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参数曲线的奇拐点分析 摘要 本论文主要对平面和空间中一些曲线的奇拐点的存在性和生成调控问题作 了研究，其主要内容包括有理参数曲线的奇拐点的讨论、c 曲线特别对c b 6 z i e r 曲线的奇拐点的研究以及f b z i e r 曲线的奇拐点的存在性和调控问题的论述。 本文首先简要回顾了c a g d 中对一些参数曲线奇拐点的相关讨论，其中包 括：有理曲线、平面有理三次曲线、有理b 6 z i e r 曲线、平面c 曲线、平面c b 6 z i e r 曲线等。 文章采用叶正麟和吴荣军所应用的包络理论和拓扑映射方法，给出了 f b 6 z i e r 曲线奇拐点的分布图，能够用它来检验曲线奇拐点的存在性及凸性。 讨论了如何生成及控制平面f b 6 z i e r 曲线奇拐点的问题。当固定曲线的三个控 制点时，可用第四个控制点( 主要是端点) 来生成和控制其奇拐点的变化。证明 了奇拐点分别属于两条由前三个和后三个控制点构成的奇点曲线或拐点曲线， 并且两条奇点曲线在奇点处相切。这样，不仅能判别f b 6 z i e r 曲线奇拐点的存 在性，而且可按照需要来调控奇拐点。 关键词：奇拐点；分布图；f b a z i e r 曲线；判别式 i d e n t i f i c a t i o no fs i n g u l a r i t i e sa n di n f l e c t i o np o i n t so n p a r a m e t r i cc u r v e s a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l ym a k e ss o m er e s e a r c ho nt h ee x i s t e n c eo fs i n g u l a r i t i e sa n d i n f l e c t i o np o i n t so ns o m ep l a n a ra n ds p a c ec u r v e sw h o s et h e s es p e c i a lp o i n t sc a nb e g e n e r a t e do rm a n i p u l a t e d i ti n c l u d e s t h ed i s c u s s i o na b o u ts i n g u l a r i t i e sa n d i n f l e c t i o n p o i n t so nr a t i o n a lp a r a m e t r i cc u r v e s c c u r v e sa n dc - b 6z i e rc u r v e e s p e c i a l l y ，a n df b a z i e rc u r v e f i r s t l y ，w eb r i e f l yr e v i e ws o m er e s e a r c hr e l a t e do ns i n g u l a r i t i e sa n di n f l e c t i o n p o i n t so ns o m ep a r a m e t r i cc u r v e si n t h i st h e s i s t h e s ec u r v e si n c l u d er a t i o n a l c u r v e s ，p l a n a rr a t i o n a lc u b i cc b r v e s ，r a t i o n a lb 6 z i e rc u r v e s ，p l a n a rc c u r v e s ，p l a n a r c b a z i e rc u r v ee t c s e c o n d l y ，w eo no n eh a n du s ee n v e l o p et h e o r ya n dt o p o l o g i c a lw a p p i n g m e t h o dw h i c hg i v e nb yy ez h e n g l i na n dw ur o n g j u nt oo b t a i nt h ed i s t r i b u t i o n g r a