（固体力学专业论文）多尺度方法及其在结构分析中的应用.pdf

摘要 多尺度方法是考虑空间和时间的跨尺度与跨层次特征，将相关尺度问题耦合起来的新方法， 是近年来国际上一个非常热门的前沿研究领域。由于小波兼具光滑性和局部紧支撑性质，为多 尺度方法提供了强有力的r f 具。本文从小波分析和多尺度方法的基础理论为出发点，选择h a r r 小波作为基小波，推导了边界条件的小波矩阵表示及微分方程对应的矩阵方程，用m a t l a b 语言编制了相应的程序，对功能梯度梁、薄板、功能梯度板等结构分析中偏微分方程进 行了求解，主要完成了如下工作： 一、利用小波多尺度方法对任意材料梯度分布的功能梯度梁进行了求解，得到梁结构在外 界载荷作用卜的应力值，讨论了材料参数不同梯度形式对其结构响应的影响，同时给出梯度函 数为常数时应力值的误差； 二、利用小波多尺度方法对热载荷作用下的w i n l d e r 弹性地基上薄板热弹性弯曲问题进行 求解，求解得到了：四边简支；一对边简支另一对边固定；一对边简支另一对边一边固 定一边简支；一对边简支另一对边一边固定一边自由四种边界条件下的薄板热弹性弯曲的挠 度值，同时给出了四边简支边界条件下挠度值的误差； 三、从热弹性力学的基本方程出发，应用小波多尺度方法，对上下表面作用热荷载的功能 梯度矩形板进行了求解，得到正交各向异性功能梯度矩形板在导热系数任意梯度变化时的温度 场，及弹性模量任意梯度函数变化时功能梯度板的位移场和热应力场。 关键词：多尺度，小波，弯曲，应力，位移 a b s t r a c t m u l t i s c a l em e t h o di san e wm e t h o do fc o u p l i n g ，c o n s i d e r i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so fa c r o s ss c a l e s a n dc r o s s l e v e la b o u ts p a t i a la n dt i m e ；砌t h ea d v a n t a g eo fs m o o t h n e s sa n dt h el o c a ln a t u r eo f c o m p a c t l ys u p p o r t e d ，w a v e l e ta n a l y s i si s ap o w e r f u lt o o lf o rm u l t i s c a l em e t h o d ，w h i c hh a s b e c o m eav e r yp o p u l a rf o r e l a n dr e s e a r c hf i e l d si nr e c e n ty e a r s b a s e do nt h et h e o r yo fw a v e l e t a n a l y s i sa n dm u l t i - s c a l em e t h o d ，t h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e tm u l t i s c a l em e t h o di nn u m e r i c a l s o l u t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs t r u c t u r a lm e c h a n i c sa r cc a r e f u l l yd i c u s s e di nt h i s t h e s i s s e l e c t i n gt h eh a r rw a v e l e ta st h eb a s i cw a v e l e t ，d e r i v ew a v e l e tm a t r i xo fb o u n d a r y c o n d i t i o n sa n dt h em a t r i xc o r r e s p o n d i n gt od i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n ds o l v ew i t ht h em a t l a b p r o g r a m m i n gl a n g u a g e i nt h ef o l l o w i n g ，t h ep r i m a r yr e s u l t sa c h i e v e dh e r e i na r el i s t e d f i r s t ，u s i n gt h ew a v e l e tm u l t i - s c a l em e t h o df o ra n yf u n c t i o n a lg r a d e dm a t e r i a l sg r a d i e n tb e a m s w a ss o l v e d ，o b t a i nt h ei n t e r n a ls t r e s so fb e a ms t