n i z a t i o n ，t h ea u t h o r r e d e s i g n ss i n g l er i g i db o d ya t t i t u d et r a c k i n gc o n t r o ll a w b a s e do nt h en o v e ls t r i c t l y a p u n o vf u n c t i o ni nc h a p t e r2 ，a n dt h eg l o b a l l ya s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fa t t i t u d e a n da n g u l a rv e l o c i t yt r a c k i n ge r r o rw i l lb ea c h i e v e dw h e nw ed i r e c t l yp u ta d d i t i o n a l t e r m so fs y n c h r o n i z a t i o n t h e n ，t h ea t t i t u d es y n c h r o n i z a t i o nw i t h o u ta n g u l a rv e l o c i t yi sc o n s i d e r e d t h e a u t h o rf o c u s e so ne x t e n d i n ge x i s t i n gm e t h o do fc o m p o s i t ep r o b l e mo na t t i t u d e r e g u l a t i o na n ds y n c h r o n i z a t i o nt ot h ec o m p o s i t ep r o b l e mo i la t t i t u d et r a c k i n ga n d s y n c h r o n i z a t i o n o u rm e t h o di s d i f f e r e n tf r o mt h e e x i s t i n g l i t e r a t u r e ，w h i c h c o n s t r u c t e dac o m p l e t e l yn e wd y n a m i c a ls y s t e m w eg i v e as i m p l es u f f i c i e n t c o n d i t i o no nc o n t r o lg a i nt h a tg u a r a n t e e sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fc l o s e d l o o ps y s t e m i na d d i t i o n ，s o m ec o n t r o ll a w si nc h a p t e r2a n d4a lef u r t h e rm o d i f i e do nt h e b a s i so fs a t u r a t e dc o n t r o l ，t h e nt h em a x i m u mo ft h e c o n t r o lt o r q u e sw i l lb e c o n s t r a i n e dw i m i nt h ea d m i s s i b l er a n g e t h es i m u l a t i o n sf u l l ym a k eu s eo fa e r o s p a c eb l o c k s e ta n ds - f u n c t i o ni nt h e a b s 廿a c t s i m u l i n k ，w h i c hs i m p l i f yt h ec o n s t r u c t i o no fs i m u l a t i o nm o d u l e m o s to ft h e p r o p o s e dc o n t r o ll a w s ，f r o ms i n g l er i g i db o d ya t t i t