p h sa b o u tt h es i n g u l a r i t i e sa n di n f l e c t i o np o i n t so fp l a n a rf b a z i e rc u r v e s ， w h i c hs h o wt h e i re x i s t e n c ea n dc o n v e x i t y o nt h eo t h e rh a n d ，w ed i s c u s s i o nt h e p r o b l e mt h a th o wt og e n e r a t eo rm a n i p u l a t et h e s es p e c i a lp o i n t s w h i l et h r e e c o n t r o lp o i n t sa r ef i x e d ，t h e s ep o i n t sc a nb eg e n e r a t e do rm a n i p u l a t e db yt h e i r f o u r t hc o n t r o lp o i n t s ( m a i n l ye n dp o i n t s ) i ti sp r o v e dt h a tt h es i n g u l a rp o i n to r i n f l e c t i o np o i n tb e l o n g st ot w os i n g u l a rc u r v e so rt w oi n f l e c t i o nc u r v e sw h i c ha r e g e n e r a t e db yt h ef i r s t3a n dt h el a s t3c o n t r o lp o i n t sr e s p e c t i v e l y a n dt w os i n g u l a r c u r v e sa r et a n g e n ta tt h es i n g u l a rp o i n t t h e r e f o r e ，w ec a nk n o wn o to n l yh o wt o i d e n t i f yt h ee x i s t e n c eo fs i n g u l a r i t i e sa n di n f l e c t i o np o i n t s ，b u ta l s oh o wt o m a n i p u l a t et h e s ep o i n t sa c c o r d i n gt ot h ep r a e t i a la p p l i c a t i o n k e yw o r d s ：s i n g u l a r i t i e sa n di n f l e c t i o np o i n t s ；d i s t r i b u t i o ng r a p h s ；f b d z i e rc u r v e ； d i s e r i m i n a n t s 插图清单 2 1 奇拐点分布图。8 2 2 带一个奇点的有理b d z i e r 曲线及其3 一判别式曲线。1 4 2 3 控制点p ，在3 判别式上选取时的奇异b 6 z i e r 曲线1 5 2 - 4 三个带奇点的b d z i c r 曲线1 7 2 5 两个b 6 z i e r 曲线在尖点处相切。18 3 1 摆自e 1 9 3 2c 一曲线上的拐点、尖点、重点2 0 3 3 五和的定义2 1 3 - 4c b d z i e r 曲线形状分布图2 2 3 5 不同形状的c b e z i e r 曲线2 2 3 - 60 岛一日 万”2 3 3 7 岛一最= 万2 5 3 8 石 0 。 下面考虑切线向量z ；( f = o ，1 ) 不平行，即磊o ，则可令： a z = z l z 0 = 五磊+ z i ， 即 ( 兄，) = x z i ，- - a z x g ) ( z ；) 系数旯，被称为“端点斜率大小的倒数”( r e c i p r o c a ln u m b e ro f t h e m a g n i t u d e so f t h ee n ds l o p e s ) 定理2 2 1 韭丝a z = 2 z ；+ z i ，磊z ：0 ，图2 - 1 给出了由坐标( 旯，) 所确 定的曲线 ( 2 2 1 ) 奇拐点分布图( t h ed i s t r i b u t i o no fi n f l e t i o np o i n t s a n d s i n g u l a r i t i e s ) ： 札 。