r u c t u r ei ne x t e r n a ll o a d i n ga n dt h ei m p a c to f s t r u c t u r a lr e s p o n s e 、衍t l ld i f f e r e n tm a t e r i a lp r o p e r t i e s a l s ot h es t r e s se r r o ri sc a r e f u l l yd i c n s s e d u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h eb e a mf u n c t i o ni sc o n s t a n t s e c o n d , 1 f 1 地d e f l e c t i o no fp l a t et h e r m a le l a s t i cb e n d i n gp r o b l e ma n dd e f l e c t i o ne r r o ra r o a n a l y s i s e du n d e rt h ef o u rd i f f e r e n tc o n d i t i o n ，i e ( ! ) s i m p l ys u p p o r t e do nf o u rs i d e s ，匡) o n ep a i rs i d e s i m p l ys u p p o r t e da n dt h eo t h e rf i 】【吐ap a i ro fs i d es i m p l ys u p p o r t e dw h i l et h eo t h e r 缸e da n d a n o t h e rs i m p l ys u p p o r t e d , ap a i ro fs i d es i m p l ys u p p o r t e dw h i l et h eo t h e rf i x e da n o t h e rf r e e r e s p e c t i v e l y t h i r d t h ef u n c t i o n a l l yg r a d e dr e c t a n g u l a rp l a t e 弧t ht h ec o n d i t i o no ft h et o pa n db o t t o ms u r f a c e o ft h ep l a t ec a r r y i n gt h e r m a ll o a d sw a ss o l v e db yu s i n gt h e r m a le l a s t i c i t ym e c h a n i c se q u a t i o n sa n d w a v e l e tm u l t i s c a l em e t h o d t h et e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o no fo r t h o t r o p i cr e c t a n g u l a rp l a t e s 谢血 r a n d o mg r a d i e n ti nt h e r m a lc o n d u c t i v i t yi so b t a i n e df r o mt h er e s u l t , a n da l s ot h ed i s p l a c e m e n ta n d t h e r m a ls t r e s so ff u n c t i o n a l l yg r a d e dp l a t ec h a n g i n g 谢t l lt h eo r t h o t r o p i cg r a d i e n tf u n c t i o ni n e l a s t i cm o d u l u s k e y w o r d s ：m u l t i s c a l e ，w a v e l e t , d e f l e c t i o n ，s t r e s s ，d i s p l a c e m e n t 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 嗣亍时间：2 c 归年岁月谷日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名：是明广 时间： 2 b f b 年3 - 月2 箩日 导师签名：仂霸易时间：m 吆月必日 宁夏人彤if 论文第一章绪论 1 1 立题依据及背景 第一章绪论 物质世界中材料特性与响应并非如历史上长期认为的仅仅是宏观上不可分割的量，而是体 现在从原子到微观再到细观直至宏观的不同尺度范围中。对于求解与尺度相关的各种不连续问 题，复合材料和异构材料的性能模拟，以及需考虑材料微纳观物理特性、晶格位错等问题，虽 然目前用细观力学的方法研究这类问题己取得了一定的成果并建立了一批具有代表性的模型 【1 1 ，但是它们不能有效建立起宏细观之间的联系。