u d et r a c k i n gt om u l t i p l er i g i d b o d i e sa t t i t u d es y n c h r o n i z a t i o n ，a r ev e r i f i e d t h es i m u l a t i o n ss h o wt h ee f f e c t i v e n e s s o f p r o p o s e dc o n t r o ll a w s k e yw o r d s ：r i g i d b o d i e sa t t i t u d e s y n c h r o n i z a t i o n , m u l t i - a g e n tc o n s e n s u s ， c o m m u n i c a t i o nt o p o l o g y , s t r i c tl y a p t m o vf u n c t i o n ，i n d i r e c ta t t i t u d e i n f o r m a t i o n ，w i t h o u ta n g u l a rv e l o c i t yi n f o r m a t i o n m 符号说明 符号说明 ：惯性坐标系 召：刚体本地坐标系 刃：期望坐标系 g ：刚体相对惯性坐标系姿态的单位四元数 吼，吼：叮的标量分量，矢量分量 锄：参考姿态 面：姿态跟踪误差 毒：姿态g 的估计值 研：姿态估计值相对于参考姿态的跟踪误差 ：角速度 ：参考角速度 面：角速度跟踪误差 硒：定义为c o - c ( 西) c ( ) ：刚体相对惯性坐标系的方向余弦矩阵 j ：刚体转动惯量 圆：单位四元数乘法 ：单位四元数的共轭 s ( ) ：矩阵叉乘算子 下标。：表示第f 个刚体，例如吼和q 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的 成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或 撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作 了明确的说明。 作者签名：隧巡查 签字日期：兰! 垒：；三 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学 拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入中 国学位论文全文数据库等有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内 容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 a 么开口保密( 年) 作者签名：琏煎叁 签字日期：丝! ! ：； 导师签名： 签字日期：! ：! ：皇 第1 章绪论 第1 章绪论 刚体的姿态同步是指多个刚体的姿态和角速度渐近趋向一致。下面结合该领 域的研究背景和研究现状，提出本文的研究重点和贡献。 1 1刚体姿态同步的研究背景 刚体姿态同步研究来源于卫星编队，但实际上姿态同步控制可以列入更普遍 的多自主体趋同( m u l a a g e n tc o n s e n s u s ) 的范畴( j a d b a b a i ea ，l i nja n dm o r s ea s 2 0 0 3 ；o l f a t i s a b e rra n dm u r r a yr m2 0 0 4 ；r e nwa n db e a r dr w2 0 0 5 a ；r e nwa n d b e a r dr w 2 0 0 5 b ；o l f a t i - s a b e rr ，f a xj aa n dm u r r a yr m2 0 0 7 ) ，它与车辆编队 ( v e h i c l ef o r m a t i o n ) 、群集( s w a r m i n g ) 、会合问题( r e n d e z v o u sp r o b l e m ) 、振 荡器同步( s y n c h r o n i z a t i o no fo s c i l l a t o r s ) 和协同决策( c o o r d i n a t e dd e c i s i o n m a k i n g ) 等问题有着密切联系，这些相关领域的飞速发展给刚体的姿态同步控制 提供很好的借鉴。 