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交错环链补中不可压缩曲面的性质 中文摘要 交错环链补中不可压缩曲面的性质 研究生：杨盛武 指导教师：韩友发 学科专业：基础数学 本文讨论了交错环链补中的不可压缩、分段不可压缩曲面的性质设三是s 3 中的一 个交错环链，将三投影到s 2 上，三的每个交叉点都对应一个“b u b b l e ”，用来体现工 的交叉点性质如果有n 个交叉点，则投影图就有珂个“b u b b 比”与之对应，从而在 s 3 中构造了2 个二维球面霹和受设f 是一l 中的不可压缩、分段不可压缩曲面， 并且处于一般位置，则f n 跹是一组简单闭曲线，而f 与每个“b u b b l e ”交于一个 马鞍形圆盘称这组曲线和所有的马鞍形圆盘是曲面f 的拓扑图，记为r 设c 是拓扑 图丁的任意一条简单闭曲线，若在跹( 或跹) 上存在圆盘d ，使得o d = c ，且d 的 内部不与丁的其他曲线相交，则称拓扑图r 是简单的如果拓扑图r 存在一组房间，使 得在该组房间中取出有限个进行图1 1 和图1 2 的变换得到的新图仍然是简单的，则称r 是特殊简单的，并且该组房间称为特殊房间族本文通过讨论f n g 的性质刻画了曲面 的性质设上是素的约化交错环链，f c s 3 一l 是带边的曲面，而且每个边界分支都合 痕于三的子午线若f 是不可压缩、分段不可压缩曲面，并且f ( f ) 是特殊简单的，则 曲面f 的亏格是零 关键词；交错环链，不可压缩曲面，分段不可压缩曲面，亏格 交错环链补中不可压缩曲面的性质 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed e a lw i t hi n c o m p r e s s i b l e ，p a i rw i s ei n c o m p r e s s i b l es u r f a c e s i na l t e r n a t i n gc o m p l e m e n t s l e t 三b ea na l t e r n a t i n gl i n ki ns 3a n dl e t p r o j e c to ns 2e x c e p tn e a rc r o s s i n g so flw h e r ell i e so nab u b b l e i ft h e p r o j e c t i v ed i a g r a mo ns 2h a s ”c r o s s i n g s 。t h e nt h e r e8 r e b u b b l e s t h u sa r e c o n s t r u c t e d2 - s p h e r e ss u r f a c e s 奠a n d 受b yt h ep r o p e r t i e so ft h el i n k l e t ，b ef i ni n c o m p r e s s i b l ea n dp a i rw i s ei n c o m p r e s s i b l es u r f a c ei ns 一三，t h e r e i sac o l l e c t i o no fs i m p l ec l o s e dc u r v e sw h e nt h es u r f a c efi s i nas t a n d a r d p o s i t i o n ，fm e e te a c hh a l lb o u n d e db yab u b b l ei ns a d d l es h a p e dd i s c s ，t h i ss e t o fc a r v e sa n da l lt h es a d d l es h a p e dd i s c si sc a l lt h et o p o l o g i c a lg r a p ho fs u r f a c e fd e n o t e db yt h s s n eci sa n ys i m p l ec l o s e dc u i 弋，eo ft o p o l o g i c a lg r a p h 丁i ft h e r ee x i s ts j ( o r s 2 ) o nt h ed i s kd ，s u c ht h a ta d = c ，a n dt h ei n n e r o fdd o e sn o ti n t e r s e c tw i t ht h eo t h e rc u r v e so ft w ec a l li t i ss i m p l e 。