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大连理工大学颁上学位论文 摘要 近年来，对于超混沌系统的研究引起了科学工作者的广泛兴趣。与低维混沌系统相 比，超混沌系统至少在四维及更高维的非线性系统中具有两个或两个以上正的l y a p u n o v 指数，具有更为复杂的动力学行为，研究超混沌系统具有更重要的理论意义和应用价值。 目前，分数阶混沌系统的研究已引起了越来越多的研究者的兴趣，人们考虑两个主要问 题是：当一个o d e 系统处于混沌状态时，其对应的分数阶系统在何条件下也是混沌的； 如何设计控制器，使分数阶混沌系统达到同步。本文利用理论推导和数值模拟相结合的 方法研究了超混沌系统与分数阶混沌系统同步的相关问题，取得了如下成果： 首先通过在三阶统一混沌系统中增加一个状态，从而得到一个新的超混沌系统。研 究了新的超混沌系统的基本动力学行为，给出了超混沌系统的吸引子、l y a p u n o v 指数、 分岔图、平衡点以及随着参数的变化新系统的运动轨道在混沌和超混沌之间的演变过 程。 其次分别利用非线性双曲函数反馈和追踪控制方法研究了统一超混沌系统的控制 问题。基于r o u t h h u r w i t z 判据讨论了将受控系统的超混沌轨道镇定到不稳定平衡点时 的条件。提出了一种追踪控制方法，可以有效实现超混沌系统对任意的参考信号的追踪 控制，同时给出了理论证明。 再次研究了分数阶c h e n 系统的广义同步问题，基于状态观测器方法和极点配置技 术，设计了分数阶c h e n 混沌系统的广义同步方法，得到驱动一响应系统全局渐进线性及 非线性广义同步的充分条件。 最后采用数值分析的方法，如：相图分析，计算不同参数和阶数的分数阶超混沌 l o r e n z 系统的最大和次大l y a p u n o v 指数等方法，研究了分数阶超混沌l o r e n z 系统的动 力学行为。基于状态观测器方法和极点配置技术，设计了一类分数阶混沌系统的延迟同 步方案，给出获得驱动响应系统延迟同步的充分条件。设计了一类分数阶混沌系统的 延迟同步方案，给出获得驱动响应系统延迟同步的充分条件。 关键词：超混沌系统；同步与控制；分数阶；状态观测器；混沌动力学 大连理工大学颁上学位论文 s y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o lo f ac l a s so ff r a c t i o n a la u t o n o m o u sc h a o t i c s y s t e m s a b s t r a c t s t u d yo fh y p e r c h a o t i cs y s t e m sh a sr e c e i v e dg r e a t e da t t e n t i o ni nt h ep a s ts e v e r a ld e c a d e s h y p e r c h a o t i es y s t e m s 、析mm o r et h a no n ep o s i t i v el y a p u n o ve x p o n e n ta r em o r ec o m p l e xa n d p l a yam o r es i g n i f i c a n tr o l ei nn o n l i n e a rs c i e n c e n o w ，f r a c t i o n a l - o r d e rs y s t e m sh a v ea t t r a c t e d m o r ea n dm o r ep e o p l e si n t e r e s t ，t h e r ea r et w op r o b l e m sc o n s i d e r e d ，t h ef i r s tp r o b l e mi sw h e n a no d e s y s t e mi sc h a o t i c ，u n d e rw h a tc o n d i t i o nt h ec o r r e s p o n d i n gf r a c t i o n a l o r d e rs y s t e mi s a l s oc h a o t i c m o r ee x a c t l y ，f o rw h a to r d e r s ，t h ef r a c t i o n a l - o r d e rs y s t e mi sc h a o t i c t h es e c o n d i st h a tg i v e nac h a o t i cf r a c t i o n a l - o r d e rd i f f e r e n t i a ls y s t e m ，h o wt od e s i g nas c h e m es u c ht h a t s y n c h r o n i z a t i o no fm a n ys u c hs y s t e m si sa c h i e v e d t 1 1 er e l a t