（基础数学专业论文）具有逐点高斯映射的平移曲面.pdf

i ；f ；，=堪 ， ；。ill爹嚣mr；，。垂矿参。扩，汐肇h豫 p； 0 k jjj1、 0，、 at h e s i si nf u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s t r a n s l a t i o ns u r f a c e sw i t hp o i n t w i s e g a u s sm a p b yl i uk u n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl i uh u i l i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y m a y2 0 0 8 0“uy?j l j ：j 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中 取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材 料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：主1 戈翻 日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口两年口 学位论文作者签名： 签字日期： 之1 棚 导师签名： 签字日期： ) 7 ：一 i!；i，童晷 畸u礓， j女叠护嚣1?， “柚戳譬嚣f1 ，o孙料否黟ig。，玎越夥zo日羹 东北大学硕士学位论文摘要 具有逐点高斯映射的平移曲面 摘要 随着数学的发展，它的基本理论更加深入和完善同时，也促进数学研究的 方式发生巨大的变化作为整个科学技术基础的数学，正突破传统的范围而向人 类一切知识领域渗透几何学作为描述物质宇宙空间的一门学科，也更好地反映 了现实物质世界的不同范围和方面现在，我们不仅需要在平直空间中研究几何， 而且需要在弯曲空间中研究几何目前，这个最适当的弯曲空间就是流形，而曲 面是一种特殊的流形有限型子流形是研究和描述许多重要子流形的有力工具 将有限型的思想运用到子流形的光滑映射高斯映射上，就有了逐点有限型高 斯映射的概念 本文主要讨论e 3 和砰空间中具有逐点高斯映射的平移曲面的问题特别是 研究具有逐点高斯映射的平移曲面，并且得出具有逐点高斯映射的平移曲面所满 足的条件 关键词：高斯映射：逐点：平移曲面 i i j1im强籀舞f*，i； 东北大学硕士学位论文 a b st r a c t t r a n s l a t i o ns u r f a c e sw i t hp o i n t w i s eg a u s sm a p a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c s ，t h eb a s i ct h e o r yo fm a t h e m a t i c sh a sb e c o m e m o r ea n dm o r ed e e p l ya n dp e r f e c t l y a tt h es a m et i m e ，i th a sa l s oi m p e l l e dt h eh u g e t r a n s f o r mm e t h o di nm a t h e m a t i c a lr e s e a r c h a st h eb a s eo fa l ls c i e n c e ，m a t h e m a t i c si s b r e a k i n gt h et r a d i t i o n a la s p e c t sa n di ss e e k i n ga l la r e a si nh u m a nk n o w l e d g e a sa s c i e n c eo fd e s c r i b i n gp h y s i c a la s t r o s p a c e ，g e o m e t r ya l s o b e t t e rr e f l e c t sd i f f e r e n t a s p e c t sa n da r e a s n o w , w en o to n l ys t u a yg e o m e t r yi nf l a ts p a c e ，b u ta l s os t u d yi ti n c u r v e ds p a c e a tp r e s e n t ，t h em o s ts u i t a b