（基础数学专业论文）准地转方程的一些结果.pdf

摘要 著名的关于小r o s s b y 常数流的准地转方程在海洋学和气象学中被广泛使用 它们不仅用来模拟和预测中纬度海洋和大气环流，而且用来研究稳定性，锋生作 用和混沌 在这篇论文中我们讨论两种类型的准地转方程我们首先讨论没有耗散项 的准地转方程，它来自于在准地转速度场假设条件下具有自由边界的欧拉方程 的近似模型，被称为h a s e g a w a - m i m a - c h a m e y - o b u k h o v 方程同样它也可以产 生于等离子理论中我们运用精确的先验估计得到了h a s e g a w a - m i m a - c h a m e y - o b u k h o v 方程强解的整体存在性 然后我们讨论在两层区域上的流体模型，得到了地球流体动力学中耗散的准 地转方程在x 。( 0 ，o 1 0 ，1 】，口是关于z 和t 的尺度函数，并且u = l ，地) 是速度场由 口通过流函数妒来决定，满足辅助关系式： 归( 抛) _ ( _ 差，差) 以及( 以) 1 2 妒= - 8 作者得到了( 1 4 ) 的很多结果 我们注意到，在( 1 3 ) 中让f = 卢= 0 ，设缸= ( 一舰，他) ，( 1 3 ) 可以当作2 维的欧拉方程来处理关于v ( n 2 ) 上不可压的流体运动的欧拉方程，k a t o 和 l a i1 2 2 ，k a t o 和p o n c e 【：翻证明了在区间【0 ，t ) 上存在一个w 。护0 ：+ 1 ) 解 解的存在时间t 仅依赖于初始值的w 。护范数它是不是整体的是一个非常有趣的 问题我们将在第2 章给出部分回答 p a u m o n d 在【2 4 】中得到了( 1 3 ) 具有日4 初始条件时局部强解的存在唯一性 在g u o 和h a r t 的文章【2 5 】中，作者在初始条件u o 日3 ( 舒) n w 乏( 譬) 和p = 0 的情况下得到了整体解，但是方法较复杂在第2 章中，我们将用一种简单而平凡 的方法得到( 1 3 ) 的整体解并且我们不需要卢= 0 这个条件 1 4 两层流体模型 在两层模型中，我们讨论具有耗散项的方程在b e m i e r 和c h u u e s h o v 【2 6 1 中作者讨论了多层模型作者讨论了决定自由度的有限性b e r n i e r 【2 7 证明了在 上乞( o ，zh 3 ) 上的整体存在性并且给出了整体吸引子，在某种耗散意义下它在 口上是有界的本文中，我们在两层区域上讨论流体模型在x o ( 0 成立，结论将成立否则，对适当的常数c ，我 们有 五d 州日2 e m 各l 。g 阳备 因此对每个t 0 ，我们有， l o g l o g 【叫备c t + l o g l o g u ；( o ) c t + c i l 蛳i l 胃) ， m 尔e e 叭矾”吲钿， m 刖e 扣“圳酬”， 从而根据l | 刖和【】h 的等价性，我们有 l i u l f 日e e c t + 一” 定理2 2 ：设u o 上r 4 ，则问题( 2 1 ) 在上有唯一的整体解 证明：从定理2 1 ，我们知道问题( 2 1 ) 有一个唯一的局部强解u ( t ，霸可) ”( 【0 ，p 1 ，( r 2 ) ) n c o ( i o ，p 1 ，日1 ( r 2 ) ) ，这里p 依赖于i 怕根据引理2 , 4 ， 对任意给定的t 0 ，l l u l l , 是有界的这样我们用标准的的方法( 可参见【3 4 】) 就 得到了( 2 1 ) 的整体存在性，并且是唯一的 注记2 1 ：对 a o 日。( s 4 ) ，定理2 2 的结论在上p 上仍然成立事实上，我 们在( 2 1 ) 两边同时乘上a t ，并且在砰上分部积分，然后运用性质 l 厶a o a - 1 c u , a q 挑) 班t 1 丝垒兰星垫堡堡型 ! ! = k ，啪乱j g l 以f pl 易训。