i v ep r o b l e m so fh y p e r c h a o t i c s y s t e ma n df r a c t i o n a lo r d e rc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o la r es t u d i e di n t h i st h e s i su s i n gt h e m e t h o d so ft h e o r e t i c a ld e r i v a t i o na n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h em a i na c h i e v e m e n t s c o n t a i n e di nt h er e s e a r c ha r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y ，an e wh y p e r c h a o t i cs y s t e mi sf o r m u l a t e db yi n t r o d u c i n ga na d d i t i o n a ls t a t ei n t o t h et h i r d - o r d e ru n i f i e ds y s t e m s o m eo fi t sb a s i cd y n a m i c a lp r o p e r t i e s ，s u c ha sl y a p u n o v e x p o n e n t ，b i f u r c a t i o nd i a g r a ma n dp o i n c 缸es e c t i o na r ei n v e s t i g a t e d i tw a sf o u n dt h a tt h e s y s t e mi sh y p e r c h a o t i ci n s e v e r a ld i f f e r e n tr e g i o n so ft h ep a r a m e t e r s t h ea n a l y s i so f e q u i l i b r i u mp o i n t sa n ds t a b i l i t ya r ea l s og i v e n s e c o n d l y ，t w od i f f e r e n tm e t h o d s ，i e n o n l i n e a rh y p e r b o l i cf u n c t i o nf e e d b a c kc o n t r o la n d t r a c k i n gc o n t r o lm e t h o d sa r eu s e dt oc o n t r o lh y p e r c h a o si nt h en e wh y p e r c h a o t i cs y s t e m b a s e do nt h er o u t h - h u r w i t zc r i t e r i a ，t h ec o n d i t i o n ss u p p r e s s i n gh y p e r c h a o st ou n s t a b l e e q u i l i b r i u mp o i n ta r ed i s c u s s e d at r a c k i n gc o n t r o lm e t h o di sp r o p o s e d i ti sa l s op r o v e dt h a t t h es t r a t e g yc a nm a k et h es y s t e ma p p r o a c ht oa n yd e s i r e ds m o o t ho r b i ta ta ne x p o n e n tr a t e t h i r d l y a n a l y s e st h eg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o no ff r a c t i o n a lc h e ns y s t e m t h ea u t h o r p r e s e n t sas y s t e m a t i cd e s i g np r o c e d u r et og e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z ef r a c t i o n a lc h e ns y s t e m s b a s e do nt h es t a t eo b s e r v e rd e s i g na n dt h ep o l ep l a c e m e n tt e c h n i q u e l a s t l y ，n u m e r i c a l l yi n v e s t i g a t eh y p e r