（基础数学专业论文）算子代数上若干映射的研究.pdf

摘要 摘要 算子代数理论产生于2 0 世纪3 0 年代，随着这一学科的迅速发展，它已成为 现代数学中的一个热门分支，它与量子力学，非交换几何，线性系统，控制理论， 甚至数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和相互渗透非自 伴算子代数又是算子代数的一个重要分支，其目的是研究自伴算子代数中非自 伴算子代数的结构和性质，其中三角代数，n e s t 代数，三角u h f 代数都是比较重 要的非自伴算子代数为了进一步探讨算子代数的结构，近年来，国内外许多学 者对算子代数上的映射进行了深入研究，并不断提出新的思路例如：可交换映 射，初等映射，导子，j o r d a n 导子等概念先后被引入和研究目前这些映射已经成 为研究算子代数不可或缺的重要工具算子代数的l i e 结构理论是上世纪5 0 年 代以来富有成果的领域之一，l i e 导子与结合导子，l i e 理想与结合理想之间有着 密切的联系，对非自伴算子代数上的l i e 导子，l i e 理想的刻画对于揭示算子代 数的结构具有重要意义自1 9 4 0 年s m u l a m 提出u l a m 问题以来，函数方程 的h y e r s u l a m r a s s i a s 稳定性受到了人们的重视，吸引了大量学者投身其中本 文在已有结论基础上主要研究了三角代数上的初等映射及j o r d a n 三重初等映射， t u h f 代数上的( 广义) j o r d a n ( q ，p ) 导子和( o t ，p ) 一反导子，非强极大三角u h f 代数上的l i e 导子，有向图代数上的l i e 理想以及b a n a c h 代数上的j o r d a n ( a ，p ) 一 导子的广义h y e r s - u l a m r a s s i a s 稳定性主要工作有以下几个方面： 第一章概述了算子代数以及本文各个研究子课题的历史背景和研究进展现 状 第二章主要考虑的是三角代数上的满的初等映射以及j o r d a n 三重初等映射 的可加性，给出了保证满的初等映射及满的j o r d a n 三重初等映射满足可加性的充 分条件，从而对三角代数的乘法结构与加法结构之间的关系有了进一步的刻画 第三章首先证明了从t u h f 代数丁到其双模上的连续的广义j o r d a n ( c y ，) 导子可以分解成一个广义( q ，) 导子和( 及，p ) 反导子的和的形式，并且在定 义了m a s a 口上的( 口，) 一反导子为零的情况下，此分解是唯一的接着讨论了 ( o t ，p ) 反导子的一些性质 第四章对非强极大的三角u h f 代数丁上的l i e 导子进行了讨论，通过”坐 标化”的方法证明了非强极大的三角u h f 代数丁上的l i e 导子l 具有d + 入 的形式，其中d 是丁上的结合导子，a 是从丁到它的中心z 上的线性映射且零 摘要 化丁中的括积 第五章描述了有向图代数中的l i e 理想结构，证明了有向图代数a 的一个线 性子空间c 是4 的l i e 理想当且仅当存在4 的一个结合理想歹及a 的m a s ad 的一个子代数e 使得矿c 了+ e ，其中矿是歹中迹为零的元的集合进 而a 的任意满足朋歹+ e 的线性子空间m 都是4 的l i e 理想 第六章首先考虑了标准算子代数4 ( 咒) 上的和导子有关的一类函数方程的 h y e r s u l a m r a s s i a s 稳定性，利用广义j e n s e n 等式厂( 三掣) ：丛型喜燮证明 了其具有广义h y e r s u l a m r a s s i a s 稳定性，其中k 是大于1 的整数接着讨论了 b a n a c h 代数上的j o r d a n ( a ，3 ) 导子的广义h y e r s u l a m r a s s i a s 稳定性，丰富了稳 定性问题的研究结果 关键词：三角代数，t u h f 代数，有向图代数，初等映射，j o r d a n 三重初等映射，广 义j o r d a n ( c ，p ) 导子，( o t ，p ) 一反导子，l i e 导子，l i e 理想，h y e r s u l a m r a s s i a s 稳 定性 一i i a b s t r a c t a b s t r a c t t h es t u d yo fo p e r a t o ra l g e b r at h e o r yb e g a ni n19 3 0 s w i t ht h ef a s td e v e l o p m e n to ft h et h e o r y , n o wi th a sb e c o m eah o tb r a n c hi nm o d e mm a t h e m a t i c s i th a s u n e x p e c t e dr e l a t i o n sa n di n t e r - i n f i l t r a t