另一方面，单个刚体姿态控制的进展又极大地推动多个刚体姿态同步的研 究，为多个刚体的姿态同步奠定基础，并开拓了姿态同步控制的研究新领域。 本节主要分析刚体姿态同步与卫星编队及其相关应用、多自主体趋同和单个 刚体姿态控制的联系，从而更清晰地了解刚体姿态同步与相关研究的横纵向联 系，加深对该领域研究的理解。 1 1 1 卫星编队飞行 相对于单个大卫星，多个小卫星编队飞行可以降低空间使命的风险，改善系 统的可行性、精度和鲁棒性( w a n gp ka n dh a d a e g hf y1 9 9 6 ；w a n gp k , h a d a e g h f ya n dl a uk1 9 9 9 ) ，而且具有低廉的发射和制造成本。 卫星编队飞行可运用于空间大气和环境探测实验、近地勘测、深空探测和干 涉测量，各卫星之间协同工作，有通信和信息交换，星间还有动力学联系和约束。 多卫星编队飞行需要保持精确的相对位置和姿态，当前相关研究主要集中于 卫星空间位置和各卫星相对位置的保持，针对编队姿态研究的相关文献和资料相 对较少。与卫星编队类似，航空飞行器、空间飞行器和地面机器人等的姿态同步 控制可以统一于刚体姿态同步的框架。本课题主要集中于刚体姿态的同步控制， 即多个刚体在运动中保持相同的姿态和角速度；侧重于理论上的稳定性推导，不 涉及卫星和其它飞行器的具体应用，但由于考虑的是姿态同步的基本原理，对相 关的实际应用具有一定的指导意义。 第1 章绪论 1 1 2 多自主体趋同控制 趋同问题起源于计算机科学的分布计算，简单地说，是使多个自主体的状态 渐近趋向一致。 其实，在自然界和社会中都有与趋同问题相关的现象存在。自然界中的鸟群、 羊群和鱼群的群集( f l o c k i n g ，s w a r m i n g ) 表明动物之间的行为受相邻个体的影响， 最终达到某种稳定的一致性。社会中的群体决策往往是个人与其它个体意见的不 断调和，从而得出越来越一致的决策。 当前的趋同控制主要考虑的是线性模型，尤其是单积分器和双积分器；数学 工具主要依赖代数图论、矩阵分析和随机分析；研究的主要内容包括变通信拓扑、 通信( 和控制) 时延、通信干扰和传输信息的量化处理。 趋同控制的相关领域往往相互渗透，很多研究实质上是共通的，这也为多个 刚体的姿态同步提供了很多控制方法上的借鉴。 1 1 3 单个刚体姿态控制的新进展 尽管单个刚体的姿态控制算法，并无法直接推广应用到多个刚体姿态同步 上，但是毫无疑问，多个刚体的姿态同步都是基于单个刚体姿态控制算法做进一 步的修改，加入使姿态同步的额外控制项。 举个例子说明这两者的联系：在无角速度信息时，l i z a r r a l d ea n dw e n ( 1 9 9 6 ) 基于无源性方法构造了一个超前滤波器获得姿态变化的信息，解决了姿态调节问 题；a k e l l am r ( 2 0 0 1 ) 将该算法拓展到姿态跟踪问题上。这些算法很快就被应用 到多个刚体的姿态同步上面( l a w t o n 瓜a n db e a r dr w2 0 0 2 ；r e nw2 0 0 7 b ) 。 几乎所有单个刚体姿态控制所涉及到的问题都可以在姿态同步中提出，这也 为刚体姿态同步提供了源源不断的研究课题。 1 2 研究现状 刚体姿态同步的研究很大程度上与多自主体趋同控制相似，但是由于刚体姿 态的运动方程是非线性模型，无法直接应用多自主体趋同控制中的很多现成方 法。下面先介绍姿态同步和多自主体趋同控制中相似的概念和方法，然后再提出 当前姿态同步研究的主要内容。 1 2 1刚体姿态同步任务的类型 按照刚体是否能获取外部参考和刚体间的层次关系，刚体姿态同步任务主要 有三种类型( s a r l e t t ea ，s e p u l c h r er a n dl e o n a r dn e2 0 0 9 ) 。 l a w t o n 瓜a n db e a r dr w ( 2 0 0 2 ) 和v a n d y k em ca n dh a l lc d ( 2 0 0 6 ) 中的各个刚 2 第1 章绪论 体有公共的外部参考，前者将各刚体调节到定常姿态，后者各刚体跟踪时变参考 姿态。