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关于可转换债券的模型及其定价理论研究 摘要 1 9 7 3 年，b l a c k s c h o l e s 开创性“期权定价与公司债务”的发表标志着金融 衍生债券定价理论的诞生。在其后的二十多年，金融衍生债券定价理论及其应 用研究得到蓬勃发展，取得丰硕成果。这些理论研究都是以西方成熟的债券市 场为前提，我国债券市场的建立才十来年时间，金融衍生债券市场发展，以及 金融衍生债券定价理论和应用研究与西方发达国家有一定的差距，如何借鉴西 方金融衍生债券定价理论，加强我国金融衍生债券定价理论及其应用研究是十 分重要的。 可转换债券是一种重要的金融衍生债券，兼具筹资与避险的功能。从国际 市场上看，可转债已成为多数发达国家金融资产的重要组成部分，不含可转债 组合被认为是不完善的投资组合。因而，本论文以可转换债券为主线，在不同 的金融市场模型下，研究它的定价理论。 本文首先研究了利率为非随机情形下的欧式可转换债券的定价。根据定理 2 1 3 ，分析了公司风险贴现债券和认股权证的定价公式，给出了当利率为常数， 公司股票支付红利和不支付红利时的欧式可转换债券的定价公式，以及当利率 为连续函数，公司股票支付红利时的欧式可转换债券的定价公式。接着，研究 了随机条件下可转换债券的定价的离散时间方法，给出了有离散支付票息和红 利以及放松税收情形下的可转换债券的定价。 关键字lb i a c k - s e h o k s 模型，可转转债券，无风险套利原理，利率，离散 时间，期权，i t 0 定律，票息，红利，风险贴现债券，认股权证，随机微分方程。 r e s e a r c ho ft h em o d e lo fc o n v e i h i b l eb o n d a n di t sp r i c i n gt h e o r y a b s t r a c t f i s c h e rb l a c k & m y r o ns c h o l e s7 ss e m i n a lp a p e r “t h ep r i c i n go f o p t i o n sa n d c o r l ：l o r a t el i a b i l i t i e s ”p u b l i s h e di n 1 9 7 3m a r k st h eb e g i n n i n go ff i n a n c i a ld e r i v a t i v e p r i c i n gt h e o r y s i n c et h e n ，t h es t u d yo ff m a n c i a ld e r i v a t i v ep r i c i n gt h e o r yh a sb e e n f u l lo fv i t a l i t ya n dr e a p e dr i c ha c h i e v e m e n t s t h e s er e s e a r c h e sa r eb a s e do n a p p l i c a t i o nt ot h em a t u r es e c u r i t ym a r k e ti nt h ew b s t t h es e c u r i t ym a r k e ti no u r c o u n t r yi sy o u n g ，a b o u tt e ny e a r s ，a n di sar i s i n gm a r k e t i ti sq u i t ed i f f e r e n tf r o m t h e m a t u r em a r k e ti nm a n ya s p e c t s ，a n da l s or e s e a r c h e so ft h ed e r i v a t i v e sp r i c i n gt h e o r y a n da p p l i c a t i o nf a l lb e h i n dt h ew e s t i ti sv e r yi m p o r t a n ta n ds i g n i f i c a n c et ou s et h e f i n a n c i a ld e r i v a t i v ep r i c i n gt h e o r i e si nt h ew e s tf o rr e f e r e n c ea n dt os t r e n g t h e nt h e r e s e a r c h e so nf i n a n c i a ld e r i v a t i v ep r i c i n gt h e o r ya n da p p l i c a t i o ni no u rs e