l ec u r v e ds p a c ei sm a n i f o l d o n ek i n do f s p e c i a lm a n i f o l d si ss u r f a c e t h en o t i o no ff i n i t et y p es u b m a n i f o l d si n e u c l i d e a no r p s e u d o e u c l i d e a ns p a c eh a sb e c o m ea nu s e f u lt o o lf o ri n v e s t i g a t i n ga n dc h a r a c t e r i z i n g m a n yi m p o r t a n ts u b m a n i f o l d s t h en o t i o no ff i n i t et y p ew a se x t e n d e dt od i f f e r e n t i a l m a p s ，i np a r t i c u l a r , t og a u s sm a po fs u b m a n i f o l d s t h e nw eh a v et h ec o n c e p t i o no f p o i n t w i s ef i n i t et y p eg a u s sm a p i nt h i st h e s i sw e m a i n l yd i s c u s st h ep r o b l e mo ft r a n s l a t i o ns u r f a c e sw i t hp o i n t w i s e g a u s sm a p e s p e c i a l l y , w es t u d yt h et r a n s l a t i o ns u r f a c e sw i t hp o i n t w i s eg a u s sm a p f u r t h e r m o r e ，w eo b t a i nt h ec o n d i t i o n sf o rt h et r a n s l a t i o ns u r f a c e sw i t hp o i n t w i s e g a u s sm a p k e yw o r d s ：g a u s sm a p ；p o i n t w i s e ；t r a n s l a t i o ns u r f a c e s i i i ，j l嚣甜 、l五独谭 东北大学硕士学位论文目录 目录 独创性声明i 摘要 a b s t r a c t 目录v 第1 章引言与预备知识l 1 1 本文的主要内容、研究目的及意义1 1 2 欧氏空间2 1 2 1 数域f 上的向量空间2 1 2 2 欧氏向量空间2 1 2 3 仿射空间3 1 2 4 欧氏空间3 1 3 n 维m i n k o w s k i 空间( 伪欧氏空间) 4 1 3 1n 维m i n k o w s k i 空间的定义4 1 - 3 2n 维m i n k o w s k i 空间中的向量4 1 3 3n 维m i n k o w s k i 空间中的标架5 1 4 三维m i n k o w s k i 空间中的内积、外积5 1 5曲面的基本量6 1 5 1 曲面的第一基本量6 1 5 2 曲面的第二基本量6 1 6 平移曲面_ 7 1 7 高斯映射8 1 8 微分流形8 1 9 子流形9 1 1 0 光滑函数9 1 1 1 流形上的拉普拉斯算子1 0 i v 璺垦东北大学硕士学位论文 第2 章具有逐点高斯映射的平移曲面1 1 0 1 基本概念1 1 2 2e 3 中具有逐点高斯映射的平移曲面1 1 2 2 1 p 或g 为多项式函数的情况1 4 2 2 2p 或g 为有理多项式函数的情况1 9 2 3 曰中具有逐点高斯映射的平移曲面2 3 2 3 1 p 或g 为多项式函数的情况2 6 0 3 2 p 或g 为有理多项式函数的情况3 1 第3 章总结3 5 参考文献3 9 致谢4 1 n 。i !，一；一：，。