l m虬 w , ( 3 w f i 心 m_ ，- 删氐 a d 刊 、w d ( 3 w 厂 虬j l 幽2 - 1 奇拐点分布圈 ( 1 ) m ( 0 蔓i 2 ) ，表示曲线在这个区域内有i 个拐点，无奇点。 ( 2 ) c ( 或三( 不包钔，b ，c ) ) ，表示曲线在该区域内有一个尖点( c u s p ) ( 或一个重 点( 1 0 0 p ) ) 且无拐点。 其中： 0 包含爿，b ，1 包含两条直线兄= ( 3 0 ) 1 ) ，z 屿“3 吐) 和旯 0 ) 0 ( 3 0 ) 0 ，= 屿( 3 咤) a ：2 = g , ( 3 0 ) 2 , t - ( 0 3 ) ，为双曲线的一段。 b ：q 五2 = t ( 3 0 ) 1 2 0 ) o ) ，为双曲线的一段。 c “( 盯) ，v ( 盯) ) ，0 0 - ： “( 盯) 2 平面0 7 ) 0 ( - - 而0 ) 0 。- 4 面 4 - 3 瓦0 ) 2 。- 丽2 + 2 万r 0 3 0 - 三) 丽， v ( 盯) 2 币面再0 ) 3 ( 2 面o - s 再+ 3 0 ) 画1 0 - 2 _ 再w 3 ) 忑丽 ( 2 2 4 ) 事实上c ：( u ( 0 - ) ，v ( 盯) ) ，0 仃 o o ，为双曲线的七( ，) = 0 的一支，七( 旯，) = 4 0 ) ；0 ) o ( 3 0 ) 2 , u c 0 3 ) 2 3 + 4 0 ) 0 2 0 ) 3 ( 3 0 ) 1 2 一r o o ) u 3 3 ( 0 ) 0 0 ) 3 2 , ) 2 + ( 3 q a r o o ) ( 3 0 ) d u q ) 2 - 6 0 ) 0 0 ) s ( 3 0 ) , , a 一) ( 3 哆一屿) 五( 2 2 5 ) j ( 五，) = o 有两条渐近线：a = ( 3 a _ j ) ，= 屿( 3 c 0 2 ) 。 2 2 2定理2 2 1 的证明 拐点( i n f l e c t i o np o i n t s ) 证明： 令伊( ，) 为式( 2 2 1 ) 的分母，即妒( f ) = c o o u 3 + 3 c o l u 2 t + 3 c o a u t 2 + q f 3 ，由z = 五磊+ z z ：， 可知： 妒砸) 一( f ) = a ( t ) z ；+ 6 ( f ) z ： 伊3 ( f ) z ”( f ) = ( f ) 伊o ) 一2 a ( t ) 6 p ( f ) ) 磊+ 6 ，( t ) q o ( t ) - 2 b ( t ) c p ( r ) z i ( 2 2 6 ) 这里： a ( t ) = u ( c o ；u 3 - 3 0 ) o a 7 2 t 2 u - 2 c o o o j 2 t 3 ) + 3 2 t u ( 2 0 j 0 c a 2 u 2 + 3 c 0 1 t u + w o t u + 2 c o l c 0 3 t 2 、 b ( t ) = t ( c o ；t 3 - 3 d o j c 0 3 t u 2 - 2 a 0 0 c 0 3 u 3 ) + 3 9 t u ( 2 0 & ) 2 u 2 + 3 d o l a ) 2 t u + 0 9 0 0 3 3 t u + 2 a a 7 3 t 2 、 ( 2 2 7 ) ( 2 2 1 ) 式的拐点由z ( f ) x z 。o ) = 0 ，0 f 1 所确定，即口( r ) 6 ( r ) 一a ( t ) b ( r ) = 0 ，0 t 1 令f = 乇，0 盯_ 0 ，o i - 3 ，上式可整理为： 簖( 3 p - c 0 3 ) f r 3 + 3 霹q j c r 2 + 3 a j o 霹丑盯+ 霹( 3 c a , 2 一嘞) = 0( 2 2 9 ) 拐点的数目相当于等式( 2 2 9 ) 的正根( p o s i t i v er o o t s ) 的数目，简单计算可知： ( a ) 五o ) 0 ( 3 0 j 1 ) ，q ( 3 0 7 2 ) ：( 丑，卢) 0 ( 6 ) a 一( 3 d a 0 ) 一q ( 3 吐) 0 ，或a = ( 3 c a l ) ，声 鸭( 3 a 7 2 ) 或2 ( 3 m 0 ， = q ( 3 0 2 ) ：( a ，) i ( f ) 旯 c o o ( 3 c o , ) ， v p ) 时，( 五，) l 。