i f te x i s tag r o u po fr o o m ss ot h a t t h en e wg r a p hg e t t i n g b yt a k i n gt h e t r a n s f o r m a t i o no ff i g u r e1 1a n df i g u r e1 2 t of i n i t eg r o u p so fg r a p h si ss t i l l as i m p l eo n e i ti sc a l l e ds p e c i a ls i m p l ea n d t h eg r o u po fr o o m si sc a l l e d s d e c i a l t h es u r f a c e sa r ed e s c r i b e db yd i s c u s s i n gt h ep r o p e r t i e so ffn 篷l e t 三b eap r i m ea n di r r e d u c i b l ea n da l t e r n a t i n gl i n k ，fcs 3 一li sas u r f a c e w i t hb o u n d a r y ，w h o s ee v e r yb o u n d a r yc o m p o n e n ti si s o t o p i ct ot h em e r i d i a n so f l ，i ffb ea ni n c o m p r e s s i b l ea n dp a i rw i s ei n c o m p r e s s i b l es u r f a c e ，a n dr ( f ) i ss p e c i a ls i m p l e ，t h eg e n u so ffe q u a l sz e r o ， k e y w o r d s ：a l t e r n a t i n gl i f l l 【，g e n u s ，i n c o m p r e s s i b l es u r f a c e ，p a i r w i s e i n c o m p r e s s i b l es u r f a c e 2 交错环链补中不可压缩曲面的性质 1引言 不可压缩曲面一直是拓扑学关注的主要问题之一，而交错环链补中的不可压缩曲面 是个更加活跃韵课题。在文献 1 中，m e n a s c o 讨论了交错纽结补中的不可压缩、分段 不可压缩曲面的性质，从而证明了当f 的边界分支不超过6 时，该曲面是穿孔球面在 文献 2 中，m e n a s c o 讨论了不可压缩、边界不可压缩曲面的性质，并且证明了交错纽 姑的c a b l i n g 猜想，文献 3 用类似的方法给出了交错纽结是非平凡的一个几何证明 我们1 4 ，5 1 用上述方法讨论了几乎交错纽结补中的不可压缩、分段不可压缩曲面的性质，即 设世是几乎交错纽结，f 是s 3 一k 中不可压缩、分段不可压缩曲面，若# ( 部1 ) 6 而且f n 蹬是互不包含的简单闭曲线，则f 的亏格是零通过讨论f n 的性质，给 出曲面欧拉示性数的计算方法，从而决定曲面的亏格但以上讨论中都限制了曲面的边界 分支数本文给出了相交图fng 的变换，对任意具有有限边界分支曲面的性质进行讨 论设f 是一l 中的不可压缩、分段不可压缩曲面，并且处于一般位置，则f n 是一组简单闭曲线，而f 与每个“b u b b 膪”交于一个马鞍形圆盘，称这组曲线和所有 的马鞍形圆盘是曲面f 的拓扑图，记为t 本文通过讨论f n 的性i 质亥。