，一一一 东北大学硕士学位论文第1 章引言与预备知识 第1 章引言与预备知识 1 1 本文的主要内容、研究目的及意义 经过2 0 世纪的空前发展，数学的基本理论更加深入和完善，而计算机技术的 发展使得数学的应用更加直接和广泛，而且活跃于生产力第一线，促进着技术和 经济的发展，所有这些都正改变着人们对数学的传统认识如今，我们不仅需要 在平直空间中研究数学，而且需要在弯曲空间中发展数学在目前，这个最适当 的空间就是流形微分流形是描述无数自然现象的一种空间形式，是2 0 世纪数学 的有代表性的基本观念就像欧氏空间与古典分析的关系一样，微分流形为当代 非线性分析的蓬勃发展提供了舞台和语言，它本身就集几何、代数、分析于一体 要研究整个流形，流形论的基础便成为必要流形内的坐标是局部的，本身没有 意义；流形研究的主要目的是经过坐标卡变换而保持不变的性质( 如切矢量，微分 式等) 这是与一般数学不同的地方这些观念经过几十年的演变，渐成定型将 来数学研究的对象，必然是流形：传统的实数或复数空间只是局部的情形( 虽然在 许多情形下它会是最重要的情形) 流形中有一类重要的就是子流形子流形的理 论是重要的，因为许多重要的流形都是作为已经熟悉的空间( 如欧氏空间，球面等) 的子流形出现的此外，在一个流形中，子流形的形态是千奇百怪的，其中也有 许多“好 的、具有某种特殊性质的子流形：它们的存在性、唯一性和几何性质， 以及它们的构造方式和相互联系一直是几何学家所关注的研究课题可以说，在 这方面的研究工作与关于流形本身的研究相比较显得更加多姿多彩 2 0 世纪7 0 年代，b yc h e n 提出了欧氏空间或伪欧氏空间中有限型子流形的 概念许多数学家纷纷开始研究有限型子流形，它已成为研究和描述许多重要子 流形的有用的工具并且将有限型的思想运用到子流形的光滑映射高斯映射 上，就有了逐点有限型高斯映射的概念特别地，人们对具有逐点l 型式高斯映 射的子流形已有了大量的研究和讨论，并且利用逐点l 型式高斯映射得出曲面的 一些性质这篇论文主要讨论的是e 3 和辟空间中具有逐点高斯映射的平移衄面， 并得出平移曲面具有逐点高斯映射所满足的条件 】 1 - 第1 章引言与预备知识东北大学硕士学位论文 1 2 欧氏空间 1 2 1 数域，上的向量空间 所谓数域尸上的向量空间是指一个交换群矿，其元素称为向量，群的运算记 为加法，并且定义了数兄f 与向量v v 的乘法加( 兄v y ) ，满足以下条件i ( 1 ) ( 兄+ ) v = 2 v + ： ( 2 ) ( 彳) 1 ，= 兄( v ) ； ( 3 ) 2 ( v l + v 2 ) = 以+ 他： ( 4 ) i v = v ， 其中见，f ，1 ，m ，v 2 y ， 如果在v 中存在，z 个元素盈，瓯，使得v 中任意一个元素v 都能够表示成 盈，瓯的线性组合， 即 1 ，= 兄1 磊+ 元2 皖+ + 元”瓯，五f ( f = 1 ，2 ，z ) ， 并且表达式是唯一的，则称 4 为空间v 的一个基底( 或基) 基底 4 ) 中元素的 个数刀与基底的选择无关，称为数域f 上向量空间y 的维数 今后我们着重讨论的是实向量空间，即f = r 因此，当我们不特别指明所 讨论的数域时都是指实数域 1 2 2 欧氏向量空间 假定v 是门维向量空间，若在y 上给定一个对称、正定的双线性函数 ( ，) ：v xv 专r ，即它满足下列条件： ( 1 ) “+ 吃，v ) - - ( v l ，v ) + ( 屹，v ) ： ( 2 ) ( 以，吃) = 旯( h ，) ： 2 1乳v， 气矗弛 东北大学硕士学位论文 第1 章引言与预备知识 ( 3 ) ( v 1 ，v 2 ) = ( 吃，v 1 ) ： ( 4 ) ( v ，v ) o 且等号只在1 ，= 0 时成立， 其中兄r ，m ，屹，v v ，则称( y ，( ，) ) 为，z 维欧氏向量空间 满足上述条件的双线性函数( ，) 称为欧氏内积，通常记成 m 屹= ( v l ，屹) 设( y ，( ，) ) 为刀维欧氏向量空间，则在v 上能够取基底 4 ) ，使得 ( 4 ，岛) = 磊= l ，：i 名， 这样的基底称为v 中的单位正交基底 1 2 3 仿射空间 设矿是n 维向量空间，彳是一个非空集合，a 中的元素称为点如果存在一 个映射一：么a 专v ，它把彳中任意一对有序的点p ，q 映为v 中一个向量殛v ， 且满足以下条件： ( 1 ) 一p p v ，v p a ： ( 2 ) v 尸a ，v v v ，存在唯一的一点q ，使得p q = v ： ( 3 ) v p ，q ，s a ，成立恒等式p q + 筘= p s ， 则称a 是n 维仿射空间，且称y 是与仿射空间彳伴随的向量空间 1 2 4 欧氏空间 设( y ，( ，) ) 为疗维欧氏向量空间，则以v 为伴随向量空间的仿射空间称为，z 维 欧氏空间，记为e ”欧氏空间e ”中任意两点p ，q 之间的距离定义为 d ( p ，q ) = 厕【6 】 - 3 - 第1 章引言与预备知识 东北大学硕士学位论文 1 3 以维m i n k o w s k i 空间( 伪欧氏空间) 1 3 1 即维m i n k o w s k i 空间的定义 假设矿是刀维向量空间，且在v 