在求解这类问题时，传统的数值方法如果在 细尺度上求解，即要对求解区域进行非常精细的剖分，但精细的剖分产生的节点过多，往往需 要很大的计算量而导致计算时间过长【2 】。若只在粗尺度上求解，则多忽略细尺度的信息，导致 计算结果误差较大甚至出现错误。要想在误差允许的范围内得到理想的结果就必须考虑细观尺 度和宏观尺度p 】，对于这样的问题多尺度方法相当有效。 多尺度方法是考虑空间和时间的跨尺度与跨层次特征，并将相关尺度耦合的新方法，是求 解各种复杂的计算材料科学和r t 程问题的重要方法和技术。而多尺度科学目前在国际上处于刚 刚起步的阶段。正如非线性现象和随机现象被认为是属于交义学科并得剑广泛重视一样，多尺 度科学因其处于当代科学的许多极富挑战性问题的核心地位，发展前途未可限量【4 l 。传统的多 尺度计算方法主要有多重网格法、自适应方法等。由于这些多尺度计算方法需要在细观尺度上 求解原问题，使得在解决很多实际问题时仍需要巨大的计算量，甚至难以求解。因此，人们希 望找到更有效的数值方法来求解多尺度问题。 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 的出现为多尺度方法提供了强有力的工具，它是当前应用数 学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过二十多年的探索研究，重要的数学形式化体系已 经建立，理论基础更加扎实。与f o u r i e r 变换相比，小波变换是空问( 时间) 和频率的局部变换， 因而能有效地从信号中提取信息。小波分析和多尺度方法结合，通过伸缩和平移等运算功能可 对函数进行多尺度的细化分析，通过多尺度分析使小波比传统的f o u r i e r 分析具有更为细致的时 频分析能力。即使在数值计算中解的不连续性或奇异性普遍存在，且奇异位置的处理通常会给 问题的求解带来很大的困难，但是由于小波兼具光滑性和局部紧支撑性质，从而能够比传统方 法更好的处理局部存在奇异的问题6 j 。 小波理论本身的发展儿乎是令人瞠目的，当前小波理论联系应用数学、物理学、计算机科 学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探，形成了多个交叉学科f _ 7 1 。小波基方面：多小波、 区间小波、提升格式小波在一维问题上日益增加的数值应用，显示着高性能小波基的理论研究 进展及应用普及。高维方面：在张量积小波高维应用尚不多见的情况下，不可分离高维基的构 造文献却不断涌现，且代表小波分析最前沿的脊波，曲波等的国内外研究文献也已呈献在我们 面前。因此，数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、f o u r i e r 分析、样条 分析、数值分析的完美结晶。 宁望人掣：预f + 论文 第。亭绪论 尽管小波理论以其深刻的数学寓意，在各个工程领域频频创造令人惊叹的数学结果【8 】，但 应该看到：小波的工程应用，尤其是在微分方程求解领域还需要加强研究力度。这在与差分方 法，t v d 、n n d 等高精度方法的比较中。无论是类似于相容性，收敛性等理论方面研究，还是 从大量的算例来看，差别比较明显【9 】。有鉴于此，本文采用小波多尺度方法尽可能多的完成各 种力学方程的算例，算例的重点放在求解微分方程组及小波矩阵方程的收敛问题和精度分析上。 1 2 小波多尺度方法在求解结构力学问题时的优点 结构力学中的大量问题都可以用偏微分方程( 组) ( p d e ) 来描述，但是这些方程一般没有 解析解，所以研究其数值近似解法就成为关键性的问题。传统求解微分方程的数值方法主要有 以下三种n o 】： ( 1 ) 有限差分法：在离散网格点上定义未知函数的取值，然后用邻近点之间的差分来近似 表示原方程的微分算子，进而将其转化为求解一个线性系统； ( 2 ) 有限元方法：对求解区域按一定规则作单位剖分，并在剖分集上构造一个具有紧支撑 的线性无关测试函数集，再将微分方程在该函数集上积分，最后微分方程的解就可以表示为这 些测试函数的某种线性组合； ( 3 ) 谱方法：首先选取具有全支撑和一定光滑性质的基函数集，待求函数就可以用这些基 函数线性表示，然后再将其截断至有限项就得到方程的近似解。 前两种方法的优势在于能够在复杂的几何形状上简洁地求解原问题；而谱方法则具有更高 的求解精度。如果p d e 的解是规则的，那么上述方法都是很有效的。然而描述很多物理现象的 p d e 的解都存在奇异点和变化剧烈的部分，这类现象通常表现为在很小的区域内发生了非常复 杂的变化而且往往不具备时间上的连续性。这样一来用以上方法求解都存在困难。由于解的非 规则性直接影响了谱方法表示的精度，所以谱方法很难实现；此外，基函数的全支撑特点还会 引入著名的g i b b s 现象，使解的精度进一步下降。对于解存在局部剧烈变化的问题，必须通过 自适应有限差分法或有限元法才能得到高精度表示。自适应方法可以自动估计当前解的局部误 差大小，并根据误差判断是否需要进一步加密网格以及确定对何处的网格作加细，这种策略的 难点在于当网格尺度变化时如何稳定、准确地表示差分算子。 借助小波多尺度分析的方法可以将待求函数用一系列小波基函数来表示，这些基函数在位 置和尺度上都具有局部性质。