（计算机软件与理论专业论文）基于规则摄动新度量方法的模糊推理鲁棒性研究.pdf

摘要 不确定性问题的智能化建模与推理是人工智能的重大前沿课题。模糊性是不 确定性问题的主要形式之一。在构建模糊推理系统时，先验知识( 已知规则) 具有不 确定性，其小幅摄动可能对推理系统的各种性能产生负作用。若模糊推理系统拥 有较好的鲁棒性，则可以对这种可能性加以控制，所以评估和控制规则的摄动对 系统性能的影响已经成为模糊推理系统的重要研究内容。本文主要做了以下工作： ( 1 ) 提出了一种新的模糊集合摄动的度量方法，新方法与原方法相比并非范数 形式，且前者能更好地对一些特殊的模糊集合所发生的摄动进行度量。并利用相 关引理与定理，在理论上验证了此度量方法的性质，且对其性质进行了分析。 ( 2 ) 以新的模糊集合摄动度量方法作为度量依据，在规则发生摄动的情况下， 就多重、链式和多维模糊推理形式的系统鲁棒性进行了研究，讨论了相应的充分 必要条件。并利用改进的水箱控制系统对多维模糊推理形式的摄动结果进行了仿 真。 关键字：不确定性人工智能；模糊系统；模糊推理；规则摄动；鲁棒性 a bs t r a c t i n t e l l i g e n tm o d e i i n go fu n c e n a i n t yp r o b l 锄sa n dr e a s o n i n gi st h e m a j o r c u t t i n g 。e d g et o p i c so fa r t i f i c i 8 li n t e l l i g e n c e f u z z i n e s si so n eo ft h em a i nf 0 m so f u n 9 e r t a i n t yp r o b l 锄s w h e ne s t a b l i s h i n gal o to ff h z z yr e a s o n i n gs y s t e m s ，t h ep r i o r i k n o w l e d g e ( s u c ha s1 1 l l e so ft h e 如z z yr e a s o n i n gs y s t 锄s ) i su n c e r t a i n ，a n dp r o b a b l y t h es m a up e r t u r b a t i o nw i l lo c c u rn e g a t i v ee f i b c t st o v a r i e t yo fp e r f b n n a n c e so f r e a s o n i n gs y s t e m s ，w h i c hc a nb ec o n t r o l l e di ft h e 如z z yi n f e r e n c es y s t 锄h a sb e t t e r r o b u s t n e s s s oe v a i u a t i n g 蛐dc o n t r o i l i n gt h ep e r f 0 皿a n c e so fm l e sp e r t u r b a t i o nh a s b e 如a n i m p o r t a n ts t u d yf o rf h z z yr e a s o n i n gs y s t 锄s ， t h ep m b l 锄sh a v cb e e n r e s e a r c h e da sf o u o w ： ( 1 ) f i r s t l yan e wp e r t u r b a t i o nm e a s u i l i n gm e t h o do f 血z z ys e ti sp r o p o s e d ，t h en e w m e t h o di sn o tt h en o mf o mc o m p a r e dw i t ht h eo r i g i n a im e t h o d ，a n dt h ef o m 盯c a n m e a s u r et h ep e r t u r b a t i o no fs o m es p e c i a lf h z z ys e tb i t t e r l y s e c o n d l yw et e s t i f yt h e p r o p e r t i e so ft h e 如z z ys e t sp e r t u r b a t i o nm e a s u r i n ga n da n a l y s et h ec h a r a c t e r so ft h e n e wm e a s u r i n gm e t h o d ( 2 ) w h e nt h en l l e sh a v em a d et h eb i g g e s tp e r t u r b a t i o n ，s y s t e mr o b u s t n 豁so f m u l t i f o l df h z z yr