上定义一个对称的双线性函数 ( ，) ：v xv 专尺， 选取一组基底矗 ( f = 1 , 2 ，z ) ，使得 刊，= 住 i = = 1 ，2 ，m ， i j ， i = = m + 1 ，n ， 即标准正交基底，则( ，) 称为向量空间v 上的内积 设g i 的值为1 的数目为m ，为一1 的数目为p ，贝, l jm + p = ，z 若m 和p 中任意一个为零，则此时的空间为，2 维欧氏空间，记为e ” 若m 和p 均不为零，则此时的空间为刀维伪欧氏空间( 或l o r e n t z 空间) ， 记为e 特别地，当p = 1 时，称向量空间v 为，z 维m i n k o w s k i 空间，记为研 1 3 2 即维m i n k o w s k i 空间中的向量 设耳是，z 维m i n k o w s k i 空间，任取向量口耳，口0 ，若 缸，口) 0 ，则称口为类空向量， ( t z , t z ) = 0 ，则称口为类光向量， 仁，口) 0 ) ， 即 c q q = ( k l + 9 2 ) j ，( 2 2 1 6 ) 由( 2 2 16 ) 式变形可得 型一了= 1 ， ( 2 2 1 7 ) ( k l + 9 2 ) 2 - 1 6 - 东北大学硕士学位论文 第2 章具有逐点高斯映射的平移曲面 ( 2 2 17 ) 式两边再次关于g 积分 经计算得 - 每= 舾， ( k l + 9 2 ) 2 9 7 = q = ( 2 2 18 ) 式两边关于1 ，积分并且整理得 令等g + 号压= s i i l r ， cc 。 ， d g = 1 ， 一玄谍寄功， 一击f1农+j三ji一21， 妣：a r c s i n ( 巫g + 旦属) ， cc 故 旌= 肛衍= 严筹挚 = i n ( s e e t + t a n t ) + i n 乞，( c 2 o ) ( 2 2 1 8 ) 得 h + 赢h 乞 s e c a r c s i n ( x c 百g + 詈西t 一瞰筝g + 詈佤，卜 【f = 甜+ l ， 该解代n ( 2 2 8 ) 式检验易知成立，代入( 2 2 4 ) 式取j l z ， h = 一( 易+ 圪+ g 3 + g 6 ) ， 第2 章具有逐点高斯映射堕塑塑重查! ! 垄堂壁主兰堡垒查 即 h = ( 1 + f , 2 ) ( g 2 + g g ) g - 4 ( 1 + f , 2 ) g , z g 2 3 g ( 1 + 露) ( g ”2 + g 宫胛) ( 1 + 名+ g 一一2 ) 4 ( 1 + a o ) 9 2 2 9 2 ( 1 + 露+ g 比) 3 其中g 满足 一扛意h q 卜s m 粤舻c 西- - t m c 知蚓功 当钾= 0 ，即q = 0 或= 0 时可得 f：=ao，u怕1或f：=aou+a019b o gb o y + b o l ， 【 = ， 【 2 ， 此时平移曲面为平面，经验证此时办为零，即= 0 满足条件 比较( 2 2 8 ) 式与( 2 2 9 ) 式发现p 与q 是对称的取q = 瓦1 ，“+ + 6 l v + 6 0 当吃不为零时，同定理2 2 1 中( 1 ) 的证明过程并验证可知 f q = b v ”+ + 6 1 1 ，+ 玩， 1 p = o ， 与 i q = 吃1 ，”+ + b , v + b o ， l p 7 = 0 ， 不是解 当g ：b o 时，其中6 0 是常数，同定理2 2 1 中( 2 ) 的证明过程可得 b + 彘h 畋 s e c a r c s i n ( - - 筝厂+ 徊+ t a n a r c s i n ( - 厄- 孑- - - - 厂+ 细卜 l g = b o v + b o l ， 其中k 2 = 1 + 瑶，经验证可知满足条件：a g = h g ， 此时h 为： h = 一( 疋+ 圪+ g 3 + g 6 ) _ 1 8 东北大学硕士学位论文 第2 章具有逐点高斯映射的平移曲面 办：一( 1 + g , z ) ( f , 2 + f y _ = ) 了g - 4 ( 1 + g , 2 ) f , 2 一f u g ：一! ! 笠2 1 ：丛二! q 笠! ! 二! ! ! 