画了曲面的 性质设三是素的约化交错环链，f 匕s 3 一上是带边的曲面，而且每个边界分支都合 痕于l 的子午线若f 是不可压缩、分段不可压缩曲面，并且r ( f ) 是特殊简单的 ( f n 霹中的任意简单闭曲线都是最内的) ，则曲面f 的亏格是零从而一般化了文献 1 中所讨论的问题 交错环链补中不可压缩曲面的性质 2 预备知识 没工 r 3c s 3 = r 3 u o 。) 是交错环链，带有投影映射石：r 3 斗r 2 ，并且假设 l 已经消去平凡交叉点( 图1 ( d ) ) ，更一般地是消去使互有连通和分解l = l # l 4 的 相对平凡交叉点( 图1 ( b ) ) ( a ) ( 图1 ) ( b ) 定义2 1 如果厅( 工) 是连通的，则称上是不可分的，s 3 一是不可约的 定义2 2 如果上是不可分的，并且对于每一个圆盘d c r 2 ( 投影平面) ，有d 的 边界横截地交石( 三) 为两个非双点，也就是石( 三) n d 是一段嵌入弧，则称工是素的 令s 2 = 其2u 0 0 1 ，我们把工除了顶点及附近外投影到二维球面s 2 上，而且每一 个顶点投影到某个“b u b b l e ”上，( 图2 ) ( 图2 ) l 因此如果三有n 个顶点( 这里把的投影图d 与认为是一致的) ，则存在n 个 “b u b b l e s ”，可以把每一个“b u b b l e ”看成妒( 三维安0 球) ，所以就有行个， 4 交错环链补中不可压缩曲面的性质 即为睇，霹，b 。s 与”个顶点对应而且茸n s 2 = ，( i = l ，2 ，n ) 是圆盘 令 s ：= ( s2 0 。 u ( 0 ( 等) + ， 受：f s z 一0 a u f 0 ( 簧) 一1 i = 1 i = l 其中( 群) + 与( g ) 一分别表示衄的上半球和下半球，并且我们还令霹c s 3 是由霹 和蹬上部围成的球而爱c s 3 是由受和s ：下部围成的球 定义2 3 设 f 为一个三维流形。fcm 为曲面，则f 称为可压缩的如果 ， 中存在圆盘d ( 称为压缩圆盘) ，使得d n f = o d ，j j _ o d 在f 中本质( 即a d 在， 中不界定圆盘) ，如果不存在压缩圆盘d ，4 称f 为不可压缩的 例：置是p 中的一个纽结，( k ) 为k 的管状邻域，m 。= s 3 一n ( k ) ，则 o m k 是 靠中可压缩的当且仅当置是平凡纽结 引理2 4 ( t h em e r i d i a nl e m m a ) 如果是一个不可分的交错环链，并且如果fcs 3 一l 是一个闭的不可压缩曲面 则f 含有一个在妒一上中合痕于工的子午线的环路 故我们考虑在曲面，上的予午线手术( 图3 ) ，这样的手术总是保持不可压缩眭 经过有限次子午线手术，成为“分段不可压缩的” e j 卜二舒 图3 ) 交错环链补中不可压缩曲面的性质 定义2 5 设f c s 3 一l 是一个正常嵌入曲面，如果每个圆盘d c s 3 ，d 横截 交三于一点，且d n f = 0 1 9 ，存在个圆盘d c f u l ，d 横截交工于一点，且 0 1 ) = 0 1 ) ，则称f 为分段不可压缩曲面 没曲面f 是s 3 一三中的带边蓝面，而且其边界都合痕于环链的正则邻域的子午 线，且不与所有的“b u b b l e s ”相交，因此，可以使曲面f 相交每个“b u b b l e ”成为 马鞍形圆盘( 如果起初不是，可以通过合痕使其如此) ，( 图4 ) fn 生 ( 图4 ) f 九瓦 假定f 横截交于和史，f n 罡就是组互不相交的简单闭曲线而且每个分 支c 在箕都界定一个圆盘每一条闭曲线对应一个字，p 表示三与c 相交，s 表示马 鞍形对于曲线c 的一般形式是： , ( c ) - - - e j l s h p 。