e a s o n i n g ， m u l t i d i m e n s i o n a l 如z z yr e a s o n i n ga n dc h a i no ff h z z y r e a s o n i n ga r es t l l d i e db yt h en e wp e r t u r b a t i o nm e a s u r i n gm e t h o do f 如z z ys e ta sa m e a s u r e ，f u r t h e rp r e s e n t c o r r e s p o n d i n gn e c e s s a r y a n ds u 硒c i e n t c o n d i t i o n s p e r t u r b a t i o nr e s u l t so ft h em u l t i d i m e n s i o n a l 向z z yr e a s o n i n gf 0 咖sa r es i m u l a t e db y w a t e rt a n kc o n t r o ls y s t e m 1 ( e yw o r d s ：u n c e r t a j n t ya r t i n c i a ii n t e 儿i g e n c e ；f u z z ys y s t e m s ；f u z z yi n f 七r e n c e ； p e r t u r b a t i o no fr u l e s ；r o b u s t n e s s 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：缮弦币 日期删。9 年月乡日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密固。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：譬哟名 日期：2 。9 年月r 日 导师签名菇砩鸣日期2 0 0 9 年月厂日 第一章绪论 1 1 模糊推理的发展与现状 模糊数学和模糊控制理论是由美国加利福尼亚大学著名的查德( l a z a d e h ) 教 授于1 9 6 5 年在他的f u z z ys e t s 以及后来的f u z z y a i g o r i t h m 和a r e t i o n n a l e f o rf u z z yc o n t r o l 等著名著作中首先提出的。1 9 7 2 年2 月，在日本，以东京工业 大学为中心，发起成立了“模糊系统研究会”，1 9 7 3 年公开使用“模糊工程”这一名 词：1 9 7 4 年在加利福尼亚大学的美日研究班上，开始了有关“模糊集合及其应用”的 国际学术交流。1 9 7 8 年国际上开始发行f u z z ys e t sa n ds y s t e m s 专业杂志。1 9 8 4 年在夏威夷首次召开国际会议，商讨成立国际学会事宜，同年年底“国际模糊系统 学会( i f s a i n t e r n a t i o n a lf u z z ys y s t e m sa s s o c i a t i o n ) 成立，学会下设“智能系 统( i n t e l l i g e n ts y s t e m s ) 和“商业与制造的模糊系统”( f u u z ys y s t 锄si nb u s i n e s s 蛆d m a n u f a c t u r i n g ) 两个研究部。前者以人工智能和机器人等智能系统为研究目标；后者 以商业与制造中的方法和控制机器的开发为目标；此外，还有一个从事模糊数学理 论成果应用的部门。这些研究部，研究会都是国际间的组织，在中国、美国和欧 洲各地区都设有分部。日本分部是由原关东的“模糊系统研究会”与关西的“模糊科 学研究会”联合组成，主要从事经营和生产中的模糊系统应用研究。此外，国内还 设有“模糊推理和专家系统”、“模糊运筹”和“模糊控制”三个研究组织，它们都与相 关的国际部、会保持联系。首届i f s a 国际学术会议于1 9 8 5 年在西班牙召开，有 2 0 0 多名学者参加了盛会，1 9 8 7 年7 月在日本东京首开了第二届i f s a 国际会议， 1 9 9 2 年，i e e ef u z z ys y s t e m s 国际会议开始举办，每年一次。1 9 9 3 年i e e et r 觚s o nf u z z ys y s t e m s 也开始出版。 由上述可知，尽管模糊集理论的提出至今只有3 0 多年，但其发展迅速。模糊硬 件与系统集成在模糊理论与算法、模糊推理、工业控制应用以及稳定性理论研究 等方面不断有重大的成果出现，促进着模糊控制理论与模糊系统的研究和发展。 自8 0 年代以来，自动控制系统被控对象的复杂化，不仅表现在控制系统具有 多输入多输出的强藕合性、参数时变性和严重的非线性特性，更突出的是从 系统对象所能获得的知识信息量相对地减少，以及与此相反地对控制性能的要求 却同益高度化。