堡! ： ( 1 + 留+ 厂应) 3 兵中f 满足 + 去h 吃 s e c a r c s m c 等厂+ 粤压a n a r c s 洫c 等厂+ 粤压， 地； 瞿孑嘞，或鬈鬻： 此种情况平移曲面为平面，经验证此时h 为零即a = 0 ，也满足条件a g = h g 即证定理2 2 1 2 2 2 p 或q 为有理分式函数的情况 定理2 2 2当或g 的一阶导数是有理分式函数，平移曲面 ；( “，v ) = ( “，v ，厂 ) + g ( v ) ) 具有逐点高斯映射，即a g = h g 时，f ，g 满足： ( d 卜去厂+ 隶h 也 s e e a r c s i n ( 等厂+ 吾周剩n c 等厂+ 粤周 地， 【g = b o v + b 0 2 ， 或者 卜去g + 赢h 乞 s e e a r c s i n ( x - c 百1g + 号佤a n a r c s 协c 筝g + 詈瓜， 功， 【厂= a o v + a 0 2 ， 其中纠+ 等，酬+ 等： ( i i ) 平移曲面为平面 证明先考虑( 2 2 9 ) 式 ( 1 ) 取p 为有理分式函数，帅= 筹崭，其中以和匕不为零 经计算可得 第2 章具有逐点高斯映射的平移曲面东北大学硕士学位论文 p ，：丝z n - 型i兰竺型翌垒：型 1 ( 匕“”+ + 巧甜+ k ) 2 一! 兰二竺：当! 兰叠! ! ! 墨兰：! ：三兰兰兰2 ( y 。“”+ + 巧“+ k ) 2 。 把p 与p 7 代入( 2 2 9 ) 式得 g + q 篇+ q 制 + q 4 嚣瑞 ( 叫- 1 + + 2 啦硼v 秕) 一( x 。“”+ + x l h + x o ) ( m y m u 埘- 1 + + 2 y z u + y ；) 】( 2 2 1 9 ) + q 2 等等等 ( 帆u - l + - - + 2 枷酬矿+ 叫“+ t o ) 一( 甜”+ + x , u + x o ) ( m y m u q + + 2 y z u + y 1 ) = o ， 由( 2 2 1 9 ) 式可知 g ( y m u ”+ + i 材+ t o ) 5 + q 3 ( x , u ”+ + 一甜+ k ) 2 ( 匕“”+ + f l u + k ) 3 + q l ( - 乙铭”+ + 五甜+ 厂0 ) 4 ( 匕“”+ + k 甜+ k ) + q 4 ( x u ”+ + 五甜+ x o ) ( 匕甜”+ + k 甜+ k ) 【( n x u ”- 1 + + 2 x = u + x 1 ) ( 匕“”+ + i 掰+ 虼) ( 2 2 2 0 ) 一( j 乙甜”+ + “+ ) ( 朋匕甜”- 1 + + 2 y = u + 巧) l + q 2 ( 爿乙“”+ + 墨扰+ j 厂o ) 3 ( n x , , u ”1 + + 2 置“+ x 1 ) ( 匕材”+ + k “+ v o ) 一( 咒甜”+ + x l u + ) ( m y m u ”- 1 + + 2 y z u + 墨) l = 0 ， ( 2 2 2 0 ) 式按u 整理，最高次依次是： 5 m ，2 n + 3 m ，4 n + m ，2 n + 4 m 一1 ，4 n + m 一1 ( a ) 当n = m ( 历1 ) 时，即5 n = 2 n + 3 m = 4 n + m ，则 ig + q 3 + q = 0 ， q 4 = 0 ， 【q 2 = 0 ， 可得q q 0 ( b ) 当疗= m ( m = 1 ) 时，即5 n = 2 n + 3 m = 4 n + m = 2 n + 4 m 一1 = 5 ，则 iq l + q 3 + q 4 + g = 0 ， 【q = 0 ， 2 0 东北大学硕士学位论文第2 章具有逐点高斯映射的平移曲面 可得q q 0 ( c ) 当刀m 时， 可得q q = 0 q 1 = 0 ， q 2 = 0 ， q = 0 ， q 4 = 0 ， q 5 = 0 ， r e ( a ) ，( b ) ，( c ) 二种情况司得 j p = 筹端， 【钾= o ， 即 k 筹等， 【q = o ， 或 k 笔黹， i q 7 0 ， ( 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 ) 把( 2 2 2 1 ) 式和( 2 2 2 2 ) 式代n ( 2 2 8 ) 式检验，同定理2 2 1 中( 1 ) 的验证过程知( 2 2 2 1 ) 式与( 2 2 2 2 ) 式不是解 ( 2 ) 取p 2 百x o l 丹t i x o 是常数) ，即= x o “+ 等，4 - a ( 2 2 9 ) 式可得 3 q 2 q2 - - ( 1 + 9 2 ) ( 矿州) + 3 q 2 q2 - ( g ，2 州) ( 2 圳2j 百x o ) 2 - g 2 吲 嘹) 4 - 。， 整理得 c + 嗜x o 胪2 、q t 2 + m ( 1 + c i m 2c + c 百x o ) 2 ) 9 2 _ o ， 令k 。