与之相应的，谱方法中的基函数无限可微，但它们的支撑集为全 空间，不利丁二表示解的局部特性；而有限差分或有限元方法中的基函数有局部紧支撑，但连续 性不好。这样的结果就是，谱方法有较好的局部谱分析能力，但空域局部性不好；有限著分和 有限元方法则恰好相反。而小波多尺度方法可以同时具备较强的空间和频谱分析能力，有利于 高效的得到高精度解。 从具体的计算实现过程来说，由于微分方程的解通常依赖整个计算域上的信息，所以其离 散解的算子在经典方法中总是表示成稠密矩阵的形式。而小波基具有很好的数据压缩表示能力， 用几个恰当的小波基就可以将其表示成较简单的稀疏形式，这样算子计算中的稠密矩阵的乘法 就转化为稀疏矩阵的相乘，不但有效的减少了计算量，节省了存储空间，而且可以提高算法的 2 宁夏人学硕i j 论文 第一帝绪论 收敛速度和性能。 1 3 本文的组织结构 本文运用小波多尺度方法对功能梯度梁、薄板、功能梯度矩形板，在力载荷或热载荷作用 下，进行了求解。其组织结构如下： 第一章，首先介绍了本文的立题依据及背景，多尺度方法和小波分析在工程和实际应用上 的发展情况。其次介绍了求解微分方程的几种常用方法及其优缺点，以及本文的组织结构。 第二章，总结了多尺度方法的基本思想以及基本方法：小波分析的一些基础知识和基本理 论，其中讨论了连续小波变换、离散小波交换、多尺度分析以及m a l l a t 算法的分解和重构。 第三章，研究功能梯度梁的小波解法，为了求解功能梯度梁的微分方程，首先选用h a r t 小波作为基小波，并根据h a r r 小波本身的性质，建立了此小波的积分矩阵及乘积矩阵。其次根 据梁应力求解的基本方程，并借用所建立的积分矩阵和乘积矩阵，推导了边界条件的矩阵方程 及求解应力的矩阵方程组，从而求得在不同梯度函数下，功能梯度梁的应力。 第四章，研究分析了两个算例。第一个算例，热载荷作用下文克勒地基上薄板的小挠度弯 曲问题的小波解法。首先给出热载荷作用下，一对边简支矩形薄板的弯曲控制方程，然后建立 了不同边界条件下，所对应的挠度矩阵方程，求解得到了弹性地基薄板的热弯曲挠度。第二个 算例，功能梯度板的温度场、位移场及热应力场的计算。首先推导了在热载荷作用下温度场， 位移场和应力场对应的小波矩阵方程，然后联立边界条件对应的矩阵方程求解，最后得到温度 分布、位移场和热应力场。 第五章，结论和展望。 3 宁夏人学硕i 论艾第二章多，：度方 左股小波分析 2 1 多尺度的发展 第二章多尺度方法及小波分析 2 1 1 多尺度方法分类 多尺度方法的研究是科学领域中应用非常广泛的一个分支，我们首先对不同的方法进行一 下分类，这有利于我们理解结构上的多尺度模拟问题，并帮助寻找可借鉴的方法。 可以从两个不同的角度来对各种材料多尺度模拟方法做一些大致的分类。首先可以按照跨 接的尺度范围进行分类。目前材料的多尺度模拟跨越了纳观、微观、介观( 细观) 、宏观。一般 而言，在纳观尺度上使用的是量子力学( q u a n t u mm e c h a n i c s ，q m ) 理论，在微观尺度上使用 的是分子动力学( m o l e c u l a rd y n a m i c s ，m d ) 理论，而介观和宏观尺度是基于连续介质力学 ( c o n t i n u u mm e c h a n i c s ，c m ) 理论的，也即一个连续的“场”的表达，但是介观尺度比宏观小 得多并且可能有一定的随机性。基于以上按跨接的尺度范围分类，一类方法是用来连接纳微观 与连续介质的，如：将分子动力学与连续介质力学连接的区域连接方法( d o m a i n b r i d g i n g ) 1 1 - 1 3 】； 通过一定映射准则将粒子直接视为连续介质，从而用连续介质力学中的方法计算，实现纳微观 与连续介质力学间连接的准连续体方法( q u a s i - c o n t i n u u mm e t h o d ) 【1 4 1 1 f l 。此外还有跨越量子 力学、分子动力学和连续介质力学3 个层次进行耦合计算的m a a d 模型【i6 l 等等。另外一类方 法是连接介观与宏观的，可称为连续介质中的多尺度方法。如：针对周期性异质结构平均化和 渐进分析理论17 1 的多重网格法【1s 】1 1 9 1 和有限元法2 q 等：针对高梯度解的问题( 如加固问题， h e l m h o l t z 方程，奇异性问题等) 的有效方法，包括可以在奇异性的节点补入奇异基函数的无单 元法( e l 锄锄卜彘em e t h o d s ，e f m ) 【2 1 1 【12 2 j ，将解空间分为整体单位分解函数空间和局部近 似函数空间的单位分解法 2 3 1 ，将小波理论与重构核粒子方法( r e p r o - u s i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ， r k p m ) 结合的能将解的整体部分( 低频) 与局部部分( 高频) 分离的多尺度r k p m 方法 ( m u l t i s c a l er k p m ) i z 4 j ，另外还有在迭代过程中能同时获得宏观、细观响应的多重网格法等。 