然而，正如l a z a d e h 教授于1 9 7 3 年所指出的：“当一个系统复杂 性增大时，人们能使它精确化的能力将降低，当达到一定的阀值时，复杂性和精 确性将相互排斥”( 即“不相容原理”) 。也就是说，在多变量、非线性、时变的大系 统中，系统的复杂性与人类要求的精确性之间形成了尖锐矛盾。因此，要想精确 地描述复杂对象与系统的任何物理现象和运动状态，实际上已经是不可能的。关 键是如何使准确和简明之间取得平衡，而使问题的描述具有实际意义。这种描述 的模糊性对问题的求解并非有害，却能对复杂事物作出高效率地正确无误的判断 和处理。因此，模糊控制理论的研究和应用在现代自动控制领域中有着重要的地 位和意义。首先经典控制理论被使用于线性小规模系统的自动化领域；而后，随 着计算机技术的发展，现代控制理论在大规模线性多变量系统中也得到广泛应用。 但是，对于非线性复杂系统，这些控制策略却难以适用，它不仅算法极其复杂， 而且无望获得满意的结果。近年来，采用专家知识的人工智能( a n i f i c i a l i n t e l l i g e n c e ) 和智能信息处理技术，虽然引起了人们的重视，但它却不能作为模拟控制，且其 知识库庞大，设计也十分困难。模糊控制不仅适用于小规模线性单变量系统，而 且逐渐向大规模、非线性复杂系统扩展，从已经实现的控制系统来看，它具有易 于熟悉、输出量连续、可靠性高、能发挥熟练专家操作的良好自动化效果等优点。 至今，模糊系统的研究范围从单纯的模糊数学到模糊理论应用、模糊系统及 其硬件集成。其中与知识工程和控制方面有关的研究有模糊建模理论、模糊序列、 模糊识别、模糊知识库、模糊语言规则、模糊近似推理等。近几年来，特别是针 对复杂系统的自学习与参数( 或规则) 自调整模糊系统方面的研究，颇受各国学者的 重视。目前，已经将神经网络和模糊技术互相结合，取长补短，形成“模糊神经网 络”( f u z z y n e u r a ln e t w o r k ) 技术，由此可以组成一种更接近于人脑的智能信息处理 系统，具有十分诱人的发展前景。 1 2 研究背景和意义 2 0 世纪4 0 年代发展起来的自动控制理论与技术在工业发展和社会进步过程 中起着重要的作用，它对于降低生产成本，提高劳动生产率，改善劳动条件，提 高产品的质量都起着重要的作用。自动控制技术通常是指利用一些自动控制装置 代替人来驾驭机器、设备或控制生产的过程【1 1 。然而，随着生产和自动化技术的发 展，对自动控制系统要求日益复杂，如要求产品的质量达到规定的指标，同时某 个综合指标最优，或者消耗的能量最少。但是针对某特定环境下设计的控制系统， 往往由于环境中存在着许多不确定因素，使其性能指标显著的降低，有时甚至不 能工作【2 1 。因此，人们希望所设计的控制系统能够按照外部条件变化而变化，最终 能保持最优的性能指标。正是这些现实要求直接导致了智能控制理论的研究和发 2 展。智能控制是一门新兴的理论和技术，它主要包括仿人智能、神经网络、专家 系统、模糊控制等p j 。 模糊控制是智能控制的一个重要范畴，它与传统的控制理论相比，是一种非 线性控制，不需要对象精确的数学模型，可以只根据模糊控制规则表便可以求出 当前的新控制量，控制的鲁棒性较好、响应快速，可用于复杂的、非线性、大滞 后的或者是无确切数学模型的系统的控制问题【4 】。 l a z a d e h 教授开创了模糊集合理论【5 】【6 1 ，并得到了较快的发展和实际的应用， 同时也为具有模糊性及不确定性事物的处理提供了强有力的工具。以英国学者 e h m a m d a n i 为代表的一批学者首先提出了模糊控制的概念，使模糊集合理论应 用于锅炉和蒸汽机的过程控制【7 】并获得了成功，由此开创了模糊控制理论应用的历 史。 模糊控制以其不依赖于对象的精确模型并且鲁棒性好的特点，从其诞生到现 在应用的三十多年时间里，得到了迅速发展。它能有效地利用来自专家用语言所 表达的定性信息或操作人员总结的经验知识，并将其与传感器所获得的定量信息 结合起来，从而降低了复杂系统控制器设计的难度。模糊控制技术作为处理复杂 系统的方法得到了广泛的应用，其中包括家用电器、医学、化工生产、通信、集 成电路制造等许多其他的行业，并取得了巨大的成功【s 】。 1 3 鲁棒性研究的发展 在不确定性知识环境下，获得的模糊推理系统的规则存在着少量误差，可能在 推理系统的后续处理过程中被放大，从而产生严重的副作用，对此缺乏必要的评 估和控制方法。模糊推理系统对规则摄动的鲁棒性可以看作模糊推理系统本身的 一个非常重要的属性。若模糊推理系统的这种鲁棒性不好，则对规则( 由专家或由 采集设备等途径获得) 的准确度要求很高，当规则发生微小的摄动，都可能对某些 输入产生面目全非的输出：若模糊推理系统的这种鲁棒性好，则对训练模式允许 其有适度的粗糙或者微小的摄动是可行的、安全的，从而减少了专家给出规则的 压力以及采集设备精度的限制。 模糊推理技术是人工智能的三大要素之一，也是最为活跃的研究方向之一 【1 4 j5 1 。模糊推理是人工智能的基础理论以及模糊控制系统和模糊专家系统的理论 基础和核心部分。