2 仳k c ( 1 + l o g ( 1 + i i 牡l l x ) ) | | i l 备 和范数的等价性( 类似引理2 4 ) 即可得到证明 第3 章两层流体模型 3 1 模型的方程和预备 本章中我们考虑在两层流体区域上的模型它由下面位势旋度( p o t e n t i a l v o r t i c i t y ) 日关于时间的导数的方程给出： 面d q , 量象+ ，( 戗= 最+ 皿， ( 3 _ 1 ) 这里层数i = l ，2 ，妒是流函数，并且j a c o b i 肌项7 ( 识) = 罄啬一嚣鑫给出了物 质导数d d t 的平流贡献。我们可以在【3 ，2 8 】中找到关于此模型的更多细节描述 正如d u a n e 和t r i b b a 在【2 8 】中描述的，方程( 3 1 ) 表示位势旋度在一个移动的小 区域( p a r c e l ) 中守恒离散的位势旋度是 岱= i o + + 讥+ 耳2 ( 妒l 一亿) ( 一1 ) ，= l ，2 ，( 3 2 ) 这里，p ，y ) 是在每一点( z ，剪) 地球旋转产生的旋度，0 是在区域上厂的平均值 ( 区域q 将在后面给出) p 是常数，并且皿在每一层上的r o s s b y 演化半径( 在 p e d l o s k s y 3 】可找到相关定义) 和【2 8 】中一样，我们对识和a c d i = 1 ，2 ) 考虑如 下边界条件： ：二妻嚣雯黧麓蜘0 陋1 ，。， i ”一方向具有边界条件戗= 戗= 0 = ，2 ) 。 外力项 最= 伽( 西一岱) ，i = 1 ，2 ， ( 3 4 ) 这里酊由强迫流函数螺所定义， ；1 ，2 伽是一个正常数耗散项是 毋= 砖蟊( 砖 o ) ，i = 1 ，2 ( 3 5 ) 第3 章两层流体模型1 3 适当的选择耗散项n ，这个模型将在两个相关的稳定流区域内产生混沌，自 然的分开了状态空间我们可以从f 2 8 】中找到例子在【2 8 】中，作者用数值模拟来 证明了这个模型的同步化性质这样的同步化耦合解释了同一区域内不同的部分之 问的关系在本章的最后一部分我们将给出系统同步化性质的严格证明( 其中我们 假设酊= 口主，它们分别是由强迫流函数纠和优定义的) 这一章安排如下：在第2 ，3 节，我们将分别建立问题( 3 1 ) 一( 3 5 ) 的局部和整 体存在性理论在第4 ，5 节，我们分别得到该问题的整体吸引子和指数吸引子最 后一部分我们证明同步化性质 现在我们首先引入一些记号并且进行一些巧妙的变换将问题( 3 1 ) 一( 3 5 ) 改写 成抽象形式 设 = 肛屯 这里q = ( 曩y ) ：0 d ，0 y 1 ) x = = “，：u ( q ) ，在z 方向是周期的，u = 0 在【0 ，明 o ，1 ) 内，p 2 ) w 留= u ：u x , v w x ) 仉留= p ：u x 。v w 五u x ) 等 w 磐w 够硌珞x 啦q 2 ) 和l 器l 茹表示在q 上通常的s o b o l e v 乘积空间，相应的范数用“1 1 w - 一”l i ，l i 和”l l 。表示此外用( ，) r 表示 向量( ，) 的转置 根据( 3 2 ) ( 3 由和( 3 5 ) ，我们设妒= ( 妒t ，仍) t ，p = ( 一耳2 妒1 + r i 2 协，r 2 - 2 也一 砑2 如) r 。h 一( 口；，脚q 主) t 。f = ( 毋，昆) r 。k = ( f o + 触，o + 可) r 则q 一 ( 口1 ，q 2 ) r ；k + 妒+ p ，f = h p o q ，d = ( d l ，d 2 ) t = v a q ，这里， 肚( 1 三) 因此我们可以把方程( 3 1 ) 改写为 瓦0 q + j ( 妒，口) = f + d 第3 章两层流体模型 1 4 等价于 讥+ 矶十t ，( 妒，七十妒+ p ) = h 一脚( + 咖+ p ) + v a ( k + 妒+ p ) 也就是 ( 妒+ 力t + ，( 妒，妒+ 力+ p 以= 一0 七一i 幻( 妒+ p ) + p ( 妒+ 力( 