c h a o t i cb e h a v i o rg e n e r a t e df r o ml o r e n zs y s t e m w i t hf r a c t i o n a lo r d e r t h el y a p u n o vs p e c t r u mo ft h es y s t e mw a sa l s os t u d i e da st h ep a r a m e t e r c h a n g e d b a s e d o nt h es t a b i l i t yt h e o r yo ff r a c t i o n a lo r d e rs y s t e m s ，an e wa p p r o a c hf o r c o n s t r u c t i n gl a ga n dp r o je c t i v es y n c h r o n i z a t i o no ff r a c t i o n a lo r d e rc h a o t i cs y s t e mi sp r o p o s e d i i i 类分数阶自治混沌系统的同步控制 k e yw o r d s ：h y p e r c h a o t i cs y s t e m ：s y n c h r o n i z a t i o na n dc o n t r o l ；f r a c t i o n a lo r d e r ；s t a t e o b s e r v e r ；c h a o t i cd y n a m i c a lb e h a v i o r i v 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 二壅笠馘固呈鱼型型! 垒燃! 亟堑叠歪! f 作者签名： 趑! 至l 速日期：丝丝年竺月j 五日 人连理 人学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题 作者签名： 导师签名： 人迮理l 人学硕士学位论文 己l害 ji f j 二十世纪下半叶，非线性科学获得了前所未有的迅速发展。正如混沌科学的倡导者 之一、美国海军部官员s h l e s i n g e r 所说的那样，“二十世纪科学家将永远铭记的只有三件 事，那就是相对论、量子力学与混沌”。可以说“相对论消除了关于绝对空间与时间的 幻想：量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关 于决定论式可预测的幻想 。研究表明，混沌是一种普遍存在的物质形式。混沌现象的 发现，使人们认识到，客观物质不只是定常、周期或准周期运动，还存在其它更普遍的 运动形式。混沌学的创立，在确定论和概率论这两大科学体系之间架起了桥梁【l 吲。美 国纽约时报科技部主任格莱克在其全球畅销书混沌：开创新科学中对混沌的意 义和可能影响作了精彩的评说，“其覆盖面几乎广及自然科学与社会科学的每个领域。 它不仅改变了天文学家看待太阳系的方式，而且开始改变企业保险决策方式，改变分析 紧张局势导致武装冲突的方式等等。混沌正在促使整个现代知识体系成为统一的新科 学”。目前，混沌甚至被视为一种崭新的方法论，将成为人们深入认识客观世界和改造 客观世界的新武器1 4 刁j 。 控制和利用混沌来为人类服务是自然科学基础研究的热点问题之一。1 9 8 9 年h u b l e r 发表了控制混沌的第一篇文章【8 】，之后，o t t 等提出了控制混沌的o g y 方法【9 】，1 9 9 0 年， p e c o r a 和c a r r o l l 提出了混沌自同步方案【1 0 】。近十年来，随着混沌控制与混沌同步的研究 蓬勃发展，这一方向迅速成了混沌研究领域的重要热剧1 1 j 4 1 。分数微分学起源于1 7 世纪， 但是在最近l o 年，分数微分学才开始应用于物理学和工程学【l5 l 。粘滞系统、电极一电 解液和电磁波等都呈现分数阶的动力学行为f 1 7 珈】。研究者认为分数阶在电路系统中开辟 了新的领域，它被认为是整数阶的一般化，也就是说电路系统应该在分数阶结构的框架 下被认识和研究，而整数阶的电路是分数阶的特例，因此分数阶混沌系统的研究具有广 阔的应用前景【2 。为此，本文重点研究了超混沌动力学系统与控制，以及分数阶混沌系 统同步问题。 本文共分为六章：第一章简要介绍了混沌理论和混沌同步控制的基础知识。第二章 介绍了本文所用到的控制理论的基本原理和同步方法。第三章研究了统一超混沌系统的 动力学行为及其控制问题。第四章介绍了分数阶c h e r t 系统的广义同步方法。第五章讨 研究了分数阶超混沌l o r e n z 系统的动力学分析及延迟同步问题。第六章研究了基于状 态观测器的一类分数阶混沌系统的投影同步问题。最后给出了全文的结论。 一类分数阶自治混沌系统的同步控制 1 混沌理论概述 1 1混沌的起源与发展 从严格的数学和物理角度来讲，如果系统的动力模型已知，且初值确定，则系统的 运动性质就能完全确定。对于线性系统，这一结论是正确的，但对于非线性系统，则可 能出现一种无法精确重复、貌似随机的运动，人们称之为混沌。