研究模糊集合发生摄动的本质性质、改进和传播，进而为研究模 糊推理对规则摄动的鲁棒性提供了基础。 鲁棒性就是系统的健壮性。它是在异常和危险情况下系统生存的关键。比如 说，计算机软件在输入错误、磁盘故障、网络过载或有意攻击情况下，能否不死 机、不崩溃，就是该软件的鲁棒性。所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定( 结构， 大小) 的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义，可分为稳 定鲁棒性和性能鲁棒性。对于实际工程系统，人们最关心的问题是一个控制系统 当其模型参数发生大幅度变化或其结构发生变化时能否仍保持渐近稳定，这叫稳 定鲁棒性。进而还要求在模型扰动下系统的性能指标仍然保持在某个许可范围内， 这称为性能鲁棒性。又存在以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器 称为鲁棒控制器。 鲁棒性原是统计学中的一个专门术语，2 0 世纪7 0 年代初开始在控制理论的研 究中流行起来，用以表征控制系统对特性或参数摄动的不敏感性。在实际问题中， 系统特性或参数的摄动常常是不可避免的。产生摄动的原因主要有两个方面，一 个是由于测量的不精确性或参数的实际值会偏离它的设计值( 标称值) ，另一个是 系统运行过程中受环境因素的影响而引起特性或参数的缓慢漂移。因此，鲁棒性 已成为控制理论中的一个重要的研究课题，也是一切类型的控制系统的设计中所 必须考虑的一个基本问题。对鲁棒性的研究主要局限于线性定常控制系统，所涉 及的领域包括稳定性、无静差性、适应控制等。当系统中存在模型摄动或随机干 扰等不确定性因素时能保持其满意功能品质的控制理论和方法称为鲁棒控制。早 期的鲁棒控制主要研究单回路系统频率特性的某些特征，或基于小摄动分析上的 灵敏度问题。现代鲁棒控制则着重研究控制系统中非微有界摄动下的分析与设计 的理论和方法。 在智能控制科学研究的对象智能控制系统中，由于种种原因而存在不确 定性或摄动，用一个数学模式，例如用一个微分方程组来描述它，总与实际运转 的系统存在差别，这种差别表明用单一的数学模型来刻画系统的性能是不完善的。 由于处理问题的能力有限，人们已开始总假设这种不确定性是很微小的。无论是 利用代数方法还是l y a p u n o v 方法，所判断的渐近稳定性通常具有“开集”性质，即 当无摄动发生的系统是渐近稳定时总能保证存在一个邻域，当不确定性发生在该 邻域内时，对应的渐近稳定可以保持。这样只在微小摄动假设的渐近稳定鲁棒性 ( 相对摄动的不变性) 的研究中可行，不仅可能与实际需求差之甚远，而且其本 身也变得意义不大。 智能控制系统的不确定性的产生原因是多种多样的，如何描述这种不确定性 如同在智能控制系统中选取品质指标一样也应遵循两个基本原则，即它应该能反 4 映实际问题的特征，同时又能便于在研究过程中进行处理。由于系统中存在的摄 动并不清楚，从研究的角度出发，我们面对的对象不是一个单一的对象，而是面 对一族对象，这表明一个实际的系统其描述模式可以是多个甚至是无穷个，即必 须用一个系统族来描述同一个实际系统。这种描述可以用一个名义系统( 即摄动 范围为零) 和一个摄动模式所组成。鲁棒稳定性就是一个系统族的稳定性，随着 智能控制系统面临环境的多变、任务的复杂、大量不确定因素的存在，研究系统 的鲁棒稳定性就越来越成为必需。最初当e j d a v i s o n 引入“r o b u s t ”这个词时，还 是针对微小摄动而言的，而今“r o b u s t ”这个概念已经变为针对那些非微小的有界摄 动。 鲁棒稳定性分析从一开始采用了l y a p u n o v 函数方法，利用二次l y a p u n o v 函 数建立了关于系统族二次稳定的概念并得到了一批结果。特别是当系统满足匹配 条件时结果十分丰富。这种方法原则上可以应用于非线性时变系统，但由于其本 质上是一种充分性方法，而且对系统族要求具有公共的l y a p u n o v 函数，比较难于 满足，结果也就偏于保守。在相对热了不足1 0 年后便进入停滞不前的状态，尽管 仍然有与之相近的各种提法的大量论文的出现，但由于l y a p u n o v 方法本身还有些 关键问题，例如针对系统或系统族中什么是最合适的l y a p u n o v 函数，以及针对系 统族中是否可同时利用不同的l y a p u n o v 函数等一系列问题未有圆满答案，实际上 只停留在呼唤突破之中。 运筹学是智能控制理论的近亲，其方法常常在智能控制理论研究中起到至关 重要的作用。当今大量的鲁棒控制问题已经借助于线性与非线性规划方法求解。 k a m a r k a r 方法在运筹学中大获成功的事例，促使人们把这一方法用于控制，特别 是鲁棒控制，这样的控制问题转化为线性矩阵不等式( l m i ) 求解，而鲁棒控制的 一些新分支，例如积分二次约束与鲁棒增益规划也都可借助l m i 来进行研究。从 鲁棒性的观念出发，建立在各种不等式基础上的分析与设计不仅具有意义，而且 是一个新的研究方向。 