因 此有： 引理2 2 2 当( 五，z ) m ，0 s ，2 时，曲线有i 个拐点： n o = ( 五，) i 丑2c o o ( 3 d 0 1 ) ，q ( 3 吐) 或七( 五，) 0 ，2 ( 3 0 ) 1 ) ，屿( 3 哆) l ； n i = ( 五，) i ( 兄一( 3 a ，i ) ) ( 一q ( 3 0 7 2 ) ) 0 或a = ( 3 0 3 1 ) ， q ( 3 0 9 2 ) 或五 c o o ( 3 c o j ) = 屿( 3 0 u 0 ； 2 = ( 2 ，声) l ( 丑，) o ，旯 ( 3 d 0 0 ，声 q ( 3 c 0 2 ) 奇点( s i n g u l a r i t i e s ) 的证明： 一个重点( 1 0 0 p ) f 1 4 , 现条件为z ( a ) = z ( ) ，0 口 1 ，即z ) 一z ( ) = 0 ，此式左 边经过简单换算可转换成z ；和z ：的组合形式，再由磊和z ；的线性无关性，可令矗 和丢前的系数( c o e f f i c i e n t s ) 分别为零，即得： , z f 1 2 屿+ 3 d b ( 1 一) 妒( 口) 一口2 c 0 3 a + 3 c 0 2 0 - a ) 妒( f 1 ) l = 峨 ( 1 一c r ) 2 a 矿( f 1 ) - 0 一f 1 ) 2 p ( 口) ， 【p 2 f l + 3 0 h ( 1 - f 1 ) 妒( a ) - a 2 c 0 3 a + 3 0 j 2 0 - a ) m ( f 1 ) = 鸭 ( 1 一) 2 伊( 口) 一( 1 - c r ) a 2 m ( f 1 ) ( 2 2 1 1 ) 由口，上式( 2 2 1 1 ) 可转换为： 丑c a o = 一n ( 1 一口) 2 ( 1 - f 1 ) 2 + q c 咿( 口+ 一2 c 妒) + 3 c 0 2 a f l ( 1 - w o o f 1 ) d , t t r 0 3 = c 0 0 0 - a ) ( 1 一f 1 ) ( a + f l 一2 c 泸) 一q 口2 2 + 3 0 j , a f l ( 1 一c r ) ( 1 一) d ，( 2 2 1 2 ) 其中d = 嵋。屿 2 ( 1 一口) 2 + a p o a ) ( 1 - f 1 ) + 口2 ( 1 一f 1 ) 2 + 3 q 屿c 泸( 口+ 一2 c 垆) + 3 6 0 0 c 0 2 ( 1 一口) ( 1 一x 口+ f l 一2 6 咿) + 9 q 国i ( 1 一却( 1 一f 1 ) a f l( 2 2 1 3 ) 和0 口 l( 2 2 1 4 ) 则曲线( 2 2 1 ) 存在重点的充要条件为( 2 2 1 2 ) 一( 2 2 1 4 ) 。而由( 2 2 1 2 ) - ( 2 2 1 4 ) 所 确定的图像的边界为： ( 1 ) o r = 0 ，0 1j = 2 ( 3 c o d u 一鸭) ( 2 ) 0 口 1 ，声= ljq = z ( 3 a l l x - c o o )( 2 2 t s ) ( 3 ) 0 口= 1o g 口= 蓦- 二一，0 盯 o ，a l ( 3 a h , u 一屿) 引理2 2 2 和引理2 2 3 证明了定理2 2 1 中关于由公式( 2 2 1 ) 所确定的平面有理 曲线的奇拐点的分布结论。 2 3有理b 6 z i e r 曲线的奇点 这一小节将介绍m o n t e r d e 2 9 关于n 次有( r a t i o n a l ) b 4 z i e r 曲线有一个奇 ( s i n g u l a r i t y ) 判别条件。通过m o n t e r d e 的论述，说踢了b 6 z i e r 曲线的奇点 是可以控制的，通过改变某一个控制点的位置使曲线具有一个奇点并且可以确 定这个奇点的具体位置。 2 3 1 定义 由控制多边形( p o ，以) 和权因子 c o o ，) 所确定的疗次有理b 4 z i e r 曲线 表达式如下： 口( r ) ：研凡，以，q 】( f ) ：弋e i ? - = o b n ( t 一) ( 。