所谓混沌是指在确定性 系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象，是普遍存在的复杂运动形式和自然现 象，它无序之中又有序，如缭绕的青烟、飘动的旗帜、奔腾的溪流、漂浮的云彩、闪电 的路径、血管的微观网络、飞机的起飞降落、大气和海洋的异常变化等等。在这些看似 杂乱无章的表面现象下却有着它惊人的运动规律。可以说，混沌表示某种紊乱的、不清 楚的或不规则的现象，表现了系统内部的复杂性、随机性和无序性。而混沌运动是指在 确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定性的运动，是在确定性系统中出现出现的 无规则性和随机性。 混沌系统的这种介于确定性和随机性之间的特殊性质造成人们对混沌现象的认识 经历了一个漫长的过程。混沌理论的基本思想起源于2 0 世纪初，发生于2 0 世纪6 0 年 代后，发展壮大于2 0 世纪8 0 年代。现如今，混沌理论的研究已成为各学科竟相注意的 一个学术热点1 1 - 1 4 , 2 2 】。早在1 8 9 2 年，法国学者p o i n c a r 6 在研究三体问题时就发现，系统 在某类鞍型不动点附近具有不寻常的运动，无法求出精确解。他在1 9 0 3 出版的科学 与方法一书中提出了p o i n c a r 6 猜想。他指出三体问题中，在一定范围内其解是随机的。 该猜想将动力学系统与拓扑学两大领域结合，指出混沌存在的可能性。实际上这是一种 保守系统中的混沌，从而p o i n c a r 6 成为世界上最先了解混沌存在可能性的第一位学者。 1 9 5 4 年，前苏联学者k o l m o g o r o v 提出“近似可积的保守系统具有非常复杂的相轨 线结构的猜想，该猜想于1 9 6 2 年被前苏联学者a m o d 和m o s c r 证明，这就是著名的 k a m 定理，它揭示了保守系统中的确可以存在混沌行为。但是这些数学结果非常抽象， 未能引起科学界的广泛注意。 1 9 6 3 年美国科学家l o r e n z 在美国大气科学杂志上发表了文章“确定性的非周 期流 【2 ”。他从对流问题中提炼出一组三维常微分方程组用来描述天气的演变情况，发 现了天气演变对初值的敏感依赖性。为此l o r e n z 提出了一个形象的比喻：“巴西的一 只蝴蝶煽动几下翅膀，可能会改变3 个月后美国得克萨斯州的气候 。这就是著名的“蝴 蝶效应 。可以说，是天气预报和气象学的研究扣开了混沌学的大门。l o r e n z 也因此成 为“混沌学之父”。 1 9 6 4 年，h 6 n o n 等人发现了h 6 n o n 吸引子。r u e l l c 和t a k e n s 提出“奇怪吸引子” 大连理i ：人学硕十学位论文 ( s t r a n g ea t t r a c t o r ) 的名词，同时将奇怪吸引子概念引入耗散系统，并于1 9 7 1 年提出了一 种新的湍流发生机制。这一工作由g o l l u b 等人的实验结果所支持，并对后来关于s m a l e 马蹄吸引子的研究起到一定的推动作用。s m a l e 马蹄吸引子是指在l o r e n z 以后，美国数 学家s m a l e 发明了被称做“马蹄”的一种结构，以后的岁月里成为混沌经久不衰的形象。 接着s m a l e 又提出了马蹄变换，为2 0 世纪7 0 年代混沌理论的研究做好了重要的数学理 论准备。 2 0 世纪7 0 年代是混沌科学发展史上成果倍出的年代。在这一时期，混沌学作为一 门新的学科正式诞生。1 9 7 1 年，r u e l l e 和t a k e n s 首次利用混沌吸引子的结论解释了湍 流产生的机制。1 9 7 5 年，李天岩和y o r k e 提出“周期3 蕴含混沌 的思想，被认为是混 沌的第一次正式表述，“c h a o s 一词也自此正式使用1 2 4 j 。1 9 7 6 年，美国生态学家m a y 在自然杂志上发表的论文中，首次揭示了描述动物种群繁衍的l o g i s t i c 映射中通过 倍周期分岔达到混沌的道路。1 9 7 7 年，第一次关于混沌研究的国际会议的召开标志着混 沌科学的诞生。f e i g e n b a u m 于1 9 7 8 年发现了倍周期分叉通向混沌的两个普适常数，并 引入了重整化群思想，这是一个重大的发现，具有里程碑的意义l 矧。 1 9 8 3 年，蔡少棠( lo c h u a ) 教授提出了著名的c h u a 电路【6 ，2 6 1 ，它是迄今为止在 非线性电路中产生复杂动力学行为最有效而简单的混沌振荡电路之一。1 9 9 9 年陈关荣教 授在混沌系统反控制研究中发现了c h e n 系统1 2 7 ；2 0 0 2 年吕金虎、陈关荣等又发现了l n 系统和统一混沌系统f 捌。统一混沌系统本质上是l o r e n z 系统和c h e n 系统的凸组合，代 表了由中间无穷多个混沌系统组成的整个族。在混沌理论的发展中，各种混沌现象不断 被发现，各种分析方法和判据也相继被提出。混沌理论在许多领域获得了广泛的应用。 近年来，将分数微分算子引入到动力学系统中，并对分数阶动力学系统的混沌、混 沌控制与同步进行研究己成为热点 2 9 - 3 2 。 