3 6 ) 设妒+ p = u = 1 ，忱) t ，这里p = b 妒，其中b 是一个矩阵： b = ( 喜2 姜) 因此母+ b 妒= i 对于a 具有上面讨论的边界条件，我们将证明( + b ) 一1 存 在根据p a z y 3 5 中的理论，我们仅需要证明一( + b ) 的最小的特征值天是正 的即可很明显b 半负定的因此一b 半正定的也就是说，一u r 上b 0 对于任意 的u 成立我们考察特征方程一( + b p = 沁，因为 ，胁= ( 删u ， 所以我们有如下估计： 州j 2 _ i i v , , , 1 1 2 一，肌划驯2 - a o l l 卵， 这里a o 0 在边界条件( 3 3 ) 下的第一个正的特征值( 关于以上边界条件的 f o i n c a r ( 不等式可参见z i e m e r 【3 6 】) 因此二( + b ) 的最小的特征值天是正的并 且( a + 口) 。存在 设一= 比一脚，一p 是( + b ) ，则( 3 6 ) 可以被改写为 ，i + 幽+ ，( ( + b ) 一1 u ，u ) 一h + p o k = 0 因为- d = v a 一脚j 一口叠( + b ) 一1 是可逆的扇形算予，根据p a z y 【3 5 】 中的理论知道它是x x 上一个有界解析半群的无穷小生成元，并且定义域 d ( 卅= 嘧嘧 第3 章两层流体模型 1 5 根据g a o 和d u a n 在【3 7 】中的类似讨论，我们可知道如果条件 4 啪 等 ( 3 7 ) 满足，则最小的特征值是正的因此，：d ( d ) 一x x 是x x 上的正 的扇形算子 对于0 口1 ，我们可以按照p a z y 3 5 】定义的分数次幂如下： 。= ( 一。) 一1 这里一口= - 0 0 。尸一1 e 一“乩 它是可逆的闭线性算子，定义域d ( 。) = x 。x x 。在x x 中稠密相应的定 义域d ( d 。) 是一个b a n a c h 空间，其中赋予范数 l i | 。：= l l u i l d ( 一a ) = i j 崩7 0 u 我们将把非线性项考虑为 ( u ) = ，( ( + b ) 一1 “，u ) + ， 这里，= 一h + 肋七因此我们关心的系统( 3 1 ) ，( 3 2 ) ，( 3 3 ) ，( 3 4 ) 和( 3 5 ) 可改写 为 她+ u + ( u ) = 0 ，w ( 0 ，y ) = 1 0 扛，) x ox x o ( 3 8 ) 3 2 在x 口x 口， q l 上的局部存在性 这里及以后gg 和q 将表示可能的不同的常数 引理3 1 ：( h e n r y 3 8 ) 假定qc 帮是一个开集并且q c l p ；时，我们有 x 。x 。cw 1 p ( f 1 ) 矿1 沪( q ) ( 3 1 1 ) 第3 章两层流体模型 1 7 除此之外，根据h e n r y 3 8 中的理论，我们有 x 。x 。cx l 2 x 1 2 对所有的口 ； ( 3 1 2 ) 所以根据( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 我们得到 l | 扣) 一p ) i l ，a l l u l l 。i l u 一叫i 口+ l | u t ，| i 。1 1 t l 。) 这样我们就得到了( 3 9 ) 上面描述的条件( 3 9 ) 允许我们将经典的结果运用到( 3 8 ) ( 见定理6 3 1 ，p a z y 3 5 ) 因此我们将有问题( 3 8 ) 的如下局部存在性结果： 定理3 1 ：设岫x 4 x 。( 初始值，也就是嘧幻p 略2 。1 ， 0 使得( 3 8 ) 在妒l ， 化，妒l 和仍满足边界奈件( 3 3 ) 下有唯一的局部解满足 u e ( 【o ，q ，x 4 x 。) n c l ( ( o ，x 。x 。) 