s i t 砷s “ 吐( c ) 的长度一定是偶数，f 的边界分支数等于吐( c ) 中尸的个数 下面，我们来考虑f 的标准位置，有三种隋况： ( 1 ) 疗( 工) 是连通的并且f 是个2 维球面，但在s 3 一中不界定一个球 ( 2 ) s 3 一l 是不可约的，f 是一个平环，并且给出l 的一个不平凡连通和分解 三= 厶# 岛 6 交错环链补中不可压缩曲面的性质 ( 3 ) s 3 一三是不可约的，l 是素的，并且f 是不可压缩、分段不可压缩的 引理2 6 在上述三种情况中，f 可以由f ( 同胚于f ) 代替，使得： ( d ) f n 箕中每条闭曲线对应的字1 f 空，即q ( c ) g ，其中c 是f n 的任 意一条闭曲线； ( 6 ) 没有n 中的任何道路交每个“b u b b l e 多于一次 证明： ( 口) 令c 是f n 簧中晟内部的一条环路，( 即c 界定一个圆盘d ，使得 o d = c ，r d 的内部不与f n 霹的其他环路相交) ，并且暇( c ) 是空的c 是一个 附近的f n 硬中的合痕圆环，c 界定一个圆盘d c f n 霹，且d n f = o d = c 在情况( 1 ) 中，沿d 给f 做手术，得到两个2 维球面，其中至少有一个在一l 中 不界定一个球，则我们就用这个2 维球面代替f 在情况( 2 ) 和( 3 ) 中，c 还界定一 个圆盘d 。 f ，并且2 维球面d u d ”在一三中界定一个球网此，我们通过保持 c 合痕d 和d 。，从而合痕，这个合痕消去在d 中f n s 2 的任意一条环路，特别 地，它消去c ，如果c c d ”在上述三种情况中，我们仍然称新的曲面为f ，然后在 f n 爰一c 中的最内的一条平凡环路上继续实施相同的步骤，如此继续，当所有 f n 受中的环路都被考虑到后，我们用相同的方法在f n 受中的环路上做手术这样， 最后我们得到( 口) 成立，并且还得到fn 爰中的每一条环路都在髓中界定一个圆盘 ( b ) 假设f n 跹中的某个分支c ( 在f n 跹的方法类似) 交一个“b u b b l e ” 的上半球日为两个或更多的弧令d c 跹是由c 界定的一个圆盘，使得d n 日包含 一个矩形胄，其中尺的边界是由c 的两段弧和a h 的两段弧组成的如果必要，还可以 用d 内部的f n 中的另外一个分支代替c 现在拽们能够假设f n i n t ( r ) = g ， 并且按照r 是否与芷相交有两种可能性( 图5 ) 7 交错环链补中不可压缩曲面的性质 l h ( 图5 ) c 界定一个圆盘d 匕f n 厦令口c d 是一条连接c n r 的两段弧的带子如 果r n 工a ，则这两段弧属于同一个马鞍形盯，因此占u 盯包含一个圆环在驴一三 中合痕于工的一条子午线，这在情况( 1 ) 中是不可能的在情况【2 ) 中，f 能哆通过 做沿着口u 盯的核曲线做的子午线手术变成两个平环，每个都比f 带有更少的马鞍 形，并且至少其中一个还是( 2 ) 中的情况在情况( 3 ) 中。因为f 是分段不可压缩的， 因此它可以被合痕而消去马鞍形盯如果r n k = a ，令d c 反是一个圆盘，并且 a d 是由b 的一段弧和双的一段弧组成韵在上述三种情况中，我们能够假设 d n f c 0 1 ) ，那么我们能够用d 来合痕f ，以至于消去f 中包含r n b 中的两段 弧的两个马鞍形证毕 定义2 7 如果曲面f 满足引理2 6 中的( a ) 与( b ) ，我们则称f 是处在标准 位置 注：如果是交错的，则f n 爰有下列的交错性质 如果旦与马是由f n 霹中的一条环路c 连续穿过的两个“b u b b l e s ”，0 有 ( c ) 如果在骂和马上的三n 的两段弧处在c 的异侧，那么在交叉点蜀平u 岛之间 c 交偶数次( 图6 ( a ) ) ( d ) 如果在骂和岛上的上n 的两段弧处在c 的同侧，那么在交叉点且和b 2 之间 c 交三奇数次( 圈6 ( b ) ) 8 交错环链补中不可压缩曲面的性质 ( d )( 6 ) ( 图6 ) 由于本文讨论的是不可压缩、分段不可压缩曲面，所以我们总能把曲面f 合痕到标 准位置，因此以下总假设f 处在标准位置 下面，我们将给出关于扭转的几个相关概念为了方便，任意的至少含有两个交叉点的扭 转，找们用一个矩形图表来表示( 图7 ) ， 凄一贾 定义2 8 环链投影图中每个扭转包含的交叉点数称为该扭转的长度( 2 ) ，扭转 的个数称为该投影图的扭转指标 我们称图8 中的一个变换为一个f l y p e 变换 暇一磁 ( 图8 ) 9 交错环链补中不可压缩曲面的性质 如果两个图表可以通过一系列f l y p e 变换相互转化，那么我们称这两个图表是 f l y p e - 等价的对于任意的交错图表d ，我们能够很容易地找出个图表与之对应 并使得这个图表的扭转指标是d 的f l y p e 一等价类中最小的， 定义2 。