控制系统的鲁棒性是指控制系统在某种类型的扰动作用下，包括自身模型的扰 动下，系统某个性能指标保持不变的能力。鲁棒性理论目前正致力于研究多变量 系统具有稳定鲁棒性和品质鲁棒性的各种条件。它的进一步发展和应用，将是控 制系统最终能否成功应用于实践的关键。 1 4 本文研究的主要内容 在本文中首先提出了一个新的模糊集合摄动度量方法，其次基于此新的模糊 5 集合摄动方法上研究当模糊推理系统的规则发生了微小摄动时，经过模糊推理系 统的传递后模糊推理的结果所发生的摄动，进而研究当模糊推理系统的规则发生 摄动后的模糊推理系统的鲁棒性。 第一章，首先介绍了模糊推理系统的发展与现状，而后阐明了本论文的研究 背景及意义，对模糊推理系统稳定性的研究现状进行了概述，并介绍了研究模糊推 理系统的鲁棒性的必然，最后给出了全文工作内容安排。 第二章，介绍了模糊理论的发展历史、模糊推理方法和模糊关系合成法的三 种具体形式，对模糊推理系统做了简单比较的介绍。 第三章，基于模糊集合发生摄动的情况提出了一种新的模糊集合摄动度量方 法，给出了一些后续文章中要用到的引理，并且分析了新的度量方法的一些基本 性质。 第四章，在新的模糊集合摄动度量方法的基础上，当模糊推理系统的规则发 生摄动时，对多重模糊推理形式、链式模糊推理形式以及多维模糊推理形式的鲁 棒性进行了分析。 第五章，利用m a t l a b 中的水箱控制系统对规则发生摄动前后的多维模糊推 理系统以及由于规则发生摄动所引起的模糊推理系统的结果摄动进行了仿真。 第六章，就本文中所提出的新的模糊集合摄动度量方法以及模糊推理形式的 鲁棒性的分析等工作做了一个总结以及作者认为今后要发展的方向。 6 2 1 模糊理论概述 第二章模糊推理概述 人类的大脑具有很高的模糊划分、模糊判断和模糊推理的能力。人们为了表 达和传递知识所采用的自然语言中已巧妙地渗透着模糊性，并能用最少的词汇表 达出尽可能多的信息，可以认为对事物认识的模糊性是人类认知世界的一个本质 的现象。模糊现象或模糊概念是普遍存在的客观事物，而以认识、描述和改造客 观世界为己任的科学技术对其是不能回避的并且是必须加以正视的。由于历史的 原因，人们习惯于追求精确性和清晰性，总希望把事物以数字的形式清楚地表达 出来，美国加里福尼亚大学著名的控制论专家l a z a d e h 认为：“一种现象，在能 用定量方法表征之前，不能认为已被彻底理解，这是现代科学的基本信条之一”。 但是，面对模糊现象，人们利用传统数学会遇到很多实质性的问题。随着信息革 命的需要，人们不可避免地需要处理大量的模糊现象，而传统的方法和已有的工 具面对模糊现象又显得十分的不足，以致于精确性与模糊性的矛盾的对立越来越 突出。l a z a d e h 正是注意到了这种对立，提出了这样一条互克性原理：“当系统 的复杂性日趋增长时，我们对系统特性的作出精确而又有意义的描述能力将相应 降低，直至达到这样一个阀值，一旦超过它，精确性和有意义性将变成两个几乎 互相排斥的特性”。这说明，高精度与高复杂性是不兼容的。事实上，当系统达到 一定的复杂程度后，适当的模糊反而精确，过度的精确反而模糊。这也正好说明， “模糊”与“精确”具有对立统一的辨证关系。 美国学者l a z a d e h 创建了模糊集合论，提出了模糊信息的处理方法。模糊 集合论的贡献在于引入了集合中元素对该集合的“隶属度”，从而将经典集合论里 的特征函数取值范围由二值 0 ，1 ) 推广到区间值 0 ，l 】，将经典二值逻辑推广至多 值逻辑，使得模糊性可以用 o ，l 】区间上的值来度量【6 1 。l a z a d e h 提出的建立在 严格的数学基础上用来描述和处理人类模糊语言信息的模糊理论，在人类智能和 计算机科学间架起了一座桥梁，实现了以计算机来模拟人的模糊综合判断能力， 从它能够处理不精确或难于精确区分的情况，能够把语言信息和数据信息综合考 虑，其势必会对智能系统起到重大作用。 模糊推理是模拟人的日常推理的一种近似推理，它首先被提出是在逻辑推理 中，命题一般也称为判断。所谓推理就是从一个或几个己知的判断前提出发从而 7 推出另一个新判断结论的思维形式。例如： 大前提：如果尸，那么q 小前提：现知道尸 结论：所以q 只要前提为真，并且推理前提和推理结论之间的关系符合逻辑规则，那么可 认为推理结论为真。当推理所用判断具有模糊性时，也就是在推理规则( 大前提) 和事实( 小前提) 中含有模糊命题时，就称之为模糊推理。模糊推理所得的结论为一 个新的模糊判断( 模糊命题) 。例如：如果水温偏高，则加一些冷水；现水温稍高， 所以加少许冷水。这种推理是基于模糊逻辑的推理，此时事实与大前提的条件不 完全等同，所以，模糊推理本质上是一种近似推理。最基本的推理有两种形式： 一种是肯定前件的假言推理，即由命题彳和命题“若彳则曰”来推出命题曰：另一种 是否定后件的反驳推理，即由命题“非曰”和“若彳则曰”来推出命题“非彳”。 简单的模糊假言推理可记为彳b ，4 h8 ，它与通常的肯定前件的假言推理 不同之处在于：第一，彳，召，彳，曰。可以是模糊命题；第二，大前提彳寸口中 的前件与小前件的彳可以不同。 