也就是说问题( 3 1 ) ，( 3 2 ) ，( 3 3 ) ，( 3 4 ) 和( 3 5 ) 有唯一的局部解满足 妒c ( 【o ，刁，w e + 2 a p w 留2 口p ) nc 1 ( ( o ，r ) ，w 苗孙p w 苗2 口护) 3 3 整体存在性 根据p a z y 3 5 】中的理论，我们有以下引理 引理3 3 ： 【3 5 】设是x 上的一个扇形算子并且一是一个有界解析半群 的无穷小生存元) 汨应于问题( 3 8 ) ) 满足局部l i p s c h i t z 进一步，存在一个 连续的非减的实值函数七( ) 使得 i ( 叫) 1 1 ，七o ) ( 1 + l h i 。) ，f o r t 0 ，j x 。x 4 ， 则对每个w o x 。xx 。，( 3 8 ) 有一个唯一的整体解 第3 章两层流体模型1 8 从这个引理我们知道，如果非线性项的次线性增长性条件能够得到，我们将 立即得到整体存在性为了验证这个条件，我们需要下面的引理： 引理3 4 ： 设w o x “x 爿o ， o 舢- v t r ，( 3 1 3 ) 这里吖是一个依赖于a l ，i f 巾，蛐i i 的常数，- ) fn 当t 0 0 时独立于w o 证蹰在( 3 8 ) 两边乘上“，在q 上积分并分部积分，我们得到 ；面d 1 1 2 + l i d l | 2 + 州+ 耵1 州) “，+ 知_ 0 因此 ；a l l u i l 2 + 扣1 钏| 2 + 互1 a - i i u i l 2 _ 0 ) 也就是 未1 1 2 + i l 1 ，| 1 2 一j i a 。i i u i l 2 + 暑i l 州2 ( 3 1 4 ) 所以 e 每( ；a t i i u i l 2 + 未i l u i l 2 ) e 每砉| 1 月j 2 。 上未( e 每i i u i l 2 ) z 砉e 每钏巾2 所以我们得到 i i u i l 2 0 使得对每个t n ( 蛐) ，我们有 i i 1 1 2 - 0 ，t 0 ， ( 3 1 7 ) 这里蝎是一个仅依赖于，a 。和l i i i 的常数 在( 3 8 ) 两边乘上扁幻，在q 上积分并且进行分部积分将得到 ；翻圻训2 + i i d , , , 1 1 2 + 州+ b ) - - 1 l d ) 矶+ 协_ o 于是 i l 圳dl , 7 4 1 垆+ l i 矶肝 击i l ，1 1 2 + 警i l o l l 2 + i l o f i i i j ( ( n + b ) 一1 u ，u ) | l 击l i j i 2 + 鲁i l 新一1 1 2 + 鲁i l 硝u i l 2 + 去i i j ( c a + b ) 一1 u ，u ) 1 1 2 击i i ，1 1 2 + ( 等+ 等) i i 翻幻1 1 2 + 击，2l ( ( + b ) 一1 ) 2 + ( ( + b ) 一1 哟) 2 l 击1 1 月1 2 + ( 譬+ ? ) l l 矶lj 2 + 石1 【1 1 ( a + b ) 一1 此f l 蛩r q 十i i ( 十b ) 一1 - , il l - r 以】 击i i ，2 + ( 号+ 警) f i 砒| 1 2 + i j 1 7 2 u i l 2 i l w l l 2 s 击i l i l l 2 + ( 号+ 警) i i 扁幻1 1 2 + 笔i l 1 2 u i l 4 我们选取适当的常数e l ，e 2 使得等+ 警= 1 则 五di i 1 ，2 普f i 1 2 圳2 1 2 圳2 + 去，i | 2 对任何给定的r 0 ，竹普i i 1 2 u i l 2 毪笋：= 舰，十r e , 1 1 1 1 2 r e - i i 巾2 ：= 坛根据一致g r o n w a u 不等式( c h o l e w a 3 9 】或t e m a m 4 0 ) ，我们有 i | l ，2 ( 等+ 尬) e 地：= 胪，任何给定的r o ，t r ( 3 1 8 ) 因此我们得到了( 3 1 3 ) 这里m 是一个依赖于a 1 ，i i i i 和i j 蛐| l 的常数此外，我 们发现当t o 。