这些问题的实质就是跟踪外部参考与刚体间同步的复合，在没有外界干扰 和跟踪效果良好的情况下，各刚体之间最终也能实现姿态同步；加入同步控制项 是为了保证刚体在整个运动过程中保持一定的相对姿态。 p e n w ( 2 0 0 7 b ) q b 部分刚体有外部参考，刚体间存在层次区别，包括主( l e a d e r ) 和从( f o l l o w e r ) 。只有l e a d e r 能获取外部参考的信息，即跟踪预先已知的参考 姿态；f o l l o w e r 不能获取外部参考的信息，根据l e a d e r 和相邻f o l l o w e r 的变化 调整。 s a r l e t t ea ，s e p u l c h r era n dl e o n a r dn e ( 2 0 0 9 ) $ 1r e n w ( 2 0 0 7 b ) 提出自主同步， 这里没有外部参考信息，各个刚体也没有层次区别。所以，同步控制只要求各刚 体姿态角速度一致，而不要求具体的最终同步状态。实际上最终的同步状态是由 各刚体的初态和控制器决定，无法直接给出最终同步状态的具体值。按照最终角 速度的大小，自主同步包括同步到零角速度和同步到非零( 可能是时变) 角速度。 1 2 2 刚体姿态同步的控制方法 刚体姿态同步的控制方法主要包括主从方式、基于行为和虚拟结构( p e nw a n db e a r dr w2 0 0 4 ) 。 w a n gp k a n d h a d a e g hf y ( 1 9 9 6 ) 提出主从方式( l e a d e r - f o l l o w e r ) ，l e a d e r 跟 踪外部参考，f o l l o w e r 根据l e a d e r 的变化调整。该控制方式将同步问题转化为 一般的跟踪问题，可以单独分析某个刚体的跟踪性能；缺点是l e a d e r 一旦失效， 将造成其它刚体失去参考信息，使整个群体混乱。而且跟踪相邻刚体需要其角加 速度或控制力矩的信息，对反馈信息的要求较高；一般来说，相邻刚体的姿态和 角速度容易获取，而角加速度或控制力矩较难获取。 l a w t o n 瓜a n db e a r dr w ( 2 0 0 2 ) 提出基于行为( b e h a v i o r - b a s e d ) 方式，根据相 邻刚体的姿态变化调整自身的变化，这样某个刚体的失效并不影响到整个刚体群 的运动，而只是影响相邻刚体的运动。该方法增加了刚体间的通信，造成刚体之 间动力学耦合，因此无法单独刻画某个刚体的稳定性，必须考虑多个刚体的整体 稳定性。 p e nwa n db e a r dr w ( 2 0 0 4 ) 提出虚拟结构( v i r t u a ls t r u c t u r e ) 方式，假设刚体 群中存在虚拟的单个刚体，每个刚体根据该虚拟刚体调整自身的姿态。其优点是 容易规定刚体群的行为，并在机动中保持紧密的编队飞行。集中式的虚拟结构方 法使得刚体群依赖于虚拟的大刚体，这容易成为单个失效点：该文献中的分散式 虚拟结构方法则避免了该缺点。 3 第1 章绪论 1 2 3 当前刚体姿态同步的研究特点 当前的多自主体趋同控制考虑的模型主要为线性系统，研究较多的是单积分 器或双积分器，控制律为线性，便于运用代数图论进行稳定性分析以及判断最终 同步的状态。 由于刚体姿态模型是非线性，成熟的线性系统模型中的多自主体趋同控制方 法不能直接应用。当前刚体姿态同步研究主要有以下特点： 假定可以直接获得姿态、角速度信息 主要考虑精确信息传输，没有考虑采用量化的信息以减小通信量 主要集中于无向信息流图的研究，对于有向图研究较少 主要考虑时不变的通信拓扑结构 较少考虑通信延迟对整体稳定性的影响 一般假定模型精确已知，不受外界力矩干扰 姿态描述采用欧拉角或单位四元素，带来奇异性或冗余 以上涉及的问题大多数在多自主体趋同控制中出现过，而且某些有较好的结 果。但是要在刚体姿态这个非线性模型考虑这些问题，现有的结果一般不能直接 推广过来。作者认为，一方面可以检验在哪些情形下，多自主体趋同控制现有的 理论方法可以加以修改用在刚体的姿态同步上；另一方面，主要还是得依靠单个 刚体的姿态控制的新进展米解决这些问题，很多情况下，一旦这方面有了新的突 破，就会有大量的研究者致力于将这些结果推广到多个刚体姿态同步上面。 