2 2 模糊推理的基础知识 定义2 1 ：给定一个集合彳，若对于任何事物工，可以明确判定x 属于彳，或者 工不属于彳，二者必居其一，则称此集合为c o n t o r 集合、经典集合或者普通集 厶 口。 定义2 2 ：每个c o n t o r 集合，都可以通过一个称之为特征函数的表达式e ( x ) 来刻画，或者说，每一个c o n t o r 集合，都有一个特征函数e ( 工) 。如果石s ， 我们就说e ( z ) = l ，如果工仨s ，我们就说q ( x ) = o ，即 e c 工，= 三：二主要。 c 2 t ， 定义2 3 ：讨论问题中所涉及的对象的全体称为论域。论域为c o n t o r 集合， 常用大写字母u 、v 、w 、y 、v 、z 表示。 定义2 4 ：所谓论域【，上的模糊子集( 简称模糊集) 彳( 本文中，在不引起误解的 8 情况下，仍用彳来表示) 由隶属函数“( z ) 表征，其中“( x ) 在区间 0 ，l 】上取值，其 大小反应了石对模糊集合彳的隶属度。把定义在论域u 上的所有模糊集合的全体称 为类，记为，( u ) 。 定义2 5 ：设彳为【，中的模糊集合，对任意口【o ，l 】，集合( 彳) 。= 以= 伽i 彳( 石) 口) 称为彳的口截集，并称口为其阀值或置信水平。有时，令( 4 ) ：= 鬈= 缸i 彳( 工) 口) 称 为彳的强口截集。 定义2 6 ：如果彳( x ) 口，工x 且存在而x ，使得彳( 而) = 口，称以为模糊集 合彳的核，记为k e r 彳，称( 彳) ；= 鬈= 缸i 彳( 曲o ) 为彳的支撑集，记为s u p p 彳。 定义2 7 ：如果模糊集彳的支撑集在x 上只含一个单独的点，且为4 ，则称彳为 模糊单点集。 定义2 8 ：如果模糊集彳的核是非空的，即存在而x ，使得彳( ) = l ，称模糊 集合彳是正则的。 定义2 9 ：在两个集合石，y 之间，如果有一个规则厂使得对x 中每一个元素 工，在y 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称厂是x 到】，的映射，记为 厂：r 一】，j hy = 厂( 工) 。 ( 2 2 ) 定义2 1 0 ：若映射厂不是使y 上的一个点与x 上的点相对应，而是将x 上的 点映射到】，的一个模糊集，这种映射称之为模糊映射，即 厂：x 专】，j h 厂( 工) = 曰f ( 】，)( 2 3 ) 是从x 到】，的映射。 定义2 1 1 ：模糊关系尺是笛卡尔乘积u y = ( ( 工，少) i j u ，y 矿) 中的模糊集合， r 的隶属函数用j r ( x ，j ，) 来表示，其中， 【，y 为论域。 定义2 1 2 ：r 范数由表示的是从【o ，1 】【o ，l 】到【o ，l 】上的二元函数。四个最常用 的r 范式算子为： 极，j 、：瓦i 。( 口，6 ) = m i n ( 口，6 ) = 口 6 数积：乙( 口，6 ) = 口6 有界积：z 乙( 口，6 ) = o v ( 口+ 6 一1 ) i 口 ， 6 = l 强集：( 口，6 ) = 6 ， 口= l。 ( 2 4 ) io，口，6 = 1 定义2 1 3 ：r 协范数( s 范数) 由+ 表示的是从 o ，l 】【0 ，l 】到【o ，l 】上的二元函数。 四个最常用的r 协范式算子为： 耄爱大：s ( 口，6 ) = m a x ( 口，6 ) = 口v 6 9 有界和：s ( 口，6 ) = l ( 口+ 6 ) i 口 ， 6 = o 强和：s ( 口，6 ) = 6 ， 口= o 。 ( 2 5 ) io ，口，6 o 定义2 1 4 ：设置是论域u 矿上的模糊关系，设尺：是论域y 形上的模糊关系， 则尺。和尺：的s 咿复合关系是u 形上的模糊关系，其隶属函数定义为： s u p 一事( 五z ) = s u p 惺矿( r i ( 工，j ，) r 2 ( y ，z ) ) ， v ( 工，z ) u x 形。( 2 6 ) 定义2 1 5 ：设u 为一个论域，u 上的一个语言模糊集彳用如下的一个映射来 定义： 彳( z ) ：u y ，工u( 2 7 ) 其中，为y 语言值集合，如 最大，极大，非常大，很大，相当大，比较大，多少 算大的，有点大，一点点大，不大不小，一点点小，有点小，多少算小的，比较 小，相当小，很小，非常小，极小，最小) 。在以后的叙述中，为了方便起见对口【o ，1 】， 用口表示卜口。对非空集合x ，彳，( x ) ，用彳表示彳( 工) = 1 一彳( x ) o z ) 所定义 的模糊集合。 2 3 模糊推理方法 模糊推理系统是建立在模糊集合论、模糊i f - t h e n 规则和模糊推理等概念基础 上的先进计算框架。它在诸如决策分析、数据分类、专家系统、时间序列预测、 自动控制、机器人和模式识别等众多领域中得到了成功的应用。它通常由三个重 要部件组成：一个规则库，包含一系列规则；一个数据库( 或词典) ，它定义模糊规 则中用到的隶属函数；和一个推理机制，它根据已知规则和事实执行推理过程求 得合理的输出或结论。推理是根据一定的原则，从一个或几个已知判断引伸出一 个新判断的思维过程。