= 1 + ( 争) 2 ( 墨o ) ，代入( 2 2 2 3 ) 式整理得 工0 2 1 第2 章具有逐点高斯映射的平移曲面 东北大学硕士学位论文 3 k 9 2 q 比一( k 卜k l q 2 ) ( g 眩+ q q ”) = o ， 同定2 2 1 中的证明过程，又由p 和g 的对称性，取9 2 耋箫得 ( i ) 卜去g + 赢h 乞 s e c a r c 州筝g + 詈丙a r c 咖c 譬g + 旦c 丙- - 咄， l = a o u + a 0 2 ， 满足条件g = j i z g ，其中k 。= l + 誓，此时办为 h = 一( e + 圪+ g j + g 6 ) ， 其中g 满足： 办：一业塑丝邀孪型逖 g 一( 1 + 等) ( g 砣+ g ( 1 + 葶x 2 + g ，2 ) - 4 ( 1 + 等) g ，2 扩 ：j9i：j!。：j9i一 ( 1 + x 玎o + g , 2 ) 3 一玄g + 素m 乞 s e c a r c s m c 等g + 旦c 佤- - a n a r c s m c 等g + 号周 岫； ( i i ) 卜去厂+ 彘h 吃 s e c a r c s i n ( 巫d k 2 厂+ 粤压a n a r c s m c 等厂+ 粤围 咄， 【g = b 0 1 ，+ 6 0 2 ， 满足条件g ：办g ，其中：1 + 等，此时办为 h = 一( e + 圪+ g j + g 6 ) ， 2 2 东北大学硕士学位论文第2 章具有逐点高斯映射的平移曲面 ：一( 1 + g a ) ( f 2 + f f _ ) 万g - 4 ( 1 + g a ) f , 2 一f , 2 g ( 1 + 菩灯砣+ f f 顶l + 等x o - + f ，2 ) 一4 0 + 菩z 严 ( 1 + 蔷) ( 厂砣+ ”) ( 1 + 可+ 坨) 一+ 蔷) 厂门厂柁 ：一 ：q：q：q ( 1 + 睾们3 其中厂满足： 一去厂+ 隶h 吃 s e c a r c s 证c 等厂+ 粤压h a n 删n 每厂+ 粤丙 地； 与 ( i i i ) j 2 扣等，或 【g = ， j 厂= 鲁， 或 i， 【9 2 1 ，+ l ， 此时平移曲面为平面，则h = 0 ，即= 0 满足条件 即证定理2 2 2 2 3 霹中具有逐点高斯映射的平移曲面 选取标架龟= ( o ，1 ，o ) ，e 2 = ( 1 ，0 ，o ) ，e 3 = ( o ，0 ，1 ) ，定义内积如下： ( 口，) = 五+ x 2 y l + x 3 y 3 ； 相应的外积定义如下： 口= i 羔m x l l , i 儿x 2y 屯3 i ，皇羔i ) ， 其中口= ( _ ，恐，x 3 ) 日，f l = ( y i ，y 2 ，儿) 日 在上述内积的定义下， q ，吃，巳) 为伪正交标架 。2 3 盘” + “ 一和 = = ， g 盘” + ” k k 咖 i i i l ， g 第2 章具有逐点高斯映射的平移曲面 东北大学硕士学位论文 由于 q q = 0 ， 吃e 2 = 0 ， 吃e 3 = 1 ， 所以q ，e 2 为类光方向，e 3 为类空方向 对平移曲面，( “，1 ，) = ( 铭，v ，厂 ) + g ( 1 ，) ) ，其中厂 ) ，g ( v ) c 。( m ) ， 有： 屹= ( 1 ，0 ，f ) ， 0 = ( 0 ，l ，g ) ， 此平移曲面的第一基本形式： 蜀1 = 气= f “， 9 1 2 = 吒= 1 + 罾7 ，( 2 3 1 ) 2 = 0 0 = g “， 匕，0 的外积为： = ( - 9 7 ，一，1 ) ， 经计算此平移曲面的高斯映射： g i d r ：鲤薯卫，( 2 3 2 )= 7 2 = 一， i z j z i v c g 其中；= 1 + 2 厂鲁，g = s i g n ( 1 + 2 f g ) f 1 3 ( 2 3 1 ) 式和；可得 = i 9 2 2 = 南， 9 1 2 = 专= 篇， 2 4 东北大学硕士学位论文第2 章具有逐点高斯映射的平移曲面 冉i g l l 秀去 拉氏算子作用于( 2 3 2 ) 式上的公式为 g = 一专( 拿o u 届1 1 鼍+ 昙o u 届1 2 掣o v + 昙o v 届2 l 孚o u + 昙o v 厄2 2 争， 、| p 跚 o 、 则此平移曲面的拉氏算子为 一舞蠢l 意舞扣丽g t 2 蓊，丽0 2 2 f gs ( 1 + 2 俺) 1 + 2 俺，) 】；锄占( 1 + ) 。抛2 e f f g 2 a 2 ( 1 + 船)。 f 圯g g ” a 【g ( 1 + 2 俺，) 】；加扛( 1 + 2 船) o u & 占( 1 + 2 俺，) 萨抛 + 磊占蕊f , 3 9 瓦o + ( 一丽鬲f t 2 丽萨0 2 】 阳+ 2 俺，) 一加、s ( 1 + 2 强7 ) 。