9 一个交错图表是标准的，如果在它的f l y p e 一等价类中，它含有最小的 扭转指标 铡如，( 2 ，p ) 一环面纽结的交错图表是标准的，并且带有扭转指标l ；8 字结的任 意4 个交叉点的图表是标准的，并且带有扭转指标2 现在我们假设给定一个纽结k ，通过一个投影，得到丘的一个标准交错图表d 。 则我们称k 的一个点是奇异的，如果它投影到d 的个双点上，否则称这个点是正规 的， 定义2 1 0 一个图表d 的扭转交叉数是最小的正整数n ，使得在纽结足上循环存 在一系列正规点a t ，鱼，呸，6 2 ，玩，并且带有如下性质( 对于每个 i = l ，2 ，珂) ： ( 1 ) 在q 与岛之间存在至多一个k 的奇异点； ( 2 ) 在6 f 与口+ 1 之间的所有奇异点投影到d 的相同扭转中的交叉 ( “被看作口1 ) 很清楚，d 的扭转交叉数不会超出它的普通交叉点数，并且也不会超出两倍的扭转 指标 由以上定义可知，在环链投影图中除了扭转，就是单个交叉点，即投影图是由矩形 和单个交叉点形成的，单个交叉点数记为s c ( d ) ，其中d 是投影图 由定义2 7 可知，若f 在标准位置，则f n 篷是一族简单闭曲线，而f 与每个 b u b b l e 交于一个马鞍形圆盘称这族曲线和所有的马鞍形圆盘是曲面f 的拓扑图，记为 1 0 交错环链补中不可压缩曲面的性质 r ( ，) 或者简记为，用_ ，幔分别记f n 与f n 爰的分支数，n ，是拓扑图r 的马 鞍形圆盘的个数令e ( r ) = _ + n 一臻，称为拓扑图丁的特征数 定义2 1 1 设c 是拓扑图r 的任意一条简单闭曲线，n f f s ：( 或罡) 上存在圆 盘d ，使得c 3 d = c ，且d 的内部不与丁的其他曲线相交，则称拓扑图r 是简单的 引理2 1 2 设d 是环链三的约化交错投影图，而且是标准的，r 是该投影图的一 个扭转曲面fcs 3 一l 处于标准位置则有f 列性质： ( 1 ) 若在r 中有个b u b b l e 有曲线c c f n 罡穿过，则这个扭转中的每个b u b b l e 都 有曲线穿过，并且每个b u b b l e 上的马鞍形圆盘的个数相同 ( 2 ) 穿过扭转r 的曲线两两不同 由f 处在标准位置很容易得到这两个j 性质下面给出一个例子来说明性质( 2 ) ( 图9 ) ( 图9 ) x 在图9 中任意两条环道都是独立的，比如讫x 1 ，如果是一条环道，则而和是 一条环道，那么这条环道与某个“b u b b l e ”相交两次这矛盾于f 处于标准位置 由性质( 2 ) ，如果这个扭转长度等于，s t j f r l s 一2 ( 或f n 受) = 蔓o f f i n + 1 条 环道；而且有下列情况之一的环道才有可能是最内的 ( 口) 穿过每一个扭转两端的环道； ( b ) 没有穿过任何扭转的环道 定理2 1 3 设三是变错纽结，fcs 3 一工处于标准位置。若r ( f ) 是简单的，而 交错环链补中不可压缩曲面的性质 且标准投影图中没有单个交叉点，o g ( f 1 = 0 证明：由于投影图中没有单个交叉点，所以投影图由扭转组成没ccf n 冀是任 意一条闭曲线，现在考察该曲线字的表示，假设该曲线穿过某个扭转的b u b b l e ，由引理 2 1 2 可知，这个扭转的所有b u b b l e s 都有曲线穿过，并且它们是不同的，又由于每个扭 转的眭度不小于2 ，所以至少有3 条不同的曲线穿过这个扭转，这与丁f 是简单的矛 盾所以曲线c 不能穿过任何b u b b l e ，即q c ) = p 。 这个结果回答了文献 6 中提出的问题，r 面将给出更一般的结果 定义2 1 4 设互，五分别是曲面巧，五与的相交图，而且这两个圈是分离的( 即 存在两个互不相交的三维球碍( f _ 1 ，2 ) ，使得lc 7 印) 若c l ，c 2 分别是拓扑图互，毛 的最内曲线，在这两条曲线上分别挖去段弧( 这段弧既不与环链相交，也不与任意一 个b u b b l e 相交，这样的弧一定是存在的) ，用两个不同的弧连接4 个点，得到个新图， 则称这个新图是五和五的连通机记为正# 正。