一般说来，推理都包含两个部分的判断，一部分是己知部 分的判断，作为推理过程的出发点，亦称为前提( 或前件) 。另一部分是推理结果的 判断，由前提所推出的新判断，亦称为结论( 或后件) 【i 8 1 。 人们认识世界的过程中包含了大量的推理过程，推理的形式也是多种多样的， 如直接推理和间接推理。间接推理依据认识的方向，又可分为归纳推理、演绎推 理和类比推理等等。演绎推理是i ； 提与结论之间包含蕴含关系的推理；演绎推理 中最常用的形式为假言推理，有肯定式( 或称取式) 和否定式( 或称拒取式) 两类。 1 0 其一般形式如下所示： 肯定式( 取式) ： 大前提( 规则)若x 是a则y 是b 丛二煎握( 己翅适握2墨是 结论：y 是b 否定式( 拒取式) ： 大前提( 规则)若x 是a则y 是b d ! 煎握( 己翅适握)y 丕是旦 结论：x 不是a 这就是形式逻辑为人们提供的严谨而又十分有效的“三段论一推理模式。写成数 学形式即为： 彳_ 曰彳 b 彳 曰c 占 彳c 但是搿三段论一的严谨同时也局限了它的使用，在大前提彳一b 之下，若小 前提不是彳，而是彳的偏离彳，那么结论又应当如何呢? 这时“三段论”没有办法 了，此时要解决模糊性问题的推理，就要用模糊推理的方法。 模糊推理又称为模糊逻辑推理，是指由己知模糊命题( 包括大前提和小前提) ， 推出新的模糊命题作为结论的过程。可见，模糊推理是一种近似推理，近似推理 问题的提法有两种形式： ( 1 ) 己知模糊蕴涵关系“若彳则曰”，若其中彳是x 上的模糊集，b 是】，上的模 糊集，这往往是大量的试验观测和经验的概括。我们认为它提供的信息是可靠的， 它是近似推理的出发点，相当于“三段论”的大前提。又知x 上的一个模糊集彳， 它可能与彳很相近，又可能与彳相去甚远，而此时不禁要问：从模糊蕴含关系能推 断出什么结论b ? ( 2 ) 己知模糊蕴涵关系“若彳则b ”，其中彳f ( 肖) ，b f ( y ) ，又知一个曰， 雪，( 】，) ，问：从模糊蕴涵关系能推断出什么结论彳? l a z a d e h 在1 9 7 3 年对于模糊命题“若爿则b ”，利用模糊关系的合成运算提 出了一种近似推理的方法，称为模糊关系合成推理法( c r i ) 。对于每一种模糊推理， 最基本的问题是如何从已知给定的前提来推导出结论。对于这个问题的解决，不 同的学者对此提出了不同的方法，因此，目前模糊推理有许多种方法。根据模糊 推理所渗入的模糊系统，常见的模糊推理可分类为： ( 1 ) 应用于纯模糊系统【1 9 】的模糊推理。常见的推理算法有：z a d e n d 的模糊 关系合成算法c o m p o s i t i o n a lr u l e o fi n f c r e n c e ( c r i ) 【2 1 1 、m a d a m n i 算法【3 0 1 、 d u b o i s p r a d e 算法【2 3 1 、陈永义算法【2 4 1 、全蕴涵三i 算法【2 0 t2 5 】等。 ( 2 ) 应用于模糊工业过程控制系统，以输入和输出都是精确值的模糊推理算 法( 或系统) 。如t a k a g i s u g e n o 模糊推理算法、t s u k a m o t o 模糊推理算法等。 ( 3 ) 基于神经网络的模糊推理。如基于径向基函数网络的模糊推理。 ( 4 ) 模糊专家系统的模糊推理。一般是链式模糊推理。 2 4 模糊关系合成法 模糊关系合成法简称c r i 法，是实际控制中应用较广的一种模糊推理算法。 这种方法的原理可表述为：用一个模糊集合来表述大前提中全部模糊条件语句前 件的基础变量和后件的基础变量间的关系，用一个模糊集合表述小前提，进而用 基于模糊关系的模糊变换运算给出推理结果，下面介绍几个常用的模糊关系合成 法。 2 4 1 多重模糊推理方法 多重情形的模糊推理一般是指知识具有以下模式： 前提1 ： 若x 是4 ，则y 是毋；七= l ，2 ， 前提2 ：若x 是彳。 结论：则y 是b 。2 7 其中彳，4 ，( u ) ，曰，毋f ( y ) ，u 和y 是论域。通常规则：若x 是彳，则y 是b 简记为彳一占。就此情形，模糊控制的创始人，英国的e h m a m d a n i 给出了 一种推理方法： 曰= 彳。ou ( 彳i 专毋) ( 2 8 ) 其中，模糊蕴涵关系尺( 毛y ) 是 o ，1 】【o ，1 卜 o ，1 】的映射，“。”是模糊关系合成运算。 根据“。”对“u ”的分配性，( 2 8 ) 式又可写成b = u 彳。尺( 4 ，风) 。 暑i 2 4 2 链式模糊推理方法 链式情形的模糊推理一般是指知识具有以下模式： 前提1 ： 若x 是4 ，则y 是4 ；z 是彳：，则j ，是4 ；：叠是4 巾则y 是以 1 2 前提2 ：若石是彳 结论：则y 是丑= ? 其中彳，4 f ( u ) ，u 是论域。通常规则：若x 是4 ，则j ，是4 ；x 是鸣，则y 是 4 ；z 是彳一，则y 是以可以简记为4 专鸣，4 _ 鸣， 4 _ 4 + l ， 彳剃_ 以，从前至后，依次的前一规则的推理结果作为后一个规则的推理输入 就此情形，给出了一种推理方法： 曰= 彳o ( 4 一鸣专4 一专彳。)