i p i ，f 【o ，1 】 ( 2 3 1 ) 似d = 研凡， 以，q 】( f ) = l i 五鬲【0 1 1 2 3 1 j 一，= n u 、- ，w i 这里8 7 ( t ) 为伯恩斯坦多项式( b e r n s t e i n p o l y n o m i a l ) ，其中通常选取缈， 0 ，( f = 0 ， ，”) 注：( 1 ) 由( f a r i n ，1 9 9 0 ) 关于有理b 6 z i e r 曲线的德卡斯特里奥算法( d ec a s t e l j a ua 1 g o r i t h m ) 可知控制点的运算： 州= 署时卅警咪r ) ( 2 ，2 ) 其中o f ( t ) = ( 1 - t ) o ) 7 1 ( t ) + t c o t ；l ( t ) ( 2 3 3 ) ，= 1 ，甩，i = o ，1 ，”一，p ? ( f ) = p ，c o o = 劬，则此算法的最后一步为： c t ( t ) = p 8 ( ，) ( 2 ) 令c o ( t ) - - e7 - - 0 b n ( t ) c o i ，硝( f ) = 口( f ) ( 3 ) 对于一个可微曲线口( f ) ：【口，6 】寸r 4 ，若口( f ) 0 ，v t “口，6 】，则称其为正则 2 3 2 b 6 z i e r 曲线的奇点判别式曲线 给定固定点 p 0 ，- - , p k + 以+ p ，以) 和所有固定权因子 ，峨 ，现在来确 定当有理b 6 z i e r 曲线b p o ，以，峨】( f ) 为奇异时，动点p k 的轨迹，即曲线 动点七一判别式( 七一d i s e r i m i n a n t ) 命题2 3 1 曲线七一判别式( 七- d i s c r i m i n a n t ) 为下面的曲线： 4 = 净篙羔箸羔等s q 证明：我们令： 口fnz n = o b n ( t ) c o i p i t i f f ) 一 以一b t ( t ) i0 i t ，t l 、i ( f ) 厶= 如果对于一个参数t 【o ，1 ，有口( f ) = 0 ，那么： ( f ) 国o ) = f l ( t ) c 0 7 ( f )( 2 3 5 ) 利用伯恩斯坦多 式( b e r n s t e i np o l y n o m i a l s ) 的求导公式，上式( 2 3 5 ) 可整理为： 聊( ，) ( b n - i ( t ) - b n 一1 ( t ) ) o i p i = ( ，) b q 毋 ( 2 3 6 ) 这里耻i 1 ( f ) = 硝一1 ( r ) = 0 ，为方便起见，我们使用t n 等k ： ) = 半= 静n 斗- i 伊蹦r ) ) q = 和- l ( 慨一鼢- l ( 悯舛1 w 1 则( 2 3 6 ) 式可写为： ( f ) ( 宝( b z 沁) 一占? 一1 ( t ) ) d o i p i + ( 口t n 一- 1 l ( f ) 一域一1 0 ) ) 吼巩)( f ) l ( b z ? ( f ) 一占? 一1+ ( 口t l ( f ) 一占z 一1 0 ) ) t j l = u f r ：占( f ) ( 兰b t ( r ) a ) i p i + 占z ( f ) 哝巩) ( 2 _ 3 7 ) 从( 2 3 7 ) 我们发现： ( p o ) b 2 0 ) 一国( f x b z 二 o ) 一b z 一1 ( f ) ) ) 吼巩 = “曰川n - i ( t ) - b 7 1 ( t ) ) c o ( t ) - b t ( t ) o ( t ) ) c o f p i 因此可有： ( ( b 9 1 1 ( t ) - b 7 1 ( f ) ) 珊o ) 一b t ( t ) o ( t ) ) c o i p i 驴鼍志丽面n 万- i 面丽矿哆t ( b z ( f ) 口( r ) 一( 口t l o ) 一b z 一1 0 ) ) 国( f ) ) 为了得到命题中的结论，我们只需要计算( 曰，n 一- l i ( f ) 一b 7 ( t ) ) c o ( t ) - b t ( t ) o ( t ) ， l e 0 胡 。