1 2 混沌的定义与基本性质 混沌现象虽已引起学术界的极大兴趣，然而迄今为止，混沌一词还没有一个公认的 普遍适用的数学定义。有人认为，在不严格的意义上，如果一个系统同时具有对初值的 敏感性以及出现非周期运动，则可认为系统是混沌。但更多的学者认为，给出混沌的精 确定义是相当困难的事情。以下给出的是几种影响较广的定义。 混沌一词最先由李天岩和y o r k e 提出。1 9 7 5 年他们在美国数学月刊上发表了题 为“周期3 蕴含混沌”的文章，并给出了混沌的一种数学定义，它是从区问映射的角度 出发进行定义的。现称为l i y o r k e 定义或l i y o r k e 定理1 2 引。 考虑一个把区间【a , b 1 映为自身的、连续的、单参数映射 一类分数阶自治混沌系统的同步控制 。一 ， f ：【口，6 xr _ 【口，b 】，( x ，a ) i - - ) f ( x ，a ) ，x e r 。 亦可写成点映射形式： 毛+ 。一f ( 矗，a ) ，吒【口，b 】。 定义1 1 连续映射或点映射f ：【口，b x r - 【a , b 】， ，a ) hf ，a ) 称为是混沌的， 如果： ( 1 ) 存在一切周期的周期点； ( 2 ) 存在不可数子集sc 【a , b 】，s 不含周期点，使得 ； i 罂i n ff ”0 ，a ) 一f “( y ，a ) f 。0 ，工，ye s ，z y ， ! i m 。s u pf “o ，a ) 一f ”( y ，允) i 0 ，z ，ye s ，x y ， ! i m 。s u p i f “o ，a ) 一f “( p ，a ) l 0 ，x e s ，p 为周期点。 此定义中前两个极限说明子集的点x e s 相当集中而又相当分散；第三个极限说明 子集不会趋近于任意点。与此同时，l i - y o r k e 给出了l o g i s t i c 映射 吒“la x o - x ) ，毛【o ，1 】，a 【o ，4 】， 在a 一3 5 7 时出现混沌的例子。 根据l i y o r k e 定义，一个混沌系统应具有三种性质：存在所有阶的周期轨道； 存在一个不可数集合，此集只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接 近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近 周期轨道；混沌轨道具有高度的不稳定性。 除了l i y o r k e 的混沌定义，美国数学家r o b e r tld e v a n e y 从拓朴的角度给出了更 全面的定义。 定义1 2 度量空间y 的映射，：y y 是混沌的，若其满足： ( 1 ) 对初始敏感依赖。存在6 0 和任意的x e v ，在x 的，领域内存在y 和自然数理， 使得a ( f “o ) ，厂“( y ) ) 6 。 ( 2 ) 拓扑传递性。对y 上的任意对开集x 、l ，存在k 0 ，厂( x ) f i y 巾( 如一映 射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递的) 。 ( 3 ) 厂的周期点集在y 中稠密。 人连理t 大学硕十学位论文 d e v a n e y 的混沌定义从另外个角度刻画了混沌运动的几个重要特征。对初值的敏 感依赖性意味着无论x 和y 距离有多近，在厂的多次作用下两者之间的距离d 都会扩大 到一定地步( 万) ，而这样的y 在x 任意一个小的邻域内都存在着。对这样的厂，如果用 计算机计算其轨道，则任意微小的初始误差就将导致多次迭代后的计算结果与实际结果 产生足够大的差异，从而导致计算失败。因此对初值的敏感依赖性也称为不可预测性。 拓扑传递性意味着：任一点的邻域在厂的多次作用下将遍及度量空间v ，这说明厂不可 能分解为两个在厂下互不影响的子系统。周期点集在v 中稠密意味着混沌系统存在着规 律性的成分，绝非混乱一片，形似混乱而实则有序。 在二维系统中，最具有开创性的研究是s m a l e 马蹄理论。马蹄映射f 定义于平面区 域d 上，f ( d ) c y d ，其中d 由一单位正方形s 和两边各一个半圆构成。映射规则不断 把s 纵向压缩( 压缩比小于1 2 ) ，同时横向拉伸( 拉伸比大于2 ) ，再弯曲成马蹄形后放回d 中。h 6 n o n 映射就是马蹄映射的一个实例。已经证明，马蹄映射的不变集是两个c a n t o r 集之交，映射在这个不变集上呈混沌态。因此，如果在系统吸引子中发现了马蹄，就意 味着系统具有混沌。 混沌运动是一种不稳定有限定常运动，即为全局压缩和局部不稳定的运动，或除了 平衡、周期和准周期以外的有限定常运动。混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂 运动形态，出现在某些耗散系统、不可积h a m i l t o n 保守系统和非线性离散映射系统中。 它有时被描述为具有无穷大的周期运动或貌似随机的运动等。与其它复杂现象相区别， 混沌运动有着自己独有的特征，主要有： ( 1 ) 有界性：混沌是有界的，它的运动轨线始终局限于一个确定的区域，这个区域 称为混沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会走出混沌吸引域。