1 3 本文的重点和贡献 1 2 - 3 小节提到了当前姿态同步主要考虑可以直接获得姿态、角速度信息，某 些情形下，这些信息都是间接可得或者不可得的。因此，本文的研究重点集中于 在姿态、角速度信息不可直接得到或不可得到的情形下，解决刚体的姿态同步问 题。也就是说，采用输出反馈控制解决刚体的姿态同步问题。具体地说，本文主 要考虑两个主要问题，第一个是只能得到间接的姿态信息，但有完整的角速度信 息；第二个是没有角速度信息，但有完整的姿态信息；第3 章、第4 章将分别详 细分析这两个问题。 1 3 1 间接的姿态信息 一般都假定可以直接获得姿态的单位四元数测量，实际情况是，直接、真实 的单位四元数姿态测量是无法获得的，得到的信息往往只是体现了姿态的变化， 但不是姿态本身。 s e oda n da k e l l am r ( 2 0 0 7 ) 提出了一个姿态观测器，可以渐近地逼近实际姿 4 第1 章绪论 态的信息。文献的最大贡献在于，不在实际系统里考虑如何运用姿态估计值，而 是在基于观测器的姿态跟踪误差系统里，直接运用姿态估计值进行反馈控制。只 要保证了姿态估计值逼近姿态参考值，又因为姿态估计值本身可以渐近逼近实际 姿态，很容易得出实际姿态逼近姿态参考值。 作者关注的是如何将s e od a n da k e l l am r ( 2 0 0 7 ) 的方法推广到多个刚体的姿 态同步上，就作者的知识而言，这是第一次提出在间接姿态信息下的姿态同步控 制问题。由于该文献中的姿态跟踪控制律难于推广到多个刚体的姿态同步上，作 者首先对设计了新的姿态跟踪方案。该方法的构思主要来源于第2 章涉及到的新 的单个刚体姿态控制律，通过构造一个严格的李雅普诺夫函数和相应的控制律， 使得该李雅普诺夫函数的时间导数项出现姿态误差的2 范数平方项，极大地方便 了稳定性分析。 接着，将这个新的姿态控制律推广到多个刚体的姿态同步上，增加了两项起 同步作用的控制项。尽管证明过程比较繁琐，但是整体上的思路却很清晰，系统 最终同时达到了姿态、角速度的同步。 1 3 2 无角速度信息 由于角速度传感器( 速率陀螺) 的失效，或者由于安装角速度传感器会带来 成本和占据空间的增加而不安装角速度传感器，刚体的角速度测量不能得到。 单个刚体无角速度信息下的姿态控制方面：s a l c u d e a ns ( 1 9 9 1 ) 最早提出了全 局收敛角速度观测器。l i z a r r a l d ea n dw e n ( 1 9 9 6 ) 基于无源性方法构造了一个超前 滤波器获得姿态变化的信息，解决了无角速度信息下的姿态调节问题。a k e l l a m r ( 2 0 0 1 ) 将该算法拓展到姿态跟踪问题上，使用的是修改的r o d r i g u e s 参数 ( m r p s ) 。t a y e b ia ( 2 0 0 8 ) 构造了一个新颖的动态系统，其输入是自身状态值和 姿态跟踪误差之间的差，闭环系统最终达到几乎全局渐近稳定。 多个刚体无角速度信息下的姿态同步控制方面：l a w t o nj ra n db e a r d r w ( 2 0 0 2 ) 考虑在期望姿态是定常的情况下，解决多个航天器姿态对齐问题。借 助上面提到的超前滤波器( l i z a r r a l d ea n dw e n1 9 9 6 ) ，并假定通信拓扑是无向环 形，最终可以得到闭环系统的局部稳定。当只有部分刚体可以获取参考姿态信息， b o n d u l u sa k ，p e t t e r s e nk ya n dg r a v d a h lj t ( 2 0 0 5 ) 研究了单l e a d e r 单f o l l o w e r 的姿 态同步问题，运用s a l c u d e a ns ( 1 9 9 1 ) 的全局角速度观测器使得f o l l o w e r 与l e a d e r 同步。当没有外部参考信息，各个刚体间也没有层次上的区别时，r e n w ( 2 0 0 7 b ) 研究了基于修改的r o d r i g u e s 参数( m r p s ) 的姿态同步，所构造的超前滤波器包 含了某个刚体的绝对姿态和相对于其它刚体的相对姿态。 本文研究在所有刚体都能获取外部时变参考信息时，解决无角速度信息下的 姿态同步问题。作者构造了两个超前滤波器获取关于角速度跟踪误差和各刚体间 5 第1 章绪论 的相对角速度的信息，在这里对通信拓扑没有其它限制，只要求是无向连通。 