c u r i t i e s m a r k e t c o n v e r t i b l eb o n di so n eo ft h ei m p o r t a n tf i n a n c i a ld e r i v a t i v e s t h eh y b r i d f e a t u r eo fc o n v e r t i b l eb o n d o 也 e q u i t y l i k e a n dd e b t l i k e - b l a k ei t s p r i c i n g c o m p l i c a t e d c o n v e r t i b l eb o n di s s u e i n go f l i s tc o m p a n yh a sal o n gh i s t o r ya b r o a d b u ts u c hp r o d u c t sc o u l db ef o u n di nc h i n e s ec a p i t a lm a r k e ti n2 0 0 0 s oi nt h i s d i s s e r t a t i o n ，c o n v e r t i b l eb o n dp r i c i n gt h e o r ya n da p p l i c a t i o n sa l es t u d i e di nd i f f e r e n t f i n a n c i a lm a r k e tm o d e l s i nt h ef a m o u sb l a c k - s c h o l e sm o d e l ，a s s u m et h a tt h es t o c kp r i c ei sa f f e c t e db ya s t o c h a s t i cf a c t o r , a n do b e y si o g a r i t h mn o r m a ld i s t r i b u f i o n r i s l d e s si n t e r e s tr a t ea n d y i e l da n df l u c t u a t er a t eo f s t o c k p r i c ei sa l lc o n s t a n t a n ds t o c kn op a yd i v i d e n d t h e n t h ep r i c i n gf o r m u l ao fv e n t u r ed i s c o u n tb o n da n dw a r r a n ti sa n a l y z e d b a s e do n t h e o r e m2 1 2 t h ep r i c i n gf o r m u l ao fc o n v e r t i b l eb o n di so b t a i n e d s u p p o s et h a tb a s i c a s s e t - s t o c kp r i c ei sa f f e c t e db ys o m es t o c h a s t i cf a c t o r , i ts a t i s f yt oi t os t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，s t o c kp a yd i v i d e n d ，t h em o d i f i e db l a c k - s c h o l e sm o d e l i s e s t a b l i s h e d s ow ec a no b t a i nt h ep r i c i n gf o r m u l ao f c o n v e r t i b l eb o n d t h e nad i s c r e t et i m ep r i c i n gm o d e lf o rc o n v e r t i b l eb o n du n d e rs t o c h a s t i ci n t e r e s t r a t ei ss t u d i e d s u p p o s et h a tb a s i ca s s e t - s t o c kp a yd i s c r e t ed i v i d e n d ，c o n v e r t i b l ep a y d i s c r e t ei n t e r e s to f b o n d t h ep r i c i n gf o r m u l ao f c o n v e r t i b l eb o n di so b t a i n e d k e y w o r d s ：b l