所 以从整体上来说混沌系统是稳定的。 ( 2 ) 遍历性：混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混沌轨道 经过混沌区内每一个状态点。 ( 3 ) 内随机性：一定条件下，如果系统的某个状态可能出现，也可能不出现，该系 统被认为具有随机性。一般来说当系统受到外界干扰时才产生这种随机性，一个完全确 定的系统( 能用确定的微分方程表示) ，在不受外界干扰的情况下，其运动状态也应当是 确定，即是可以预测的。不受外界干扰的混沌系统虽然能用确定微分方程表示，但其运 动状态却具有某些“随机性 ，那么产生这些随机性的根源只能在系统自身，即混沌系 统内部自发的产生这种随机性。混沌的内随机性实际就是它的不可预测性，对初值的敏 感性造就了它的这个性质，同时也说明混沌是局部不稳定的。 一类分数阶自治混沌系统的同步控制 ( 4 ) 分维性：混沌系统在相空间中的运动轨线，在某个有限区域内经过无限次折叠， 不同于一般确定性运动，不能用一般的几何术语来表示，而分数维正好可以表示这种无 限次的折叠。分维性表示混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为 无限层次的自相似结构。 ( 5 ) 标度性：它是指混沌运动是无序中的有序态。其有序可以理解为：只要数值或 实验设备精度足够高，总可以在小尺度的混沌区内看到其中有序的运动花样。 ( 6 ) 普适性：所谓普适性指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些共同特征， 它不依具体的系统方程或参数而变。具体体现为几个混沌普适常数，如著名的 f e i g e n b a u m 常数等。普适性是混沌内在规律性的一种体现。 ( 7 ) 统计特征：主要有l y a p u n o v 指数和连续功率谱等。l y a p u n o v 指数是对非线性 映射产生的运动轨道相互间趋近或分离的整体效果进行的定量刻画。对于非线性映射而 言，l y a p u n o v 指数表示，z 维相空间中运动轨道沿各基向量的平均指数发散率，当 l y a p u n o v 指数小于零时，轨道间的距离按指数消失，系统运动状态对应于周期运动或 不动点；当l y a p u n o v 指数大于零时，则在初始状态相邻的轨道将按指数分离，系统运 动对应于混沌状；当l y a p u n o v 指数等于零时，各轨道间距离不变，迭代产生的点对应 分岔点( 即周期加倍的位置) 。 1 3 通向混沌的道路 人们不仅可以根据混沌系统的定性和定量特性来考察系统是否具有混沌行为，而且 也可以从实验和理论两个方面来研究非线性系统中控制参数改变时吸引子的变化途径。 只有当系统参数处于某一范围时才表现为混沌运动，在其他情况下仍然表现为通常的确 定性运动。系统从确定性运动过渡到混沌运动的方式，即通向混沌的道路有4 种。它们 是倍周期分叉道路、阵发道路、危机道路和拟周期道路。在一维离散系统中能够出现所 有的通向混沌的道路。它们中最著名的是由h y r b e r g 在平方映射中首次观察到的周期倍 分叉进入混沌的道路。 以倍周期分叉进入混沌具有普适性。最早是f e i g e n b a u m 采用重整化群技术研究分 叉现象，最终解释了分叉中的普适的规律性。重整化群技术最早是为研究基本粒子理论， 后来为研究物质中的相变而发展起来的。 另一种从单个周期演化到混沌的道路具有阵发特征。在这一条道路中，在某一些数 值时，稳定的规则特性变为规则运动中时不时问隙猝发出混沌特征。由于在转变点吸引 集的相空间范围突然改变，阵发进入混沌道路可认为是间隙的。在这种情况下，阵发道 人连理 人学硕十学位论文 路与周期倍分又是完全不同的。另一方面，它们都由局部分叉产生，在这种意义上它们 又是相似的。 混沌也能通过称为危机( c r i s i s ) 的方式产生。与阵发道路一样，危机道路也是间隙的。 但它是由全局演化引起的，如跨越稳定与不稳定流型时。在临界之前的参数值，吸引运 动是非混沌的，但通常存在瞬变过程，在达到它们的渐近规则运动之前，轨迹看起来是 混沌的。随着参数达到临界值，混沌的瞬变过程持续时间趋于无穷。经过临界后，产生 持续的混沌运动。 在拟周期产生的混沌情况下，人们可增加一个非线性参数，同时调整第二参数，以 保证某一类型的拟周期性( 即保持固定的旋转数) 。这样随参数的增加，达到临界值时布 满拟周期轨道的环面是些有限的碎片。另外，重整化群技术已用来研究环面的破裂。 显然，除了混沌的产生之外，用重整化群技术研究向混沌的转捩是相当成功的。这 一技术能否扩展用来对完全混沌的多重分形吸引子结构进行更全面的研究仍然是悬而 未决的问题。 在物理实验中已观察到上述的通向混沌的道路，例如在流体热对流、在非线性电路 和激光中已观察到倍周期分叉道路。在r a y l e i g h b 6 n a r d 对流和搅动的化学反应中看到 了阵发道路。在非线性电路、j o s e p h s o n 结和激光中还观察到了危机道路。在对流和固 态实验中观察到拟周期转捩到混沌道路。