如果一个拓扑图r 不能分解为其他两个 非平凡拓扑图的连通和。则称r 是素的 s l y 2 1 5 若，= 王# 正，则占( r ) = e ( 五) + e ( 疋) 一2 证明：设最n 的分支数分别是机，伟一，码，；e n 罡的分支数分别是 1 2 + ，”2 一，他。由t = 正# 正，则 所以 k = 拧i + + 玎2 + - i ，玎一= 强一+ n 2 一一l ，7 1 s = ，l h + n 2 s e 丁) = n + 垃一，= e ( 互) + e ( 墨) 一2 如果e ( 王) = 2 ，则e ( 丁) = e ( 正) 因此下面假设拓扑图是连通的、素的 1 2 交错环链补中不可压缩曲面的性质 3 主要结果 引理3 1 设三是素的约化交错环链，f 亡s 3 一l 是带边的曲面，而且每个边界 分支都合痕于上的予午线若f 是不可压缩、y y n 3 n n - , n 曲n ，并- r t ( f ) 是特殊 简单的，则e ( 丁) = z ( p ) 由于拓扑图t 可以形成曲面的一个剖分，所以通过一般计算即可证明这个结论 如果在图，( f ) 有闰1 0 ，则用个房间( 月d d 搠) 来代替也就是每个房间包含了某 些马鞍形圆盘( 尽可能多包含圆盘，与前面讨论的扭转基本相似) ，因此对于闭曲面f ， 它对应的拓扑图就是由房间组成的由引理3 1 ，为了计算曲面的亏格，只要计算出它对 应的拓扑图的特征数即可特别地，此时可以忽略纽结的性质，这给计算带来了很大的方 便。拓扑图r ( ，) 的房间数记为，( r ) 百 一 父 ( 图1 0 ) 命题3 2 拓扑图丁( f ) 的特征数e ( r ) 与每个房间包含的马鞍形个数无关，只与 房间数有关 证明；设r 有个房间冠，包含 个马鞍形圆盘，现将房间r 用另一个房间硝代 替，其中新房间只包含一个圆盘这样得到一个新图r ，则有 m = 玩，m = n n + l ，y s = ? l s n + l 所以e ( r ) = e ( r ) 1 3 交错环链补中不可压缩曲面的性质 注：根据命题3 2 ，在计算拓扑图的特征数时，只考虑每个房间包含一个圆盘的情 形但耍注意，在证明过程中得到的拓扑图r 可能会出现图1 1 的情形这对于原来的图 r 是不可能的，n j , n n f 处于一般位置但对于计算图的特征数无影响，而且还可以 实施图1 1 的变换把多余的房间去掉，并不改变图的特征数。所以当拓扑图只有1 个房间 时，总认为这样的图是简单的 ( 图1 1 ) 朋d 1 为讨论方便，引入另一个拓扑图的变换( 去圆盘变换) ，如图1 2 所示 ( 图1 2 ) 2 f g _ y 3 3 设丁( f ) 是一个拓扑图，如该拓扑图存在一组房间，使得在该组房间中 取出有限个进行埘d l ，m d 2 变换得到的新图仍然是简单的，则称，( f ) 是特殊简单 的，并且该组房间称为特殊房间族 定理3 4 设l 是一个交错环链，f 匕s 3 一三是不可压缩、分段不可压缩曲面 若丁( f ) 是特殊简单的，则e ( r ) = 2 证明：( 1 ) z ( r 、= 1 ，此时拓扑图只有个房间，不妨设该房间有珊个马鞍形圆 盘，则_ = 2 ，y i _ = m ，n s = m ，于是e ( r ) = m + n 一一n 。= 2 ( 2 ) z ( r ) = 2 ，对于这种情况可以经过e 边的两种变换使其归结到j ( r ) = 1 的情形 1 4 交错环链补中不可压缩曲面的性质 故结论成立 ( 3 ) 假设对任意的特殊简单拓扑图丁，当，( 丁) m 一1 时定理成立设拓扑图丁有研 个房间，并且是特殊简单的由于r 是特殊简单的，取特殊房间族的1 个房间，对其进 行 m d 2 变换，得到图丁”，i 而且l ( t ”) m 一1 ，则两个拓扑图r ，t ”的曲线分支数、 马鞍形圆盘数有下列关系： n = 刀+ ”， 胛一= m ”+ l ， n s = 一+ 1 ， 从而有 e ( 丁) = n + n 一一怫= 胛+ ”+ ( 胛一”+ 1 ) 一( n s ”+ 1 ) = q 。