其次也可以按照建模的策略来区分。第1 种策略是先在较低层次的尺度上建模，然后将结 果放入高层次尺度模型，这是一个从小尺度到大尺度的递阶过程。这种建模策略导致的最终求 解实际上只在一个尺度( 大尺度) 上进行，将不同尺度连接的：l ：作体现在对较低层次的建模上。 第2 种策略在不同尺度上同时建模，将区域分成不同尺度定律控制的区域，这些区域可以重叠 也可以不重叠，在交界处实现连接。在第一种策略中低层次建模中的理论可能是一个重点，在 第2 种策略中区域之间的连接也是一个重点。总体而言，多尺度建模的目的是简化直接全部从 底层建模的计算复杂度，这两种策略都能实现这一点。第1 种策略针对的更可能是在区域各处 小尺度和大尺度的都响应的问题，而第二种策略针对的是局部小尺度的响应，而其他部位没有 很大必要考虑小尺度的问题。第一种策略的方法一般称作信息传递的多尺度方法 ( i n f o r m a t i o n - p a s s i n gm u l t i s c a l em e t h o d s ) 或递阶的多尺度方法( h i e r a r c h i c a lm u l t i s c a l e 4 宁爱人学硕f 论文第：帚多尺度方法及小波分析 l i b i i 1oi i _i 鼍曼曼曼皇曼曼曼曼皇曼曼曼曼皇曼曼曼! 皇曼皇曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼曼蔓蔓皇曼曼曼! 曼! 曼曼鼍曼曼曼曼曼皇曼曼曼曼曼曼皇曼量曼蔓 m e t h o d s ) ，第二种策略一般称作并发( 一致) 的多尺度方法( c o n c u r r e n tm u l t i s c a l em e t h o d s ) 。 前面已经提到的准连续体法和平均化理论属于递阶方法。递阶方法由于依赖低层次与高层次的 连接范式的理论，方法比较多。除了上述方法，还有变更多尺度方法、异质多尺度方法、租糙 分子动力学方法、不连续g a l e r k i n 法、无方程方法、动力学蒙特卡罗法等2 5 1 2 6 1 ，很多方法与结 构多尺度关系不大。值得注意的是，c h e n 和l e e 发展了一种新场理论鲫用以描述复杂分子结构， 将分子动力学与微观形态理论有效连接，通过对数以亿计的分子大规模的模拟，从而实现从纳 观尺度到宏观尺度的精确跨越。上述的区域连接方法，m a a d 模型，多重网格法等则属于并发 多尺度方法。还有一些方法则在两种策略中都可以实施，比如单位分解法f 2 3 1 、多尺度重构核方 法【2 4 】等。 上述对材料多尺度的大致分类有利于理解多尺度问题。从尺度上讲，如上所言，结构多尺 度模拟的两个层次可以看成是从宏观上分出来的两个层次，虽然在几何空间上有尺度的跨越， 但理论上都是在连续介质的框架内。从建模的策略上来看，也存在递阶( 信息传递) 方式和并 发( 一致) 方式；虽然我们最终需要的是并发的方式，但是递阶的方式里面体现的连接方法也 是可以借鉴的。所以结构多尺度模拟与材料多尺度中的连续介质多尺度模拟方法有一定的类似 之处。 2 1 2 多尺度方法 下面介绍几种结构多尺度模拟研究的材料多尺度方法。分别是基于周期性异质问题平均化 理论的多重网格法、有限元方法、单位分解法和小波多尺度重构核方法。 ( 1 ) 周期性异质材料( p e r i o d i c a lh e t e r o g e n e o u sm a t e r i a l s ) 的力学问题是材料多尺度模拟的 一个经典问题，它实现的是介观与宏观的连接，主要用于复合材料的分析。这种材料从宏观上 是均匀的，细观上是异质的，但异质是以元胞( c e l l ) 为单位的周期分布，所以称周期性异质材 料。对这类问题，数学上有平均化和渐进分析2 8 1 的理论，b e n s s o u s a n 等对具有周期性剧烈波动 系数的椭圆型方程给出了渐进分析和平均化的理论，并给出了误差估计。 对于力学方程，根据渐进分析，可以将最终的响应分离成两个部分 u i ( 石，j ，) = “? ( 石) + 翻；( x ，y ) ( 2 - 1 ) 其中“? ( x ) 是宏观的响应；翻；( x ，y ) 是细观的部分，为一小量。s 是元胞的典型尺寸； x = ( ，x 2 , 屯) 为宏观坐标；y = x 1 5 为细观坐标。 甜：) ( 功通过定解条件式( 2 2 ) 确定 ( 5 0 u 1 0 t ，) j = 彳，在q 内 u o = u j ，在r 上 ( 2 2 ) d 归“& ，刀= t i ，在l 上 其中d 槲是平均化的宏观材料本构张量，通过式( 2 3 ) 得到 5 宁夏人学硕i 论文=第二：帚彩j ：度方泫及小波分析 曼曼曼量曼曼皇曼曼鼍i i _ _ i i _ _ 一i i i i _ i i 皇曼鼍皇曼曼皇曼曼曼曼曼蔓曼曼鼍曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼 1- d 猁。寺上( 民屯+ 致u ) 删) ( 6 如+ 办( ，) 胛) d o ( 2 - 3 ) v ， 其中是细观本构张量；9 是元胞体；j i l 棚由对元胞的分析得到，由元胞内的材料场确定。 