时， 五是与蛐无关的进一步，我们可很容易的验证当t o o 时，常数m 独立于咖 第3 章两层流体模型 定理3 2 ：设岫6x 。x 。( 初始值，也就是妒06w 常2 。9 孑2 。p ) ，p 2 ，i i 0 ，问题( 3 8 ) 在砂1 ，妒2 ， 妒1 和如具有用期边界条件( 3 3 ) 时，有一个唯一的整体解且满足 u c ( 【o ，t ) ，x 。x 。) ne 1 ( ( o ，刁，x 。x o ) ， 也就是f - - l 题( 3 1 ) ，( 3 2 ) ，( 3 3 ) ，( 3 4 ) 和( 3 5 ) 有一个唯一解满足 砂c ( 【o 即，w 苗缸伊畴2 q p ) n c l ( ( o ，t ) ，略缸。嘧缸9 ) 证明： | j ( t ，岫) ) | l ， 一l i j c ( a + b ) 一1 u ，u ) + ，l | p i i j c c z i + 口) 4 u ，u ) l i p + i i y l i p j i c a + b ) - 1 “k 屿一( + b ) q 吨l i p + q ( 3 1 9 ) s | i ( + b ) 一1 h k 嘶| | p 十l i ( a + b ) - 1 “k i f p + a i l ( + b ) 一1 “岛| i 。o i i “i i p + l ic a + b ) 一1 “i i o o i | “岛i l ，+ a sc 2 l l d l 2 u i i l i uj | w t ，+ a c j | | 。1 1 2 u l i l p i i 。+ a 从定理9 1 ，我们知道在f 0 ，存在唯一一个局部解，现在我们在( 3 1 3 ) 让 0 7 0 t ，则u ( r o ) x o x o 根据( 3 1 3 ) 和( 3 1 9 ) ，我们得到 p 以峋) ) | | p g m i i u l l 。+ a f o rt2r o 因此，根据引理，这样就完成了定理3 2 的证明 3 4 整体吸引子 我们首先回忆一下c h o l e w a 和d l o t k o 在1 3 9 】中的关于整体吸引子的一些结 果我们引入以下条件( j 4 2 ) ： ：o c a ) _ x x 是x x 上的正的扇形算子 笙! 童里呈壅竺堡翌 ! ! 一个b a n a c h 空间y ，且d ( ) c y 一个函数c ：【0 ，+ o 。) x ( 0 ，+ o 。) 一rc ( ，s ) 对固定的s 是局部有界的 一非减函数g ：f 0 ，+ o 。) 一【0 ，十o 。) 某个数口【o ，1 ) 使得对任意的0 j 0 x 。有 p ( t ，咖) | l ，c ( 1 l o | ，o l l 。，s ) ，0 5 t 2 ，； 口 0 ，也就是 说它的谱具有正实部则对d 芝0 ，t 0 ，o e 一矶是x 上的有界线性算子，并且存 在q 使得 i i d l e 一一i l c ( x x ) c k ：i ，t 0 ；l t l 3 6 ：设蛐x 4 x 4 ( 初始值，也就是讥喈2 0 p 喈轴p ) ，p 2 ，； 0 ，使得对每 个t t l ， i i n ( u ) i i ，k x j h 是一个依赖于a 1 ，l l ，i | 帅的常数，并且和a 1 成反比根据常数变易公式， ， u ( t ) = e 一一( 一- ) u ( t 1 ) + e 一一( 一( 一( u ( s ) ) ) d s ， 第3 章两层流体模型2 4 因为满足耗散性条件( 3 7 ) ，我们可以假设a e o ( m ) 0 ，我们得到 1 1 w ( t ) l l 。m e 一一”t l w ( t x ) l l n + k , c o , ：i t s ) 一。e 一o 一5 ) d s m e 一( h - ) l l w ( t a ) l l 。+ 垡筘 丑 c l e 一( l l w ( t 1 ) 1 1 。