由公式 b t ( t ) = fn 7 = 1 i ( t ) + o - t ) b 7 1 0 ) 和上面的分析可知目( f ) = 吖1 ( f ) 一茚1 ( r ) ，因此可得到： ( 口，n 一- 1 i t ，一d ，n 一1 ( f ) ) ( f ) 一b r o ) 口o ) = ( 曰? 二? ( f ) 一b f 一1 ( t ) ) ( ( 1 - t ) c o g 1 + f 吖- 1 ( r ”一( ( 1 一t ) b 7 1 0 ) + f b p 二f ( f ) ) ( 钟一1 ( f ) 一簖一1 ( f ) ) = 一吖。( t ) b 7 1 ( f ) + 瞄。( ，) 占，二抛) 证毕。 2 3 3有理b e z i e r 曲线形式的判别式曲线 式( 2 3 4 ) 右边为2 n 一2 次多项式的商的形式，在下面的论述中我们将把它转 化成一个有理b 6 z i e r 曲线的形式。先引入记号：砰( 当k = i 时，t = 0 ；否则 t = 1 ) 。 首先看分子，直接计算可得： 月 ， n - in - i ( 钟- 1 ( 0 彤一( r ) 吁卅一 彤。1 i ， 、 = f l 。 b n _ - l l ( t ) 。( t ) c o j ) c a f p t i = 0i # k j = 0j = 0 h，n - in - i =(占?-l(t)彤-1(f)吁+l一占对(，)彤-1(f)q)qprs；ii= 0 、 j = o j = o 。 。 2 n 一2 = l = 0( 塞( “j 1 ) ( ：取q ，州q a 寸- - c o t _ j 0 2 ，+ l p t + 1 。，) 2 n - 2 = 砰”2 ( f ) 伤 i = 0 龇2 南( 鼢) ( 衍“柚 亿3 渤 类似的我们可以讨论分母： 月一1，d 群- 1 ( r ) 彤。1 ( r ) q + i 一磁n 一- i i ( f ) 眵1 ( t ) c a j j = 0 j - - - 0 = 白+ n - i 同b 2 n - 2 州f1 ) ( q h 椭) = 砰”2 国，k ， 其中若l 尼，k + n - 1 有 小南( 打舱h 以h ) 亿3 否则缈：定义为零。因此，判别式曲线可写为： 4 = 麓端 其中控制点和权因子f l q ( 2 3 8 ) 5 1 x l i ( 2 3 9 ) 分别给出。注意到：q ? 并非是一个有理b 6 z i e r 曲线标准形式的控制点，但是4 ( f ) 确实可由q j 和权钟表示成有理b 6 z i e r 曲线的形式。 业 例2 3 2 考虑有理b a z i e r 曲线，其控制点为 ( o ，o ) ，( 1 ，1 ) ，( o ，1 ) ，p 3 ，权为 1 ，二1 ，2 ，1 ) ， 则3 一判别式曲线( 3 d i s e r i m i n a n tc u r v e ) y 0 ： 舭h - ：l 文+ 4 。t 卅- 6 p ：+ f 2 ) 3 t 4 - ，等蒜掣) 这种情况下式( 2 3 4 ) 分子的值是： ：1 ( 一l + 4 t 一6 t 3 + 3 t 4 , - 1 4 t + 1 8 t 2 1 8 t 3 + 9 t 4 ) 同时上式可被写成b a z i e r 曲线形式，其控制点为： ( 一圭，一i 1 ) ，( 。，一1 ) ，j 1 ，o ) ，i 1 ，i 1 ) ，( o ，2 ) ) ( 2 3 4 ) 分母的值是t 2 ( 1 一t + 2 t 2 ) ，写成b 6 z i e r 曲线形式，控制点为f o ，0 ，1 6 ，1 4 ，2 。 图2 - 2 显示了例2 3 2 的结论，有理b 6 z i e r 曲线最后一个控制点见在其判别式 曲线上选取，即见= 4 ( 0 6 ) = ( 1 1 1 8 ，4 9 ) 。 吼一 、 0 p 2 隽1 p 0 吗 o - ，o l 罢盟一一 、 _ 一 。d i m 耐用h a c u r v e 0 l 1 幽2 。2 常一个可点阴硐埋b a z i e r 衄线放再3 一判别式曲线 结论2 3 3 在非有理形式下，判别式曲线的形式简单。从式( 2 3 4 ) 可得到： n 2 可可万1 丽，未。( 鲜1 ( f ) 一旦才( ，) 概 = 而去而( 霎( o 黛t 刊) ) 。