其满足的微分方程如式( 2 - 5 ) ，同时还要满足周期性的定解条件。 “；( 石，y ) 由式( 2 - 4 ) 得到 “；( 工，y ) = h a g ( y ) 占品( 曲( 2 - 4 ) 其中g 品( x ) = “& ，) 为宏观位移的梯度，即宏观应变。 细观的应变张量( 总的应变) 为 白= ( 靠如+ 札删) 品 ( 2 - 5 ) 可以看出虽然翻；( x ，y ) 是个小量，其梯度却不是一个小量。 关于具体的算法实施，f i s h 发展了多重网格方法。多重网格法原先是一个代数迭代方法， 用来高效求解代数方程，f i s h 把多重网格法中粗网格解和细网格解以及之间的延拓、限制算子 与平均化算法中的一些量联系起来，赋予了一定的物理意义。崔俊芝、曹礼群基于上述理论发 展了相应的有限元算法，并给出了误差估计【2 9 】【3 0 1 。有限元算法利用平均化理论，分两次建模， 首先对元胞建立有限元模型，得到均匀化的材料常数及其它信息，然后利用均匀化常数在整体 建立有限元，最后再根据上面的理论得到总体的响应。平均化理论本来连接的是介观和宏观， f i s h 加以推广，从分子动力学出发建立方程，加以分析，也能得到形式上类似的理论，实现了 从纳微观到连续介质的连接，并命名为广义数学平均方法( g e n e r a lm a t h e m a t i c a l h o m o g e n i z a t i o n ，g m h ) 【3 l 】。 平均化理论和渐进分析理论，体现了从小尺度到大尺度的方向，属于递阶的策略。基于这 一理论的有限元方法确实是一个递阶方法，但f i s h 的多重网格迭代算法，也能实现并发的策略。 结构的多尺度问题与周期性异质材料问题不同，一般只是需要在一些关键部位细分，局部材料 损伤后也没有周期性的性质。但是由于f i s h 的方法也能够实现并发的策略，多重网格法是可以 考虑借鉴和尝试的一个方法。另外对于有限元算法，它先在局部建模得到整体性质，然后根据 这些整体性质，直接建立大尺度的模型。我们也可以考虑这种建模方法，首先建立局部的模型， 经过一定的分析，得到在整体尺度上的性质，嵌入到整体模型，从而实现局部尺度和整体尺度 的连接。 ( 2 ) 单位分解法 单位分解法( p a r t i t i o no f u n i t y m e t h o d ) 是无网格法的一个重要方法和框架，该方法由m e l e n k 和b a b u s k a 提出p 2 1 。在处理诸如复合材料问题、加【i i i l 材料、h e l m o h o t z 方程等具有急剧波动位 移梯度的问题时，是一个有效的方法。一般材料的性质从宏观上看是均匀的，但是从细观上看， 具有小的结构变化，即在一个小的元胞( c e l l ) 中，其材料的性质是变化的( r o u g h ) 。这就是具 有急剧波动( r a p i d l yo s c i l l a t i n g ) 性质的材料，这里的急剧是相对于整体( g l o b a l ) 空间尺度而 言的。 单位分解法的原理介绍如下：对于经典的有限元理论，其数值解的近似空间( 有限元空间) x 为型函数的张成空间 x = s p a n 慨，f = 1 ，n j ( 2 - 6 ) 6 弓。夏人学硕i 。论文第二市多尺度方法及小波分析 即解可以表示成这些型函数的线性组合 j l “= a j 织 ( 2 - 7 ) i = l 其中a j 为实系数；仍为型函数，一般为多项式或映射多项式( m a p p e d p o l y n o m i a l s ) 。 对于单位分解法，把近似空间可以看成两个层次，第l 层次是整体上的单位分解空间，更 为重要的是第2 层次的所谓局部近似空间。这样单位分解法的解空间为 v = 册拧仍，f _ l ，n ，p = o ，n ， ( 2 8 ) 其中仍称为单位分解函数；o p 称为局部近似函数。 局部近似空间( 1 0 c a la p p r o x i m a t i o ns p a c e ) 为 k = s p a n ，p = 0 9 1 9 j ( 2 - 9 ) 这样单位分解法的解可以表示成以下的形式 “= 仍 ( 2 1 0 ) l = l p 关于单位分解函数和局部近似函数的选取，单位分解函数类似于传统有限元的型函数，但 更为广义，传统有限元的型函数可看作单位分解的一种特例。单位分解函数可以是有网格的也 可以是没有网格的，直接取有限元的型函数也可以。局部近似函数的选取则比较重要，它需要 有很好的局部近似性质，根据不同性质的问题来具体获得，有可能需要先对局部进行一下分析 得到。 ( 3 ) 小波多尺度重构核函数法 小波多尺度重构核函数法( w a v e l e tm u l t i s c a l er e p r o d u c i n gk e r n e lm e t h o d ) 是l i u 将小波理 论与重构核方法( r k p m ) 相结合产生的一种方法3 3 1 。它的特点是能直接将高频响应与低频响 应分离，并且离散过程中没有网格。其主要原理如下： 对于有限元空间或重构核函数空问而言，随着网格的细化或节点的加倍，其构造的有限元 空间或重构核函数空间是嵌套的，如式( 2 1 1 ) ，即对于确定的网格划分方式和节点分布，只能 在单一的尺度上近似。 