a c k - s c h o l e sm o d e l ，c o n v e r t i b l eb o n d ，n o - a r b i t r a g ep r i n c i p l e ，i n t e r e s t r a t e ，d i s c r e t et i m e ，o p t i o n ，i n t e r e s to fb o n d ，d i v i d e n d ，w a r r a n t ，v e n t u r ed i s c o u n tb o n d ， s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 西北工业大学硕士论文 第一章绪论 金融衍生证券( d e r i v a t i v es e c u r i t y ) 是一种证券，其价值依赖于其他更基本 的标的( u n d e r l y i n g ) 变量。它是一种复杂的金融工具，即包括我们日常生活所 熟悉的远期、期货、期权交易，还包括一些相当专业性的互换、免疫保值等业务， 由于这些金融衍生证券的价格衍生目标的资产的价格( 商品、利率、汇率和股票 价格和股价指数) ，衍生证券市场由此得名。 虽然衍生证券市场相对来说还是一个新概念，但它的许多业务已经广为人 知。衍生证券市场主要进行以下业务：期货、期权、远期和互换。有相当一部分 人业已加入衍生债券市场。例如，我们在证券市场从事股票期权的交易。 衍生证券也称为或有债权( c o n t i n g e n tc l a i m s ) ，它是一种双边合约，这合约价 值依附标的资产的价格，标的资产的价格变化对合约价值有直接的影响。按照合 约买方是否具有选择权，衍生证券可分为远期类和期权类两种。前者，合约的持 有人有义务执行合约：而后者，合约的持有人则有权利执行合约，即他可以根据 当时的市场情形决定执行或者放弃合约。远期类合约包括远期合约、期货合约和 互换；期权类合约包括期权合约、利率上限和下限和互换期权。 金融衍生证券既可以保值和避免风险的工具，也可被当作高风险、高收入 的投资机会，因而受到广泛的欢迎，在不到2 0 年的时间内，从无到有，发展到 今天的规模。 期权是一类重要的金融衍生证券。期权是一种合约，其持有者有权在将来 某一时间或某一时间内以合约中确定的价格买卖某种资产。期权合约有两类：看 涨期权和看跌期权。前者给予含约持有人在未来某时以事先约定的价格购买标的 资产的权利，而后者则给予以约定的价格出售标的资产的权利。合约中的约定价 格称为执行价格。美式期权可在合约到期前任何一天执行，而欧式期权则只能在 到期日执行。不过，美式、欧式之称并不是地理概念，许多美国交易所进行欧式 期权的交易，反之亦然。 期权的基本特征在于它给予持有人的是一种权利而非义务，即合约持有人 放弃合约的权利，这一点使期权有别于远期和期货合约，后者赋予持有人到期购 2 西北工业大学硕士论文 买后出售标的资产的义务。正是期权的这一特征使期权合约不象远期和期货合约 那样可“免费”进入，投资者必须支付一定的保证金购买期权合约，之后，无论 期权合约是被执行或放弃，保证金都不退还，因此，保证金被看作是期权的价格。 期权的品种非常多，既有在交易所上市的标准化期权，也有场外交易的品 种。股票期权、货币期权、指数期权及期货期权是常见的几种期权合约。股票期 权是期权的主要形式。股票期权是美国最大的期权交易所一芝加哥期权交易所的 主要交易品种这一。另外，费城交易所、美国股票交易所、太平洋股票交易所和 纽约股票交易所也交易这种期权。与标准化的美式期权和欧式期权一样，新型期 权也有不少，如百慕大期权和亚式期权，百慕大期权持有人在合约有效期内的一 系列事先规定的日子里可以执行；亚式期权的结算不以期权执行日的标的资产的 价格为基准，而是采用一段时间内标的资产价格的平均数。 期权交易可为源远流长，1 7 世纪上半叶，荷兰掀起了一股投资郁金香球茎 的狂潮，从贵族到贫民，从工人到农民竟相购买，球茎价格持续上升。为了满足 人们狂热的投资盈利欲望，购买期权应运而生。期权持有者有权利在一特定时期 内市价超过了固定价格，期权持有者就可以低买高卖。这样的收益远远高于全价 购买而后高价抛售的利润。尽管郁金香球茎最终象肥皂泡一样破裂，并使荷兰经 济几十年内一蹶不振，但却开创了期权交易的先河。 股票期权是金融期权最早出现的品种，2 0 世纪2 0 年代美国就有了股票期权 交易。不过由于长期以来只在场外交易，规模不大，影响力极小。1 9 7 3 年4 月 2 6 日，全世界第一家期权交易所一美国芝加哥期权交易所成立，使期权合约在 交割数额、交割月份以及交易程序等方面实现了标准化。期权交易开始以公开竞 价的拍卖方式组织，加以技术也日趋完善，最终形成了一个完整的期权市场。此 后，荷兰、英国、加拿大等国也陆续开始建立期权市场。 关于金融衍生证券市场及其相关概念的详细介绍可参见文献【l 】_ 【1 5 】。 