面i = 丽= 1 丽研a p o ，肌- l - - p k - 2 , - - 肌- 1 , p k + l , 既+ 2 一肌+ l ，办一n 1 ( f ) 2 3 4 奇点的位置 在下面讨论的内容中，我们将说明可以确定奇点( s i n g u l a rp o i n t ) 的具体位置 在判别式曲线上选取控制点p k ，即p k = 4 ( f ) ，t 【o ，1 】随着p k 在判别式曲线上位 置选取的不同，曲线上的奇点组成了一条奇点曲线。 命题2 3 4 奇点曲线( t h ec u r v eo fs i n g u l a rc u r v e ) 3 幻： b b , o ，4 ( f ) ， ，】( ，) ( 2 3 1 0 ) 证明：我们所要做的工作就是计算口( ，) = b p o ，4 ( 0 9 * - , 9 ，c o o ，】( f ) 。借 助于式( 2 3 4 ) 的4 ( f ) 的表达式，有： 口( f ) = 二丽1 ( 磊n 。群( r ) q a + 磁( r ) 吼矶) = 南( ，黑。( 昭( f ) + ( 1 卅巩f ) ) q b 一畿蕞筹学删钟1 ( f ) 磁。1 ( f ) 一簖1 ( f ) 列o ) 1 ”， ：n ，三业! ! 竺! n 二- ! i ! ! ! 墨n - i 型二竺! n - 1 型竺! n = - 巡i 塑竺墨 吖。1 ( r ) 群。1 ( f ) 一簖。1 ( f ) b 爿( f ) 一， p 2 、- 。 。穗 ，二，j 吲 ， ， b f 督q 巳巳) ? m ， 图2 - 3 控制点p 3 在3 - 判别式上选取时的奇异b 6 z i e r 曲线 证毕。 在图2 - 3 中，以b 6 z i e r 曲线为例，选取r = k = 3 ，曲线的前三个控制点p o = ( o ，o ) ， p i = ( 1 ，1 ) ，p 2 = ( 0 ，1 ) ，则b 6 z i e r 曲线b p o ，p l ，p 2 ，见】的3 一判别式曲线( 3 d i s c r i m i n a n t c u r v e ) 为： 4 ( ) 2 面1 石b p l p o ，p 2 一a ，一n 】2 7 1 b p o p l ，p l p 2 ，p 2 】 可以看出随着最后一个控制点位置选取的不同，b 6 z i e r 曲线也呈现出不同的几 何形状特征。 定理2 3 5 若有理b 6 z i e r 曲线口= b p o ，以，c o o ，】非正则，且a ( t o ) 为 曲线的一个奇点，则： a ( t o ) = b p o ，胙l ，一l 】) 证明：在( 2 3 1 0 ) 中令七= 月有： f k 珂 b 并2 n - 专21 i - ：一群一( f ) 唰( ，) 。“ 则可得到： 舯擘n 嚣n - i 产叫 证毕 推论2 3 6 当b 6 z i e r 曲线b p o ，p l ， 】的控制点以在珂判别式曲线 ( 胛- d i s c r i m i n a n tc u r v e ) 上，则其奇点的轨迹就是b 6 z i e r 曲线b p o ， ，p nl 】 证明：定理2 3 5 说明b 6 z i e r 曲线b d , o ，p ，p 。】上的任一个奇点都在b 6 z i e r 曲线b p o ，p l ，风一l 】上。相应地，如果点r 是b 6 z i e r 曲线b p o ，p l ，n l 】上 一点，即存在参数t o 【0 ，1 】，使得r = b p o ，p l ，p n1 】( r 0 ) ，下面说明这个点r 也 在b 6 z i e r 曲线b p o ，p l ，几】上。 由式( 2 3 4 ) 可得b 6 z i e r 曲线研p o ，p l ，p 。】的判别式曲线为： d n ( t ) = 一击( 娲1 p ) 一1 ( r ) ) 研 我们选取p 。= 4 ( f o ) ，则b 6 z i e r 曲线b p o ，p i ，p 。】上的点b p o ，p l ，“1 ( t o ) 为其 一个奇点。现通过简单的运算可知这个奇点b p o ，p l 9-t9 n 】( 岛) 就是点r 。事实上 b p o ，p l ，儿】( f 。) = 群( f o ) a 一睇( r o ) ：i 1 = r ( 鞲1 ( f o ) 一霹- 1 ( ，o ) ) 办 = ( 钟( f 0 ，t t b n - 1 ( t o ) - 7 - 1 ( f 0 ) ) ) b = 群- 1 ( f 0 ) a i = 0s = 0 = b p o ，p ，n ，l 】( f o ) = r 证毕。 