计算模拟表明l o r e n z 系统中，既存在阵发道 路也存在危机道路。我们认为在许多系统中已经证明存在周期倍分叉、阵发、危机和拟 周期进入混沌的道路。毫不怀疑还存在其他未知的通向混沌道路，特别是在高维系统中。 1 4 混沌系统的控制与同步 在自然界中，混沌几乎是无所不在、无处不在，但在许多场合，混沌可能是一种不 期望的现象，它可能导致振荡或不规则运行，使系统彻底崩溃。如在许多复杂工业过程 中，其动态特性经常显示出一些不可预测的扰动，以前认为这些扰动是由随机噪声引起 的，通常由统计的方法将其滤掉，但随着混沌理论的产生和发展，人们认识到这事一种 只能控制而不能忽略的扰动现象【3 3 1 ，因而有必要研究如何控制混沌。 从实现控制的目标划分，可以归纳为两大类。 第一类是基于在混沌奇怪吸引子闭包内存在无穷多不稳定的周期轨道，控制的目标 是根据人们的意愿在这些轨道中选择一条满足要求的周期轨道并进行有效的稳定控制， 该控制的特点是并不产生新的周期轨道而只是将轨道固定。控制方法源于一个混沌吸引 子可以嵌入到它的不稳定周期轨道的一个稠密子集里，一旦系统运动到所需状态附近就 对某个易于测得和可调整的参数进行微扰反馈，通过若干次反复调整就可实现对特定所 一类分数阶臼治混沌系统的同步控制 需轨道的稳定控制。具体做法是：先由低周期轨道开始，选出混沌吸引子上所期望的一 个不稳定的周期轨道，之后对系统施加微扰，使原不稳定轨道作有规律的周期运动。事 实证明它基本不受噪声的影响。扰动的参数可以分别为系统参数、系统变量、外部参数 ( 强度、相位) 等等，而且所有的周期轨道都是这个参数的函数，与其他参数无关。这类 控制的优点是可以把系统从混沌状态控制在任意制定的周期轨道上，而且不改变系统的 结构，具有良好的轨道跟踪能力和稳定性。缺点是要有一个目标函数或给定轨道，实现 起来比较困难。 第二类控制则没有具体的控制目标，也不关心被控系统的终态是否为周期运动，只 是通过合适的策略、方法及途径，有效抑制混沌行为，使l y a p u n o v 指数下降进而消除 混沌。它是通过系统的控制获得人们所需的新的动力学行为，包括各种周期态及其他图 样等。实现这类控制目标的手段有无反馈控制法，如d u f f i n g 方程、钟摆动力学方程和 l o r e n z 方程等，其控制思想是给系统直接加上一个微弱的外部扰动来消除混沌，系统受 控后的动力学行为可能与原系统的大不相同，即产生了新的动力学行为。扰动信号可分 别为驱动信号、噪声信号、偏置常量和系统参数的弱调制等等。这类控制的优点是设计 简单，不需特定轨道，易于实现。缺点是无法确保控制过程的稳定性。 从实现控制的原理上可分为反馈控制和无反馈控制。 反馈控制分为：参数微扰o g y 法和o g y 的各种改进法；偶然正比技术( o p f ) 法； 跟踪法；连续变量反馈法；正比变量脉冲反馈法；线性和非线性反馈法；直接反馈法； 变量反馈法等等。 无反馈控制分为：自适应控制法；参数共振法：神经网络法；人工职能法；外加强 迫法；混沌信号同步法等等。 混沌同步是指对于从不同初始点出发的两个混沌系统，随着时间的推移，它们的轨 线逐渐趋于一致，并且这种同步是结构稳定的。混沌同步及其在保密通信等领域的应用 研究己成为混沌和控制领域的研究热点【1 12 1 。下面对一些典型的混沌同步方法和新进展 做一下简要介绍。 ( 1 ) 驱动一响应同步法。驱动一响应混沌同步方法是p e c o r a 和c a r r o l l 在1 9 9 0 年首先 提出的一种混沌同步方法1 1 0 】，简称p c 同步法。p c 同步方法的基本思想是用一个混沌 系统的输出作为信号去驱动另一个混沌系统来实现这两个混沌系统的同步。用其中一个 混沌系统去驱动另一个混沌系统的含义是指两个系统是单向耦合的，即第一个系统决定 第二个系统的行为，而第一个系统的行为不受第二个系统的影响。但是，由于物理机制 上的原因使得p c 同步法在应用范围上受到一定限制，对于更多的非线性系统，这种方 法是行不通的。 人连理u 【：人学硕士学位论文 ( 2 ) 主动一被动同步法p4 1 。由于p c 同步法在实际应用中受到特定分解的限制， k o c a r e v 及p a r l i t z 提出了改进方法，即主动一被动同步分解法【35 1 。该方法采取十分灵活 的一般分解法，更适合于混沌同步、超混沌同步和时空混沌同步，因而特别有利于通信 等应用目的。该方法的主要思想是，通过把耦合变量或驱动变量引入复制系统，导出系 统变量差的微分方程，得到总体系统的误差动力学，再利用线性化稳定性分析方法或 l y a p u n o v 函数方法证明复制混沌系统与原系统达到稳定同步。这种同步类型与p c 方法 的主要区别是，信息正好被加到混沌信号这一载体上，而不是注入到发射机的动力学系 统中。这时，由混沌信号与信息信号之和来驱动接收机，而发射机恰好由纯混沌信号所 驱动。由于作为发射机的动力学系统并非自治而一般有相当复杂的信息信号所驱动，因 此需要采取恰当的技术减少信息信号的误差、减少噪声的影响及从信息信号中提取所需 信息。这些问题有待深入研究和解决。 ( 3 ) 互耦合混沌同步法。互耦合同步问题起源于非线性振荡器理论，这个问题研究 的较早，但直至t i p c 同步法出现以后才引起重视。