i o nw i t hq u a n t u mm e c h a n i c s ，n o n c o m m u t a t i v e g e o m e t r y , l i n e a rs y s t e ma n dc o n t r o lt h e o r y , e v e nn u m b e rt h e o r ya sw e l la ss o m eo t h e r i m p o r t a n tb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s n o n - s e l f a d j o i n to p e r a t o ra l g e b r a sa r ei m p o r t a n t b r a n c h e si no p e r a t o ra l g e b r a s t r i a n g u l a ra l g e b r a s ，n e s ta l g e b r a s ，t r i a n g u l a ru h fa l g e b r a sa r em o s ti m p o r t a n tn o n s e l f a d j o i n to p e r a t o ra l g e b r a s i no r d e rt od i s c u s st h e s t r u c t u r eo fo p e r a t o ra l g e b r a s ，i nr e c e n ty e a r s ，al o to fs c h o l a r sb o t hh e r ea n da b r o a d h a v ef o c u s e do nm a p p i n g so fo p e r a t o ra l g e b r a s t h e yh a v ei n t r o d u c e ds o m en e wc o n c e p t sa n dn e wm e t h o d s f o ri n s t a n c e ，c o m m u t i n gm a p s ，e l e m e n t a r ym a p s ，d e r i v a t i o n s ， j o r d a nd e r i v a t i o n se t c a tp r e s e n tt i m e ，t h e s em a p p i n g sh a v eb e c o m ei m p o r t a n tt o o l si n s t u d y i n go p e r a t o ra l g e b r a s t h el i es t r u c t u r et h e o r yo fo p e r a t o ra l g e b r a si so n eo ft h e m o s tw e a l t h i e s tf i e l d so fo p e r a t o ra l g e b r a sf r o m1 9 5 0 s t h e r ea g ec l o s ec o n n e c t i o n s b e t w e e nt h el i ed e r i v a t i o na n dt h ea s s o c i a t i v ed e r i v a t i o ns t r u c t u r e l i ei d e a la n dt h e a s s o c i a t i v ei d e a ls t r u c t u r eo fa l g e b r a s m a n yp e o p l eh a v e b e e ns t u d y i n gt h el i ei d e a l s a n dl i ed e r i v a t i o n si nn o n - s e l f a d j o i n to p e r a t o ra l g e b r a sb e c a u s ei ti sv e r yi m p o r t a n tt o r e v e a lt h es t r u c t u r eo fo p e r a t o ra l g e b r a s s i n c es m u l a mi n1 9 4 0p u tf o r w a r dt h e u l a mq u e s t i o n ，h y e r s - u l a m r a s s i a ss t a b i l i t yo ff u n c t i o n a le q u a t i o n sh a st a k e np e o - p i e sa t t e n t i o n t h es t a b i l i t yp r o b l e m o ff u n c t i o n a le q u a t i o n sh a sb e