+ 一一。一吃4 = e ( r ”) = 2 综 上可得： 定理3 5 设三是素的约化交错环链，f 匕s 3 一l 是带边的曲面，而且每个边界 分支都合痕于l 的子午线若f 是不可压缩、分段不可压缩曲面t 并且丁( f ) 是特殊 简单的，则g ( f 1 = 0 证明：由于f 是不可压缩、分段不可压缩曲砸，故可以假设f 处于标准位置，又 拓扑图r 是特殊简单的，由引理3 1 和定理3 4 可得，z ( 户) = e ( r ) = 2 g i l a g ( f ) = 0 注：如果l 是交错环链，fcs 3 一l 是不可压缩、分段不可压缩曲面，并且边界 分支数# ( a f ) 8 ，则一定有特殊简单的拓扑图从而有g ( f ) = o 交错环链补中不可压缩曲面的性质 致谢 本文是在恩师韩友发教授的指导下完成的，衷心感谢韩教授这三年来对我的帮助和 指导，在我的研究生学习期间，老师严谨的治学态度，渊博的知识，科研上精益求精的 精神给我留下了深刻的印象老师以讨论的形式给我们提供了良好的学习氛围，并且在 教学方厦老师给我们创造了良好的教学环境，提出了宝贵的意见，使我在教学实践上提 高了能力在生活中，韩教授也给予了父亲般无微不至的关怀没有老师的指导、鼓励 和支持，我是不可能完成本文的借此论文完成之际，谨表对老师崇高的敬意和诚挚的 感谢 1 6 奎竺堑竺盐主至! 堡塑塑塑塑些堕 参考文献 【1 w w m e n a s c o c l o s e di n c o m p r e s s i b l ea n ds u r f a c e si na l t e r n a t i n gk n o ta n dl i n k c o m p o n e n t s t o p o l o g y v 0 1 2 3 n o i 1 9 8 4 ：3 7 4 4 ， 【2 w w m e n a s c oa n dm b t h i s t l e t h w a i t e s u r f a c e sw i t hb o u n d a r yi na l t e r n a t i n g k n o te x t e r i o r j r e i n ea n g e w m a t h ，4 2 6 ，1 9 9 2 ：4 7 - 6 5 l 3 w w ，m e n a s c o ，ag e o m e t r i cp r o o ft h a ta l t e r n a t i n gk n o ta r en o n t r i a l m a t h p r o c c o m b r i d g ep h i l o s s o c i 1 0 9 1 9 9 1 ：4 2 5 4 3 1 1 4 h e n y o u f a i n c o m p r e s s i b l ep a i r w i s ei n c o m p r e s s i b l es u r f a c e si na l m o s t a l t e r n a t i n gk n o tc o m p o n e n t s t o p o l o g ya n di t sa p p l i c a t i o n ，8 0 , 1 9 9 7 ：2 3 9 2 4 9 5 矾w m e n a s c o d e t e m i n i n gi nc o m p r e s s i b i l i t yo fs h r f a c e si na l t e r n a t i n g k n o t a n dli n kc o m p l e m e n t p a c i f i cj m a t h 1 7 ( 2 ) ，1 9 8 5 ：3 5 2 3 7 0 6 d a l er o l f s e n n o t sa n dl i n k s m a t h l e c t u r es e r i e s 1 9 7 6 7 h a n y o u f a ， i n c o m p r e s s i b l eb o u n d a r yi n c o m p r e s s i b l es u