因为p c 同步法中的驱动系统和响应系 统在实质上也是一种耦合，只不过是单向耦合。由于相互耦合是非线性系统的广泛作用 形式，这种类型的混沌同步涉及的领域十分广泛。h a k e n 的协同学和s h a n o n 的信息论中 的共同信息的概念可对这种同步机制给予物理机制上的解释。在互耦合的情形下，总体 系统不区分驱动和响应关系，所以这种同步方法适合于研究无法实现子系统分解的实际 系统。决定混沌同步的关键是耦合的强度。k a p i t a n i a k 和c h u a 对线性耦合情形作了分析， 在理论上证明了系统之间只有足够强的耦合，才能实现混沌同步【3 6 】。 近年来，国内外学者又陆续地提出了一些其它的同步方法，如自适应同步方法、观 测器同步方法、脉冲同步方法等f i l 他，3 7 1 。两个实际的混沌系统其参数不可能完全一致， 其结构也不一定相同，因此对不完全相同或不同混沌系统的同步研究将具有实际的重要 意义。在这方面，已有一些初步的研究成果问世，对实际混沌、超混沌系统的同步研究 还在不断的探索之中。 1 5 分数阶混沌动力学系统的研究现状 分数阶微积分( f r a c t i o n a lc a l c u l u s ) 己有3 0 0 年的历史，而分数阶微分理论也可追溯 到1 9 世纪。目前有关分数阶微积分的专著1 3 8 4 0 1 和文献【4 1 - 4 4 1 对分数阶微积分的定义以及 分数阶微分方程作了很好的论述。虽然分数阶有着悠久的历史，但将其应用到物理学和 工程学的研究热潮还只是近几十年兴起的。许多物理系统能展现出分数阶动力学行为， 例如，粘滞系统、介质极化、电极一电解液极化、管道边界层效应、有色噪声和电磁波 等i l7 2 0 1 。这些系统的分数阶行为大多与特殊的材料和化学特性有关。令人可喜的是，更 一类分数阶自治混沌系统的同步控制 多的研究开始广泛涉及分数阶电路【4 5 彤j 、分数阶数字信号处理【5 4 挪】、分数阶动力学控制 系统【5 9 6 6 1 以及分数阶混沌和超混沌【6 7 7 5 1 、分数阶混沌控制【7 6 7 7 】与混沌同步例等多个领 域。分数阶分析在以上领域的应用中有着积极的作用，如在数字信号处理领域，三角波 分数微分的波形随着阶数的提高而表现出明显的平滑性，且所设计的分数阶微分器产生 的布朗运动( b r o w n i a nm o t i o n ) 优于常规方法的设计。在分数阶动力学系统的控制研究中， 无沦是c r o n e 控制、p i d 控制、模型参考自适应控制还是对飞行器姿态的控制，分数 阶都表现出了提高系统控制性能的作用。在分数阶动力学系统的混沌和超混沌的研究 中，分数阶蔡氏电路在2 7 阶可产生混沌吸引子；非自治d u f f i n g 系统的阶数低于2 阶 能产生混沌行为；分数阶文氏( w i n e ) 电桥振荡器在适当的放大增益值下，任意分数阶都 能出现极限环：分数阶“j e r k ”模型在2 1 阶也可产生混沌吸引子；此外，混沌动力学 的研究还涉及分数阶l o m e z 系统、分数阶c h e n 系统和分数阶细胞神经网络以及分数阶 r 6 s s l e r 方程的混沌等。以上研究都表明混沌的确存在于阶数低于3 阶的分数阶自治动力 学系统【6 8 】中。对分数阶系统的超混沌研究还较少，只有c g “【7 5 】等对r 6 s s l e r 方程的超 混沌进行了研究，研究表明，分数阶r 6 s s l e r 方程出现超混沌的阶数低于4 阶，且系统 的最低阶是3 8 阶。分数阶动力学系统的混沌控制与混沌同步是近年来研究的重点，虽 然整数阶动力系统的控制与同步有了一定的研究，介是能不能完全应用到分数阶系统中 去现在还是一个需要研究的课题。就目前而言，人们将一些方法包括p e c o r a - c a r r o l l 方 法、a p d 方法、单向耦合和双向耦合方法成功的应用到了分数阶系统中去。但无论是从 文献的数量还是分数阶混沌拧制与同步的策略和方法，目前都还较少，尚处于研究初期， 在这一领域将会有更大的发展空间。 大连理工大学硕士学位论文 2 本文采用的原理及方法 2 1混沌控制理论 2 1 1 反馈控制原理 反馈控制就是从系统状态或输出中提取某些信息作为控制系统的依据，使原系统成 为闭环系统，通过对反馈信息的选择和变换使要控制的目标位置在闭环系统中成为稳定 点，最终达到提高系统动态性能和减小静态误差的目的，很好地实现对原系统的控制。 图2 1 所示为一种传统反馈控制系统，它将对象扰动和检测到的对象输出反馈到输入端与 期望响应比较得到误差，用这个误差去激励调节器( 或控制器) ，经放大或滤波后去驱 动对象，一方面去抵消扰动，另一方面去调节对象的输出使得误差减小，这时的调节器 的功能既要放大反馈扰动信号使它与输出扰动相等才能消除扰动，又要将误差信号中输 出与期望响应的偏差放大去调节对象输出才能使对象输出跟随上期望响应。 反馈控制具有以下优点： ( 1 ) 可以用于对原系统方程中任意解的目标控制，如不动点、不稳定周期轨道等目 标的控制。 ( 2 ) 控制器结构简单，易于构造。 ( 3 ) 不受小参数变化的影响，具有抗干扰特性。 但反馈控制也存在缺点：对于存在很多系统变量相互耦合的实际系统，反馈控制在 设计上具有一定困