e ns t u d i e db ym a n y a u t h o r s o nt h eb a s i so fe x i s t i n gp a p e r s ，i nt h i sp a p e rw em a i n l yd i s c u s se l e m e n t a r y m a p sa n dj o r d a nt r i p l ee l e m e n t a r ym a p so nt r i a n g u l a ra l g e b r a s ，g e n e r a l i z e dj o r d a n ( q ，p ) - d e r i v a t i o n sa n d ( q ，) - a n t i d e r i v a t i o n so nt u h fa l g e b r a s ，l i ed e r i v a t i o n so n n o n - s t r o n g l ym a x i m a lt r i a n g u l a ru h fa l g e b r a s ，l i ei d e a l si nd i g r a p ha l g e b r a sa n dt h e g e n e r a l i z e dh y e r s u l a m - r a s s i a ss t a b i l i t yo fj o r d a n ( a ，p ) 一d e r i v a t i o n so nb a n a c ha l g e b r a s t h em a i nw o r k si n c l u d es o m ef o l l o w i n ga s p e c t s i nc h a p t e r1 ，s o m ef u n d a m e n t a lk n o w l e d g eo fo p e r a t o ra l g e b r a si si n t r o d u c e d a t t h es a m et i m e ，t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dc u r r e n ts t u d ys i t u a t i o n so ft h es u b t o p i c s i nt h i sp a p e ra r es u m m a r i z e d i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h ea d d i t i v i t yo fe l e m e n t a r ym a p sa n dj o r d a nt r i p l ee l i i i a b s t r a c t e m e n t a r ym a p so nt r i a n g u l a ra l g e b r a s w eg i v es u f f i c i e n tc o n d i t i o n ss u c ht h a te v e r y s u r j e c t i v ee l e m e n t a r ym a p sa n dj o r d a nt r i p l ee l e m e n t a r ym a p so nt r i a n g u l a ra l g e b r a s a r ea d d i t i v e s ot h ei n t e r r e l a t i o nb e t w e e nt h em u l t i p l i c a t i v es t r u c t u r ea n da d d i t i v es t r u c - t u r eo ft r i a n g u l a ra l g e b r a si sd e s c r i b e d i nc h a p t e r3 ，w ef i r s td i s c u s st h ec o n t i n u o u s g e n e r a l i z e dj o r d a n ( q ，励- d e r i v a t i o n s o nt u h fa l g e b r a s 丁a n do b t a i nt h a te v e r yg e n e r a l i z e dj o r d a n ( q ，p ) - d e r i v a t i o ni st h e s u mo fag e n e r a l i z e d ( o t ，p ) 一d e r i v a t i o na n da ( q ，p ) - a n t i - d e r i v a t i o n ，a n dp r o v e dt h a ti f w ed e f i n e ( q ，p ) 一a n t i d e r i v a t i o ni sz e r oo nm