与v a n d y k em c a n dh a l lc d ( 2 0 0 6 ) 和r e nw ( 2 0 0 7 a ) 相比，本文移除了对角 速度信息的要求；同时注意到，这里考虑的姿态同步任务和a b d e s s a m e u daa n d t a y e b ia ( 2 0 0 8 ) 相同，但后者使用的是前面提到的辅助动态系统( t a y e b ia 2 0 0 8 ) 。 作者提出了一个简单的关于控制增益的充分条件，保证了闭环姿态误差系统 达到几乎全局渐近稳定性。 1 3 3 本文的安排 第2 章，介绍单个刚体的姿态控制和多个刚体的姿态同步的一些基本概念、 原理和方法。涉及到刚体的运动方程和姿态跟踪控制，特别地介绍了新的刚体姿 态跟踪控制律，使得相应的李雅普诺夫函数的时间导数项出现姿态误差的2 范数 平方项；接着阐述姿态同步所需的信息和获取手段，通信拓扑和姿态同步的各种 任务类型；最后介绍了全状态反馈的姿态同步控制律。 第3 章，解决在间接姿态信息下的姿态同步问题，可参阅1 3 1 节内容。 第4 章，解决在无角速度信息下的姿态同步问题，可参阅1 3 2 节内容。 第5 章，对第2 - 4 章涉及的控制律进行仿真，仿真结果揭示了控制算法的有 效性。 第6 章，对本文的工作进行总结列出丰要的创新点，并展望未来的相关工 作。 6 第2 章刚体姿态同步的基本概念 第2 章刚体姿态同步的基本概念 本文的主要目的就是将单个刚体的姿态控制算法拓展到多个刚体的姿态同 步，这一章同时介绍这两方面的一些基础概念、原理和方法。 单个刚体的姿态控制方面：首先，引入刚体姿态的表示以及对应的运动学方 程，还有刚体的动力学方程；这些是理解刚体姿态控制的基本物理常识。然后， 介绍常用的姿态跟踪控制方案；另外，构造了新的李雅普诺夫函数，使得在相应 的控制律下，其时间导数出现含有姿态误差范数平方的负项，这不仅使稳定性分 析变得极其简单，而且对第3 章的间接姿态信息下的姿态同步具有极其重要的作 用。 多个刚体的姿态同步方面：首先，采用图论的观点描述刚体之间的姿态、角 速度信息的通信拓扑；介绍了姿态同步的各种不同的类型，分类主要是按照是否 有外部参考信息，以及刚体是否可以获得外部参考信息；然后，介绍了全状态反 馈下的姿态同步控制方案，从而熟悉多个刚体整体稳定性分析的一般方法。 另外，本章还对容易进行饱和处理的两个控制方案进行改造，提出对应的饱 和控制，其稳定性分析和非饱和控制比较相似，只是在证明角速度跟踪误差趋向 于零这一点上有细微的差别。 这一章的控制方案，都假定所有的姿态和角速度信息可以直接获取，也就是 应用全状态反馈控制。间接姿态信息和无角速度信息时的姿态同步将分别在第3 、 4 章涉及到，采用输出反馈控制解决刚体姿态同步问题是本文的核心内容。 鼋= 脚_ ) = 引 ， 7 第2 章刚体姿态同步的基本概念 容易看出q ；+ 留j 吼= 1 ，满足“单位”的性质。 对应的方向余弦矩阵为 c ( g ) = ( q ；- q ：g ，) 1 3 + 2 q ，口：一2 q o s ( q ，) ( 2 2 ) 单位四元数含有四个参数和一个约束方程，可以表示任何姿态，没有欧拉角 表示的奇异性缺陷；缺点是需要用到四个参数。下面介绍它的两种变形形式，只 需要用到三个参数，当然其姿态表示带有奇异性。 2 ) r o d r i g u e s 参数 令 辟立吲an呈，i=1,2,3qo 辟= 里：二二= q t a l l 呈， c o s 里 2 则p ：( n ，仍，见) r ：p t a l l 乓) ，这种姿态表示方法称为r o d r i g u e s 参数， 度内没有奇异性。 对应的方向余弦矩阵为 c ( p ) = 西1 - p 亍r 矿pr + 2 + 2 蚴 3 ) 修改的r o d r i g u e s 参数( m r p s ) 秒 ，、 口口 q = 南= 墨= 笔乎= 叶t a n _ 0 渊名3 ( 2 3 ) 在1 8 0 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 则仃= ( q ，吼，玛) r = e t a n ( 罢) ，这种姿态表示方法称为修改的r o d r i g u e s 参数 ( m r p s ) 。相对于r o d r i g u e s 参数，修改的r o d r i g u e s 参数可以在更大的角度范围 内表示姿态，在3 6 0 度内没有奇异性。 