图2 - 4 验证了上述结论。三次b 6 z i e r 曲线的最后一个控制点在判别式曲线上选 取，图中给出了所得的三个带奇点的曲线，而且很明显地看出三个曲线上的奇 点都在b a z i e r 曲线b p o ，p i ，见】上。 1 6 | 噩 处_ 。 摹 b 6 z i e r c u r v e b f p 0 p i ，p 2 ) 一d i s c r i m i n a n t 。g z i e r c u r v e sb ( p 0 p i p 2 ，p 3 ) 图2 4三个带奇点的b 6 z i e r 曲线 结论2 3 7 若参数，0 为某一有理b 6 z i e r 曲线口= b p o ，p l ，以，c o o ， 的 一奇点参数，即a ( t o ) = b p o ，p l ，n _ l ，c o o ，一1 】( f o ) ，则参数1 一f o 为控制点逆序 的b 6 z i e r 曲线厅= 研 ，n - 1 ，p o ，c o ，嘞】的一个奇点参数，即a o - t o ) = 研n ， 阼l ，n ，( 0 1 ( 1 - t o ) 且有a ( 1 - t o ) = a ( t o ) ，所以说奇点是曲线b p o ，p l ，见_ l ，一l 】和曲线b p ， ，( o i ，】的公共点。 定理2 3 8 若有理b 6 z i e r 曲线口= b p o ，n ，w o ，】在参数f o 处有一个奇 点，而有理b e z i e r 曲线屈= b p o ，以- l ，啡1 1 和履= b p t ，p 。，q ，a 9 n 1 在 f 0 处是正则的，则它们在此点处相切 证明：在公式( 2 3 2 ) e p ，德卡斯特里奥算法的最后一步包含下面的内容： 1 n - im ，卜l a ( t ) ；( 1 一f ) = l l 届( f ) + f = l 熙( f ) 为方便起见，叫的参数t 省略没有写出。现在我们对上式关于参数t 求导，得到 口，( f ) ：“1 一f ) 竺q n 一- i ) ，届( f ) + ( 1 一f ) o ) - n - 一i 卢：( f ) + ( f ( d n - i ) ，压( f ) + f 兰成o ) c c jc c ，叫甜 计算上式在t = t o 处的值，注意到a ( t o ) = 属( 岛) = 屁( f o ) 我们有： 。纠( f o ) = ( 幽譬玛1 f _ “小( 1 吲等n - i m + 譬b 觚) = ( 1 ) ，i t a ( 伊p f o ) 譬k 龟f l ( ( t o ) + b 簪k 嘏气) 这说明( f 0 ) 和) 是成比例的。因此届和压在a ( t o ) 处相切，证毕。 图2 5 说明了定理2 3 8 的结论。 b c wm p 0 ，p i p 2 k t j e l b ( p ip 2 p 3 b f m b ( p 0 ，p i p ：，p ，j 两个b a z i e r 曲线在尖点处相切 - 1 8 - 第三章c 曲线的奇拐点分析 c - 曲线( c c u r v e s ) 是由基函数s i n t ，c o s t ，1 的线性组合所表示的。在这一章 中主要介绍关于c 。曲线的奇拐, a ( c u s p sa n di n f l e c t i o n p o i n t s ) 相关讨论。 3 1c 曲线的拐点和奇点 这一节介绍 3 1 1 中利用仿射( a m n e ) 变换对c - 曲线奇拐点的讨论。通过分析， c - 曲线为摆线( t r o c h d i d s ) 或正弦曲线( s i n ec u r v e s ) 的仿射图像，利用这种关系得 到c 曲线拐点、尖点、重点的存在性条件，特别考察了c b a z i e r 曲线。对于曲 线删( c u r v ea n ds u r f a c em o d e l i n g ) 力 ，文中所提方法具有非常重要的应 用价值。 3 1 1b d z i e r 曲线和摆线的形状 摆线的参数表示为：c ( ，) = ( x ( f ) ，y ( r ) ) ，其中： x o ) = t - b s i n t ，y ( f ) = 1 一b o o s t ， b 为大于零的距离常数 ( 1 ) b 1 时，c o ) 为长辐旋轮线( p r o l a t ec y c l o i