+ k 2 ， 这里k 2 = 丝罂= 堂，r ( 口) 是r 函数在口处的值因此x n 的以0 点为心，2 k 2 为 半径的球1 3 是t ( t ) 在x a 上的一个有界吸收集 现在让 z ：耐。 t t 8 根据构造和t ( t ) 的连续性知道，z 是r ( t ) 不变的并且在x 。中紧的( 【4 5 】，h a l e ) 现在我们可以陈述我们关于指数吸引子的主要结果， 定理3 4 ：设蛐x 4xx 。( 初始值，也就是喈2 口p w z 2 口p ) ，p 2 ，i 2 ， 0 使得 0 ) 映射“t ，一t ( t ) ：【0 ，t l 】z 一石是l i p s c h i t z 连续的( 这里z 被赋 予x a ) 中的度量； ( 赶) 映射t ( h ) ：z z 允许以下形式的分解 t ( 南) ；丑+ 正，7 1 ：石_ x o ，乃：刀_ z ， 第3 章两层流体模型 2 5 这里乃是一个f 一压缩，即， i l 五( 蛐1 ) 一丑( 岫2 ) j i 口t l l u o l u 0 2 1 1 。，v ( 0 0 1 ，u ) 0 2 疋 并且乃满足条件 对某个m 0 噩( 蛐1 ) 一乃( “切) i i 三m l l o d o l 一“i 舱v 蛐1 ，0 ) 0 2 z 这种方式获得的指数吸引子将依赖于z ，所以我们把它表示为州1 这个引理 的实现可以通过以下三个命题 命题3 1 ：对每个下 0 ，映射 ( 以u ) 一t ( t ) u ) ：【o ，r l z z 是u p s d h i t z 连续的 证明：假设咖1 ，0 - 1 0 2 z 并且t f 0 ，州，根据常数变易公式，引理3 4 ，公式 ( 3 1 0 ) 以及嵌入定理，我们有 i i t ( t ) ( w 0 1 ) 一t ( t ) c ( 1 j 0 2 ) l l 。q e l i i u o , 一“忱l i 。 + j ：i i d 。e - d ( - ) l b x ，x ) i i n ( u 1 ( s ) ) 一n ( 屹c s ) ) l l p d s a e “0 咖l 一峋2 弘+ 6 2 o s ) 1 e 。( 扣5 ) 1 1 w i ( 8 ) 一屹( s ) 弘d s a e “0 “饥一蛳2 弘+ 伤层( t 一8 ) ”l l “, 1 ( s ) 一屹( s ) 忆d s 根据v o l t e r r a 型不等式( 参见引理1 , 2 9 。【3 9 】) ，我们有 i i t ( t ) ( 蛐1 ) 一t ( t ) ( “0 2 ) l l 。o e 一“i l u o l 一“忱i k ， 进一步，根据 3 8 】中定理3 5 2 ，我们知道t ( t ) o d o 在t 0 时是可微的，并且 岳t ( t ) w o 弘。因此满足需要的l _ a p s c h i t z 连续性条件 第3 章两层流体模型 接着我们把映射t ( t ) ：石一z 按以下形式分解为t ( t ) = 丑( ) + 死( t ) ，对 0 2 0 爿我们让正( t ) 蛐= u 1 并且乃( t ) 岫= 0 2 2 这里z ( t ) 0 2 0 和噩( t ) 岫分别是 t 0 时以下系统的解： 0 2 铷1 ( 0 ) ；0 2 0 0 ， 和 警+ 砒= 一i v ( 0 2 ) ，t o ， i 忱( o ) = o 这里0 2 = t ( t ) 0 2 0 很明显噩( t ) 是x 。上的一个o o 一半群 命题3 2 ：对每个z ( 0 ， ) ，存在一时间t t o 使得 i i t , f 0 2 0 1 1 一n f 0 2 0 ，1 1 1 。 厶 于是 证明：从( 3 2 2 ) 我们有 0 2 12e - d t 0 2 0 l i 乃( 峋1 ) 一正( 砌) i i 。i l e - a , ( 由1 - 0 2 0 口) 1 1 。