对应的方向余弦矩阵为 c ( 仃) = 厶一4 器s ( 仃) + 石而8 s 2 ( 盯)( 2 6 ) 2 1 2 运动学方程 用表示刚体本地坐标系召相对于惯性坐标系的转动角速度，下面先简 单介绍各种姿态描述对应的运动学方程。 8 第2 章刚体姿态同步的基本概念 采用单位四元数表示刚体的运动学方程 1 7 q o2 一i 吼 ，。 ( 2 7 ) 磅。= s ( 吼) + 9 0 厶】缈 采用r o d r i g u e s 参数表示刚体的运动学方程 声2 壹日( p ) 国 ( 2 8 ) 日( p ) = 厶+ s ( p ) + p p l 采用修改的r o d r i g u e s 参数表示刚体的运动学方程 彦= 去g ( 仃) 刚一1 一- - _ o r o - 删盯) + 酊r ( 2 9 ) 现在考虑刚体跟踪期望参考坐标框架d 的参考轨迹，该框架相对于惯性坐标 系的姿态为锄，角速度为0 2 d ( 自身及其时间导数都有界) 。下面只考虑用单 位四元数来描述姿态误差系统，容易得出用其它参数表示的姿态误差运动学方 程。 姿态跟踪误差可表示为牙= 虻固g = ( 磊彩) 7 ，其中单位四元数乘法 的定 义为 q p ：f 吼胪矾风 l ( 2 1 0 ) , q o p ，+ p o q ，+ 吼p v 是取单位四元数的共轭，q = ( g 。- q f ) r 。 姿态跟踪误差对应的方向余弦c ( 牙) = c ( q ) c r ( 锄) ( 可通过繁琐的代入计算来 证明) ，则角速度跟踪误差为面= 一c ( 牙) ，相应的姿态跟踪误差运动学方程为 囊 = 丢 s 。磊- ，o + f 磊厶 面= 1 2l i e - e 。牙，1 j 面= 丢豆c 牙，面 注意到伊( 牙) 豆( 牙) = 厶，因此角速度跟踪误差可以表示为 面= 2 豆r ( 牙) 李 2 1 3 动力学方程 刚体的动力学方程为 j g o = 一s ( 缈) + ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 9 第2 章刚体姿态同步的基本概念 跏，= 般 4 ， 厨= 一兰 面，? 牙) m 面+ c ( 牙) 嘶】+ 以s ( 面) c ( 牙) 鸭一c ( 圣) 毗】+ h ( 2 1 5 ) = 一s ( 国) + j r + , 1 性质2 1 ： 面r s ( 面) 兰0 性质2 2 ：s ( c ( 牙) y + 刀( c ( 牙) ) 是反对称矩阵，即 【s ( c ( 牙) ) - 厂+ 盥( c ( 季) 哟) 弦- 0 面r 肠= 面r 卜s ( c ( 牙) 妇) ，( c ( 面) 面) 一，j c ( 牙) 奶+ 口】 ( 2 16 ) 2 2 刚体姿态跟踪控制 这里假定所有的姿态和角速度信息可以直接获取，也就是整个刚体运动系统 的输出是 y = ( 2 1 7 ) 刚体姿态跟踪的目的就是使跟踪误差牙。和面渐近趋向于零。这里要强调的 是，实现角速度跟踪比实现姿态跟踪更容易，这可以从刚体的运动方程看出来。 从动力学方程看，控制力矩直接影响角速度的变化；而角速度的变化又在运动学 方程中影响姿态的变化。也就是说，控制力矩只是间接地影响姿态的变化，相应 地，姿态跟踪的稳定性分析都是先分析角速度跟踪误差趋向于零，再分析姿态跟 踪误差趋向于零。 下面根据选定的李雅普诺夫函数的时间导数是否包含一香：牙，主要介绍两种 不同的姿态跟踪控制律。 2 2 1一般控制律 在全状态反馈控制下，基于不同姿态描述的姿态跟踪控制都有成熟的算法， 1 0 第2 章刚体姿态同步的基本概念 下面简要介绍基于单位四元数的姿态跟踪方案 口= 一尼，牙，一k g o + s ( c ( 毒) ) ，( c ( 牙) ) + ，c ( 牙) 西d ( 2 1 8 ) 下面列出相关的定理，从证明部分可以看出稳定性分析的繁琐。 定理2 1 ( 从a k e l l am ra n dv a l d i v i aa2 0 0 5 归纳出该控制律，未找到直接提出 类似定理的相关文献)由姿态跟踪误差运动学方程( 2 1 1 ) 和角速度跟踪误差动 力学方程( 2 1 5 ) 组成的刚体姿态跟踪系统，在以上控制律( 2 1 8 ) 的作用下，闭环系 统达到( 几乎) 全局渐近稳定。 