1 1 金融衍生证券定价理论研究的重要意义 1 9 7 3 年，b l a e k - s c h o l e s 开创性论文“期权定价与公司财务”的发表标志着 金融衍生证券定价理论的诞生。在其后的二十多年里，金融衍生证券定价理论及 西北工业大学硕士论文 其应用研究得到蓬勃发展，取得丰硕成果。这些理论研究都是以西方成熟的证券 市场为前提，我国证券市场的建立才十来年时间，金融衍生证券市场发展，以及 金融衍生证券定价理论和应用研究远远落后于西方发达国家，如何借鉴西方金融 衍生证券定价理论，加强我国金融衍生证券定价理论及其应用研究是十分重要的 和有意义的。 金融衍生证券市场是9 0 年代国际金融领域的新旋律，每年全世界的交易量 已达5 0 万亿的天文数字，几乎所有的大银行、证券公司和其他金融机构都在积 极参与金融衍生证券市场的业务。然而如何对金融衍生证券进行合理定价一直是 金融理论界和实务界关注的焦点。下面我们从几个方面来看金融衍生证券定价理 论的重要性。 1 9 9 7 年7 月，东南亚金融危机爆发正是以美国货币投机商索罗斯为首先对 泰国泰铢的阻击，从而掀起了整个东南亚的金融危机，给东南亚地区的经济带来 不可估量的打击，使该地区的人民的财富被那些货币投机商侵吞。 1 9 8 8 年j d f i n n e r t y 首次提出“金融工程”，他认为金融工程是设计、研制、 发展和落实金融创新的工具和流程、用来创造性解决金融难题。哈佛大学的 t u f a n o 定义金融工程是应用定量金融理论以解决市场和企业面临的金融课题。金 融工程在国外有不少成功的实例。 而在目前国有企业改造中，采取企业的股份是一条途径。例如法国一家国 有生物化工公司，将公司股票在内部连续降价也销售不出去，这是因为职工怕承 担市场风险，从而导致公司的股票价格下滑。后来，一家声誉很好的投资公司采 用了适当的金融工具一一职工股票期权解决了风险不对称的问题。投资公司许 诺：在四年半的时间内保证持股的职工能够得到不低于2 5 的回报率，条件是 股票增值时，投资公司从中抽出l 3 的收入。结果是职工踊跃认购企业股票，使 得股票价格大增。化工公司走出了困境，投资公司也得到了不少的收益。 而金融工程的基础是定量化的金融理论，也就是现代的“金融数学”。金融 数学的核心是m a r k o w i z 的投资组合分析，b l a c k - s c h o l e s 期权定价理论，以及 d u f f i l e s d c h a f e r 的非完全资产市场的均衡理论等。 m a r k o w i z 在1 9 5 2 年提出了投资组合理论。他把投资组合的价格看成是随 机变量，以均值衡量它的收益，而以它的方差衡量风险。因为风险与收益总是一 4 西北工业大学硕士论文 对不可分离的连体儿，为了得到大的收益必须冒大的风险。所以我们往往只能求 收益一定的条件下，风险最小的问题，它可以为线性约束的二次规划问题。 m a r k o w i z 的理论又称为均值一方差分析。s h a r p e 则提出资产定价模型( c a p m ) ， 他利用投资组合的价格变化与“市场投资组合”的价格变化的关系，用回归的方 法得到对股票交易风险的估计。这就是人们称为“华尔街第一次革命”的理论。 并与h m e l l e r 一起获得1 9 9 0 年诺贝尔经济奖。 经济学的科学化和定量化是2 0 世纪3 0 年代开始的，但定量的经济理论和 金融市场相结合的突破则是在7 0 年代。1 9 7 3 年f i s h e r b l a c k 博士和m y r o ns c h o l e s 教授发表的期权定价理论和芝加哥期权市场的诞生被人们称之为第二次华尔街 革命，标志者个时代的开始。s c h o l e s 当时是美国麻省理工学院的教授，而b l a c k 则在一家咨询公司工作，他们的论文投寄给一些金融学和经济学杂志，因为审稿 人看不懂其中的含义而被多次拒绝，后来经人推荐发表在“政治经济学报”上， 称为现代金融学发展的一座辉煌的里程碑和基础。b l a c k 和s c h o l e s 的工作发表 后，很快被实际应用。不久德克萨斯州就推出装有b l a c k - s c h o l e s 公式的计算器， 现在几乎所有从事交易的经纪人都有此类计算机。与应用发展的同时，理论上开 始了进一步深入研究，哈佛大学的r o b e r tm e r t o n 教授就是杰出的代表。由于期 权定价理论的突出贡献，m e r t o n 和s c h o l e s 荣获1 9 9 7 年度的诺贝尔经济学奖。 在发表的授奖背景材料中指出，对期权与衍生证券定价的企图已有7 0 多年的历 史，从1 9 0 0 年l o u i sb a c h e l i c r 在他的博士论文提出的公式到1 9 6 4 年b o n e s s 所 建议的公式，都含有未知的利率或假定无风险，这是难以被实际所接受的，材料 还指出，关于期权定价公式有重要的科学意义，它不但解决了衍生证券的定价问 题，而且在许多经济问题有重大的意义。 