0 ) 1 - - 圪c 吒ckcr oc l c 旷。c 旷。= l e ( r “) ( 2 1 1 ) 其中n 反映了网格或节点分布的粗细程度。网格的典型尺寸为h = 2 ”h 。；膨胀参数为 a = 2 ”a o ；h o 和a o 是空间上的典型尺寸和膨胀系数。而小波多尺度方法实现了多分辨的近 似，其将r ( r ) 空间进行了多尺度的分解 ( 尺) = 0 矿l0 甄0 o ( 2 - 1 2 ) 其中：形= k 一。一k 。可以表示成图2 1 弋芝弋弋：弋 图2 1 7 宁夏夫学硕i 论文第：审钐尺度方i 左及小波分析 曼曼曼曼皇曼皇曼曼曼曼鼍曼曼曼! 曼曼曼曼曼曼鼍曼曼皇曼曼曼皇曼詈曼曼曼蔓曼曼皇量曼曼量曼曼曼皇曼曼曼曼曼曼i i i i_ i 皇曼皇曼曼皇曼! 蔓量 在重构核近似的框架下，多尺度( 多分辨) 分解如下： “= u o ( x ) ，最小尺度 ”4 = m ( 力+ ”l ( z ) ，2 阶分解 ( 2 - 1 3 ) “。= w l ( 力+ w 2 ( 曲+ “2 ( 力，3 阶分解 ”6 = ，任意阶 其中 w 埘= i c ( 2 ”a o ，而y ) 丸o y ) u ( y ) d y 多 u 。= i y 。 一y ) u ( y ) d y ( 2 1 4 ) 多 少。由式( 2 - 1 5 ) 求得 y 。= c ( 2 ”a o ，五少) 九一l ( x - y ) 一c ( 2 所a o ，工，j ，) 丸( x - - y ) ( 2 - 1 5 ) 其中c ( a ，而y ) 称为修正函数；丸( 功称为核函数或窗函数。这两个函数都是重构核近似方法 中用来重构核近似的。 在具体的实施过程中，需要将上述积分离散化，这样导致的基函数是一些不同尺度的小波 基函数。大尺度响应所对应的是低频部分，而小尺度响应对应的是高频部分，多尺度r k p m 法 因此实现了大小尺度的分离。基于这个特点，该方法己用于诸如大变形、断裂破坏问题和剪切 带问题等蚓。这个特点对结构多尺度模拟也是非常有吸引力的，由于结构多尺度问题不仅仅是 一个模拟问题，其中物理的机理即劣化如何从局部演化到整体，也是一个需要探讨的问题， 如果能够方便地得到不同尺度的响应将有利于进行这个方面的研究。 另外从算法上而言，小波多尺度重构核函数只是一种构造小波基函数的方法，根据这种分 离的策略还可以寻找其他的方法，例如重构核递阶单位分解( r e p r o d u c i n gk e r n e lh i e r a r c h i c a l p a r t i t i o no f u n i t y ) 方法，它将重构核近似与单位分解法结合起来构造小波基函数，继承了单位 分解法的优点。这些都为结构多尺度的计算方法提供了好的研究思路。 2 2 小波分析的发展 小波分析方法的提出，可以追溯到1 9 1 0 年h a a r 提出的小“波”规范正交基及1 9 3 8 年 l i a l e w o o d - p a l e y 对f o u r i e r 级数建立的l - p 理论，即按二进制频率成分分组f o u r i e r 变换的相位 变化本质上不影响函数的形状及大小。其后，c a l d e r o n 于1 9 7 5 年用其早年发现的再生公式给出 抛物型空间上的原子分解，这个公式后来成了许多函数分解的出发点，它的离散形式已接近小 波展开，只是还无法得到组成一正交系的结论。1 9 8 1 年s f r o m b e r g 对h a a r 系进行了改进，证明 小波函数的存在性。1 9 8 2 年b a t t l e 使用了类似c a l d e r o n 再生公式的展开。值得注意的是，1 9 8 4 年法国地球物理学家m o r l e t 在分析地震波的局部性质时，发现传统的f o u r i e r 变换难以达到要 求，因此他引入小波概念在信号分析中对信号进行分解。随后，理论物理学家g r o s s m a n 对m o d e t 的这种信号按一个确定函数的伸缩、平移系展开的可行性进行研究，这无疑为小波分析的形成 开了先河l ，j 。 真正的小波热开始于1 9 8 6 年， m e y e r 创造性地构造出具有定衰减性的光滑函数，其二 8 j 。夏人。学硕f 论文 第二：审多尺度方注及小波分析 皇皇曼詈曼舅舅_ _ 曼wa l 一i 一 一il 一一i 毫 进制伸缩与平移构成若干个规范正交基。而在那以前，人们由于认为具有如此好性质的小波函 数是一个数学神话，因而对其存在性发生动摇。继ym e y 盯之后， _ 启m a f i e 和b a t t l e 又分别独 立地给出具有指数衰减的小波函数。1 9 8 7 年，m a l l a t 巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析 的思想引入到小波分析中，小波函数的构造及信号按小波变换的分解与重构，从而成功地统一 了在此之前的s t r o m b e r g ，m e y e r ，l e m a r i e 和b a t t l e 提出的具体小波函数的构造，研究了小波 变换的离散化情形，并将相应的算法，现今称之为m a l l a t 算法有效地应用于图像分解和重构。 