证明：取李雅普诺夫函数 v = k p ( 1 一辱。) 2 + 香j 牙，】+ 寺面7 厨= 2 k p ( 1 一牙。) + 去面r 硒 ( 2 1 9 ) 则 v = 一2 尼。磊+ 面2 厨 = 面7 卜七。玩一s ( c ( 牙) 西) ，( c ( 圣) 缈d ) 一j c ( 4 ) o + 砧】( 2 2 0 ) = 一面r 面 可以看出，这里矿缺少呵j 磊项，只是半负定的；由于是时变系统，不能应 用l a s a l l e 不变集原理，这就是证明的困难所在。 实际上可通过多次运用b a r b a l a t 引理来证明跟踪误差渐近趋向于零，即 玩j 0 ，面j 0 。证明过程包含三个部分 1 ) 所有信号是有界的 矿不大于零，由李雅普诺夫稳定性定理可得牙，面l 。 2 ) 面j0 由于f 面r 砒矿( o ) 一v ( o o ) ，可得面厶。 考虑刚体的动力学方程和控制输入，可得扁l ，则击厶。运用b a r b a l a t 引理，我们可得面一0 。 3 ) 玩一0 由第二步的亩l ，并结合刚体的动力学方程( 2 1 5 ) 可得击l ，再由面极限 存在( 具体是面- - 0 ) ，根据拓展的b a r b a l a t 引理，可得亩j 0 。 结合第二步的结论面_ o 和控制输入，可得尼。磊一0 ，也就是玩_ 0 。 从而可得香。一o ，面一0 ，定理得证。 口 当跟踪问题退化为调节问题，即= 0 时，控制律可进一步简化为 u - - 砟0 ，一乃面，也就是简单的p d 调节，不需要转动惯量，的信息。这就是刚 体姿态控制的简化性质，而且这时候的稳定性分析变得非常简单，可以直接用 第2 章刚体姿态同步的基本概念 l a s a l l e 不变集原理证明。 下面我们考虑对控制力矩的最大值有限制的情况，实际中控制力矩不可能任 意大。观察到控制律( 2 1 8 ) 中除了一奶面外，其它三项都有确定的边界。所以，考 虑改造一t 面项。 a k e l l am ra n dv a l d i v i a a ( 2 0 0 5 ) 考虑无角速度信息下的饱和控制，借鉴其思路 设计角速度可测的饱和控制 以= 一尼p 牙，一t a n h ( a , ) + s ( c ( 牙) o ) ( c ( 牙) 西) + ，c ( 牙) 奶 ( 2 2 1 ) 考虑到以上控制律比较简单，可能早有相关文献给出直接的证明，但由于尚未找 到最直接的相关证明，这里仍然给出简要的证明。 定理2 2 定理2 1 中的控制输入( 2 18 ) 换成饱和控制( 2 2 1 ) ，闭环系统同样可以 取得( 几乎) 全局渐近稳定。 证明：采用与定理2 1 证明中相同的李雅普诺夫函数，经过类似的计算可得 v = 一k 面1t a l l h ( 面)( 2 2 2 ) 这里在证明2 ) 面j 0 与上面的证明有所不同，因为不能直接证明面厶， 换成考虑矿的变化趋势。 首先，矿l 。 其次，考虑矿的有界性。届l ，则亩l 。则 v = 一岛 面7t m l l l ( 面) + 历7 d i a g s e c h ( 西) ，s e t h ) ，s e c h ( r 磊) ) 面】乞 最后，l i m ，。v ( t ) = v ( o o ) 存在。 根据b a r b a l a t 引理，矿一0 ，也就是说，面一0 。 其它的证明完全与非饱和控制相似。口 以上控制设计有两个特点，控制律简单，稳定性分析相对复杂。下面介绍控 制律相对复杂，稳定性分析极其简单的控制设计方法。当然，对于实际控制系统 来说，重要的是控制效果，而不是稳定性分析是否简单：本文将在仿真部分比较 这两种控制律的效果。这里要强调的是，这种新的控制律对第3 章的间接姿态信 息下的刚体姿态同步有很重要的作用。 2 2 2 采用严格李雅普诺夫函数的控制律 正如s e od a n da k e l l am r ( 2 0 0 7 ) 所指出的，与( 2 1 9 ) 类似的能量类型的李雅 普诺夫函数不是严格的，矿只有砺r 面项。这里，我们与该文献不同，构造一个 新的李雅普诺夫函数，并设计相应的控制律，使得该李雅普诺夫函数的时间导数 项出现孑，项，也就是使矿是严格的李雅普诺夫函数。 1 2 第2 章刚体姿态同步的基本概念 设计控制输入 = 一尼。牙，一k 面+ s ( ) 窿，一j r l 一孔( 2 2 3 ) 定理2 3 定理2 1 中的控制输入( 2