金融数学的兴超是金融界的一场数学革命，它使得数学规划、随机分析、 随机最优控制、非线性分析、多元统计等数学工具在金融理论和实际中起着关键 的作用，标志着金融学已经步入成熟的阶段。在国外，近几年已出现金融业大量 雇佣和资助数学家为他们研究金融数学的高潮，“火箭科学家向华尔街的大规模 转移”，一些大学的数学系开设金融数学的硕士、博士方向，这是一个我们值得 引起重视的动向。 既然金融衍生证券是发达市场的产物，培育、发展金融衍生证券市场也就 西北工业大学硕士论文 是建立社会主义市场经济的必然要求。近年来，曾开展过一些金融衍生证券交易 的试点，但又先后停止。试点的停止的原因是多方面的，最重要可以归于时机不 成熟。这一事实充分显示了金融衍生市场的长期性和复杂性。从中国经济的长远 发展来看，这种停滞是暂时的，当前应抓紧时间，认真吸取试点中的经验教训， 并借鉴国外的一些成功做法，积极创造条件促进金融衍生债券市场的恢复发展。 ( 1 ) 发展我国衍生证券市场的必然性。世界金融的发展历史表明，衍生金 融证券交易具有回避风险的功能，当经济环境发生变化，市场风险到一定程度后， 客观上就要求运用金融衍生手段避嫌。1 9 7 9 年以前，我国实行指令性计划经济， 金融业处于抑制状态，根本谈不上汇率、利率风险，银行、企业没有独立的利益 和权利，自然不可能产生规避风险要求。改革开放打破这一传统格局，经济、金 融的国际化进程和金融深化的进程开始启动，投资主体多元化，金融机构企业乃 至政府机制，行为模式发生了深刻变化。这些因素决定了发展我国金融衍生市场 的必然性。 ( 2 ) 经济、金融国际化要求。我国已经加入了世界贸易组织，逐渐融入国 际经济的主流，实现外汇市场化将产生对相关金融衍生证券的要求。另外，在我 国的一些外资银行，也把发展金融衍生交易等驻外业务作为其占领中国市场的突 破1 2 1 ，发展我国金融衍生证券市场才可能锻炼、培育我国银行和其它金融机构从 事衍生交易的能力，才能保证足够的国内市场份额。 ( 3 ) 新经济主体的要求。政府发展衍生证券市场有双重目的，首先处于直 接的经济目的一对政府的金融资产进行保值和增值，利用衍生证券市场促进政府 证券的顺利发行，其次为了建立完善的市场体系，促进和保证资源的有效配置。 改革开放二十多年来，中国同国际金融界的联系越来越密切，如何防范金 融风险已引起有关方面的高度重视。随着中国加入世界贸易组织以及香港和澳门 的回归，对金融衍生证券理论和方法的研究已是实践的迫切需要。几年前的东南 亚金融危机以及香港股市的大幅波动，无不与衍生证券的交易有关。 有不少文献对我国开展金融衍生证券市场进行了必要性和可行性论证，也 提出了不同设想，如股票指数期货、期权等，再如引进可转换债券的必要性和可 行性，可转换债券是一种包含期权特征的衍生工具。 6 西北工业大学硕士论文 1 2 金融衍生证券定价理论研究的历史和现状 f i s c h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s 1 6 】1 9 7 3 年在他们的署名论文“期权定价与 公司财务”中发表了第个期权定价公式，被认为是现代金融学的一项具有里程 碑意义的突破性的成果。b l a c k s c h o l e s 期权定价模型发表的时间和芝加哥期权 交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。现在，几乎所有从事期权交易 的经纪人都有根据这一模型计算期权价值程序的计算机。对期权定价理论的完善 和推广做出贡献的r o b e r cm e r t o n 1 7 1 1 9 和m y r o ns c h o l e s1 9 9 7 年荣获诺贝 尔经济学奖( f i s c h e r b l a c k1 9 9 5 年早逝而未能分享此殊荣) 。 在b l a c k s c h o l e s 模型框架下，期权定价是基于未定权益的完全复制概念， 具体地说，投资者可以复制一个期权的收益流，利用连续再平衡一个自融资投资 策略( 含股票和无风险债券) 。在b l a c k - s c h o l e s 模型框架下要得到解析解和复制 策略，首先要构造具有连续交易的无套利市场模型，这里一般需要随机分析理 论，具体地说，需要利用i t 0 随机积分。由此可得到期权的无套利价格所满足的 b l a c k s c h o l e s 偏微分方程，再通过求解偏微分方程，得到期权定价的 b l a c k s c h o l e s 公式【5 。 在b l a c k s c h o l e s 模型中，市场行为的基本假设如下：交易连续可进行；不 存在无风险套利机会；在相同的常数利率下可无限制的借贷；所有证券是高度可 分的；更进一步，市场是无摩擦的，即无交易费用或税收，而且无卖空限制；最 后，期权的标的资产一股票不支付红利( 至少在期权到期之前) ；股票价格遵循 如下随机微分方程 a s ( t ) = s ( f ) 芦出+ c ，髓( f ) ) 其中，盯是常数， b ( f ) ，0 t t ) 是布朗运动。 