a s ad ，t h e nt h ef a c t o r i z a t i o ni su n i q u e n e s s su b s e q u e n t l yw ed i s c u s ss o m er e s u l t so f ( o t ，p ) - a n t i - d e r i v a t i o n s i nc h a p t e r4 ，w es t u d yl i ed e r i v a t i o n so fn o n s t r o n g l ym a x i m a lt r i a n g u l a ru h f a l g e b r a s m a k i n gu s eo f t h em e t h o do fc o o r d i n a t i o n ，w es h o wt h a ti fli sal i ed e r i v a t i o n o fan o n s t r o n g l ym a x i m a lt r i a n g u l a ru h f a l g e b r a 丁t h e nt h e r ee x i s t sa na s s o c i a t i v e d e r i v a t i o ndo fts u c ht h a tl = d + a ，w h e r eai sal i n e a rm a po fti n t oi t sc e n t e r w h i c ha n n i h i l a t e sb r a c k e t so fo p e r a t o r s i nc h a p t e r5 ，w eg i v ead e t a i l e dd e s c r i p t i o no ft h es t r u c t u r eo fl i ei d e a l si na d i g r a p ha l g e b r a i ti sp r o v e dt h a tas u b s p a c eco f4i sal i ei d e a li nai fa n do n l yi f t h e r ee x i s t sa na s s o c i a t i v ei d e a l3o faa n das u b s p a c eeo ft h ec e n t e ro ft h ed i a g o n a l p a r to f4 s u c ht h a tj 0 c 了+ e ，w h e r e j 0i st h es e to fa l lt h et r a c e z e r oe l e m e n t s i n 了s oe v e r ys u b s p a c e 朋o f4w h i c hs a t i s f y 矿m 歹+ ei st h el i ei d e a lo f 月 i nc h a p t e r6 ，w ef i r s te s t a b l i s ht h eg e n e r a l i z e dh y e r s u l a m r a s s i a ss t a b i l i t yo f s o m ef u n c t i o n a le q u a t i o n sr e l a t e dt od e r i v a t i o n so ns t a n d a r do p e r a t o ra l g e b r a sa s s o c i a t e dt ot h eg e n e r a l i z e d j e n s e ne q u a t i o n ，( 警) = 掣w h e r e 胁狮i n t e g e r g r e a t e rt h a n1 t h e nw ed i s c u s st h eg e n e r a l i z e dh y e r s u l a m r a s s i a ss t a b i l i t yo fj o t - d a n ( o ，) 一d e r i v a t i o n sf r o man o r m e da l g e b r ao n t oab a n a c ha l g e b r aw h i c he n r i c h e s t h er e s e a r c hr e s u l t so fs t a b i l i t y k e yw o r d s ：t r i a n g u l a ra l g e b r a ，t u h fa l g e b r a ，d i g r a p ha l g e b r a ，e l e m e n t a r ym a p ， j o r d a nt r i p l ee l e m e n t a r ym a p ，g e n e r a l i z e dj o r d a n ( a ，p ) 一d e r i v a t i o