m e l 0 岫1 0 2 0 2 口 f 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 让白= ：1 m t m ，我们完成了证明 现在我们选取z = x 一，1 o t 很明显嵌入z x 。是紧的很容 易验证t “t ) 是一个从z 到z 的非线性映射 命题3 3 ：对每个t 0 ，存在m 0 使得 0 乃( 内1 ) 一噩( “忉) 0 名m 1 1 0 2 0 l 一蛐2 i i 。，v 0 2 0 l ，c 。b 2 z 第3 章两层流体模型 证明：对l = 1 ，2 ，证明过程中我们使用下面记号岫= l d 0 1 一地，蛾= t ( t ) w o , ，u = t ( t ) w o l t ( t ) w 0 2 ，面= 疋( t ) 岫1 一乃( ) 岫2 于是面满足系统 篓二加= 她) - 脚1 ) 协o ( 3 2 4 ) l 努( o ) 一- - u n h 删 如果0 1 0 1 ，蛳2 z ，则u l ，忱z 结合常数变易公式和命题3 1 。我们有 ij 乃( 岫1 ) 一正( “忱) 0 z 兰0 巧0 0 ， 名l l d 。 e 一卅“ l l a x j ) l l g ( u 1 ) 一( 忱) 她d s e i i 盈e 一一( “) l l t ( x x ) 1 1 “ 1 1 。d ssg 0 峋n 口片 一s ) 一一e t ( t i ) d s g r1 = - 笋“ i l 岫弘三m l l u o 一蛐z i i 。 这样就建立了结果 根据【4 4 】的结果，我们有以下结果 推论3 8 ：设岫x 。x 。( 初始值，也就是讥w 才孙，w 君2 口p ) ，p 2 ， 0 和v t r 因此我们可很容易的验证存在c 使得 i i 1 2 t 0 1 i gi i 1 2 w 2 1 i g | | m “| isg | j 乳l h ai i | | c 对任意给定r 0 和v t r 成立这里及以后我们将仍然使用i | l i l 。表示 在l ，x o 中的范数c 表示可能的不同的常数 根据，的双线性性，我们有 ，( ( + b ) 一1 u 1 ，0 ) 1 ) 一j ( c a + b ) 一1 “b ，忱) = ，( ( + b ) 一1 ( 牡+ 吨) ，u 1 ) 一，( ( + b ) 一1 “j 2 ，u 2 ) = ，( ( + b ) - l ，0 ) 1 ) + ，( ( + b ) 一1 c 比，缸) 引理3 9 ：设u = ( 0 ) 1 ，忱) t 是定理3 2 中定义的整体解，她一叻= 则 t a i + m 。i l u l l = 0 证明：在( 3 2 s ) 两边乘上t ，并且在q 上进行积分和分部积分，我们得到 ；五di i u l l 2 + i i 1 2 t , 1 1 2 + fj ( ( a + b ) 一1 札，) u = 。 第3 章两层流体模型 凼此 j l 蕊d 1 2 + f l u n u l l 24 - , x 1 1 1 u l l 2 si _ r ，( ( + b ) 一1 t ，u ) w l i i f u l f | i i j ( ( a4 - b ) 一1 让，) j | l i u l | l _ “0 一正4 u a 2 ，并且根据 ( 3 1 5 ) 我们知道当t 冗( 咖) 时， m l i t 1 ( w o ) 时， 持钍1 1 2 一扣1 1 2 根据渐进g r o n w a l l 不等式【3 9 】，我们有 。删= o - 这样就完成了引理3 9 的证明 引理3 1 0 , 设“j = l ，忱) r 是定理3 2 中定义的整体解，一姚= “则 i l 砒i | 廊，对任意给定的r 0 ，t 0 庸独立于a 1 ，d ，i i u o l i ，i i i i ，给定的r 和s o b o l e v 嵌入常数c 。 证明：在( 3 2 8 ) 两边乘上牡，并且在q 上进行积分和分部积分，我们得到 ；未l l 圻让1 1 2 + i i 矶1 1 2 + ，( ( + b ) - l