期权定价理论经过近三十年的发展，取得了丰硕的成果。这些工作主要有 以下几个方面： ( 1 ) 对b l a c k - s c h o l e s 模型进一步深入的研究。 关于标的资产价格的模型在近3 0 多年的实证和理论研究【2 5 - 2 7 】， b l a c k s c h o l e s 模型的实证研究，这仍然是一个正在进行研究的课题。 b l a c k s c h o l e s 模型的理论研究与推广【2 8 】 2 9 】，对此模型中的参数，股票价格的 西北工业大学硕士论文 波动率的研究也有较大成果。b l a c k - s c h o l e s 模型的修正，如b l a c k1 9 7 6 年提出期 货期权公式，外汇期权等。 ( 2 ) 美式期权以及新型期权定价理论研究。 描述未定权益的无套利估值与最优停止问题密切相关。在无套利价值理论 框架下，美式期权的基本特征由m e r t o n 1 7 于1 9 7 3 年研究提出。对于美式期权 的无套利估值更深入的研究结果也不少，但难以得至b 精确解。j a i l l e t 5 0 应用变分 不等式更一般理论研究了美式未定权益的最优停止问题。美式未定权益价格的解 析逼近研究。 ( 3 ) 定价的数学工具和方法研究。 b l a c k & s c h o l e s 1 6 推导b l a c k s c h o l e s 公式另一方法是基于均衡的讨论，这 种方法常称为b l a c k s c h o l e s 公式的均衡推导法。丽基于无套利的方法通常称为 无风险投资组合法。 利用倒向随机微分方程和随机最优控制对期权定价是两个有效的数学方 法。倒向随机微分方程理论1 9 9 0 年由p e n g s 4 9 】提出提出并发展起来的一套理 论，为解决不完善市场定价理论奠定了一定的基础。随机最优控制( 或动态规划) 技术为处理无套利定价提供了必要的工具，在多维b s 市场中通过最优化技术对 未定权益的定价已有深入的研究。 由于未定权益的无套利定价的解析解并不总是可以得到的，数值方法就显 得特别重要，它给出无套利价格和套期保值策略的逼近。在b l a c k - - s e h o l e s 框架 下有如下方法：二叉树( 多叉树) 应用到证券价格连续模型的逼近，随机变量的 蒙特卡罗模拟，有限差分方法解相关的偏微分方程。 近几年来，对期权定价的方法不断出现，如神经网络法、微分方程法等。 ( 4 )期权定价理论的应用以及其它衍生证券定价理论研究。 对其它衍生证券，如对债券、可转换债券的定价也有不少结果。期权定价 理论如此发展迅速，引起人们的关注，主要根源在于它的定价理论有着广泛的应 用。 1 3 国内衍生证券定价理论研究理状 我国作为衍生市场的“后来者”，在近几年内，从零起点飞速发展，商品期 货市场已经初具规模，国债期货也在证券交易总量中占了最大的份额。随着我国 西北工业大学硕士论文 经济改革和开放的深入，企业将愈来愈需要面向市场作出决策，还有越来越多的 企业、银行实行跨国经营，风险管理无疑成为管理者和决策者无法忽略的一个重 要问题，对金融衍生市场会产生新的需要，提出新的要求。 国内对衍生证券定价理论的研究起步较晚，但在近几年，我国衍生证券市 场定价理论研究得到迅猛发展。 ( 1 ) 首先国家自然科学基金项目一金融工程、金融数学、金融管理的设立。 国内近几年北京大学、南开大学、复旦大学、山东大学、浙江大学等召开金融数 学、金融工程、金融管理高级研讨班和研讨会，北京大学率先成立金融数学系， 国内大学也陆续开设金融数学等专业，中国科学院以及各大学设立了研究机构， 上海证券交易所与上海财经大学合作创办了我国第一家证券期货学院，为我国证 券市场的发展提供教学、科研和培训等方面的配套服务。 ( 2 ) 近几年，引进、翻译国外许多专著 1 4 1 ，并出版了衍生证券市场等有 关方面书籍 4 l 】。 ( 3 ) 由于国内衍生证券市场正处于开始发展阶段，研究也刚刚起步不久， 主要侧重于理论研究，如b l a e k - s c h o l e s 模型研究 3 8 1 1 3 9 ，离散时间市场模型研 究 4 6 1 。 1 4 本文主要内春 本文讨论重要的金融衍生证券一一可转换债券的定价理论及其应用。 第一章作为绪论，介绍了金融衍生证券市场及相概念。回顾了金融衍生证 券定价理论的发展的历史，以及我国金融衍生证券定价的研究现状。最后介绍本 论文所研究的主要内容以及章节安排。 第二章第一节考虑首先在著名的b l a c k - s c h o l e s 模型下，假设股票价格受某 随机因素的影响，服从对数正态分布，无风险利率、股票的收益率、波动率均为 常数，股票不支付红利时，给出欧式可转换债券的定价公式。