加 如果此平移曲面具有逐点高斯映射，即a g = h g ，经计算可知 a g = 一苦( - f 3 9 7 - f , g ”一圪9 7 一q 9 7 一g 3 9 ”一q g 胛一g , g ”一q 9 7 一g , g ”， g f 。 4 一f l 1 - f , f ? 一f 。 1 一f 孓 t f ， 1 一g , u 1 一g 1 f t g 蕾 。q 3 e + 圪+ g 2 + g 6 ) ： ( 善，善，喜) ，e + 圪+ g 2 + g 6 ) = ( 皂亨，f 乌亨，亍) ， q sg x e gq g g 其中p 丽g t 2 纷最斋斥盟紫铲， 只= i f ：赫，e = 一i i - ：乏，圪= 一 f g ” ( 1 + 2 f 鲁) 3 e 一而涛； 一 船”，!j ，k g ”门 厂謦( 1 + 厂鲁) g 1 一尚，g 2 一丽g 3 一符希 q 印 q2 产g j “ g 4 一雨面g 52 赫 g 6 = f , 3 9 , ( 1 + 耳2 f 面鱼 ) - 广4 f 4 9 2 ，g 7 =吨2 百五甭厂，u 7 2 f 7 3 9 ” ( 1 + 2 f 鲁) 2 2 5 第2 章具有逐点高斯映射的平移曲面 东北大学硕士学位论文 由( 2 3 3 ) 式变形整理可得 f q g 胛+ ( 一e g 3 一g 5 一g 7 ) g ”+ ( 一e 一吒一g 2 一( 磊) g = h g ， 一f l u 胛+ ( 一e 一只一弓一g 1 ) 厂”+ ( 一e 一圪一g 2 一g 6 ) 厂= h i ， 【e + 圪+ g 2 + g 6 = 一h ， 由( 2 3 4 ) 式整理可得 f q g ”+ ( 一e g 3 一g 5 一g 7 ) g ”= 0 ， 【一曩厂肿+ ( 一e 一只一弓一g 1 ) 厂”= 0 ， 把e o = 1 ，3 ，4 ，5 ，7 ) 和g ，( 歹= 1 ，2 ，4 ，5 ，7 ) 代入( 2 3 5 ) 式得 f ( 1 + 2 厂鲁7 ) 厂也g ”+ 2 厂謦童”+ 7 丁弩比g ”- 3 f 乃g “= 0 ， 【( 1 + 2 危7 ) g 陀f 胛+ 2 f f g ”+ 厂彪f g g ”- 3 f g “= 0 ， 令厂= p ，则”= p p ，厂胛= p p 佗+ p 2 p ”： g = q ，贝0g ”= q q 7 ，g 胛= q q 应+ q 2 鼋”， 并代入( 2 3 6 ) 式得 f ( 钾2 牟9 2 9 ”) p 2 + ( 2 9 3 q ”一9 2 9 7 2 ) p 3 + ( 2 9 2 q 7 ) p p + ( 9 3 q ) p 2 p = o ， 【( p p 2 + 夕2 p ”) 9 2 + ( 2 p 3 p ”一p 2 p 佗) q 3 + ( 2 p 2 p ) 9 9 7 + ( p 3 p ) 9 2 q 7 = 0 当p = 0 ，q = o 时，平移曲面为平面，1 i t i l v h = 0 ，即a = 0 满足条件 当p 0 ，q 0 时，由( 2 3 7 ) 式可得 ( 9 7 2 + 钾”) p + ( 2 9 2 q ”一9 9 7 2 ) p 2 + ( 2 q q 7 ) p + ( 9 2 q ) p p = 0 与 ( p 2 + p p ”) g + ( 2 p 2 p ”一p p 7 2 ) 9 2 + ( 2 p p 7 ) g + ( p 2 p ) q q 7 = 0 2 3 1夕或g 为多项式函数的情况 定理2 3 1当厂或g 的一阶导数是多项式函数，平移曲面 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) r ( u ，v ) = ( “，1 ，厂 ) + g ( v ) ) 具有逐点高斯映射，即a g = 办g 时，f ，g 满足： 或者 ( i ) j 厂2 熹矿l + + 拿矿w ， 【g = b o ， 2 6 东北大学硕士学位论文 第2 章具有逐点高斯映射的平移曲面 f f = k o ， 1 9 - 熹i + + b 2 l v 2 却； f 厂= a o u + a 0 3 ， ( i i ) c 2l 【铲2 a ；( v + c 1 ) 瓦” 或者 i ， l 产一丽一瓦针 l g = b o v + b 0 3 ； ( i i i ) 平移曲面为平面 证明先考虑( 2 3 8 ) 式 ( 1 ) 取p 为多项式函数，即p = a u ”+ + o a u + a o ，其中不为零 令q l = 2 q 2 q ”一钾“，q 2 = q 2 q ，q 3 = q 