n ，( o t ，) - a n t i d e r i v a t i o n ，l i ed e r i v a t i o n ，l i ei d e a l ，h y e r s u l a m - r a s s i a ss t a b i l i t y 一一 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导 下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容 外，本学位论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发 表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工 作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：王纠啄 捌7 年；月，占日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的 规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷 本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并 采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有 权提供目录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服 务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的 复印件和电子版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当 复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：王从 矽口7 年多月，占日 第一章引言 1 1 算子代数概述 第一章引言 算子代数是泛函分析中的一个极其重要的研究领域，自2 0 世纪3 0 年代，f j m u r r a y 和j y o nn e u m a n n 创立算子代数理论以来得到了迅速发展它的研究 不仅具有十分重要的理论价值，同时具有广泛的应用前景现在这一理论已成为 现代数学中的热门分支，它与量子力学，非交换几何，线性系统，控制理论，甚至 数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和相互渗透对于算子 代数，一般地是指v o nn e u m a n n 代数( 常简记为v n 代数) ，c + 一代数或更一般地是 b a n a c h 代数常规地研究课题主要是探讨代数的结构由于算子代数结构极其复 杂，对其上的线性映射以及这些映射对代数结构的影响越来越受到人们的关注， 成为当今算子理论和算子代数的一个非常活跃的交叉研究领域之一，其成果往往 从新的角度揭示算子代数的同有性质 非自伴算子代数是算子代数的一个重要分支，其目的是研究自伴算子代数中 非自伴算子代数的结构和性质r vk a d i s o n 和i m s i n g e r 于1 9 6 0 年发表的” t r i a n g u l a ro p e r a t o ra l g e b r a s ”和j r r i n g r o s e 于19 6 5 ，19 6 6 年发表的”o ns o l l l e a l g e b r a so fo p e r a t o r si ，i i ”开创了非自伴算子代数的研究，相对于自伴算子代数， 非自伴算子代数的数学现象更丰富，方法也更多样，并且与其他数学分支也有各 种紧密的联系，因此很快成为算子代数的一个重要分支k r d a v i d s o n 【2 6 1 9 8 8 年发表的专著”n e s ta l g e b r a s ”系统地总结了前2 0 年的研究成果，提出了许多 新的问题，极大地推动了非白伴算子代数的研究 1 2 本文的研究内容和主要工作 1 2 1 初等映射及, j o r d a n 三重初等映射 研究环或代数的乘法结构与加法结构之间的关系是一个非常有意义的问题 关于乘法结构如何决定了加法结构的第一个漂亮结果是w s m a r t i n d a l e 【7 5 】在 1 9 6 9 年证明了每个从包含非平凡幂等元的素环到任意环的可乘双射都是可加 的，进而它是环同态初等映射的概念是从文献【1 5 1 ，【1 6 】引出的，m b r e j a r 和p 雪e n l r l 等讨论了某些具体代数上初等映射的一般形式，包括多项式代数，中心有 限维的单代数，标准算子代数及特殊的函数代数l m o l n d r 和ps e m r l 【8 2 】研究 了b a n a c h 空间的标准算子代数上的初等映射，证明了满的初等映射是自动可加 第一章引言 的，并且提出问题：当代数或环满足什么条件时，其上的双射初等映射是可加的? 