第二节假设股票支 付红利时，其它假设如同第一节，给出欧式可转换债券的定价公式 第三章在考虑了企业市场价值波动和利率及其期限结构的波动即两种波动 之间的相关性的基础上，本章根据研究了一种可转换债券无套利定价的离散时间 9 西北工业大学硕士论文 模型，并给出了有离散支付红利和票息情形下和放松无税收条件下企业可转换债券 的定价。 1 0 西北工业大学硕士论文 第二章非随机利率下可转换债券的定价 上市公司发行可转换债券在国外已有相当长的历史，但在国内直到2 0 0 0 年 才开始发行，由于可转换债券具有权益资本和证券资本的双重特性，其定价方法 相当复杂。影响可转换债券价值最直接的因素是：利率和股票价格。i n g e r s o l l 7 】 提供了一个关于可转换债券的定价模型，他是基于股票期权的角度出发为可转换 债券定价的，但模型的缺点是没有考虑到利率的影响：m e r t o n 1 7 、b l a c k 和c o x 也采用了与i n g e r s o l l 相近的观点为可转换债券定价，其基本资产不是公司股票， 而是公司价值。而且不论是i n g e r s o l l 还是m e r t o n 等人都没有考虑到股票支付红 利时的可转换债券定价。因此，本章第一节考虑首先在著名的b l a c k - s c h o l e s 模 型下，假设公司公司资本结构由一种可转换债券和普通股票所组成，且股票不支 付红利时，给出欧式可转换债券的定价公式。第二节假设股票支付红利时，其它 假设如同第一节，给出欧式可转换债券的定价公式。 2 1 股票不支付缸利时的欧式可转换债券的定价 可转换债券是一种能够转换为另一种具有不同特征证券的债券权的债券。 公司所发行的可转换债券的最一般类型是可转换债券和可转换有优先股票两种。 一种典型的可转换债券像正规债券一样有一种或更多种固定的支付方式，另外， 它也可以转换成确定股数的公司普通股。 假设某公司资本结构由一种可转换债券和普通股票所组成。在r 时刻若该 公司不违约时，每份债券持有人将有权获得m 元，否则，债券持有人直接接管 整个公司资产。另外他们也可以选择将每份可转换债券转换成t 股新股票。这里 我们称k 为可转换债券的转股比例。假设目前某公司已有股股票发行，且t 时 刻的每股股票的市场价格用k 来表示。下面给出稀释因子的概念。 定义2 1 1 ( 稀释因子) 某公司资本结构仅由h 份可转换债券和股普通股 票组成，可转换债券的转股比例为k ，设y = n ( n k + n ) ，称y 为稀释因子。 西北【业大学硕士论文 如果债券持有人不选择转换，跟正规债券一样，到期时他们的收益就是 m i n ( v r ，m ) 元。如果他们选择转换，他们就会获得k 股公司股票，每股的价格为 y 。根据以上分析，对于追求终期收益最优的债券持有者，该可转换债券的到 期日收益应为 f 女y ，m 女y 、； c o n ( g ，o ) = m ，m n n m ( k y ) ； ( 2 1 1 ) l 巧n ， 0 ) 元，那么 在支付债券持有人n m 元，公司价值为巧+ k n m m k 具有认股权证公司的认股权证价值 0 七n v + n m m ：n k ( g - g k ) + ，腩+ 旆 没有认股权证的公司的买入期权价值 o v m | k 从表l 和( 2 1 6 ) 中能够发现，认股权证的价值与没有发行认股权证且价值为 州矿的公司的交割价格为孙f m k 的买入期权是相同的。所以，根据期权函数的 齐次性得到： 引理2 1 6 1 4 3 l 时刻f 时认股权证的价值可以表示为 矽( k ，t ，a n ，m k ) = c ( a k ，t ；a n m k ) = x n c ( v , ，t ；m k ) 。 推论2 1 7 时刻f 时认股权证的价值可以表示为 形( k ，r ；a ，m k ) ：a n v , n ( d t l ) 一m e - r ( t - t ) n ( d 2 i ) 】， 其中 d 2 l = d 旷盯打j 证明由引理2 1 6 知，时刻t 时认股权证的价值可以表示为 ( 巧，乃，a ， ，七) = 五c ( k ，t ；m k ) ， 再由引理2 1 4 知，c ( k ，t ；m k ) 的表达式为 c ( k ，t ；m k ) ：v , n ( a 1 ) 一_ me - r ( t - t ) n ( a 2 ) ， 厅 西北工业大学硕士论文 其中 d 2 l = d l l 一盯r - t 因此，时刻，时认股权证的价值可以表示为 矽( k ，r ；2 n ，m k ) = 五【形( 吐1 ) 一m 七e - r ( t - t ) n ( d 2 1 ) 】 定理2 1 8 时刻，时可转换债券的价值可以表示为 c 。门( k ，r ；m 2 ) = n hi v , n ( 一+ n m e 咿“n ( d 2 。) 