1 9 8 8 年d a u b c c h i e s 构造了具有有限支集的正交小波基。从而，小波分析的系统理论初步得到建 立。1 9 9 0 年崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的所谓单正交小波函数，并讨论具有最好局部 化性质的尺度函数与小波函数。1 9 9 1 年，a l p e r t 和r o k h l i n 构造了r ( r 2 ) 个尺度函数，这些 尺度函数都是支撑在l o ，1i 上的r 1 次多项式。这样就出现了多小波理论。1 9 9 4 年，g o o d m a n 等人基于，重多尺度分析，建立了多小波的基木理论框架，并给出了多小波的构造例子，这样 就带来了多小波热潮。1 9 9 1 年，j a f f a r d 及l a u r c n c o t 将小波变换应用于偏微分方程数值解， c k e t h a l l s e 将m a u a t 算法进一步深化，得到小波包算法【9 】。 由于y m e y e r ，s m a l l a t 及i d a u b e c h i e s 等的奠基工作而使小波分析迅速发展起来成为一门 新的应用数学学科，也是当前数学家关注和研究的一个热点。它是傅里叶分析发展史上的一个 里程碑。一方面，小波分析被看成调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；另一方面， 它已经和将要被广泛应用于信号处理、图象处理、量子场论、地震勘探、话音识别与合成、音 乐、雷达、c t 成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断和监控、分 形以及数字电视等科技领域。小波分析优于傅里叶变换的地方在于它在时域和频域同时具有良 好的局部化性质。而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域或空域取样步长，从而可以聚焦到 对象的任意细节，从这个意义上讲，它被人们誉为数字显徽镜。原则上讲，传统上使用傅里叶 分析的地方，现在都可以用小波分析取代嘲。 2 3 小波多尺度方法基本理论 2 3 1 小波连续变换 定义2 1 如果函数缈( x ) r ( r ) 满足容许条件1 3 5 】 q = 肾国 o 和6 ( 棚，佃) 时，完全刻画了函 数厂( x ) 的性质；而用离散小波。和适当选择口。与的值我们同样能刻画f ( x ) ，把( x ) 写 成一个级数展开式，就构成了n 维空间中函数的逼近问题，离散小波变换与此密切相关。 2 3 3 多尺度分析 定义2 3 ( 多尺度分析) 1 明 空间r ( 尺) 中一列闭子空间杉j 拒z 称为r ( r ) 的一个多尺度 分析，如果该序列满足下列条件： ( 1 ) 单调性：巧一l 互y ，冬+ l ，w z ； ( 2 ) 逼近性：n 巧= o u 巧= r ( 尺) ； j e z j e z ( 3 ) 伸缩性：厂( x ) 匕铮f ( 2 x ) 巧+ l ，z ； ( 4 ) 平移不变性：f ( x ) f ( x 一后) ，v k z ； ( 5 ) r i e s z 基存在性：存在g ，使 g ( x 一后) ，k z ) 构成v o 的r i e s z 基。 现在根据c 巧卅以及巧+ l = 巧o 建立尺度函数方程的关系式。 由定义2 3 ，可以得到以下重要的性质： ( 1 ) 假设缈( 功为一个具有尺度函数的正交多尺度分析，则下列尺度关系式成立： 纵x ) = h t o p ( 2 x 一后) ( 2 - 2 1 1 ) 上e z 其中- 2 ：a p ( x ) 妒( 2 x - k ) d x ，并且有缈( 2 7 一x - 0 = z 4 - 2 ，缈( 2 j x - k ) 。 上式有时等价地表示为 ，( x ) = 2 忆，( 功( 2 - 2 1 2 ) k e z 其中伤。( x ) = 2 i 缈( 2 7 工一七) 。上述函数构成 巧j 拒z 的一个规范正交基，即 巧= 访，t ( z ) l 纺，t ( x ) = 2 2 烈2 ，x - k ) j ( 2 - 2 2 ) 记尺度空间巧在尺度空间巧+ l 的正交补为小波空间 巧+ l = 巧o ，巧上髟 ( 2 - 2 3 ) 则f f ( r ) = 0 ，e z 。 ( 2 ) 存在小波函数少( 力甄，使得杪 一七) ，k z 构成v o 的标准正交基，且在小波 空间内，存在函数沙( x ) = 2 7 坨沙( 2 7 x 一七) ，j ，k z ，使之构成慨j 。z 的一个规范正交 基，即 形= 汐弦( x ) k ( x ) - - 2 沙( 2 7 x - k ) j ( 2 - 2 4 ) 宁夏人学顾i 论文 第：市多尺度方法，乏小波分析 2 3 4 分解和重构的m a l l a t 算法 1 9 8 8 年，m a l l a t 引入的多尺度分析( 又称为多分辨分析) 理论及其提出的m a l l a t 算