2 0 0 4 年，李鹏同和陆芳言【6 2 】证明了某些环上的初等映射是可加的，随后李鹏 同【6 4 】在2 0 0 6 年又证明了n e s t 代数上的初等映射的可加性关于j o r d a n 初等映 射和j o r d a n 三重初等映射的可加性问题，李鹏同和荆武研究了其在环及n e s t 代 数上的可加性在定理的证明中，一个重要的技巧是将环或代数进行分解，这种分 解称为p e i r c e 分解p e i r c e 分解是研究问题的一个有效方法三角代数的概念是 由w s c h e u n g 【1 7 】引入的，它包括许多非自伴算子代数，如上三角矩阵代数，非 平凡n e s t 代数中的标准子代数近几年来人们在三角代数上考虑了一系列的问 题，如c h e u n g 研究了三角代数上的导子，l i e 导子和可交换映射的结构【1 7 1 9 】， 2 0 0 7 年，纪培胜【4 8 】讨论了三角代数上的j o r d a n 映射的可加性受此启发，第二 章讨论了三角代数上的满的初等映射及j o r d a n 三重初等映射的可加性，给出了保 证满的初等映射及j o r d a n 三重初等映射满足可加性的充分条件，从而对三角代数 的乘法结构与加法结构的关系有了新的刻画 1 2 2 ( 广, 义) j o r d a n ( a ，p ) 一导子与( q ，p ) 一反导子 导子是算子代数上的一类重要变换，历史上很多人对此进行了研究，例如： r v k a d i s o n 【5 6 】在1 9 6 6 年证明了h i l b e r t 空间上的代数到其自身的导子是 弱，l c 连续的，同年，s s a k a i 【1 0 5 】证明了v o nn e u m a n n 代数到其自身的导子是内 导子1 9 7 7 年，e c h r i s t e n s e n 【2 0 】证明了h i l b e r t 空间上的n e s t 代数上的导子是 内导子导子一定是j o r d a n 导子，但反之一般不成立那么哪些代数或者环上的 j o r d a n 导子一定是导子呢? 多年来，许多数学家研究了这一问题，但大多都集中于 素环或者半素环上1 9 5 7 年，i n h e r s t e i n 【4 0 】证明了特征不等于2 的素环上的 j o r d a n 导子是导子，m b r e 童a r 【1 1 】在1 9 8 8 年证明了2 非挠的半素环上的j o r d a n 导子是导子，1 9 9 8 年，张建华【1 0 9 】证明了n e s t 代数上的j o r d a n 导子是导子且是 一个内导子，陆芳言 7 0 】于2 0 0 7 年又证明了自反代数上的可加j o r d a n 导子是导 子，进而推广了张建华的结果朱军和熊昌平引入了广义导子和广义j o r d a n 导子， 并且他们在文献【11 3 】中证明了有限n e s t 代数上的范数连续的在零点广义可导 的线性映射是广义导子，在文献【1 1 4 】中他们又证明了相同的结论在有限c s l 一 代数上也成立张建华【1 1 0 】又讨论了三角代数上的j o r d a n 导子与广义j o r d a n 导子反导子的概念首先是由i n h e r e s t e i n 于1 9 5 7 年在文献 4 0 】中提出的，反 导子也是j o r d a n 导子h e r e s t e i n 证明了在每个2 非挠的素环上不存在真的反导 子2 0 0 5 年，d b e n k o v i e 【6 】6 证明了上三角矩阵代数到其双模上的j o r d a n 导子 可以写成一个导子与一个反导子之和的形式并且讨论了反导子的一些性质随 后，马飞，吉国兴【7 7 】证明了上三角矩阵代数上的广义j o r d a n 导子可分解成广 一2 一 第一章引言 义导子和反导子的形式孙亮吉，吉国兴【1 0 7 】证明了上三角矩阵代数上的( 广 义) j o r d a n ( a ，) 一导子可以分解成一个( 广义) ( a ，) 一导子和一个( o ，p ) 一反导子之 和第三章就是基于他们的结论，给出了更为一般的广义j o r d a n ( c x ，p ) 导子的定 义并用广义( o ，) 导子和( o t ，p ) 反导子对t u h f 代数上的广义j o r d a n ( c l ，) 导子进行了分解，证明了t u h f 代数上的连续的广义j o r d a n ( c y ，f 1 ) 导子可以写 成广义( a ，p ) 导子和( q ，卢) 反导子的和的形式，在第三章的最后对t u h f 代数 上的( a ，) 反导子的性质进行了讨论 1 2 3l i e 导子与结合导子 以上所说的导子是在结合代数上考虑的，因此也称为结合导子对于非自伴 算子代数上的l i e 导子与结合导子关系的刻画也是我们感兴趣的课题 设4 是一个结合代数，在4 上定义括积运算n 纠= a b b a ( va ，b 4 ) 4 上的线性映射厶如果满足任给a ，b a ，都有l ( h ，6 1 ) = 【l ( 凸) ，b 】+ 【a ，l ( b ) l ， 则称l 是l i e 导子若4 上的线性映射己满足，任给a ，b ，c a ，l 怕，6 】 c 1 = 陋( 口) ，b l ，c 】+ 舱，l ( 6 ) j ，c 】+ 陋，纠，l ( c ) ，则称己是三元l i e 导子由l i e 导子及 三元l i e 导子的定义，可以看出l i e 导子及三元l i e 导子与结合导子之间也存在 着紧密的联系关于算子代数上的l i e 导子的研究有大量的文献：1 9 6 4 年，w s m a r t i n d a l e 7 4 】刻画了素环上的l i e 导子，证明了特征值不等于2 且含非平凡幂 等元的本原环r 上的l i e 导子形如d + a ，其中d 是结合导子，a 是从r 到它的 中心上的线性映射且零化j r 中的括积1 9 7 3 年，c r m i e r s 【7 8 】给出了v n 代数 上l i e 导子与结合导子间的关系，证明了v n 代数上的l i e 导子形如d + 入，其中 d 是结合导子，a 是从v n 代数到它的中心上的线性映射且零化v n 代数中的括 积2 0 0 3 年，m m a t h i e u 与a r v i l l e n a 【7 6 】描述了一代数上的l i e 导子，得到 了类似的结论。c r m i e r s 7 9 】证明了v n 代数m 上的三元l i e 导子己具有形式 l 0 ) = a ，z 1 + 入( z ) ，其中a m 及a 是从v n 代数m 到它的中心上的线性映 射且对任意的a ，b ，c m ，有a ( 【o ，6 】，c 】) = 0 2 0 0 6 年，张建华等【1 1 1 】证明了 n e s t 代数上的三元l i e 导子也有类似的形式 本文在第四章中通过”坐标化”的方法，利用j p e t e r s ，y t p o o n 及b h w a g n e r 【9 5 】在t u h f 代数t 的投影集上定义的偏序” ”，证明了非强极大的 三角u h f 代数t 上的l i e 导子l 也有类似的形式即：如果l 是非强极大的三 角u h f 代数t 上的l i e 导子，则l 具有d + 入的形式，其中d 是t 上的结合导 子，入是从t 到它的中心z 上的线性映射且零化t 中的括积 一3 一 第一章引言 1 2 4i _ i e 理想与结合理想 设4 是一个结合代数，是a 的一个线性子空间，如果满足任给a a ，七， 都有【a ，k 】i ，则称，是4 的l i e 理想设x ，y 是a 的子集，记 【x ，y 】= s p a n x ，y 】：z x ，y y ) ， 显然，是4 的l i e 理想当且仅当 ，a 】，为了避免混淆，我们称通常的( 双侧) 理想为结合理想在许多代数中，l i e 理想是可以完全确定的，或l i e 理想与结合 理想间有着密切的关系i n h e r s t e i n 4 1 】于1 9 5 5 年证明了若j f c 是特征不等于2 的并且有非零的局部幂零理想的环，那么若r 的结合子环u 是r 的l i e 理想，则 要么u 包含着r 的一个非零理想，要么u 包含在r 的中心里还证明了若r 是 特征不等于2 的素环，u 是r 的l i e 理想，则u 包含在r 的中心或u 陋，矧 1 9 8 0 年，c k f o n g ，c r m i e r s 与a r s o u r o u r 【3 1 】刻画了当“是无限维可分 的h i l b e r t 空间时，召( “) 中的l i e 理想并且给出了l i e 理想与结合理想的关系同 年，c r m i e r s 【8 0 】又刻画了v n 代数中的一致闭l i e 理想1 9 9 1 年，k h f o r s t e r 与b n a g y 【3 4 】将文献【3 l 】中关于召( 爿) 中的l i e 理想的结论进行了推广，证明 了对复b a n a c h 空间c o 或f p ( 1 p 0 使得 如果映射厂：g l _ g 2 满足不等式d ( ( x y ) ，厂 ) j f ( 秒) ) 0 及p 【o ，1 ) 使得对任给的z ，y e 1 有 ，( z + y ) 一，( z ) 一f ( y ) l i ( 1 izi l p + l iyi i p ) ， 则存在唯一的线性映射t ：e 1 一易使得对任意的z e 1 有 忖( 小丁( 圳l 南i i zi t p 这一结果后来有大量的推广形式，统称为函数方程的h y e r s - u l a m r a s s i a s 稳定性 其中，在1 9 9 4 年p g h v r u t a 【3 6 】将r a s s i a s 得到的结果中的界( 1 izi l p + i ly 换成了一般的控制函数妒( z ，可) ，证明了： 设g 是交换群，y 是b a n a c h 空间，函数妒：g g 一【0 ，o 。) 满足 ( z ，可) ：= 2 j 妒( 2 歹z ，2 j y ) ， 在t r i ( a ，z ，b ) 上定义矩阵的加法和形式乘法如下 ( 。