】胛 + 2 n v t n ( d , 1 ) 一_ mp 一“，一，( 吐 ) 】， l o g ( 杉( n m n ) ) + ( ，+ 昙口2 ) ( r f ) 其中丸= 万i l 一 九= 吐。一口再， l o g ( k v , m ) + ( r + ；盯2 ) ( 丁一f ) 吐- 2 i 万考一 吐；= 西。一盯打j 证明由定理2 1 3 知，时刻f 时可转换债券的价值可以表示为 玎( 圯，r ；m ，五) = n 疗f ( v , ，r ；昙吖) + 矿( ，r ；a n ，m k ) i v ， 疗 而再根据推论2 1 5 和推论2 1 7 得到可转换债券的定价。 2 2 股票支付缸利的欧式可转换债券的定价 上一节分析了公司股票无红利支付的情形，下面我们考虑公司股票有红利 支付时，企业可转换债券的定价将如何确定。首先假设被支付的红利是当时股票 价格和时间的函数，同时没有其它影响红利的额外不确定源。设d ( v ，t ) 表示每 单位时间一股股票所支付的红利。股票价格满足随机微分方程： d v = 矿【( 卢一d ( v ，t ) d t + o d b 】，( 2 2 1 ) 学 西北工业大学硕士论文 其中2 、仃为常数，扭为一维b r o w n 运动。 ( 一) 当无风险利率，为常数，股票红利为d ( v ，f ) ：d ( t ) v 时的可转 换债券的定价公式 引理2 2 1 【4 3 1当无风险利率r 为常数，股票的价格满足随机微分方程为 ( 2 2 1 ) ，且股票支付红利，红利为d ( v ，) = d ( t ) v ，而公司的欧式看涨期权到期时 刻为丁，交割价格为e 时，则时刻t 欧式看涨期权的定价公式为 厂( k ，r ；e ) ：v , e - 庐( s 冲n ( a 1 ) 一点。_ ，( ( 以) ， 其中 l 。g ( v , e ) + ( ，+ i 1 仃2 ) ( 丁一f ) 一d ( j ) 出 2 。a 4 峰t = t 一 一 d 2 = d i 一盯再， e 为看涨期权的交割价格。 证明详见文献 4 3 1 9 3 页。+ 推论2 2 2 当无风险利率r 为常数，股票的价格满足随机微分方程为( 2 2 1 ) 且股票支付红利，红利为d ( v ，r ) = d ( t ) v 时，则时刻t 的认股权证的定价公式为 矿( 岫州，m d = x l v v , 口伽冲懈一m e r ( r _ 0 n ( d 2 。) 】， 其中 ：竺竺m)+(r+吉再02)(t一-t)-ird(s)ds， d 2 。= d i ，一仃再。 证明根据引理2 1 6 ，得到认股权证与看涨期权之间的关系为 ( k ，r ；a n ，m k ) = 元v c ( k ，t ；m k ) ， 西北工业大学硕士论文 再根据引理2 2 1 ，从而得到认股权证的定价公式为 ( e ，r ；a n ，m 七) = 删【e - i t d ( * ) , “n ( 吐) 一m 七e - r ( t - t ) n ( d 2 1 ) ， 其中 d 2 。= d i 。一盯两。 推论2 2 3 当无风险利率r 为常数，股票的价格满足随机微分方程为( 2 2 1 ) ， 且股票支付红利，红利为d ( v ，) = d ( t ) v 时，则时刻，的公司风险贴现债券的定 价公式为 f ( k ，r ；，l m ) = 巧e r 。( j ) 。( 一西。) + n m e - ，( r - o n ( 如) ， 其中 d 2 0 = d l o 一盯丁一t 。 证明由于到期时风险贴现债券f ( ，t ；m n l n ) = m i n ( v r ，m n n ) ，从而公司 到期时剩余资产( 股票) 的价值为 f ( v ，t ) = 巧一m i n ( v r ，m n n ) = m a x ( 一m n n ，0 ) ， 而公司的t 时刻的剩余资产( 股票) 的价值等于r 时刻交割价格为m n n 看涨期 权时刻t 的价值。由引理2 2 1 得到 ( 矿，r ) = k 口- j t d ( s ) 6 ( 吐。) 一n m e r ( n ( d 2 。) ， 其中 1 。g ( v , i ( n m i n ) ) + ( r + l a 2 ) ( t - t ) f d ( s ) 出 d - o 。i 万i 一 d 2 0 = d l o a 4 t t 1 9 西北工业大学硕士论文 因此，公司风险贴现债券的价值的表达式为 ，( y ，f ；m ) = k p f 7 d ( s ) d s 一，( 矿，r ) = p r 。( j ) “( - d l o ) + n m e - r ( r - ) n ( d 2 0 ) 定理2 2 4 当无风险利率r 为常数，股票的价格满足随机微分方程为( 2 2 1 ) 且股票支付红利，红利为d ( v ，r ) = d ( t ) v 时，则时刻f 的公司可转换债券