比+ 钾”，q 4 = 2 q q 整理可知p 2 ，p p ，p ，p 的系数分别是： q 1 ，q 1 + 乞q 2 ，q 1 + 如q 2 + 厶q 3 ，q 1 + 乞q 2 + 乞q + q 4 ，( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是合并后 各项的实系数 由有理多项式线性无关性可得 由( 2 3 10 ) 式可得 即 q l = 0 ， 0 2 = 0 ， 0 3 = 0 ， q 4 = 0 ， 2 7 一 3 q 以 = ，幺0 ，q = + q 坞仫 = + + ，q q qo乞乞乞 = + + + q q g 妨 第2 章具有逐点高斯映射的平移曲面 东北大学硕士学位论文 由( 2 3 11 ) 式可得 即得 或 即 或 f 2 q 2 q ”一q q “= 0 ， l q 2 q 0 ， lq 坨+ 钾”0 ， 【2 q q 7 0 ， q q = 0 ， ；三0 甜”+ + q 甜+ j p = a u ”+ + q 甜+ a o ， 【q 7 0 ， ( 2 3 1 1 ) j 厂2 ，z a + n l u n + la t + a - 2 - l 1 矿+ 口0 “+ l ，( 2 3 1 2 ) 【g = b o ， j 厂2 门a + n l u n + l + + a 2 l 甜2 + 甜+ 口0 l ，( 2 3 1 3 ) 【g = 6 0 v + 6 0 3 ， 首先，把( 2 3 1 2 ) 式代入( 2 3 9 ) 式检验，此时成立，再代入( 2 3 4 ) 式取h ，此时 h = 一( e + 圪+ g 2 + g 6 ) = 丽1 【厂妣1 + 2 俺，) _ 4 厂掣一德”一船，( 1 + 船) + 厂乃g ”( 1 + 2 船) 一4 f “g 柁】， 此时厂和g 满足( 2 3 1 2 ) 式：其次，把( 2 3 1 3 ) 式代x , ( 2 3 9 ) 式， 左边= ( p 陀+ p p ”) b o + ( 2 p 2 p ”一p p 彪) 酹( 此时6 0 0 ，如6 0 = 0r p 为( 2 3 1 2 ) 式情况) ， 最高次数为3 n - 2 ，最高次数项的系数为( 刀2 - n ) a ：，显然不成立 2 8 东北大学硕士学位论文第2 章具有逐点高斯映射的平移曲面 ( 2 ) 取p = a o ( 其中是常数) ，即厂= “+ ，代入( 2 3 8 ) 式得 ( q q 眩+ 9 2 q ”) a o + ( 2 9 2 q ”一q q 彪) q ；= 0 当q = 0 时，平移曲面为平面，此时h = 0 ，即= 0 满足条件 当q + 2 a o q 2 = 0 ，q 0 ，a o = 0 时，平移曲面为平面，此时h = 0 ，即a = 0 满 足条件 当a o 0 ，q 0 ，q + 2 q 2 0 时， 整理可得 ( 1 一a o q ) q 7 2 + ( g + 2 9 2 ) g ”= 0 ， ( 1 - a o q ) q 一一望 q + 2 q 2 一q ( 2 3 1 4 ) 式两边关于g 积分 l n ( q + 2 9 2 ) 一丢l i l ( 1 + 2 a o q ) = 一h a ( c q ) ( c o ) ， c q ( g + 2 9 2 ) = ( 1 + 2 a o q ) 2 ， 3 c q q = ( 1 + 2 a o q ) 2 ， 3 c g ”= ( 1 + 2 a 0 9 7 ) 2 ， ( 2 3 1 5 ) 式整理变形并两边关于v 积分 c _ 鼻= 1 咖， ( 1 + 2 a 0 9 7 ) 2 一一c ( 1 + 2 g ) 一_ _ v + q ， 小醴2 a o ， ( 2 3 1 6 ) 式两边再次关于1 ，积分 2 9 ( 2 3 1 4 ) ( 2 3 1 5 ) ( 2 3 1 6 ) 第2 章具有逐点高斯映射的平移曲面 东北大学硕士学位论文 即得 g - 、，d v 了一瓦1 2 4 1 咖 铲 、，了一瓦j 协 ：一熹一一1 v 4 i - c 2 ，( c 2 i o ) 2 d ( = 一1 7 广l ，、i l v + c 1 ) 2 a o ”w 7 f = a o u + a 0 3 ， 1 9 = - 琢c 而2 一瓦1 c 2 亿3 - 7 【g _ 一丽一瓦 把( 2 3 1 7 ) 式代入( 2 3 9 ) 式易知成立，再代x ( 2 3 4 ) 式g s ( h ， 此时局= 一( e + 圪+ g 2 + g 6 ) 2 丽1 【厂矾1 + 2 俺) 一4 厂v 一蚀”一厂即+ 以7 ) + 厂门g ”( 1 + 2 俺7 ) - 4 f g