1 ：) + ( n 2 耄) = ( 口1 + 啦乏：善) ， 一6 一 第一章引言 ( a 1 ：) ( a 2z b 2 2 ) = ( 。1 n 2a l z ：支- 1 6 2 ) 易证t r i ( a ，疋，召) 在此加法和乘法下构成一个代数 定义1 3 1 设a ，召是环r 上的代数，疋是非零的( a ，b ) 一双模，则 丁r i c 4 ，疋，召，= ( 。：) ：。a ，z 疋，6 b ， 在矩阵的加法和形式乘法下构成的代数称为三角代数 例1 3 1 环r 上的佗n 阶上三角矩阵代数死( r ) 可被视为三角代数，其 中n 1 事实上，若n k ，则有 砌，= r ) r n - k ki ， 其中r 一七，盘是r 上的一k ) x 后阶矩阵构成的空间 由例子1 3 1 可知三角代数定义中的a ，8 ，爿的选取并不唯一 例1 3 2 设么是环兄上的代数，则4 上的2 2 阶上三角矩阵代数乃) 是三角代数，事实上它自然的同构于t r i ( a ，a ，4 ) 许多被广泛研究的代数都可视为三角代数，如上三角矩阵代数，块三角矩阵 代数，n e s t 代数，非平凡n e s t 代数中的标准予代数，三角b a n a c h 代数等 n e s t 代数的概念是由j r r i n g r o s e 引入的，它是一类重要的非自伴的算子代 数设咒为复h i l b e r t 空间，召( 爿) 为咒上的有界线性算子全体，为侈( 咒) 中的 正交投影簇，如果是全序的包含0 和，且在强算子拓扑下闭，则称是召( “) 中的一个n e s t 与n e s t 相对应的n e s t 代数记为a l ，即 a l = t b ( n ) ：p t p = t p vp ) 若= o ，) ，则a l 称为平凡的n e s t 代数，否则称为非平凡的n e s t 代数 非平凡的n e s t 代数通过p e i r c e 分解可视为三角代数，即设4 是一个非平凡 的n e s t 代数，是对应的n e s t ，选取p 1 使得p 1 0 ，r i ，令p 2 = ，一p 1 一7 一 第一章引言 令a 1 1 = p 1 a p t ，a 1 2 ：p 1 a p 2 ，a 2 2 = p 2 a p 2 ，则有a = a x l04 1 20a 2 2 ，即 ，4 1 1 月1 2 、 肚l如j 从而n e s t 代数可看作三角代数下面的这个例子可以说明n e s t 代数真包含在三 角代数中 例1 3 3 o a 2 2 o 割3 ：a i j ec ) u h f 代数与t u h f 代数 u h f 代数是一类比较重要的极限代数，t u h f 代数是非自伴的极限代数 一个含单位元的c 代数4 称为u h f 代数( 一致超有限g + 代数) 是指4 中存在一个含原单位元的单的有限维代数升链 a 使得ua 稠于4 由 于含单位元的有限维单的c + 代数同构于矩阵代数，所以u h f 代数还有如下的 等价定义：设和。) 是一个正整数序列，满足对任意的扎l ，p n i p 。+ 1 任给亿用 晦。表示全体p nxp 。阶矩阵构成的代数，令：屿。一。+ ，是保单位元的单 的木一同态，则定向系统 坞。，：n ) 的定向极限a = l i i i l 屿。，) 称为u h f 代数 任给n ，用耳。表示全体p 。xp n 阶上三角矩阵构成的代数，d 鼽表示全体 p 。xp n 阶对角矩阵构成的代数如果任给礼，妒n ( 啮。( ) ) n o ，川( 强+ 。) ，其 中n d ，。( ) = 【v ：秽是耳。中的部分等距且v d p 。v 。d p 。，秽+ d p 。v d r , 。) 是 耳。关于d 肌的正规化子，则定向系统 耳。，：n ) 的定向极限t = l i m t p , ，) 称为t u h f 代数，定向系统 d 鼽，：佗) 的定向极限口= l i i l l d 鼽，) 是典型 的m a s a ( 极大交换自伴的子代数) 任给佗，令是从坞。到4 中的典型木一同态，记坞。= ( 坞。) ，耳。= 。( 耳。) ，则u 稠于a ，u 强稠于丁可以选取4 相应于m a s a 口的 矩阵单位系 e 3 ：1 i ，歹p n ，n = 1 ，2 ， 满足 e 嚣：1 i ，j p n ) 是 坞。的矩阵单位系，任给1 is 耽，扎= 1 ，2 ，有铭d ，e 弓p ：2 ：f = 瓠e 嚣， 一8 一 吼o 0 ，一，1一， 己 澈 a 昕 非而数代角 三 是 第一章引言 并且忙3 ：1 i ，j m 中每一个元是r 矿1 ：l i ，j p n + 1 ) 中某些元 素的和则 e 舀：l i j p 。，n = 1 ，2 ，) 构成丁的关于口的一个矩 阵单位系，其中对任意的m 0 使得l ia x bi i ki la x ibi i ，则称刀是b a n a c ha 双模。 和导子有关的概念 设4 是复数域c 上的代数( 如不加特殊说明文中的代数均是指复数域上的 结合代数) ，朋是a 双模 定义1