( 2 9 ) 其中，模糊蕴涵关系尺( z ，y ) 是 0 ，l 】 0 ，1 】寸【0 ，l 】的映射，“。”是模糊关系合成运 算。根据“o ”合成运算关系，( 2 9 ) 式又可写成口。= 彳。尺( 彳，4 ) 。 2 4 3 多维模糊推理方法 这种推理对应于多维模糊条件语句情况。所谓多维( m u l t i d i m e s i o n a l ) 模 糊推理，有如下模式： 前提l ：若而是4 ，屯是4 ，毛是4 ，则y 是曰 前提2 ：若而是4 ，屯是4 ，吒是4 结论： 则y 是曰= ? 其中4 f ，4 ，( u ) ，f = l ，2 ，一，以2 ；曰，b 。f ( y ) ；ul ，u2 ，u 。是论域。 问题在于如何求b 。? 根据l a z a d e h 所提出的推理合成规则，把大前提中的多维推理前件用概率 积合并为一个前提，即将4 ，4 ，4 处理成直积4 4 4 ，化为一维模 糊推理，给出推理方法为： 口。= 4 4 4o ( 4 4 以一b ) ( 2 1o ) 即 口( d 暑叽z j “ 台4 ( 坼) r ( 台4 ( 吩) ，b ( v ) ) 】 ， 其中 ，矿， 嘶阢 ， 尺，( o ，l 】【0 ，l 】一【0 ，l 】) 表蕴涵关系。 2 5 本章小结 本章主要介绍了关于模糊推理的一些基础知识。首先说明了模糊理论的含义、 模糊推理的基础知识，接下来给出模糊推理方法，最后介绍了模糊关系合成法的 三种具体形式。总结了从模糊推理方法的一般形式以及三种常见的模糊推理形式 的主要步骤，为以后章节的讨论奠定了理论基础。 1 3 第三章模糊集合摄动新度量方法 3 1 模糊集合摄动新度量方法的提出 模糊集合论的创建为模糊信息提出了处理方法。模糊集合论引入了集合中元 素对该集合的“隶属度”，从而将特征函数的取值范围从二值 o ，1 ) 推广到区间 0 ，1 】， 使之能更好地描述集合元素对集合的隶属程度。模糊推理系统的主要理论为模糊 集合论。而在构建一个模糊推理系统时，常常会出现一些集合元素对集合的隶属 度出现偏差，这主要是由于人为的原因在测量时出现的误差所导致。在这里我们 称这种隶属度的偏差为摄动。摄动的情况常有训练模式对的摄动以及规则摄动。 训练模式对的摄动常出现在神经网络中；而对于模糊推理系统来说，训练模式对 的摄动可以视作是对于同一规则库的不同输入，研究意义不大。而规则摄动的情 况对模糊推理系统来说就是一个非常有意义的研究课题。那么基于有小幅摄动的 规则所得到的模糊推理结果会有什么样的影响呢? 可喜的是国内外很多学者研究了模糊推理系统的规则摄动【2 乳”】，从不同角度 来分析各类模糊系统基于规则摄动的鲁棒性【2 8 3 5 1 。应明生教授提出了关于模糊 集合的最大摄动( 即：设彳，彳【o ，1 r ，称占( 彳，彳) = vi 口卜口fi 为彳与彳的最大摄动) 和平均摄动的定义，并且评估了不同模糊推理方法的最大摄动和平均摄动p 5 1 。对于 不同的蕴涵算子和推理规则他们的鲁棒性是不同，根据模糊集合的万一平稳性所有 的鲁棒结果都可以公式化【2 9 1 。文献【2 7 】考虑了每一规则的最大摄动可不相同的情 形。但这些工作只讨论了几种具体的蕴涵算子，远没充分展开。对此有些学者提出 了有效的解决方案，文献【2 8 】列举了模糊规则发生摄动的常见情形，建立了一般性 的模糊推理算法对规则摄动的鲁棒性的概念；就多重、链式和多维模糊推理情形， 重点研究了一般性的模糊蕴涵算子对几个重要的模糊推理算法的这种鲁棒性的影 响，并分别给出了相应的充分必要条件，而且通过一定的摄动制约来改善这种鲁棒 性；同时指出了很多现有的模糊蕴涵算子使得所讨论的这些推理算法拥有好的鲁棒 性，此时，即使规则中的隶属度有适度的粗糙或摄动，推理仍是可行的安全的。模 糊推理方法几乎都是采用逻辑推理的规则，模糊推理也可以看作是一个优化问题 【3 0 】，从另一个角度来分析模糊推理。 模糊推理算法对规则摄动的鲁棒性应视为模糊推理算法本身的一个非常重要 的属性。若推理算法的这种鲁棒性不好，则隶属度的微小误差，都可能对某些输 入产生面目全非的输出；若这种鲁棒性好，则规则中的隶属度出现适度的粗糙、 微调或摄动都是可行的安全的。若一个模糊推理系统拥有较好的鲁棒性，则可以 1 4 很好地控制系统所发生的摄动。前期对模糊推理系统摄动情况的研究几乎都是基 于其模糊集合摄动度量方法上的，即应明生教授提出的利用全局最大摄动误差来 定义两个模糊集合之间的摄动误差。在这里我们提出了一种新的关于模糊集合摄 动的度量方法，这种新的度量方法主要是基于下面两种情况提出的：一、当模糊 系统输入的主要论域部分为论域的中间区域时，两侧部分几乎不为系统所用，并 恰好中间区域未发生任何摄动，而两侧部分却发生了微小摄动，则两侧部分的模 糊集合所发生的摄动对模糊系统产生的影响就很有限( 如下图3 1 ( a ) 所示) 。在这种 情况下，即用对系统来说无关紧要的部分的摄动定义为全局摄动，并且亦定义了 未发生摄动的论域的主要部分，是不合适的；二、当模糊系统输入的主要论域部 分为论域的两侧区域时，中间部分几乎不为系统所用，并且主要区域未发生摄动， 而中间部分发生了微小摄动，则